（理论物理专业论文）faddeevjackiw方法的理论研究及其应用.pdf

摘要 摘要 本文系统地回顾了约束系统的f a d d e e v j a c k i w 正则量子化方法的历史及其 发展，详细综述了f a d d e e v j a c k i w 理论的意义与特点，给出了通常使用的 f a d d e e v j a c k i w 方法。 在引入动量为辅助场构造一阶l a g r a n g e 量的前提下，又把通常使用的 f a d d e e v j a c k i w 方法同d i r a c 方法作了数学上的严格对比，指出了在某些情况下 会出现f a d d e e v j a c k i w 方法中的约束个数比d i r a c 方法中的次级约束个数要少， 而且这会造成f a d d e e v j a c k i w 量子化结果同d i r a c 量子化结果之间的矛盾，即在 某些l a g r a n g e 量中，f a d d e e v j a c k i w 约束比d i r a c 次级约束少，而且在 f a d d e e v - j a c k i w 体制下此l a g r a n g e 量含有规范自由度，而在d i r a c 体制中却无规 范自由度。对此，本文相应地给出了改进的f a d d e e v j a c k i w 方法，使得 f a d d e e v j a c k i w 方法同d i r a c 方法保持一致。 最后本文研究了电磁场、y a n g m i l l s 场和含质量y a n g m i l l s 场以及它们的拉 氏乘子场的改进的f a d d e e v j a c k i w 量子化，得出了它们具体的正则量子化结果， 并与常用的f a d d e e v 。j a c k i w 方法和d i r a c 方法的结果进行了比较，证明了本文的 方法在这些系统中与d i r a c 方法完全等价，且它还包括了所有常用的 f a d d e e v j a c k i w 方法的优点，同时给出了拉氏乘子场的物理意义。 关键词：约束f a d d e e v j a c k i w 方法d i r a c 方法正则量子化l a g r a n g e 乘子 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ef a d d e e v - j a c k i wq u a n t i z a t i o ni s s y s t e m i c a l l yr e v i e w e da n d d e v e l o p e d w ed i s c u s ss i g n i f i c a n c ea n dc h a r a c t e ro ft h i sq u a n t i z a t i o n ，g i v et h eu s u a l f a d d e e v - j a c k i wm e t h o da n dc o n t r a s tt h eu s u a lf a d d e e v j a c k i wm e t h o dw i t ht h e d i r a cm e t h o di nd e t a i l s o nt h ec o n d i t i o n so fi n t r o d u c i n gm o m e n t aa s a u x i l i a r yf i e l d s ，f o rs o m e l a g r a n g i a n s ，t h ec o n s t r a i n t si nf a d d e e v - j a c k i wm e t h o da r ef e w e rt h a nt h es e c o n d a r y c o n s t r a i n t si nd i r a cm e t h o d ，w h i c hw i l lr e s u l ti nt h ec o n t r a d i c t i o nb e t w e e n f a d d e e v j a c k i wq u a n t i z a t i o na n dd i r a cq u a n t i z a t i o n a n df o rs o m el a g r a n g i a n s ，t h e n u m b e ro ff a d d e e v j a c k i wc o n s t r a i n t si ss m a l l e rt h a nt h a to fd i r a cs e c o n d a r y c o n s t r a i n t s ，a n di n t h ef a d d e e v - j a c k i wm e t h o d ，t h o s e l a g r a n g i a n sh