（计算数学专业论文）带阻尼项sinegordon方程的交替方向法.pdf

摘要 在现代物理学研究中，出现了许多非线性发展方程，电报方程首先是从电报线上电压 和电流的变化规律推导出来的，它描述了均匀传输线上电压和电流的关系，所以它又被称 为传输线方程s i n e - g o r d o n 方程是电报方程的一种非线性形式，是无穷维动力系统的一 个重要的模型，随着现代科学技术的不断发展，s i n e - g o r d o n 方程的应用也越来越广 对于s i n e - g o r d o n 方程，由于其能量守恒，因此，近年来关于此方程计算格式的研究 基本上以能量守恒为主，并得到了比不守恒格式较好的数值结果，但是，对于带阻尼项的 s i n e - g o r d o n 方程，由于其带有阻尼项芸，因此导致了其能量的不守恒性，本文对二维有 阻尼非线性s i n e - g o r d o n 方程构造几个数值计算格式交替方向法是一种非常有效的算 法，它能够将多维问题转化为一系列一维问题进行求解，使得计算可以在x 方向与y 方 向( 或更多方向) 单独进行，有效的降低了计算量并保持了一般方法所具有的精度及稳定 性，基于以上优点，在第二章，我们构造了个交替方向差分计算格式，精度为o ( 丁2q - h 2 ) ， 最后用能量方法证明了其收敛性与稳定性第三章构造了二个交替方向有限元计算格式， 从理论上证明了格式的收敛性与稳定性，数值结果表明格式是有效的 关键词：有阻尼s i n e - g o r d o n 方程；差分格式；有限元格式；交替方向格式； 稳定性；收敛性 a b s tr a c t t h e r ea r em a n yn o n l i n e a rd e v e l o p m e n t a le q u a t i o n si nt h ep r o c e s so fm o d e mp h y s i c s r e s e a r c h t e l e g r a p he q u a t i o nw h i c hs h o w st h er a l a t i o n s h i pb e t w e e nv o l t a g ea n d c u r r e n ti n w e l l - p r o p o r t i o n e dt r a n s m i s s i o nl i n e si sf i r s td e d u c e df r o mt h el a wo fv o l t a g ea n dc u r r e n t c h a n g e si nt e l e g r a p hl i n e s ，s ot h ee q u a t i o ni sa l s ok n o w na st h et r a n s m i s s i o nl i n ee q u a t i o n s i n e - g o r d o ne q u a t i o ni saf o r mo fan o n - l i n e a r i t yf o rt h et e l e g r a p he q u a t i o n ，w h i c hh a s b e c o m ea ni m p o r t a n tm o d e lo ft h ei n f i n i t e - d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m sa si th a sm a n y i n t e r e s t i n gp h e n o m e n a ，a n di tw a su s e di nam o r ew i d e l yw a yw i t ht h ep r o g r e s so fm o d e m s c i e n c e sa n dt e c h n i q u e s f o rs i n e - g o r d o ne q u a t i o n ，b e c a u s eo fi t sc o n s e r v a t i o no fe n e r g y , w el a yt o om u c h s t r e s so nt h en u m e r i c a ls c h e m e so fc o n s e r v a t i o no fe n e r g yi nr e c e n ty e a r s ，a n dw h i c ha l s o h a v eab e t t e rr e s u l tt h a no n e so fn o n - c o n s e r v a t i o n ，b u tt h ed a m p e ds i n e - g o r d o ne q u a t i o n i sn o n - c o n s e a t i 。n 。