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叫j i l 大学顿士论文 非定常线性对流占优扩散问题的涡旋粘性 有限体积法 计算数学专业 研究生李建军指导教师冯民富 摘要 一直以来，对流占优由于其重要的物理背景而成为一个研究 热点。由于这类问题具有双曲性质，传统的差分法和有限元法经 常出现伪数值振荡。二十世纪七十年代以后，诸多非标准有限元 方法被相继提出。这些方法结构虽不同，但都有一个共同的着眼 点：设法处理好对流项使数值算法在某种程度上能反映原问题对 流占优的特性，避免伪数值振荡。其中比较重要的两种方法是有 限体积法和子网格涡旋粘性法。有限体积法能够保持原物理问题 的特性，特别是守恒性，并且其训+ 算格式相对也较为简单，因此 被广泛应用于数值求解流体动力学方程。然而，数值算例表明， 对某些对流占优的扩散问题，用此法得出的数值解仍出现某种非 物理震荡，稳定性不够理想；而基于粘性发展的子网格涡旋粘性 法得到的解的稳定性很强，解的精度也能得到保证。为了利用e d d y v i s c o s i 印法和有限体积法的优点。本文试着将e d d yv i s e o s i f 魅 推广到，喘式，两者结合来解对流扩散方程。并对所导出的格式 进行了理论分析。结果表明，文章所建立的格式的解的稳定性得 到增强，有效地克服了f 眩伪数值振荡现象，同时解的精度也达 到了最优。 些型查兰塑主堡兰 关键词：对流占优扩散问题，线性，非定常，有限体积法 e d d yv i sc o s i t y 方法 i l 四川大学硕士论文 e d d yv i s c o s i t y f vm e t h o d sf o r t h el i n e a r t i m e d e p e n d e n tc o n v e c t i o nd o m i n a t e d d i f f u s i o np r o b l e m m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h g r a d u a t e ：l ij i a n j a n a d v i s o r ：p r o f f e n g m i n f u a b s t r a c t t h e p r o b l e mo fc o n v e c t i o nd o m i n a t e dd i f f u s i o nh a sb e e nt h e r e s e a r c hh o t s p o ta tp r e s e n t d u et ot h eh y p e r b o l i cc h a r a c t e ro ft h i s p r o b l e ma n dt h ee f f e c to ft h et e r mo fd i f f u s i o n ，c o n v e n f i o n a js o l u t i o n o fg a r l e r k i nf i n i t ee l e m e n to f t e na p p e a r sf a l s en u m e r i cs u r g e a f t e r 1 9 7 0 s ，ag o o dm a n yn o n - s t a n d a r df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r ed i s c u s s e d a l t h o u g ht h e yh a v ed i f f e r e n tc o n f i g u r a t i o n s ，t h e yh a v ea c o m m o ns t a r t i n gp o i n t ：t r y i n gt od e a lw i t ht h et e r mo fc o n v e c t i o n 。n u m e r i c c o m p u t a t i o nt os o m ee x t e n tc a ni m a g et h ec h a r a c t e ro fc o n v e c t i o n d o m i n a t e da n da v o i dn u m e r i cs u r g e t h e r ea r ec o m p a r a t i v e l yi m p o r - t a n tm e t h o d s ：f i n i t ev o l u m em e t h o da n ds u b 鲥ds c a l ee d d yv i s c o s i t y m e t h o d 。