（概率论与数理统计专业论文）几类带利率风险模型的破产问题研究.pdf

摘要 本文主要运用递推方法以及鞅方法研究了三种特殊的带利率风 险模型的若干问题。 第二章讨论了连续型带利率、保费收取是齐次泊松过程的更新风 险模型。该模型是对j u nc a i ，d a v i dc m d i c k s o n l 2 3 j 中的带利率更新风险模 型的一个改进，文【2 3 】中的保费收取是常数费率连续收取。考虑到现 在许多新险种的保费收取都是随机收取的，因此本文在文 2 3 1 q a 模型 的基础上进一步假设保费收取是齐次泊松过程。首先利用鞅方法以及 递推方法推导了破产概率上界，其次分析了破产时的赤字分布，然后 讨论了破产前瞬间盈余分布满足的关系式，最后利用递推方法推导了 破产时赤字和破产前瞬间盈余的联合分布。 第三章讨论了离散型、常利率、保费收取是独立同分布序列的风 险模型。该模型假设每单位时期的保费收取是不确定的，但不同时期 的保费变量有相同的分布函数。本章主要利用递推关系式，首先分析 了该模型的生存概率满足的积分方程，其次推导了破产时赤字分布和 破产前瞬间盈余分布满足的关系式。 第四章研究了离散型，随机利率，保费收取是独立同分布序列的 风险模型。现实中，每时期的利率一般是发生变化的，因此本章在第 三章的模型的基础上进一步假设每单位时期的利率是独立同分布序 列。利用鞅方法和递推方法分别推导了破产概率上界。给出利率分布、 保费序列的共同分布函数和每时期理赔额的分布函数，代入具体数 值，计算破产概率上界，比较两种方法推导的破产概率上界。 关键词破产概率，鞅，递推方法，破产时赤字分布，破产前瞬间盈 余 i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s s e ds o m ep r o b l e m so ft h r e es p e c i a lr i s k m o d e l sw i t hi n t e r e s tb yr e c u r s i v em e t h o da n dm a r t i n g a l em e t h o d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed i s c u s s e dt h ec o n t i n u o u s t i m er e n e w a l r i s km o d e lw i mi n t e r e s t a n di t sp r e m i u mi sah o m o g e n e o u s p o i s s o n p r o c e s s t h i sm o d e li sa m e l i o r a t i o nt ot h er e n e w a lr i s km o d e lo fj u nc a i ， d a v i dc m d i c k s o n t 2 3 1 i nj u nc a i ，d a v i dc m d i g k s o n 2 3 1m o d e l ，t h e p r e m i u mi sac o n s t a n ta n dc o n t i n u o u s b u ti nr e a lw o r l d ，m o r ea n dm o r e c o m p a n i e sr e c e i v et h e i rp r e m i u ms t o c h a s t i c s oi n t h i sc h a p t e r ，w e a s s u m et h ep r e m i u mi sah o m o g e n e o u s p o i s s o np r o c e s sb a s i n gt h e r e n e w a lr i s km o d e lo fj u nc a i ，d a v i dc m d i c k s o n 【2 3 1 f i r s t ，w e d i s c u s s e dt h eu p p e r - b o u n do fr u i np r o b a b i l i t yb yr e c u r