（运筹学与控制论专业论文）提前订货供应链中最优订货时间的决策.pdf

复旦大学硕士学位论文 中文摘要 对季节性产品来说，它的销售周期短，订货和生产提前期长，导致零售商对 市场需求量的预测精度相当低这使得它的供应链管理问题成为企业界和学术 界关注的焦点之一。 对于零售商来说，因为可以通过收集市场信息来提高预测的精确度，所以零 售商往往希望越晚订货越好；然而对于供应商来说，他却希望零售商越早订货 越好，这是因为越长的订货提前期，供应商的生产和物流的费用越低。 为解决订货时间的矛盾，g i l b e r tb a l l o u ( 1 9 9 7 ) 和z h a o 等( 2 0 0 2 ) 分析指出零售 商提前订货策略在实践和理论分析中部表现出良好的特征t a y l o r ( 2 0 0 2 ) 中给出 了几个工业应用中的实例：大型零售企业w a l m a r t 和w a r n e r l a a n b e r t 和它们的供 应商达成协作合同，采用提前订货策略，将订货提前期延长，从而适应供应商 的生产和配送的经济效益。这时供应商将降低批发单价，从而补偿零售商的消 售风险，这样就有可能提高供应链双方的绩效，达到双赢的结果。 全文共分三章：第一章首先介绍了提前订货策略出现的背景，通过文献回 顾，梳理了该策略的发展脉络，并对其加以分类阐述；第二、三章分别讨论了当 市场需求为均匀分布和正态分布情况下的提前订货策略在这两章中，分别就 零售商的订货时间、订货量及其期望利润进行了建模、分析、求解和实证分析。 关键词：供应链管理；提前订货策略；报童问题；时间决策；库存问题 复旦大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s lw ec o n s i d e rt h ei n v e n t o r yd e c i s i o np r o b l e mi nas e a s o n a lp r o d u c t s u p p l yc h a i n t os e a s o n a lp r o d u c t s ，t h e i rs e l l i n gs e a s o n sd r e s h o r t ，a tt h es a y u et i m e ，o r d e ra n dl o g i s t i c sl e a d t i m ea r ev e r yl o n g f u r t h e rm o r e ，a c c u r a t eo fr e t a i l e r l sf o r e c a s t i n ga r el o w e r t h e s ec h a r a c t e r i s t i c s m a k et h e i rs u p p l yc h a i nm a n a g e m e n tb e c o m ea ni m p o r t a n tp r o b l e mt om a n a g e r sa n dr e s e a r c h e r s t ot h er e t a i l e r s ，b e c a u s et h e yc a ni m p r o v et h ea c c u r a t eo ff o r e c a s t i n gb ya c c u m u l a t i n gm a r k e t i n f o r m a t i o n ，t h e ya l w a y sw a s t tt oo r d e rl a t e ；b u tt ot h es u p p l i e r s ，t h e yw a n tt h er e t a i l e r st oo r d e r e a r l y ，f o rl o n g e ro r d e rl e a dt i m ec a nl o w e rp r o d u c t i o na n dl o g i s t i c sc o s t s t os o l v et h i sk i n do fc o n t r a d i c t i o no nt h e o r d e r i n gt i m e ，m a n yr e s e a r c h e r s ，f o re x a m p l e lg i l b