f i n i t ev o l u m em e t h o dc a nk e e pt h ec h a r a c t e ro fo r i g i h a l p h y s i c a lp r o b l e m ，e s p e c i a l l yf o rc o n s e r v a t i o n ，a n da l s oi t sc a l c u l a t i o n s c h e m ei sr e l a t i v e l ye a s y ；t h es t a b i l i t yo ft h es o l u t i o nw h i c hi sg e tb y i l l 四川大学硕：l 论文 s u h g r i ds c a l ee d d yv i s c o s i t ym e t h o di sh j l g h e ra n dt h ea c c u r a c yi s i m p r o v e d i no r d e rt ou t i l i z et h ea d v a n t a g e so ff i n i t ev o l u m e m e t h o d a n ds u b g r i ds c a l ee d d yv i s c o s i t ym e t h o da n do v e r c o m es o m el a c ko f e a c hm e t h o d ak i n do fm e t h o dw h i c hi sc o m b i n e df i n i t ev o l u m e m e t h o da n ds u b g r i ds c a l ee d d yv i s c o s i t ym e t h o dt od e a lw i t ht h el i n e a r t i m e d e p e n d e n tc o n v e c t i o nd o m i n a t e dc o n v e c t i o nd i f f u s i o np r o b l e mi s p r o p o s e d i ti ss h o w e db yt h et h e o r e t i c a la n a l y s i so nt h i sf o r m a tt h a t t h em e t h o dw h i c hi sp r o p o s e di nt h i sp a p e rc a ne n h a n c et h es t a b i l i t yo f t h es o l u t i o na n do v e r c o m et h ep h e n o m e n o no ff a l s en u m e r i cs u r g e m e a n w h i l e ，t h ea c c u r a c yo ft h es o l u t i o nb ys u b g r i ds c a l ee d d yv i s c o s i t ym e t h o di sg a i n e d k e yw o r d s ：c o n v e c t i o nd o m i n a t e dd i f f u s i o np r o b l e m ，e d d y v i s c o s i t ym e t h o d s ，f vm e t h o d s ，l i n e a r ，t i m e d e p e n d e n t i v 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中 特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四i 大学读书期间在导师 指导下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明。 导 作 四川大学硕士论文 第一章绪论 在科学工程计算领域中，对既伴有物质运输又有分子扩散过 程的物理系统或具有粘性的流体的计算问题，其数学模型常归结 为“对流扩散偏微分方程”或含有此类方程的偏微分方程组，该 类问题中，对流占优扩散问题则得到越来越多的重视，并针对数 值求解此类问题，提出了许多新型的，非标准的数值格式。因这类 问题具有双曲性质，其解函数有大梯度变化的边界层和过渡层传 统的g a l e r k i n 有限元解经常出现伪数值振荡。二十世纪七十年代以 后，诸多非标准有限元方法被相继提出。 就有限元方法而言，已有多种新型方法问世，如迎风有限元 法，特征有限元法，流线扩散有限元法等等，就差分法而言，有 迎风差分法，特征差分法，广义差分法等，还有正在迅速发展的 有限体积法。这些方法结构虽不同，但都有一个共同的着眼点： 设法处理好对流项使数值算法在某种程度上能反映原问题对流占 优的特性，避免伪数值振荡，使得对瞬变层，边界层具有较好的 分辨性。 为了解决解的稳定性问题，一种有效的方法是人工粘性法， 这样解的稳定性虽然得到了解决，但是由于它的精度不高，解过 分光滑不能模拟实际中的跳跃，问断等问题，而且格式不相容， 人们渐渐失去了对它的研究的兴趣。