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非线性问题分歧分析与计算 摘要 随着科学技术的迅速发展，非线性问题大量出现在自然科学、工程技术乃至 社会科学的许多领域中，成为当前科学研究的焦点。分歧是一种常见的非线性现 象，并与其它非线性现象( 如混沌、湍流、突变、分形、拟序结构等) 密切相 关，在非线性科学的研究中占有重要地位。本文主要研究非线性问题中分歧现象 的分析与计算，大体上分为两个部分。 第一部分我们选取发育生物学中一类非线性反应扩散方程作为主要研究模 型，该方程组形式比较复杂而且分歧现象较为丰富，是一个理想的模型。本 文从分歧理论的角度结合数值计算研究了这个问题。首先，我们引入l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法，应用到该方程得到该非线性微分方程在分歧点附近分歧方程的 解析近似表达式及其非平凡解的渐进表达式。然后分别用差分方法和拟谱方法通 过数值计算得到分歧点附近非平凡分歧解。最后我们将理论分析结果与数值方法 计算所得结果进行比较，发现是它们是一致的，从而验证了我们的结论。 第二部分我们考虑计算单参数非线性问题中高阶奇异点的计算方法，基于确 定奇异点的一个普适的扩张系统，结合同伦参数的拟弧长延拓，给出了计算各类 高阶奇异点的一个统一算法，通过数值例子说明了算法的有效性。 关键词：非线性反应扩散方程，l i a p u n o v s c h m i d t 方法，分歧方程，强等 价，差分方法，拟谱方法，高阶奇异点，扩张系统，同伦参数，拟弧长延拓。 非线性问题分歧分析与计算 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y , i n v e s t i g a t i o n o fm o r ea n dm o r e n o n l i n e a rp r o b l e m sf r o m s c i e n c e ，t e c h n o l o g y , a n d e v e nv a r i o u sf i e l d so fs o c i a ls c i e n c e ， h a v eb e e nb e c o m i n gt h ef o c u so fs c i e n c es t u d y b i f u r c a t i o ni sac o m m o nn o n l i n e a r p h e n o m e n o n a n d p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h en o n l i n e a r s c i e n c e i nt h i st h e s i s ，w e c o n c e n t r a t eo na n a l y s i sa n dc o m p u t a t i o no fb i f u r c a t i o n i tc a nb es e p a r a t e da st w o p a r t so nt h ew h o l e f i r s t ，w ec h o o s eac l a s so fn o n l i n e a rr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n si nd e v e l o p m e n t a lb i o l o g ya st h er e s e a r c hm o d e l ，b e c a u s eo fi t sa b u n d a n tb i f u r c a t i o np h e n o m e n o n a n dn o ts i m p l ee x p r e s s i o n w ei n t r o d u c el i a p u n o v - s c h m i d tr e d u c t i o nm e t h o dt o i n v e s t i g a t e t h eb i f u r c a t i o no fac l a s so fn o n l i n e a rr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n si n d e v e l o p m e n t a lb i o l o g y n e a