（概率论与数理统计专业论文）arch模型及其神经网络预测研究.pdf

摘要 l 自阿归条件异山挚模型刻划了刚变的条件方差，是目6 h 时间序列分析和计量 ；t 济领域例l 究的瓤i 、。存! 日+ m j 序列的应刖- l 预湖0 是j 中的。个重要力i 面。a r c i 模型的预测理论与实际应用之间仍然存在差跆。近年来神经网络处理时问序列万 法受到了重视和研究。、 本文首先论述了a r c h 模型的理论、应用与发展，介绍了神经网络预测时州序 列的方法。然后本文利用已有的时间序列分析的理论与神经网络的理论及多种学 ? j 算法，在理论上进。步研究了a r c h 模型性质；同时寻求建立a r c h 模型与时侧 垮列预测之| 1 b j 的理论联系：并且钏对神经网络在时l n j 序列中的应用，给出了使用 不同网络处理时亭问题的仿真实例。 本文在前入的基础上，进一步做了如下的工作： 1 给出了d a r c h 模型的几何遍历性条件，并放宽了 b - a r c h 模型平稳性条件； 2 得到了实际中常用的g a r c h ( 1 ，】) 、( ；a r c h t 2 ，2 ) 的四阶矩的存在条件及具体 表达式： 3 讨论了a r c i - i 的诺，给出了其谱表达式，并且与一般线性模型的谱进行了比 较： 4 给出了神经网络预测a r c h 的三种模型，并在多步预报方面与传统方法进行 了比较：在理论上得到了三层前馈网中新增隐单元数目的近似估计，可应用到a r c h 的预测中： j 提出了用分层次感知器网络预测a r c h 以及用r b f 网络重建畸变信号，并给 m 了仿真实例。 关键词a r c h 模型神经网络预测隐单元数目感知器r b f 网 第1 页 幽防利7 学技术人j + 川程_ 院学位论义 加s t r a c t a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t 3 ( a r c h ) m o d e lw h i c hd e s c r i b e st i m e v a r y i n gc o n d i t i o n a lv a r i a n c ei s ah m p r o b l e mi nt i m es e r i e sa n a l y s i sa n de c o n o m e t r i c s f o r e c a s t i n gp r o b l e mi si m p o r t a n ti nt h ea p p l i c a t i o no f t i m es e r i e sa n a l y s i st h e r ee x i s t d i s t a n c e st os o m ee x t e n tb e t w e e nf o r e c a s t i n gt h e o r 3a n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n so fa r c h p e o p l en o wp a y a t t e n t i o nt ot h ef o r e c a s tb a s e do na r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ( a n n ) i nt h i s p a p e rf i r s t w ei n t r o d u c et h et h e o r 3 a p p l i c a t i o na n dd e v e l o p m e n to fa r c h a n dt h ea n nm e t h o df o rt i m es e r i e sf o r e c a s t i n g s e c o n db a s e do nt h ek n o w l e d g eo ft i m e s e r i e s a n na n dt r a i n i n ga l g o r i t h m s w es t u d 7t h ep r o p e r t i e so fa r c h 、a n dw et r 3 ，t o 矗n dt h et h e o r e t i c a lr e l a t i o n sb e t w e e na r c hm o d e la n dt i m es e r i e sf o r e c a s t i n ga