最近几方面的研究使人们对 人工粘性离散逐渐产生了兴趣，一方面是通过对缺点的修正应用 于反扩散流；另一方面是通过子网格模型解决湍流而采用的非线 性人工粘性离散，还有一方面的发展也就是g u e r m o n d 法，它也可 以解释为通过增强b u b b l e 函数，插入作用于细小网格上的人工粘 性项以增大b u b b l e 函数的自由度的一种经典g a l e r k i n 离散 而有限体积法是应用较为广泛的一种数值方法，特别是用于 四川大学硕士论文 数值求解由物理问题中提出的守恒律问题由于有限体积法能够 保持原物理问题的特性，特别是守恒性( 如动量守恒，质量守恒 等) ，并且其计算格式相对也较为简单，因此被广泛应用于数值求 解流体动力学方程。然而，数值算例表明，对某些对流占优的扩散 问题，用此法得出的数值解仍出现某种非物理震荡。稳定性不够 理想。 基于上面这种情况，本文试图结合两种方法的优点，给出一 种新的方法，通过理论的分析，最终达到了预期的目的，但由于 没有具体的算例去检验，这一步的工作还有待进一步的研究。 下面简单介绍一下所用到的数值计算方法和一些范数。 1 1 有限差分方法 对方程在时间上的离散，我们要用到差分方法，在本文的数值 计算中，我们采用的是向后差分公式。 1 2 有限体积方法 有限体积法是近几年来发展起来的比较新的一种数值方法， 由于它很好的解决了有限元方法中计算速度比较慢的缺点，同时 解决了有限差分方法中对复杂区域处理比较困难的缺点，现在正 在为广大科研和工程计算所利用，有限体积法的另个优点是它 的计算是基于节点的，因此有限体积法的后处理和前处理比较灵 活简单，对习惯于有限元方法的科研人员十分有利。 有限体积法( f i n i t e v o l u m e m e t h o d ) ，简称f y 方法，就是在 物理空间( 偏微分方程的求解区域) 将偏微分方程转化为积分形 式，然后在物理空间中选定的控制体积上把积分形守恒律直接离 散的一类数值方法，离散一方面是指将问题的求解区域割分成为 网格，一方面是指把积分守恒律离散称为线性( 或非线性) 代数 方程组。 2 四川大学硕士论文 有限体积法的离散思想自动满足守恒定律，如质量守恒，动 量守恒，能量守恒等等，所以有限体积法是守恒定律的一种最自 然的表现形式，它可以十分方便的利用各种类型的网格，无论是 结构性网格还是非结构性网格，得到它的网格控制体积，从而适 于任意复杂的几何形状的求解区域，它可以吸收有限元的思想， 主要是函数的分片近似的思想，以及有限差分方法的一些思想来 发展它的高精度算法，有限体积法从五十年代末得到了发展，近 十余年来，非结构化网络有限体积法已经取得了很大的发展，发 表了大量的论文和报告，目前已经成为高效数值模拟复杂区域的 高速流体动力学的一类最主要的数值方法。这里，我们只简单介 绍一下有限体积法，选取下述方程为例： i 图】：有限体积法的最简单的网格剖分形式及单元控翩体 + v f = q 优 妒代表质量，q 是质量的源，f 代表质量的一个矢量流场，因此这 是一个典型的微分质量守恒问题，取上图内的虚线围成的体积为 控制体积矿，在控制体积矿内积分，彳为y 的表面，得到： 专l ，4 饥+ 。p n d a 。l ，4 鲫 n 是控制体积y 的表面4 的外法线方向，将上述方程式离散，得到 在离散的控制体积上的离散方程： 四川大学硕士论文 上式中 昙谚+ 乏4 一k q f k 言谚= 言d 矿= ，识e 吉妒d 矿 f q a | 2 l 卜幽甜q 。云l 卜幽 o a ：o o k q 丘q 口矿 q5 亩 q d v 上述例子是有限体积法的个比较一般的表述，实际的方程 分析时，问题的复杂程度会随，函数的复杂程度发生变化的。 有限体积法的边界条件的处理方法与上述方法有类似的地 方，同时针对不同的问题也有它的相应的边值条件的处理方法， 而且不尽相同，如何处理要依据具体的问题确定。 近几年发表的关于任意三角形和四边形网格的差分格式的构 造实际上绝大多数是采用的有限体积的方法，只不过是叫法不一 致而已。 另外，随着有限体积法的不断发展，现在已经发展起来了一 些高精度的有限体积方法，如c f d 计算中的e n o 型有限体积格 式，有限体积方法汲取有限元方法的思想，在控制单元内不采取 平均值的方式，而是采用多项式插值的形式来求解数值积分的方 法现在也得到了一定的发展( 也称广义差分方法或有限体积单元 法f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d ) ，这种方法的优点是可以得 到较高的数值精度( 可以达n - 阶或三阶精度) ，在后处理的节点 值的恢复处理中比较方便，但是由于程序设计复杂，现在还没有 得到广泛应用。 4 四川大学硕士论文 1 3 本文的一些记号和范数 为了讨论方便，首先介绍一些记号。q c r d , d - 2 , 3 为 l i p s c h i t z 具有边界( r a q ) 条件的有界区域，h7 ( q ) ，1 1 1 l ，( 。) ，l 乏。 