（运筹学与控制论专业论文）三类集值映射的（方向）导数及在优化中的应用.pdf

摘 要 本文针对研究非光滑函数的高阶算法的理论基础和集值映射的微分的计算的课题， 主 要 研究 几 类 特 殊 类型 的 集 值 映 射的( 方向 ) 导 数 的 计 算 与 近 似， 并 将得 到的 结 果 应 用 到 优化的最优性理论中.本文取得的主要结果可概括如下: 1 . 在第2 章中， 建立了 一类基于凸集对空间的 理论在t y u r i n ( 1 9 6 5 ) 和b a n k s 然后证明了拟核微分的一个 充分条件定理及一个充要条件定理; 最后讨论拟可微函数星核的存在性及方向可微 函数星微分的存在性以及 p e n o t 一 微分与上下导数之间的关系. 4 . 在第 5 章中，针对近几年发展起来的集值优化，基于 c l a r k e 切锥利用 e p i g r a p h建 立了一类集值映射的e p i 一 导数并讨论它的一些性质，同时给出集值优化的充分( 或 必要) 的最优性条件. 关键词:最优化， 集值映射， 方向导数， 线性稳定， 最优解集映射， 参数线性规划， 参数 凸 二次规划， 误差界， 次微分映射， 下局部方向l i p s c h i t z i a n ， 上局部方向l i p s c h i t z i a n ， 局部方向l i p s c h i t z i a n，凸函数， 拟微分，核拟微分， 拟核，星核，星微分，p e n o t 一 微 分， 上导数， 下导数，e p i - 导数， 集值优化， 集值分析， 集值映射的次微分， 最优性条 件， 广 义 锥 次 类凸 ，: 一对 偶， 数 乘，s - l a g r a n g e 乘 子 abs t r a c t t h i s d i s s e r t a t i o n s t u d i e s m a i n l y a p p r o x i ma t i o n s t o s p e c i a l c l a s s e s o f s e t - v a l u e d m a p s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s , i n o r d e r t o c o m p u t e d i ff e r e n t i a l s o f s o m e c l a s s o f s e t - v a l u e d m a p s a n d t o s o l v e b a s i s t h e o r i e s o f c o n s t r u c t i n g h i g h - o r d e r e d m e t h o d s o f n o n s m o o t h f u n c t i o n s . t h e n r e s u l t s o b t a in e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n a r e a p p l i e d t o o p t i ma l i t y t h e o r i e s i n o p t i m i z a - t i o n . t h e ma i n r e s u l t s o b t a i n e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n a r e s u mma r i z e d a s f o l l o ws : 1 . c h a p t e r 2 e s t a b l i s h e d d e r i v a t i v e s o f a c l as s o f s e t - v a l u e d ma p s a n d d i ff e r e n t i a l s o f s u b d i ff e r e n t i a l m a p s o f c o n v e x f u n c t i o n s i n t h e s e n s e o f t y u r i n ( 1 9 6 5 夕 a n d b a n k s u n d e r t h e a s s u m p t i o n s in t h i s c h a p t e r , r e s u l t s o b t a i n e d i s m o r e s h a r p e r t h a n o n e s o b t a i n e d i n l a s t . 