（光学专业论文）复折射率光波导传输特性分析.pdf

论文摘要 ( 集成光学是于本世纪六十年代末在微波、激光、半导体、薄膜光 学和凛成电路的理论和技术的基础上提出的一门新兴学科。经过二十 多年的发展，目前集成光学已建立起比较完整和成熟的理论体系、实 验方法和工艺手防： 集成光学器件主要应用于光计算机技术、光学信息处理和光纤通 信技术领域，并且存在着巨大的潜力。现代集成光学技术已能把光源、 光波导、电子器件、电光器件和接收器等集中在同一片子上，制成高 速、低功率的各种运算器件和各种开关逻辑器件。在各种集成光电子 器件和半导体激光器件的研究中，都要涉及到复折射率光波导。如集 成光路中的耦合器、偏振器、调制器和分束器等都是由金属包层介质 波导组成：在半导体激光器侧向模式分析和半导体激光放大器的模式 分析、含增益或吸收光栅的分布反馈( d f b ) 激光器等许多情况中也都 要涉及到有损耗层和增益层的的复折射率波导。为此了解和掌握复折 射率光波导的传输特性对集成光学器件的研究、测量和制作都具有重 要的实际意义。本论文就是从这一角度出发选择了“复折射率介质光 波导传输特性的分析”作为研究的课题。 由于复折射率介质光波导中损耗层或增益层的介质折射率为复 数，从而波导的传播常数和模折射率均为复数为了分析波导的传输 特性，需要在复数平面上求解本征值方程。而在复数平面上用数值解 的方法( 如牛顿切线法、有限差分法、有限元法等等) 直接求本征值方 程虽然可以得到精确的结果，但往往物理意义不够直观，而且计算过程 相当复杂，特别是在接近截止点的区域常会出现计算溢出或因发散而收 敛不好等现象。所以人们在不影响波导器件设计的前提下，为使分析过 程简单化而且物理意义清晰或有直观的解释提出了许多近似方法如有 射线法、转移矩阵法、散射法、打靶法和微扰法等等1 2 1 - 2 3 l 【2 ”i 微扰法是使用最多的一种近似方法其实质是利用某些特殊的或己 知点的特性，而后在这些点附近作微扰迭代处理，如y a m a m o t o 【。“等是 利用远离截止点的性质( 在两分界面上的相位变化认为是n 2 ) 作为 己知特殊点的解来处理。马春生等的微扰方法 2 33 同y a m a m o t o 等的一 样，但它们在数学处理上作了改进，提高了近似程度。 考虑到实际中所遇到的复折射率光波导。大都是其复折射率的虚部 比实部要小得多的的情形，故本文视介质的复折射率的虚部为小量， 先忽略虚部部分，直接求解实本征方程，将求得的根作为特殊点在 其附近将复本征函数按泰勒级数展开，取近似并作微扰迭代处理，从 而使计算精度得到进一步的提高。 本文分别对几种典型的复折射率波导导模的传输特性进行了分析和 讨论。给出了计算传播常数和损耗( 或增益) 系数具体的近似方法。 ， 本论文的主要内容是： 1 在查阅了大量国内外有关介质波导的传输特性分析的文献并结 合国内外复折射率介质光波导的理论和应用的最新发展现状的基础 上，对现有的各种近似方法进行了分析和评估，确立了本论文的选题和 工作。 2 较为详细地回顾和总结了介质光波导的电磁理论。 3 以微扰法酌基本思想为俄据，对原有的微扰近似方法在数学上 进行了改进，提高了近似程度。并将其应用和推广到金属包层阶跃平 板波导、金属包层渐变折射率平板波导( 线型、指数型、高斯型、抛物 型等) 、舍损耗层和增益层的复折射率多层突变平板波导和渐变折射率 平板波导以及复折射率矩形波导和复折射率光导纤维的传输特性分析 和讨论中，给出了各种情形的复折射率波导的传播常数和损耗( 或增 益) 系数具体的计算公式。) 4 分析和讨论了有关褒折射率波导的传输和损耗( 增益) 特性 如对金属包层阶跃平板波e - 在截止点附近的光学特性进行了研究和讨 论；对含增益和损耗的介质平板波导传播常数和增益( 损耗) 系数的 影响因素也进行了较为详细的分析。) 5 为了比较本文近似方法的好坏，直接对各类复折射率波导的复 本征方程进行数值求解，给出了相应的传播常数和损耗系数的精确解。 将本文近似方法所得的数值结果和精确解进行了比较。 6 最后对论文作了必要的总结( 通过大量的实例分析和计算，结 果表明本文求解各类复折射率波导本征方程时所采用的近似方法具有 计算简便，精度高，可以给出直至截止点附近的解，在研究低损耗( 低 增益) 复折射率波导传稳特性特别是在分析导模在近截止区的光学特 性时具有较高的实用价值。