a v eg a u g e f r e e d o m s ，w h i l e i nt h ed i r a cm e t h o dt h e yd o n th a v e g a u g ef r e e d o m s ，w h i c h e m b o d i e st h i sc o n t r a d i c t i o no ft h e s et w om e t h o d s t h e r e f o r e ，w ed i s c u s sa ni m p r o v e d f a d d e e v j a c k i wm e t h o dw h i c hk e e p st h ee q u i v a l e n c et od i r a cm e t h o d a tl a s t ，w eq u a n t i z et h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d ，y a n g - m i l l sf i e l da n dm a s s i v e y a n g - m i l l sf i e l da n dt h e i rl a g r a n g em u l t i p l i e rf i e l d sb ym e a n so ft h ei m p r o v e d f a d d e e v - j a c k i wm e t h o da n dg e tt h e i rc o n c r e t ec a n o n i c a lq u a n t i z a t i o nr e s u l t s t h e i m p r o v e df a d d e e v j a c k i wm e t h o d sc o m p a r i s o n sw i t ht h eu s u a lf a d d e e v j a c k i w m e t h o da n dt h ed i r a cm e t h o da r ea l s og i v e n w es h o wt h a t t h ei m p r o v e d f a d d e e v j a c k i wq u a n t i z a t i o ni se q u i v a l e n tt ot h ed i r a cq u a n t i z a t i o na n di ta l s or e t a i n s a l lt h em e r i t so ft h eu s u a lf a d d e e v j a c k i wm e t h o d m e a n w h i l e ，w ef i n dt h en e w m e a n i n g so ft h el a g r a n g em u l t i p l i e r sa n de x p l a i nt h eg e n e r a l i z e df a d d e e v j a c k i w b r a c k e t sc o n c e r n i n gt h el a g r a n g em u l t i p l i e r s k e y w o r d s ：c o n s t r a i n t ，f a d d e e v - j a c k i w m e t h o d ，d i r a cm e t h o d ，c a n o n i c a l q u a n t i z a t i o n ，l a g r a n g em u l t i p l i e r u 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 关于论文使用授权的说明 沙9 黟、s 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 期：趣里墨! 多 第1 帝，jj 苦 第1 章引言 对动力学系统的描述有位形空间中的l a g r a n g e 体制和相空间中的h a m i l t o n 体制两种形式，后者在量子理论中有更重要的作用。物理系统的运动往往受到某 些条件的约束。其约束分为两类f l 2 】：一类是在位形空间中存在的附加条件( 约 束) ，如力学中的完整约束与非完整约束，连续介质力学中的热力学关系，场论 中场变量满足某些附加条件等等；另一类是在相空间中描述系统的运动时，正则 变量间存在的关系，即系统的运动方程自身动力学过程所造成的约束关系，这不 同于前者为外加的条件，这种约束关系称为固有约束或内在约束。本文中所讨论 的内容正是针对具有固有约束关系的系统。 具有内在约束关系的动力学系统是由奇异l a g r a n g e 量描述的，这样的系统 称为奇异系统【】，对奇异系统的研究始于d i r a c 5 1 。在物理学的众多领域中都广 泛存在着奇异系统。