e r t b a l l o w ( 1 9 9 7 ) a n dz h a o ( 2 0 0 0 ) ，h a v ei s s u e dm a r l ym o d e l sa n dm e t h o d s a n dt h e yf i n dt h a te a r l y o r d e r i n gs t r a t e g yh a se x c i t i n gc h a r a c t e r i s t i c sw h i c h i i l e n n si tc a nh es o l v e dw i t h i no u rc a p a h i l i t y i n2 0 0 2 ，t a y l o rg a v es o i u ea p p l i e de x a m p l e ss u c ha 8w a l m a r tm i dw a r n e r l a m b e r ti nt h e i rs u p p l y c h a i n ，e a r l yo r d e r i n gs y s t e mh e l pt h e mr e d u c et h el o g i s t i c sc o s t s t h et h e s i sh a st h r e ed l a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n do fe a r l yo r d e r i n gs t r a t e g yi si n t r o d u c e d t h r o u g hr e v i e wo ft h ec o r r e l a t i v ea r t i c l e s ，w ef i n dt h e yc a nb ed i v i d e di n t ot h r e et y p e s i n c h a p t e rt w o ，w h e nd e m a n df u n c t i o ni su n i f o r md i s t r i b u t i o n ，t h ec h a r a c t e r i z a t i o no fr e t a i l e r se x p e t t e dp r o f i tf u n c t i o ni so b t a i n e d t h e nw ea n a l y s i z ea n ds o l v ei t i nc h a p t e rt h r e e ，w h e nd e m a n d f u n c t i o ni sn o r m a ld i s t r i b u t i o n ，a sy o uc o d s e ef r o mc h a p t e rt w o j w eu s ee x t e n d e dn e w s b o ym o d e l w i t ht i m ed e c i s i o nv a r i a b l et oa n a n l i z ea n ds o l v et h ee a r l yo r d e r i n gp r o b l e m f u r t h e r m o r e lw e g i v e s o m ea p p l i e de x a m p l e sa n dt h es e n s i t i v ea n a l y s i so fr e t a i l e r so p t i m a lo r d e r i n gq u a n t i t yt os o m e s y s t e mp a r a m e t e r s k e y w o r d s ：s c m ，e a r l yo r d e rs t r a t e g y , n e w s b o yp r o b l e m ，t i m i n gd e c i s i o n ，i n v e n t o r y 2 第一章引言 1 1问题的背景 全球市场竞争的不断加剧，使得产品的竞争越来越演变成为供应链的竞争，企业也更 加关注供应链的有效管理以达到提高顾客服务水平和增加企业利润的目标供应一销售关 系也已由历史上相对独立的关系转变为一种以提高服务水平和降低成本为目的的合作伙伴 