（固体地球物理学专业论文）复杂多相介质有效电导率数值模拟研究.pdf

摘要 摘要 多相介质岩石的有效电导率是岩石物理和石油工程中的重要研究课题。一直 以来多相介质有效电导率的理论计算仅能针对极少数的简单模型，为此发展出的 许多经验公式( 如阿尔奇公式) 及相关实验也各有限制，因此，针对复杂多相介 质的有效电导率计算尚有诸多问题有待解决。 有限元方法可以进行任意复杂的多相介质有效电导率数值模拟，在此基础 上，本文引入广义混合率的有效电导率模型。对于二相介质随机模型，通过对有 限元方法计算所得到的有效电导率数据进行拟合，首次获得广义混合率公式中参 数j 与电导率比值q 之间的关系式，这样可以快速准确的预测( 计算) 任意 二相介质的有效电导率，其结果较已有的随机介质模型公式和有效介质模型公式 更为准确。 研究了修正阿尔奇公式在二相介质随机模型中的应用。利用有限元方法计算 的大量模型的有效电导率数据，用遗传算法反演求得修正阿尔奇公式中参数m ， 发现其与体积分数筋、a - , - 9 率比值c r 2 c q 的关系。与随机介质模型公式和有效介 、 质模型公式比较，本文的修正阿尔奇公式同样可以更准确预测任意二相介质的有 效电导率。 研究了广义混合率在三相介质有效电导率模型中的应用，取得初步结果，表 明其参数j 变化非常复杂，还需要进一步深入研究。 关键词：有效电导率，广义混合率，修正阿尔奇公式，有限元方法，遗传算 法，二相介质，三相介质 a b s t r a e t a bs t r a c t e f f e c t i v ec o n d u c t i v i t yo fm u l t i p h a s er o c k si sa ni m p o r t a n tt o p i ci nt h ef i e l do fr o c k p h y s i c sa n dp e t r o l e u me n g i n e e r i n g t h et h e o r e t i c a ls o l u t i o no fe f f e c t i v ec o n d u c t i v i t y o f m u l t i - p h a s er o c ki so n l yv a l i df o rf e w e rs i m p l em o d e l so f r o c k s s o m ed e r i v a t i v e f o r m u l a sf o r mt h et h e o r ya n a l y s i sa n de m p i r i c a lf o r m u l a sf r o me x p e r i m e n t s ( e g ，t h e a r c h i c sl a w ) h a v em a n yl i m i t s s o ，t h e r ea r es t i l lal o to fp r o b l e m sn e e d e dt ob e s o l v e df o rc a l c u l a t i n ge f f e c t i v ec o n d u c t i v i t yo fc o m p l e xm u l t i - p h a s er o c k s f i n i t ee l e m e n tm e t h o di sv a l i df o rc a l c u l a t i n ge f f e c t i v ec o n d u c t i v i t yo fa n yc o m p l e x m u l t i p h a s em e d i u m o nt h i sb a s i s ，w ei n t r o d u c et h eg e n e r a l i z e dm i x t u r er u l e ( g m r ) i n t ot h ee f f e c t i v ec o n d u c t i v i t ym o d e l f o rs t o c h a s t i cm o d e lo ft w o - p h a s em e d i u mw e c a l c u l a t et h ee f f e c t i v ec o n d u c t i v i t yu s i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n df i tt h ed a t aw i t h g m r f o rt h ef i r s tt i m e ，w eo b t a i