3 . c h a p t e r 4 i s d e v o t e d t o t h e s t u d y o f d i f e r e n t i a l s t r u c t u r e i n q u as i d i f e r e n t i a l a n a l y s i s - q u a s i d i f e r e n t i a l s t r u c t u r e . t h i s c h a p t e r p r o p o s e s t h r e e c o n c e p t i o n s , i .e . , k e r n e l l e d q u as i d i f e r e n t i a l , s t a r - k e r n e l a n d s t a r - d i f e r e n t i a l ; a n d e s t a b l i s h e s t h e i r o p e r a t i o n a l p r o p - e r t i e s . a s u ff i c i e n t t h e o r e m a n d a s u ff i c e n t a n d n e c e s s i t y t h e o r e m f o r a q u as i - k e r n e l b e i n g a k e rne l l e d q u as i d i f e r e n t i a l a r e p r o v e n . b o t h t h e e x is t e n c e o f s t a r - k e r n e l f o r a q u asi d i f e r e n t i a b l e f u n c t i o n a n d t h e e x i s t e n c e o f s t a r - d i ff e r e n t i a l f o r a d i r e n c t i o n - a l l y d i f e r e n t i a b l e fu n c t i o n a r e e s t a b l i s h e d . t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n s u b - a n d s u p e r - d e r i v a t i v e s a n d p e n o t d i f e r e n t i a l s a r e d i c u s s e d as w e l l . 4 . i n r e c e n t y e a r s , s e t - v a l u e d o p t i m i z a t io n m a k e m u c h p r o g r e s s . i n c h a p t e r 5 , b a s e d o n c l a r k e t a n g e n t c o n e , w e e s t a b l i s h e p i d e r i v a t i v e o f a c l a s s o f s e t - v a l u e d m a p s a n d i t s p r o p e r t i e s . a n d f u r t h e r m o r e , s u f fi c i e n c y ( o r n e c c e s s i t y ) o p t i m i z a t i o n c o n d i t i o n s o f s e t - v a l u e d o p t i m i z a t i o n a r e a l s o o b t a i n e d . ke y wo r d s : o p t i m i z a t i o n , p a r a m e t r i c q u a d r a t i c c o n v e x p r o g r a m m i n g , s e t - v a l u e d m a p , d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e ; l i n e a r s t a b i l i t y , s o l u t i o n - s e t m a p , p a r a m e t r i c l i n e a r p r o g r a m m i n g , e r r o r b o u n d , s u b d i ff e r e n t i a l m a p , l o w e r l o c a l l y d i r e c t i o n a l l y l i p s c h i t z i a n , u p p e r l o c a l l y d i - r e c t i o n a l l y l i p s c h i t z i a n , l o c a l l y d i r e c t i o n a l l y l i p s c h i t z i a n , c o n v e x f u n c t i o n , q u a s i d i f e r e n - t i a l , k e r n e l l e d q u as i d i f e r e n t i a l , q u as i - k e r n e l , s 