（运筹学与控制论专业论文）集合的有效点和集值优化问题有效解的锥刻画.pdf

内蒙古大学硕士学位论文 集合的有效点和集值优化问题有效解的锥刻画 摘要 本文在局部凸h a u s d o r f f 拓扑向量空间中讨论向量优化问题的几类有效点( 解) 的锥刻画首先，我们探讨一个非空集合d 满足( 不满足) 凸性假设条件时这些有 效点( 局部有效点) 特征的锥刻画然后，我们针对集值优化问题( s v p ) 的几类有 效解和局部有效解平行地展开讨论先是通过可达集去寻求最优目标值的最优性必 要条件的锥刻画；随后回到可行域中寻求局部极小解和局部弱极小解的必要最优 性条件 关键词运筹学，有效点，有效解，锥刻画，集值映射的导数，集值向量优化 内蒙古大学硕士学位论文 c o n ec h a r a c t e r i z a t i o n s a b o u te f f i c i e n tp o i n t sa n de f f i c i e n ts o l u t i o n s o fv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m s w i t hs e t v a l u e dm a ps a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ec o n ec h a r a c t e r i z a t i o n so fe f f i c i e n tp o i n t s ( s o l u t i o n s ) o ft h e v e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m si nh a u s d o r f fl o c a l l yc o n v e xt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e a tf i r s t ，w e d i s c u s st h ec o n ec h a r a c t e r i z a t i o n so fe f f i c i e n tp o i n t s ( 1 0 c a l l ye f f i c i e n tp o i n t s ) w h e nt h en o n - e m p t ys e tds a t i s f i e s ( d o e s n ts a t i s f y ) t h ec o n d i t i o n so fc o n v e x i t y s e c o n d l y , f o rt h ee f f i c i e n t s o l u t i o n sa n dl o c a l l ye f f i c i e n ts o l u t i o n si nv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hs e t - v a l u e dm a p s ， w eg i v et h ec o n ec h a r a c t e r i z a t i o n st h a tw ef i n do u tt h en e c e s s a r yo p t i m a l i t yc o n d i t i o n so ft h e o p t i m a lt a r g e tv a l u eb yt h ew a yo ft h ef c a s i b l ec r i t c r i o ns c tf i r s t ；a n dt h c n ，w eg e tt h en e c e s s a r y o p t i m a l i t yc o n d i t i o n so fl o c a l l yo p t i m a ls o l u t i o n sa n dl o c m l yw e a k l yo p t i m ms o l u t i o n si nt h e f e a s i b l es e td i r e c t l y k e y w o r d so p e r a t i o n a lr e s e a r c h ，e f f i c i e n tp o i n t s ，e f f i c i e n ts o l u t i o n s ，t h ed e r i v a t i o n o fs e t v a l u e dm a p s ，v e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hs e t - v a l u e dm a p s i i 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：童堡套指导圳j 签名：丛里垒 日期：2 川、f q -e t日期：圳、6 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权 将学位论文的全部内容或部分保留并向围家彳荚机构、部门送交学位论文的复印件和磁 盘，允许编入有关数据库进行检索，c 包可以采用影e | j 、缩印或其他复制手段保存、f 厂：编学位 论文。