s i v em e t h o da n d m a r t i n g a l em e t h o d t h e nw ea n a l y s i st h ed e f i c i ta tr u i nb yr e c u r s i v e m e t h o d ，a n dt h es u r p l u sp r i o rt or u i n i nt h ee n d ，w ed i s c u s s e dt h ej o i n t d i s t r i b u t i o no ft h ed e f i c i ta tr u i na n dt h es u r p l u sp r i o rt or u i n i nt h em i f dc h a p t e r , w ed i s c u s s e dd i s c r e t e - t i m er i s km o d e lw i t h c o n s t a n ti n t e r e s ta n di t sp r e m i u m sa r ei n d e p e n d e n ta n dt h es a m e d i s t r i b u t i o ns t o c h a s t i cs e r i a l i nt h i sm o d e l ，w ea s s u m et h ep r e m i u m sa r e v a r i a b l ew i t ht h es a m ed i s t r i b u t i o n f i r s t ，w ed i s c u s s e dt h ei n t e g r a l e q u a t i o no ft h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yb yr e c u r s i v em e t h o d t h e nw e d i s c u s s e dt h ed e f i c i ta tr u i na n dt h e s u r p l u sp r i o r t or u i n i nt h ef o r t hc h a p t e r , w ea n a l y s i sd i s c r e t e - t i m er i s km o d e lw i t h s t o c h a s t i ci n t e r e s ta n di t sp r e m i u ma r ei n d e p e n d e n ts c r i m sw i t hs a l n e d i s t r i b u t i o n i n t e r e s t sa r eo f t e nd i f f e r e n ti ne v e r yp e r i o d ，s ow eb e t t e r m e n t t h em o d e li nt h eb a s eo ft h i r dc h a p t e r , w ea s s u m et h a ti n t e r e s t sa r e i n d e p e n d e n ta n dt h es a m ed i s t r i b u t i o ns e r i a l w eg e tt h eu p p e rb o u n do f r u i np r o b a b i l i t yb ym a r t i n g a l em e t h o da n dr e c u r s i v em e t h o ds e p a r a t e l y t h e nw ea s s u m et h ed i s t r i b u t i o no fi n t e r e s ta n dn e tl o s si ne v e r yp e r i o d ， c o m p u t i n gt h eu p p e rb o u n do f r u i np r o b a b i l i t yw i t hr e a ln u m b e r s w ec a