1 关键词：复折射率l 光波导本征方程，截止点 导模，模折射率 前言 集成光学是于本世纪六十年代末在微波、激光、半导体、薄膜光学和集 成电路的理论和技术的基础上提出的一门新兴学科。由于它在光通信和光信 息处理等方面存在着巨大的潜力和经济效益，首先引起了美国、日本以及西 欧等国的重视和关注，而后，包括中国在内的许多国家也相继开展了集成光 学方面的研究工作。经过二十多年的发展，目前集成光学己建立起比较完整 和成熟的理论体系、实验方法和工艺手段，特别是近十多年来，这门学科取 得了惊人的发展，无论在波导的制作技术还是器件性能技术指标都有了前所 未有的突破。其研究成果被广泛地应用于光通信和信息处理等方面。集成光 学的迅速发展给人们展示出现代光电子学的美好前景，同时也对其他学科诸 如半导体技术材料科学和物理学等起到了很大的推动作用。 集成光学器件主要应用于光计算机技术、光学信息处理和光纤通信技 术领域，并且存在着巨大的潜力。现代集成光学技术己能把光源、光波导、 电子器件、电光器件和接收器等集中在同一片子上，制成高速、低功率的各 种运算器件和各种开关逻辑器件。在集成光学器件中，信号以光速传播，有 时运算操作是随着光的传播同时进行的，而且集成光学器件可以与光纤耦 合，输入和输出都很方便。 介质光波导是在光波导器件和集成光路中用来限制和传导光波的基本 元件在各种集成光电子器件和半导体激光器件的研究中，都要涉及到复折 射率光波导。如集成光路中的耦合器、偏振器、调制器和分束器等都是由金 属包层介质波导组成：在半导体激光器侧向模式分析和半导体激光放大器的 模式分析、含增益或吸收光栅的分布反馈( d f b ) 激光器等许多情况中岜都 要涉及到有损耗层和增益层的的复折射率波导。为此了解和掌握复折射率光 波导的传输特性对集成光学器件的研究、测量和制作都具有重要的实际意 义。本论文就是从这一角度出发选择了“复折射率介质光波导传输特性的分 析”作为研究的课题。 由于复折射率介质光波导中损耗层或增益层的介质折射率为复数，从而 波导的传播常数和模折射率均为复数。为了分析波导的传输特性，需要在复 数平面上求解本征值方程。而在复数平面上用数值解的方法( 如牛顿切线 法、有限差分法、有限元法等等) 直接求本征值方程虽然可以得到精确的结 果，但往往物理意义不够直观，而且计算过程相当复杂，特别是在接近截止点 的区域常会出现计算溢出或因发散而收敛不好等现象所以人们在不影响波 导器件设计的前提下，为使分析过程简单化而且物理意义清晰或有直观的解 释提出了许多近似方法如有射线法、转移矩阵法、散射法、打靶法和微扰法 等等l 2 “”i 2 9 - 35 】 微扰法是使用最多的一种近似方法。其实质是利用某些特殊的或己知点 的特性，而后在这些点附近作微扰迭代处理，如y a m a m o t o b 等是利用远离 截止点的性质( 在两分界面上的相位变化认为是2 ) 作为已知特殊点的解 来处理。- b 春生等的微扰方法1 同y a m a m o c o 等的一样，但它们在数学处理 上作了改进，提高了近似程度。 考虑到实际中所遇到的复折射率光波导，大都是其复折射率的虚部比实 部要小得多的的情形，故本文视介质的复折射率的虚部为小量，先忽略虚部 部分，直接求解实本征方程，将求得的根作为特殊点，在其附近将复本征函 数按泰勒级数展开，取近似并作微扰迭代处理，从而使计算精度得到进一步 的提高，并可以给品直至近截止区的解( 而大多数近似方法只能给出远离截 止点的解) 。本论文分别给出了几种典型的复折射率波导传播常数和损耗 ( 或增益) 系数近似计算方法，具体分析了各类复折射率波导的传输特性。 本论文涉及到的复折射翠波导主要有： i 金属包层介质突变和渐变折射率平板波导 在集成光电子器件中，金属包层介质波导是很常见的。金属包层常作为 器件的电极或电路的一部分。由于金属的介电系数为复数，对光波具有特殊 的性质，故对光波导的传输特性具有较大的影响，如对不同的偏振光( t e 模和t m 模) 具有不同的传播损耗、金属与介质交界面处存在等离子体表面 波( s u r f a c ep 1 a s m aw a v e ) 等等，利用这些特性可以设计光波导偏振器。 