rt h eb i f u r c a t i o np o i n tw eo b t a i nn o n t r i v i a ls o l u t i o n s b r a n c he m i t t e df r o mt h et r i v i a ls o l u t i o n t h ea p p r o x i m a t ea n a l y t i c a le x p r e s s i o n s o ft h en o n t r i v i a ls o l u t i o n sa r eg i v e nt oc o m p a r ew i t ht h en u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h e n o n l i n e a rp r o b l e m s e c o n d ，an u m e r i c a lm e t h o df o rc o m p u t i n gt h eh i g h e ro r d e rs i n g u l a rp o i n t so f t h en o n l i n e a rp r o b l e m sw i t hs i n g l ep a r a m e t e ri sc o n s i d e r e d b a s e do nt h eu n i f o r m l y e x t e n d e ds y s t e ma n d p s e u d o a r c l e n g t hc o n t i n u a t i o n ，a nu n i f o r ma l g o r i t h m i sg i v e n n u m e r i c a le x a m p l e sa r ec o m p u t e dt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so fo u ra l g o r i t h m k e yw o r d s ：n o n l i n e a rr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，l i a p u n o v s c h m i d tr e d u c t i o nm e t h o d ，b i f u r c a t i o ne q u a t i o n ，s t r o n g l ye q u i v a l e n t ，d i f f e r e n c em e t h o d ，p s e u d o s p e c t r a lm e t h o d ，h i g h e ro r d e rs i n g u l a rp o i n t s ，e x t e n d e ds y s t e m ，h o m o t o p yp a r a m e t e r ，p s e u d o a r c l e n g t hc o n t i n u a t i o n 非线性问题分歧分析与讣算 第一章绪论 1 1 研究背景 随着科学技术的迅速发展，非线性问题大量出现于自然科学、工程技术乃至 社会科学的许多领域中，非线性问题的研究同益成为当前科学研究的热点。固体 力学、流体力学、非线性振动和控制论等科学与工程问题一直是推动非线性问题 研究的强大动力。分歧是一种常见的重要的非线性现象，并与其它非线性现象 ( 如混沌、湍流、突变、分形、拟序结构等) 密切相关，在非线性科学的研究中 占有重要地位。 所谓分歧是指，对于含参数的系统，当参数发生变动并经过某些i | 缶界值时， 系统的定性性态( 即其拓扑结构，例如平衡状态、解的数目、周期运动的数目以 及稳定性等) 所发生突然变化的现象。分歧问题起源于研究一些力学失稳现象， 起初的研究几十年内一直在应用领域内进行，由于微分动力系统、突变、非线性 分析等数学理论和实际计算手段的发展，尤其是不同领域混沌现象的发现，促使 分歧理论迅速发展，并且在力学、物理学、化学、生物学、生态学、医学、控制 论、工程技术乃至经济学中得到广泛应用。 由于当前对非线性问题的研究方兴未艾，理论和方法还很不完善，随着计算 机和计算技术的迅速发展，在计算与理论和实验并列成为“第三种科学方法”的 同时，人们的研究思路已发生改变，数值计算已成为研究非线性分歧、周期解、 混沌现象以及耗散系统等有关的非线性问题的一种重要手段，人们往往是先进行 计算而后进行分析。