（运筹学与控制论专业论文）具有非对称连接权的神经网络的稳定性分析.pdf

电子科技大学硕士学位论文 中文摘要 本文主要研究了具有非对称连接权的神经网络的渐近稳定性和指数稳 定性。全文共分为三章。 第一章介绍了神经网络的发展状况， 分析了研究非对称神经网络稳定性 的理论和现实意义。还介绍了本文的研究对象、方法和主要内容。 第二章通过构造不同的l i a p u n o v 函 数，利用m - 矩阵、0 e 一 极限 集给出 神经网络系统平衡点的渐近稳定性和指数稳定性的一些判据。 同时， 通过分 块矩阵给出了一类非对称神经网络的局部的指数稳定性， 这样系统的稳定性 仅与部分分块矩阵有关，而其余的部分可以任意取值。 第三章针对时滞神经网络的特点， 采用构造不同的泛函的方法给出了系 统渐近稳定性和指数稳定性的一系列判别准则。第一节利用co - 极限集给出 了系统平衡点的存在性并给出了其渐近行为。 第二节利用常数变易法、 矩阵 的分块及不等式分析技巧给出了系统指数稳定性的一系列判别准则。 第三节 研究了具有时滞的细胞神经网络周期解。 利用l i a p u n o v 函数、压缩映象定 理并结合不等式分析技巧， 给出了时滞的细胞神经网络周期解的存在唯一性 准则和指数稳定性的充分条件。 关 键 词:神经网 络，稳定性， l i a p u n o v 函 数， 常数变易法 电子科技大学硕士学位论文 abs t r act t h i s p a p e r i n v e s t i g a t e s t h e s t a b i l i t y o f t h e n e u r a l n e t w o r k s w i t h a s y m m e t r i c c o n n e c t i o n w e i g h t s . s o m e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s o f t h e s t a b i l i t y a r e d e r i v e d v i a c o n s t r u c t i n g a l i a p u n o v f u n c t i o n a n d u s i n g t h e m e t h o d o f t h e v a r i a t i o n o f c o n s t a n t . t h e t h e s i s c o n s i s t s o f t h r e e c h a p t e r s . c h a p t e r i g i v e s a n i n t r o d u t i o n t o t h e d e v e l o p m e n t o f t h e n e u r a l n e t w o r k , a n d h a s a n a l y s e d t h e m e a n i n g o f t h e s t a b i l i t y f o r t h e a s y m me t r y n e u r a l n e t w o r k . i t h a s i n t r o d u c e d t h e r e s e a r c h o b j e c t , m e t h o d a n d m a i n c o n t e n t o f t h e p a p e r . i n c h a p t e r 2 , b y c o n s t r u c t i n g t h e l i a p u n o v f u n c t i o n a n d u t i l i z i n g m一 m a t r ix a n d t h e c o - l i m i t s e t , s o me n e w s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s o n a s y m p t o t i c a l s t a b i l i t y o r e x p o n e n t i a l s t a b i l i t y o f n e u r a l n e t w o r k s a r e o b t a i n e d . f u r t h e r m o r e , b y d i v i d i n g t h e n e t w o r k s t a t e v a r i a b l e s i n t o s o m e p a r t s a c c o r d i n g t o t h e c h a r a c t e r s o f t h e a s y m me t r y n e u r a l n e t w o r k s , s o me n e w