为保护学院和导师的知谚 产权，作者在学期问取得的研究成果属于内蒙古大学作 i 者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就谈期间导师的同 意；若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方刘投稿或公开发表 学位论文作去签名：锄 日 指导洲签名：a 己篓，指导教师签名：兰二! ! 签， 内蒙古大学硕士学位论文 引言 在向量优化的理论和方法的研究中，最优性理论始终是倍受关注的课题首先，由于在多 维向量空间中，向量的坐标序是偏序而非全序，因而通常在实数集合中的极大化与极小化问题 会陷入困境后来，人们借用了法裔意大利经济学家和社会学家v i l f e d op a r e t o 的“公平原则 提出了向量优化问题的p a r e t o 最优概念，较完美地刻画了偏序而非全序集中的“最优”性，这 就是我们现在经常提到的p a r e t o 最优性或有效性其次，不论从理论研究还是从算法研究考 虑，向量优化问题的标量化特征都是至关重要的课题，一开始就引起学者们的关注然而早在 1 9 5 1 年k u h n 和t u c k e r 就发现p a r e t o 最优性或有效性有时不具有标量化特征，他们称这样 的有效性解为非正常的( i m p r o p e r ) 于是，他们针对目标函数和约束函数均为阶可微函数的 多目标规划问题提出了真有效解( p r o p e re f f i c i e n ts o l u t i o n ) 的概念随后，g e o f f r i o n 针对目 标函数和约束函数均不要求可微的多目标规划问题提出了真有效解的概念，推广了k u h n 和 t u c k e r 的定义上个世纪8 0 年代前后，b o r w e i n ( 1 9 7 7 ) ，h a r t l e y ( 1 9 7 8 ) ，b e n s o n ( 1 9 7 9 ) ，h e n i g ( 1 9 8 2 ) 等众多学者在无穷维空间中相继引入了各种形式的真有效性概念( 有人统计过，约有2 0 种之多，其中重要的可以参见【1 9 - 2 4 】，但是研究最多的还是b o r w e i n 和b e n s o n 真有效性) ，按照 这些定义界定的向量优化问题的真有效解都在一定条件下具有标量化特征1 9 9 1 年，b o r w e i n 和z h u a n g 又提出了超有效性( s u p e re f f i c i e n c y ) 概念( 见【6 】6 ) ，这一定义几乎统一了先前提出 的所有真有效性概念，因此，引起学者们的极大兴趣j a h n 在1 9 9 1 年还特别指出：向量优化 问题的超有效性将会成为一个研究热点( 见【2 6 】) 但我们在文献 1 5 】中也看到，超有效点的存 在性条件是非常强的作者用例子指出，即使对于紧凸集，也不能保证超有效点的存在这样 一来，改进超有效性概念就显得十分必要了1 9 9 4 年，傅万涛在赋范空间中引入了严有效性概 念，在一定程度上克服了超有效点的存在性条件太强的缺点( 见 9 】) ，并用例子说明严有效性 是超有效性的真推广紧随其后，1 9 9 7 年程永红和傅万涛在局部凸拓扑向量空间中引入了另 一种真有效性一一强有效性的概念( 见 1 0 】) ，给出了赋范空间中强有效性与严有效性的关系 定理，指出了强有效性是赋范空间中的严有效性在局部凸拓扑向量空间中的一种推广第三， 向量优化问题的最优性条件一直是人们关注的重点和热点，在各种不同条件下、不同形式的 研究成果已经非常丰富本世纪初，芬兰学者k a i s am i e t t i n 和m a r k om m i i k e l i 在 2 】中研究了 多目标优化问题的弱有效点、有效点以及真有效点的锥刻画，他们将一个点是弱有效点( 有效 点、真有效点) 的充分必要条件表述为两个特定的锥的交集满足某一关系式这种用几何性质 来刻画向量优化问题的几种不同意义的最优性的方法受到一些运筹学工作者的重视在国内， 有2 0 0 3 年黄光龙和刘三阳的1 1 和2 0 0 8 年李月鲜和戎卫东的【1 4 1 前者是将 2 】的主要结果推广到 局部凸h a u s d o r f f 空间；后者则用这一方法研究了带不等式约束的非光滑向量优化问题我们认 为，有效解( 