研究和分析金属包层介质光波导的传输特性对于光波导理论的发展和新波导 器件机理的探索具有较大的意义，是集成光学器件在设计中的重要课题。 金属对于光波具有吸收损耗的特性，导致含金属包层的平板光波导的传 播常数和模折射率均为复数，其本征方程为复超越方程要想知道金属包层 平板光波导的光学特性，就必须求解复超越方程。由于在复数平面上直接求 解本征值方程，计算量相当复杂和费时，为此，寻找一种既简单实用，其数 值结果又比较精确的方法变得十分有意义。近十几年来，人们不断地提出了 各种近似求解复本征值方程的方法1 2 3 】【2 i t o l 来分析导模的传输特性。用这些 近似方法分析金属包层介质波导的传输特性虽然简便避免了直接求解复超 越方程，在一定的范围内具有和好的近似，且有直观的物理意义，但遗憾的是绝 大多数近似方法只在远离截止区域由很好的近似，在截止点附近存在较大的 误差但在集成光学器件中，由许多器件是利用了波导在截止点附近的特性 如截止型光调制器截止型高压传感器和截止型偏振器等以及要保持单模 传播必须糟确知道光波导和光纤的截止条件等等，因此完全有必要对金属包 层光波导在截止点附近的光学特性作较为全面的分析 本文在徽扰法【。i t 2 9 l l ”i 32 i 的基础上给出了用于分析金属包层介质平扳光 波导的二级微扰近似公式，并用该近似方法具体计算了金属包层四层阶跃平 板波导的模折射率和损耗系数，分析和讨论了其传输特性特别是在近截止点 附近导模的光学特性。 本文还借助多层分割法具体给出计算金属包层渐变介质平板光波导( 线 型指数型抛物型高斯型) 的传播常数和损耗系数的二级徽扰近似方法并将 得到的一级和二级近似的数值解与直i 接解复本征方程所得的精确解进行分析 了比较，结果十分吻合 ” 2 含增益层和损耗层的多层突变和渐变折射率平板波导 在半导体激光器侧向模式分析、半导体激光放大器的模式分析、舍增益 或吸收光栅的分布反馈( d f b ) 激光器等许多情况中都耍涉及有损耗层和增 益层的的复折射率光波导。此外，对半导体激光器和半导体放大器而言，其 垂直结平面的通常是多层突变波导或缓变波导( 如在量子阱激光器中广泛采 用缓变折射率限制结构) 为此涉及到含增益和损耗层的渐变折射率波导。 本论文针对既含增益叉含损耗的多层突变平面光波导情况，将处理金属 包层介质平板波导的二级微扰近似方法推广，给出了推广的一级和二级微扰 近似求解公式，求得了传播常数和增益( 损耗) 系数。对渐变折射率平面光 波导情况，借助推广的二级微扰近似方法加多层分割法，求得了其复本征方 程的解。本文以含增益和损耗的五层对称突平板波导和含损耗和增益的五层 对称渐变折射率介质平板光波导作为研究对象，分别给出了具体的场分布和 复本征方程并求了相应的本征值，分析讨论了波导的传输性质，计算了增益 模与损耗模的转换点。 3 复折射率矩形波导 平板波导的电磁场仅在一个方向上受限，而光场在另一个方向上不受 限。因而，光场在介质平板光波导中传播时要沿非束缚方向发敝，虽然可以 利用薄膜透镜使发散的光柬聚焦，但仍然受到衍射极限的限制，不能使光束 聚焦的光斑直径小于一个波长，从而难以构成好的光路系统口。1 ，故在实际的 集成光路中经常使用的是能在横截面的两个垂直方向上限制光场能量的矩形 介质光波导。 矩形光波导具有尺寸小，结构简单和容易构成稳定可靠的光路系统等优 点目前已被广泛地应用于集成光路中，成为集成光路的基本元件。在半导 体薄膜激光器、调制器、滤波器、方向耦合器及光开关等领域，也得到了特 别的重视。 对矩形光波导的研究，由于牵涉到复杂的二维电磁场问题，其分析远比 平板波导复杂是较复杂的边值问题，要得到严格的解析解几乎是不可能 的。为此，一般只能采用近似方法给出数值解。已有的各种近似方法中 m a r c a t i l i 首创的近似分析法h o i 适用于各种条形波导的远截止状态。但在近 截止范围内与精确结果相差较大。由戈尔( g o e l l ) 提出的圆谐函数展开法i 和叶( y e h ) 等人提出的适用于介质波导的有限元法m l ，虽然精度高，但需 要进行大量繁琐的数值运算而且物理意义不够清晰，一般仅用于作为其他 近似方法精确程度的检验标准。