例如相对论性粒子运动满足的质壳条件，表明动量的分量是 不独立的；用光锥描述的场是奇异系统：f e r m i 场的l a g r a n g e 量是奇异的；所有 定域规范不变的系统均是奇异系统。更为重要的是，描述自然界4 种基本相互作 用的量子电动力学( q e d ) 、量子色动力学( q c d ) 、量子味动力学( q f d ) 和 引力理论( 广义相对论，g r ) 中的l a g r a n g e 量均是奇异的，超对称、超引力和 超弦等理论中的场也都是用奇异l a g r a n g e 量描述的系统。因此，研究和处理固有 约束成为规范理论中的基本问题之一，它在现代量子理论中，特别是规范场和引 力场的量子化中占有重要地位。由于奇异系统的正则变量之间存在固有约束，故 此时初等量子力学中的量子化方法在这些系统已不适用。因此，奇异系统的基本 理论在现代物理学中，尤其是在现代量子场论中具有十分重要的位置。 对动力学系统的量子化方法主要有f 则量子化方法和路径积分量子化方法 两种。由于约束系统的广泛存在，约束系统的量子化就成为量子场论的基础课题 之一。对于奇异系统的正则形式和量子化方法的研究始于d i r a c 【5 1 ，他系统地研 究了奇异系统的约束理论和量子化并提出了d i r a c 括号，通过d i r a c 括号和量子 括号的对应从而实现系统的算符形式的量子化。然而在对y a n g m i l l s 场【6 j 进行正 则量子化中，在处理上遇到了困难。对非a b e l 规范场( y a n g m i l l s 场) ，利用路 北京i 业人学理学硕f 掌佗论文 径积分量子化则是一种有效的方案。f a d d e e v 利用f e y n m a n 路径积分首先实现了 仅含第一类约束系统的量子化【7 1 。s e n j a n o v i c 又给出了同时含第一类约束和第二 类约束的系统的路径积分量子化【8 1 ，这统称为f a d d e e v s e n j a n o v i c 路径积分量子 化方法。一般在对电磁场和y a n g m i l l s 场量子化中使用的f a d d e e v p o p o v 路径积 分量子化方法【9 】是一种建立在直观上的方法，它的理论基础f 是 f a d d e e v s e n j a n o v i c 量子化方法。l i a ol e n g 和y o n g c h a n gh u a n g 又建立了基于 d a r b o u x 变换基础之上的与最初的f a d d e e v j a c k i w 方法相对应的f a d d e e v j a c k i w 路径积分量子化方法【1 0 】。含g r a s s m a n n 数的奇异系统相应的正则量子化和路径积 分量子化方案也已给出。相对论协变的量子化理论是由 b a t a l i n f r a d k i n v i l k o v i s k y ( b f v ) 等人基于b r s t ( b e c c h i r o u e t s t o r a t y u t i n ) 对称而建立的，称为b f v 量子化方法【1 1 , 1 2 】。以上的量子化理论都是要建立在d i r a c 方法基础之上的。但最近十多年来，在对奇异系统的研究和处理中， f a d d e e v j a c k i w i l 3 2 0 】方法作为一种新的不同于d i r a c 方法的约束理论和j 下则量子 化方案逐渐发展起来，它是一套全新的处理奇异系统的理论，它给奇异系统赋予 了更为丰富的数学内涵，这种方法是本文所研究的主要的内容。 本文的结构简介如下：第2 章，我们回顾了f a d d e e v j a c k i w 方法的历史及其 发展，综述了通常使用的f a d d e e v j a c k i w 方法，然后将此方法与d i r a c 方法进行 详细对比，发现了它们之间的矛盾，最后给出了改进的f a d d e e v j a c k i w 方法；第 3 章，用改进的f a d d e e v j a c k i w 方法来量子化电磁场以及它的拉氏乘子场，并与 常用的f a d d e e v j a c k i w 方法和d i r a c 方法的结果进行了比较，同时给出了拉氏乘 子场的物理意义；第4 章，用d i r a c 方法和改进的f a d d e e v - j a c k i w 方法量子化 y a n g m i l l s 场，给出了它们量子化结果间的比较，并从另一个方面反映了 y a n g m i l l s 场量子化结果的正确性：第5 章，用改进的f a d d e e v j a c k i w 方法量子 化了含质量y a n g m i l l s 场以及它的拉氏乘子场，并给出它与常用的 f a d d e e v j a c k i w 方法和d i r a c 方法量子化结果的比较，证明了这个方法与d i r a c 方法完全等价，且它还包含所有常用的f a d d e e v j a c k i w 方法的优点，发现本文的 改进的f a d d e e v j a c k i w 方法比常用的f a d d e e v j a c k i w 方法更简单，并给出了拉氏 乘子场的物理意义：最后一章给出了总结、结论和展望。 