fe n e r 盯b e c a u s eo f i t sd 锄p i n gt e m 害t h r e en u m e r i c a lc 。m p u t i n g s c h e m e sa n di t se r r o re s t i m a t i o ni ss t u d i e di nt h i sp a p e r t h ea d im e t h o di se f f e c t i v e ，b y u s i n gt h i sm e t h o d am u l t i d i m e n s i o n a lp r o b l e mc a nb cs o l v e da sas e r i e so fo n ed i m c n - s i o n a lp r o b l e m ，w eg i v ea na d id i f f e r e n c es c h e m ei nc h a p t e rt w ow i t ht h et r u n c a t i o ne r r o r 0 ( 丁2 + h ，t h ec o n v e r g e n c ea n du n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t ya r eo b t a i n e db yt h ed i s c r e t er u n e - t i o n sa n a l y s i sm e t h o d i nc h a p t e rt h r e et w oa d if i n i t ee l e m e n ts c h e m e sa r es t u d i e d ，t h e c o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t ya r ed e r i v e d a tl a s t ，t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h es c h e m e s a r ee f f e c t i v ea n dd e p e n d a b l e i i i k e yw o r d s ：d a m p e ds i n e - g o r d o ne q u a t i o n ；d i f f e r e n c es c h e m e ；f i n i t ee l e m e n ts c h e m e ； a d i ；c o n v e r g e n c e ；s t a b i l i t y i v 独创性声明和论文使用授权说明 独创性声明和论文使用授权说明 本人郑重声明。所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名t狙咻业 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 肄拉导师签各晦嗍丝鬓碰 3 7 第一章绪论 第一章绪论 求解微分方程的数值方法从大方向来分，主要有两种；即有限差分方法和有限元方 法有限差分方法是当今流行的偏微分方程数值解的主要方法之一，主要集中在解决依 赖于时间的方程的数值模拟；有限元离散化的思想早在2 0 世纪4 0 年代初就已经被提出 ( r c o u r a n t ，1 9 4 3 ) ，并在5 0 年代被西方的一j 些结构工程师所采用到了6 0 年代以后，有限 元方法已得到越来越广泛的应用但有限元方法数学理论的建立则相对来说稍晚一些，直 到2 0 世纪6 0 年代才有数学家涉足有限元数学理论的研究并开始奠定其理论基础我国 数学家冯康院士( 1 9 2 0 - 1 9 9 3 ) 就是在6 0 年代初独立于西方创始了有限元数学理论，为有 限元方法的发展做出了历史性的贡献( 见文献【1 - 2 ) 有限元方法是用简单方法解决复杂 问题的范例冯康院士曾归纳其要点为：化整为零，裁弯取直，以简驭繁，化难为易，其基 础是变分原理及剖分插值一方面，有限元方法以种大范围，全过程的数学分析即变分 原理为出发点，而不是从自然规律的局部的，瞬时的数学描述即微分方程出发，因此它是 传统的r i t z - g a l e r k i n 方法的变形，与经典的差分方法不同；另一方面，有限元方法又采用 了分片多项式逼近来实现离散化过程，它依赖于由小支集基函数构成的有限维子空间，其 离散化代数方程组的系数矩阵是稀疏的，这又与传统的r i t z - g a l e r k i n 方法不同，而可看 作是差分方法的变种有限元方法正是这两类方法相结合而进一步发展的结果，它具有广 泛的适用性，特别适合几何与物理条件比较复杂的问题，且便于程序标准化，从而适于工 程应用由于有限元方法有上述优越性，它自上世纪6 0 年代以来已作为一种独立的数值 计算方法获得了迅速发展和广泛应用( 见文献 3 - 5 ) 1 带阻尼项s i n e - g o r d o n 方程的交替方向法 1 1 研究背景 在众多的偏微分方程中，s i n e - g o r d o n 方程是包含时间变数的许多重要的数学物理方 程之一，它占据了相当重要的地位，在非常广泛的领域里得到了应用文 6 】对以下的广 义非线性s i n e - g o r d o n 方程的周期初边值问题。 