nt h ef o r m u l a so ft h ep a r a m e t e ro fg m r _ jw i t h t h er a t i oo fc o n d u c t i v i t yo ft w op h a s e s _ 一a - 2 o - i s ow ec a nq u i c k l yp r e d i c t ( o r 、 c a l c u l a t e ) t h ee f f e c t i v ec o n d u c t i v i t yo fa n yt w o p h a s em e d i u m t h er e s u l ti sm u c h m o r ea c c u r a t et h a nt h ee x i s t i n ge f f e c t i v ec o n d u c t i v i t ym o d e l s ：r a n d o mm o d e la n d e f f e c t i v em e d i u mt h e o r ym o d e l w es t u d yt h ea p p l i c a t i o no ft h em o d i f i e da r c h i e sl a w ( m a l ) o ns t o c h a s t i cm o d e lo f t w o p h a s em e d i u m w ec a l c u l a t et h ee f f e c t i v ec o n d u c t i v i t yu s i n gt h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，a n dg e tt h ev a l u eo ft h ep a r a m e t e r ( m ) o fm a lb yf i t t i n gt h ed a t au s i n g g e n e t i ca l g o r i t h m c o m p a r et ot h er a n d o mm e d i u mm o d e la n dt h ee f f e c t i v em e d i u m t h e o r ym o d e l ，t h ef o r m u l a so fn i a lc a l lp r e d i c tt h ee f f e c t i v ec o n d u c t i v i t yo fa n y s t o c h a s t i cm o d e lo ft w o p h a s em e d i u mm o r ea c c u r a t e l y , t o o i h w es t u d yt h ea p p l i c a t i o no ft h eg m ro nt h es t o c h a s t i cm o d e lo ft h r e e - p h a s e m e d i u ma n do b t a i np r e l i m i n a r yr e s u l t s t h e s er e s u l t ss h o wt h a tt h ep a r a m e t e rji s v e r yc o m p l e xo nt h es t o c h a s t i cm o d e lo f t h r e e p h a s em e d i u ma n dn e e df u r t h e rs t u d y k e yw o r d s ：e f f e c t i v ec o n d u c t i v i t y , t h eg e n e r a l i z e dm i x t u r er u l e ，t h em o d i f i e d a r c h i e sl a w , f i n i t ee l e m e n tm e t h o d , g e n e t i ca l g o r i t h m ，t w o - p h a s em e d i u m ， t h r e e p h a s em e d i u m i v 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名： 签字日期：么坠_ 旦血 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 口公开 作者签名： 签字日期：纽磋 第一章前言 第一章前言 多相介质有效电导率的研究有超过一个世纪的历史，著名科学家m a x w e l l ( 1 8 7 3 ) 、r a y l e i g h ( 1 8 9 2 ) 和e i n s t e i n ( 1 9 0 6 ) 等的相关工作至今仍常被引用，因为这 个问题一直以来都是非常重要的问题，有广泛的应用领域。