表示一般的s o b o t e v 空间以及相应的范数和内积，当z 一0 时， h 。( q ) ；r ( q ) ，用( ) 表示相应的内积，记h ：( q ) 为c z 在范 数下的闭包。 本文所用到的一些范数定义如下： 定义1 3 1 函数，：q r ”的p 范数定义为： l l s l l ；咀i ，伍) 陋) j q c 矽 其中( ，) 为标准的l 2 内积。 定义1 3 2 函数，：q r “的关于s o b o l e v 空间h ( q ) 的范数 定义为： o = ( j o ( i 2 阱壶( 乏； 其中q 是r “一个开的，连通子集。 特别的，令： x t h j ( q ) 。 v e l 2 ( q ) ：乳2 ( q ) ，v o o n f ；a q l 我们在连续时间oe o ，r 】) 和空间q 定义范数： 乩c 5 l l u l l 印删c 。，4 娜牌，乩r 啪制帅- 晴b 叫f ； 四川大学硕士论文 对于离散时间辑= 删k ，栉。o 1 ，2 。；古) 和空间q 定义范数： 21 恤i t 2 ( z ：) j t 。彬i 【缸磊 j 定义1 ，3 3 函数“：q r 的( 4 ，6 ) 权范数定义为： 眦。- a l , l 2 + b f v u f t 2 q c j r 4 定义1 3 4 函数“：q 一月的( 乜，b ，a ) 权范数定义为： i l u e 。，- 0 “0 ：，+ o i l e r “1 1 2 q 尺1 定义1 3 ，5 对v c e r ，在q x ( o ，t 】上权范数定义为： i l y l i , 2 c , o t , , - f e e ( t - t ) 2 疵 定义1 3 6 对于z ，0 ，l 2 ( 0 ，t ，h 1 ( q ) ) 权范数定义为 8 幢舯一oe , - t r s 酬1 2 + 。峙v r 阻 6 四川大学硕士论文 第二章非定常线性对流占优扩散问题的涡旋粘性 有限体积法 2 1 涡旋粘性有限体积法( e d d yv i s c o s i t y f v ) 的格式 2 1 1考虑如下的非定常线性对流占优扩散问题 u 。一e a u + 芦( 工) v u + g u 一厂i n u ( x ，f 1 0 u ( x ，0 ) ，i g t j 0 ) o n o n q ( 0 ，t 】 a q x ( 0 ，t 】( 2 1 1 ) q 0 其中q c r 。( d = 2 ，3 ) 为凸多边形区域，流场 卢( x ) ：q ( o ，卅一，s ，o 为一小的正常数，当i 卢o ) 卜，e 时，即 问题( 2 1 - 1 ) 是对流占优问题。 那么，当占，屈，e w l 9 ( q ) 时，如果有 g ( t ) 一l d ii s ( x ) 芑九 0 v x e e 2 ( 1 - d i v f l ( x ) 0 21 2 ) 9 0 ) 一 芑九， ( ) 问题( 2 1 1 ) 的弱形式为：求“叫( q ) ，使得 以，y ) + e ( v u ，v v ) + ( “。+ g u ，v ) 一( ，v )v v e n ；( e ) 0 如o ) ，y ) = 。g ) ，v ) v v e v ( 2 1 3 ) 的解必存在唯一。 其中，w n - 口v w 。由己知条件可知： 四j t t ：k 学硕士论文 矿一日：( q ) - v 硪( q ) ：v v e l 2 ( 2 ) ，y 一0 伽r = a q 2 1 2 有限体积法 令lc 仁) 为函的拟一致三角剖分，相应的网格参数 h s c 1 ，称剖分f 。为基剖分，令只- t e , ，f ，) 为f 中全部三角 单元的顶点集合。( j 为一个指标集) ，j 。 f ，只q 。 v 只，定义其重心型对偶区域b 为：由以鼻为顶点的所有 三角形单元z 五之重心与含有顶点霉的各单元边界之中点相连 接而围成的多边形，记d - t o , ，f ，1 ，称q 为瓦之对偶剖分，记 d f 的边界为崛，称2 ，f 最为西的有限体积( f i n i t ev o l u m e ) 。 显然有： 西= u d 图2 ：基剖分n 与对应的对儡剖分 ( 2 1 4 ) 当f j 时，有限体积2 和d ，无公共内点：若d j 与d ，有公共边界， 则称b 与d ，互为相邻，当d 与d ，相邻时，记 四j i l 大学硕士论文 f = u 巧= 崛no d ，= l ( 2 i 5 ) d - i 其中f 一f 为d i 和d ，的公共边，当d i 或d c c q 时，有 岛；2 ，当崛na q 或a d ，n a q 皆非空时，则岛一1 对v i e j ，令s o ) 一 ，d j 为皿的相邻单元 ，若 一o p , e p 。n a q 则崛n a q 非空，改记哆na p r 。，垒u e ，。，其 中f l , 一，= 2 ，此时，令s ( f ) ；s ( i ) u t 一1 ) ，否则( 对p 只n q ) ，令 s ( f ) = s 0 ) ，显然，对每一个d i d 有， el 。 