关系” 在传统订货策略供应链中，供应商提出的订货批发单价与订货时间是无关的( 见图1 ) ， 因此零售商为最大化自身的期望利润，而尽量延迟订货而增加预测的时间长度，从而提高 预测精度 2 1 【6 1 ，所以目前传统的做法是在最晚订货时间t 进行订货，但这时距离销售季 节开始的时间长度如一丁比较短，一般来说是不利于供应商生产和配送的，因此生产费用 k t 比较高，这使批发价嘶也相应较高那么这种情况下，供应链双方绩效都不一定理想 1 2 文献回顾 人们提出了许多解决订货时间矛盾的方法和模型，例如文【2 一 1 4 - 其中零售商提前订 货策略在实践和理论分析中都表现出良好的特征( 见文m 【1 2 1 4 】) 文 7 】中给出了几个工 业应用中的实例：大型零售企业w a l - m a r t 和w a r n e r l a m b e r t 和它们的供应商达成协作合 同，采用提前订货策略( 见图1 ) 将订货提前期延长，从而适应供应商的生产和配送的经 济效益。这时供应商将降低批发单价，从而补偿零售商的消售风险，这样就有可能提高供 应链双方的绩效，达到双赢的结果本文将研究在含有提前订货策略的供应链中，对于经 营季节性商品的零售商，给出他的最优订货量和最优订货时间的决策模型和求解方法下 图说明了提前订货策略和传统订货策略供应链系统的决策顺序和决策变量的不同 4 复旦大学硕士学位论文 零售荷预测 在生产费用为k ( c ) 下 市蝤需求x t 供应商生产q ( 。 厂、v ，、 提前订货供应商 零售商确定 黄略 确定c ( t ) 日( 。和t 0 ( 最早订货州可) t ( 最晚订货时间) t o ( 销售季节开始) 传统订赏 供应商 零售商确定 簧略 确定c r 曲 零售商预测在生产费用为k t 下 市场需求x t供应筒生产 ( 图1 ：两种订货策略供应链模型) 研究工作者为解决季节性产品订货提前期长和预测精度低等特征带来的决策困难提出 了大量的模型和解决方法例如文 8 - 10 分析了两阶段订货- 生产模型d o n h u e 在文 1 0 中分析了实现供应链帕累托改进的方法文【8 】在文【1 0 1 的研究基础上，通过将两阶段订货 生产模式与传统一次订货生产及快速响应策略之间进行比较，考察了不同模式对零售商及 制造商的利益带来的影响。文 3 - 5 】， 1 1 】考虑了采用快速响应策略后对供应商带来的影响， 指出使供应链实现帕累托改进的条件和方法说明在一定条件和先进的管理措樯下，收集 市场信息而更新预测能使供应链双方的绩效同时得到改进w e n g 和m c c l u r g 在文 2 】中考 虑了供应链含有需求预测的不确定性和到货时间的不确定性。如果出现到货延迟的情况， 供应商将补偿零售商的损失文中给出供应链不合作决策和合作决策两个模型指出当供 应链双方按照合作方式决定最优订货量时，供应链双方的利润会比不合作时的情况同时提 高，并且一般会有较大比例的增长。文中使用一般效用函数的方法分析了订货时间对供应 链双方收益带来的影响。文 1 4 中提出了含有订货时间决策变量的报童问题，通过引入期 望缺货水平约束构造了一个有约束条件的广义报童模型本文下面的模型采用了文1 4 1 中 的两个基本假设条件 综上所述，基于时间( t i m e - b a s e d ) 的供应链的竞争与合作模型大致可以分为以下几个方 面： 1 、到货时间的不确定性： 文 1 中考虑了供应链含有两个不确定源的情况，一个来自零售商( b u y e r ) 对市场需求 5 复旦大学硕士学位论文 预测的不确定性，另一个是由于能力限制，生产排序困难、不确定的物料供应、生产过程和 质量问题等等引起的供应商( s u p p l i e r ) 到货时间的不确定性如果出现到货延迟的情况，供 应商将补偿零售商的损失。文中给出供应链不合作决策和合作决策两个模型通过需求为 均匀分布情况下的分析推导方式和大规模数值算例模拟的分析方式，指出当供应链双方按 照合作方式决定最优订货量时，供应链双方的利润会比不合作时的情况同时提高，并且一 般会有较大比例的增长 2 、与时间有关的预测： 文f 1 4 1 中提出了一个广义报童模型。供货方( v e n d o r ) 通过价格折扣来吸引零售商( b u y e r ) 提前采购( e a r l yp u r c h a s e ) 商品，但是由于提前采购会使零售商对市场的预测精度降低，文 中提出了一个与时间相关的预测方差变化函数。