而k n o x 和t o m j o s 提出了一种比较简便适 用且较m a r c a t i i i 近似法准确的有效折射率法i1 4 4 5 1 其精度仍不是很高， 在近截止区仍不能得到与精确数值解相吻合的结果因此寻找一种计算简便 且物理概念清晰的近似方法很有必要性 本论文分别以埋入式和脊型矩形波导为例利用微扰法1 【4 7 l 对矩形波导的 m a r c a t i l i 近似结果进行修正( 修正后的精度比有效折射率法高) 。在此基 础上，将分析复折射辜波导传输特性的微扰近似方法应用到分析复折射率矩 形光波导的传输特性具体计算了复折射率矩形波导的等效模折射率和损耗 系数。 4 复折射率光导纤维 光导纤维实质上就是一种圆柱型电介质波导。作为光通信的传输介质， 需要光纤传输损耗低，使得中继距离加长，从而可以大大降低通信线路的造 价。为此，早在六十年代末七十年代初，人们就开始致力于对低损耗光纤的 研究。例如七十年代初宣布制成损耗低于2 0 d b l k m 的石英纤维，七十年末 研究表明开发长波长可以进一步降低光纤的传输损耗。例如利用掺杂的石英 系材料制成的传输波长15 5 “m 的单模光纤的损耗已低达02 d b k m 。在石 英获得很低损耗的同时，人们还发现了另一非常有吸引力的特性即波长在 i3 9 m 附近时，掺杂的石英光纤的色散可以降低到零，这意味着可以获得非 常宽的带宽。因为光纤色散是限制传输容量的决定性因煮。目前，人们主要 致力于研究用溴化铊( t i b r ) 和氯化锌( z n c l ) 制作的光纤其损耗将小 于00 1d b l k m ( 波长在35 p m - 55 m ) ，光纤通讯距离可达 5 0 0 0 - l0 0 0 0 k m 与光纤传输损耗迅速降低的同时光纤的通信带宽在迅速增 加。在同等损耗下，光纤的带宽比同轴电缆的带宽大若干个数量级。尤其是 单模光纤，现在的传输速率己达1 0 g b s 的量级，实用的单模光纤带宽己达到 5 g h z k m 。光纤的这种巨大带宽的概念意味着在单位时间内所传输的信息 量，若转换为时间或工作效率来表达相当于：铜缆传输2 0 小时的信息量用 光纤来传输只需1 秒钟。如果充分利用光纤的带宽，每秒可传输5 0 0 册0 页的英文杂志所以有人认为在今后若干年内所需要的通信容量，著利用单 模光纤所能达到的最大带宽，在设计终端时几乎不需要考虑信道带宽的限 制。低损耗和低( 零) 色散光纤的研制和发明，为光纤的长距离和高效率的 传输技术揭开了新的篇章。它不仅推动了光通信的发展，也推进了对光学纤 维的物理研究。 本文将微扰法推广到分析有复折射率剖面的光纤的传输特性中。该近似 方法只需求解一个实本征方程，模折射率的虚部可由数值微分求得，并且对于 特定的折射率的光纤( 例如阶跃型光纤) 可以给出用于计算模折射率虚部的 解析式。 本论文在对微扰法进行了数学上的改进和推广的基础上给出了上述几 种典型的复折射率波导的传输特性的研究方法、并将本文近似方法所得的数 值结果与本文直接求解具体的复本征方程所得的精确解进行分析比较，结果 十分吻合。大量的实例计算和分析表明本文采用的近似方法在研究低损耗 ( 低增益) 复折射率波导时具有计算简便、物理意义清晰、精度较高可以 给出直至近截止区的结果等特点，有较大的适用价值 第一章平板介质光波导理论 1 - 1 平板介质光波导的电磁理论f 1 。 由于电光器件、磁光器件和集成光学中，最基本和最常见的是平板介质光波导， 同时平板介质光波导几何形状简单，其导模和辐射模可用比较简单的形式来描述， 故掌握光在平板介质波导中的传播的基本特性是极为重要的。 光波是一种电磁波，研究光波导应以光的电磁理论及介质的光学特性为基础。 虽然射线方法在分析早板光波导的传输特性时是比较简明和直观，但由于它未能涉 及平板光波导内部的场分布而显得美中不足，而这方面的知识在光波导和光波导器 件的大部分课题的研究中却是必不可少的。为此，用电磁理论来研究平板光波导的 传播问题变得十分有意义。 