（理论物理专业论文）静态de+sitter时空的微扰.pdf

中文摘要 摘要 本文主要讨论静态d es i t t e r 时空中的标量场、d i m e 场和引力场的徽扰。由 于d es i d e r 时空相对比较简单，使得我们可以严格地研究微扰的解，从而知道时 空本身的一些性质。 首先第一部分我们研究了标量场微扰，我们主要考虑非束缚态的情形， 通过求解场方程，我们发现如果m 2 f 2 k ( d k 一1 ) ( 七为整数) ，当标量场质量 满足价 似一x ) 2 t 时，本征函数是通常的振荡波，但随时间指数衰减；当质 量0 ( d 一1 ) 2 2 ；w h e n0 0 f o rl o ； ( 3 2 1 ) o r u = m i i ( 2 n 一：一l ) ，f o r l o ( 3 2 2 ) 需要说明的是，如同标量场那里遇到的一样，上面的讨论不适用于工：0 的情 形，因为l = 0 对应于可能出现束缚态的势场。 3 24 维的情形 我们仍用原来的坐标( 1 2 ) 和方程( 3 2 ) 但d = 4 。在这种球对称的坐标下，文 献 2 4 给出了一般的分离方法，这里不再赘述。令 其中何4 。- - 是对应于j = f4 - ；的两分量旋量 2 6 】。如果使用新变量r = i s i n 弘，我 们得到的径向方程形如 ( 吼+ 盏) g + = 一( m l - - 面w 1 ) f ，( 3 2 3 ) 第9 页，共3 0 页 、j、j l 二 + 一 3212 + + n 他 2 2 ，【，1 05一c 一 一 m m 一 一 = u u 第三章d i r a e 场微扰 ( 钆一耋毒) f 士一一( m 2 + 。o t 肛) g 士， ( 3 2 4 ) 其中圪+ a n d 尤一分别对应正的和负的整数。很显然，如果把那里的讪f ，l ，皿1 ，皿2 换 为，c 士，i w l ，g 土，f 士，则这组方程与( 3 7 ，3 8 ) 形式上完全一致。因此通解是类似 的，但边界条件不太一样，这里我们无法像3 维的情形那样，从通解中分离出 视界处的出行波和入行波。因此我们先考虑在原点处满足条件的解，首先看 在r = 0 ( 这里即z = 0 ) 沿径向的流 ，= v ，r - z s i n 0 ( i c 土1 2 l 蠕| 2 一i f 1 2 l 哧n 怠s i n 0 ( i 妒 1 2 l 窍【2 一i 妒 1 2 i 妒慕1 2 ) ( 3 2 s ) 戎1 门抛弃h i s k ( 奇异的刃b 支解，对于( g + ，f + ，尤+ ) 的情形，符合要求的解是 妒 _ 一日 z 苎笋( 1 一z ) 42 f l ( a l , b 1 ，c 1 ，z ) ， ( 3 2 6 ) 蝣= 磁。芋( 1 一三) 4 ( j + k + 一( 旦笋一百i w l + 卢) z ) 。f 1 ( 口。，6 ，i c l ，。) + 警羽叫) 2 f 1 ( 。，“6 ，“c - “z ) ( 3 2 7 ) 其中超几何级数的参数n ，b ，c 以及系数耐，b 满足 n ，= 兰掣+ 卢，。- = 三掣+ 卢，c 。= 一十+ ；， 耐= 耐( 等+ i + i m l + i i w l ) 对于( g 一，f 一，尤) ，类似地 妒f = b fz 一等( 1 一z ) 82 f 1 ( 口2 ，b 2 ，c 2 ，。) ， ( 3 2 8 ) 町= b f z 半( 1 一z ) 4 ( 一半+ i i w l 一卢) 。f 1 ( 口。，6 2 ) 螂) + 丝c 堕2 ( 1 一z ) 2 f l ( 2 + 1 ，b 2d - i ，c 2 + 1 ，名) 1 ( 3 2 9 ) 其中超几何级数参数和系数满足 口。= 一竺二专墨生+ 卢，6 。= 三掣+ p ，c z ：一k 一+ ；， b 7 = 写( 等+ i + 百m l + t i w l ) 注意卢是方程卢2 + j ( m ? + ；) 2 ：o 的解。 第1 0 页，共3 0 页 第三章d i r a c 场微扰 另一方面，我们要求在视界p 一一o 。) 