s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s o f e x p o n e n t i a l s t a b i l i t y a r e d e r i v e d v i a u s i n g t h e m e t h o d o f t h e v a r i a t i o n o f c o n s t a n t . i n c h a p t e r 3 , t h e s t a b i l i t y o f d n n s h a s b e e n i n v e s t i g a t e d . s o m e c o n d i t i o n s o f t h e s t a b i l i t y a r e d e r i v e d v i a l e a d i n g i n t o m a n y p a r a m e t e r s , a s w e l l a s u t i l i z i n g t h e t e c h n i q u e o f i n e q u a l i t y a n a l y s i s . b y d i v i d i n g t h e d e l a y n e t w o r k s t a t e v a r i a b l e s i n t o s o m e p a r t s , w e d e r i v e s o m e n e w s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s o f e x p o n e n t i a l s t a b i l i t y . b y u t i l i z i n g t h e c o n t r a c t i o n - m a p p i n g t h e o r e m , s o m e n e w c o n d i t i o n s a r e o b t a i n e d t o g u a r a n t e e t h a t t h e s y s t e m h a s a u n i q u e a n d g l o b a l l y e x p o n e n t i a l l y s t a b l e p e r i o d i c s o l u t i o n . k e y w o r d s : n e u r a l n e t w o r k s , a s y m p t o t i c a l s t a b i l i t y , e x p o n e n t i a l s t a b i l i t y , l i a p u n o v f u n c t i o n , m e t h o d o f t h e v a r i a t i o n o f c o n s t a n t 1 1 独 创 性 声 明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。 据我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地 方外， 论文中不包含其他人己 经发表或撰写过的研究成果， 也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 -2 -8五文 呈 牟 一 日 期: )e v s 年 i月i o 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、 使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘， 允许论文被查阅和借阅。 本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、 缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名: k i i - 导师签名: - 材姚 日 期:i 17 o 年 r 月 ，日 电子科技大学硕士学位论文 第一章引言 神经网络包括生物神经网络和人工神经网络， 而人工神经网络系统是在现代神 经生物学和神经心理学研究的基础上模仿人的大脑神经元的结构特征和功能特征 而建立 起来的 非线性系统， 它是模仿生物 脑结 构和功能的 一种信息处理系统。 对神 经网络理论的探索研究开始于本世纪 4 0年代。1 9 4 3年，美国生理学家 w . s . m c c u l lo c n 和数学家 w . a . p i tt s 首次 提出了 二值神经元模型。 神经网 络的 研究经历 了 一次热潮和一次低潮。