tl a s t w e a p p l ya n n f o rt i m es e r i e sa n d g i v et w o s i m u l a t i o ne x a m p l e s t h em a i nw o r ki nt h ep a p e ra r ea sf o l l o w s ： 1g i v et h e g e o m e t r i c a le r g o d i c i t yc o n d i t i o n so fb a r c h ；w i d e nt h e s t a t i o n a r i t y c o n d i t i o n so f1 3 - a r c h ； 2o b t a i nt h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n sa n dt h ee x p r e s s i o n so ft h ef o u r t h o r d e rm o m e n to f g a r c h ( 1 ，1 ) ，g a r c h ( 2 ，2 ) ； 3s t u d yt h es p e c t r u mo fa r c h ：g i v et h ee x p r e s s i o no fi t s s p e c t r u ma n dc o m p a r ei t w i t lc o n v e n t i o n a ll i n e a rm o d e l s ； 4g i v et h r e em o d e l sf o r f o r e c a s t i n g a r c hb a s e do n a n n ；g e ta p p r o x i m a t e e s t i m a t i o no fh i d d e nu n i t sw h i c hc a nb eu s e di nt h ea r c h f o r e c a s t i n g ； 5p r e s e n tt h em e t h o do f f o r e c a s t i n ga r c h w i t hh i e r a r c h i c a lp e r c e p t i o n ；a p p l yr b f n e t w o r kt or e s t o r et h ed i s t o r t e ds i g n a l sw i t h ；a n dg i v es i m u l a t i o n s a m p l e s k e y w o r d s ： a r c hm o d e la n n f o r e c a s t i n g h i d d e nu n i t s p e r c e p t i o ns p e c t r u m 第1 i 页 目翰利。，坎术人学研究! 二院子何论文 引言 在时间序列分析中，传统的测量数据的拟合模型往往假定样本方差保持不变， 即讨论平稳的随机过程和可以平稳化的非平稳过程。常用模型有a r 、m a 、a r m a 等。但在计量经济领域，进行数据分析，常常发现二阶矩随时间变化呈现出有规 律波动。那么如何来解释这些波动? 可否用过去的误差来解释未来的预测误差? 如果可以，怎么来解释呢? 再如在使用模型分析实际经济现象时，常常存在不可 观测因素或不可度量因素或不可预测因素，这些通常称为不确定性。比如在分析 通货膨胀问题时，结构性通货膨胀、不确定的政治因素以及体制改革过渡期所产 生的各种各样不确定性因素都使得我们不可能单纯依靠传统模型进行分析。在投 资、金融分析和投资风险分析时也存在不确定性的问题。比如一种股票的收益率 往往同该种股票的风险有关，风险具有较大的不确定性。如何使用风险的不确定 性规律来改进对股票收益率的预测显然是一个有意义的问题。在利用传统模型进 行分析预测时不考虑不确定性因素如何变化在给定置信水平下预测值的置信区 间都是不变的，这显然不合情理。还有模型识别时也会出现识别错误等，这些都 会给使用模型进行分析带来不确定性。于是，如何度量并模拟这些不确定性，并 利用其进行经济分析和改进模型就成为时间序列分析和计量经济学中的重要课 题。自回归条件异方差模型( a r c h ) ，是研究这类具有丛集特性的时间序列的最有 效方法与途径之一。a r c h 模型刻划了时变的条件方差，使得时间序列技术得到 逊一步推广，是目前计量经济领域研究的热点。 