有效解集) 的锥刻画可能是最优性条件研究的一条新路径，值得展开进一步的深 入研究鉴于目前能见到的研究成果甚少，我们还期望通过这一工作抛砖引玉，引起学者们对 “锥刻画”这一研究课题的关注 1 内蒙古大学硕士学位论文 本文包括四部分：除了开始的“引言”和最后的“总结”外，用两章的篇幅展开我们的两部 分研究内容 在第1 章里，我们分别探讨向量优化问题目标空间中的凸集和非凸集的几种有效点集和局 部有效点集的锥刻画2 0 0 1 年k a i s am i e t t i n 和m a r k om m 戋k e l 五在文献f 2 1 中研究了向量优化问 题的弱有效点、有效点以及真有效点的锥刻画2 0 0 3 年黄光龙和刘三阳又在文献f 1 1 中研究了局 部凸h a u s d o r f f 拓i 扑向量空间中非空子集的有效点、弱有效点和h e n i g 真有效点的锥刻画受他 们的启发，我们在这一章里对局部凸h a u s d o r 晦扑向量空间中的非空凸子集和非凸子集重新 研究了b e n s o n 真有效性的锥刻画，并且又给出了超有效性，强有效性和严有效性的锥刻画定 理 在第2 章里，我们研究集值优化问题( s v p ) 的几种有效解集的锥刻画2 0 0 8 年，李月鲜和 戎卫东发表了论文 1 4 1 在该文中，他们研究了实b a n a c h 空间中带有不等式约束的非光滑向量 优化问题( v p ) 他i f i n 用不同的锥分别在目标空间和决策空间中研究了问题( v p ) 的各种有效 解的必要条件特别是在决策空间中研究各种有效解时，用向量值函数的上方向导数和决策空 间中可行域在一点处的相依切锥给出了弱局部极小解和局部极小解的两个重要的必要性定理 这一思路能否使用到集值优化问题中呢? 实际上，我们回忆一下f e r m a t 关于函数的图象在一点 的切线思想函数y = ，( z ) 在它的图象上一点( z ，( z ) ) 处的关于图象的切线斜率就是该函数在 点z 处的导数厂7 ( z ) ，或把切线说成线性函数uhf 7 ( z ) u 的图像利用这一思想，对于集值映射f ， 一种自然的推广就是通过f 的图像上一点处的切锥来定义导数因此在这一章里，我们先是通 过可达集来寻找问题的各类有效解和局部有效解，进而寻求最优目标值( 对应地，最优解) 的 最优性必要条件的锥刻画；随后是通过集值映射的导数直接在可行域上来刻画局部弱有效解 和局部有效解，将文献 1 4 】的两个重要的必要性定理进行了推广 2 内蒙古大学硕士学位论文 第1 章集合有效点的锥刻画 在这一章里，我们使用相依锥( c o n t i n g e n tc o n e ) 、法向锥和可行方向锥来刻画几类有效 ( 局部有效) 点 1 1 概念和记号 设y 是局部凸h a u s d o r f f 拓扑向量空间，y + 是】厂的拓扑对偶空间设集合acy ，我们 用i n t a 和c l a 分别表示集合a 的拓扑内部和拓扑闭包集合acy 称为是凸的，如果v a ( 0 ，1 ) ， a a + ( 1 一a ) aca 集合ccy 称为是一个锥，如果v k 0 ，v c c ，k c c 如果锥c 还是 凸集，则称c 是凸锥如果锥c 满足cn ( 一c ) = 0 ，则称c 是点锥显然，当c 为点锥时， 有0 c ，即锥c 是有锋锥( 见f 1 】) 对于子集acy ，我们用c o n e a 表示它的锥包( 即包含a 的 最小锥) ： c o n e a ：= k a ：k 0 ，o a ) = 【j k a 南2 0 当锥c 的一个凸子集e 满足c = c o n e o 且0 芒c l0 时，我们称e 是锥c 的一个基 定义1 1 1 【4 】集合acy 的几种对偶锥定义如下： ( i ) 负对偶锥：a 一= 【妒y + ：妒( o ) 0 ，v a a ) j ( i i ) 正对偶锥：a + = 妒y + ：妒( o ) 0 ，v a a ) ； ( i i i ) 严格负对偶锥：a 一= 妒y + ：妒( o ) 0 ，v a a o ) 显然它们都是凸锥，且有：a + = 一a 一，a + = 一4 一 利用锥c 的基e ，我们定义基泛函集e 鲥： e 武：= 妒y + ：jt 0 ，妒( p ) t ，v0 e ) 命题1 1 1p o 对于凸锥c 的基e ，基泛函集伊。