我们这里的研究是理论分析与数值计算并重，通过对理论分 析与数值计算进行比较得到可信的结果。 1 2 文献综述 近四十年来，反应扩散方程的研究r 益受到重视，主要是因为反应扩散方程 涉及的问题大量来自物理、化工、生物、控制论等应用学科，具有广泛的实际应 用背景。在反应扩散方程的研究中，反应扩散方程所产生的丰富的分歧现象已经 引起愈来愈多的数学家、物理学家、化学家、生物学家以及工程技术人员等的关 注。关于反应扩散方程的一般理论已经出现在不少文献中( 见【2 8 ，4 4 】等) ，为了后 面叙述方便起见，在此我们首先引入反应扩散方程的概念。 非线性问题分歧分析与计算 反应扩散方程的一般形式为 裳= d ( 州) u + f ( x , u , g r a d u ) ( 1 1 ) 其中 u = ( 珏l ，一，7 1 , m ) 瓞m ，( 。，0 n r + ， g r 。d u = ( g r a d u l , , g r a d u , , 。) , g r a d u i = 【面o u l d ( x ，乱) = ( d 玎( z ，) ) ( i ，j = 1 ，2 ，m ) 为扩散系数矩阵。 根据所研究问题的不同，可以添加不同的初值或边值条件而成为不同的定解 问题。通常初始条件可以为 u ( x ，0 ) = u 。( z ) ，z ” 相应地，边界条件可以为d i r i c h l e t 边界条件 “= g ( x ，z ) ，( z ，t ) a q 豫+ 或n e u m a n n 边界条件 笔：9 ( 州) ，( 叫) a q r + a n “”。7 。一 或r o b i n 边界条件 类+ ，c u ：gx ，t ) ，扛，t ) a q r + a n 。一。”一。一 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 由于非线性问题的复杂性以及现有处理非线性问题方法和技术等方面 的原因，关于反应扩散方程中分歧理论与计算的研究，目前还留有许多余 地。对于反应扩散方程定常解的稳定性分析，当前一般采用的多是l i a p u n o v 线性稳定性理论，即通过对其在定常解处线性算子的谱来判定其定常解的 稳定性( 见f 1 5 ，1 9 ，4 5 】等) 。而对非线性分歧的研究目前主要使用的l i a p u n o v - s c h m i d t 约化方法、中心流形方法、p b 范式方法、摄动方法等使用的却不是很 多。在低维动力学研究取得显著进展的同时，对无穷维动力学长时i 司行为的研 究也引起很多人的兴趣，特别是对n a v i e r s t o k e s 方程、k u r a m o t o s i v a s i n s k y 方 程、c a h n h i l i a r d 方程、g i n z b u r g - l a n d a n 方程、非线性s c i l r s d i n g e r 方程、非线 性反应扩散方程等的研究取得了一些成果，建立了一些新的算法。然而，对于从 能够反映系统动力学行为的基本特征的低维方程的角度出发来研究反应扩散方 程，这方面还有大量的计算工作可做。 2 m l 2 一 1 m = n “ 叭堕 c ， c ： 非线性问题分歧分析与计算 非线性反应扩散方程会产生丰富的分歧现象，l ic p 等应用l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法分别分析了对应于三类不同边界条件的一维k u r a m o t o s i v a s i n s k y 方程和如下带有d i r i c h l e t 边界条件的反应扩散方程 f ( “，p ) = u ”+ p “一“= 0 ，乱( o ) = “( 7 r ) = 0 对于不同的参数值，得到了一些定性的结果( 参见文献 2 5 ，2 6 】等) 。 j c e i l b e c k 等选取描述糖酵解的s e l k o v 模型作为例子，研究了定常分歧图的 计算以及用拟谱方法跟踪计算解枝( 参见文献f 1 2 ，1 3 1 等) ，得到了一些很好的结 论。但是分歧图形可以用电子计算机通过数值模拟而显示出来，这样一来，如何 确定分歧点、怎样用延拓方法计算分歧点邻域内正则解枝以及如何跟踪解枝越过 奇异点等成为分歧理论数值分析的主要任务。 针对上述问题，我们研究了在发育生物学中具有广泛应用的g i e r e r ，m e i n h a r d t 模型，该模型基于一类非线性反应扩散系统，形式比较复杂而且分歧现象较为丰 富，是一个理想的模型。