在本章中我们将以电磁场理论来研究平板介质光波导中的传输性质，建立其波 动方程，给出平板光波导各类模式的场分布表达式进而得到t e 模和t m 模的模式 本征值方程并对模式进行定性的讨论，最后，在此基础上推出多层突变和非均匀渐 变平板光波导的场分布和模式本征方程，为后面的研究打下基础 i - 1 1 麦克斯韦方程和边界条件 随时间变化的无源电磁场的麦克斯韦方程为 j 审e ( r , 0 2 一扭( 0 a t l 审x h ( r t ) = 一a d ( r ，t ) ，a t( 1i 1 ) 上式中：t 是时间变量，v 为哈密顿算符，r 是位置矢量，设场随时间作周期性 变化，则电场矢量和磁场矢量可以分别为： je ( r o t ) - e ( r ) e x p ( - i t ) lh ( 1 ) _ h ( r ) e x p ( j t )( 1 1 2 ) 式中e ( r ) 和h ( r ) 是复振幅矢量，是角频率如果介质是无损耗，备向同性的 则介电常数和磁导率h 为实标量，于是电磁场的物质方程为如下形式： 厂 _ d ( r 户e ( r ) lb ( r ) 2 “h ( r ) ( 11 - 3 ) 利用上述方程可以得到在无源、无损耗、各向同性和非磁性介质中的复振幅形 式的麦克斯韦方程： jx 7 e ( o = - i “。h ( r ) 1 x 7 h ( r , t ) - i 6 。，n2 e ( r ) ( 1 14 ) 在上式中。和分别为真空介电系数和真空碰导率。对于非磁性介质，设n 是 介质的折射率，有一e 。n 2 o 在介电系数发生突变的边界上，上述麦克斯韦方程必须 遵从边界条件。图111 示出了用折射率n ，和n ! 区分的两种介质的分界面，其中单 位矢量垂直于分界面。 图1 1 1 折射率分别为n l 和毗的两种介质的分界面 当界面上没有面电荷和面电流时，得到如下的边界条件 r 气( b l - b ：) 20 e np d ：) = 0 1 气( e ，岛) = 0 le n x ( hr h 1 ) 2d ( 】1 5 ) 由上式可得标量形式的边界条件： j n 1 2 e i 。= n 2 2e 2 。 l e l t _ e ：。( 1 16 ) j ，“2 h 旷i a 2 - h 。 lh 。= h 。( i1 7 ) 上式中下标n 和t 分别表示该量是电磁场在分界面上的法向分量和切向分量。对于 非磁性介质由于“l 。“：。故由( 11 7 ) 可知，在分界面两侧的磁矢量相等即h ，= 心 l 1 2 介质平面光波导的波动方程 一平面光波导的结构 如图11 2 所示的是最简单的平板介质光波导，它由三层材料组成：中间一层 是厚度为d ，折射率为n 的波导薄膜( 称为芯模) ，它淀积在折射率为1 1 ：的衬底上： 薄膜上面是折射率为n ，的覆盖层( 即包层) ， 1 1 2 平面介质光波导结构图 包层通常是空气，薄膜和衬底的折射率之差在1 0 3 到1 0 。1 的范围内。薄膜的 厚度一般为微米数量级，可以与光波波长相比较。为了构成真正的光波导，要求n ， 必须大于n ：和n ，。一般有n i 1 2 n ，如果n ：= n 3 ，则称为对称平板光波导，否则 称为非对称平板光波导。这里我们主要讨论的是非对称光波导( 对称光波导可以看 成是非对称平板光波导的极限情况。 二平板光波导的波动方程 设在平板光波导中，衬底和覆盖层分别延伸到无穷远，且芯膜的宽度远大于厚 度，在该假设条件下，可认为平板光波导中的光波只在一个方向上受限，将该方向 选为x 方向。并设平板光波导的几何结构和折射率分布沿y 方向是不变的即折射 率分布仅与x 有关，图l1 2 所示的平板光波导中折射率分布可以表为： fn 3 n ( x ) = n l l m o x d x 0 ，且马在 波导的各个区域均为指数函数形式。由于& 及其导数必须在两个边界面处连续， 所以最后的场的分布如图1 1 3 ( a ) 所示场随离开光波导的距离的增加而无限制地 增加，这说明该解在物理上是不能实现的 2 1 ( 。n ： 口 l c o n l 因为( 1 e y ) ( 伊e y a ) ( 2 ) 0 ，由方程( 1 1 1 1 ) 可知在i 1 层的解是正弦形式r 但在r k 和n 3 层则是指数形式。这样可以得到一个满足边界条件并在n 2 和n 3 层中呈 指数衰减的解，这些解如图1 1 3 ( ”和1 1 3 ( c ) 由于这些模式所携带的能量基本上 被限制在芯模层内因此这些模被称为束缚模或导模。 3 1 c on 3 d l c on ： 由方程( 111 1 ) 可知在n 。