有如下性质： ( i ) e 甜d ； ( i i ) 如果e 还是有界基，则e 武= i n t ( c + ) 下面罗列本文讨论的非空集合a 的几种有效点的定义 定义1 1 2 【1 】( 8 】【1 3 】设ccy 是锥，- 0 为锥c 的一个基jacy 是非空集合，y a j 用b ( 0 ) 和( 0 ) 分别表示空间y 的零点邻域基和零点邻域族 ( i ) 集合a 关于锥c 的有效点集是指：e ( a ，c ) ：= 可a ：( a y ) n ( - c ) = o ) i 3 内蒙古大学硕士学位论文 ( i i ) 集合a 关于锥c 的弱有效点集是指：玩( a ，c ) ：= 矽a ：( a y ) n ( 一i n t c ) = a 】i ( i i i ) 集合以关于锥c 的b e n s o n 真有效点集是指：p e ( a ，c ) ：= y a ：c l c o n e ( a + c y ) n ( 一c ) = o ) ) i ( i v ) 集合a 关于锥c 的超有效点集是指：s e ( a ，c ) ：= 可a ：v v ( o ) ，s u ( o ) ，c l c o n e ( a y ) n ( u c ) cy ) i ( v ) 集合a 关于锥c 的强有效点集是指：g e ( a ，c ) ：= 可a ：v 妒y + ，3 u , v b ( o ) ，妒( c l c o n e ( a 一秒) n ( u c o n e ( v + e ) ) ) 有界) j ( v i ) 集合a 关于基e 的严有效点集是指? f e ( a ，e ) ：= 【y a ：3 u n ( o ) ，c l c o n e ( a y ) n ( u e ) = 彩) ；而集合a 关于锥c 的严有效点集是指：f e ( a ，c ) ：= n f e ( a ，e ) ：o 为锥c 的基 ；换言之，y 7 f e ( a ，c ) 铮对于c 的每一个基e ，都有y 7 f e ( a ，e ) 注1 - 1 1 由文献 7 】知，超有效点集的定义等价于 s e ( a ，c ) = 可a ：vv ( o ) ，s u ( o ) ，c o n e ( a y ) n ( u c ) cy ) 又由文献【1 0 】知，强有效点集的定义等价于 g e ( a ，c ) = y a ：v 妒y + ，3 u , v b ( o ) ，妒( c o n e ( a 一秒) n ( u c o n e ( v + e ) ) ) 是有界集) 本文的主要结果需要用到集合的相依锥和法向锥 定义1 1 3 【1 】设集合dcy ( 这里对d 没有凸性要求) ，y d ( i ) 集合d 在点! ，处的相依锥t d ( y ) 是指? 殇 ) ：= z y ：存在正实数网 。 ，满足 t n o ；存在网 ) cy ，满足z n _ z ；对于所有o t ，y + 如z a d ) ； ( i i ) 集合啦点y 处的法向锥d ( 可) 是指：d ( y ) ：- - - - t d ( 可) 一= 妒y + ：妒( z ) 0 ，vz t d ( 剪) ) i ( i i i ) 集合d 在点可处的可行方向锥而( y ) 是指j 易( 可) ：= z y ：s t 0 满足y + t z d 下面是本文要引用的一个著名结果： 引理1 1 1 2 2 】若k 和c 是y 中的闭凸锥，c 是具有局部紧基的点锥，且kmc = o ， 则有c + 4nk 一彩 1 2 关于凸集有效点的锥刻画 在这一节里，我们讨论非空凸集dcy 的几类有效点的锥刻画大家知道：当d 为凸集 时，相依锥( y ) 与切锥是一致的因此在这一节里，记号t d ( v ) 就是凸集d 在点yed 处的切 锥并且我们总是假设ccy 为闭凸点锥，满足i n t c g 此外，我们还需要以下的引理： 4 内蒙古大学硕士学位论文 引理1 2 1 【1 】【2 】设d 是y 中的非空凸子集，且可d ，则 ( i ) d ( 剪) 和( 可) 是闭凸锥，f d ( 可) 是凸锥i ( i i ) 0 d ( 秒) n 码( 可) nf d ( 可) ； ( i i i ) d f o ( ) = t d ( y ) j ( i v ) dcy + f d ( 可) cy + t d ( 耖) 引理1 2 2 【1 5 】设y d ，d 是y 的凸子集，则t d ( y ) = c l c o n e ( d 一秒) 下面我们用切锥和可行方向锥来刻画凸集d 的有效点、弱有效点、b e n s o n 真有效点、超有 效点、强有效点和严有效点为了使本文显得系统一些，前两个定理取自文献【1 】 定理1 2 11 1 】y e ( d ，c ) = 争y d ，e d ( y ) n ( 一c o ) = 彩 定理1 2 21 1 】设y d ，则有j y 玩( d ，c ) 营t d ( 可) n ( i n t ( 一c ) ) = g f d ( 秒) f q ( i n t ( - c ) ) = 彩 定理1 2 3 设ccy 具有局部紧基，则y p e ( d ，c ) 仁令踢( y ) f 3 ( - c 0 ，) = g 证明 “专”：设y p e ( d ，c ) ，由定义1 1 2 ( i i i ) 有 c l c o n e ( d + c y ) n ( - c ) = 【o ) ， 由此可以推出 