（光学专业论文）运动的二能级原子与单模双光子腔场的热纠缠现象.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 i 摘摘 要要 在量子光学领域，对原子与场相互作用的系统的量子特性的研究一直吸引着人 们的关注，本文利用共生纠缠度研究了一个运动的二能级原子与一个双光子j-c模型 相互作用，我们主要讨论了在旋波近似和非旋波近似下原子与腔场之间的纠缠的演 化规律，得出了一些有意义的结论。 第一章对原子与光场相互作用的研究作了简单的回顾，然后从二能级原子与腔 场的模型出发，利用双光子j-c模型，得出了系统的哈密顿量，从而建立了本文的工 作模型。 第二章介绍了量子纠缠的发展史，解释了量子纠缠和热纠缠的关系，阐述了量 子纠缠和热纠缠理论。 第三章主要研究了运动的二能级原子与单模双光子腔场之间的纠缠。结果表明： 在旋波近似下，要使原子与腔场形成纠缠，必须使该系统有一个临界温度，而该温 度又和腔场的结构以及原子的运动状态有关；如果耦合常数一定，原子与腔场之间 的纠缠随着时间呈周期性的变化，并且随着温度的升高，纠缠度逐渐减小；如果原 子的运动状态一定，则纠缠度随着耦合常数的增大而增大。在非旋波近似的情况下， 纠缠度随着耦合系数比的增大而增大；如果耦合系数比一定，则纠缠度也随着耦合 常数的增大而增大，随着温度的增大而减小，和在旋波近似的情况有相似的性质。 关键词：关键词： jaynes-cummings 模型 热纠缠态 共生纠缠度 耦合常数 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 ii abstract in the quantum optics, the study of the quantum properties of the system of the atom interacting with the field has always attracted considerable attention. we investigate the interaction between a motion atom and a two-photon jaynes-cummings model by means of concurrence. we almost discuss the atom-cavity entanglement with the time evolution in the rotating wave approximation (rwa) and in the non-rwa, then a series of significant results have been obtained. chapter 1 is a simple review of the history in research about the interaction between atom and field. then we review the interaction between a motion two-level atom and a cavity, using the two-photon j-c model, and the basic model of the problem is established. chapter 2 is an introductory chapter which outlines the historical development of quantum entanglement, and the relationship between the quantum entanglement and quantum thermal entanglement is explained, the basic theories about them are elaborated. chapter 3 studies the quantum entanglement between a motion two-level atom and a cavity. in the rwa, it is shown that there exists a critical temperature if there exists entanglement between atom and cavity, and the temperature is have to do with the structure of the cavity and the motion state of the atom; if the coupling constant between the atom and the cavity keep