和n ：层的解是正弦形式，但在n 3 层则是指数形式。 如图11 3 ( d ) ，这些模被称为衬底辐射模。 4 o p k on 3 方程( 1 11 1 ) 的解在波导的三层中都是正弦形式如图1 13 ( e ) ，这些模式称为 辐射模或包层模。 由于光波是横波( 即t e m 波) ，电场和磁场均垂直于光的传播方向，可是当 光进入平面光波导后不再是t e m 波，而是t e 波和t m 波的叠加电磁场产生了 纵向分量，这是光在平面光波导这种特定的结构中的传播的结果。“ 0 颦x 学一争* 学x a 芦# 上部：波导传播常数b 的不用取位范圈( a ) ，( b ) ( c ) ，( d ) 中部；对于不问b 值的场分布； 下部：对应与不同传播范围的传播三角形 图1 1 3 对应不同鼬g 取值范围的场分布 】i - 4 导模的场分布和模式本方程 一t e 模的场分布和模式奉征方程 由于分析的是导模- 由上节可知在薄膜内的场是摄荡场( 即为驻波) 由波动 方程薄族内的场的形式应该是正弦或余弦函数的叠加：面在覆盖屡和村底中的场 应该是指数衰减的散三层平面光波导的电场分布为： fa e x p ( 一p x ) 0 x 。 丘( x ) 刊 b c o s ( 奴) 干cs i n ( h ) d ( x 0 ld e x p q ( x + d ) 3 一a - d ( 1 1 1 2 ) 、 式中a ，b ，c 和d 是由边界条件所确定的常数，面参数p _ k q 各定义为 k ；( 好i l l ：- 口令” ( 1 1 1 3 ) p = ( 口：k ：n ：) 1 。 ( 1 1 】4 ) q = ( 1 3 ：k ? 码：) ”( 1 1 1 5 ) 利用k ( x ) 在薄膜衬厩和薄膜覆盖层界面处连续以及a e y ，a x 在薄膜一覆 盖屡界面处连续条件可得： a l b br 0 5 ( k d ) c s i n ( k d ) - d l p a k c 于是b ，c ，d 均可以由a 来表示，这样e ( x ) 可写成如下形式 ra e x p ( p x ) 0 x 憎 与( x ) 叫a 【c o s ( 1 。c ) - ( p k ) s i n ( 奴) 】 - d x 0 la 【e o s ( k x ) - l d k ：) s i n ( 奴) e x p q ( x + d ) 】 mq d ( 1 1 1 6 ) 有了e ( x ) 即可根据( 1 1 】o ) 求出磁场分量r 和r 式中常数a 可以通过对场的功 率的归一化消去由( 1 1 2 6 ) 及a 峨6 x 在薄膜一覆盖虞界面处连续条件可得： k s i n ( k d ) - p c o s ( k d ) = - qf c o s ( 1 c d ) 1 ( p k ) s i n o c d ) 将上式两边除以c o s ( k d ) 得： t a n ( k d ) = ( q + p ) ，l c ( 】- p q k 2 )( 1 1 1 7 ) 该式& 日为三层平面光波导t e 模的模式本征方程，通垃求解该方程即可求出模式本 征位b 来利用三角函数公式并设： $ 1 ：q “( q 1 3 曩t “m 则( 1 1 】7 ) 可以化为： k d 一l ：一$ l ：= m zm = 0 ，1 ，2 ( 11 1 8 ) 式中m 是从霉开始的正整数，它表示场在薄膜中的节点数。图ll4 给出了 t e 0 t e l 和t e 2 三种模式的电场分布，由此可以看出模序数的物理惹义 t e 。 t e 1 e l kkk n 1 ) 扩 e ，( z ) 图i i 4t e 。t e 倡导模的电场分布 1 2 一一 田( 1l1 8 ) 可以看出电磁理论的分析结果与射线光学”5 l 的分析结果是完全一致 的，所不同的是电磁理论可以给出场分布表达式而射线理论无法作到这一点。 这里我们还给定模式的电磁场的归一化系数为吲： a 。= 2 k m ( 1 ) p 。( d + l p 。+ l q m ) ( 1 ( 1 ，1 2 + p 。2 ) 】屺 ( 1l1 9 ) 二t m 模的场分布和模式本征方程 t m 模的场分布和模式本征方程的得出和上述t e 模相似。