c l c o n e ( d + c y ) n ( - c o ) ) = g ( 1 2 1 ) 由于c 是点锥，故dcd + c ，使用引理1 2 2 便有 白) = c l c o n e ( d y ) cc l c o n e ( d + c 一可) 由此式和( 1 2 1 ) 式，立刻推出t o ( y ) n ( 一c o ) ) = g ，即定理的必要性成立 “# ”：由条件( 妙) n ( 一c o ) ) = g ，并注意n o ( 可) 和o 一c ，则有 乃( y ) n ( 一c ) = o 因为c 具有局部紧基，从而( 一c ) 也有局部紧基，e t o ( y ) $ n ( 一c ) 使用引理1 1 1 得到： ( 一c ) + in ( ( ) ) 一g 因此，| 妒y + ，满足妒( 一c ) + n ( 殇( 可) ) 一再由引理1 2 2 ，有 妒( 一c ) + f 3 ( c l c o n e ( d 一可) ) 一 5 内蒙古大学硕士学位论文 由定义1 1 1 ( i ) 和( i v ) ，上式表明 vc - c ，vd7 c l c o n e ( d 一可) ，妒( c7 ) 0 妒( d ) ( 1 2 2 ) 下面我们证明：对任意固定的z c l c o n e ( d + c 一可) 和上述的妒y + ，必有妒( z ) 0 事实 上，名c l e o n e ( d + c 一可) 等价于存在网 妯) 。ac c 。i l e ( d + c 一可) 满足_ q l i a m 2 名，这里的人是 一个定向集进一步，对任意固定的n a ，因c o n e ( d + c 一可) ，故存在t q 0 ，d 。d ，c a c ，满足如= t 。( d 0 + c 0 一可) 由于妒y 是连续线性泛函，_ f i t 口( 如一y ) c o n e ( d 一可) ，t a c a c ， 由( 1 2 2 ) 式有 妒( z ) 2 o ( 。l i m y a ) 2 妞妒( 弧) 2 熔妒( 如( 如一y ) 一( - t 口) ) 2 妒( k ( 以一可) ) 一骢妒( 一t ac a ) 0 最后，我们用反证法证明：c l c o n e ( d + c y ) n ( 一c ) = o ) ，完成p e ( d ，c ) 的证明 因为0 c l c o n e ( d + c y ) n ( - c ) ，所以我f 门假设| 雪0 ，哥c l c o n e ( d + c y ) n ( 一c ) 由雪 c l c o n e ( d + c 一可) 和上一步的证明，有妒( 雪) 0 又由雪o f l 雪一c ，并注意到妒( 一c ) “， 由定义1 1 1 ( i v ) ，又有妒( 雪) 0 这两者矛盾 口 定理1 2 4 设c 具有有界基e ，则 y s e ( d ，c ) = 争y d ，t o ( y ) n ( - c ) = o 证明 “令”：因e 是c 的基，故0 簪c l o ，这等价于存在凸的对称的v n ( 0 ) ，使得 ( - 0 ) n2 v = 历( 1 2 3 ) 由条件y s e ( d ，c ) 和定义1 1 2 ( i v ) 知：y d ，且对上述的v n ( 0 ) ，存在u n ( 0 ) ， c l c o n e ( d y ) n ( u c ) ck 使用引理1 2 2 上式成为 ( y ) n ( u c ) cv( 1 2 4 ) 不妨假设ucv ( 否则可用unv ( 0 ) 代替u ) ，我们可以证明 ( u e ) nv = g ( 1 2 5 ) 事实上，假设j 名u 一0 ，使得z v ，则ju ucv0 0 ，了v v ，满足 z = u 一0 = 钞 f ； 内蒙古大学硕士学位论文 注意到ucv 和y 的对称性和凸性，由上式得到 - 0 = 秒一姐v ucv v = v + vc2 y 由此立刻推出：一0 ( 一e ) c 12 v ，这与( 1 2 3 ) 式矛盾 由ecc 和( 1 2 4 ) 式，我们有 t d ( u ) n ( u e ) c ( 可) n ( u c ) cy 上式两端同时交( u e ) ，并使用( 1 2 5 ) 式，有 t o ( y ) f l ( u e ) cvf l ( u e ) = 彩( 1 2 6 ) 因为( 可) n ( - c ) ct d ( y ) n ( 一c o n e ( o u ) ) ，且 o ) ct d ( y ) n ( - c ) ，故为证 乃( y ) n ( 一c ) = o ) ， 只需证明t d ( y ) n ( 一c o n e ( o o r ) ) 不含非零元若其不然，假设存在z 0 z ( 可) ，且z 一c o n e ( o 一) ，由后者知：jt 0 ，名7 e 一配名= - t