1 9 8 2 年至1 9 8 6 年， 美国加州理工学院生物物理学家j . j . h o p fi e l d 陆 续发 表了 提出 了 几 篇 有影响 的 神 经网 络 研究 论 文。 他采 用 全 互 连神 经网 络 模型 一h o p fi e l d 神 经网 络 模型， 同 时 还 引 入 计 算能 量 函 数的 概念， 成 功 地 求 解了 数值计算机难以解决的t s p问 题， 有力的推动了 神经网 络的研究。 这些突破性的 进展， 使人们再次认识到神经网 络的巨 大潜力， 神经网 络的理论与应用的研究在国 际上形成了新的热点。 虽然目 前的 模仿还处于 低级水平， 但已 显出一些粼以 生物的 特点: 大规模并行结 构， 信息的分 布存储和并行处理，良 好的自 适应性，自 组 织性 和容 错性， 具有较强的 学习、 记忆、 识 别功能 等。 这种仿人脑结构的非线性网 络和 处理信息的 方法， 在许多方面取得了 惊人的 成效， 它能够解决数字计算机难以 解决 的某些难题。 神经网 络已 经在信号处理、 模式识别、 组织优化、 知识工程等众多领 域的 应用中 取得了引人注目的 成果。因此， 神经网络的 研究有重大的意义和价值。 保证神经网络及其学习过程的稳定性是神经网络应用中的一个非常重要的问 题。 神经网 络的 稳定性与 权值有关， 通过调整 权值， 可使神经网 络收 敛于平衡点， 从而实 现信息的存储和记忆。 在控制 应用中。 对象模型的 识别 和神经网 络的自 适 应 控制都是通过权值的调整学习实现的。 所以，我们需要研究网络的稳定性。 从生物神经网 络和工程的实现来看， 对称或非对称神经网 络的综合都是十分重 要的， 但对非对称神经网络的研究具有更重要的理论和现实意义。 一个对称的神经 网 络，当 用v l s i 实 现时，由 于工 艺的 误差， 实现出 来的网络可能是非对称的。 而 且非对称神经网络克服了网 络连接权矩阵 只限于对称矩阵的苛刻要求， 使网络设计 具有更大的自由度，更有利于工程的实现。 本 文 通 过 构 造 不同 的l i a p u n o v 函 数， 利 用m - 矩 阵 、 矩阵 的 分 块、 常 数 变 易 法 并结合。 一 极限 集、不等式分析技巧 等方法 研究了 具 有非 对称连接权的 神经网 络， 对该类神经网络进行了比 较全面地分析与 研究， 得到了神经网络的 渐近稳定性和指 数稳定性的一系列判定方法。 第 1页 共 4 9页 电子科技大学硕士学位论文 第二章非对称神经网络的稳定性 人工神经网络是模仿生物脑结构和功能的一种非线性的信息处理系统。 神经网 络由 许多称为细胞的单元组成， 是局部互连的， 具有网结构的模拟电 路， 且每个细 胞只与它的 近邻细胞有连接。 一个细胞的基本电路单元， 通常包括， 线性电 容、 线 性电 阻、线性或非线性压控电流源等这样一些线性与非线性电路元件。 对神经网络理论的探索研究开始于本世纪4 0 年代。现已经提出了许多有应用 背 景的 神 经网 络模 型。 1 9 8 2 年， 美国 加 州 理工 学 院 生 物 物理学 家h o p fi e l d 提出 了 神经网 络模型 -h o p fi e l d 神经网 络模型， 有力的 推动了 神经网 络理论的 研究， 同时 h o p fi e l d 还 引 入 计 算 能 量 函 数的 概 念， 为 神 经 计 算 机 的 研 究 奠 定了 基 础。 由 于神经网络具有分布存储， 并 行处理和自 学习的优点， 所以 在信息处理、 模 式识别、 智能控制等众多领域有广泛的 应用， 且不断找到新的用途。 神经网络由 于 其局 部的 连 接性质， 而易于超大规 模电 路的 实 现。 神经网 络的 稳定性有助于保证电 路设计以 及超大规模电路实现的正确性。 本 章 研 究了 非 对 称 神 经网 络的 平 衡 点 的 稳定 性。 通 过 构 造 不同 的l ia p u n o v 函 数， 给出系统平衡点的渐近稳定性和指数稳定性的一些判据。 2 . 1 h o p f i e l d 神 经网 络的 渐 近 稳定 性 考虑如下的神经网络 全= - d x + a f ( x 卜i d t ( 2 - 1 ) 其中 ， x 二 ( x , . x z ， 一 ， x ) r 是 神 经网 络 的 状 态 变 量 ; d = d i a g ( d , , 姚 , , d j， d ; 。 z = 1 ,2 ， 二 ， n ; i 是 神 经 网 络的 外 部 输 入 ; a 二 ( a ) ,: 是 连 接 权 矩阵 ; f ( x ) = ( f , ( x , ) , f z ( x z ) , , f ( x e ) ) t 是神经网 络的 激活函 数，并 且满足条件: 关 ( ) : r - * ( a ; , 乓 ) 第 2页 共 4 9页 电子科技大学硕士学位论文 爪) 。 c且 厂 ( 0 ) 二 。 ; 爪.) 