invariable, the atom-cavity entangled state appears with periodicity, which decrease with increasing temperature; if the motion state of atom keep invariable, the concurrence increasing with the coupling constant. then we analyze the entanglement without the rotating wave approximation, the result show that the concurrence increase with increasing the coupling coefficient ratio, if the coupling coefficient ratio keep invariable, then the concurrence increase with increasing the coupling constant, and decrease with the increasing the temperature, which is familiar with the rotating wave approximation. key words: jaynes-cummings model thermal entanglement concurrence; coupling constant 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_ _年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 1 引引 言言 1.1 历史回顾历史回顾 在量子光学领域中，研究原子与场相互作用的量子特性一直是人们关注的焦点，研 究二能级原子与单模场或者双模场相互作用的规律以及非经典效应是量子光学的 重要内容，也是前沿领域，为了便于研究原子与场相互作用，1963 年，jaynes 和 cummings 在讨论微波激射器时提出了一种简单的光共振非平庸模型，称为标准的 jaynes-cummings 模型 1 （以下简称 j-c 模型） ，它是由单个二能级原子或者分子 与单模量子化光场组成的相互作用系统的理想模型。 原子与光场相互作用的双量子系统是最经典的光学系统，它所作的有关量子效应的 预言在光通讯，引力波测量，量子测量，量子计算领域具有广阔的应用前景 2 ， 1985 年，g.s.agarwal 的原子相干捕获，真空 rabi 分裂 3 ，1985 年 d.mescshede 等的光场光子反聚束效应，压缩光的产生 4 ，1987 年和 1990 年 g.rempe 等的原 子崩塌与回复效应 5,6 ，1996 年周鹏和彭金生的原子偶极-偶极压缩 7 等量子效 应已在实验中观察到。 1987 年 rempe 等人利用高 q 微波腔中 rydberg 原子与辐射场的相互作用在实 验上获得了 j-c 模型， 4,5 因而对 j-c 模型的研究就不再仅仅只有理论上的意义， 而是具有重要的实际应用价值。近年来，人们对 j-c 模型进行了一系列的推广，如 单光子，多光子 j-c 模型， 8,9 单原子，多原子 j-c 模型 10,11 非线性 j-c 模型， 附加克尔介质的 k-j-c 模型，依赖空间自由度耦合 j-c 模型， （简并）拉曼耦合 j-c 模型，双模相干场与二能级原子耦合 j-c 模型，光场与原子依赖强度耦合的 j-c 模 型 8 等等，得出了一系列有意义的结论。 本文研究的一个运动的二能级原子与单模双光子腔场相互作用的系统的模型 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 是 j-c 模型的一种重要的推广，它反映了运动的二能级原子与单模双光子腔场相互 作用系统中的量子热纠缠对原子与腔场间耦合强度以及系统温度的依赖性。 本文的工作就是基于这一理想模型进行的。 1.2 基本工作模型基本工作模型 我们考查一个运动的二能级原子与单模腔场双光子相互作用，可以用双光子 j-c 模 型描述，选定腔场的 z 轴方向且原子沿 z 轴方向运动，我们知道。j-c 模型是一个 可以精确求解的理论模型，我们一般情况下常采用旋波近似，当光场不很强时，采 用旋波近似是完全合理的，因为虚光子过程对原子状态的影响不大，但是当光场很 强时， 虚光子过程在光与两能级原子相互作用过程中是实际存在的， 当光场越强时， 虚光子过程对原子状态演化的影响越大，此时就必须考虑虚光子过程，即必须考虑 非旋波近似，从而求解问题，在非旋波近似过程中，对应的跃迁过程导致系统能量 的改变量很大，由能量和时间的测不准关系，可知非旋波近似项跃迁所产生的光子 寿命很短，这种光子就称为虚光子。