上是出行波( 一；) 一警。首先把超几何 级数的宗量由z 换到1 z ，此时出行波和入行波自然地分离了，通过取r 的p o l e 的 办法把入行波消去，这些p o l e 是 c l b l = 一n ，0 1 a l + 1 = - - 7 , ， f o r ( g + ，f + ，圪+ ) c 2 一b 2 = 一几，o ra 2q - 1 = 一礼， f o r ( g 一，f 一，k 一) 容易算得相应的本征频率，对于( g + ，f + ，尤+ ) ，有 对于( g 一，f 一，一一) ，有 ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 _ 3 2 ) ( 3 3 3 ) 与3 维的情形几乎完全一致。 这里我们看到与标量场微扰不同，有质量m 的自旋1 2 粒子总是有振荡的行 波解，并且随着时间指数衰减。这些本征函数是对应于边界条件的准正则模。 第l l 页，共3 0 页 j、j 3212 + + + + 片 圪 + + n n 2 2 ，l，l 05一f 一 一 m m 一 | l | i u u 、j、， 1212 + 一 一 一 k k 一 一 n n 0 2_一2 一 一 m m 一 = | | u w 第四章引力场的微扰 4 1 规范变换 第四章引力场的微扰 设y 是黎曼流形( 尬吼b ) 的坐标邻域 以x ) 内的开集，考虑由y 中光滑矢量 场8 生成的无穷小坐标变换 扩= o “+ 蝤o( 4 1 ) 其中t 是个无穷小参数。p 在1 旷上诱导了一个局部单参变换群也：因为依赖于 初值扩( o ) = x o ( p ) 的微分方程d z 。d 亡= o ( 1 a 佗) 在y 上总是有唯一 解z ( t ；x 0 ) ) ，只需令也) = x _ 1 i x ( t ；x ) ) 】，容易验证也是y 上的局部单参变 换群。反过来，对于无穷小的参数t ，同胚映射也所诱导的坐标变换正是上 式：y ( x ) = xo 也o x 一1 ( 筇) = 孟+ o ( t 2 ) 。 假如上面的坐标变换保持度量不变，即也是等距( i s o m e t r y ) ，( 咖t ) + g 曲= g a b ，则i 妇l i e 导数的定义( 详见m w a l d 2 7 p p 4 3 9 ) ，有& 9 。b = v 。6 + v b 已= 0 ，其中v 。是相应于g a b 的共变导数。这就是甄u i n g ，y 程。在物理上，保持物 理量不变的变换是规范变换。例如在电磁理论中，对矢势所作的交换a a + v x ( x 是任意函数) 不改变磁场b ，因此选择库伦规范或者洛伦兹规范在 物理上是等价的。显然这里的坐标变换也是规范变换，因为它保持物理量不 变。 下面考虑当度量蚰有一个张量微扰h a b 的情形。设有一阶微扰， 甄6 = 吼b + t + o ( t 2 ) 其中h a b = t 1 曲，t 是无穷小参数。则保持度量蚕曲的变换应当满足 ( 也) + 曲一曲 t f 叫( a ) + 协一0lj t v a b + v b g 曲 一似 ( 4 2 ) 上式中已令叱= ( 锄) 。，由于t 为任意无穷小，因此得到 6 = 6 一v 。6 一v 6 已， ( 4 3 ) 利用这个等式，可以选择特定的变换，使得在新基底上看来，微扰6 形式上比 较简单。注意这里式( 4 3 ) 的符号与通常文献 2 7 ，8 】不一样，是因为我们选择诱导 单参变换群为也而不是酊1 的缘故。 第1 2 页吐3 0 页 第四章引力场的微扰 4 2 真空微扰 这里我们设4 维d es i t c e r 空间( 1 2 ) 有张量微扰( 4 2 ) ，则在任意一点p ，总可以 选取合适的坐标系，使得c h r i s t o 恐l 联络在这一点上为零。事实上，设p 在坐标 邻域( 以z 。) 内，x a ( p ) = ，作坐标变换 孟4 = ( 扩一娣) + ；( r 髭) ，x b - - 骘) ( 矿一) ，a 1 ，一，4 ) 在新的坐标系( 测地坐标系) 下，c s t o 虢l 联络在p 点上为零。 