z7 由z 0 y ；知：t 0 且 名7 0 y ，于是有0 z7 = ；t d ( y ) 综上，有z7 ( 可) f l ( e u ) ，这与( 1 2 6 ) 式矛盾 “仁”：设y d ，t o ( y ) n ( - c ) = o ) 反证法：假若y 岳s e ( d ，c ) ，由注1 1 1 知，| v u ( o ) ，对vu ( o ) ，有c o n e ( d 一 ) n ( u c ) 茌v 由u ( o ) 的任意性，我们取固定的有界零邻域u 在此情况下，取： 磊c o n e ( d 一可) n ( 三一c ) ，v 礼n ，但譬v 由c o n e ( d 一可) ct d ( 矽) ，再由 ，厂 7 6 z n 二一c 知：了y n u ，入。0 ，e ， ：鲁一a n 既( y ) ( 1 2 7 ) 佗 由e 是c 的有界基，故集合 靠e ：礼n 】是局部凸空间y 的有界集因有界集的连续象 是有界集，故对任意固定的妒y + o ) ， 妒( 以) r ：钆e ，住n ) 是有界集，这样一来，实 数序列 妒( 如) 存在收敛子序列为简化记号，我们不妨假设l i m 妒( ) = 妒( 口) ，于是有以当p n + o o 因为e 是局部凸空间y 的凸子集，故它的弱闭包加一c 1 0 与它的原闭包c 1 0 相等，从而得到 n o 譬c 1 ( 9 ，由此推出p 0 ，r o c l occ l c o n e o = c 现在证明 是有界集，否则存在子 列 击) ，亡_ 。o ( 后_ o 。) ，因此有a n 。_ 。( 后_ ) 对应地，对于 z n 的子列 。 ， n 。：当蜘。一a 。如。一o t2 瓦蜘t a n * t u 。 一 内蒙古大学硕士学位论文 _ _ _ 一一 这将导至：对于充分大的后，有z n 。v ，这和n ，z n 垡y 矛盾刚才的收敛式用到u 和e 有 界，以及命题“对于拓扑线性空间y 中有界集内的任意序列 0 ，于是 得到 n c , ( z o ) = 9 ( n z o ) 9 ( c l c o n e ( d y ) n ( u c o n e ( v + e ) ) ) 由此可见， 9 ( c l c o n e ( d y ) n ( u c o n e ( v + e ) ) ) 是无界( 实数) 集，这与条件矛盾因此( 可) n ( - c o ) = 彩 “仁”：由条件可d ，( y ) i - i ( - c o ，) = g ，和e 是c 的基( 即ecc ，r o 垡e ) ，有 t o ( u ) n ( 一o ) c ( 可) n ( 一c o ) ) = 刀 由此式推出：g - 在y o b ( o ) ，( ( 可) + k ) n ( - e + ) = 彩，不妨将此式中的取为对称的， 即= ，一h 式可写成 ( 殇( y ) + y o ) n ( 一( 0 + k ) ) = g ( 1 2 8 ) 8 内蒙古大学硕士学位论文 下面用反证法证明：v 妒y + ，j v b ( 0 ) ，使得 妒( c o n e ( d y ) n ( u c o n e ( v + e ) ) ) cr 是有界集，从而由注1 1 1 得n y g e ( d ，c ) ，进而完成证明 反证法：假设存在9 y + ，对任意固定的uv b ( 0 ) ， 9 ( c o n e ( d y ) n ( u c o n e ( v + e ) ) ) cr 是无界集，则存在点列 ) cc o n e ( d y ) n ( u c o n e ( v + e ) ) ，满足： 1 9 ( ) i _ 由鼽u c o n e ( v + e ) 有：j 仳竹y n 一札n - c o n e ( v + e ) 我们注意至u c o n e ( v + e ) 是 锥，故 了t 。0 ，t n ( 蜘一u n ) - ( v 十e ) ( 1 2 9 ) 由以v b ( 0 ) 的任意性，我们可取u = v r 是对称有界零邻域基元从而一( y 十e ) 是y 中的有 界集我们知道，在拓扑向量空间中，有界集的连续象是有界集，因此，9 ( y 十o ) cr 是有界集， 进而9 ( k ( 蜘一仳。) ) = t n ( 9 ( ) 一9 ( u ) ) 的全体是r 中的有界集换言之， | m 0 ，t n l 9 ( ) 一9 ( 仳。) i m ( 1 2 1 0 ) 因为u 。以u 是有界集，故9 ( ) 的全体是有界集于是有 1 9 ( ) 一9 ( ) i 1 9 ( 鲰) i 1 9 ( u n ) i o o ( 当礼一o o ) 由此和( 1 2 1 0 ) 式立刻得到：t nj ，o ( 当n _ 。