a b ur i ，- uu 巧 j 8 3 i )日( 1 ) 口- 1 记l q l 为q 的面积，l t l $ 2 t 的面积，蜉一( ，岛，n 刍) 为a d l 在写上的 单位外法向，l r a l 为r ；的长度，i 崛l 为o d i 的长度 在瓦和d h 上定义如下的空间： k = c ( 西) ；v i r 为线性函数，v t t s ) ( 分片线性有限元空 间) 。 k = v 瓦；v o 在a q 上) 。 z 。= r ( q ) ；w ld i ；常数，v q d 】。 k = w z 。；w i q = o , v i j j ) 。 显然，x h 1 ( q ) 。 熟知瓦- s p a n 咖i ：f ，) ，其中破瓦使得 四川大学硕士论文 魂( 墨) 2 。k r o n e c k e t d e l t a ，i ，j e j ， k ；s p a n 谚：i e j ( = s p a n 璁：i j ，p , e p 。n q ) ) ， 而z 。一s p a n 吐：i e j ，k s p a n d 。：f j 】其中令d ；，为 d l d 的特征函数。 为构成离散的问题，引入如下的离散算子l h ：c ( q ) 一k l l q v ( 鼻) v v e c ( f i ) ( 2 1 6 ) 现对问题( 2 1 1 ) 作离散，在( 2 1 - 3 ) 中取v k ，对流场 的有关项作有限体积离散，对于v w ，v k ，有 ( 嵋v ) ；- r ( 卢。v w 渺暑，战p ( 卢砂胁一- r ( d 如卢) 诎- ，+ 口 。口 q 而 ，2 严( 卢w 脑。尸v ( 卢w 地咄。善严( 卢毗瓜 q口f 叫n 2 i v 卢肭_ - f ( d i v ，) l h w l h v d xi - - 善- 厂 加f 1 ) l h w l h v d x qq l 刨n 因此问题( 2 1 3 ) 的f v 格式定义为：求u 6 k ，使得： “，? ，v ) + f ( v u 6 ，v v ) + ( d i v ( f l u 6 ) ，l h v ) 一( ( d i v f l ) l h u h ，l h v ) + 占( u ，v ) 一( 厂，v )v v e k ( 2 1 7 ) 2 1 3 涡旋粘性法( 啦v i s c o s i t y ) ( 2 1 3 ) 中的第一个式子可写为：求u y ，使得 ，v ) + a ( v u ，v v ) 一a ( v u ，v v ) + a ( u ，v ) i ( f ，v ) v v 矿 其中a ( u ，v ) 车t ( v u ，v v ) + ( “口+ 昌w ，v ) 1 0 四川大学硕士论文 我们引入中间变量，譬= v u l ：r ( q ) ，则上式的等价形式为： ，v ) + a ( v u ，v v ) + 口以，v ) 一a ( q ，v v ) ；( ，p ) v v e v 国一v u ，z ) = 0 v f 工 ( 2 1 8 ) 注意 ，h 分别为两种不同网格剖分的步长，令有限元空间 毛c l ，k c v 考虑如下的问题：求( u h ，矿) ( k ，) 满足： ? ，v ) + n ( v “6 ，v v ) + a ( u h , v 6 ) 一口( g ”，v v ) 互( ，v ) v y y 6 ( q 6 一v u h , l ”) 一0 v ，( 2 1 9 ) 显然，当 v k 时，q ”一v u “，将此式代入( 2 1 9 ) 中的一 式，则为一般的g n f e r k i n 方法，当- o ) 时，o ( ，v v ) = o ，这时 我们得到了人工粘性格式。 在这儿我们引入正交投影算子o ：r ( q ) 一r ，则( 2 1 9 ) 式 中的第二式可记为： q h = p u h 代入第一式得到： ( 町，v ) + a ( v u h , v v ) - a ( 0 v u h , v v ) + a ( u h , v ) = ( 厂，v ) v v g v 6 则( 2 1 9 ) 的等价形式为： g r ，v ) + 口( ( ，一p ，) v u h , ( 一) v r ) + 口( u 6 ，v ) = ( ，v ) v p e 矿( 2 1 1 0 ) 四川大学颂士论文 另外，投影算子l , v 具有如下性质： l l - p a s i 咿一斥) v 咀。 c h l v l ，+ 。