数学模型-市场经济中的蜘蛛网模型（图片）

1,数学模型,中南大学数学科学学院应用数学与应用软件系,2,市场经济中的蜘蛛网模型,在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：一个时期由于猪肉的上市量远大于需求，销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其他农副产品。过一段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致物价上涨。原来的饲养户看到有利可图，有重操旧业。这样下一个时期会出重现供大于求，价格下降的,3,局面。在没有外面干预的情况下，这种现象将如此循环下去。在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的。因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的。商品数量越多价格越低。而下一时期商品的数量由生产者的供求关系决定，商品价格越低生产的数量就越少。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是震荡的。在现实世界里这样的震荡出现不同的形式，有的振幅渐小,4,趋向平稳，有的则振幅越来越大导致经济崩溃。当然政府会对后者采取干预手段。这一节我们先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，讨论市场经济趋于稳定的条件。用分差方程建模，对结果进行解释，并适当推广。,5,蛛网模型记第k时段商品的数量为xk,k=1,2,。这里我们把时间离散化为时段，一个时段相当于商品的一个生产周期，如蔬菜、水果可以是1年，肉类则是一个饲养周期。同一时段商品的价格yk取决于数量xk,设yk=f(xk)(1)它反映消费者对这种商品的需求关系，称为需求函数。因为商品的数量越多价格越,6,低，所以在图8-1中用一条下降曲线f表示它，f为需求曲线。下意识段商品的数量xk+1由上一时段价格yk决定，设xk+1=h(yk),或yk=g(xk+1)(2)它反映生产者的供应关系，称供应函数。因为价格越高生产产量才越大，所以在图中供应曲线是一条上升曲线。,7,图中两个曲线相交于P0(x0,y0)点。P0是平衡点，因为一段对某个k有xk=x0，则由(1)、(2)可知yk=y0，xk+1=x0,yk+1=y0,，即商品的数量和价格将永远保持在p0(x0,y0)点。但在实际生活中的种种干扰使得x,y不可能停止在P0点，不妨设x1偏离x0(如图8-1）。我们分析随着k的增加xk,yk的变化。,8,图8-1需求曲线f和供应曲线g，p0是稳定的平衡点,9,数量x1给定后，价格y1由曲线f上的P1点决定，下一个时段的x2由曲线g上P2点决定，y2又由f上的P3点决定，这样得到一些列的点P1(x1,y1),P2(x2,y1),P3(x2,y2),P4(x3,y2),，在图8-1上这些点将按箭头所示方向趋向于P0(x0,y0),这表明P0是稳定平衡点，意味着市场经济（商品的数量和价格）将趋向稳定。但是，如果需求函数和供应,10,函数由图8-2的曲线所示，则类似的分析发现，市场经济将按照P1,P2,P3,P4，的规律变化而远离P0，即P0不是稳定的平衡点，市场经济趋向不稳定。,11,图8-2P0是不稳定的平衡点,12,图8-1和图8-2中折线P1P2P3P4形似蛛网，于是，这种需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学上称为蛛网模型。实际上，需求曲线f和供应曲线g的具体形式通常是根据各个阶段商品数量和价格的一些列统计资料x1,y1,x2,y2,得到的。一般地说，f取决于消费者对这种商品的需求程度和他们的消费水平，g则与生产者的生产能力、经营水平,13,等因素有关。一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，如何判断它们的交点平衡点P0得稳定性呢？从图8-1和图8-2不难看出，当市场经济偏离P0点不大(|x1x0|较小)时，P0点得稳定取决于f和g在P0的斜率。记f在P0点斜率的绝对值（因为它是下降的）为Kf，g在P0点的斜率,14,为Kg，则当Kf0(6),16,消去yk,(5),(6)可合并为xk+1=(-)kxk+(1-(-)k)x0（k=1,2，）(7)（7）是一阶线性差分方程，对k递推不难得到xk+1=(-)kx1+(1-(-(8),17,由此可得，当k时xkx0,使得P0稳定的条件是1或1而k时，xk,即P0点不是稳定点的条件是2,2在单位圆外。下面设8,可以算出,（15）,28,由|2|1得到P0点稳定的条件为2（