这时零售商的决策问题有两个：订货量和 订货时间文中还引入期望缺货水平约束，构造了一个有约束条件的广义报童模型文中 分析最优订货量、订货时间与需求均值、方差和缺货水平上限的变化规律 3 ，多时段订货： 文f 6 】中考虑了零售商可以在两个时刻进行订货的决策问题因为产品的需求量是不 确定的，零售商可以在两个订货时刻之间通过收集新市场信息，而提高预测的精确度，而 且在第二个订货时刻，产品的批发价是不确定的，文中设第二时刻低批发价出现的概率为 口，高批发价出现的概率为1 一，在这些条件下，零售商需要同时考虑预测精度和批发价 两个可变因素，求出两个时刻的最优订货量文中通过分析完全无价值新市场信息，和完 美新市场信息，两种情况，得到以下结论：如果存在预测精度高和批发价低的订货时刻， 最优订货量将完全在这个时刻进行。如果存在预测精度高和批发价高的订货时刻，或者预 测精度低和批发价低的订货时刻，那么最优订货量将在这个时刻各订一部分货物已达到期 望利润最大 1 3本文研究的问题 在实际工作中，零售商对市场的预测一般是随时间而变化的，那么订货时间也将是库存 问题的决策变量，在这种情况下，本文通过建立含时间决策变量的推广报童模型( e x t e n d e d n e w s b o yp r o b l e mw i t ht i m ev a r i a b l e ) ，研究提前订货策略供应链中零售商的最优订货量和 订货时间的确定方法，并且通过算例和敏感性分析的方法，分析最优值与系统参数的变化 复旦大学硕士学位论文 情况。 经典报童问题( n e w s b o y 或n e w s v e n d o r ) 模型在现代库存管理和供应链管理中有着广 泛的应用，它是考虑在一个销售季节短且只有一次订货机会的产品订货过程中，零售商的 最优订货量决策问题。k h o u j a 在文 1 5 中对近几十年中人们对报童模型的推广及应用做了 详细综述。本文将经典报童问题进行推广，分析含有时间决策变量的推广报童模型。本文 假设零售商对市场的需求预测与订货时间有关，设为z ，它的分布为f t ( x t ) ，他从供应商 采购产品批发单价为o ( t ) ，也与订货时间有关。如果零售商提供的产品过多，在销售季节 过后，未售出商品引起的库存管理和其他处理费用平均单价为h ；若出现缺货的情况，由 于没有满足潜在消费者的需求而出现了机会损失，设单位商品的惩罚价为s 并且设每售 出单位商品的零售价格为p 在这些条件下，零售商在销售季节开始之前确定最优订货时 间t + 和最优供货量口可以用下图表示零售商面临的决策环境 ( 图2 ：含时间决策变量的推广报童模型) 在应用报童模型进行管理决策时，假设零售商所面i 临的一些实际问题：( 1 ) 供应商在发货前 的提前期o ，t 内，对于越早订货的零售商以越大的折扣，我们仍然采用文【1 4 中的假设， 即定货单价为：c ( t ) = c 一二辜，0 t t 那么零售商的决策变量不仅有经典报童问题 的决策变量订货量q ，还有订货时间t ( 2 ) 当订货时间t 越接近于发货时间t 时，零售 商对市场的预测的误差越小， 1 4 中假设e ( z ( t ) ) = p ，v a r ( z ( t ) ) = o - 0 + 型i 竺t ，其中p ，( 7 0 分别为时间t = 0 时刻零售商对市场的预测均值和标准方差。 本文的目的是考虑当需求函数分别为均匀分布和正态分布时，零售商对市场需求的预 测精度随时间变化，构造了一个带时间决策的推广报童模型在此基础上，分析了模型的 一些性质，给出了最优解所满足的一个方程组，然后考虑了参数o - ，p ，卢分别变化时，最优 解的变化趋势，并用几个简单的算例说明了模型及求解方法文章的结论对我们的管理决 策有很大的指导意义对于零售商的市场预测随时间变化的问题，文 2 、f 5 】、 1 6 】、 1 7 分别考虑了一些不同的实际模型文l l8 一文【2 2 在不同的实际背景下研究了一些报童问题 的扩展模型。 7 复旦大学硕士学位论文 1 4参数和记号 为了便于研究，下面将模型中必需的参数和需求函数及决策变量罗列如下 1 参数： t 表示最迟汀货时间； p 表示商品的销售价格； h 表示在订货过多的情况下，未销售出去的商品引起的单位商品费用； s 表示在汀货过少的情况下，单位商品惩罚值； c ( t ) 一一表示在时间t ，单位商品的采购价格 一般的，假定参数满足：p c ( t ) 0 ，h 兰o ，8 0 2 需求函数： z 。