我们从分歧分析的角度结合数值计算研究了这个问题。 首先，我们求出了该模型的定常分歧点，然后引入l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法， 应用到该非线性微分方程得到其在分歧点附近分歧方程的解析近似表达式以及其 非平凡解的渐进表达式。接着我们分别通过有限差分方法和拟谱方法进行数值计 算，延拓得到分歧点附近非平凡分歧解。最后将理论分析结果与数值方法延拓计 算得到的结果进行比较，发现是它们几乎是一模一样的。 如下含参数的非线性问题 ，( z ，吐) = o( 1 6 ) 其中z h i l b e r t 空间x ，参数r “1 ) ，：x xr - x 是光滑映射，来 源于自然科学与社会科学的众多领域，例如压力杆的屈曲问题、单自由度强迫 g d u f f i n g 振动系统、热对流和e n l o r e n z 系统、b r u s s e l a t o r 振子系统以及上述 反应扩散系统等离散化后均可以表示为这样的形式，具有广泛的实用性，因此有 必要进行深入研究。 对于问题( 1 6 ) ，y a n gz h 等研究了当参数为多个时，针对各种高阶奇 异点( 例如高阶折叠点、横截式分歧点、音叉式分歧点等) 分别构造出相 应不同的正则扩张系统，在解枝延拓过程中通过求解这些扩张系统得到方 程( 1 6 ) 的解枝上存在的各种高阶奇异点( 具体扩张系统的定义和数值算例参 见( 3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，4 0 ，4 2 ，4 3 1 等) 。 3 非线性问题分歧分析与计算 ejd o e d e l 等研究了计算( 1 6 ) 对应的微分动力系统周期解分歧的加边系统， 系统讨论了计算不同周期解分歧的扩张系统的性质，并且以l u r e 型简单反馈控制 系统为例通过a u t o $ n c o l s y s 作了数值计算( 参见文献 1 0 ) 。 但是在方程( 1 6 ) 中参数不够多，例如许多具体非线性问题中只有一个参数， 上述正则扩张系统方法就碰到了困难。另一个困难是高阶奇异性在没有计算以前 是不清楚的，而不同的高阶奇异点要用不同的正则扩张系统来计算，所以选取何 种正则扩张系统就成了问题。 为了克服正则扩张系统方法的缺点，我们提出确定奇异性的普适扩张系统 ，( x ，a ) 、 f ( 札) = l 厶( 。，n ) = 0 ( 1 7 ) f t 西一l 这里“= ( 算，8 ) t ，2 t 是x 上的线性泛函，x = n o ，n = s p g 犯f 西。 ，i t v o = 0 意味着”。y o 。对于方程( 1 6 ) 的解枝上存在的各种高阶奇异点，普适扩张系 统f 1 7 ) 不再正则，常规的n e w t o n 迭代方法不能直接应用于求解( 1 7 ) 。为此引进同 伦参数a ，建立同伦方程 g ( u ，a ) = f ( ) 一a f ( “。) = 0 ，( 1 8 ) 这里选取“o ，使得f ( 扎o ) 隹r a n g er ( 札+ ) ，这是以概率1 保证可以取到的( 参 见 2 0 ，2 1 ，2 2 等) ，“+ = ( x + ，九，d + ) 7 是相应的高阶奇异点。 显然，当a = 1 时，方程( 1 8 ) 的解为7 3 , = o ，而当a = 0 时，方程( 1 ，8 ) 的解u = u + 就是普适扩张系统( 1 - 7 ) 的解，也就是要求解的高阶奇异点。由于 f ( u o ) 隹r a n g e r ( “+ ) ，即g a ( u + ，0 ) 譬r a n g e g 。( 扎+ ，o ) ，所以( t i , + ，0 ) 是g ( u ，a ) = 0 关于a 的一个高阶折叠点。 为了求解同伦方程( 1 7 ) ，引进拟弧长参数。和辅助方程 ( u ，a ；o - ) = 血! 。( u 一1 1 , + ) + a + ( a a 。) 一( 盯一o - + ) = o ，( 1 9 ) 这里( 乱；，h ) 是同伦方程( 1 8 ) 的一个解。例如( 铲，1 ) ，讥= d u ( a 。) 出，a = d a ( a + ) d o ，醒是也。的转置。上述拟弧长延拓方法对于折叠点的计算是极为有 效的，扩张系统( 1 8 ) ，( 1 9 ) 在整个同伦路上包括高阶折叠点( u + ，0 ) 上都是正则 的，可以用常规的n e w t o n 迭代来求解。 