因此在测地坐标系下，微扰 起c h t i s t o f f e l 联络系数的改变( 准确副一阶) 是 ( a r g o ) ， 睦( 蚰，。+ 弛 一妣，a ) + 互1 一( 妣+ 砌一危) ， 陟4 ( 。+ 一旭叫) ， ( 4 4 ) 第一个等式右边第一项为零是因g a b ，。( p ) = r 盘9 岛+ r 盘乳d 】，= 0 ；同 样，9 a b ，。0 ) = 0 。显然，d r 恐是个张量。因为( r 锄c ) ，= ( r ：b ，d ) ，一( r 磊，。) p ，所 以+ ( 6 见6 ) ，= ( 6 磁曲) ， = ( 6 r ：址) p 一( 6 f 毛、a ) p = ； 危。 。+ 危a 。一九曲，。一 。c 。 ， ( 4 s ， 由于6 见6 是个张量，从测地坐标系换到一般的坐标系下，只需将算符吼换成共 变导数v 。( 只保留到一阶，因此用v 。代替_ o ) ，即 6 如= 一； v 。v 如a + v 溉 一v 飘k v c v n q ， ( 4 6 ) 其中 = h c 。，因为 6 r = 6 9 c d r 甜+ g 甜s r o d = 一危c d r c d + v 。v d h c d v c v 。h ， 因此，e i n s t e i n 张量的改变为 11 6 g 曲= 占r 曲一f f r 6 9 曲一i 可曲6 r + 这里曲率张量r ：如= r ：6 ，d 一工1 3 6 、。+ r ：6 r 函一r 盈r ：。 第1 3 页，共3 0 页 第四章引力场的微扰 = 一i v 。v 。 。6 + v 。v 北c c - - v 。v 6 们一v 。v 。 k + 9 曲v 。v d 九d 一9 曲审。v 。 一扣曲r 咄a 俨叫 ( 4 7 ) 对于方程( 1 1 ) 的微扰，6 r = 0 ，微扰方程是 6 g 曲+ a k 6 = 6 冠曲一a h 曲= 0( 4 8 ) 具体的有 一2 a 九曲= 一2 6 冠曲 = v 。 v 。k b v 。 沁一v b h 。】+ v 。v b h = v 。【魏k b 一阮h k 一晚 。+ 2 砭6 d c + v 。岛h = g “l 吼晚k b 一岛如 6 c 一国侥 。 一r 是晚矗。b + r 施侥 如+ r 缸晚 。 一r o c h 。b + r b a 凸h 。+ r z o b h 。 一r 盈a c ”+ r 丞玩 k + r 复侥 。i + 2 9 耐i 国r 品h 。+ r o d h 。一r r 氛 。一r 基r h 。一r 是1 1 ：b h 。ki + o o b h 一【、孟a c h ( 4 9 ) 4 3 张量谐函数 圪m ) 构成单位球面s 2 上的完备的标量函数组。与此相仿，对于张量函 数，z e r i l l i 找到了一组基 2 8 ，1 0 1 ，可以用来展开对称的二阶共变张量场t t = a a l m ( 。) + a a l 盯( ”+ 屯m a l m + b 龆b l 吖( 。) + 晚m b l m l ，m + q c l m ( o ) + q l f c l m + g l m g l m + d l m d l m + 兄m 屯m ， ( 4 1 0 ) 以上系数均只是t ，r 的函数。 另外，也可以这样来看，在旋转变换下，张量正6 各分量的变化不同： 设肛，= 0 ，1 ；i ，j = 2 ，3 ，耳v 表现得如同标量，因为t ，r 保持不变，死t 和丑。则按 矢量函数那样变换，而则按照张量函数一样变换。因此，也可以用下面的标 量，二维矢量和二维张量来构成上面的张量基 8 ，2 】， s l m = 瓦m ， ( 1 卜( m = ( 品，南) 圪m ( 矿埘) t = ( 圪m ) ；。= ( 云，兰) 圪m 第1 4 页，共3 0 页 f 4 1 l a ) f 4 1 i b ) 第四章引力坊的微扰 ( v l m ) i = 掣( 圪m ) ( t l m ) i j = ( 虼m ) 沌j ( t l m h j = ( y l m ) t , 。