o ) 因此对于充分大的n n ，总有0 t n 1 由此 推出 - t n u n - - t n uc - u = - v = k 从而有 如( 一u n ) = t n 鲰一t n u n c o n e ( d y ) + 矿 由上式和( 1 2 9 ) 式立刻有： ( c o n e ( d y ) + v ) n ( - ( v + e ) ) a ， 更有( t d ( y ) + v ) n ( 一( e + y ) ) o 一a y b ( o ) 的取法可知，这和( 1 2 8 ) 式矛盾 口 定理1 2 6 设e 是c 的有界基，则 y f e ( d ，0 ) = 争y d ，t d ( 秒) n ( - c ) = o ) 9 内蒙古大学硕士学位论文 证明 令，设y f e ( d ，e ) ，则由定义1 1 2 ( v i ) 知：矽d ，且 ju l v ( o ) ，c l e o n e ( d 一可) n ( u e ) = 彩， 由引理1 2 2 ，上式又等价于： ju u ( o ) ，t d ( y ) n ( u e ) = 彩 ( 1 2 1 1 ) 由此可以证明： ( y ) n ( 一c o n e ( o o r ) ) = o ) 否则，我们假设存在非零元石7 1 d ( 可) n ( 一c o n e ( o u ) ) ，n f h z ( 一c o n e ( o u ) ) 知：存 在t 0 ，z u e ，z = t z7 因z 0 ，故只有t 0 于是0 z7 = ；( 可) ，因此 z t d ( 剪) n ( u e ) ，这与( 1 2 1 1 ) 式矛盾 又0 ( 一c ) c ( 一c o n e ( o u ) ) ，所以 o 】c ( 矽) n ( - c ) c ( y ) n ( 一c o n e ( o u ) ) = 0 ) 因此殇( ) n ( 一c ) = o 】- “告，i 设可d ，乃( 秒) n ( 一c ) = o ) 假若秒隹f e ( d ，e ) ，由定义1 1 2 ( v i ) 知： vu ( o ) ，c l c o n e ( d 一夕) n ( u e ) g 由引理1 2 2 ，这等价于 vu ( o ) ，t d ( 矽) n ( u e ) 彩 ，r 由u ( o ) 的任意性，我们取固定的有界零领域u 在此情况下，取d n t o ( 1 1 ) n ( 三一 e ) ，佗n 这表明，| 鲰以o n e ，满足 如= 丝一如t d ( 可) ( 1 2 1 2 ) 7 0 由e 是c 的有界基，故集合 o n e ：7 , n ) 是局部凸空间y 的有界集因有界集的连续 象是有界集，故对任意固定的妒y + o ) ， 妒( 如) r ：o n e ，n n ) 是有界集，这样一来，实 数序列 妒( 如) 存在收敛子序列为简化记号，我们不妨假设l i m 妒( 如) = 妒( p ) ，于是有二0 因为e 是局部凸空间y 的凸子集，故它的弱闭包叫一c l o 与它的原闭包c l o 相等，从而得到 0 伽一c l e = c l e n o c l o ，由此推出p 0 ，且口c l occ l c o n e o = c 我们知道，对拓扑线性空间的有界集中的任意序列 ) ，必有l i m 塑= 0 ，注意n u n + 7 e ( 0 ) 有界，由( 1 2 1 2 ) 式和上一步的结论，立刻有 如与一0 w c l r d ( ! j ) = c l t o ( y ) = ( y ) 综上，得到o 一0 殇( y ) n ( 一c ) ，这与已知条件矛盾 1 0 口 内蒙古大学硕士学位论文 引理1 2 3 设dcy e 是c 的任一有界基，则有f e ( d ，c ) = f e ( d ，e ) 证明在文献 5 】的定理2 1 中令e = 0 即可 口 注1 2 2 实际上，当空间y 是赋范空间时，擞k e 8 】的引理2 推论1 2 1 设o 是c 的有界基，则 y f e ( d ，c ) = 争y d ，丁d ( ) n ( - c ) = o ) 证明 e h o 是有界的，则又引理1 2 3 可以得到f e ( d ，c ) = f e ( d ，e ) ，再由定理1 2 6 直接得出命题成立 口 注1 2 3 由文献 17 】知? 