a r c h 模型虽然得到了迅速发展，但在理论发展方面往往落后于实际应用，还 有许多理论工作需要做；在应用方面也有许多值得进一步探索的地方。例如预测 理论与实际应用之间仍然存在差距。传统的b o x j e n k i n s 方法依赖于结构平稳性与 变量平稳性，对实际中存在的大量数据难以满足要求。在预测领域如何突破传统 模式，成为a r c h 模型研究的一个重要课题。 前馈网络是时间序列预测中最常使用的网络，如b p ( 反向传播) 网、r b f ( 径 向基函数) 网等。b p 网应用虽广，却易陷入局部最优、速度慢。r b f 网等其它一 些网络效果较好，正得到深入研究。由于神经网络理论本身有待完善，故目前的 研究多出于试验性的，尚没有定量规则说明一个特定的神经网络能够学习一个怎 样复杂的动力系统。理论上分析神经网络训l 练过程，以及对网络结构、学习参数 选择等与所需预测的模型参数之间联系的探讨尚处于初始阶段。在应用上，神经 网络预测多用于非线性、非平稳数据预测，重点集中在提高网络预测精度与预测 效能。并试图与遗传算法、模糊技术等相结合，同时寻求合理、有效的实时训练 算法等。 本文主要是在理论上进一步研究a r c h 模型性质，同时努力寻求建立起神经网 络预测方法与一类时间序列( a r c h ) 之间的联系。主要章节如下：第一章论述了a r c h 模型的理论与应用并给出了实际拟合例子，介绍了神经网络预测时间序列方法； 第二章对a r c h 性质进行了研究；第三章讨论了a r c h 的预测问题，先给出了线性 与非线性时间序列的预测方法上的差异，接着给出了三种神经网络预测模型，理 论上推出了隐单元的近似下限：第四章讨论了如何用不同的网络处理时间序列问 题，并作了仿真。 第】页 国防科学技术人学研究r 院学何论文 第一章a r c h 模型及神经网络预测 1 1 a r c h 模型及其应用与发展 111 问题提出 传统的计量经济模型往往假定样本的方差保持不变，即在不同时期方差保持 一个常数。随着金融理论的发展和实证工作的深入，已经发现这一假设不尽合 理。大量对会融数据的经验研究结果证实了用来表示不确定性和预测决策风险的 卉差是随时阳j 而变化的。 许多对金融数据的实证研究表明这些数据明显地表现变量的丛集特性，即幅 度较大的变化会集中在某些时段，幅度较小的变化也会集中在另一些时段。如一 个半稳零均值的时间序列虽然是平稳的，但其方差的变化呈现一定的规律性，即 较大的方差族后往往跟着射个较大的方差族，而较小的方差族后往往跟着另 个较小的方差族。另外在使用模型分析经济现象时，常常存在不确定性因素。在 投资、金融数据等分析时也存在不确定性的分析问题。例如如何使用风险的不确 定规律来改进对股票收益率的预测显然是个很有意义的问题。在利用传统模型 进行分析预测时不考虑不确定性因素如何变化，在给定置信水平下预测值的置信 区州都是不变的，显然不合情理。 这些研究表明传统的线性回归模型的独立同方差假设，不适合于描述金融价 格j 收益的变化规律，于是许多金融学家和经济计量学家开始试图用不同的模型 与方法来处理这一问题。有人提出了消除条件异方差的方法，来对金融数据进行 预处理，再引用传统回归模型的方法来建模和预测。其中e n g l e ( 1 9 8 2 ) 1 1 】提出的“自 回归条件异方差模型”( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t ym o d e l ) ， 简称a r c h 模型，是目前研究这类具有异方差性特征的金融数据变动规律性的 最有效方法l 途径之 。 1 1 2 a r c h 模型及其变形 传统时间序列模型描述了序列的条件阶矩。a r c h 模型则描述了序列的条 件_ = 阶矩。它的基本思想是：一方面序列的一步预测均值、一步预测方差都随时 闯变化，另一方面无条件方差又有限。 一般地，设 y f 是观测序列，而满足 y 尸g ( 惭，6 ) 十研 ( 1 1 ) 其中g ( 惭_ f ，6 ) 2 e l y , i 罗t 1 ) ，罗t 1 - d 执i , y 岫) 为由抄 j 2 ，) 生成的于域。 嘶- 所有t 一1 时刻的信息集，一般取为o o ，蜴 。6 ：未知参数，g ：惭，和b 的函 数。 x ，：y ，关于条件均值的误差，注意到实验中x ，并不可观测，能够观测到的是 ”因为y ，在扣除均值之后的残差数据是可以得到的，所以不妨假设x ，也是可观 测的。 第2 页 国防科学技术人学研究乍院学位论文 称具有如下形式的时间序列为满足a r c h 模型的序列： x t = g t h ，7 门f 1 2 1 白是独立同分伟的随机变量，白与 x 。