利用t m 模的波动 方程( 111 1 ) 即可以写出平面三屡光波导的h ( x ) 三个区域中的表达式为： rc e x p ( - p x ) 0 x + 0 0 i - i , ( x ) = c c o s ( k x ) + ( n l ：n ：3 ) p k ) s i n ( k x ) 】 一d x 0 lc c o s ( k x ) + ( n l ：n ：) ( p k ) s i n ( 1 。【) e x p q ( x + d ) 】一q n j 订。当n = n ：时，芯层的厚度称 为截止厚度用d 。表示，由( 1 12 5 ) 可得： l c o dc = m 7 c + t a n “ c 1 3 ( n 22 一n 3 2 ) ( n 13 一n ：2 ) ”) ( 1 1 2 6 ) 由( 1 1 2 5 ) 式和( 1 12 6 ) 可以看出： ( 1 ) 当厚度d 增加时，模式的数量随之增多。 ( 2 ) 对任意导模，模折射率n 随厚度d 的增大而增大，但趋于一个上限值n ( 即薄 膜的折射率) 。传播常数0 在截止点取下限值1 ( on ：，随着d 的增加，p 增大并趋 于上限值l 0n ( 3 ) 由于对t e 模c 1 3 = 1 而对t m 模c 1 3 = n 13 n , ： 1 故对同一阶次m t m 模的截止 厚度大于t e 模的截止厚度。同样，对同一阶次m 和同一厚度d t m 模的模折 射率n 大于t e 模的模折射率n 。 ( 4 ) 对于对称平板光波导，n ，= n ，由( 1l2 6 ) 可以看出零阶模t e 。和t m , 没有截止 即截止厚度为零。 二归一化参量 为了得到模式的n d 曲线，必须对模式本征方程( 11 2 5 ) 作数值计算。为使各 种数值计算结果有更广泛的适用性，我们常引入归一化参量。以下定义这些参量： 1 归一化厚度( 归一化频率) v ： v = k n d ( n ：一n ，：) 1 n 2 归一化波导折射率( 归一化传播常数) p 2 p ：= ( n ：一n 、：) ( n ，o n ，：) p 的取值范围为0 p 1 。p = 0 相当于截止，n = n ，p ：= 1 相应于模折射率的上 限即n = n ，在近截止区，p ：1 ，在远截止区1 - p ：1 。 3 非对称程度参量； = ( n ：一“3 ：) ( n 1 ：一“：) 当= o 相当于对称光波导，一。相当于极强非对称的平板光波导( n z n ： i - 2 全众质多层突变平板光波导传输特性分析 多层突变平板光波导理论在集成光学和半导体激光器的研究中有重耍的应用。 本节在上节的基础上以全介质四层和五层平板光波导为例，给出其相应的t e 模和 t m 模的模式本征方程及各种模式的传播常数和模场分布函数 1 - 2 1 四层突变平板光波导m 州1 9 1 如图1 - 2 1 表示的是四层平板光波导，其中区域1 的折射率n ，较其他各区域 的折射率大。区域1 和区域2 的厚度各为a 与d ，讨论n n ! n 3 的情况， 显然。区域1 是约束电磁场能量的薄膜层，而对各导模而言，区域3 和区域4 均为 指数衰减的区至于区域2 中出现的是指数解还是振荡解则需要看条件。为方便起 见，先考虑区域2 出现指数解的情况，所得结果很容易改写为适用区域2 为振荡解 的情况 图1 2 1四层介质平板光波导 ( 1 ) n i n “： 在此条件下，区域2 中的模场呈指数函数的形式。 界条件可以求得各层的场分布函数。 设 k ，= g o ( n l ：- n 2 ) 1 7 ： p ，= l c 0 ( 杼f l i ：) ”( i = 2 ，3 ，4 ) 于是各层中场函数可以写成下列形式： r 机= a c o s ( k l 、l ，l = a c o s k v ：= a c o d ( p l j 、儿2 a c o d9 i 定义： a + 中1 ) e x p ( p 。