《复变函数的导数》PPT课件.ppt

1,第二章导数,2.1复变函数的极限,2.2复变函数的连续性,2.4解析函数,目录,2.3导数,2.5调和函数,2,2.1复变函数的极限,2.1.1复变函数极限的概念,注意:,几何意义:当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的邻域中,3,4,2.1.2极限计算的定理,与实变函数的极限运算法则类似.,5,例3:,证(一),6,根据定理一可知,证(二),7,在扩充复平面上，可以定义以下广义极限,例如的定义为,的定义为,例如：设，则由定义可以证明,8,2.2.1.复变函数连续的概念,2.2函数的连续性,例1：由上节我们知道,所以cosz在z0处连续,例2：证明函数sinz在整个复平面连续,证明：设z=x+yi,z0=x0+y0i为复平面上的任一定点,由于z0是复平面上的任一定点，故sinz在整个复平面上连续,9,2.2.2.复变函数连续的定理,例3：讨论初等函数：secz,cscz,tanz,cotz,shz,chz的连续性。,例4：讨论函数argz的连续性。,例5：讨论函数Lnz的连续性。,特殊的:,(1)有理整函数(多项式),(2)有理分式函数,在复平面内使分母不为零的点也是连续的.,10,例6：,证,复平面上有界闭区域R上连续的函数w=f(z),它的模|f(z)|在R上一定有界,11,2.3导数,2.3.1导数的概念,在定义中应注意:,函数f(z)的导数定义为,12,例1:,解:,例2:讨论函数f(z)=Im(z)的可导性,解:,13,例3:证明函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.,证：,证毕,14,2.3.2导数的运算法则,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.,求导公式与法则:,15,16,证:必要性：,2.3.3函数可导的必要与充分条件,设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy有导数a+ib,这里a及b为实数，根据导数定义，,17,充分性：,18,证毕,19,例5：判定下列函数在何处可导，若可导求其导数(1)f(z)=x2-y2+2ixy(2)f(z)=|z|(3)f(z)=ez(4)f(z)=sinz(5)f(z)=|z|2,2.3.4高阶导数,我们把w=f(z)的导数叫做函数w=f(z)的一阶导数。类此地，二阶导数为一阶导数的导数，三阶导数为二阶的导数，一般地，(n-1)导数的导数称为f(z)的n阶导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,20,2.4解析函数,2.4.1解析函数的概念,定义：如果函数f(z)不仅在z0处可导，而且在z0的某个领域内任一点可导，则称f(z)在z0解析，如果函数f(z）在区域D内任一点解析，则称f(z)在区域D内解析。,例1：讨论下列函数的解析性(1)f(z)=z2(2)f(z)=|z|2,根据定义可知:,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.,函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.,21,2.4.2初等函数的解析性,有导数的运算法则可知，在某区域上解析的函数经过加、减、乘、除（分母不为零）运算得到的函数在该区域上仍解析。两个及两个以上的解析函数经过有限次复合运算后得到的函数仍未解析函数。単值解析函数的単值反函数仍为解析函数。,指数ez函数在整个复平面上解析,三角函数sinz,cosz,tanz,cotz,secz,cscz在其定义与内解析；反三角函数的解析性要紧对各反函数具体讨论。,双曲函数shz,chz,thz在整个复平面上解析；反双曲函数的解析性要紧对各反函数具体讨论。,对数函Lnz数在原点和负实轴上不解析，除原点和负实轴以外，Lnz处处解析,22,2.4.3函数解析的必要与充分条件,例2：讨论下列函数的解析性(1)f(z)=2x(1-y)+i(x2-y2+2y)(2)f(z)=zRe(z)(3)f(z)=e-xe-yi,证：,23,2.5调和函数,2.5.1调和函数的概念,证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则,24,即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:,上面定理说明：,25,例1：设u(x,y)=x2-y2,v(x,y)=2xy问u和v调和函数吗？v是u的共轭调和函数吗？,现在研究反过来的问题：如果u,v是任意选取的在区域D内的两个调和函数，则u+vi在D内就不一定解析,2.5.2已知实部或虚部的解析函数的表达式,26,类似地，,27,例2