，s o ，i = l ，q ， 2 j “义a r c h 模型( g a r c h ) 由b o l l e r s l e v ( 19 8 6 ) 1 3 1 提出 qp h t = 嘞+ 叩i ，+ z p , h , ， 忙1仁1 其中p 2 0 ，q 0 ，a o o ，a j _ o ，阮- 0 ，i = l ，q , j = l ，p 3 非线性a r c h ( n a r c h ) i n h f2 c t 0 + a i ( e ， l = l 4 i g a r c h 模型 1 g a r c h 模型为模型( 1 5 ) 3 i 条件 q， a ，+ 只= 1 i = 1 = 1 成立时的特殊情况。 ( 1 4 ) ( 1 5 ) f 16 1 f 1 7 1 另外，还有其它如t a r c h ( 岛服从t 分布) 、m a r c h f 多元a r c h ) 、p - a r c h 等多种变形。 11 3 线性a r c h 模型的估计和检验 对于线性a r c h 模型y ，= 竹卢+ x f ，h ，= 口o + a l x 互l + + 口p x 置。的参数估 j t 我们一般要求：在有观测样本的情况f ，、当伊o 时，信息矩阵可由下列统讨 营进行致估计。 ：一1 亡，1 西而，、 a2 手蕃c 壶象暑， i | = 、l 心“uo u 存实际中常应用如下极大似然迭代算法获得参数估计 第3 页 吖 n 毋 ，卢 + ” 0 叫 国防科学技术人学研究生院学位论文 口( i + = 口“) + ( z r z l 1z 丁厂t ) “j 脚时同样可得信息矩阵的一致估计 朋= 彳i 厶n 1c o ，( 2 x ? 口； j ) 卢1 在实际应用中同样常用迭代算法获得参数估计 “”= o + ( 多印) 。罴l ， 冈此a r c h 模型参数估计步骤如下： n 0 1 先用最小一乘估汁求得p 的估计值声作为卡j 值，由此町得残差值x ，； 0 0 2 以x n ，x ，作为样本值代入参数估计迭代方程，可得二； 3 同样由d 的迭代方程可得p 的精确估计p 。 特别地，由于关于0 的海赛尔矩阵为对角阵，故0 l ，p 可分开估计。我们可以采 用拉格郎f 乘子( l m ) 检验方法对a r c h 模型进行检验，设零假设为 0 ：q2 哟一2 口。0 得到其l m 检验统计量 t r z ：r 盥掣( p ) 从上述表达式不难看出，实际上是，o 与z 之间的样本复相关系数。 以上的推导可详见文献 2 、【3 1 4 1 1 9 】。 114a r c h 模型的理论及应用研究 a r c h 模型自提出以来，该模型的各种演变以及在各个领域特别是金融领域 的应用研究得到了飞速发展。但还有许多理论工作需要做，在应用方面也有值得 进步探索的地方。 1 a r c h 模型在应用方面主要是对金融数据中的易变性数据，如股票数据、利 率、汇率数据等。它可以反映金融市场变量特点，为风险分析提供依据；它能够 提供与序列波动程度相适应的预报置信区间，可以改善经济计量模型的预测能 力；而且，它还可以改进通常的回归模型，这是因为残差项在模型不合适时，其 影响可能以a r c h 形式出现。 2 理论研究方面包括如下几个方面 模型新形式 误差项中局条件分布的不同假设 外推预报时精度性质 参数估计方法及其效率比较研究 a r c h 影响检验 非参数估计方法研究 本文在理论上主要研究a r c h 模型的各种形式，如a r c h ( q ) 、1 3 - a r c h 等 的平稳性、四阶矩、谱等性质，如在参数估计时，平稳性基础上的遍历性定理保 证样本函数的时间平均收敛到总体平均，而从谱的形状可以看出方差变化规律； 另外考虑a r c h 模型研究的非参数方法一一神经网络方法。应用上主要考虑到 第4 页 段掣的预测问题。 以下举例说明如何罔a r c h 模型拟合实际数掘。 例1 文献 2 及 7 】中对我国1 9 8 3 年】月至1 9 9 4 年9 月的月平均社会零售商品 物价指数，进行条件异方差性分析。由有关经济学理论知，社会零售商品物价指 数与以下解释变量有关：货币流通量、银行工资性现金支出、国内财政支出、国 内基建财政拨款、国内工业贷款总额。建立模型之f j l 先对数据进行预处理。在数 据处理的基础上，经过分析得到如下混合回归模型： j f = 0 0 0 0 6 4 x i ，一、一0 0 0 0 6 0 x 2p 4 + 0 0 0 1 4 7 x 3 ，18 0 0 0 4 3 5 x f 一8 0 0 0 0 6 9 x 5 ，一4 + e ， 用11 3 节中方法，对拟合残差 e ， ，经l m 检验，在置信水平00 5 下拒绝 。