是 可 逆 的 ， 且0 1, 厂 ()5 l , 十 ， 由 于f ( x ) 满 足 第 一 个 条 件， 可 得 f ( x ) 是 有 界 的 ， 所以 系统( 2 - 1 ) 至少存在一个 平衡 点 。 假 设x= ( 茸 ， 式 ， ， 式 ) 是 系 统 ( 2 - 1 ) 的 平 衡 点 。 对系 统 ( 2 - 1 ) 作 变 量 替 换u = x 一 x 因 此系统( 2 - 1 ) 变为: d u_ -=- ,u u+a gl “ j at ( 2 - 2 ) 。 = ( u , , u 2 , . . . , u ., ) 7 ， $ ( u ) = ( 8 i ( u ) , $ z ( u , ) , . . , s ( u , ) ) ， 8 ; 恤 ) = 关 (。 + x 1 )- f ( x , e c , ，8 , ( 0 ) 二 。 ， 且断 () 是 可逆的 ， 并 且 0 _ 0 1 , r, 二 i i , ( i , j ) e ( 几 x 几 ) u( 1 2 x 几 ) ( i, j ) e ( i , x i 2 ) u ( i 2 x 7 ,) i, j ( 2 - 4 ) 定 理2 . 1 3 2 : 如果 存在 常 数p i 0 ( i = 1 , 2 , . . , n ) ， 使 得 t p,ai=i ; 一 p! d, 0 ( y ， 0 ) ，v (o ) = 0 ， v ( y ) - 0 g (ily ll - 。 ) 沿系统( 2 - 3 ) 的解求右上导数得 d v (y ) = 艺r ( - d ,f r (y ) + 艺 a , y , ) s g n f .( y ) 二 y- 艺 p ,a l y is g n f ,. ( y ,) 一 艺p ,d ;f .( y ,) s g n f ,.( y ;) 艺艺 p ,- u , = ,j 二 11y,1 - i p ,=, 普 !: ， = y-( e p ， d 八 11 p ,a “ 一 飞一 ， ly r l 假 设 一 “ 一 m a x (菩 p ; a y 于是， 。 。 (， ) : 一 ， e ly ,l 0 ( i = 1 ,2 , 二 ， n ) ， 使得 艺 她ai l rp , y p ) s g n y ; - e艺 ; _ , ; 司 pi_ _ _ _ _ 小八 。 . 、 _ _ _ _ f ( 石u ij y j a y u 为 一 l 不而 ; l y i l 5 + yy ; ) 一 pr alr l. r=l i_r f, (y; ) 园 一 客 p ad;e if (y; )i_ f (y; ) s t p, += r i s f i ( y 囚一 y, p ; d ; i. _下一 二二 尸 l y, l 九吸 为) 与 一 当a _ 0 时， d w ( y ) _ y ( f l rp ,a u ; _ ; ; aiipidil )ly;l 0 (， 。 当a 0 时， d - w( y ) 。 ， i 二 1 .2 . . . . . . n ， 使 得 二 (、 一 会 ，+ p;l.jl 。( i = 1 ,2 , . . . , n ) ， 使 得 pei, (al 一 d l)+ lr p;l;larl 0 = 1 ,2 , . - , n ， 使 得尸 ( m y ) . x 。 十 ( 气) 认 p 是 正 定 的 。 考虑l i a p u n o v 函数 犷 ( ) = y-p iy i ( 2 - 1 2 ) 沿系统的解求导数，得， = 艺 2 p ry j - d ry j + 艺 a dd * f 1 ( x i ( t ) ) y ; ) 、 全 - 2 p ;d ,y + 全 玄 2 p ija y il i ly 川 、 i = l了 盆 = - :l j 2 p m n iy +ily il i = 1产 1 - - y y- (p im u + m jip j) iy illy l l i = 1 i = 1 第 6页 共 4 9页 电子科技大学硕士学位论文 = - y t ( p ( m y ) 。 二 。 + ( m y ) t - p ) y 0 ( 2 - 1 3 ) 因 此， 系统 ( 2 - 4 ) 是渐近稳定的， 于是 哭y ;( t ) 一 0 l im 坐 )旦二 0 ( y m次 由 系统( 2 - 1 ) 可知，x ( t ) 是有界的 则 存 在认 且 满 足 t , t, 。 所以g ) 一 极限 集0 ) ( x ) 非空。 不妨设p e c o ( x ) , .二 ，li m t = 0 0 ， 使得 li m x ( t , ) = p 将x ( t n ) 代 入系 统 ( 2 - 1 ) ， 有 d- ( t j= d t - d x ( t ) + a f ( x ( t , ) ) + i 当。 分。时，由极限的唯一性，得 - d p + a f ( p ) + i = 0 ( 2 - 1 4 ) 即 是说，p 是一个平衡点。 