x ) ( x a ) - 9i ( x 0 ) ( o 积a ) c o s h p 2 ( x - a ) 一8 ：】c o s h 8 ：( a ) 【a + d ) c o s h p ：d - 6 e x pf 妇x a - d ) c o s h 8 2 ( t e 模) 由波动方程和分界面上的边 ( 1 2 i ) ( 1 2 2 ) c = ej ， ( t m 模) 由函数v 在边界处的连续条件及其一级导数、【，( t e 模) 或n ：w7 ( t e 模) 在边界处的连续条件可得出四层平板光波导的模式本征方程如下： ( c p 4 k 1 ) + t a n 。1 c 2 p ：kj t a n h t a n h 。1 ( c 。p j p ：) + p ：h i ) ( 12 4 ) 利用本征方程由牛顿切线法可以解出模折射率n 即可利用场函数表示式求出 场分布。上式反正切函数的取值范围在0 到之间。 ( 2 ) n ，n n ， 在此条件下，区域2 中出现振荡解的形式，可以利用类似的分析方法来分析。 下面介绍一种简便的方法，可直接利用前面的公式得出该情况下相应的公式。 设k ，= k ( n ，：- n 2 ) ” p l = k ( n 2 玛2 ) ” ( i = 3 ，4 )( 1 25 ) 将式( 12 2 ) 和( 124 ) 中的p 3 改写为ik ：并把6 ：改写为iq ：，利用公式： c o s hi z = i c o sz t a n h ( i z ) = i t a n z t a n h “( i z ) = k a n “z ，t a n 。f i z ) = i t a n h “z ( 1 26 ) 就可得到场分布为： 厂w , = a c o s ( k f a + ( d i ) e x p ( p x ) ( x o ) l 、i ，i = a c o s 【k l ( x - a ) 一( p l 】( 0 取a ) 弋、l j ：= a c os p ic o s k ，( x - a ) ( p ：】e o s c p ：( a 取a + d ) i 、| ，3 = a c o d 平lc o s k d - ( p 2 】e x p p 3 ( x _ a d ) 】c o s q ，2 o ( 127 ) 模式本征方程如下： k l a 2 m + t a n 1 ( c , m , k f ) + t a n 1 c 1 2 k ：k i t a n h t a n h 一1 m = 0 1 2 ( 码k 2 ) + k ：d ) ( 1 2 g ) 利用本征方程由牛顿切线法可以解出模折射率n ，即可利用场函数表示式求出 场分布。 1 - 2 - 2 五层平板光波导i l o 一五层非对称平板光波导 图1 - 2 - 2 袭示的是五层平板光波导其中心层的折射率最大为，厚度为2 a 。为了 数学上运算方便起见，设中心层上面两层的折射率分别为n ，和n 。，第一层的厚度 为d 。下面两层的折射率分别为n 。和n 。，下面第一层的厚度为d ， 。 6 m o ，丌吼 m i 占 = a k k n 、 d + ln l 2 n n o d 1 ，1 3 1 n 一： 图1 2 2 五屡介质平板光波导 将坐标原点取在中心层的中点处，分界面坐标为x ，x ：，x 一，x ：。设中心层 为振荡区，其余各层均为指数解区。由波动方程和边界条件可得五层平板光波导各 层的场分布为； f v + 2 盂a 。o c o d 平oc o s h p 叫d , - 5 1 e x p - p ：( x x 。) 】c o s h 6 i ( x x 2 ) v + j = a 砷c os 中，oc o s h p 1 ( x - x 1 ) 一6 叫 c o s h 5 + 1 ( x ：x x 1 ) ju ，n = c o s ( k n ( x - r ) + 中柚)( x 1 x 0 ) 1v 扩a m c o s ( k o ( x + a ) 一中o )( o x x 1 ) v i = a 4 c os 中0c o s h p i ( x x i ) + 6 1 c o s h 5 1 ( x i x x 2 ) 【 v ：= a 日c o dc p c o s h p id 1 - 5 1 】e x p 一p 2 ( x x t ) c o s h 5 1 ( x x 2 ) 其中：a 。) c o s ( k o a - 中邶) = a m c o s ( k , ) a 一平m )