n g e tac o n c l u s i o nt h a tu p p e rb o u n d sd e r i v e db yr e c u r s i v em e t h o da r e t i g h t e rt h a n t h o s ed e r i v e db yt h em a r t i n g a l em e t h o d k e yw o r d s ：r u i np r o b a b i l i t y , m a r t i n g a l em e t h o d ，r e c u r s i v em e t h o d ， t h ed e f i c i ta tr u i n ，t h es u r p l u sp r i o rt or u i n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材 料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明 确的说明。 作者签名： 日期：坦厶年z 月型日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学 位论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学 位论文：学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：鳓卿导师签名斗夥日期：巡年且月丛日 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 现实世界中，自然灾害和意外事故客观地存在着，但这种不幸事件何时何地 发生，致害于何人，造成何种程度的损失，通常是无法预知的。因而，对于特定 的事物而言，人们对自己是否会遭遇不幸事件，受到多大的损失，处于一种不确 定的状态。于是，不可预知和不确定性结合在一起，就构成了风险的两个方面。 在保险学中，风险通常被定义为“潜在损失的概率”或“不确定后果之间的 差异程度”等等。而在投资分析中。由于损失与盈利总是相互关联的，风险又常 被区分为纯粹风险和投机风险两种。从风险的属性来说，有入主张风险应该是客 观存在的，因而应该被客观地度量，也有人强调风险是一个因人而异的主观概念。 总之，要对风险这个概念给出一个明确的，能够被普遍接受的定义几乎是不可能 的，引用f i s c h h o f f 教授的话说：“人们对怎么定义风险的争论比对怎么度量风险 的争议还要大得多。” 用数学方法分析风险，即精算数学。它源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文，至今已有近百年的历史。风险理论中破产理论的研究既有实 际的应用背景，也有概率论上的理论基础。事实上，一类最重要的随机过程，即 p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在这篇论文中提出的。不过，l u n d b e r g 的工作 不符合现代数学的严格标准，它的严格化是以i - i a r l dc r a m e r 为首的瑞典学派完成 的，c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作奠立在坚实的数学基础之上，同时，c r a m e r 也发 展了严格的随机过程理论，现已公认，l u n d b e r g 与c r a m e r 的工作共同为经典破 产理论奠定了坚实的基础。 随着随机过程等理论的发展，继c r a m e r 之后，g e l a o c r ，g r a n d e u t 6 l 和a s m u s s e n 8 】 等人系统地论述了风险理论的思想，其后，波兰的t o m a s zr o l s k i 等人在其著作 中对这一理论进行总结推广完善，至此风险理论的研究已经进入了相对成熟的阶 段。 1 1 破产模型的历史和发展 风险理论总是与保险经济、保险精算息息相关，其中破产理论是风险理论的 一个重要组成部分，它有着实际应用背景，用模型描述保险公司在某一时刻的盈 余，分析破产概率，破产时赤字分布或者破产前瞬间盈余分布，有利于保险决策 者进行分析决策。 