如导电高分子新型复 合材料，是在高分子聚合物基体中加入另外一种导电填料经物理或化学方法复合 而成，它同时具有类似于金属的良好导电性能和高分子材料优异的力学性能、加 工方便的特性，在航空航天、能源、电子、生物医学等高科技领域乃至日常生活 领域中都有巨大的前景，因此多相介质有效电导率对新型复合材料的研究与制备 非常重要( w e b e r , 1 9 9 7 ；刘金世，2 0 0 5 ；z h a n g ，2 0 0 8 ：等) 。 本文主要研究地学领域的多相介质岩石。多相孔隙岩石电导率的研究在石油 工程中具有重要的实用价值，是测井理论的核心问题。阿尔奇( a r c h i e ) 公式作为 含水孔隙岩石电导率的经验公式，在储集层含油性评价的测井资料综合定量解释 中具有举足轻重的地位，是定量计算地层含油饱和度的基础，也是连接孔隙度测 井和电阻率测井两大类测井方法的必要桥梁( b i g a l k e ，1 9 9 9 ，2 0 0 0 ；h a u t o t , 2 0 0 2 ； 李剑浩，、1 9 9 3 ；陶果，2 0 0 5 ：岳文正，2 0 0 5 ) 。而在地壳、地幔深部，各圈层 均由不少于两相的矿物组成，如过渡地幔5 2 0 6 6 0 k m 有林伍德石、石榴石、硅酸 盐钛铁矿，而下地幔则主要有硅酸盐钙钛矿、方镁铁石以及少量可能的a 1 2 0 3 ( x 屿1 9 9 8 ) ，因此多相介质有效电导率的研究有助于对长周期电磁测深结果的理 解( x u 2 0 0 0 ) 。同时，许多证据表明在上地幔、过渡地幔以及核幔边界区域都 可能存在局部熔融( c h e n ，1 9 9 6 ；w e i ，2 0 0 1 ；赵国泽，2 0 0 4 ；马晓冰，1 9 9 7 ，2 0 0 5 ；柳 江琳，2 0 01 ；l e a h y , 2 0 0 7 ；y o s h i n o , 2 0 0 7 ；r e v e n a u g h ，19 9 7 ；z o u ，2 0 0 7 ；h e i n z ，19 9 4 ； h o l l a n d ，19 9 7 ) 以及水的分布( b o l f a n c a s a n o v a , 2 0 0 5 ；谢鸿森，2 0 0 5 ；h u a n g ，2 0 0 5 ； w a n g ，2 0 0 6 ；k a r a t o ，1 9 9 0 ) ，这些流体的存在、分布对于地球深内部动力学有着 重要影响。众所周知，少量熔体或水对岩石整体电学性质产生巨大影响，g l o v e r ( 2 0 0 0 ) ，s c h i l l i n g ( 1 9 9 7 ) 等利用电磁测深结果，并结合有效电导率模型估计 了上地幔局部熔融的体积百分比。同时，通过电导率模型分析有可能得到熔体的 分布状态( 连通性) ，对认识壳、幔的组成、结构及动力学有非常重要的意义。 表1 1 复合介质电导率模型 有效电导 率模型 方程文献注解 平行电流线分布 平行分层o 啦2 1 z z l o l g u e g u e n ， 的任意层厚和电 l i 模型 1 9 9 4导率层状模型，算 术平均 垂直电流线分布 垂直分层 o 唾一i = i 益o s g u e g u e n ， 的任意层厚和电 模型1 9 9 4 导率层状模型，调 和平均 w a r r e n , 随机模型 = 兀q 石 1 9 6 1 ； 任意形状的随机 f i l s h a n k l a n d ， 多相介质分布，几 何平均 1 9 7 7 有效介质 = 【( 3 石一1 ) q + ( 3 2 2 1 ) q + l a n d a u e r , 1 9 5 2 应用较多的一种 理论 y o u s h e n g 模型 ( ( 3 石一1 ) o l + ( 3 筋一1 ) a 1 ) 2 + 8 q ) 】 x u ，2 0 0 0 h - s 上限 + 训；署装三静 h a s h i na n d 从有效介质理论 导出的两个h s s h t r i k m a n ,上下边界模型，被 h - s 下限 = 州l + 3 仃。+ 3 ( z 1 2 一( ( 筋7 2 ) - ( 吒a 1 ) 一q ) 】 1 9 6 2 认为是有效电导 率的窄约束 球形模型，含相1 核和相2 - 壳，特定 w a f t 模型 中专簧磊攀署 w a 氲1 9 7 4情况下等价于 h s 上边界或下 边界 平行和垂直分层 修正的砖 - 仃。