近年来大量的研究表明，虚光子过程是存在于 光场与原子相互作用的系统中实实在在的物理过程，它可以导致相互作用的光场和 原子量子性质的改变 12 ，所以我们研究虚光子对系统热纠缠的影响也是具有一定 的物理意义的。下面我们就把虚光子考虑进去进行计算讨论，统的哈密顿量为： 2 2 22 01 22 2 1 ( )() 2 ( )() z ha ag fz aa g fz aa + + + + =+ + hhh h （1.2.1） 其中，系统哈密顿量的第一项表示腔场的能量，第二项表示原子的能量，第三项和 第四项分别表示在旋波和非旋波近似下原子与腔场相互作用的能量， 0 和分别 是腔场的频率和原子的跃迁频率， z ，+，分别是二能级原子的反转，上升 和下降算符，( )f z描述场模的结构函数，假设这一结构函数为： 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 ( )sin(/)f zp vt l= （1.2.2） 其中，v为原子沿腔场 z 轴的运动速度， p 是长度为 l 腔场里的半波数， 为简单起见，我们考虑原子与腔场的共振情况，即 0 20=。 1.3 本文的工作本文的工作 本文将研究一个运动的二能级原子与单模双光子腔场相互作用系统的量子热 纠缠现象。具体内容组成如下： 第二章将简述二能级原子与场相互作用的哈密顿量的推导过程，并对量子纠缠 和热纠缠的历史作简要的概述，解释纠缠与热纠缠的关系，阐述纠缠与热纠缠的基 本理论和旋波近似和非旋波近似理论。 第三章将研究一个运动的二能级原子与单模双光子腔场相互作用系统的量子 热纠缠现象。应用共生纠缠度（concurrence）来研究原子与腔场之间的纠缠演化过 程。 第四章将对全文作总结和展望。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 4 2 量子纠缠和热纠缠理论量子纠缠和热纠缠理论 2.1 二能级原子与场相互作用的哈密顿量二能级原子与场相互作用的哈密顿量 13 我们假设量子位是一个二能级原子。原子中电子的质量为m，电荷为e，处 于中心势场 v（r）中，电子的动量为p。如果这个原子与矢势 a（x，t）描述的辐 射场相互作用，那么描述系统的哈密顿量可以写为： 2 1 ()( ) 2 fafi ea hpv rhhhh c m =+=+ （2.1.1） 其中 2 ( ) 2 a p hv r m =+ 是描述原子的哈密顿量，描述自由场的哈密顿量为 j j fkk k ha + =h ，而描述原子与场相互作用的哈密顿量 i h 为 2 1 ( . )() 22 i eea hp aap mcmc = + （2.1.2） 上式中第二项含 2 e， 与前一项相比非常小。 而且它表征场的不同辐射振子之间通过 电子与场的耦合而发生的相互作用，这种相互作用导致双光子跃迁过程，作为近似 可略去这一相对微弱的项，于是 ( . ) 2 i e hp aap mc = + （2.1.3） 由于算符 . () jjj j ik rik r kkk k aa eae + =+ （2.1.4） 含有坐标算符r，所以 , 0a p 。但是对于原子范围来说，一般情况下，r可 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 5 取 为 波 尔 半 径 范 围 11 5.3 10米 以 内 ， 可 见 光 的 波 长 为 6 10 米 ， 故 11 2 210k = 米 ，所以 4 .3.5 10k r ，远小于 1，作为近似，可取 .0 1 ik r ee=，从而( )(0)a ra，这相当于在处理原子与场相互作用时，略 去原子的线度。通常称这种近似为偶极近似，在偶极近似下， ,0a p = （2.1.5） 从而原子与场相互作用的哈密顿量简化为： (0). i e hap mc = （2.1.6） 此时 (0)() jjj j kkk k aaa + =+ （2.1.7a） 1 2 2 () jj kk k c e v = h （2.1.7b） 下面我们再讨论如何把（2.1.6）式中的电子的动量算符p用原子赝自旋算符的形式 表示出来。我们知道，在薛定谔会景中，原子系统的能量本征值方程为 an hne n= （2.1.8） 其中 n e是相应能量本征态n的本征值，n构成一组完备基矢。