= ( 一周n 。品) 降m ， = ( 荤毋一麓巍) ，a ，一器+s i n 喏圯肌 竹“1 q ，jl。s；nin。0。未)西co虼s1 0 m c 。小旬 ( 2 3 乙m ) 舒= ： e 。( ，2 m ) ；埘+ 勺( 1 z m ) ；蛳】 =三(ii：x肼s。iinn9口wmlm2) ( 4 - 1 1 f ) s i n 口x l w - ” 说明 上式中 拖m = z 品( 嘉- c o t e ) y c m ， 耽m = ( 丽6 9 2 - c o t 0 嘉0 一丽1 硒0 2j 圪 由球谐函数的性质 ( 嘉十c o t e 品+ 五而1 万0 2j x 娩m = 一l 旺+ - ) 圪m 可以将吮m 化简为 既m = ( 。嘉州) ) 圪m 这个结论下面将反复利用到。 符号代表对称部分 t 是单位二维球面上的度量，而一是如下定义的矩阵 ( 曲0 。s i n 勺 除了y 2 l m 和见3m 是轴字称( 一1 ) + 1 外，其余为极宇称的。 如果不考虑归一系数，a l m ( 。) ，a l m ( 1 ) 年 i a l m 可以用标量既m 来构 成。- 而b l m 亘j 4 b l m ，c l m ( o ) 或。l m ，g l m 和d l m 的非零部分分别对应于上面 第1 5 页，共3 0 页 第四章引力场的微扰 12231 的y l m ，v l m r r l m 和t l m 。但t l m 是f l m 肃 g l m 的线性组合，因此如果用上 面这组基构成张量基的话，他们不是正交的。 4 ，4 球对称引力场的微扰 对于球对称引力场的线性微扰，将 曲在上面的谐函数基上展开，则可以实 现变量的分离。h 曲满足的是一组线性方程组，由于体系的对称性是确定的，每 一个( l m ) 的项中不同宇称的两部分是分离的，并且各自满足同一组方程组，因 此将其写成 h = 【h l m q - - h l m ( 邬 i ( 4 - 1 2 ) l ，m 其中轴宇称( 一1 ) t m 的部分是 0 0 h o v 2l m 、i f h l m = l oo 。多l m i 。手。m 卜o “o 南警h os i n 8 - 警、 5 i + 0 0 麓1 h a x 篡勘h is i n 8 - 学s i n o w l mi ， i 。一。，l m 一 忆 mi 【珥“ 一 2s i n o x l m 极宇称( 一1 ) 的部分是 h l _ ! l f ( 尸) = ( “ f ，( r ) h o y 肼皿圪m 2 i 高凰圪m i 井 岳 r ) h oh i 玩品 * 南岛b 品 r 2 ( + g 貉) 上面忽略了关于r 】t 的函数的脚标( 上m ) 。 第1 6 页，共3 0 页 1v )i 圯胁 c o s 目苗) 】 r 4 - 1 4 ) 、9一岫蔓译c m 孔r 卫却纠畦番 ，n。n+ 冶 引刚 一 ，甜 第四章引力场的微扰 4 5r w 规范 如前面所介绍，可以通过选取特别的规范来减少微扰中未知数的数目。作 规范变换 = h 。6 一v 。啦一v 6 7 。， ( 4 - 1 5 ) 这里的矿是未定的无穷小的矢量场。 4 5 1 轴宇称 先来看轴宇称微扰，规范变换的生成矢量场也应当是轴宇称的，因此令 叼( ) ：a ( r ，t ) ( o ，0 ，y 2 l m ) = a ( r ，帅，。，一丽1 百o y l m ，s i n 口o y 硼l m ， ， 由此 ，0 0 啪# 、 陬护帆椭= i 0 0 碱2 r i o ，伽商像二戮。i 2 ，毋+ 2s i n 占c o s o 叩o 0 0 a t2 v l m 、 一l0 o ( a ，一；a ) 2 v l m 1 一i - a 五1f x l m as i n o w l m i as i n o x l m 上面忽略了印上标( a ) ，下标表示求偏导。