第2 章约束系统的f a d d e e v - j a c k iw 理论及其改进 本章回顾了f a d d e e v j a c k i w 方法的历史及其发展，综述了我们通常使用的 f a d d e e v j a c k i w 方法，并将此方法与d i r a c 方法进行了详细对比，指出了它们之 间的矛盾，最后阐述了改进的f a d d e e v j a c k i w 量子化方法。f a d d e e v j a c k i w 方法 最初起源于对一阶l a g r a n g e 量系统的研究( 此处一阶l a g r a n g e 量是指系统的 l a g r a n g e 量中只含有广义速度的一次幂，而不含高次幂) 。在二维自对偶场的量 子化中，f l o r e a n i n i 和j a c k i w 提出了一种定义在位形空间中的括号( 1 9 8 7 ) 1 3 1 ， 他们利用这种括号对体系进行正则量子化。随后，f a d d e e v 和j a c k i w 从数学上阐 述这种括号的含义，较完整地论述了f a d d e e v j a c k i w 方法( 1 9 8 8 ) 1 4 1 。c o s t a 和 g i r o t t i ( 1 9 8 8 ) 1 5 1 以及g o v a e r t s ( 1 9 9 0 ) 1 6 1 分别证明了辛矩阵为非奇异时， f a d d e e v j a c k i w 方法与d i r a c 方法的等价性。 所有自旋为壳2 的粒子( f e r m i 子) ，包括中微子、轻子、重子和夸克，它 们都是用d i r a c 旋量场来描写的。在量子理论中，旋量场是反对易的，f e r m i 场 算符的经典对应为g r a s s m a n n 数，而b o s e 场算符的经典对应为c 数。前面的 f a d d e e v j a c k i w 方法都是对应c 数的。所以要对f e r m i 场进行f a d d e e v j a c k i w 量 子化，必须将f a d d e e v j a c k i w 理论推广到g r a s s m a n n 数系统。因此g o v a e n s ( 1 9 9 0 ) 将f a d d e e v j a c k i w 方法推广到了含g r a s s m a n n 数的系统中。而对于辛矩阵非奇 异，f a d d e e v j a c k i w 方法同d i r a c 方法的等价性后来也被g a r c i a 和p o n s 证吲1 7 j 。 这是早期的f a d d e e v 。j a c k i w 方法，它是完全建立在d a r b o u x 变换基础之上的，但 是实现d a r b o u x 变换比较困难，于是b a r c e l o s n e t o 和w o t z a s e k ( 1 9 9 2 ) 1 1 8 , 1 9 1 提 出了一套比较简单的、回避了d a r b o u x 变换的f a d d e e v j a c k i w 方案。这是人们通 常使用的f a d d e e v j a c k i w 方法 1 8 - 2 0 】，但这种方案是有一定缺陷的，它并不绝对同 d i r a c 方法保持一致。 上面所讨论的都是有限自由度系统的f a d d e e v j a c k i w 方法，但并不是所有物 理系统都是有限自由度的，在量子场论中的经典对应系统都是与场变量相关的系 统。所以，作为一种处理物理系统内在约束和量子化的普遍方法，其必然要被推 广到场论中去。我们可以做个简单的处理就可把有限自由度系统过渡到场系统的 北京t 、i k 大学理学硕l ：学位论文 f a d d e e v - j a c k i w 方法。 由于f a d d e e v j a c k i w 方法具有方法简单、计算量少、不需区分第一类和第 二类约束、几何意义明显等优点，自提出以来，已被用于许多系统的量子化，如 自对偶场【2 i 】、电磁场【1 9 】、y a n g m i l l s 场【1 9 】、非线性仃模型【2 2 1 、w z w 模型 2 3 , 2 4 】、 超对称【2 5 , 2 6 】、超引力例以及其它一些重要的物理系统 2 8 - 3 1 】。且这些系统的 f a d d e e v j a c k i w 量子化结果同d i r a e 量子化结果是一致的。 