02u+q百oup黑一7而02u+g(仳)：，(z，t)，(z，t)(r，+。o)，(1-1)ot 2 十q 瓦一否；丽一一y 否+ g ( 仳) 。八z ，。j ， 【z ，。j 【代，+ 。o j ， u ( x + 1 ，t ) = u ( x ，t ) ，( z ，t ) ( r ，+ o o ) ，( 1 - 2 ) u ( x ，0 ) = 咖( z ) ， z r ， ( 1 - 3 ) 警k 。= u z ( 巩 z 叽 ( 1 - 4 ) 讨论了其整体解与数值计算，其中r 是实数集，u ( z ，t ) 是以1 为周期的未知函 数，u o ( x ) ，u l ( x ) ，口( 让) ，( 2 ，t ) 是已知函数，q ，p ，7 是非负常数，文【6 】用拟谱方法对方程 ( i - i ) - - ( i 一4 ) 做了数值模拟，并证明了稳定性及收敛性对于非线性s i n e - g o r d o n 方程， 等一象“。，吲喝删艇( 0 删，( 1 - 5 ) u ( x ，0 ) = t o ( z ) ，z ( 一。o ，+ o o ) ，( 1 - 6 ) 象( 圳) 锄( 巩 z ( 一。，+ 毗( 1 - 7 ) 由于其一个重要的性质是系统的能量守恒，即 即) = e ( 瓦o u ) 2 + ( 赛) 2 + 叫0 ) g ( u 1 = l c 0 8 u 于是，对于此方程的数值求解格式是根据这个性质提出的，见 7 】一f 9 】，但是对于有阻尼项 的s i n e - g o r d o n 方程，很显然不具有能量守恒的性质，本文我们讨论带阻尼项s i n e - g o r d o n 第一章绪论 方程的计算格式 1 2 本文的主要研究内容 本文从第二章开始，对带阻尼项的s i n e - g o r d o n 方程构造三个数值计算格式 第二章：对于二维问题的差分解法，显式差分格式虽然计算简单，但其稳定性条件比 一维情形更加苛刻，若h 固定，则当维数愈高时，要求时间步长愈小，计算工作量愈大 因此，显式差分格式虽然有计算相当简单的特点，但在解初边值问题中很少被应用，若以 古典隐式差分格式或者c n 格式计算，它们无条件稳定，因此，在满足精度的前提下，时 间步长可以放大，这就大大减少了要计算的时间层数，但是不幸的是，在每一时间层里， 需要解个复杂的线性代数方程组，而不是如同一维情形，只需要解个三对角方程组， 这就大大增加了计算工作量如果说一维情形隐式差分格式优于显式差分格式，那么，在 多维情形，一般说来这个结论并不成立 1 0 1 因此对多维问题构造每层计算量较小的无条 件稳定格式一直是偏微分方程差分解法中的重要研究课题之一交替方向隐式差分格式， 实质上就是为了满足上述要求而构造的无条件稳定的差分格式，使每一时间层的计算分成 几步进行，而每一步具有一维格式的计算非常简单的特点，因此每一时间层上仅需很少的 计算工作量我们基于a d i 格式的特点，构造了一个绝对稳定的交替方向隐格式，并证 明了格式的稳定性与收敛性，最后给出了数值结果 由于对于此类方程的有限元数值模拟尚未见到，第三章对s i n e - g o r d o n 方程的初边值 问题构造一个交替方向有限元格式，并用能量分析的方法对误差进行估计，证明了格式的 收敛性和稳定性，最后进行数值实验 第四章：全文的总结，对研究工作的展望 3 带阻尼项s i n e g o r d o n 方程的交替方向法 1 3 预备知识 定义1 3 1 设区域qc 舻是l e b e s g u e 非空可测集，l ( q ) 是在q 上与一个有界 函数几乎处处相等的可测函数全体，对于任意的f l o o ( q ) ，定义 l i f l = e s ss u pl f ( x ) 1 i i f i 。称为，的本性最大模 定义1 3 2 若记d 。v 为函数 的。阶广义导数，则空间m ，( q ) 上的范数定义 为t j i u i l m ，。( n ) 2i l v l l m ，o o ，n 。l m 。i s a m x1 1 d q u 0 。 定义1 3 3 a l 空间l 2 ( q ) 上的内积和范数分别定义如下； ( 叩) = 上u u d x ，训硪q ) ， i i 牡i l = ( 牡) ) 吾，孔l 2 ( q ) 定义1 3 4 s o b o l e v 空间w ”p ( q ) 上的范数： 1 1 w m i p ( 啊= 删m i p ，n = f p u 忖石1 ，1s p 。 