表示在时刻t ，零售商对商品的需求预测值； ( z t ) 一一表示也的密度函数； r ( z ) 表示砚的分布函数； 妒( ) 一表示标准正态分布的密度函数； 西( ) 表示标准正态分布的分布函数； 垂- 1 ( ) 表示标准正态分布函数的逆函数； m 表示z 。的均值； 巩皇a 一表示z 。的标准方差 3 决策变量： t 一表示采购时间，0 t t ； q t 一表示在采购时间t ，零售商的订货量 1 5基本假定条件 从引言中可知，在有提前订货策略的供应链中，供应商为鼓励零售商进行提前订货降低 批发价格本文设最早订货时刻0 的批发价格为岛，最晚订货时刻t 的批发价格为听 为便于研究，本文采用文【? 中对c ( t ) 的假设，设它满足下列条件： 条件1 ：设c ( t ) 是t 的线性函数，即： e o ) ：c o + 掣，o f 茎t ，( 11 ) 星旦盔芏塑主堂焦造塞 9 其中记c o = g ( o ) ，回 条件2 ：设“c 是常数 岛 f i t 0 ( 1 2 ) ( 】3 ) ( 1 4 ) 第二章需求函数为均匀分布情况下的提前订货策略 2 1广义报童模型 在本节，我们首先考虑在条件2 下，需求量的密度函数和分布函数，然后在条件l ，2 下，求出零售商的随机利润函数和期望利润函数本文考虑以下非线性规划报童优化模型： 鼍芋。( q ，。) s t q 0 ，0 t t 引理2 1 1 设需求量满足均匀分布那么在条件2 下，z ( ) 所满足的密度函数和分布函数 分别为 证明 f ( x ，t ) f ( z ，t ) 其中，c 厂( ) = p + 瓶( ”鼍掣t ) ，三( t ) = p 一以( 。+ ! 铲t ) 设u ( ) ，l ( ) 分别为均匀分布的上下端点，由均匀分布的性质可得： v ( t ) 十l ( t ) = 2 p ( t ) ，u ( t ) 一工( ) = 2 瓶o ( t ) 那么由条件2 的( 1 3 ) 式可解得： u ( ) = p + 以( 叶鼍产t ) ，三( t ) = p 一以( 叶与) 因此当工( ) 5x ( t ) u ( t ) 时，我们有： “丑”2 而2 丽i 毒写 1 n ( 2 2 ) 囊一， 复旦大学硕士学位论文 m ，归一- l ( t ) 。焉攀 定理2 1 1 设需求量满足均匀分布，令口= 咖4 - a - y 铲t ct 那么在条件】，2 下，零售商的 随机利润函数式为： 期望利润函数式为： c 卜掣c 删一半( 帅+ - 狮5 - a ) + ( p 一岛一一c t - - c o c ，+ 归跏 ( 2 4 ) 证明： 由于零售商的利润为销售利润值减去损失值，并且我们注意到 m a x o ，q z = q m i n q ，z ) = q a m a x o ，。一q ) = z m i n x ，q ) = 。一a 那么零售商的随机利润函数式为： 口( q ，t ) = p a h m a x _ f o ，q z ) 一s m a x o ，z q 一d ( t ) q ( p + 日十s ) a 一( c ( t ) 十日) - 0 一s z 由经典报童模型可知如果订货时间为t 订货量为q ，则有： ( 1 ) 期望缺货量： s ( q ，t ) = 扛一q ) ，( ，t ) d x ； j 口 ( 2 ) 期望销售量： f qf u ( e )f q g ( q ，2 卜l 。，( z ，。) d 2 + 厶q f ( 。，。) 出= 坤) z ，( 。，咖h 4 - q q f ( q ，) j l ( t )- ，0j l ( ) ( 3 ) 期望滞销量： u ( q ，t ) = ( q 一。) ，( z ，) d # = q f ( q ，t ) 一z f ( z ，t ) d z = 一g ( q ，) ； 复旦大学硕士学位论文 因此零售商的期望利润函数式为 o ( q ，a ) = ( p c ( ) ) = ( p g ( ) ) c ( q ，t ) 一( c ( t ) 十日) i ，。