硕士学位论文第一章绪论 1 1 1 经典风险破产模型 经典风险破产模型是最基本，最简单的破产模型，其它风险模型都是在它的 基础上进行推广的。 在概率空间( qr ，p ) 上定义： ( 1 ) 点过程= 蛾f o ) ，n ( o ) - - 0 ( 2 ) 五) ，| = 1 ，2 是独立同分布的随机序列，分布函数为f g ) ，f ( o ) = 0 ， 均值为，方差为盯2 。 定义保险公司时间t 的盈余： u o ) ：。+ 一艺。：。+ x o ) c t z u o ) = “+一= “+ 其中甜0 表不保险公司的初始盈余，c 0 是保险公司单位时i 司征收的保险费 率，o ) 表示时刻t 为止发生的索赔次数，乙表示第k 次索赔的理赔额。 假设棚) 】= 耐，保险公司在时间段( o f 】的利润为工( f ) ，那么期望利润： e 防( f ) 】= d e 【o 犯k 1 = g 一掣，( 1 2 ) 定义相对安全系数： p = 芝警= 三一10 - 3 ) d 弘呼f 保险公司在初始盈余为u 时的破产概率、王，0 ) ，假设破产时刻 丁= 掣b o ：u ( f ) o ) 那么： 甲0 ) = p 仃 0 ，使得： 2 硕士学位论文第一章绪论 熙箬= t o - s ) 随着随机过程理论的发展，破产理论的研究方法也在不断的改进，比较经典 的是6 e r b e 一1 习的鞅方法。 1 1 2 经典风险模型的推广 经典风险模型是最简单一种保险公司破产模型，很多地方与实际情况不相符 合，所以有必要对经典风险模型进行推广。 首先用其它的点过程代替泊松过程来表示发生的索赔次数。在用齐次 p o i s s o n 过程描述索赔次数时，表示在整个业务研究时间( o ，f i 内，保单总数没有 发生变化，从而使得索赔次数的到达为一常数，它描述了时间连续、状态连续的 情况下保险公司资产盈余的状况，但在实际应用中，这种假设具有一定的局限性： 它只能解决某单一险种单一理赔的一系列问题，仅仅适用于静态不考虑保单数目 的模型。面对实际中复杂的索赔事件，则不能使用该模型进行分析。 在实际情况中，在某一时刻可能会有两次或两次以上索赔同时发生，而齐次 p o i s s o n 过程则不能描述这种情况。o r a n d e l l t 6 1 在经典风险模型其它假设不变的条 件下将索赔额到达过程( f ) 推广为具有到达强度函数五( f ) 的非齐次p o i s s o n 过 程。g r a n d e u l 6 1 弓l x t 时间刻度变换： a - 1 g ) = 乳l p l ：f a ( ，) 办s j ( 1 6 ) 相应的推广保费收入规则： 以) ：( 1 + p ) 墨鳢( 1 7 ) 最终证明了改进的破产模型的破产概率与经典风险模型的相同。 a n n a m a r i a ，o l i v i e r l 2 1 1 和t h o r i n l 2 2 1 以及g - r a n d e l l l 6 1 将( f ) 推广到更新过程，对 于普通更新过程，破产概率的主要结果： 妒o ) 2 帝高瓦刁0 - s ) 对于平稳更新过程，破产概率的主要结果： ( 1 ) 甲( o ) = 詈髟删+ ( t 一吐匀 ( 2 ) 甲o ) = 詈f ( 1 一f g ) 陋+ 詈r 甲。q 一：x l f ( z ) 她 硕士学位论文第一章绪论 其次，随着保险公司业务的日趋复杂，考虑单一险种不能很好的反映保险公 司盈余状况，人们开始研究多险种风险模型，s t u a r ta k l u g m a n l 佣f f t 方法估 计了多险种风险模型破产概率；a m b a g a s p i t i v a 1 6 l 研究了多险种风险模型下的聚 合理赔量的分布；c o s s e t t e ，m a r c e a u 1 8 1 和x u e y u a nw u ，k a mc y u e n l 6 3 l 考虑了离 散模型下多险种风险过程；董迎辉。王过京【1 9 l 以及方大凡，王汉兴【1 4 l 提出了相 关负风险和模型。 随着风险理论的发展以及实际生活的需要，人们开始考虑利率，通货膨胀等 因素对盈余过程的影响，从而建立了一系列的风险模型。