1 a l 0 是步长，则 l l e n t ( p + a k h m o ) ，竹k ，n h z 其中m o = m a x ( i , l o l ，l 1 i ，i m 1 1 ) 定理1 3 1 1 【14 】( 推广的离散g r o n w a l l 不等式) 设p ，g ”，h “为定义在j = 【l ，2 ，) 上的非负离散网格函数，h ”非减，如果对n 1 ，有广+ g n h “+ 风广，其中 s - - - - 1 0 p 8 o ( 竺o ) ，则 a = l n 一1 ，n + 9 n h e x p ( p a 5 e 0 ， 0 对空间q 进行单元剖分，h 为剖分单元的最大直径瓯) 是础( q ) 的有限维子空 间，满足如下逼近性质b g i ：对任意的牡h 刑。1n 矾( q ) ，有； 。i 品n f ( q ) i i t 一口l | + i i u 一口| 1 1 ) c m + 1 h u l l , , , + 1 瓯( q ) = 瓯a ，6 】o 瓯【c ，d 】，鼠【n ，6 】，瓯f c ，d 】分别为明【n ，6 】，础 c ，硼的有限维空间，设 o m ( z ) ) m n l ：1 是瓯h6 】的基底，【体( y ) ) 丝l 是瓯【c ，d l 的基底，对任意的u 瓯( q ) 可表 示为z u ( t y ) = ( t ) 嘞( z ) 岛( 可) ( 3 - 1 ) p 口 设m = 【轰】，t j = j a t ，j = 0 ，1 ，2 ，3 m 采用如下记号： 旷z 6 q 舡蚓讹 b j q f ：| 3 j 啕慨b w j = w ( x ，t j ) ， 3 2 交替方向有限元格式 在t = t 。处，( 2 - 1 ) 为。 a ：p = 6 d 如o t id d a z v d x ， 嘭。= dd 口 3 jd 。1 3 q d y ， 侥：w j + 1 - - w j u 嚣+ q u ? 一d a u n + 3 s i n u n = f ” ( 3 2 ) 式的变分形式为：对任意的t ，础( q ) ( 1 i 盈，t ，) + q ( “? ，u ) + d ( v 1 ，u ) + f l ( s i n u ”，v ) = ( ，”， ) ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) 1 7 带阻尼项s i n e g o r d o n 方程的交替方向法 由t a y l o r 公式t 我们知道： u n + 1 = 钍n + u n 一1 = u n 一 丁害l _ k + 百t 2 丽0 2 t t i t - k + 百t 3 丽0 3 h , i c _ f i丁瓦l _ k + 百否万i = k + 百否万i 忙f i 丁缸k + 2 塑0 t 2i 一1 6 坐0 t 3i 7 - 瓦l b t ，i + 一i t ：k 一一l = k 0 2 u 。u n + l 一2 u + u n 一1 o t 21 持。了广一 out：“：un-un-1-8t + d ( 丁) = “2 _ 十u l 7 j 。 + d ( 丁2 ) ， 构造如下的交替方向有限元格式3 2 1 ：求u n 瓯( q ) ，使 u n + l 一2 u + u “一1 下2 + o ( t 4 ) ， + o ( r 4 ) ，卅p ( 未( 伊1 2 u n + 旷1 ) 坐o x ) 州南( 咿1 2 u n + 旷飞瓦0 7 3 + q ( u ”一u n 一1 = ( ，n ， ) ， 丁 彬丁2 ( 磊( u + a - 2 u + u - 1 ) ，盟o x o y ) 删筹，争f l ( s i n u n , v ) u o = i - q u o ( z ) ， u ，：嘣u 。+ ( 删醒+ 竽让戋) = 叫卅( m 让。+ 竿( - + d 瓦0 2 u o + 甓一p s i n u o + 捌 则( 3 - 4 ) 式7 2 可以写成： ( u 卅1 ，u ) + p 7 - 2 ( o u + x，关) + o t 2 ( ，瓦j 十 o u + a ，骞) + 0 2 r 4 ( 0 2 u n + l o x o y 0 2 口、 ，否丽) ( 孓4 ) ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) 硼n 一1 3 ( s i n u n , v ) 一u n - u n - l , t l 川( 筹，象m 筹，劾 + ( 2 u n - u t - 1 , v ) + p 下2 ( 杀( 2 u ”一铲1 ) 瓦o v ) + 竹2 ( 南( 2 u n 一俨1 ) ，筹) + 口2 7 - 4 ( a z o a 2 ( 2 u - u - 1 ) ，口0 2 2 a v ) =nvl+确(3-7) 令秒= 啦侍，则( 3 - 4 ) 可写为： 1 8 ( q 咖+ 6 i r 2 口：p ) ( 幻。+ p 丁2 嘭。) 嚣1 = r 矿1 + r 0 pq 、j、j 第三章二维非线性s i n e - g o r d o n 方程的交替方向有限元格式 引进过渡变量铝，上式可写为： ( q t p + o r 2 q 咖t ，锄n = 蟹1 + ， p ( 幻g + o r 2 嘭。) 