因此，我们便把计算方程( 1 ，6 ) 的高阶奇异点的问题转化为求解单个数量方程 a 陋) = 0 的问题。 4 非线性问题分歧分析与计算 1 3 我们的研究方法 这篇文章我们主要研究非线性问题的分歧分析与数值计算。 考虑如下非线性反应扩散方程 毗v t 三裟穷：d “v 篡， ( 1 1 0 ) i= 7 9 ( 札，u ) + 。 卜“7 相应的边界条件为 u 。( t ，0 ) = u 。( t ，7 r ) = ( ，0 ) = ( t ，7 r ) = 0 ，( 1 1 1 ) 其中 箍蓦三毫+ 譬 ( 1 1 2 ) i9 ( u ， ) = 铲一 ， 卜 a 、b * n - r 是正常数，d 为参数。 第一部分中我们首先求出( 1 1 0 ) 、( 1 1 1 ) 、( 1 1 2 ) 的定常分歧点，然后 通过变换将研究原问题的静态定常分歧转化为研究变换后新问题的平凡解分歧， 应用l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法分析得到分歧点附近分歧方程的强等价形式以及 分歧点附近的非平凡解的近似表达式，最后针对具体例子进行了数值计算，两相 比较说明了结果的有效性。 l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法( 见 6 ，1 7 ，3 8 ，3 7 ，a o 等) 的基本思想是把一个 ( 可能是) 无穷维空间中的参数方程 f ( x ，o ) = 0 ，x x( 1 1 3 ) 化为与之等价的两个方程，其中一个通常是有穷维空间中的方程，另一个可以通 过隐函数定理求解出来，将求得的解代入第一个方程可以得到保持原方程( 1 1 3 ) 分岔特性不变的较低维的所谓分歧方程。 l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法的过程大体上可以分为以下几步： 1 、空问分解设f ：x v ，其对应的线性算子为l ，则将空间分解为 其中 那么有 x = k e rl o m ，v = r a n g e l o n m = ( k e rl ) 上nx ，n = ( r a n g el ) 上 z = 咖+ uv z x ，e r ，毋k e rl ，u m 5 非线性问题分歧分析与计算 2 、方程约化定义投影算子p ：v 卜r a n g e l ，n ( 1 ，1 3 ) 等价于 fp f ( e + u ，n ) = 0 l ( i 一尸) f 妲咖+ u ，o ) = 0 3 、隐函数定理通过隐函数定理从p f ( e + u ，o ) = 0 中解出= u ( e ，o ) 。 4 、分歧方程将上面求出的u = u ( ，a ) 代入 ( 一p ) f ( 咖+ u ，a ) = 0 便可以得到分歧方程 9 ( 西+ u ，a ) = ， 其中砂是l 的共轭算子l 的零特征向量。 关于分歧问题的数值计算包括分歧点的确定、分歧解枝的延拓与跟踪 等，现在已经有了一批有效的算法和软件系统，参见【2 ，4 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 6 和 2 1 ，2 3 ，2 7 ，2 9 ，4 0 】等，但是它们并不是对任何非线性问题都适用，而且具体使 用的时候首先需要熟悉他们的一些设置，只这方面存在的困难，有时候还不如自 己编写部分算法的计算程序来的快些。因此在进行具体数值计算时我们采用比较 常用的有限差分方法和f o u r i e r 配置方法自己编程进行数值计算的。 有限差分方法是最常见的而且大家都比较熟悉的将连续问题离散化的方法， 在此就不多做说明。 配点法又称拟谱方法，它是求解微分方程特别是常微分方程边值问题中用 的较多的数值方法。它对于求解比较困难的问题，例如很多非线性问题，特 别有效而且具有很高的精度，现在流行的许多求解常微分方程边值问题的软件 包如c o l s y s c o l n e w 与a u t o 等以及分歧计算方面的工具箱c o n t e n t 、 m a t c o n t 、c l 。m a t c o n t 等都是基于分片多项式的配点法而设计的。而我们 采用的主要是f o u r i e r 拟谱方法，即所用多项式是三角多项式。 f o u r i e r 拟谱方法大体上包括两步： 1 、通过系统的解在配置点的三角插值多项式构造解的f o u r i e r 表达式： 2 、代入原方程并使其在配置点满足原方程，从而得到关于解的离散化方程，这一 步的关键包括配置点的选取以及微分算子以解在配置点的离散值形式的近似。 