七 a r - k e r n e l , s t a r - d i f e r e n t i a l , p e n o t d i f e r e n t i a l , s u b d e r i v a t i v e , s u p e r d e r i v a t i v e , e p i d e r i v a t i v e , s e t - v a l u e d o p t i m i z a t i o n , s e t - v a l u e d a n a l y s i s , s u b d i ff e r e n t i a l , o p t i m i z a t i o n c o n d i t i o n , e - d u a l , s c a l i z a t i o n , g e n e r a l i z e d s u b c o n v e x l i k e - 1 r conee - l a g r a n g e mu l t i p l i e r 五 i 第 1章绪论 第 1 章 绪论 本章扼要给出非光滑分析与优化研究方向的一个简短的绿 述，然后再简述本论文所研究的主要专题，即集值映射的近似 或 微分) 理论， 参数数学规划的越定性分析， 拟可微分析中的徽分结 构 一 拟微分的结构及集值优化中的某些最优性理论 ( 包括集位映 射的微分，最优性条件，数乘及对偶) 虽 1 . 1 历史概述 非 光 滑分析( 美) 或不可 微分析( 欧洲)(n s a / n d a) 与优化(n s o / n d o) 随着二战后运筹/ 优化与控制( 变分问 题) 的 研究与应用的迅速发展， 在凸 分析不断完 善， 极大值函数( 极大极小问 题) 及 l i p s c h i t z 函数的微分性质与极值问题的研究不断 深入的基础上。逐步形成了一个新的研究热点， 带来 7 0 年代中的集中地系统地广泛地 研究与发展. 五六十年代较为 影晌 性与奠 墓性工作的为凸 分析， 以f e n c h e l ,r o c k a f e l l a r 等 为 代 表r o c k a f e ll a r ( 1 9 7 0 ) ， 极 大 极小 间 题， 以p s h e n i c h n y i ( 1 9 6 9 / 1 9 7 0 ) 和d e m y a n o v 1 9 7 司可以 作为 这一转折的 标志。 这一时 期直至 八十年代初， 这 一方向的研究工作十分活跃 据不完全的统计， 截至 1 9 8 0 年有 3 0 0 多篇重要的文章， 2 0 多部有关著作， 其中大部分为 七十年代后期的工作. 八十年代初期 r o c k a f e l l a r 在一 篇题 为“ s t o r y o f n o n s m o o t h a n a l y s i s ” 未 发 表的 小 短 文中 评 述了 美 欧 的 部 分 有 重要 贡 献的几位学者，当然没有包含前苏联的学者， 特别像 i o f f e 这样重要的学者. 对从事运筹 / 优化与 控制论的学者们， 如同找到一块尚未开垦的处女地， 研究工作迅速地扩展到各 个专题. 大致可分为这样几个方面( 专题) : 扩充非光滑函数类并推广相应的微分学， 参 阅h i r i a r t - u r r u t y ( 1 9 8 5 ) ; 继 续 完 善l i p s c h it z 微 分 学( 如几 何 理 论。 中 值定 理， 隐函 数 存在定理， 通过变分原理来建立极小化的f r i t z j o h n / k u h 二 一 t u c k e r 最优性条件等) 及其 应用;算法( 如 b u n d l e 方法) ，以l e m a r e c h a l 为主要代表， 主要地研究凸函数的极小 化算法， 当 然还包括s h o r 与p o l j a k 等人的 工作; 应用方面的 研究， 包括数理经济学( 如 a u b i n ) ， 控制 论( 如c l a r k e ) 以 及 大 规模 大系 统分 解间 题的 研究 等. 应 用方面的 研究 在七 十年代并不显得很突出。 到了 八十年代初以l i p s c h i t z 函数为主的 作为优化的基础理论， 相 对 地 较 为 优 美 和 完善 ， 这以c l a r k e 的 专 著( n o n s m o o t h a n a ly s i s a n d o p t i m iz a t i o n ( 1 9 8 3 ) 为 标志. 在计算上， 主要存在两个间题: 一般地说来， 次微分 ( 或 c l a r k e 意义下的广义梯度) 较大且难以确定，其运算多 以包含形式来刻画，换言之，广义方向导数较大，即 f 0 ( x : d ) f ( x ; d ) 对一阶近似的余项的结构或性态不能清楚地表达出来; 另 一个间 题是关于二阶 近似， 即二阶展开， 这将涉及到集值映射的 微分学或近似. 