这就完成了定理2 .4 的证明。 注1 : 在 定 理2 .4 中 系 统 (2 - 1 ) 的 激 活 函 数 满 足 的 条 件 可 弱 化 为 “ 川 s l ; 0 ，i = 1 ,2 , . . . , n ， 使得 客 p ,a1=, “ 一 p ad , o ， ， 二 ， ，一 则系统 ( 2 - 1 ) 的 平衡点 是全局 指 数稳定的。 第 7页 共 4 9页 电子科技大学硕士学位论文 证明: 考虑l i a p u n o v 函 数 v ( y ) 二 艺川 f , ( y , ) i 由条件得 o 1 5 f (y,) sl ;会 lii=l、小 i=1 ly ,l s i p , 1l,lyjls p ,lf , )一 y (y) o 一 二 p )l, ， 三 1 1 由 ( 2 - 5 ) 和 ( 2 - 1 5 ) d v (y ) - - p :l iy ,15 - 11 v-, l ( 2 - 1 6 ) 于是 d ( e v ) = e l ,(d v + - v ) 、 。 l 夕 v (t) _ e l r v (to ) ( : to ) ( 2 - 1 7 ) 由 仅 - 1 5 ) 和( 2 - 1 7 )， 有 1lly (t)ll= 1e ly jj - 伽 il -m ) . 沿系统( 2 - 2 ) 的 解求导数， 得 d v d t 二 y2 p ,u , ( - d u , + 艺 a , g , (u , ) ) 一 t i 2 p u ,a ,g i(u, ) _ l . 2 p , d ,u 2 i = 1 m : i i 2 p ,二 ，it 7l i lv il r = e户 1 艺 2 p ,d w ,z 第 9页 共 4 9页 电子科技大学硕士学位论文 e 公(p i l j lu rl)t , (p - , l ; - lu ) i) 乏2 p ,d ;u ,2 ! y, i ( p , l , , t , p ,，一 ” )l 2(，一 “ )t.; ， 一 艺2 p ,d ;u ;2 卜i ) = 1 = y( - 2 p ,d , + y-( p iv ,l ,t .f, p , x t，一 ” )l 2 (，一 “ )t jr) ) u ;l 假设一 lu= m a x)5j5. - 2 p td i + 艺 ( p ,2 .,l 2 ., 7 ., + ， ， ，一 ” )l2(，一 、 )t .) 1 司 于是， d v矽 , 一 二 甲s - ,u乙 u ; a t压 丁 ( 2 - 1 9 ) 又因为， i lu 二 y u rs 5 i八 二 ，一 v (u ) 0， l0 l 一 m a x p ， 令 : 。 和 五 是 常 数 。 d v r - , ，u _ . - ; ， 一 产 乙“ ，一 5 - = - y 口f卫了儿 中然以是 其显所于 j / _ 餐 t 7/ l “、 一r少下 一二二e - d t 丝十 e v ) s 0 一 dt l 县 p :a l : v (t) : e jv (to ) ( t a t. ) ( 2 - 2 0 ) 可得， ilu ct)112 、 。 (，) _ to ) 第 1 0页 共 4 9页 电子科技大学硕士学位论文 因此， llu (t)ii4 1 llu (to)ile一 z ,“一。， ( : ;。) ( 2 - 2 1 ) 从而， 则系统( 2 - 1 ) 的 平衡点是全局指数稳定的。 定 理2 .8 : 如 果 存 在常 数p ; 0 ， i 二 1 ,2 ， 一 ， n ， y i , y 2 , r , e 0 ,1 ， 使 得 - 2 p ,d ,l, + y- ( p ,l 2 ,l l2,t j + ， ，“ 一 ， )l 2(1 -.2)l 2(l，一” t ,) 0 ( 2 - 2 2 ) 则系统 ( 2 - 1 ) 的 平衡点是全局指数稳定的。 证明:考虑l i a p u n o v 函数 。 (。 卜 2 , p r f “ ，二 (: )* ( 2 - 2 3 ) 沿系统( 2 - 2 ) 的解求导数， 得 d y 争。 了， _dt = 2i p ,gr(ur)du,dt - - i 2 p ,d t,u + 艺艺2 p rg ( u r) a v g .r ( u i ) - 艺 2 p ,d ,l;u , 十之 文 2 p , lg r(u r)l t y i g l (u )l : 一 玄 2 p ; d ,1 2 十 艺 公从回 认回 二 一 g . 