第二部分我们考虑计算单参数非线性问题中高阶奇异点的数值方法，基于确 定奇异点的一个普适的扩张系统，结合同伦参数的拟弧长延拓，给出了计算各类 高阶奇异点的个统一算法，数值例予表明了算法的有效性。 6 非线性问题分歧分析与计算 拟弧长方法( 见1 2 ，8 ，1 1 ，2 0 ，2 l ，4 0 1 等) 是h b k e l l e r 最早提出来的一类最 简单的扩张系统，就是在原系统的基础上再添加一个拟弧长条件，使得原来在分 歧点奇异的方程变为正则的方程，该方法对于折叠点的计算是犹为有效的。 上述问题和方法一般都要归结为多元非线性方程组的求解问题，我们主要采 用n e w t o n 方法去求解。n e w t o n 方法具有不同的变形，是目前非线性问题求解中 最常用的一类方法，素以其迭代过程中相邻两次迭代误差平方收敛而著称，但是 有个缺陷就是对迭代初值的依赖性太强。因此，对于如何选取初值，就存在一定 的技巧，这方面已经有一些比较好的方法，例如简单预估、弦预估、切线预估等 方法，可以采用，后面对于不同的问题我们选取不同的预估方法。 1 4 本文主要内容和结构 全文共分三章，余下的内容按以下方式组织： 在第二章中，我们选取发育生物学中一类非线性反应扩散方程作为主要研究 模型，该方程形式比较复杂而且分歧现象较为丰富，是一个理想的模型由于微分 方程分歧计算己经大量应用于力学、生物、化工、控制等领域，本文从分歧分析 的角度来考虑问题，结合数值计算研究了上述问题。首先，我们求出微分动力系 统的定常分歧点，接着引入l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法，得到非线性反应扩散方 程在分歧点附近的分歧方程的解析近似表达式及其附近非平凡解的渐进表达式； 然后，给出了数值例子并通过有限差分方法与拟谱方法进行了数值计算；最后， 将理论分析结果与数值计算结果进行比较，发现是完全吻合的 在第三章中，我们考虑计算单参数非线性问题中高阶奇异点的数值方法，基于 确定奇异点的一个普适的扩张系统，结合同伦参数的拟弧长延拓，给出了计算各类 高阶奇异点的一个统一算法，不同数值例子表明了算法的有效性。 7 非线性问题分歧分析与计算 第二章发育生物学中一类反应扩散方程的分歧 2 1 引言 在发育生物学中，生物形态发生的变化过程中模式形成过程通常可以通过以 下类型的非线性反应扩散方程来描述( 参见【2 4 ，2 8 】等) ： 篡三7 t 描f ( u 寡j 惹， ( 2 - ) 相应的边界条件为 u 。( t ，0 ) = u x ( t ， ) = i x ( t ，0 ) = 。( t ，丌) = 0 ，( 2 2 ) 其中 。、b 和，y 是正常数， ( 2 , 3 ) 本章共分为四个部分，后面是这样安排的。在第2 节，我们针对上述 非线性问题( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 在分歧点附近应用l i a p u a o v s c h m i d t 约化方法 ( 见6 ，1 7 ，3 8 ，3 7 ，3 0 等) 得到一些后面要用到的公式。第3 节主要是进行分 歧分析以得到非线性问题在分歧点的分歧方程及其非平凡解的渐进表达式。第4 节 主要是通过具体数值例子，得到在分歧点的分歧方程及其非平凡解的渐进表达 式。第5 节主要是对具体例子进行分歧计算得到分歧点的分歧方程及其非平凡解的 渐进表达式并分别作出了对应的分歧图。最后一节我们通过具体例子对非线性问 题的非平凡数值解和分析所得渐进非平凡解进行比较，得到结论并对该问题以后 的研究了进行展望。 2 2l i a p u n o v s c h m i d t 约化 容易求出边值问题( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 对应的定常解为 u 。= 半，驴( 半) 2“0 _ ，铷2 【广厂 令p = 乱一 l l , 0 ，q = u 一咖，把它们代入( 2 1 ) 、( 2 2 ) 和( 2 3 ) 可得 忙薅| 紫恐? 。 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 8 萨百 + 毫 n 驴 = | | ，g 凯参为 d 非线性问题分歧分析与计算 和 p 。( ，0 ) = p 。( t ，r ) = ( t ，0 ) = 啦( t ，7 r ) = 0( 2 6 ) 则我们把研究边值问题( 21 ) 、( 2 2 ) 和( 2 3 ) 的定常解分歧转化为边值问 题( 2 5 ) 和( 2 6 ) 的平凡解分歧。 