再用极大似然估计迭代算法得到如下a r c h 模型： 【1 ，= 0 0 0 0 6 0 9 x i ，一3 一0 0 0 0 1 0 8 x 2 h d + 0 0 0 0 8 9 5 x 3 ，一18 0 0 0 1 2 2 2 x 4 f - s 0 0 0 0 3 4 2 x s f _ 4 十p ， 一， l h ，= 0 0 0 9 9 + 0 1 0 7 5 e a l + 0 , 1 9 2 3 e ( _ 二+ 0 a 5 5 l e ；j + 0 0 8 4 5 e a l 二 以上拟合倒子说明，在考虑了a r c h 影响后，均值模型中各回归系数的绝对 值几乎都下降了。即在存在有不确定性的情况下，使用通常的l s 估计法，将会过 分估计模型参数，从而均值预测的不确定性被掩盖了。 例2 下面我们对1 9 6 1 年5 月2 9 同至1 9 6 1 年7 月7 日的每ri b m 普通股收 盘价进行分析。首先对数据进行预处理( 一阶差分) ，然后拟合线性a r 模型，得到 模型： 0 0 9 3 ，1 一o 0 0 8 y f f2 + e 0 0 9 ) - i + 0 0 0 8 1 ，一2 对残差序列 ：一) ，经l m 检验，在置信水平p = o 0 5 下，拒绝，即认为残差 事列 e 一) 存在明显的相关性。然后用极大似然估计迭代算法，求得如下a r c h ( 1 、 模型： h ，= 8 2 6 + 0 3 3 e a l 拟合结果表明此股票数掘残差有a r c h 影响，也就是晚序列的条件二阶矩存 在相关性。这也说明a r c h 模型描述金融领域中的数据更切合实际。 1 2 神经网络及；t t - 对时间序列的预测 1 2 1 人工神经网络简介 人工神经网络( a 1 州) 是在现有神经科学成果的基础上提出来的。它是一门 交叉学科，以其独特的信息处理特点，在许多领域得到成功应用。它不仅具有 强大的非线性映射能力，而且还具有自适应、自学习、容错性和并行处理等性质。 神经网络系统是由大量的，同时也是很简单的处理单元( 神经元) 广泛连接而形 成的复杂网络系统。一般认为，神经网络系统是一个高度复杂的非线性动力学系 统。 神经网络理论研究包括神经网络模型和训练算法的探讨。从人工神经网络的 第5 页 5 目防_ 车= | 学技术人学 i 3 究l 院了何论文 堆本模式看，主要有：前馈型、反馈型、自适应型和随机型等。对于学习算法的 研究，是在神经网络模型的基础上，对于给定的学习样本，找出一种能以较快速 度和较高精度调整神经元间相互权值，使系统达到稳定状态，满足学习要求的算 法。 但神经网络研究也存在较多问题。如神经网络走向实用化的一个很大的障碍 是系统能力验证研究的落后，从而导致在实际应用时对网络的性能没有一个数量 匕的把握。 1 22 神经网络预测时间序列 l 时间序列预测 预测问题是动态数据分析处理的一个重要方面。在科学、经济、工程等许多 嘘用中，都存在着在历史数据的基础上预测未来的问题。面对自然和社会经济现 象中大量存在的非线性的复杂动力系统问题，传统的预测方法，如指数平滑法、 b o x j e n k i n s 法解决这类问题效果欠佳。 由于时间序列数据的信息不完整性和影响因素的多样性，使得非线性预测系 统必须具有一定的智能信息处理能力。自从1 9 8 7 年l a p e d e s 和f a r b e r 首先应用神 经网络进行预测以来，神经网络预测时间序列方法受到了重视。 时f b j 序列一般可以分解为三个因素：长期因素、季节变动和随机因素。随机 因素的预测通常是时问序列预测的焦点。 2 神经网络预测 简单描述 在时间序列预测中，前馈网络是最常使用的网络。在这种情形下，从数学角度 看，网络成为输入输出的非线性函数。记一个时j 、日j 序列为 工。 ，进行其预测可用下 式描述 x = 舡。# + p 、j ：，1( 1 8 ) 时间序列预测方法即是用神经网络来拟合函数，( ) ，然后预测未来值。 网络参数和网络大小 用于预测的神经网络性质与网络参数和大小均有关。网络结构包括神经元数 目、隐含层数目与连接方式等。对一个给定结构来说，训练过程就是调整参数以 获得近似基本联系，误差定义为均方根误差，训练过程可视为一个优化问题。 在大多数的神经网络研究中，决定多少输入与隐层单元数的定量规则问题目 6 f 尚未有好的进展，仅有的是一些通用指导：首先，为使网络成为一个完全通用 的映射，必须至少有一个隐层。