( z ( 7 ，2 一 ( 7 矿2 c z ) 1 2 一3 仃- ：1 ( ) - o , x 一, z ) ，一1 ) ) h a n a e e ， 模型结合，修正适 于0 - 1 0 0 鲤1 分比 层模型 1 9 9 7 倒。与h s 上边界 接近 通用有效 z l 安j 高小吃、舞篙= 0 o 渗流理论与有效 介质模型的结合， m c l a c h l a n ， 爿和f 是渗流模型 介质模型 1 9 8 9 ，1 9 9 0 参数与导电颗粒 彳= ( 1 一苁) 乜，以为导电相体积分数的渗 形状和尺寸密切 关联 流阈值 2 第一章前言 a r c h i e ， 传统阿尔 1 9 4 2 ； 经验模型其q c 、 奇公式 o e f f 2 c o 2 筋” 肘分别为比例系数 g u e g u e n ， 和胶结指数 1 9 9 4 从传统阿尔奇公 修正的阿 = 吖l 一+ c r 2 ，p = l l o 。g g ( ( 1 l - z 7 ； g l o v e r , 式导出，p 、y 分 尔奇公式 2 0 0 0 别为相1 和相2 的 连通性指数 对固液悬浮体系 广义混合 j ie ta 1 ， 的流变学性质和 蚴j = z , m 多孔岩石和材料 率公式i = l 2 0 0 4 力学性质能够给 予相当准确描述 复杂多相( 或称复合) 介质有效电导率取决定于各相介质的含量、电导率、 形状、分布等因素，其计算迄今并没有得到很好的解决。首先，从理论上准确计 算是非常困难的，对于一些简单形状和分布的分层体系，如平行分层、垂直分层 模型，可借助电阻的并联合串联获得其有效电导率( g u e g u e n ，1 9 9 4 ) 。对于二维 方块( 国际象棋盘) 模型，l u ( 1 9 9 2 ) 也给出了解析解。其它简单体系也有些近 似计算方法，如砖层模型是平行和垂直分层模型的结合，s c h i l l i n g ( 1 9 9 7 ) 修正 了砖层模型，应用于局部熔融的体积百分比计算，取得一定效果。f i o r i ( 2 0 0 5 ) 给 出了二维随机分布圆柱体模型的有效电导率近似解。李剑浩( 2 0 0 5 ) 应用电场理 论，求电流连续性方程的平均，给出电场增量方程，再对欧姆定律求平均，得到 复合介质有效电导率，适于计算均匀的片状、柱状岩石。而随机分布模型的有效 电导率计算则简单地求其几何平均( w a r r e n ，1 9 6 1 ；s h a n k l a n d , 1 9 7 7 ) ( 见表1 1 ) 。 当然，也引入、发展了一些理论来描述两相复合体系的有效电导率模型。渗流理 论( s t a u f f e r ，1 9 9 1 ) 认为复合介质的电导率不是随导电颗粒体积分数成正比增 加，而是当导电颗粒的体积分数增大到某一临界值时，其电导率突然增加数个数 量级，此后，随导电颗粒体积分数的增加电导率再缓慢增加。这种现象称为渗流 效应，相应的导电颗粒体积分数的临界值辰称为渗流阈值，与导电颗粒形状和尺 寸密切关联。有效介质理论( e f f e c t i v em e d i at h e o r y ) 最早可追溯至u m a x w e l l ( 1 8 7 3 ) 的工作，l a n d a u e r ( 1 9 5 2 ) ，h a s h i n 和s h t r i k m a n ( 1 9 6 2 ) 以及w a f t ( 1 9 7 4 ) 等人扩展了这 一模型，给出了各种计算两相复合体系电导率的公式。有效介质理论是处理二相 3 无规对称分布体系中电子传输行为的有效方法，其主要思想是把无规非均匀复合 介质的每个颗粒看作处于相同电导率的一种有效介质中。通用有效介质( g e n e r a l e f f e c t i v em e d i a , g e m ) 模型将渗滤理论和有效介质理论有机地结合在一起，除了 能够模拟一些渗滤导电过程外，还能对二相复合体系中的许多实验数据进行拟 合。但从g e m 方程推导出来的微结构参数不能精确地与介质颗粒的形状相符， 使得这一方程的应用受到限制。其二是经验公式( 见表1 1 ) ，阿尔奇公式( a r c h i e ， 1 9 4 2 ) 是由饱和水沉积岩电导率实验总结得到的含水岩石电导率经验公式，是油 气测井定量解释最基本的关系式。但是，阿尔奇公式中出现的关键参数一胶结指 数( m ) 物理意义引起了许多争论，有学者认为m 是孔隙结构及饱和流体分布状态 的反映，也有学者认为参数m 没有实际的物理意义，只是曲线拟合的参数( 陶果， 2 0 0 5 ) 。