2 p ,d l,.u ,2 + i i 2 (p r l ,l , lu r()t i (p r - l l j一 lu i l) 、 一 艺 2 p ,d ,l;u ,2 十 艺 之 (p r2, l r2y l j2y 几 + p xn -)l j2a -q )l 2(1-y )t j)u r - 艺 ( - 2 p ;d ) ,+ 1 ( p ,2 , l 2ry. l j 2y t + p , 2 (1- r,)l j 2 (,，一 、 ，l 2 (1-y ) , t r;) ) u ;2 令 一 户 一 m a xis is n - 2 p ,d ;l,. + ( p r2 l r2 l j 2 rx t g + 马 ， ，一 ” )l 2 (1- .,)l 2 (，一 ” )t ;,) 于是， 第 1 1页 共 4 9页 电子科技大学硕士学位论文 - 5 - u yu 产 a t r 1 ( 2 - 2 4) 又， d u ll - g . p ,l,u _ 2 y pf u )g ,(s )d s = v ( 2( ) 0 ， i = 1 ,2 , 二 ， n ， r , e 0 ,1 ， 使 得 - 2 p ;d il t- + 艺( p r2 , t 3 + p ; 2 (1- ) t) 0 ( 2 - 2 6 ) 则 系统( 2 - 1 ) 的平衡点是全局指数稳定的。 证明: 考 虑l i a p u n o v 函 数 ( 2 - 2 3 ) , 沿系统 ( 2 - 2 ) 的 解求导 数， 有 d y di = 一 艺 2 p rd ru rg , ( u ,) + 艺艺2 p ,g r ( u r ) a y g , ( u ; ) 5 - j 2 p rd r 一 : , (u ,) + :l :l 2 p rg r(u r)a ;g , (u ,) 、 艺 ( - 2 p d l + 艺( p , t , + p i ，一 ， )t;, ) g r (u ) 、 y ( - 2 p rd il r- + y (p rz s t , + 几 20 - 1 )t . ) 1 u r) t r 重复定理( 2 .8 ) 的 证明 过程可得定理 ( 2 .9 ) 的结论。 2 . 3一类具有非对称连接权的神经网络的指数稳定性 考虑如下的具有非对称连接权的 神经网 络 第 1 2页 共 4 9页 电子科技大学硕士学位论文 d ud t 一+ p (w u + a q ) ( 2 - 2 7 ) 其中 几 = ， u , q e 匆，a 为正 常数， w二 e 一 a m, e 为单 位矩阵，m是1 x 1 的 矩阵， u e r id ; _ u .r f ( x ) = a f小 b ( 2 - 3 1 ) 其中， 尸lesesllsel - ，口 出， ，lesesesj 1 m1w ,i 二 十 去 k im i 0 p n ( x ( 2 ) ) m q (,) w 2 )m i-i,q (,) + 厂胜十 一一 飞. x 了，.、 f ， leseseslleses、于 n0 reseses且.eseseeeeesl 一一 a 定义如下的凸集: n 一 x ix s r , ilx 一 b il q是连续映射， 且q是闭凸 集。 由b r o u w e r 不动点定理，f至 第 1 4页 共 4 9页 电子科技大学硕士学位论文 少有一个不动点x。因此 尸lesesesesesesl + .1.卫lesj 一气.，.l 门!1，十es 不 上 m ;1 1w u w z:, 十 上 w z x 0 p n ( 4 2 ) ) m 1 1 q o w i 1m - 1 q (1) + (2 -32 ) a q ( z ) j x(l)，x(:) 一 争 十 份 小 十 盼 份 响+ a q(1) 二 任 ( - x ( z ) + ry 2 t x ( l) + rv 2 2 l n ( x ( 2 ) ) + a q ( z ) = u ( 2 - 3 3 ) 因 此z是系统( 2 - 2 8 ) 的不动点。 这就完成了引 理的 证明。 假设z是系统( 2 - 2 8 ) 的 不动点。 作变换y = x 一 x， 则系统( 2 - 3 0 ) 变为 鲁一 。 1)+ w 1y (l)+ w iq (y (x) dy (z)d t 一 、 、+ w z1y (t) + w ,q n (y t,2) ( 2 - 3 4 ) 其中 ( y (1) ) y 一 ( y (21) ， y o ， 一 、y 1,y 2 , y r ) t ， y cz ) = ( y - 1 , y . 2 ， 二 ， v ) ) t ， q . ( y (2 ) ) 一 i- ( y (,z ) + x (z ) ) 一 p n ( x . ) 为得到我们的结论，我们对集合i 再分解: i = 几v 几v几 其中 1 2 二 i 。 i l x , h , ， i , = 。 月 d r x , _ h , , 1 4 = t 。 i i x ;* 0 假 定 初 始 条 件 iy , (to ) i k ( i 二 1, 2 , . . ., 1) 。 