从( 2 5 ) 中分离出线性项可得 y t = l ( d ) y + h ( y 1( 2 , 7 ) 其中 嘞矧r ，猁卜障l - - a - b 垛二；毽b2 1 蛐) = 黝h 鼎略一荆2 1 ( 2 s ) 当y 满足定常边爨条件m ( o ) = m ( 丌) = 如( o ) = 如( 丌) = 0 时，y = 9 ， 则l ( d ) y = 厶，这里 口：f p nc o s n x l 。 c o s n z 厶的特征方程为 即 其中 因此厶的特征值是 l 。= 犁2 二f 7 b 扣 2 t t i l 。i = 0 肛2 + 风肛+ g 。= 0 风_ ( d + ，) n 2 + 7 型警掣 g n = d n 4 + b 7 2 p 孝= + 1 n 2 堕 + f o 一1 ) b d a + 1 - h 士川瓦f = 砺 求解g 。= o ( i e p ：= o ) 可以知道 d 。= ( a + 1 ) ( b 7 2 + n 2 7 ) ( 1 一a ) b n 2 7 ( 2 9 ) 9 非线性问题分歧分析与训算 是一个定常分歧点。 另外可以计算出算子l 。的零空间为 k e r l n = s p a n 妒n ( z ) ) = s p a n ( c o s 礼z ，m n c o s n 。) t ) 其中 厶：l ( d 。) ，螈：坠垡坚善鱼坐 0 类似可知算子k 的共轭算子k 的零空间为 k e r 上：= s p a n 砂n ( x ) = s p ( c o s 礼。，a k c o s n z ) t ) 其中 = 辚+ 志 显然k 是一个指标为零的f r e d h o l m 算子。 为了后面叙述方便，这里我们引入隐函数定理： 引理1 ( 隐函数定理) 假定f ：x r _ x ，满足如下条件： ( i ) ，( z o ，a o ) = 0 ，g x ，a o 1 r ； ( i i ) 把三l ( x o ，a o ) 非奇异且其逆有界，即l l ( 拦) - 1 | | 茎m o ； ( i i i ) f ( x ，a ) 和l ( x ，a ) 在( 一，a o ) 的某个开邻域连续； 那么存在充分小的p 1 0 ，p 2 0 ，对于a ( 一p 2 ，a o + p 2 ) ，存在x ( a ) b j 。( 。o ) ，b p 。( o ) = z x | | j z x 0 | | 0 ，s ( o ) o ) o 注意：强等价保持系统分岔特性不变! 容易看出在( r ，a ) = ( 0 ，o ) ，( 2 2 4 ) 成为p n 三。( + u ，( o ，o ) ) = o 。 因为咿。k e r 上。，“，m ，所以r k = l 。，又k ：肘r a n g el 。是正则的， 则由 l n u r ( o ，0 ) = 0 ( 2 3 1 ) 可得 u ，( o ，0 ) = 0 ，( 2 3 2 ) 另外，由( 2 1 7 ) 可以得到 g r ( o ，0 ) = ( 妒n ，( d f ) ( o ，o ) ( 妒。+ u ，) = = 0 ( 2 3 3 ) 类似地， u ( o ，0 ) = 0 ，g ( o ，0 ) = 0 ( 2 , 3 4 ) 因为 ( d 2 f ) ( 。，0 ) ( 1 ，f 2 ) = 石i 0 瓦2 陋( t z l + t 2 已) + ( t l f l + t 2 已) fc ，：幻：。 2 彘 ( 。l 1 + 。2 纵= 啦。 = ( 爵膳1 1 白一书惩：凳慧1 2 肠+ ( 士咫1 2 浏) ( 2 3 5 ) 2 7 6 1 f 2 】 、。 1 3 非线性问题分歧分析与计算 其中f l l ，1 2 和2 - ，6 。分别为- 和已的元素，所以 c a 2 f ，c 。c 妒。，妒。，= i 2 ) 2 母( 口+ 。7 1 。- 。b 。m 。r z , 1 2 c o s 2 n 正) = 、2 。7 3 。c 。o 。s 。2n n z z ) ，c 。s s ， 这里 声= ( a b + 2 y 1 ) 3 ( 、a + l - b 眠) 2 应用( 2 2 5 ) ，( 2 3 2 ) 和( 2 3 6 ) ，我们可以得到 r d 2 f ( 妒。，妒。) + p , ，d f ( w ，。( o ，o ) ) = 0 k 帅( 叩) 一p d 2 f c o t o 胁n 胁) = 一r ( 筹) c 。