在拓；1 1 - 线性空间y 中，紧集必是有界集，r ：z a t d ( y ) n ( 一c ) = o 】等 e 于t d ( y ) n ( 一c o ) ) = g ，则当锥c 存在紧基e 时，如下等式成立 p e ( d ，c ) = f e ( d ，e ) = f e ( d ，c ) = s e ( d ，c ) = g e ( d ，c ) ； 而当锥c 存在有界基e 时，只有 f e ( d ，e ) = f e ( d ，c ) = s e ( d ，c ) = g e ( d ，c ) 由此可见b e n s o n 真有效点的存在性条件要比严有效点，强有效点和超有效点的存在性条件都 强 下面我们用法向锥刻画凸集d 的b e n s o n 真有效点集和强有效点集 定理1 2 7 设c 是具有局部紧基的闭凸点锥，则有 y p e ( d ，c ) 净y d ，n d ( y ) nc 叫a 证明 兮，设y p e ( d ，c ) 由c 具有局部紧基以及定理1 2 3 n - f 得： 殇( y ) n ( 一c o ，) = 乃 进而由0 一c 知：上式又等价于： ( y ) n ( 一c ) = o ( 1 2 1 3 ) 又由引理1 2 1 ( i ) 知：( 秒) 为nr s 锥；y f h c 为闭凸点锥且具有局部紧基知：( 一c ) 同样是具有 局部紧基的闭凸点锥注意n ( 1 2 1 3 ) 式，我们由引理1 1 1 得到 ( 7 b ( 可) ) 一n ( 一c ) + g 1 1 内蒙古大学硕士学位论文 由定义1 1 3 ( i i ) 及( 一c ) + = c ，上式等价于 d ( 矽) nc 1 a “仁”：设可d 目n d ( y ) a c 一彩任取妒n d ( y ) a c 一下面证明( 可) n ( 一c o ) = o 因而由定理1 2 3 得：y p e ( d ，c ) ，完成证明 假设( 可) n ( 一c o ) 乃，取z t o ( y ) n ( 一c o ) ) 由上面的妒n d ( y ) 和 名( 可) 及定义1 1 3 ( i i ) 知： 妒( z ) 0 又由上面的妒c 一= ( 一c ) 瓤，z ( 一c o ) ) ，及定义1 1 1 ( i v ) 知：妒( z ) 0 ，这与上式矛盾 因此( 可) n ( 一c o ) ) = a 口 定理1 2 8 设c 具有有界基，则 y g e ( d ，c ) 令y d ，n d ( y ) i 1i n t ( c 一) 彩 证明 由文献 1 0 】知：y g e ( d ，c ) 兮( c l c o n e ( d 一) ) + ne 舒乃由引理1 2 2 和命 题1 1 1 ( i i ) ，等价关系的右端可化为( ( 可) ) + ni n t ( c + ) 彩注意到：n d ( y ) = ( ( 矽) ) 一，并经 一些简单的变换就可得到本定理的结论 口 1 3 关于集合局部有效点的锥刻画 我们上一节讨论了当集合d 满足凸性假设时的各类有效点的锥刻画，但是当集合d 的凸性 假设不满足时，他的最优点又该如何定义和刻画? 在这一部分里，我们研究的非空集合dcy 不一定满足凸性假设，因此，这部分的结果是 将上部分满足凸性时的结果更加般化但是，由于放弃了集合d 的凸性假设，所以上一小节 中的一部分结果不再成立，一部分结果需要改变条件下面，我们将上一小节的一些概念和定 义加以推广 下面我们给出各种局部有效点的定义，以及各种局部有效点的锥刻画定理 定义1 3 1 【1 】设ccy 是锥，e 为锥c 的一个基idcy 是非空集合，y d j 用b ( 0 ) 表 示空间y 的零点邻域基，( o ) 表示空间y 的零点邻域族，则集合d 在y 点处的各种局部有效点 定义为? ( i ) 集合d 关于锥c 的局部有效点是指? e l ( d ，c ) ：= 可d ：| v b ( o ) ，( d y ) n v n ( - c ) = o ) ) j ( i i ) 集合d 关于锥c 的局部弱有效点是指：磁( d ，c ) ：= 拶d ：| v b ( 0 ) ，( d y ) n y n ( 一i n t c ) = o i 12 内蒙古大学硕士学位论文 ( i i i ) 集合d 关于锥c 的局部b e n s o n 真有效点是指：p e l ( d ，c ) ：= y d ：3v b ( o ) ，c l c o n e ( ( d y ) nv + c ) n ( - c ) = 0 ) i ( i v ) 集合d 关于锥c 的局部超有效点是指js e l ( d ，c ) ：= 可d ：对vw ( o ) ，j v n ( 0 ) ，c l c o n e ( ( d y ) nv ) n ( u c ) c ) j ( v ) 集合d 关于锥c 的局部强有效点是指：g e l ( d ，c ) ：= 【可d ：对v 垆 x + ，j 以vw b ( 0 ) ，l o ( c l c o n e ( ( d y ) nv ) n ( u c o n e ( w + e ) ) ) 有界，； ( v i ) 集合d 关于基e 的局部严有效点是指：f 日l ( d ，e ) ：= 可d ：j 以v n ( 0 ) ，c l c o n e ( ( d y ) nv ) n ( u e ) = g j 而集合d 关于锥c 的局部严有效点集为： f e l ( d ，c ) ：= n f e l ( d ，e ) ，o 为锥e 的基) 类似定义1 1 2 的注，给出局