1 9 8 9 年r o b e r t - n i e l s o n l 5 1 证明一个隐层的b p 网可 逼近闭区间内任意一个连续函数。其次，网络结构要尽可能紧致，即满足要求的 最小网络最好。实际上，通常从小网络开始，逐步增加隐层数目。同样输入元数 目也是类似处理。 数据和预测精度 通常把可用的时间序列数据分为两部分：训练数据和检验数据。训练数据一 j 2 殳多于检验数据两倍。检验过程有三种方式： 短期预测精度的检验。用检验数据作为输入，输出与下一个时间序列点作比较， 误差统计估计了其精度。 长期预测中又可分为迭代一步预测和直接多步预测。迭代步预测是指以一个 第6 页 涮防 ： 。哥技术人学川究生院学 t 论文 欠量作为输入，输出作为下一个输入矢量的一部分，递归向前传播：直接多步预 测是指由工，j + 。j + 。直接进行预测，输出x 。的预测值，其中k l 。 本文的研究结果表明：a r c h 模型的预测方法采用线性近似方法，影响精度性 能。采用神经网络方法为a r c h 模型的预测提供了一条可行的思路，一般可以较 好地处理非线性模型，对多步预测也可相对提高精度。但出于神经网络本身理论 的不完善，在实际应用时对网络的性能在数量上的把握还是一个未完全解决的问 题。 第7 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 第二章a r c h 模型性质研究 2 1 p - a r c h 模型性质 在实际应用中，线性a r c h 及g a r c h 模型有广泛的实际背景。例如a r c h ( 1 1 模型： ri ，1 p2 、( 21 ) 【魄= o t 0 + 口l x 二1 从预报的角度看，模型的。步预报误差x ，的条件方差与前一时刻的误差x i 何关，不是常数。在经济领域中，许多经济现象诸如通货膨胀率、股票价值 等，部具有这样的性质。所以在经济领域中倍受重视。 对a r c h 模型或g a r c h 模型，为保证其平稳性，对参数的限制较严。例 如对a r c h 0 ) 模型第二个方程两边平方得： x 2 一s2 h i = 口。占? + 口i 2 2 一l = a o c 2 , + 酣1 膏( 口。吐l 十口l 毫l x 置2 ) = a 。a f 兀圣t 容易验证 x ? ) 是平稳序列，j 丑e x t 2 o o ，当且仅当o a ， 0 ，0 - 1 3 1 ，则称m ) 服从p - a r c h 。 本节中根据已知的一些结论，我们先推导出p - a r c h 模型的一种变形的几何 遍历性条件，并由此推出其平稳性。接着由于考虑几何遍历性时要求 白) 有处处 为正的连续分布密度。为放宽对 日) 的限制，我们从另一思路出发，即用后移法， 求证明b a r c h 模型的此变形的平稳解的存在性。 第8 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 2 11 p - a r c h 模型的变形的几何遍历性 先考虑如下几个定义 ：王义1 设 x 。 是概率空间( q ，f ，p ) 卜取值于( r ，b 。) 的一个随机向量序 列，如果对任意的a b 。，都有 p ( x ，a lx p l ，x ，2 ，) = p ( x ，a lx ，一1 ) ，a s( 2 5 ) 0 称 x 。 是以( r ，b 。) 为状态空间的马氏链。 定义2 以丌记马氏链k ) 的不变概率分布，p 。( x ，爿) 为马氏链扛。j 的n 步转移概 率，则对a b 。，有 n ( x o a ) = p ( x 。a ) ( 2 6 ) ( i ) 马氏链x 。 称为遍历的，如果存在一概率测度丌，使得对任意的x r ”，有 1 i m 慨( x ，) 一厅( ) 1 1 = 0 ( 2 7 ) 舆中表示范数： ( i i ) 如果还存在常数0 p o 为模型的平稳解。 对于非线性a r 模型 f 一= ( - 一1 ，z 卜，) + i ( x o ，x 一】，x 一，+ 1 ) r r ” 式中 日 是白噪声，且 ( 2 1 0 ) f e 2o ，【i i 与 _ ，s ， 独立 若i - x t 2 ( x ，z f 巾+ ，)，“2 ( 1 ，0 ，o ) ，且妒h 1 ) = ( 庐0 c t 1 ) ，“，j f 巾+ ，) t ，贝0 ( 2 1 0 ) 可写为 x t = 5 1 ) + 日 ，x o r 9 目i 理2 1 ”1 如果n l a r 模型( 2 1 0 ) 满足 ( j ) 岛 有处处为f 的连续分布密度 第9 页 垦堕型堂苎2 二垒兰! 