g l o v e r ( 2 0 0 0 ) 认为阿尔奇公式只严格适用于导电相充填于不导电的基质 岩石( 如纯净砂岩) 中，当基质岩石有一定导电性( 如含泥质) 或高温情况下地 下矿物的电导率增加时，阿尔奇经验公式误差较大，由此计算的空隙度或局部熔 融体积百分比也会产生大的偏差。g l o v e r ( 2 0 0 0 ) 导出了修正的阿尔奇公式( 见表 1 1 ) 取得很好的效果，其中p 、m 分别为相l 和相2 的连通性指数。同时，复杂多 相介质电导率实验本身也很困难，主要因为岩石实验是宏观实验，实验过程中岩 石的微观孔隙结构、组份及流体分布状态不可直接观察和定量计算，因此也无法 通过实验来研究各种电导率模型中参数的物理意义。上述可见，从理论模型、经 验模型到岩石实验本身均存在局限性，模型简单化且多限于两相体系，每一个模 型公式只适用于某种特殊结构的复合介质，应用到实际复杂多相岩石体系是显然 不够的( 黄晓葛，2 0 0 5 ) ，因此进行复杂多相介质有效电导率模型研究具有重要 的理论意义及应用价值。 数值模拟是研究两相介质有效电导率的重要方法。与岩石实验相比，数值模 拟有其极大的优势，数值模拟在产生模型时，可以任意设置多相介质的电导率值 和各相介质的体积分数，这样可以比使用岩石实验，获得更多更全面的数据，从 而更好的寻找到多相介质的有效电导率与其成分和微观结构之间的关系，以及寻 找关系式中的参数与岩石成分和微观结构之间的关系。例如对于阿尔奇公式，如 果能够找到指数m 与岩石成分之间的关系式，就可以利用这个关系式来给出m 值， 从而预测岩石的有效电导率，或者通过岩石的有效电导率值反过来预测岩石组 4 第一章前言 分。 随着计算机技术发展，使用数值模拟研究两相介质有效电导率方法已有一些 研究成果( b i g a l k e ，1 9 9 9 ，2 0 0 0 ，2 0 0 3 ；岳文正，2 0 0 5 ；l e b o v k a , 2 0 0 6 ；l t a k o b y a n ， 2 0 0 7 ；等) 。电导率有限元数值方法适用予任意复杂的多相介质模拟( g a r b o c z i ， 1 9 9 8 ，：吴小平，1 9 9 8 ) w ue ta 1 ，2 0 0 3 ；w u ，2 0 0 3 ；吴小平，2 0 0 3 ) ，在这个过程中 可以通过调节模型结构和介质分布状态( 吒q ，筋) 来研究上述各个模型公式中 参数的物理意义，从而有可能建立起复杂多相介质有效电导率的较为精确的定量 计算公式，对沟通岩石物理实验和实际野外地球物理测量( 包括测井、电磁测深) 结果、建立较准确的解释模型具有重要意义。 本文的研究重点是对三维二相随机介质有效电导率与其组成成分( q ，c r 2 ，石， 筋) 之间的关系，寻找这些关系中的参数与组成成分( o 1 ，吒，石，筋) 之间的关系， 从而可以预测三维二相随机介质的有效电导率。通过产生三维二相介质随机模 型，利用有限元方法正演计算得到有效电导率，然后，主要探讨两种有效电导率 模型关系式：广义混合率公式和修正的阿尔奇公式( 见表1 1 ) 。对二相介质随机 模型的有效电导率描述准确性，寻找两种关系式中参数( 广义混合率j 值和修正 阿尔奇公式m 值) 与二相介质随机模型组分q ，吒及其体积分数石，筋之间的关 系，并通过这种关系，给出了预测二相介质随机模型有效电导率。然后，使用广 义混合率对三相介质的有效电导率特性进行了探索性研究。 5 2 1 有限单元法 第二章电导率有限无数值模拟 第二章电导率有限元数值模拟 有限单元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，简称为f e m ) 的思想最早由c o u r a n t 在 1 9 4 3 年提出，但直到1 9 6 0 年以后，在电子数值计算机的广泛应用和发展基础上， 有限单元法才得到快速显著发展。从1 9 6 0 年c l o u g h 第次提出“有限单元法” 这一名称开始，半个世纪以来，有限单元法的理论和应用都得到快速发展。 有限单元法是利用变分原理或者加权余量法，通过将完整的研究区域进行剖 分，剖分后以每个小单元为单位进行插值近似，将二次泛函的极值问题转化为多 元二次函数的极值问题，后者通过求导，将问题等价于一组多元线性代数方程组， 然后求解该线性方程组。应用到地球物理问题时，将地球物理场分割成一个个很 小的单元，这些单元的总和就构成了完整的地球物理场。在每个小单元上，通过 直接求解地球物理场的近似，然后将每个单元的解结合起来，从而达到求解球物 理连续场的概念。 