因此原子的哈 密顿算符可以表示为 an n he nn= （2.1.9） 如果引进一组广义的原子算符： nm nm= （2.1.10） 那么（2.1.9）式转化为 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 6 annm n he= （2.1.11） 而且任何描述原子行为的算符 （如原子的偶极矩， 核外电子的动量 p 以及位置r等） 可一般地表示为 nm n gng m= （2.1.12） 显然，原子算符 nm 满足对易关系： , ijkljkililkj = （2.1.13） 对于二能级原子，此时只有+（或2）和（或1）态，显然原子算符 nm 具有如下的形式： 1122 2112 0010 0100 0100 0010 = = = （2.1.14） 它们除了满足对易关系（2.1.13）式以外，还满足 1122 10 01 i += （2.1.15） 式中i为单位矩阵，如果引进算符 , z s ss +，它们为 2211 () 2 z s = （2.1.16a） 21 s + = （2.1.16b） 12 s = （2.1.16c） 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 7 这就是描述二能级原子的赝自旋算符， 利用 （2.1.14） 和 （2.1.16） 式可得 , z s ss + 之间遵循的对易关系： ,2 , zz s sssss sss ss si + + = = =+= （2.1.17） 由（2.1.14）及（2.1.16）式，可将二能级原子的哈密顿算符表示为 02211 11220 () 2 az hees + =+= h h （2.1.18） 其中已取 0 0,eeee + += h 下面，我们再来看看如何利用原子算符描述原子核外电子的动量。这里，仅 以二能级原子为例。按（2.1.12）式，二能级原子核外电子的动量算符可写为 ppsps + = + + （2.1.19） 再注意到海森伯会景中 11 , aaa dp rr hrhh r dtihihm = （2.1.20） 我们有 0 () imim peerer e + + =+ =+ hh （2.1.21a） 0 im per e + = + h （2.1.21b） 显然 er+ 为原子的偶极矩阵元，一般说来，它为复矢量。如果令其满足 erid+ = （2.1.22） d为实矢量，则有（2.1.19） ， （2.1.21） ，和（2.1.22）式得知，原子核外电子的动量 算符由赝自旋算符表示的形式是 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 8 0 () m pd ss e + = + （2.1.23） 这样，一个二能级原子与辐射场的相互作用哈密顿量可写为 0 ()()() ()() ikkk k kkk k mde haass mce aass + + + + = + =+ （2.1.24） 为简单起见，其中已用k取代kj，而且耦合常数 1 2 0 2 (). j kk k de v = h （j=1，2） （2.1.25） 从而，二能级原子与辐射场相互作用的系统的哈密顿量为 0 ()() kkkzkkk kk ha asaass + + =+ hh （2.1.26） 上式表明，辐射场的能量由波矢k，频率为 k 的无穷多模式的光子叠加而成，裸 原子的能量由原子的赝自旋算符的 z 分量确定， 原子与场的相互作用哈密顿量可表 示为 () ikkkkk k ha sa sa sa s + + =+ （2.1.27） 上式中第一项描述了原子从上能级跃迁到下能级，同时产生一个光子的相互作用过 程；第二项反映了原子从下能级跃迁到上能级同时吸收一个光子的相互作用过程； 第三项对应原子从下能级跃迁到上能级并发射一个光子的过程；第四项则表征原子 从上能级跃迁到下下能级同时吸收一个光子的相互作用过程。 显然， （2.1.27）式的前两项对应的跃迁过程导致系统的能量改变为 0 () k e=h （2.1.28） 在近共振的情况下，即光场的频率与原子的本征跃迁频率满足 0k 时，系统的 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 9 能量变化 1 0e ，即保持系统的能量守恒。根据能量与时间不确定关系： 11 .e h （2.1.29） 可知，当 1 0e 时， 1 。所以跃迁过程能产生稳定的实光子。 但是。 （2.1.27）式中的后两项对应的跃迁过程导致系统的能量变化为 20 () k e=+h （2.1.30） 它是一个相当大的量，说明这种跃迁过程不保持系统的能量守恒，同时根据能量与 时间不确定关系 22 .e h （2.1.31） 可知， 2 很小。这说明此过程产生的光子的寿命很短，我们称它为虚光子。如 果在（2.1.26）或（2.1.27）式中略去不保持系统能量守恒的后两项，则称为旋波近 似。