m ，t ) 如+ q 【j l ( t ) u ( q ，t ) 一s s ( q ，6 ) - q f ( q ，t ) 删m ) 一阱，州州) 如卜觯- q ) f 她 r q = ( p + 日+ s ) z ，( z ，t ) d x 一( p + 日+ s ) q f ( q ，t ) + ( p c ( t ) + s ) - q s 肛 j l f n 一面p 4 - h 十再s ( 譬卅) 一半q 一意熬( 肛嘲叶罕t ，) 2 郴w 删一 一掣( 下q 2 卅) 一型q 一等等( 卢一西) 2 + ( p 卅s ) q 嘶 = 一掣( q 刊2 一生竽q 一掣( 一2 椭a + 3 a 2 ) + ( p 一岛一瓣( - - g o 肛跏 一等拳( 。刊2 一生字( q 州釉 + ( p 一函一c 卵t 一- 。c 。o ( c r - - 0 - 0 ) + s ) 日一跏 2 2 模型分析 口 我们知道对于经典报童模型，零售商的期望利润函数对决策变量q 是严格凹的但是 对于本文考虑的推广模型，目标函数的凹凸性有一些不同下面首先给出期望利润函数的 一些性质，然后简要的分析推广报童问题模型与经典模型中零售商期望利润之间的关系。 定理2 2 1 记广义报童问题的可行域为= ( q ，圳臼0 ，0 t 如果在条件l ，2 下， 对于固定的d ，零售商的期望利润函数o ( q ，一) 在工上关于q 是严格的凹函数对于固定 复旦大学硕士_ 学位论文 的q o ( q ，在l 上关于o - 是凹函数如果还有下面的条件成立 三铲( q 刊一鬈墨。 那么o ( q ，a ) 在上上是凹函数。 证明：现在我们对o ( q ，卅求一阶偏导数 掣= 一( q 刊一生竽+ ( p 一小c 卵t 一- c o ( ( 7 - - o o ) + s ) ( 2 a ) 掣= 瓮学( q 刊l 生竽肛u 田r 一- 咖c o q ( 2 7 ) 我们再对o ( q ，o ) 求二阶偏导数： 掣：一型 o ( 2 8 ) a q 2 2 , 5 口 一 7 掣：一兰掣( q p ) 2 o ( 29 ) 刁i 丁一。一1 i 矿o v p ，” 、“。 罨铲= 一p + h + s ( q 2 v 伍a 2 刊一坐o t o 0 ( 2 1 0 ) a q a 口 r 一 、 7 由( 2 8 ) 式可知对于固定的c r ，o ( q ，a ) 在l 上关于q 是严格的凹函数由( 2 9 ) 式可知对于 固定的q ，e ( q ，口) 在上关于口是凹函数。又由( 2 8 ) - ( 2 1 0 ) 式和条件( 2 5 ) ，函数o ( q ，口) 的h e s s i a n 矩阵的行列式为： ：尝塑o a 2 一( 盎) 2厶2 砑一一百面 = 鸶c q 刊鬻2 丽孑广l v p o 面= i 0 那么此时o ( q ，口) 在l 上是凹函数 ，岛一岛、2 i 面：i 口 引理2 2 1 设e ( q ) 为经典报童问题的期望利润函数，那么 啪卜等( q 刊2 一生掣( q p + 乎仃o ) + ( p q 州) q _ _ s p ( 2 1 1 ) 1 3 证明当t = 0 时，口= o 0 。从定理2 1 1 的证明可以看出，若t = 0 则中( q ) = e ( q ，一o ) 即 为经典报童问题的期望利润函数。 口 复旦大学硕士学位论文 2 3 求解与实例 当h e s s i a l - 矩阵是严格负定时，o 是一个严格凹函数，它的最大值就是梯度等于零的 点下面，我们令( 2 6 ) ，( 2 7 ) 两式同时等于零有： 岩c q p ) 一半+ ( p g 。一c 卵t 一- - 。c 。0 ( n a 。) 十s ) = 。 瓮雾( q 刊2 一兰半以一糕 令 。：生堡望，。：c t - c o ，6 ：! 旦笪+ 岛十咖 2 , 3 。 o t o o 2 “ 。 那么( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 可化为： 由( 2 1 4 ) 可得 将( 21 6 ) 代入( 2 1 5 ) 得 a 三( q p ) + c 盯一6 = o n 刍( q p ) 2 2 c ( q p ) 一( 3 n + 2 c p ) = o q p = ( 6 一) ： ( b c 口) 2 2 c ( b c 口) 一a ( 3 a + 2 c p ) = 0 求解( 21 7 ) 得到a 的最优解矿，将它再代入( 2 1 6 ) 求出最优解q + 下面我们给出几个实例：( 其中假设p = 9 0 ，h = 1 2 ，s = 3 6 ，t = 6 0 ) f 2 1 2 1 ( 2 1 3 ) f 2 1 4 1 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 1 4 复旦大学硕士学位论文 参数o f l = 1 0 0 ，o - t = 1 9 ，c r 0 = 1 0 3 ，c r t 。