错1 = 罨 q ( 3 - 8 ) 仅在z 方向上求解，( 3 - 9 ) 仅在y 方向上求解 易知，( 3 - 8 ) ，( 3 - 9 ) 的系数矩阵均对称正定，因而其解存在且唯一 格式3 2 1 用向前差分去逼近象，下面我们用中心差分去逼近赛先构造如下格式t 由于。 ，移) + a ( u n + 1 l _ _ u n - 1 ，u ) 删筹，鼽d ( 等口o y v ) + 1 3 ( s i n u n , v ) = ( r n u n + l u n 一1 2 t u 州。1 2 u + u n 一1 2 u 一2 u 一1 2 7 2 7 - 7 - u n + l 一2 u + u n 一1u n u n 一1 27 - 2 7 - 令s = 1 + 等，则( 3 - 1 0 ) 可化为： ，u ) + 磊o t ( u n 一n - i u ) t d s ( o 鲫u n ，是) t d s ( o 口u 可n ，骞) + 譬( s i n u n , v - ) = 三( 严n 构造如下的交替方向有限元格式3 2 2 ：求u n s h ( q ) ，使 ( 型川州未( 伊制”桫- 1 ) ，塞) 州南( 护1 制n 桫_ 1 ) ，骞) + 0 2 t 2 ( 磊( u - + i _ 2 u r , + u - a ) ，昌) + s 丁( u - u - 1 , v ) + - ( d 百o u ，鼽罢( 筹，a o r ) + f l ( s i n u ”, v ) = 三( 严珐 咖乳( q ) u o = n “o ( z ) ， 儿吣。+ ( 帆? + 竿仳曼) ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) ( 3 - 1 0 ) ( 3 - 1 1 ) ( 3 1 2 ) 带阻尼项s i n e - g o r d o n 方程的交替方向法 矾【n ( 删u 。+ 竿( 。+ d 瓦0 2 u o + d 爱一p m n u o + f ) 1 易证，格式3 2 2 的解存在且唯一 3 3 误差分析 ( 3 - 1 3 ) 定理3 3 1 设u 是问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的广义解，让h m + 1n 明( q ) ，u n 是( 3 - 4 ) , , ( 3 - 6 ) 的解，e n = u n 一矿，则存在不依赖于7 - 和h 的正常数c ，使得： i i o , e 1 1 2 + 堋+ 7 _ 4 i l 面0 2 ( o 矿, e - ) 雌g ( r 2 + h 2 m ) ，几7 - z 证明：( 孓3 ) 式可写为： , , n + l 一2 u 上u n 一1 r 2，u ) + p ( 未( 锃1 2 u n + 矿。) ，口o z v ) ，u ) = ( ，n ，v ) + ( r n ， ) + a p n ，u ) + 州南( 乱时1 2 u n + ) ， 由t a y l o r 公式知： r n = 2 口( 未( 1 2 u nw 1 ，是) 骞) - - 0 2 t 2 ( 9 21 ，( 矿+ 1 _ 2 u + u r - 1 ) 啄0 2 u ) o ( r 2 ) ，p 。= d ( 7 - ) 由( 3 1 4 ) 及( 3 - 4 ) 即得误差e n = t ，一u n 满足方程： e n + l 一2 e n + e n 一1 丁2 ， ) + o ( o ( e n + x - 2 e + e - 1 ) ， + ( f f - - - 百y ( e n + l - - 2 e n + e n - x ) ， + a f e n e n 一1 7 _+ d ( 筹， 面0 0 ) + 0 2 t 2 ( 磊( e * + l - 2 e + e - 1 ) ，丽0 2 u ) 筹c 筹：舅， ( 3 - 1 4 ) 一 以一 1 1 一 + 旷一 n 让 二， 旦曲竺 “ + + 一1 3 ( s i n u n - s i n u , v ) + ( ) + q 卅p ( 杀m 叶1 2 仳，塞) 州瓦o q n + l , i , n - 1 ) ，争卿( 南( u + 1 - - 2 u + ) ，鑫) 由以下两式； ( 昙( e 1 2 e n + e ”1 ) 是) = ( 瓦( 9 n + l e n - 1 ) ，褰) 一2 ( 筹，塞) ， ( f f - 石y ( e + 1 - 2 e + e n - 1 ) ，舅) = ( 南( e 蚪l + 矿。) ，丽o r ) 一2 ( o 咧e n ，舅) ( 3 - 1 5 ) 可化为。 