此时系统的哈密顿量就成为 0 () rwazkkkkkk kk hsa aa sa s + + =+ hh （2.1.32） 旋波近似是量子光学经常应用的近似，所以哈密顿量（2.1.32）式是经常应用 的典型哈密顿量，它是由狄拉克最先引入的，所以也被称为描述原子与场相互作用 的狄拉克哈密顿量。 2.2 量子纠缠的基本理论量子纠缠的基本理论 量子力学是人类历史上展示优美和力量最成功的理论，和相对论一起构成了现 代物理学的理论基础。它的起源可以追溯到一百多年前(1900 年)由普朗克首先提出 的量子概念。但是，关于这个理论的解释从一开始就存在不同的理解。1935 年 a. einstein, b. podolsky, n rosen 联名发表了一篇简短而重要的文章，对正统的量子 力学的完备性提出了质疑。文章的基本思想认为，借助理想实验的逻辑论证方法， 可以表明量子力学不能给出对微观系统的完备的描述，通常称之为 epr 佯谬 14 。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 10 epr 佯谬揭示了量子力学最基本、最深刻、最奇特的特性之一量子纠缠现象和量子 态的非定域性质。量子纠缠与非定域性是当代量子信息科学的两个关键性概念，也 是实现量子技术的理论基础。本节简要阐述量子纠缠的基本理论。 2.2.1 纯态和混合态纯态和混合态 描述系统的态有两种类型:纯态和统计混合态(或者简称为混合态)。如果一个 系统的态完全确定，就称其为纯态，可由一态矢描述。纯态 ( ) t 可由系统的任一 物理量的本征态矢 n u 的叠加态来表示: ( )( ). nn n tc t u= （2.2.1） 式中 2 ( ) n c t 表征系统处在本征态 n u 的概率，且满足 2 ( )1. n n c t= （2.2.2） 如果系统的态不完全确定，这时只有关于系统的不完全的或然信息，这反映在 对系统概率的描述上。 一般情况下， 如果系统处在态 1 的概率为 1 p， 处在态 2 的概率为 2 p .，而且有 12 .1. nn n pppp+= （2.2.3） 那么我们就说，系统是处于态 12 ,.且概率分别是 12 ,.p p 的统一混合态。 1对于纯态，密度矩阵 ( )( )( )ttt= 满足以下三个性质： （1）厄米性 ( )( ).tt + = （2.2.4） （2）等密性 2 ( )( ),tt= （2.2.5） 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 11 2 ( )( )1trttrt= . （2.2.6） （3）非负性 ( ) t 可以对角化，本征值为非负实数，且所有本征值之和为 1。 2对于混合态，密度矩阵 ( ) t 为 ( )( )( ) . kkk k tptt= （2.2.7） 由上式可知，混合态的密度矩阵为厄米矩阵，但是 2( ) ( )( )( )( )( ) kkkkkk kk tpttpttt= （2.2.8） 2 ( )1.trt （2.2.9） 比较系统密度矩阵平方的迹与 1 的大小关系，可以判断系统是处于纯态还是处于 混合态。 2.2.2 量子纠缠的历史回顾量子纠缠的历史回顾 20 世纪两位最伟大的物理学家 einstein 和 bohr 曾在 1930 和 1935 年就量子力 学进行过两次争论。 1935年的争论被称为“epr佯谬”， epr (einstein-podolsky-rosen ) 在分析量子力学理论是否完备时，考察了一个由两个粒子组成的一维系统，并提出 了用于判断这个问题的三个前提:(1)任何两个互不接触并不可能直接作用的系统， 对其中任何一个系统的测量，量子力学的预言是正确的。(2)要是对于一个系统没有 干扰，我们能够确定地预测一个物理量的值(即机率等于 1)，那么对应于这一物理 量，必定存在着一个物理实在的元素。(3)对于任何两个分开的系统，对其中一个系 统做的任何物理操作不应立刻对另一个系统有任何影响，也可以说自然界没有超距 作用。这就是历史上有名的 einstein 可分隔原则。 epr 佯谬”一文对正统量子力学基本原理和概念的诊释提出了尖锐的批评。 bohr 随即在同一刊物上以同样的标题发表了一篇文章进行答辩。但他未能说服 einstein 。 epr 佯谬”一文得出的两个论断是:(1)量子力学对于“物理实在”的描述 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 12 是不完备的。这主要针对波函数的统计诊释。他们认为应该存在可以对物理实在给 出更完备描述的理论，即所谓“隐变量”概念。(2)量子力学理论是不自洽的。这个问 题的实质涉及到多粒子体系(或多自由度体系)的纠缠态概念的澄清，而在坐标表象 上就表现为量子力学的“非定域性”。 1935 年，schrdinger 提出了一个理想实验(即 schrdinger 猫) 15 对波函数的统 计诊释提出非难。 