这 一问 题 成为自 八 十 年 代以 来 一 直 是n s a / n d a ( n s o / n d o ) 中 的 一 个核 心 研 究 课 题 本论文的第二章论述以 此间 题为背景的某些研究成果 八十年代中 期以后， 应用 的 研究成为主要的 研究课题之一， 如 c l a r k e 本人亦已 转人研究非光滑分析与优化在 控制中 的 应用 算法方面的研究比 七十年代 更加扩大和深入， 除了l e m a r e c h a l 外， 还有z o w e , k i w i e l , h u y e n , n u r m i n s k i , f u k u s h i m a 及p o lj a k 等为 代表人物 同 时， r o c k a f e l l a r , a u b i n , l e m a r e c h a l , d e m y a n o v , z o w e , x i a 并且在1 9 7 9 年将专著g a l ( 1 9 7 3 ) 翻译 成 英文出 版【 见g a l ( 1 9 7 9 ) ; 在1 9 9 5 年g a l 整理后来学者研究的成果出版专著g a l ( 1 9 7 9 ) 的 第 二 版( 见g a l ( 1 9 9 5 ) ) 六 十 年 代 后 期 参 数 规划 的 第 二 次 发展 高 峰 持 续到 七 十 年 代 末 今天我们回顾学者对参数规划稳定地不断地拓宽和加深研究范围( 理论，方法及应 用) 。 在1 9 9 3 年，g r e e n b e r g ( 1 9 9 3 ) 出 版了 一系 列 关于 灵敏度分 析的 论文， 这被认为 是 研究参数规划的第三次发展高峰， 专著 g a i 动力系统的控制间题; 分式规划问题;几何规划;整数规划;二次规划 问题. 使用参数规划的另一可能性就是把参数引进某数学规划并通过参数解决问题: 分解i可 题; 线性向量极大同题; 非凹问题;非线性问题的局部解的近似. 参数规划在实际中也被应用，见: i n p i p e l i n e i n d u s t r y ;f o r r e t u r n m a x i m i z a t i o n ;f o r c a p i t a l b u d g e t i n g ;f o r f a r m d e c i s i o n p r o b l e m s ;f o r l o t - s i z e p r o b l e m s ;i n t h e m e a t i n d u s t r y. 灵敏度分析在数学建模( 包括优化间题和控制问题) ， 经济， 工程中都扮演着非常重要 的 角 色， 见d e b r e u ( 1 9 5 9 ) , m a k a .r o v 也可见 d o n n a n s ( 1 9 8 6 ) , k l a t e ( 1 9 8 7 ) , m a l a - n o w s k i ( 1 9 8 5) , j l a n g a s a r i a n 当然，不具有半连续性是另一个原因.七 + 年末 八+ 年 代初，d e m y a n o v , p o l y a k o v a 另一方面， 将集值分析中发展的理论应用到优化中去. 在过去的二十年里， 许多学者对集值优化问 题产生浓厚的兴趣，从而使集值优化得以迅速发展。 带有集 值映射约束或集值目 标函 数的 一般优化问题与随机规划， 模糊规划和最优控 制问题等密切相关. 如果给定函数的函数值在一个特定的区 域内 取值， 那么可以 使用模 糊集里的成员函数或函数值的分布的信息来描述. 在一般情况下，概率分布或成员函数 并不需要知道，因为仅需考虑集合的整体特性. 带有微分包含的最优控制问题也是集值 优化的典型的例子， 集值优化有可能将优化中的各个领域统一起来. 集值优化从形式看 可以 认为 是标准优化( 或实值优化) 的 推广， 因 此集值优化的 理论是标准优化 或实值优 化) 理论的实质it 推广. 在集值优化理论中， 集值分析和非光滑分析是集值优化的 形成和 完善的重要工具; 反过来， 集值优化的发展又推动了集值分析的发展和完善. 无论从最优 化的理论推广和集值分析的完善， 还是从应用的角度， 集值优化都是非常重要的. 现在， 已 有许多 学者来 研究 集值优 化问 题， 例 如最优 性条件 方面 ! b o r w e i n ( 1 9 7 7 , 1 9 8 1 , 1 9 8 3 ) , o e t t l i ( 1 9 8 0 ) , c o r l e y ( 1 9 8 8 ) , l u c ( 1 9 9 1 ) , l u c 对 偶理 论p o s t o l i c d ( 1 9 8 6 ) , c o r l e y ( 1 9 8 7 ) , l u c 对于进一步的 发展及关于这一主题有一综述性专辑，由c h e n 近年来，集值分析的发展促进 了非光滑分析的发展， 但非光滑函数的一阶近似的余项的结构或性态仍不能清楚地表达 出来， 基于此， 针对非光滑优化的高阶 算法构造难的间 题， 在第2 章我们 也研究凸函 数 的 次微 分的 近似， 给出了凸函数的 次微分的( 上， 下) 局部 l i p s c h i t ， 连续性和在t y u r i n ( 1 9 6 5 ) 和b a n k s l e m a r e c h a l 同时研究了 集值 优化的最优性条件 然后，给出一种基于广义锥次类凸 型集值映射的择一性定理， 并将 r o n g 然后，针对集值映射的导数计葬的问题， 墓 于凸集对空间的理论，我们给出一类集值映射的方向导数及其相 关性质;最后，针对非光滑优化的高阶军法构造的理论基础的问 题， 在第四节我们研究凸函数的次微分的近似，给出了凸函数的 次微分的( 上， 下) 局部才向l ip s c h i t z 连续性和在 t u y r i n 夕 卯司 和b a n k s 且 g 言 ( 。 ) ， g s ( v ) 被称为 g s ( v ) c ( r - ) ， a ll 称g在x e s z 沿 方向二 e 2 ” 是 g在 x沿方向 v的导数. 第 2章集值映射的近似 下面给出的定义与上一个定义是等价的. 定义2 .2 . 2 设g为一集值映射，如果对x cq , v e r “ 和充分小的正数a存在一非空凸 19 集 对 g ( v ) , g i ( v ) 使 得 极限 lim 8 生 些 业 竺a z丝- 旦 二 色 塑=d ( - g 梦 ( v ) ) 一6 ( . g s ( v ) )( 2 . 2 .2 ) 成立，则 称g在二沿方向。 是可微的 ; 且【 g 粼的, g y ( 约 称为g在x沿才向的 导 数二 p e r c h e r s k a y a ( 1 9 8 2 , 1 9 8 6 ) 研究了 集值映 射 3| 2订 f ( x ) := : a z x 的可微性. 本章安排如下: 在第二节给出集值映射侧x ) : = 二 a z 。，e = ( 1 , 1 , . . . ， 1 ) t r - . 从( 2 . 2 .3 ) 可知 肠二 n f ( e ) = n z l击 三。 设f由( 2 .2 . 3 ) 定义， 从a m l - a m 2 知f ( x ) 是在d o m f二 x e s t l f ( x ) 0 0 上有 界的 非 退 化的 . 当h ( 劝=x 时 从a m 3 和g ( 对二f ( 对知f ( ) 在d o m f 上不 含有 多 余多面 体约 来 . 因 此巧 是有 界的 且不 含有多 余的 多面 体 约 束. 由 于 在本节 开始 我们假设】l a = ll =1 ， i = 1 , 2 , 二， 二 ， 则b m ( 叫 是寿 里的 最大内 接球 jl n a ; 在h ( p n , a ; ) 二 n z ) a t z =1 第 2章集位映封的近似 上的 一 个点 ，h ( p tv , a , ) = n z j好: 二1 是场 的 切 于b ,n ( n ) 的 一 个面 ， 其中b - ( n ) 是以原点为圆心以 n 为半径的 m维的球. 根据( 2 .3 .2 ) ，( 2 . 3 .3 ) 和( 2 .2 . 3 ) 知， 有 g 萝 ( 。 )= f ( h + ( x ; 。 ) + n , e ) g s ( v )= f ( h - ( x ; v ) +从, e ) 记氏 - 1 ( 1 ) 为由a ; r m生成空间的 补空问的单位球. 由 于h ( g i ( v ) , a ti ) 和h + ( x ; v ) 是已 知的 ， 则从，。 能由 下面 的 方 程得 到 ( h + ( x ; v ) + n x ,v ) a i + b m - 1 ( 1 ) h ( g i ( v ) , a ; ) ,=1 ， 2 , ， 几 则有 ( h 年 ( x , : ) ， 其中 i e b ; - 1 ( 1 ) n i ,。 类似地有， + n . ,v ) a i + b ; t a i 到从( x ; 明， + n . ,v : = 1 , 2 , 。 n .从不等式系统( 2 .3 .4 ) 知， ( 2 . 3 .4 ) m ax m ax 1 i ma x m a x a l a i h ( x ; v ) 一 ih 上 ( x ; v ) ， 一 b t a j 1 j 三 几 6 = b , ,. _ , 7劣 i 取裂，: = m a x m a x t i 犯，。， 1 一 a 矛 a j m a x t 。 ， 存 在y 任 t g (z + w ) ( 司满 足下 面 的系 统 ( a i , 补= ( a j , 动三h j ( x 十 o v i 任 j - ( z ) 了 任 1 , 2 ， 一 ， 二 j . ( z ) 、飞万沙、日 ( 系统 i ) h i ( x +二 1 5 大连理工大学博士学位论文 集值映射的近似及在优化中的应用王明征 证 明: 用 反 证法 . 仅 设t g (x + w ) ( u ) 的 任 一 元 素 都 不 满 足系 统1 . 对于系 统 i的 任一 解 z有 6 ( u ig ( x +。 。 ) )( u , z ) . 根据引 理 2 . 3 . 3 ， r i1 有 z= (a .r,.= )a 就 护 h ( 二 十 。 : ) 十 z , 其 中z e s p a n a i li e j . ( z ) 1 和狱 二 十 。 讨= (h i (二 十 a v ) , h 2 (x + a v ) , ， h , (x + a v ) ) 继 而 有6 ( 二 g (x + a v ) ) ( 二 ， ( a j (= 沐 j ,l (x ) ) h ( x + a v ) ) 。 根据中值定理知有 “ ( + 二 ) 一 “ ( ) + a a “，( + ;)“ ( 2 . 3 . 5 ) 其中0 “ ，( + 。 ， ; )d，)(2 .3.6) 另 一方面 ， 对任一 y e几(二 十 。 刃 动， 存在 k e几 习使得 ( 崛功 h k 二 十a 对成 、 . 令i 0l h ( : 十 。 t v ; v ) d t =( f l (a ， 二 ， v ) , f 2 ( a , x , v ) , ， 几 ( a ， 二 ， v ) ) . 从(2 .3 .5 ) 知 有 ( a k , y ) h k ( x ) + a f k ( a , x , v ) . 由 于 a j lj e j . ( z ) 是线 性独 立的 ， 则 存 在p e r 使 得 ( a i , p ) =人 ( a , x , v ) , e几( z ) 成 立 故 有( a k , y 一- p ) h k ( x ) ， 从而有( a k , y 一a ， 一: ) 0 . 由于( a j , y ) 伪( 二 + 。 : ) ，了 任 人( : ) ，则有( a j , y 一 a p 一; ) 0 , j e 几( 二 ) ， 即， y 一 a p 一 ; k g (. ) 间， 共中k g (. ) ( 劝表示g ( 司在z 的 切 锥。 这 样有( u , y 一 a p 一 : ) 三 0 _ 进而有，( 。 ， ， ) 一( 二 ， 二 ) 三a ( u , p ) .因此 。( 。 (一) 一 。(u lg (x ) : 。 (一 (a j,.(=)a 1j.(二) 关 h. (xj 10+ a tv ; v)dt) (2.3 : 从而 有 ( 2 . 3 . 6 ) 和 ( 2 .3 . 7 ) 同 时成立， 这是不可能的。导致矛质. 引理2 .3 .5 满足系统 ( 系统 i i ) 令几: (。 ) ( 二 ) 二 。 十 心( 。 ) * ( 。 必( v = 0 : j - (z ) 了.少它、.、 一一 e 二( 1 , 1 , 1 ) t e 3 2 s 故有 p ( u g i ( v ) ) (u ( a j a = )a 就 二 ) h + (x ; v ) + n ,v e ) (2 .3 .8 ) 另 一 才 面 ， 对 任 一9 e t g - (v ) ( u ) ， 存 在 k 几 ( 劝 使 得 不 等 式( a k , 9 + ) h + (x ; v ) t + 戈 ， 成 立 . 由 于 a ; i e j u ( z ) 是线 性独 立的 ， 则 存在p e 使 得( a j , p ) = h i ( x ) - h + ( x ; v ) 一 从，。 ，i e j( z ) 成 立 . 继 而有( a k , 或+ p ) h k ( x ) 。 这 样有( a ; , 蛛十 p 一 劝三。 ，i e 几( 习，i .e . ,蛛+ p - z e k g (y ) 同， 其中k g (. ) 的表 示g ( x ) 在二 的 切 锥。 这 样 ， 有 ( u , g 车 + p 一 : ) 0 ，i .e . ，( u , 9 年 ) 三( 二 ， : ) 一 ( u , p ) a 1 有 6 ( u lg . ( v ) ) 5 ( “ ， ( f l ,.cr ) a 从 ) h + (二 ; v ) + n . , , e ) ( 2 .3 .9 ) 那么有 ( 2 .3 .8 ) 和 ( 2 .3 . 9 ) 同时成立， 这是不可能的二 类似地， 我们可以证明下面的定理. 引 理2 .3 .6 l e t 几: 。 ) ( 。 ) 二 9 -g .- ( v ) 1 6 ( u ig . ( v ) ) =( 二 ， 。 一 ) ， 则 存 在贝 t g耐u ) 满 足 下面 的系 统 ( 系 统i ii )(u i u 7 ) =!足 ) 0 ，考虑方程 b ( 二 g ( x ) ) =( 。 ， : ) 6 * ( u ! g ( x + a v ) ) =( 。 y ) b ( u g ( v ) ) =( 。 ， 9 + ) b ( u g x ( v ) ) =( 。 ， 9 ) 2 .3 . 1 3 ) 2 .3 . 1 4 ) 2 . 3 . 1 5 2 .3 . 1 6 ) 从引 理( 2 . 3 .4 升 ( 2 . 3 . 6 ) 知， 有 满 足 ( 2 . 3 . 1 3 ) 一( 2 . 3 . 1 6 ) 的: ，y , , 9 车 ， 和虽分别 是下面 四个系统的解: ( a a , z ) 一 h ; (二 ) =0 , i j u ( z ) ( a a , z 卜 h ; (x + 。 : ) =0 , i e 人 ( z ) ( a t , 9 ) 一 h + ( x ; v ) 一 .n = 0 , i e j u ( z ) ( a t , 9 ) 一!h _ ( x ; v ) ， 一n=0 , i e j . ( z ) ( 2 .3 . 1 7 ) ( 2 .3 . 1 8 ) ( 2 . 3 . 1 9 ) ( 2 . 3 . 2 0 ) 下面 仅需 讨论方程 ( 2 .3 . 1 5 ) ( 其它的方 程可炎 似的 讨论) 。由于 a ; i i ej ( 司 是线性独 立的 ，则 方程( 2 . 3 . 1 9 ) 的 每个解能 表达成 9 = (a j (= )a 森) h + (x ; v ) 二 n . ,v e 1 9 , 其 中 9 e s p a n a 小: 几 ( : ) 土 ， a j , (_ ) = a 戈 (= ) a j . (= ) . 因 此 有 ( 二 :g + ( v ) )= ( 。 ， 9 年 ) =( 。 ， a j (= ) a 劝 二 (h + (x ; : ) + n . ,v e ) ) =( (a j . (二 ) 兀 劝 二 ) ) 宁 。 ， 人 ,a j t(z ) ) t u , h + (x , 。 ) + n , , e ) . 类似地， (“ g ; (v ) )一( ( a j (= )a 玖 二 ) ) t u , h , (x ; v ) + n . ,v e ) , b * (u lg (x ) )一( (a j ,.(= ) a j u (= ) ) t u , h (x ) ) , f ( u lg (x + ce v ) )一( (a j u (= ) a 玖 = ) ) t u , h (x + 。 。 ) ) 大连理工大学博士学位论文 集值映射的近似及在优化中的应用王明征 记j . ( z ) i 为人( : ) 中 元素的 个数。 a 9 有i j . ( z ) i r a n k ( a ) . 假设r a n k ( a ) = ii i , a ll 有 ib ( 二 】g ( 二 + a v ) ) 一 * ( 二 g ( x ) ) 一 a b ( u lg . ( v ) ) 一 b ( - i g s ( v ) ) l i 二1( ( a .i (= )a .h .(z ) t u , h (x + a v ) 一 h (x ) 一 。 h + (x v ) 一 h _ ( 二 ; v ) 1) 1 二i ( ( a j 、二 。喝二 ) u , 0 . ,v (a ) ) i ii (a j ( .) a 券。) 狗曰8 - w ( - ) ii 三i 梦iia i ii (lu ll ! 二 ( “ 其中厂二 m a xf s i i i i 卜 r a n k ( a ) = r a n k ( a i ) 。 从而有 is ( u !g ( x +a v ) ) 一o ( u lg ( x ) ) 一。 b ( u ig ! ( v ) ) 一b ( 二 g z ( v ) ) ! i = x ,v ( a ) 其 中丛 碧 推论 2 . 3 . 1 工沿方向 v 翼 。 ( 关 于。 是 一 致 的 ) 二 设g由俘3 . 1 ) 定义. 扣果a m1 一a m3 满足且h ( x ) 是可 微的，则g在 是可微的， 且它的 方向导 数 g s ( v ) , g z ( v ) 表达如下: g ( v ) g s ( 的 g a g 。 成立，则说集值映射f在x er 是下局部方向l i p s c h i t z 连续的。 大连理工大学博士学位 论文:集值映射的近似及在优化中的应用王明征 定 义2 .4 . 4 令v j 2 ，f为一 从r ” 到2 r 的集植映射， 如果存在正常 数c 0 使得 月x +a 刃到劝c l a v ib ，对于充分小的数。 。 成立，则说集值映射 f在 二e k n是上局部才向l i p s c h i t z 连续的 定 义2 .4 . 3 令: e 缈 ，f为 一 从r “ 到2 -r 0 的 集位 映 射， 如果 存在 正常 数。 。 对 于 充分小的数 a0 使得 f ( x ) c f ( x +a v ) +c ; a v jb f ( x 十a v ) c f ( x ) +c la v ;b 同时成s，则 说集值映射f在x fi t . 走局部方向l i p s c h i t z 连续的。 现在给出以后要用到的假设 ( a p i ) 如 果存在序 列 y y _ i d f 使得y 0 分x 十 。 : 成立， 则 有 下面的极限 li m o 2 f ( y ) 存在. ( a p 2 ) 如 果 存 在序 列 x 0 乏 ， d f 使 得x - x 成 立， 则 有 下面的极限 l i m g f ( x 0 ) s，工 二 ，d f 存在. 下面的定理给出凸函数的次微分映射的下局部方向 l i p s c h i z 性。 定 理2 .4 .5 假设a数f a-t o