v v e h 一( q ) 2 1 4 涡旋粘性有限体积法( e d d yv i s c o s i t y 一研，) 格式 将( 2 1 7 ) 中所用的f v 方法和( 2 1 - 1 0 ) 中的方法相结合， 我们得到如下的涡旋粘性有限体积法( e d d yv i s c o s i t y f v ) 格 式： 求u k ，使得： ( u ? ，v ) + e ( v u h , v v ) + ( d i v ( f l u 6 ) ，l h v ) 一( ( d i v f l ) l h u hl h v ) + 口( ( 一c ? ) v u “，( i - c j ) v v ) + ( g 【，6 ，v ) ；( ，y ) v v e v 6( 2 1 1 1 ) 将上式简记为： ( 【，? ，v ) + 爿( u “，v ) = ( ，v ) v v e v 6 ( 2 1 1 2 ) 其中： a ( u h , p ) 一 0 ， 则格式( 2 1 1 3 ) 的解有如下的稳定性估计： 四川大学硕士论文 杉“p ) 8 2 + 8 卜p a , ) v u 化旭，。+ p p k ，。 脚，n 圳b 。 证明： 在式( 2 1 1 3 ) 中令v = u 6 ，由于( 旷，u “) t - , i i n 则有 丢丢m 2 + o l l o p c , ) v u h 卜( v u h , v 喇v ( 3 抑) ( ( d i v f l ) l h u h , l h v ) + g ( u h , v ) ；( 厂，v ) ( 2 2 2 ) 先估计左端，由h ：中的p o i c a r e 不等式，有 ( e v u 6 ，v ( ，6 ) ；el i v c ，6 zp 0 ( ，i c ( 2 2 3 ) fd i v ( f l u “) l y d x f o ( d f v 卢地【，“l 【，“d x 。f 。( d i v p 獬h l h u l ) l h u h d x + l 。网l 釉h d x ；l + l l 由引理2 2 2 ，s 刚眇一厶u l u 忙c 1 川| l l l - “c , h 1 1 “e 所以： 正出v ( f l u 6 ) l h u d x f q ( d i v f l ) l h u 6 b u 6 d x = 正芦v 6 毛扩。玉一单畛6 右端项为： ( 加6 ) s v i l l i u 6 忙剖1 刘2 + 扣6 1 1 2 由( 2 2 2 ) ( 2 2 5 ) 得： 丢铷8 2 + 口卜乃，) v u “1 1 2 + ( 肛一c , h ) u v e 1 4 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 四川大学硕| 二论文 + ( g ，u “) + 上胛“毛u 6 d x s 却刘2 + 扣6 1 1 2 ( 2 2 6 ) 田于： o 扩，u 6 ) + f o 3 v u 丘【，6 d x z ( g u 6 ，u “) 饥( 芦w “6 d x 一正卢。w 一l y “皿 因为u 6 e h 0 1 ( q ) ，由条件( 2 1 2 ) 有： ( g ( ，6 ，【，6 ) + j ：卢v u 6 u “出= ( ( g l d f v f l ) u ，u 6 ) = 九0 【，6 1 1 2 又 正卢砌“一l h u 皿s 。i i v 6 i i i i 一l j , u “忙c ， 1 i u l i i 所以： ( g 【，“，u 6 ) + 上卢。v u 6 l h u 6 & ；九l l u l f c ： 0 【，肝 ( 2 2 7 ) 结合( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 得： 翔u 卜卜p m ) v u h i l 2 + ( p 叫一啪炒n 坤6 1 1 2 s 刻1 刘2 + 扣6 1 1 2 即： 扣+ 缸卜p m ) v u h i | 2 + 2 ( 岍h ：n ) 暇+ 九1 1 u | 1 2 s 扣1 1 2 取 适当小，使得： c 一+ c 少s 譬 那么就有 四川大学硕士论文 丢”i f 2 + z g 黔一罗u l f 2 + 弘+ 九杉l ；2 去2 将上式的两边同乘以积分因子p 却，从f - 0 到t t 积分得： e 舻”( ) i 1 2 + q e 缸卜p ，) v u “2 d t + p 6 i f 2 d t s 如2 出 即： 。v 耖研+ q 卜p l , , ) v u 68 2 d t + p 6 f 2 d t s i l u ( 0 ) 1 1 2 + 瓤砂2 出 两j 力再乘眦，一v 得剥帘瑚结诊。 2 3误差分析 定义如下范数： i k l i ：。i nl b l l 2 + 6 i l v “1 1 2 卜i 卜1 1 2 + l l ( 一p ，) v “1 1 2 令n 。为从硪( q ) n h 2 ( q ) 一k 的插值算子，记 ，7 。一l - i “ = w 一毛w e = 一u 一，7 一亭 1 6 四川大学硕士论文 亭一矿- 1 - t u 由有限元插值逼近定理知： 当u e h ( 1 ( q ) n h 2 ( q ) 时有 l k l l + h l l v 7 1 1 + h 2 i i v 7 1 1 c h 2 i l u l l ： ( 2 3 1 ) 又由引理( 2 2 2 ) 有 = 圳l s 曲s m h i i v v i v v 矿( 2 3 2 ) 另外投影算子k 具有如下性质： j l 一晶忙1 0 ( t - p ) v v k 凹。 