竺二竺丝二堡垒兰一 = = = = = = ；= = = = = ；= = ；= = = = = = = = ；= = ；= = = = = ；= = = = = = = = ；一 ( i i ) 存在常数0 0 ，0 p 1 ，白噪声 岛 有 处处为正的连续密度，且e 岛= o ，e ( 1 n 1 白i ) ! 。，e l n i 白i i n a o ，故1 ( 儿刊 0 。于是对0 s h ， ”? 0 ，o 郅 1 ， 曷 为白噪声序列，e 6 t = o ，e ( 1 n i d ) 2 o o ，e l n i d o o ， 甜与 ，s 0 te 毒= v 2e ：h 通常有v 2 = 1 ，这里取v 2 = l ， 令q l = 届+ 口l 圣l ，贝0 h f a o 十c t j h | 1 若x 。二阶矩存在，则 e c f _ l = l + a 1 o 即 库十2 a l 届+ a k ( 1 ， 的四阶矩为： 丘? = 0 砰= v 4 e h ? =竺i ! ! ! ! 堡! 岛2 ( 1 一a 1 一届) ( 1 一所一2 a l 届一口? v 4 ) f 2 1 9 、 ( 2 2 0 ) 222g a r c h ( 2 2 ) 的四阶矩 按照2 7 1 中的思路与技巧，我们接着可推导出如下结果： 定理2 3g a r c h ( 2 ，2 ) 的四阶矩存在的充要条件为 e c i ，一1 + e ，2 + 2 r t q 2 ( 1 一也) 1 ( 2 2 1 ) 其中r j 2 口1 + 届，r ? = 啦+ 屈 ， ，一。硝屈+ 渴啦十届q ) t q 啦、，。 e c i 卜1 = 所+ 2 a l f l l + o 卜4 e c ；h = 鹰+ 2 a 2 岛+ 口；v 4 7 且 的四阶矩为 【口；+ 2 a ；( 1 + + ，塑) ( 1 1 ) e ”4 瓦j 五苒 证明：g a r c h ( 2 ，2 ) 为 k = 辟” 【 = 口o + q x - - i 1 + t 1 2 x 2 ，_ 2 + 届 一l + 岛 一： a p o d ，屈o ，i - 1 2 ，群= v 2 e 一= v 。， 取v ! = l 令c 1 卜1 = 矗十口i 蠢i c 2 一= 屈+ 口2 t 2 ， 则( 2 2 3 ) 可化为 h j 2 a o + c ，h 1 ，+ 。j ? h f - j e h , = a o + e c | ? 1 ! h t f + e c2 i 2 h t 2 于是 e h ，( 1 - e c l ，i e c 2 ) = 的二阶矩存在，则 e c ，f + e c 1 即口。+ 届+ + 届 1 ) r m ) ：上上一 。、7 2 f l _ 0 4 0 4 c o s z 若，= o ，9 ) ，。+ - ，是白噪声，则 ，0 的理论自相关函数是岛：c o l ”l ，一，0 ，理论谱 密度函数是击，如图2 1 ，分别是 y ，) 有异方差特征和无异方差特征时 x ? ) 的谱： 1。1。1。 o t zr 2 |j o z lj 图2 i ( ” 有异方差特征和无异方差特征时 x ”的谱 再求 y 。 的自相关函数和谱： ) j 的理论自相关函数是 岛= o 9 岛一l，n 0 ， ：y ，) 的理论谱密度函数为 lt f ( 2 ) 。寺面靠，o 九如 比较 y ，) 与 x 的谱，如图2 2 ，分别是 x 与 h 的谱： 第1 8 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 图2 2 x ? ) 与， 的谱 应该注意到： 1 对于这个平稳a r c h 过程( q o ) 时的取值h 。进行 估计，称之为时间序列的预报，所得的估计值记为x “n * k ，称为。的预报值或 “) 的k 步预报值。当k = l 时，称为一步预报。记 岛+ 。= ，。一：。f 1 ) n o ( 3 1 ) 称为时间序列 z 的新息序列。文献中有许多不同的预报方法，这里主要讨论两种 预报方法j ：一种是条件期望的预报方法，另一种是线性投影方法。从概率论角 度看，最完备的预报应是给出在 砩稚一) 条件下k 。的条件分布。但由于条件分 布既不容易被估计，又不便于使用，所以较少被讨论，代之用条件分布的数字特 征条件期望作为h 。的估计，称之为条件期望预报方法。如在给定 “k ，) 的条件下，利用条件期望的性质，k ，的条件期