1951 年，bohm 16 提出了更容易实现的 epr 佯谬的翻版。bohm 方案的整个 论证建立在以下两个主张的基础上:(1)定域因果性观点。 如果两次测量(或一般地说， 两个事件)之间的四维时空间隔是类空的，两个事件之间将不存在因果性关系。(2) 物理实在要素的观点。任何一个可观测的物理量，作为物理实在的一个要素，它必 定在客观上以确定的方式存在着。反映在一个完备的物理理论上就是，如果不扰动 一个系统，这个系统的任何可观测的物理量在客观上应当具有确定的数值。 由这两个主张可知，以类空间隔分开的两个系统具有彼此相互独立的物理实在 性，如果量子力学是一个完备的物理理论，两个系统所有可观测的物理量客观上应 当是确定的，测量值应当彼此无关。这就是 epr 佯谬的核心思想:定域实在论。 从定域实在论的观点出发，einstein 断定量子力学是不完备的。1953 年 bohm 依据 einstein 的断言提出有必要引入一些附加变量对微观客体作进一步的描 述，这便是局域隐变量理论。局域隐变量的引入，使得 einstein 与 bohr 之争有了实 质性的进展。1965 年 bell 在分析自旋 1/2 的两个粒子的自旋分量的关联时，在定域 实在论和存在隐变量假设的基础上推导出一个不等式， 17 即著名的 bell 不等式， 并发现它与量子力学的预言是不相符的。 因而我们有可能通过对 bell 不等式的实验 检验来判断对量子力学的各种解释是否正确。用实验来检验 bell 不等式，除了有内 部自由度关联的粒子对以外，还要有比较好的分析探测设备。因为分析光子的偏振 态比分析离子的自旋态要容易，绝大多数实验都偏向于用光子来做。开始人们曾考 虑过用正电子素湮没产生两个光子的自旋关联， 但对能量如此大的 y 光子找不到有 效的偏振分析器。而利用原子级联辐射跃迁，选择光子总角动量为 0 的情况，可以 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 13 产生偏振态关联的可见光光子。这类实验始于二十世纪六十年代末，几经反复与改 进，到了 1982 年，aspect 等人做了 bell 不等式验证的实验。18 epr 佯谬争论的 结果和 bell 不等式的实验检验说明了量子系统的关联(量子态的纠缠)的确具有非定 域性质。因此，量子力学是一个非定域的理论，这一点已被违背 bell 不等式的实验 结果所证实，并展现出许多非经典性的效应。其中，量子纠缠和量子非定域性是量 子力学两个最深刻、 最奇特的性质， 同时也是当代量子信息科学的两个关键性概念， 是实现量子技术的理论基础。因此，对量子纠缠态及其量子非定域性的研究一直是 量子光学基本理论研究的一个热点方向。 总之，关于纠缠问题的讨论从 1935 年起至今一直是非常热门的话题，研究工 作空前的兴旺。原因是最初的争论仅限于理论概念和“假想实验”，从 60 年代后期 起，人们进行了许多验证 bell 不等式的实验。80 年代所进行的实验已经基本上达 到过去只能在理论上讨论的“想象中实验”的水平。这些理论和实验的发展使人们对 量子力学基本问题有了进一步的认识。 2.2.3 量子纠缠的概念量子纠缠的概念 量子态的纠缠特性是量子力学最深刻的性质之一，也是粒子波粒二象性本质的 反映。通常，复合系统的一个态，如果不能写成两子系态的直积形式，这个态就是 一个纠缠态。一般地说，一个多粒子(或多自由度)体系的量子态，如果它的子系相 应的约化密度矩阵是混合态密度矩阵，则为纠缠态。 其物理意义就是指两个或多个量子系统之间存在非定域、非经典的强关联，它 涉及实在性、定域性、隐变量以及测量理论等量子力学的基本问题，纠缠态之间的 关联不能被经典地解释。量子纠缠现象就是在多量子系统中，对其中一个量子子系 统的测量结果无法独立于其它子系统的测量参数的最奇妙、最不可思议的现象。理 解量子纠缠概念对于我们理解量子力学的基本理论具有十分重要的意义。近年来， 量子纠缠已经在一些前沿领域特别是在量子信息处理中得到了广泛应用。 例如:为了 进行远距离的量子密码通信或量子态隐形传输，人们需要事先让距离遥远的两地共 同拥有最大的“量子纠缠态”等等。因此，研究量子纠缠现象具有重要的实际意义。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 14 尽管量子纠缠如此重要，然而，人们对量子纠缠的认识目前还只处于初步阶段， 如何定性和定量地描述量子纠缠是迫在眉睫的任务。对量子纠缠的定性研究主要 有，判定给定量子态是否是可分离态，即划清可分离态与纠缠态之间的界限，这是 一件有意义的事情。目前，提出的判据有十几种之多，对于二体量子态可操作的必 要的可分离性判据有 chsh 不等式的违背、peres 部分转置正定判据等等;按照不同 的情况对纠缠进行分类，有多种分法，其中按照纠缠体的数量来分，可分为二体纠 缠和多体纠缠。