j u nc a i ， d a v i d ，c m d i c k s o n | 2 3 】用鞅方法和递推方法研究了带利率的连续更新破产模型以 及利率为马氏过程时离散破产模型；r u u db r e k e l m a n s ，a n a j ad ew a e g e n a e r e l 3 6 l 研究了带利率连续破产模型的有限时间破产概率；r u im rc a r d o s o n ， h a r w a r d r w a t e r s 【4 3 1 则研究了带利率破产概率的递推关系式。d i m i t r i o s k o n s t a n t i n i d e s ，o i h et a n g ，g u r a m it s i t s i a s h v i l i l 4 5 1 分析了带利率破产模型在索赔 额分布为重尾分布函数下破产概率的表达。 除此以外，人们对破产理论还从其它方面进行了推广。最近，人们开始逐渐 研究考虑投资收益的破产理论，不过现在的研究工作还仅集中在确定性投资收益 上，涉及随机投资收益的破产理论的研究工作需要随机分析知识，难度较大，目 前是保险数学研究的主流方向。例如：z b i g n i e wp a l m o w s k i1 5 0 l 研究了考虑投资收 益破产概率的l u n d b e r g 不等式。另外，人们在研究破产模型时，还根据实际情 况在模型中加入再保险的因素，例如：d a v i d c md i c k s o n ，h o w a r dr w a t e r s t 5 4 1 分析了再保险对破产概率的影响。 g e r b e r 、g r a n d e u 以及a s m u s s e n 等人对经典破产理论研究已经非常透彻，要 进行进一步深入的现代破产理论的研究，需要更深奥的随机分析，点过程等方面 的知识，这与数理金融学有了更趋同的数学基础，这导致了保险数学与数理金融 学的交叉方兴未艾。 1 2 本文主要研究结果 ( 一) 保费收取为随机过程、带利率连续更新破产模型。带利率更新破产模型 有不少人研究过，例如j u nc a i ，d a v i d ，c m d i c k s o n e 2 3 l 研究了带利率更新破产模 型的破产概率上界，吴荣，杜勇宏【2 4 j 研究了破产时赤字分布，破产前瞬间盈余分 布，破产概率的积分式。以上作者考虑的模型都是假设保费的收取是连续均匀的 常数收取。在实际中，某些险种的保费收取不一定是连续收取，比如说万能寿险， 它的保费每次收取的时间不能确定，而且每次收取保费值也是不确定的。因此本 4 硕士学位论文第一章绪论 文对上述带利率更新破产模型进行了修改，假设保费收取为一齐次泊松过程，每 次收取的保费值仍然假设是常数。利用鞅方法和递推方法分别推导了修改后模型 破产概率的上界，并计算了破产时赤字分布函数和破产前瞬间盈余分布函数，给 出了它们满足的积分式。 ( 二) 分析离散型带利率的破产模型。分析离散型破产模型更具有实际意义， 因为某些连续型破产模型往往通过离散化计算破产概率。第三章假设每个离散时 期的利率是常数的情形。假设期初收取保费，期末发生理赔，且假设每个单位时 间收取的保费服从独立同分布随机序列，每个单位时间理赔额也是一独立同分布 随机序列，保费和理赔额是两个相互独立的随机序列。利用递推方法分析了破产 概率满足的积分式，破产时赤字分布以及破产前瞬间盈余分布。 ( 三) 分析另一种特殊离散型带利率的破产模型。第四章在第三章的基础上考 虑一种较复杂的离散型带利率破产模型。考虑到每时期的利率可能是不同的，第 四章中假设每个离散时期的利率是一随机变量，且每个时期利率变量有相同的分 布函数。利用鞅方法和递推方法分析了修改后模型破产概率的上界，给出利率分 布、保费收取服从的分布函数以及每单位时期理赔额的分布函数，代入具体数值 比较鞅方法和递推方法推导出来的破产概率上界，可以得到结论：用递推方法得 到的破产概率上界相对于鞅方法推导的破产概率上界更紧致，也就是说，在其他 条件相同的情形下，递推方法推导的破产概率上界通常小于鞅方法推导的破产概 率上界。 1 3 预备知识 本部分介绍后文涉及的概念和定理。 q 是一个集合，r 是由q 的某些子集所组成的一个盯一代数，p 是在可测空 间( q ，r ) 上定义的一个概率测度。 