2 1 通常使用的f a d d e e v - d a c k i w 方法 由于最初的f a d d e e v j a c k i w 方法是完全建立在d a r b o u x 【3 2 】变换基础之上的， 但d a r b o u x 变换并不容易处理，所以实际使用时，并不采取这种方法。一般处理 约束系统比较有效的f a d d e e v j a c k i w 方法是由b a r c e l o s n e t o 和w o t z a s e k 1 8 , 1 9 提 出来的，他们的方法回避了d a r b o u x 变换，使得f a d d e e v j a c k i w 方法的使用变得 更为方便有效，这就是人们通常使用的f a d d e e v j a c k i w 方法。 这罩将他们所提出的通常使用的f a d d e e v j a c k i w 方法进行综述。 假设一般的一阶l a g r a n g e 量为 l = 露i ( 孝) 孝。一y ( f ) ，i = l ，理， ( 2 一1 ) 其微分形式为 l d t = 踺j ( 孝) d 孝一v ( 善) d f ， ( 2 - 2 ) 这里孝为辛变量，a ，( 孝) d 孝。称为正则1 - f o r m ，y ( 善) 为辛势。 f a d d e e v j a c k i w 方法是从一阶l a g r a n g e 量出发的，但这并不是一个严格的限 制。很多物理系统都是由二阶或高阶l a g r a n g e 量描述的，对此类系统我们可以 引入辅助场来扩大位形空间，将l a g r a n g e 量转化为一阶l a g r a n g e 量。通常我们 使用勒让德变换，引入正则动量为辅助场。 把( 2 1 ) 代入欧拉方程得运动方程为 善，= 詈川川。( 2 - 3 ) 对于辛矩阵怃) 有两种情况存在： 第2 章约束系统的f a d d c c v j a c k i w 理论及其改进 ( 1 ) 辛2 - f o r m f 非退化，也就是) 非奇异，其可逆： ( 2 ) 辛2 - f o r m fj , 区_ q 6 ，也就是怃) 奇异，其不可逆。 一、辛矩阵非奇异时的f a d d e e v j a c k i w 方法 当怃) 可逆时，方程( 2 3 ) 等f f t t ： 善7 = 厅1 詈。 ( 2 - 4 ) 从内蕴分析力学【3 7 - 4 2 1 的角度，如果辛2 f o 姗非退化，那么这就使得拉氏量 中辛变量所构成的流形构成一个辛流形，加上辛流形上的辛势y ( 善) ，那么在几 何中可以证明，辛流形上自然就应该存在( 2 4 ) 这样一个运动方程( 见数学附录) 。 这也是为什么f a d d e e v j a c k i w 方法也称为辛方法的原因，数学上f a d d e e v j a c k i w 方法是建立在辛几何 3 7 - 4 2 1 的基础之上的。 那么在此方法中，可定义广义括号为 ，孝7 】。= 后1 ， ( 2 _ 5 ) 任意两个力学量f g ) 和g 皓) 之间的广义括号定义为 f ( n g ( 纠= 善 孝，孝饥虿o g = 虿o f 后1 虿o g ， ( 2 - 6 ) 本文按照e i n s t e i n 规则，对重复指标进行求和，后文不再重复强调。则( 2 4 ) 可写 为 善吡。以筹咄m 。，( 2 - 7 ) d 亡 这就是用广义括号表示的体系的运动方程，且广义括号在f a d d e e v j a c k i w 理论中 的作用相当于d i r a c 理论中的d i r a c 括号。 在用f a d d e e v j a c k i w 方法进行正则量子化时，其步骤如下： 1 系统的量子态用h i l b e r t 空间的态矢甲描述； 2 经典理论中的任一力学量f ( f ) ，在量子理论中相应于h i l b e r t 空间一算符 户( 占) ，且 北尿l e 犬芋埋罕坝t 亨1 证论又 户( 芋) ，e ( 乎7 ) = i 壳 f ( 善) ，g ( 孝7 ) ) i 善_ 善，( 2 - 8 ) 尤其有 裾砧f 壳蜕 l = f 蛳1 l ， ( 2 - 9 ) 这便是f a d d e e v j a c k i w 方法中的量子化规则，它不同于d i r a c 方法必须在相空问 体制下，f a d d e e v j a c k i w 量子化是建立在辛空间中的量子化； 3 态矢甲随时间的演化由s c h r s d i n g e r 方程确定 i ha v：宜甲，(2-10) o t 其中由为哈密顿算符。 通过广义括号与量子对易式的对应，便可完成算符形式的正则量子化。这便 是辛矩阵非奇异时的f a d d e e v j a c k i w 正则量子化过程。 但是当辛矩阵( 厶) 奇异时，由于其没有逆矩阵就不能如同前文所述那样建立 广义括号进行量子化。而从几何的角度，辛矩阵( 厶) 奇异时将破坏流形的辛结构。 对这样的情况，体系在f a d d e e v j a c k i w 方法中存在固有约束。