2 2 均匀电场下有效电导率计算 对任意复杂的多相介质，在恒定电场内，介质体内没有电场源时，根据 m a x w e l l s 方程，有： 在介质体内： a c p = 0 2 1 在边界上： 妒( x ，y , z ) = 织 式中c p 是电位，纯是边界上的电位。 求解式2 1 ，就等价于求 f = l v 伊仃v c , 0 d f 2 2 2 的最小值。其中f 是能量，盯是电导率，q 是研究区域。 本文使用的有限单元法计算有效电导率程序e l e m e n t 3 d ( g a r b o c z i ，1 9 9 8 ) 是将 研究区域放在均匀电场下( 豆= ( e ，e ，e ) ) ，通过求解式2 2 的最小值来计算有效 电导率。 e l e m e n t 3 d 采用的单元是立方体单元( 如图2 1 ) ，在每个单元内，o p q ( p ，q 分别可取1 ，2 ，3 ) 是单元内介质电导率，”，是第r 节点上的电压( r 从l 变到8 ) ， p = ( 巳，巳，巳) 是单元内点( ) ( y ，z ) 的电场强度， 外加均匀电场强度 e = ( e ，b ，e ) = ( 1 ，1 ，1 ) a z ，k 图2 1立方体单元 y ，j 外加均匀电场 先求解每个单元内的能量，对单元内点的电压值采用线性插值方法，即 ，= l v ( x , y ，z ) = ，蚱 2 3 r = l 其中x ，y ，z ( o ，1 ) ，是3 维插值系数，为： i = ( 1 一x ) o y ) ( 1 一z ) 2 = x ( 1 一y ) o z ) 3 = x y ( 1 一z ) m = ( 1 - x ) y ( 1 - z ) m = ( 1 - x ) ( 1 - y ) z 6 = x ( 1 - y ) z n = x y z s = ( 1 一x ) y z 则相应的电场值为： e v ( x , y , z ) _ - 警一毒】= 等驴” 僦。嬲。锻 2 4 式e ep = l 2 ，3 ，一譬是一个3 x 8 的系数矩阵，其各元素的值见表( 表2 1 ) 8 第二章电导率有限元数值模拟 表2 1 矩阵7 _ 的各元素值 r- a 犯o x = ，i ，圆r o y = r hr o n r i 融= n 3 ， l ( 1 - y ) ( 1 一z )( 1 一x ) ( 1 - z )( 1 x ) ( 1 - y ) 2 - ( 1 - y ) ( 1 - z ) x ( 1 一z )x ( 1 - y ) 3 - y ( 1 - z ) - x ( 1 - z )x y 4 y ( 1 一z )( 1 - x ) 0 一z )( 1 一x ) y 5 ( 1 一y ) z ( 卜x ) z一( 1 一x ) ( 1 - y ) 6 一( 1 一y ) z x z - x ( 1 - y ) 7 。y z x z 。x y 8 ( 1 一y ) z- ( 1 一x ) z( 1 一x ) y 则由式2 2 得，在单元内的能量为： ill 一 1 ii1 只= 川诜纰 2 e p c r m e q = i 1u r 【，肛抛嵋) 】毪 2 6 式中2 6 的积分项采用s i m p s o n sr u l e 近似计算，记为见，则 e = 专蚱玻吨 2 7 对于每个小单元，当单元处于空间内时，可以直接使用2 7 式计算，当单元 处于边界时，需要特殊考虑。e l e m e n t 3 d 程序采用的边界条件是周期性重复边界 条件。例如对一个节点为( n x , n y , n z ) 三维模型，当节点( i = n x , j n y , k n z ) 位于 最右边面( i = n x ) 上时，该节点对应的单元没有右边界，加上周期性边界条件后， 则相应的将整个模型向右( x 方向正方向) 复制移动n x 个单元长度，而与模型 的右边界连接上，则在面( i - - n x ) 上的点就延展出一个单元，延展出来的节点的电 压值( 图2 1 中的点2 ，3 ，4 ，6 ) ，相应的设置成为 甜2 = u j ( m ) 一e n x u 32 ( m ) 一e 瓯 2 8 u 6 = 蚝( m ) 一e x i l x , ”7 = 蚝( m ) 一疋城 其中m = m n x + l ，m = 础n y ( 七一1 ) + 联u - 1 ) + f ，m 和m 都是全空间的编号，m 位置正是m 点的位置向右( x 轴正方向) 移n x 个单元。当点处于y 方向和z 方 向的边界时，采用同样的方式处理。因此，当单元点处于边界时，电压需加上一 组变化量万( 见表2 2 ) 。 