对于二体纠缠态，其基本方式为 epr 态。 2.2.4 量子纠缠态的分类量子纠缠态的分类 量子纠缠态从其物理系统的实现上来说， 可分为分离变量系统的纠缠态和连续 变量的纠缠态两种。 （1）分离变量系统的纠缠态）分离变量系统的纠缠态 最初的量子信息处理方案都是针对离散变量(如自旋和极化)的量子体系提出的， 也就是我们常说的量子比特体系。在量子比特体系的量子纠缠中，有一种基本形式， 可表示为如下的四个量子纠缠态： () () 1 ,(2.2.10) 2 1 .(2.2.11) 2 ababab ababab =+ + =+ 这四个态构成两比特体系所张开的四 hilbert 空间的一组标准正交基，被称为 bell 基。它们具有非局域关联的性质，其单粒子的约化密度矩阵都是 2 10 1 . 012 i 由于它 们是具有最大纠缠的纯态，也常被称作最大纠缠态，即不可能通过任何方式再增大 它的纠缠度量了。由于 bell 态的这种独有特性，使得它在量子信息学中有着极为重 要的应用。 纠缠不仅仅局限于两方，多粒子纠缠有着更为复杂微妙的性质，多粒子纠缠对 于量子通信是完全必要的，不过在实验上实现也更为困难。然而，构造多粒子纠缠 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 15 态，最初的动机是针对“量子理论是否完备”的争论而引发的。以三粒子体系为例， 最常用的就是 ghz 态 1 ( 000111 ), 2 ghz =+ (2.2.12) 和 w 形式 1 ( 001010100 ). 3 w =+ (2.2.13) 而且，w 态与 ghz 态之间不能通过局域操作和经典通信相互转换。 至于更多粒 子的纯态纠缠，其结构和分类更为复杂。最常用的多粒子纠缠态，都是 ghz 态： 12.12.12 1 (.). 2 i nnn e =+ (2.2.14) 即 n 个两能级粒子(1,2,n)的 ghz 态，表明了 n 体之间的一种最大关联。它也具 有与 bell 态类似的纠缠关联性质， 这一点使得它与 bell 态一样成为检验量子力学非 局域性的有利工具。 （2）连续变量系统的纠缠态）连续变量系统的纠缠态 人们总是愿意将他们的研究与他们的生产与生活联系起来的。因此，人们当然 并不满足微观的量子态的研究。可喜的是，量子信息不仅在微观而且在介观尺度上 都已经得以实现。连续变量的量子态，例如相干态等。1994年，借助非局域测量方 法，vaidman 19 最早从理论上提出了连续变量量子隐形传态的概念。1998年， braunstein和kimble 20 的研究表明，利用双模压缩真空态作为纠缠通道，可以实现 连续变量的量子态隐形传送。 同年， kimble小组 20 使用两个相位相干的正交压缩光 通过在50/50的分束器上的耦合所形成的一对连续变量epr纠缠态，在实验上实现了 连续相干光场的量子隐形传态，它们所使用的输入态为相干光场，由于压缩度和探 测效率的影响，最终测量的保真度0.580.02f =。该方案克服了在分离变量隐形传 态实验中极低探测效率的缺陷，实现了完全可考的量子隐形传态，引起了科学界的 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 16 广泛关注，此项研究工作被列为1998年世界十大科技新闻之一。近几年来，连续变 量的纠缠在实验上取得了巨大的成功，各种各样的产生方案也相继提出, 例如，光束 分裂器 21 、原子系综 22 和冷原子 23 等。 2.2.5 量子纠缠的量度量子纠缠的量度 量子纠缠的定量描述是指如何用一个具体的量来度量纠缠程度的大小。 24 量 子纠缠的重要性使得对它的定量研究显得尤为重要，并成为了量子信息理论研究的 热点之一。 所谓纠缠度， 就是指所研究的纠缠态携带纠缠量的多少。 纠缠度的提出， 为不同纠缠态之间建立了可比关系。但目前，除了对两体系统的纠缠度取得了一些 肯定的结论以外，对如何量度多体系统的纠缠度尚处于起步阶段，还没有一个普遍 接受的标准，仍处于探讨之中。 25 28 几种主要的纠缠度 目前，大部分纠缠度都是通过量子熵来定义的，除了对两体纯态 纠缠得到了一些肯定的结果外，对于两体混合纠缠态以及多体纠缠态的纠缠度量仍 在探讨之中，几种主要的纠缠度为: 29 （1）量子部分熵纠缠度）量子部分熵纠缠度 部分熵纠缠度即 von neumann 约化熵。它仅能描述两体纯态之间的纠缠，不能 描述两体混态的纠缠。 