下面我们将系统阐 述，当( 厶) 奇异时f a d d e e v - j a c k i w 方法将如何处理约束和进行量子化7 。1 9 1 。 二、辛矩阵奇异时的f a d d e e v j a c k i w 方法 为了后文叙述方便，我们将前文中的辛矩阵怃) 记为。) ，辛变量f 记为 孝们，辛势v ( 4 ) 记为y o ( f o ) ，以表示各量的初始值。 当辛矩阵。) 奇异时，可设其秩为r ，则。) 有历= 刀一尺个零本征矢( 零 模) l ，? ，( a = 1 ，m ) 。 ( ) 1 ( 名) = 0 ，( 2 - 1 1 ) 将体系的运动方程( 2 3 ) 两端左乘零本征矢( 哆) 1 ，得： q 蚓硝筹：o o p t 2 ， q ( o 便是在f a d d e e v j a c k i w 方法中的第零级约束，它是由运动方程( 2 3 ) 的动 第2 簪约柬系统的f a d d e e v j a c k i w 理论及其改进 力学过程所造成的，所以它是内在约束。通过( 2 1 2 ) 可以进一步找到更多的次级 约束，但f a d d e e v j a c k i w 方法并没有如同d i r a e 方法那样直接使用稳定性条件产 生次级约束，这点我们在后文将讨论，在f a d d e e v j a c k i w 方法中使用稳定性条件 求次级约束才是严格的方法。 与d i r a c 方法中把初级约束乘以拉氏乘子后加到正则哈密顿量h 。上形成总 哈密顿量h 1 的方法不同，在f a d d e e v j a c k i w 方法中，约束乘以拉氏乘子后，被 加到一阶拉氏量的正则1 - f o r m 部分，从而对原来奇异的辛2 - f o r m 产生“变形 ( d e f o r m a t i o n ) ”，以期能得到非奇异的辛2 - f o r m ( 非奇异的辛矩阵) 。如果得到 的辛矩阵可逆，则我们就可以定义广义括号对体系进行量子化了。 将约束q ? 乘以l a g r a n g e 乘子，7 7 后加到l a g r a n g e 量( 2 1 ) 中，并将辛势 y o ( f ) 中含的q ? 全部强等于0 ，那么得到新一级l a g r a n g e 量为 心”= 口；o ) ( 孝0 ) 善h + q 刁? 一y 1 ( 孝o ) ， ( 2 - 1 3 ) 其中v o ) ( 孝。) = y 。( 孝。) i q ，) _ o ，即y n ( 孝o ) 是令y 。( f 。) 中的q ? 全部强等于0 而得到的。这样一个过程，可以认为是将v o ( 孝o ) 拆分成矿“( 善) 和q ? 7 两 部分，所以应令约束在辛势中的部分强等于0 。 我们将l a g r a n g e 乘子7 7 7 看作一个新的辅助动力学变量鸳对时间的导数， 即作置换樱专猡，那么( 2 - 1 3 ) 变为 0 = a 。t ( ) 。+ q 罗凹一y n ( ) ， ( 2 1 4 ) 把辅助的动力学变量鸳也视为辛变量，扩展辛变量集为 = ，旯) 。 ( 2 1 5 ) 与心d 相应的正则1 - f o r m 的分量为 行= 疗；o ) ( ) ，i = 1 棚 口，：q ? ，( 孝c 。，) ， 口：1 ，m 2 - 1 6 这样新一级的辛矩阵为 北京t 业大学理学硕i j 学位论文 肛芳一筹乩卅吣 p ( 2 1 7 ) 为一个( 行+ m ) 阶矩阵，写为矩阵分块的形式为 ( 蟛) = 其中露即为原来奇异的辛矩阵 ( ) 一( 别 ( 2 1 8 ) = 方o a ( o ) 一筹， 7 = 1 ， p ( 筹卜斛 那么( 2 1 4 ) 的运动方程为 孢p a q 等 a f o 1a f o 1 孢， m m a 孝o ”a f o ” 抽f ii ，) 尹矿= 筹。 ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) 这样，又可以对新一级的辛矩阵；! ) 进行讨论，当其为非奇异，方程( 2 2 1 ) 可改写为 尹 叫) - 1 筹， ( 2 - 2 2 ) 于是类似于前文的讨论，可定义广义括号为 妒 ，】。= 臂卜1 ， ( 2 - 2 3 ) 这样使用广义括号与量子对易式问的对应关系，便可以完成正则量子化。 如果；! ) ) 仍为奇异矩阵，那么同样可以通过其零本征矢得到更新一级的约 笙秽 o | i 笙掣 束关系，然后相似地引入l a g r a n g e 乘子构造新的l a g r a n g e 量，得到更新的辛矩 阵与运动方程，再讨论更新一级的辛矩阵的奇异性。如此，不断地进行下去，直 到不能得到新的约束关系为止。上述便是通常使用的f a d d e e v j a c k i w 方法生成约 束的过程。 这样一个算法过程到最后截断，也就是没有新的约束关系产生，会有两种情 况出现： i ) 最后算法过程截断时，所得到的_ z 级辛矩阵( 秽) ( i 删eh 级l a g r a n g e 量处算法截断) 为非奇异的，那么求出h 级辛矩阵的逆( e ( h ) ，构造广义括号 善曲，善h ) _ = 锑卜1 ，相似地使m ? - y 括号与量子对易式间的对应关系便可以 完成正则量子化。 