s 一r ( ? ) e c o s 2 n x + 1 ) 一( 口7 ) ( c o s 2 n z + 1 ) + 如 由于 = 。，从而可得 l 。“，。( 。，。) = 一f ；) ( c o s 2 n x + 1 ) 下面用待定系数法求解( 2 ，3 7 ) 。假设 呻( 叩) = ( c 白lc 。o s 。2 竹n x z 柏+ c 2 ) c - = 五1m + 4 礼2 嘲) 一( 而b 7 ) 2 】 c 。= 击( 2 所丁a + l + 4 n 2 7 + 研2 鬲a - - 1 ) 这里 晚= 些訾aj 手掣i 十lj 1 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) c 4 - 1 + 两2 b m 可“【6 嘛- 2 a - 2 ) 。= ( 4 n 2 + 而a - - 1 ) ( 9 + 4 n 2 如) + 等 非线性问题分歧分析与计算 由盯c o s 3 n x d z = 0 我们可以得到 g ，：( o ，0 ) = = 0 ( 2 3 9 ) 更进一步计算可以得到( d 3 f ) ( o ，o ) ( 1 ，已，6 ) = 百石l l ( 。f 。+ 如+ t a a ) + 。- f ，+ t 。已+ 。f 。) m 。：。：。：。 = 百石陋。f 。+ t 。已+ t 。6 ) m 。：。：。：。 = ( 一器紫而) ， 皿a 。， 兵中 中( 1 ，f 2 ，3 ) = ( f 1 1 6 1 6 2 + 1 l 已2 6 l + 1 2 已1 6 1 ) 五2 干b 1 ( - f z 。3 。+ f - 2 已- 3 。+ f 1 2 已2 如。) + 3 ( 五i b 了) 2 l ：已。岛。 勋为矗0 = 1 ，2 ，3 ) 的第j ( j = l ，2 ) 个元素。 因此由f 2 4 0 ) 可戋h ( d a f ) ( o ，o ) ( 1 p 。，妒。，妒。) = ( o l c o s 3n z ，o ) t ， 这里 。= 一6 。b 4 十7 m ， ，1 ( 竺半) 2 在( r ，a ) = ( 0 ，o ) e ，( 2 1 9 ) 成为 g ，a ( o ，o ) = 由( 23 5 ) 可得 嘲叩慨冲) = ( 嚣黧c 均6c o s ( c 2 - 7 l xc 1 ) 伽彻) ( 2 ，a ，) 其中 c 5 _ 羔 c l 一而b ( c 3 + ) + ( 而b ) 2 呱c 3 j ，岛2 瓦- 而【。1 一i j 了【6 3 + 。n 6 1j + 【：丽) o n 。， c e = 丽2 b 可2 7 ( c 2 - - c 1 ) 一者( c 4 - c 3 + 螈( c 2 - c 1 ) ) + ( 刍) z 螈( c 。 非线性问题分歧分析与计算 因此我们可以得到 ，啦 ( 者) c o s 3 一( 。7 。善) c o s r = ( q + 3 c 5 + 1 2 n , , t c i ) c o s 4 礼z + ( 3 c 6 + 6 n 7 ( c 2 一c 1 ) ) c o s 2n z d z j0 = i 7 r ( n + 3 c 5 + 4 n 7 c 1 + 4 c 6 + 8 n 7 c 2 ) ( 2 4 2 ) 下面在( l 入) = ( 0 ，0 ) 处计算( 2 2 9 ) ，由于 ( 蜗) ( o 脚妒。= ( - n 2 螈o 。礼。) 从而我们有 l 。u ， ( o ，0 ) = 一只。d 足( 妒。)( 2 4 3 ) 其中l n ：m - - 4r a n g el 。是正则的。 类似地通过待定系数法我们可以得到 吣( 叩) = ( a 2 c a lc 。o 。s 。n 。x 、l ， ( 2 4 4 ) 其中 一 n 2 埘： 一扎2 a 靠a “1 一再- = f 丙药可写亏乒j _ f 丽2 一一币_ f 瓦磊j 1 虿亏r 了_ 厂丽 把它们代入( 2 2 2 ) 得 g ， ( o ，0 ) = = n 2 螈n c o s 2n x ) d x 罢札2 螈，( 2 4 5 ) 从而由( 2 3 3 ) 、( 2 3 4 ) 、( 2 3 9 ) 、( 2 4 2 ) 、( 2 4 5 ) 以及定义1 可知g ( 丁，a ) = 0 强等 价于( 参见 6 ，1 7 ，3 8 ，3 7 1 等) ： 而17 r ( + 3 c 5 + 4 孔7 c 1 + 4 c 6 + 8 n n 7 c 2