定义1 3 1 ：随机过程：设t 是一个指标集，又设( qr p ) 上的一族以t 为 指标集随机变量f = g ( f ，囊f t ，称孝是随机过程。其中对固定的t ，善( f ，) 是一 个随机元，即是从( q r ) 到某个可测空间( 仍) 的一个可测映射。 设f = g o ，囊f 丁 是概率空间 ，r ，p ) 上的一个实值随机过程。 定义1 3 2 ：适应：设缸；f t 是一族非降的r 的子盯一代数，使得v t t ， 有：善g ) l ，称f 对缸；f 丁) 适应。 定义1 3 3 ：鞅：g ( f ，l l ；f r ) 称为一个鞅，如果对于协f r ，且有 硕士学位论文 第一章绪论 司善( f ，爿 佃，且下式成立： e g ( f ，w 机) = f 仅w ) 0 - 9 ) 特别，当： l = 盯9 0 ，1 打s ) ( v s r )( 1 1 0 ) 时，则简称善= g ( f ，) ；f r 是一个鞅。 定义1 3 4 ：停时：设，r ，尸) 上有个非降的盯一代数族 r f ，t r ) ，一个取值 于t u + m 的随机变量r ) 称为一个相对于 r f ，t 丁 的停时，如果对v f e t ，有： p ：如) f ) r f ，若p ：如) ，) l ，则称r 是相对于 r f 的宽停时。 定理1 3 5 ：停时定理：设繇，l ；f t ) 是一个闭下鞅( 上鞅、鞅) ，其中 丁= 。，1 乃佃，t 。t t s 佃 ，又设f 盯是两个停时，则： 叫l c 佃，嗣磊i 佃 而且畿，；r r ，0 是二项下鞅( 上鞅，鞅) 。 定义1 3 6 ：m a r k o v 过程：设有概率空间( q ，r ，p ) 上的以，) 为状态空间的 随机过程孝= g ( f ，a f 丁 ，及r 的一族非降的盯一代数 r f ，f 丁 。设善对 r f ) 是适 应的，这时，称 q r ，尸，善，缸) ) 是一个以缸 为参考盯一代数族的马氏过程，如果 对v s 0 ，当h j o ，有：尸帆2 ) = o ( h ) d 有独立增量。 条件2 ：ap ( 0 = 0 ) = 1 b 有平稳增量。 c 几乎处处有序。 d 有独立增量。 条件3 ：a 尸( o = o ) = 1 7 硕士学位论文第一章绪论 b 对任意t 0 和h 0 ，当h 一0 时： p ( f 。= 1 ) = 肋+ d 伪) 和p ，。2 ) = 。o d c 有独立增量。 条件4 ：a 尸( 0 = o ) = l b 对任意正整数j ，实数0 l ( 1 一1 8 ) t = l 定义& = 0 ，我们把由：r = s u p n ：只f ) 定义的计数过程，f 2 0 ) 称作更 新过程。 定义1 3 1 3 ：更新函数：更新函数m ( f ) 定义为： m ( f ) = p ( f 后) = 尸仅- 0 ，( f ) 是更新过程，c o 表示单位时间收取保费。 那么更新破产模型为： u ( f ) = u + c t z ( f ) ，t o( 2 2 ) 本文在对该模型进行扩展，假设盈余以利息力占 0 积累，并且保费的收 硕士学位论文 第二章连续时问带利率风险模型 取是齐次泊松过程m ( f ) ，且有e 盯o ) 】= 耐。每次收取保费常数c o 。置，_ ，l 表 示第j 次保费收取的时间。初始盈余假设z f 0 ，保险公司在时间t 盈余过程( f ) 可以表示为： c ，u ：( f ) = c c n 彳( f ) + 汐，( f ) 匮靠一彪0( 2 3 ) 计算得： u 。q ) = u e a + 嚣帆) 一“ e 6 ( , - r d e8 + c p 砷呜j e l = l k = l ( 2 4 ) 令破产时刻乃= i n r t ：o ) 0 ，初始盈余为 甜 0 的破产概率，那么： 0 ) = p ( a 。) = p u 。帆( f ) o ) j 2 - 5 ) 由于破产只可能发生在索赔发生的时刻，所以破产概率也可以表示为： k q ) = p u 二帆瓴) c o ) j ( 2 - 6 ) 有限时间破产概率： o ；疗) = p u ：。帆( 瓦) ) o j ( 2 7 ) 令模型( 2 4 ) 的盈余的现值为： 以瓴) = 纯) 可吼 窆k 。