e n + 1 2 e n + e n 一1 1 - 2，口) + 口( 岳( 矿1 + e ”1 ) ，瓦o v ) 州瓦o q n + l e n - 1 ) ，争辨( 丢( e - + l _ 2 e - + e - - i ) 丽0 2 v 可) 一i n 矿“礼” ) + ( r n ，可) + u ) + p ( 杀( 札l 一2 仳n 棚舻1 ) ，宝) + 日( f f - - 万y ( u + 1 - 2 u + u - 1 ) ，骞) 0 2 t 2 ( 磊+ 1 砌州) ，0 2 u 秒) 一q ( e n e n 一1 + ( 2 川) ( 筹，是2 川) ( 。百o e n ， 取 = e 1 一e 驴1 ，并逐项估计( 3 - 1 6 ) 中诸项： e n + l _ _ = 2 e ：r n + e n - 1e n + l _ e n - 1 ) r 2 = l l o , e n 0 2 一慨e 俨1l | 2 ， ( 杀( e n 1 ) ，嘉“_ e n = l e 卅1 懵一l e n - 1 l ， = ( 侥矿一a 矿一，侥矿+ a 扩一1 ) 1 ) ) + ( 南( e n “坩 ( 骊0 2 ( e n + l - 2 e + e n - x ) ，丽0 2 ( e 州一e 州) ) = 由i s i n x l ：丁r 可得： 1 ) ，否0 秒( e n + 1 一e 几一1 ) ) 7 - 2 ( | | ( 3 - 1 5 ) ( 3 - 1 6 ) 一 3 ( s i n u n s i n u n ，e 竹+ 1 一e n 一1 ) = 一 3 f n ( s i n u n - s i n u n ) ( e n + l - - e ! l 一1 ) d q 2 1 带阻尼项s i n e g o r d o n 方程的交替方向法 因为 所以 由t a y l o r 公式知。 可得： 因为 于是 2 2 = 一卢z 2 c o s 半咖扣+ 1 卅- 1 ) d q p 上矽l i e n + l - - e n - 1 i 施 e n l 2 d q + p 7 e n l 2 d q + p 7 ( a e n + a e n - 1 ) 2 4 ( 岛e n ) 2 + ( a e ”_ 1 ) 2 2厶 - 8 r i i e ”0 2 + - 譬( 1 1 0 , e “1 1 2 + l l 侥e - l l l 2 ) r n = d ( 产) ，m = 0 ( 丁) ， ( ，u ) + q n ，u ) sc ( 丁2 + i l e “+ 1 惦+ l l e n 一1 旧) 晏x ( , u n + l - - 2 u n - i - u n - 1 ) = - - - i ( u + 1 - 2 u + u - 1 ) = = ( ( 叫钏笔d z = o ( 丁2 ) ， ( 叫硼篙d z = o ( 丁2 ) ， 秽( 昙( u 州一2 u n + u 铲1 ) 坐o x ) + p ( f f - - ；y ( u + 1 - 2 u + u - 1 ) ，舅) c ( 7 - 4 + i e n + l i ；+ i e n - 1 l i ) 丽0 2 ( u n + l _ _ 2 u n + u n - 1 ) = ( ( 丁一 型12勘z：o(t2)，ox o q o t 2 ”“ 孵2 ( 磊( u + 1 - 2 u + u - 1 ) ，丽0 2 1 t i - ) ( t 4 - - i i 等| 1 2 + i 正正 厂厶厂厶 丁 r 8 g 一 一 - 丁a ( e n _ _ e n - 1 , e n + l e n - 1 ) = 一q 7 ( a 矿，a e n + o r e ”1 ) = a r ( - o t e 1 ，a e n ) 一( a e 铲1 ，o , e 肛1 ) 】 c r ( 1 l & e “1 1 2 + 慨e 铲1l | 2 ) _ d ) ( 瓦0 6 n ，褰2 川) ( 筹，骞) c ( 1 e n 陪+ i e n + li ；+ i e n - 1i ；) 将以上所得代入( 8 - 1 6 ) ，可得： 因为 所以 。侥e n i l 2 一i i o , e “一1 1 1 2 + o ( 1 e ”+ 1 i ；一i e n 一1 i i ) + 沪r 4 ( 1 1 勰1 1 2 一i i 皇凝1 1 2 ) p 丁i i e n i l 2 + - 譬( 1 1 0 , e n i l 2 + o 侥e - - i l l 。) + c ( r a + e n + l o ；+ i i e n t i i ：) 删7 1 4 坩i + 1 i m i 噌+ i e 州1 2 ) + c r a ( 7 - 4 + i i 鬻1 1 2 + 1 1 0 2 ( 踟o t e n 剪- 1 ) i f 2 1 ) + c r ( 1 1 0 , e n i | 2 + i i o , e 1 i | 2 ) r l - 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