i i ) 最后算法截断时，所得到的 z 级辛矩阵( 岁) 仍为奇异的，那么这种情况 表明体系存在规范对称性，需要引入规范条件固定规范。 f a d d e e v j a c k i w 方法对规范条件的引入也不同于d i r a c 方法。在 f a d d e e v - j a c k i w 方法中，规范条件是对初级l a g r a n g e 量中的辛势部分引入的。 v o j 旷= y o + ， ( 2 2 4 ) 0 。d f 一香。d f = 疗；。( f 。) d 孝。h v + c 七，咒，= 0 ， ( 2 4 5 ) 由于上式中的矩阵( ) 是可逆的，所以有 旯膏= 一- 1 b ，红 ， ( 2 4 6 ) 于是将( 2 4 6 ) 再代入( 2 - 4 4 a ) 和( 2 4 4 b ) q b ，可得 口7 = ( 口7 ，厶乞 一 口i ，吼 c ：( b ，厶乞 ， ( 2 4 7 a ) 声j = ( b ，以) 一【p j ，吼) c ：( 已，4 ， ( 2 4 7 b ) ( 2 - 4 7 ) 同( 2 4 3 ) 是完全等价的。所以( 2 - 4 7 ) n ( 2 4 3 ) 一样可以推出d i r a c 括号。 我们假设体系有7 一r 个d i r a c 初级约束 巴= 砟一g p ( q ，r ) = 0 ，( p = r + 1 ，刀；，= 1 ，1 7 ；臼= l ，月) ， ( 2 4 8 ) 这罩1 7 是系统自由度的个数，r 是系统l a g r a n g e 量的h e s s i a n 矩阵的秩。那么剩 - fh 一( 一r ) 个次级约束和规范条件。 啡( 口，或) ：o ，( 厂= 力+ 1 ，五+ 月) ， ( 2 - 4 9 ) 那么( 2 4 4 ) n - 写为 口口：舻，以) + 舻，巳 + 舻，g ) ，( 2 - 5 0 a ) 4 p = a p ， ( 2 。5 u b j 或：_ 【段，红 + 旯p ( 色，嘭 + 旯7 段，嘭) - ， ( 2 5 0 c ) 以：以 + a p 巳 + 兄7 吵 ( 2 删) 或：雪p ( a 7 ，p 口) ， ( 2 _ 5 0 e ) 矽：0 ， ( 2 - 5 0 t 3 y 其中p , 3 ：月+ 1 ，门：口= 1 ，月；y = n + l ，白+ 月。 把( 2 5 0 b ) 代入到( 2 5 0 a ) 、( 2 - 5 0 c ) 和( 2 5 0 d ) 中去，用g p 代替乘子旯户。然后把 ( 2 5 0 e ) 代入至i ( 2 - 5 0 d ) 中去，那么可以消去岛，于是得到一个与( 2 5 0 ) 等价的方程 组 一或彬而o g p 卅筹= 等， ( 2 - 5 1 a ) 一等nc 等一弘瓦o g 段卅孑= 塑o q # ( 2 - 5 1 b ) n 口p 薏卅薏= 豢， ( 2 - 5 1 c ) 嘭：0 。 ( 2 。5 1 d ) 如果用- o r 替换旯，那么实际上方程组( 2 - 5 1 ) 就是l a g 舢g e 量 ：段口a + 郇( q j ，以) 口p + g 力7 一皿( 口7 ，段) ， ( 2 5 2 ) 的e u l e 卜l a g r a n g e 运动方程，于是( 2 - 5 1 ) 可以用矩阵形式表达为 第2 帝约束系统的f a d d e e v j a c k i w 理论及j e 改进 一斟。 r ( 口) 1 吲2 a h c a 口 a h c a p o ( 2 - 5 3 ) 这里，o 同上一节中的，o 有相同的含义。 ( 2 - 5 3 ) 的系数矩阵必是可逆的，因为导出它的线性方程组( 2 5 0 ) 是有唯一确定 解的，因此( 2 5 3 ) - i 以像f a d d e e v j a c k i w 方法那样使用此矩阵的逆定义广义括号， 它同d i r a c 括号( 2 4 2 ) 是等价的，因为( 2 5 3 ) 匾j 推出括号关系( 2 4 2 ) 的运动方程是 等价的。不过( 2 5 3 ) 中少了变量p 。，在前文( 2 - 5 0 ) 到( 2 5 1 ) 的过程中我们用 g p ( 口7 ，以) 代替了b ，因此，我们再通过( 2 5 3 ) 所定义的括号关系中把b 看作函 g a ( q i , 坟) 便可以得到关于b 的d i r a c 括号关系 b ，f ( q i , 以，纬，) 。= g p ( q i , 以) ，f ( q i , 以，g ，( 口7 ，段) ) d ， ( 2 - 5 4 ) 把d i r a c 括号作这样的一个处理可使我们同f a d d e e v j a c k i w 括号作对比研究变得 更加方便。 现在我们回到f a d d e e v j a c k i w 方法中继续对问题进行讨论。 