v v e h ”1 ( q ) ( 2 3 3 ) 引理2 31 若( 2 1 2 ) 成立，则 a ( u , v ) c 1m | 1 1 ，1 v 忆，。以及爿 ，“) c 20 地。 证明： a ( u ，v ) = e ( v u ，v v ) + ( d i v ( f l u ) ，l h v ) 一( ( d i v f l ) l h u ，厶v ) + 盯( ( ，一p f ，) v u ，( ，一o ) v v ) + ( g u ，v ) 因为： ( d i v ( f l u ) ，l 。v ) - ( ( d i v 卢) 厶n ，l h v ) = ( 威p 多 一厶n ) ，厶v ) + ( 芦v u ，厶v ) 而( 卢v u ，厶v ) + ( g u ，v ) ；( 卢v u ，v ) 一( 卢v “，( v 一厶v ) ) 所以上式化为： a ( u ，v ) 一e ( v u ，v v ) + ( a i v 3 ( u l “) ，l h v ) + ( f l v u ，v ) 一( 声v u ，v l h v ) + a ( ( 1 0 ) v u ，( ，一弓) 聊) + ，p ) ( 2 3 4 ) 利用( 2 3 1 ) 一( 2 3 4 ) ，我们得到： 叫川_ 人学硕士论文 4 0 ，v ) ss 瓢，洲v v f f + l 止v 多k 肛一毛“洲v 一厶v 4 + 慨x ) v 圳v 1 1 + l l 芦刚。胁一厶v 8 + 口忖一p a , ) v 圳( ，一弓，) w i i + l l g ( x ) 圳v 0 铒0 矾一| v | 】| 。，。 由( 2 3 4 ) 得： a ( u ，“) 一s l i v “0 2 + 0 1 1 ( 1 一) v “0 2 + ( a i v f l ( u l “) ，l h “) + ( 卢- v “，“) - ( f l v u ，u 一厶h ) + ( g u ，) 由于： ( 出v 卢0 一l “) ，厶“) 知：彳( ，v ) 一彳以，v ) v v e v 6 令v 一亭得圭u 4 ( 芋，亭) 一4 ( ，7 ，手】 ! 由引理2 3 1 和引理2 3 2 知，在( 2 1 2 ) 的假设下，4 ( 亭，亭) 2 定义了一个加权范数，因此，利用c a u c h y s c h w a n t z 不等式得到： _ ( ；，；) ；丽丽s - a ( ，7 ，叩) + 丢4 ( ，亭) 则：爿( 宇，亭) s4 ( ，7 ，r ) 由引理2 3 1 知： 么( 喜，癸c ( s i i v 耶+ 训邪+ 口怜一弓) v 孝8 2 ) 所以：c o i v 亭1 1 2 + 九忙1 1 2 + a l i ( ，一易) v 刨2 ) s 爿o ，7 ) 假设九= o ( 1 ) ，则：i l 酬。s c 物虬。 而0 砸，= r i i v , 1 1 2 + w + m 一0 ) v 叩 5 c o 。h 4 + ( s + a ) h 2 i 所以：ks c ( a w h + 正而) 由于：| l 亭l | 删，。e s s 牌s 哪泌址， 所以：i - 川删，s c ( a j h 2 + 瓜h ) l l 叱r ) 另外：i i l u - w “l l l 。，。怔“k l v 言1 1 2 + 口卜纠v 芋叫i s 胁吣知d r ) i 四川大学硕士论文 蛔a 南2 + 而) ”2 ) 2 墨c ( a j h 2 + 4 7 7 s h ) 1 1 叱r ， 引理2 3 3 证明完毕。 推论2 3 ，：在引理2 3 3 的假设下有： i l ( 蝉一w ) 。4 r 。l 2 ，sc ( a j h 2 + ：。：= k ) i b ，0 f ( 。：， 定理2 3 1 ：设“矿，矿k 为问题( 2 1 1 ) 的解，u 为半离 散格式( 2 1 1 3 ) 的解，若假设条件( 2 1 2 ) 成立，则存在与h 和日无 关的常数c ，使得： i b u 0 + l l l u 一【，。，和，s c 4 - d l l ( i p c , ) v u i + ( o ) - 1 o h 2 m ：，+ 2 i ： + ( 。j 2 + s 4 7 7 9 h ) i “，i l r 。：，】 ( 2 3 6 ) 证明： 由( 2 l3 ) 一( 2 1 1 4 ) 得 ( q ，v ) + e ( v e ，v v ) + ( 卢。