对于一个由两个子系统 a 和 b 组成的二体纯量子态 ab ，其部分熵纠缠度定 义为 30 ： ()() aba es = （2.2.15） 其中 () a s 为 a 的 von neumann 熵， ()(ln). aaa str （2.2.16） 而 a 为体系 a 的约化密度矩阵 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 17 (), ababab tr= （2.2.17） 因为系统处于纯态，因此有()() ab ss= ，e可以定义为 a 和 b 中任意 一个系统的 von neumann 熵。 von neumann 熵是二体纯量子态系统纠缠唯一好的量度。部分熵纠缠度e， 向二体混态的直接推广是 von neumann 相对信息熵 l e ，定义为: 1 ()()( ). 2 lab esss=+ （2.2.18） 但相对信息熵包含了经典的信息关联，在局域操作和经典通讯(locc)下可以增加， 31 不满足 vedral 条件， 30 因而它不是对量子纠缠度好的量度。 （2）量子形成纠缠度）量子形成纠缠度 32 （1）定义：对于 a 和 b 的 2 体混态 ab ，形成纠缠度() fab e 为 ()min(), ii fabipip i ep e = （2.2.19） 其中 ii p是 ab 的任意一种分解形式。即 ,(, ), abiii i pia b= （2.2.20） 而() pi e为态 i 的部分熵纠缠度，式（2.3.5）中求极小值是对 ab 的所有可 能的分解方式求的， i 为任意的两体归一纯态，不一定相互正交。 （2）物理意义：通过局域操作和经典通讯（locc）过程，为制备纠缠态所 消耗掉的 bell 的最小数目。 （3）性质： 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 18 1）分离态的形成纠缠度为零，即 ( )0 f e= 。该性质可作为判断可分离态 的充分必要条件。 2）纯态的形成纠缠度就是其量子部分熵纠缠度。即()() fp ee= 。 3）在 locc 下形成纠缠不增加。 32 形成纠缠度能描述两体纯态和两体混态的纠缠，但其计算往往困难。目前 仅能量度2 2两体系统和少量对称性特殊系统的纠缠。 3.共生纠缠度（共生纠缠度（concurrence） 近年来，量子纠缠作为一种重要的信息资源在量子隐形传态 33,34 ，量子 纠错 35,36 ， 量子密钥分配 3739 等方面都起到重要的作用。 人们注意到违背bell 不等式虽然是量子纠缠的一个显著特征，但并非所有的纠缠态都违背bell不等式 1 ，因此就需要对一个纠缠态在多大程度上违背bell不等式以定量的描述。最近 通过共生纠缠度（concurrence）对量子纠缠的度量进行的研究已经取得了一定的进 展 40,41 。 对于一对量子比特，1和2，我们定义共生纠缠度为 1234 max,c= （2.2.21） 其中(1,2,3,4) i i= 是以降序排列的算符 r 的本征值的平方根。r 定义为： 12121212 ()() yyyy r = （2.2.22） c系数取0至1范围对应于粒子1和粒子2的非量子纠缠态和最大纠缠态。 而c在0和1之间则表示两个粒子处于部分纠缠。这样，共生纠缠度就给两体纯态 的纠缠度有了定量的判断。本文就是利用共生纠缠度研究了一个运动的二能级原子 与一个单模双光子腔场之间的纠缠演化过程。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 19 2.3 量子热纠缠理论量子热纠缠理论 我们知道，对于一个正则系统，在温度为t的热平衡态下，系统的状态可以用 gibb密度矩阵来描述 exp ( ) h kt t z = （2.2.23） 其中k是boltzmanm常数，配分函数 exp() h ztr kt = 。t 表示系统的绝 对温度，由于( )t代表了一个热态，所以存在于这个热态的纠缠现象称为热纠缠。 作为热纠缠的最初的提出者，amesen，bose和vedral研究在一维各向同性的有限 海森堡链中纠缠随温度和外加磁场的变化情况 42 ；nielsen探讨了在非零温度下 海森堡中2量子比特间的相互作用 43 。之后，oconnor和wooters研究了反磁体 对称海森堡链中基态粒子间的纠缠 44 ；wang分析了海森堡xy模型，两粒子比 特非对称xyz海森堡模型，四粒子比特海森堡xy模型，多粒子比特海森堡xy 模型中相邻粒子间的热纠缠 4545 ；kamta和starace讨论了各项异性和均匀磁场 对两粒子比特海森堡xy链中热纠缠的影响；最近，sun等人分析了非均匀磁场对 两粒子比特海森堡xy模型中热纠缠的影响 49 。本文就是将这个热纠缠态的概念 运用到j-c模型中进行分析的。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 20 3 运动的二能级原子与单模双光子腔场的热纠缠运动的二能级原子与单模双光子腔场的热纠缠 3