假设在f a d d e e v j a c k i w 方法中对一个系统，经过z 步，我们得到和引入h 个 f a d d e e v j a c k i w 约束和规范条件，那么最后得到的z 级l a g r a n g e 量为 = 段4 口+ g p ( q i , 段) 口p + f 2 r , 疗r h 。c z ( 口j ，段) ，( 厂= 1 ，h 7 ) 。 ( 2 - 5 5 ) 当然，这里我们也假设在f a d d e e v j a c k i w 方法的每一步中都没有变量被约 去。那么( 2 5 5 ) 的e u l e r - l a g r a n g e 运动方程为 o 厂 r 秒一口 a a ，一 一 北京t 业夫学理学硕i j 学佗论文 一7 一7 f ( 口) 1 i ( p ) i 一 j 0 ( 2 5 6 ) 根据f a d d e e v j a c k i w 方法，通过( 2 5 6 ) 的系数矩阵的逆，便可以定义广义括号。 那么我们现在将方程组( 2 5 6 ) 同( 2 5 3 ) l g 较，两者用相同的规则可以分别导出 f a d d e e v j a c k i w 广义括号和d i r a c 括号。对同一个系统，两个方程组的系数矩阵 中的，自然是相同的，两者的不同将表现在f a d d e e v j a c k i w 约束q 同d i r a c 次 级约束臼之间的不同上。如果f a d d e e v j a c k i w 约束同d i r a c 次级约束之间是等价 的，通过上面两个方程组得到的括号关系也就是等价的，反之如果两者不等价， 那么得到的括号关系就不一定等价了。 但是通过前两小节的分析，我们可以发现对一些系统，即使在f a d d e e v j a c k i w 体制中不会有变量被约去的前提下，也可能出现f a d d e e v j a c k i w 约束比d i r a c 次 级约束少的情况，也就是对某些系统f a d d e e v j a c k i w 约束同d i r a c 次级约束是不 等价的。那么就会造成两种方法所导出的括号关系不等价，那么也就是说两者的 量子化结果也会不同。 比如，假设对某个系统，矿是一个在d i r a c 体制中出现的约束关系，但是在 f a d d e e v j a c k i w 体制中却不出现。那么也就是说在f a d d e e v j a c k i w 量子化中，量 子对易关系 否。，户( 西，p ) 是不等于。的，这罩户( 辱，p ) 是算符蜃，多的任意函数，否 则的话，矿就是在f a d d e e v j a c k i w 体制中的约束。但在d i r a c 体制中 百。，f ( 香，多) 总是等于0 ，因为矿是系统的约束关系，这也是d i r a c 括号的特点。 2 3 改进的f a d d e e v - d a c ki w 方法 f a d d e e v j a c k i w 算法之所以会出现同d i r a c 算法的矛盾，关键是在 办 一 力 一 型加型劫 一、， 塑幻 里劬 o ，。，、，l f a d d e e v - j a c k i w 算法中将约束引入l a g r a n g e 乘子构成的新的l a g r a n g e 量当作真 实的l a g r a n g e 量，将这个l a g r a n g e 量产生的运动方程看作真实的运动方程。而 又使用这个运动方程产生下一级新的约束。但是体系的运动方程始终是由初级 l a g r a n g e 量导出的运动方程，这样的运动方程才是同l a g r a n g e 方程等价的。而 且约束都是内在约束，将其同外在约束一样引入l a g r a n g e 量，这是明显不妥的。 所以f a d d e e v j a c k i w 算法中不应该将约束引入l a g r a n g e 量来产生新一级的约束。 而且在最初的数学上严格的f a d d e e v j a c k i w 理论中实际上并没有引入l a g r a n g e 乘子，只是把一些变量视为l a g r a n g e 乘子而已，并不是真的引入一个l a g r a n g e 乘子增加一个自由度。所以最初的f a d d e e v j a c k i w 方法并不会出现同d i r a c 方法 之间的矛盾，所以解决2 1 节中所阐述的f a d d e e v j a c k i w 方法的一个方案就是回 到最初的f a d d e e v j a c k i w 方法，使用数学上严格的f a d d e e v j a c k i w 方法。但是这 个方法必须建立在d a r b o u x 变换的基础上，而d a r b o u x 变换实际上是不容易实现 的，因此不是一个经济的方法，这也是大多数文献在具体计算时都并未使用此方 法的原因。因此人们将约束的产生仍然建立在稳定性条件下，使它仍可以回避 d a r b o u x 变换的困难，保持方法的经济性，而