讥 ( 2 8 ) 那么。有限时间破产概率等价表示为： 叱o ；曲：p 【j ：；。以瓴) ) o ，使得( e x p 【_ r 也) 胛2 0 b 是上鞅。使用估计l u n d b e r g 不等式时 鞅论的方法和上鞅的有界停时定理，可以推导出k 的上界。 q l 理2 1 假设x 和y 是两个独立的随机变量，对于任何非负或者有界的 b o r e l 可测函数f ，有： e 驴伍，r l 盯( x ) l = g ( 2 1 1 ) 其中g = 点秒g ，y ) 】是一个b o r e l 可测函数，盯似) 是x 的盯代数。也就是说， 在这样的假设下，计算e 【厂( x ，r l o ( x ) l 时，可以当x 是一常数。 在本文中，假设当o f 0 ，使得： 州一8 ( 挚班” ：l 2 ， 依据j u nc a i ，d a v i dc m d i c k s o n 2 3 1 ，引理的证明考虑函数 蚌十h 嵩_ 啦” ) 。 奴。) ：( ) + 。絮一q e 。 一e - ：豫e 饥+ e - ( 2 _ 1 4 ) = 瓴) + 以lc 艺“，一粥j k + i 8 _ i 硕士学位论文 第二章连续时间带利率风险模型 令： l = 盯k ，瓦】，对于任意的疗0 ，根据引理2 2 ， 妒蹦引啦喝嘶州母也| 豁虮k 叫h 玎毗) 十腾辄引。可圹i 叫 一佤，一置隰吨叫一 玎州t ，m _ 七鬻吨训。叫旷 = e 一 帆) 这也就意味着： e x p 【- 墨纯l 胛o b 是上鞅。 第三个不等号是由于0 i ， 第二章连续时间带利率风险模型 k 。；玎，厕阪y 坷懿一一足卜8 + 嘻e 出啼 成立。 依引理2 4 ，以及e “1 ，得 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) k 。；刀，胆阪y q 唧一足卜“+ 嘻e 如喝 q 一：， 一即 那么依据( 2 2 0 和( 2 2 5 ) k ： = r 唧卜( 孵u 角( x ) r - 4 x - s j ) 妒扩印 越助) e ( 唧h c 釜一) e - a ( x - s j ) ) 因此，对于任意的n ，( 2 2 4 ) 都成立。令甩寸m ，不等式( 2 2 0 ) 成立。 命题得证。 1 6 ( 2 2 6 ) 儿删匹一雌匹一 旷h 厂 舢 学科忡忡一雌，制牛 巾时舻舻 删皿 0 眙 料 萨 阳 啪 e f 硝p 嘤州 0 雌 悼i川印。1_ 1 罡一 5 ，i p 帕一七掣一斗 日一 ， 孵 卿p 岫 足 。 o 警m 枷胁旷吼 硕士学位论文 第二章连续时问带利率风险模型 2 3 破产时赤字分布 破产时赤字的分布状况也是破产理论的重要课题，因为它不仅关系到保险公 司的利益，而且与保户的利益息息相关。有利于保险公司决策者更好的了解公司 运营状况。本文主要利用递推方法推导破产赤字分布满足的关系式。 假设： 彬= r , - c 譬0 ) e 6 ( t , - s j ) , 训 ( 2 埘) 易知 ( 彬，z z 一。) f 1 ) 是独立同分布序列，记其联合分布函数为形 ，x ) 矿 ，x ) 7 = 户瓴= z c 竺? 0 ) e 砘训w ，蜀= 伍一t o ) 0 = f 尸一一j = m ( o ) e 岍而) w k g ) 假设初始盈余为u 时的破产赤字的分布函数r 0 ，0 ( 2 2 8 ) f 0 ，0 = p 0 仃】薯， o ，x 0( 2 2 9 ) 显然有：l i mf 0 ，0 = k 0 ) 定理2 6 ：破产赤字分布： f 。0 ，功= f 0 ，d ( 2 - 3 0 ) n = l f 0 ，x ) 表示第n 次索赔导致破产时破产赤字的分布函数，且： 玎= 1 时： 兰弑“影加) + o f h 秽拗：f p g + c 竺e 如。而) + 0 一f b 。+ c 詈e j p 而) 粉o ) q 一” 厅2 时。 f o ，d ：rr + c 啪v 芘如a + c 舡剐一s 弦g ( f ) ( 2 - 3 2 ) 证明：破产只可能发生在理赔发生的时刻，故： 1 7 鳘三苎- 矍堡堕璺妻型兰墨燮型 f “d = 尸( l ( 力一z ， 。1 2 善户帆纯) 一x , t = ) 2 否p 帆亿) 0 ，眨一。) 