由此得到 l 0 h i ( a ) ：f 0 i l 廿 ( 4 1 6 ) 由于球对称没有特别的轴，对应于同一个l 的2 l + 1 个本征模应该具有相同 的径向方程，所以讨论径向方程的时候，不妨取m = 0 而不失一般性。对极宇 称的讨论也作相同的简化。 当l = 0 ，明显地h ( ) = 0 ，即轴宇称不存在单极微扰： 当l = 1 ，t l m 自动为零，因此只有两个变量h o ，h 1 ，令a = r h o d t ，即取规 范h o = 0 ，因此将微扰写成h ，d = h l ( r ，t ) s i n 日c o s 8 ； 第1 7 页，共3 0 页 虢 q 叫鼍吣 第四章引力场的微扰 当l 2 ，只需令a ( t ，r ) = h 2 ( t ，r ) ，总是取规范 2 ( t ，r ) = 0 。这个规范称 为轴宇称的p w 规范，因此可以作如下的变量分离 h ( a ) = ( ；繁；) e 一 船。c 一， c 4 ， 已记 ( 目) = s i n 9 8 p l ( c o s 8 ) 。 4 5 2 极宇称 再来1 看极宇称。有三个矢量是极宇称的：( 圪m ，0 ，0 ，o ) ，( o ，y l m ，0 ，0 ) 以 及( o ，0 ，v l m ) 。因此令 俨) = ( ( 扣) 圪m ，m ( ) 圪m ，( 如) 古。m ) = ( 蚝m ，尬圪m ，昌圪m ，南圪m ) 同样，求得 r 。- - ! f t f f l rrh：+警rtr,ef t 仇毋 这里，7 = d f ( r ) d r 。因此得到h ，( p ) ，具体地 = 0 = ：8 = 磁d = 0 = 九0 = 、 h z - ，一尬一器 圪m ， e b o 一一，t 】刍圪m ， l b o 一一，j 丽0 阮m ， 南凰一。舰，r 一哿炳 圪m l b 一尬一，+ ；1 品圪m ， 第1 8 页，共3 0 页 讯，+ 叩，t m ，+ ，一； 珊，+ ，0 2c o t 0 7 7 2 口+ 2 r f s i n 2 口聃+ s i n 2 0 7 e 第匹草引力兹明馓犹 = 【b 。一尬一尬，+ ；尬l 南虼m ， 7 弓。： r 。k 一2 ，p ) r 尬 圪m + r 2 g - 2 茄虼m ， = 【户g z 喇( 蒜- e o t e 品) y l m ， 知： r t k 一2 ，( r ) r 尬 s i n z 日托m + r 。g 一2 ( 丢+ s i n 8 c o s 目品) 圪m 当l ：0 ，含有对p ，西求导运算的项自动为零，因此做规范变换并令m 2 = 0 ，尬= i 而k 以及a 矗= ，j ( 凰一警) d r 则可以消去变量日1 ，k 。因此将微 扰写成h ；，( r ) i 1 0 ( r ，t ) 和h ，= 而1h 2 ( r ，t ) 。 当l ；1 ，含有对曲的求导运算的项自动为零，并且由t 1 0 + t l o = 0 ，表明蜀一g 才是独立的变量，不妨设g = 0 。作规范变换并令i o = b o 一岳，m 1 = 蠢再k v a 及使= r _ f 专( b 1 一m 1 ) d r ，则可以消 去变量k ，b 1 ，岛。因此将微扰写成h “= ，( r ) 三b ( r t ) c o s p ，h ”= h n = 皿( n t ) c o s 0 以及h ，= 霄1 芥凰( r ，t ) c o s 0 。 当l 2 ，作规范变换并令尬= r 2 g ，g o = b o 一9 挚以及胍一b 1 一 ? 磬+ ；m j 消去变量b 0 ，b 1 ，g ，可以将其作如下的变量分离 删= 佯0 每，瓢0 000 2 k s i n 。卜q 眈， 删= l 带积：卜峨， 2 口 已记p l ( c o s 口) 为q ( 8 ) 。 4 6l ( d 一1 ) 2 1 时，波函数是 通常的振荡波解，但随时间指数衰减；当质量0 m ( d 一1 ) 2 i 时，波函数 随时问指数衰减但没有振荡，因此不是动力学意义上的波动。另一方面，如 果 铲产= k ( d - k 一1 ) ，特别地，这包括无质量