由 解 对 初 值 的 连 续 依 赖 性 ， 存 在 t ， 对 任 第 1 6页 共 4 9页 电 子科技大学硕士学位论文 意t e t, t ) 有队 ( ， ) ! 0 (11) ii( w 2 1 i w 23 ) ii w 43 ) ii ii + 2 11吼 3 1iily (3)iiz 、 任 呱 (ml ， 、 、 盖 ) 一 11不 3 11 一 iiw ,iiz , iiy (,iiz 一 (2 一 2 11w ss l卜 iiw 3 11一iiw ,ii) iiy (3)一 记 ( z - 4 1 ) 肠 = z 口 完 而 . 讽、 + 可) 一 iiw i;l1 - 11 3,112， 2 一 2 11w 33 11- iiw 3 1p - 一 !1叱 ，1!几 ， 月 1 = 一 nun 2 ( 从 ， f tz 由 定 理的 条件 ( i ) ， 可得,u 0 。由 ( 2 - 4 1 ) ， 有 登 一 、 1iiy (; ii 一 、 11、 3)iiz 2 、 11=,iiiiy (3 一 “ v 显 然 ， e ， 犷 ( ， ) : e 2 v o ve z w v ( t )( t o v ( ) 二 !12 : (t ) 1， v ( to ) e 一 z w (iz , (t ) 112 一 、 ) - iiz ,( to ) 112 b z u (- +o) . 第 1 8页 共 4 9页 电子科技大学硕士学位论文 因此， ik (t ) il _ ia ( to ll e c- ， _ iiy ( ta ) ii e - p i o k e l “ 一 、 ) , v t e t, t ) ( 2 - 4 2 ) 2 :我们将考虑如下的系统: 鲁一， + w . y (.) + w ,q r, (y (3) ( 2 - 4 3 ) 由 定理的条 件( i i ) 可得， 存在 e ( 0 , 1 ) , e _ ,u 使得 ll( w . , w z 3 ) ii 1 一 : ， ii( w 4 1 , w 43 ) il 1 - e ( 2 - 4 4 ) 由常数变易法，可得 y(2)一 、 2) (to)一( 一 (、 ，、 ) y ( , ) ( s ) q n ( y (3 ) ( s ) ) 对上面的等式两边分别取范数，有 iiy (2)ii:5 iiy (2)(0 ii“ 一 “ 一“ ， + e “ 一” ii(w z w 3)iiiiz ,(s )ild s iiy (2)(to )ii“ 一“ 一“ ， + ii(w z w - )il11 ; (to)ii 丈 一“ 一 ， 一“ 一“ )d s iiy (to)ii一 ，一 ， + ii(w z w 3)iiiiy (to)il击一 ，一 ， 兰0+ 1 一ei l( ww 3 ) ii) iiy (to ) ile 一 s u - lo) 一 y . ily ( to ) iie e(j- o) 其 中 ， : 一 十 击ii(w ,， w zs)ii 由 ( 2 - 4 4 ) 知y , 2 ， 且 iiy (z)ii 2 11y (to )ii e 一、 ) 5 k e c一 、 ) ， d t e t, t ) ( 2 - 4 5 ) 第 1 9页 共 4 9页 电子科技大学硕士学位论文 3 :我们将考虑如下的系统: 鲁一 二 4) + w 4,y (i) + w 43q i (y (3) ( 2 - 4 6 ) 和得 ( 2 - 4 5 ) 式相同的方法，可得 iiy (4)ii 二 lly (to )lle e( 4) 2 l1y (to )lle e -ol k e (- ) ， “ e it, , t ) ( 2 - 4 7 ) 其 中 ， 7 2 一 + 击ll(w ,w 4s)ll 0 ; ( i i) ll( w 2 1 , w 2 a l il( w 4 v w 4 3 ) ll f , 。 且 d v (y ) 、 一 、 ily a )ii， 一 、 iiy (3)ii1 : - p i (11y , 11, - 11y , 10 = - al , 于 z , (i、 一# ,v 用与定理2 . 1 0 相似的证明过程可得: ly ,( t ) 1 ! r ily ( tj 11e e (- a ) _ k a 6 (- b ) ， 二 ( 1 , 2 , . . ., 1 ， v t e 1, t ) 因 此 系统( 2 - 2 7 ) 的平衡点 是指数稳定的 在系统( 2 - 2 7 ) 中， 如果i = l ， 则在( 3 ) 式中: 二 。 。 则系统( 1 - 2 7 ) 可写为: - y ( 2 ) + w 2 3 岛( y ( 3 ) ) - y (3 ) + w 33 q n ( y (3 ) ) ( 2 - 4 8 ) - y (4 ) + w 4 3 几( y ( 3 ) ) 作为定理2 . 1 0 和2 . 1 1 的推论