0 叶s 纯) o ) 2 - 3 3 ) = f 0 ，0 第n 次索赔导致破产时破产赤字的分布函数： f 缸刁= j p 帆g ) o ，纯一。) o 吖u a r ) 。) ( 2 - 3 4 1 假设第1 次索赔导致破产。已知墨：五那么： 石+ 0 ，力= 砟r - u a t , ) 0 1 = p ( - 工御喝一嘶 0 ) 2 上上p ( - x _ u e 8 一， 咖= w , x l ：枷盹r ) 2 fe ”面+ 一州1 7 ：oe “j k ( f ) 2 f | f k 8 + c 竺e 舡+ 乒f 如a + 。答，。如唧j 泓g o ) 故定理中( 2 3 1 ) 成立。 假设第2 次索赔导致破产，依据( 2 3 5 ) ，那么： 疋。x 、 = p 哆亿) o ，一x s 伍) o ) 2 嗽岛一彬o ，一x u e 吼一p 吼职 o ) = fj 户甄一彬o ， 。 一r 船科即也一p 彬一 o 阿= w ，置：f - 矿，) 2 j o j - 。芝嚣( f - , a p ( - z 獬酬“恐一e 吼w 一 一艺 。k ( f ) 2 “。躞洳z a + 。磷轳呲咐阢“” ( 2 3 5 ) 妻3 粤，聃) 的表达式依归纳假设，2 时，假设破产发生在第n 次索赔，那么： 一 1 8 塑主堂堡堡苎 苎三兰整堕堕堂型兰垦堕丝型 f 0 ，d = p ( 瓴) o 0 l x _ u 6 瓴) _ o , - - x - - u e 以一二彬e 5 喝 砚一o ， 缸。一s k 6 ) 一n - i 晔a ( r 一- r t ) 0 2 - 3 6 ) 一x - 8 一吐5 引一窆彬e 岫1 o 阿b f ) = f 矗? k 岫) 厶缸。q 归g + c 啪。如( f ) ：fr ”蹬p c 。缸a + c 臂e 4 训一以x 扮 昭 故定理中( 2 3 2 ) 成立。 命颞得证。 推论2 7 ：破产时赤字分布函数，。q ，0 满足： f 0 ，z ) ：ff + 磐嘲。f + 卜a + 镤e 如叽墨x 卜g ) d ；g ( f ) q 。7 证明：由( 2 3 0 ) 和( 2 3 2 ) 得： f 0 ，d = 石 ，x ) = z + o ，0 + r 0 ，0 = z + 0 ，x ) + 薹ff c 啪矿允缸4 + c 。v , m ，：( 5 i 仁蜘吨x 扮) = f 0 ，z ) + fr 黜 = z 0 ，0 + f “妻，缸a + 。臀。舡弓) q 扣似昭( f ) r + c 黜。f g 。a + c 乏磐e 5 鸣) 一s 4 扩( 枷( ，) 当一x y o l 寸，约定f ，d = 1 ，所以： 1 9 ( 2 3 8 ) 硕士学位论文 第二章连续时阃带利率风险模型 f 0 ，0 = f 蟛“a p c v ) d g ( t ) + ff 营岫f 卜8 + 掣e 帆) 一只x 卜g o ) ：盯4 + 警饥f h c ) e 8 ( , - s j ) _ s , x d f o ( f ) 显然( 2 3 7 ) 式成立，命题得证。 2 4 破产前瞬间盈余分布 ( 2 4 0 ) 破产前瞬间盈余是分析保险公司盈余的一个重要指标，保险公司决策者根据 破产前瞬间盈余状况，制订相关政策。本文依然利用递推方法推导破产前瞬间盈 余分布函数满足的关系式。 定义初始盈余为u ，破产前瞬间盈余分布状况函数： 日q ，x ) = p ) 以证) x ，r co 。i ( o ) = “) ( 2 4 1 ) 利用递推方法推导日( 托。x ) 满足的关系式。 定理2 8 ：破产前瞬问盈余分布函数满足： 月0 ，功= 玩0 ，d ( 2 4 2 ) 肛l 其中吃0 ，0 表示第n 次索赔导致破产时破产前瞬间盈余分布。 开= 1 时： 胛2 时： 删= 口“( 麓夏等啦叽删8 一( 2 - 4 3 ) 以0 ，z ) = ff 警岫b ( 卯+ 掣e 舡刚吨x 卜g o ) 证明：根据破产前瞬间盈余分布函数日0 ，x ) 的定义： 2 0 ( 2 4 4 ) 顽士学位论文第二章连续时问带利率风险模型 日0 ，x ) = 户帆伍) t ， m ) = 尸( 玩( o ) 暑r = ) ：妻p 帆( z ) o 以( 。) o , u ，( r d t