2 3 ，c r 0 = 1 0 1 ，o t = 2 2 ， q = 1 6 ，国= 6 0c o = 1 6 ，g t = 6 0c o = 1 9 ，c , 1 、= 5 9 “= 1 0 0盯= 3 9 9盯+ = 4 1 5盯+ = 4 93 q 8 = 1 0 8 4 q + = 1 0 7 5 q + = 1 1 4 6 t + = 4 4 5t + = 4 6 1t + = 3 9 3 0 + = 1 7 8 5 9 = 1 5 6 4 4 + = 1 6 2 2 7 “= t 0 3 盯= 3 66口。= 3 80o - + = 4 6 7 q + = 1 0 9q 4 = 1 0 8 0q + = 1 1 5 3 t + = 4 7f = 4 8 7t + = 4 13 = 1 9 0 7 40 + = 1 6 8 2 10 + = 1 7 5 5 1 = 1 0 6盯= 3 2 6o - = 3 3 7 4盯+ = 4 3 9 q + = 1 0 9 6 0 + = 1 0 8 5q 4 = 1 1 6 0 t + = 4 99t 4 = 5 1 9t + = 4 3 4 = 2 0 2 2 90 + = 1 7 9 3 5e + = 1 8 8 3 5 第三章需求函数为正态分布情况下的提前订货策略 3 1 广义报童模型 在本节，我们着重考虑零售商的随机利润函数、期望利润函数及其函数性质本文考 虑以下非线性规划报童优化模型： ( n b t ) m w a x ( 删 s t q 0 ，0s t 由于对任意给定的订货时刻t ，零售商的决策问题都是一个经典报童问题，则如果订货量为 q 且零售商对市场的预测分布为丑( ) ，那么在销售季节过后，零售商的期望利润函数为： 定理3 1 1 设需求量满足正态分布，令口= 印十空暑竺t 那么在条件1 ，2 下，零售商的 随机利润函数式为： 期望利润函数式为 o ( q ，) = 一( p + + s ) ( 一卢) f ( 口，t ) + ( 盯。+ ! ! ；! 旦) 2 ( q ，) ) + + s c ( f ) ) g s 肛 证明由于零售商的利润为销售利润值减去损失值，并且我们注意到 m a x ( o ，q 一口) = q m i n q ，z ) = q o m a x o ，。一口) = z m i n x ，q ) = z o 那么零售商的随机利润函数式为 o ( q ，t ) = p a h n l a x o ，q z 一s m a x o ，。一q 一c ( t ) q = ( p 十h + 5 ) o 一( c ( t ) + h ) tq 一8 z 1 6 复旦大学硕士学位论文 1 7 z 一州刈，出：j ! q + o o x 而1 。一譬如 砷。+ 罕矿m ，压甭pl e 一丽 以( 一o + 霉i 9 c = ( 印+ ! 竽t ) 2 f ( q ，t ) + 芦( 1 一f ( q ，t ) ) 1 ( 3 1 ) 由经典报童模型可知如果订货时间为t 订货量为目，则有： ( 1 ) 期望缺货量为 ( 2 ) 2 期望销售量为 ( 3 ) 期望残余量为 ( o o + 竿埽f ( q ，) t q ，十 a ( q ，盯) = 。，( 。，t ) d z + q f ( x ，t ) d x j 一，+ 。o j q = 肛一z ，协，t ) d x + q ( 1 一f ( 口，t ) ) ：q 一( q p ) f ( 口，t ) 一( 口o + 攀t ) 2 m ，t ) x ) f ( x ，t ) d z = q f ( q ，t ) + z ，( z ，t ) d x p j0 = ( q - p ) f ( q ，) + ( 叶塑产) 2 f ( q ，) 出 妒 + + q p 一 pf 卧 = | | f 复里盔堂堡圭堂焦堡窒1 8 因此零售商的期望利润函数式为 ( “t ) = ( p c 0 ) ) - a ( q ，t ) 一( c ( t ) 4 - h ) u ( q ，t ) 一8 s ( q ，t ) = 一( p 4 - h4 - s ) ( 【q p ) f ( q ，t ) 4 - ( 口o + 竿) 2 ，( q ，) ) + ( p + s c ( c ) ) q s , u ( 3 2 ) 口 我们知道对于经典报童模型，零售商的期望利润函数对决策变量q 是严格凹的。