v u ，v ) + ( g e ，v ) + ( ( d i v f l ) z h 【，l h v ) 一( a i r ( f l u 6 ) ，厶v ) 一a ( ( 1 一弓) v u h , ( 1 - ) w ) = o v v e v “ 因为e = r 一亭 则上式可变为： ( 皇，y ) + s ( v 亭，v v ) + ( g 芋，v ) + ( ( d i v f l ) l , u ，l h v ) 一( ( d i v f l u “) ，l h v ) + a ( ( 1 - 巧) v u h , ( 1 - p e ，) v p ) - 铆，v ) + , ( v r l ，v v ) + ( g t 7 ，v ) + ( 卢。v u ，v ) 又由于u 6 = 亭一r + “以及v u t v 亭一v r + v u 四川大学硕士论文 所以：( 皇，p ) + ( v 亭，审y ) + ( 苫亭，p ) + ( 0 兹v 芦事) ，厶v ) 一( ( d i v f l ) l 一亭，l h v ) + a ( o 一) v 亭，( 1 一弓) v v ) t ( 仇，v ) + e ( v 卵，v v ) + ( g ，7 ，d + ( ( a i r , q ) ，l h v ) 一( ( d i v f l ) l d l ，l h v ) + a ( ( 1 一弓，) v 叩，( 1 一p f ，) v v ) - ( ( d i v f l u ) ，l h v ) + ( ( d i v f l ) l , u ，厶v ) 一a ( ( 1 一弓，) v u ，( 1 一巳) v v ) + ( 卢v u ，y ) ( 2 3 7 ) 由( 2 3 5 ) 可知，上式右边的第二项到第六项之和为零。 即： t ( v r l ，v v ) + ( g j 7 ，v ) + ( ( d i v f l 叩) ，l h v ) 一( ( d i v f l ) ，7 ，l h v ) + a ( ( 1 一只j ) v ，7 ，( 1 一工? ) v v ) = 0 ( ( d i v f l ) l h u ，l h v ) 一( d i v ( f l u ) ，l h v ) = 一( ( d i v f l ) ( u 一毛缸) ，厶y ) 一( f l v u ，l h d 一( ( d i v f l ) e ；，l v ) 一( ( d f v 芦) e ：，l h v ) 一( ( d i v f l 碗一，厶p ) 一( f l v u ，l h v ) 则( 2 3 7 ) 进一步化为：偿，v ) + 爿( ；，v ) 一( 叩，v ) + ( ( d i v f l ) e ，l h v ) - ( ( d i v f l ) e ：；，l h v ) - ( ( d i v f l ) e ：- ，厶v ) 一( 卢。v u ，l 。v ) ( ( 1 一弓，) v u ，( i 一) 聊) ( 2 3 8 ) 在( 2 3 8 ) 中令v = 亭，贝0 ： 四川_ 人学碗上论文 ( 毒，亭) + 爿( 亭，孝) t 仍，亭) + ( ( 威v 卢) e ；，b 亭) 一( ( d f v 卢) ，厶亭) - ( ( d i v e ) e u ，毛亭) + ( 卢v u ，) 一a ( ( 1 一) v u ，( 1 一乃，) v 事) 对于上式的左边，由定理2 2 1 的证明过程知： ( 油十爿皓，亭) z j l 泸dn 徘n 扣酬 + o l l o 一易) v 邪 对于左边，由于： 陋p ) ，叫s 慨刚圳m s 洲i + a 叩1 1 2 l ( d i v 芦) ，亭i sc h l l v l 刨sc h o i r , 7 1 1 + u v “i i ) 1 1 1 1 s 6 ：1 1 1 1 2 + c 2 硎v ，7 n i i v “n 陟v 咄；) 卜幽陬| l l | v 酬s 6 ，怫旷+ c h 2 慨 4 一每川z - 鲁，岛等 所以： 翔亭n 圳1 2 + 扣亭卜口| i ( 1 0 ) v 亭0 2 - 4 , 1 i 1 2 + c h 2 ( 1 1 v , 7 1 1 2 + l l v “n + c ( 如，卜扣心1 | ( 卜卵“0 2 + 号忪一弓，猡；1 1 2 + 等l l v ；n 即 j i d 蚓1 2 + 每2 + 钏v 宇0 2 + 号i l ( i p f ，) v 亭1 1 2 阴j 1 1 大学硕士论文 量去每，一卵“f f 2 + c 舫 2 4 - h 2 ( 附i i + u v u l l 2 ) ) 将上式两端l j 来上勉“得剑： 丢1 1 皇1 1 2 ) + i ze u v 亭卜矿卜) v 4 1 2 s c e 砧b , 1 1 2 + a e 砧l l ( 1 一弓) v “+ c e 辞( 怕i f 2 + a 2 d f v 吁1 1 2 + l l v “l f 2 ) ) 对上式从t = 0 到t = t 积分并整理得到： e 如7 即) n f 训v 耶+ a 卜p ，) v 邪 d r s ) n f 【c 1 1 , 7 ，1 1 2 + a 1 1 ( 1 一p j ，) v “阻 e c 2 + 2 硎v 町nm 2 ) ) 出 芹