但是对于 本文考虑的推广模型，决策变量不仅有订货量q 1 还有订货时间t ，所以目标函数的性质相对 复杂一些。下面首先给出有关期望利润函数的一些主要结论。 定理3 1 2 在条件1 , 2 下，对于固定的t ，零售商的期望利润函数o ( q ，t ) 关于q 是严格的 凹函数；对于固定的q ，当q 肛时，o ( q ，t ) 关于t 是严格的凹函数 证明 百d f ( q , t ) = 一百疆q - 再# ，( q ，t ) d 口 ( 口o + 兰i 塑t ) 2 e ( q ，t 】对q 的一阶导数为： 蓦。t ) _ 一+ 咿卅( q 刊m ，卅( 印+ 罕矿掣) + p + s - c ( 钟 = 一0 + h + s ) f ( q ，) + p + s c ( ) o ( q ，t ) 对q 的二阶导数为： d20(q,t) d q 2 因此，在条件1 , 2 下，e ( q ，t ) 关于q 是严格凹函数。 由( 1 ) ，( 3 ) 得 c ( 功= c o + 罕t 匈十型旧一印) 0 7 一咖 ( 33 ) 复旦大学硕士学位论文 显然 垡盟：! ! ：二! ! d d o - t 一口。 掣：o( 34 ) a o - 扣，c ) + 学m ， 扛刊e 岫：，( x - 4 2 赤。一一( x - 1 ) 2 出 q t z 以州m 2 去上，e q 2 如 州( q ，t ) 十a 2 去盹，t ) 掣= 旦d a 。f t ，( 州) 如 打 m “7 7 ：。d x 曼f ( 州) j 一。 ”u 阻* ， 学m ，啪出 = 一知，掣c r盯 ” = 一半m ，t ) 盯 4 ( 。一p ) 。，( 。，t ) d x j o 。 p jd f ( f q , t ) + 2 口m ，t ) + c r 2 d r 打( q , t ) ，l 一9 百d c ( t ) = 一+ h + s ) 口，( 玑) 一q 兰! 旦 a t 一盯0 所以：期望利润函数o ( q ，t ) 关于t 的一阶导数为： ( 35 ) ( 3 6 ( 37 ) ( 3 8 ) 1 9 复旦大学硕士学位论文 d o ( q ，t ) 出 d 2 0 ( q ，t ) d c r 2 罕( 七ms ) ( c r o + 罕w ( q ，”q 鬻) 罕( p + h + s ) ( 叶罕t ) f ( q ，) 一q 罕 昙( 一( p + h 刊州) 一q 篙) ( p 十h + 3 ) ( ，( 吼t ) + 口鱼丛当旦) ( 3 9 ) ( p + 帆，。( 一知”学m ，) ) 3 1 0 ( ? ) + 删m ，t ) 学 所以：期望利润函数o ( q ，t ) 关于t 的二阶导数为 1 a c e 矿( q # ) = 丢( 掣)i 万一一五l 矿， 一d ，a t 一口o d o ( q ，t ) 、 d t 、td a 型t 旦d t ( 掣)、d 盯 7 口r 一1 7 0d ，d o ( q ，t ) 、d 口 2 丁一磊l j - j 面 = ( 望竽) 2 d 2 e ( q ，t ) 一( 罕舳s ) ，。蔫 0 型盔堂塑圭堂垡造塞 2 1 因此，在条件l ，2 _ ，当q p 时，由于荔。( g ，) 0 ，a ( 0 0 0 1 ，0 9 9 9 ) ，v t 0 ，卅( 3 2 0 ) 上面的条件( 3 2 0 ) 实际上使中“( a t ) ( 一3 1 ，3 1 ) ，那么( 3 1 8 ) 中函数旷( t ) 对任意的 【0 ，t 是一个正函数 引理3 2 1 设条件3 成立下面两个约束最优化问题的最优解相等： q ! 器登! t 。( q ，。) 2o m ! t o ! , x r 州 证明由定理3 1 2 可知，对于任意固定的 o ，t 1 ，优化问题g l a x 。e ( q ，) 只有唯一解 g 。( ) 由条件3 且有q + ( t ) 20 因此， 。罡蹬! t e ( 玑) 2 逮精 晋多。( 删) 2 m a 。x 。，o ( q + ( 舭) 2 m a x 1 f ( t ) 下面分析最优订货时间的求解方法 定理3 2 1