9 表2 2 式1 8 中艿的取值 r 1 2 n x j 2 n y k = n z 1 2 n x j 2 n yi = f i x ，k = n zj = n y , k = n z i = n x , j = n y , k = n z l0oo0o0o 2 - e x n x o0 - e x n x - e , , n x 0 - e , , n x 3- e x n x e y n y 0 - e x n x - e y n y - e x n x e y n y- l n x - e y n y 4o e y n y o - e y n y 0 一e y n y- e y n y 50 o- e 担o e z n z- e z n z- e z n z 6- e x n xo - e z n z- e , , n xe x n x - e z n z- e z n z- e x n x - e z n z 7 - e x n xe y n y- e z n z- e x n x - e y n y- e x n x e z n ze y n y - e z n ze x n x e y n y e z n z 80 - e y n y- e z n z - e y n y- e z 毗 e y n y - e z n z- e y n y - e z n z 将每一个小单元内的能量累加在一起，就得到总能量： 1 e = 咋珑蚝+ 6 ，蚱+ c z 1 其中6 ，= 正p ，c = 去4 珑正。 2 9 求是式2 9 的最小值，等价于求解一f 方程t ：a m n u n + k ：0 2 1 0 u u ” 式中矩阵4 ，i ，| 是稀疏的，求解线性方程组2 1 0 ，采用的是共轭梯度法迭代法。 通过迭代求解，获得了每个节点的电压值咋。然后通过公式2 5 ，得到电场p ，。 对节点上的平均电流密度，是由该节点和其周围节点的加权平均求的： 矗= ( c c r 朋e q ) 。 2 1 1 其中c 是3 x 8 的加权系数矩阵，见表2 3 。 l o 第二章电导率有限元数值模拟 表2 3 加权系数矩阵 rl2345678 c l ， 0 2 50 2 50 2 5o 2 50 2 50 2 50 2 5o 2 5 c 2 ， 0 2 50 2 5o 2 5- o 2 5o 2 50 2 50 2 50 2 5 g ， o 2 50 2 5 o 2 5o 2 5o 2 50 2 5o 2 50 2 5 则对全空间，可得平均电流密度： ( 厶) = 专粪厶= ( 白) 又因为 ( 以) = ( ) 用 其中易是外加恒定电场强度。 所以可得，有效电导率 2 1 l 2 1 2 ( ) 胛= ( 厶) 毛= 专姜矗乓。 2 m 第i 章遗传算法 第三章遗传算法 利用前一章所介绍的有限单元方法计算有效电导率，获得这些计算数据之 后，需要对有效电导率值进行了拟合。在数据拟合时，需要寻找符合方程的最优 解，即最小值优化问题( 最小二乘最小) 。遗传算法在寻找最大值和最小值优化 问题方面有着很好的应用，通过编写遗传算法程序，求解最小值优化问题。下面 介绍了遗传算法背景、原理，以及遗传算法在本次工作中的应用。 3 1 遗传算法的背景 遗传算法是根据达尔文进化论和孟德尔遗传学说发展而来的一种算法。根据 达尔文的进化论，在自然界中，每一种生物都是在不断进化的，进化的趋势是能 够更好的适应自己生存的环境( 优化过程) ，孟德尔的遗传学说认为在自然界的 进化过程中，遗传是通过染色体上的基因作为载体的。 1 9 7 5 年，著名美国教授h o l l a n d 出版专著( a d a p t a t i o ni nn a t u r e 1 a n da r t i f i c i a l s y s t e m ) ) ，全面而系统的阐述了遗传算法的基本原理和方法，提出了模式定理和 隐形并行性原理，奠定了遗传算法的基础。同时，d ej o n g 在自己的博士论文 a n 、 a n a l y s i so f b e h a v i o ro f a c l a s so f g e n e t i ca d a p t i v es y s t e m ) ) 中大量的使用遗传算法进 行函数优化试验，取得了巨大成功。之后几十年来，遗传算法的基本原理和科学 基础都得到了验证，遗传算法得到了广泛的研究和应用。在使用过程中，遗传算 法也日趋成熟，被广泛的应用的各个领域。 3 2 遗传算法基本原理 基于达尔文进化论和孟德尔的遗传学说，遗传算法是一种模拟生物进化过程 而产生的选择算子、杂交算子和变异算子三个基本算子组成的全局寻优算法。遗 传算法的操作对象是种群p ( t ) ，由n 个染色体( 或个体) 组成。其中，每个 染色体( 个体) 就对应着实际问题的一个解。在初始种群中，通过选择算子选出 性状好的父本，通过杂交算子进行杂交运算，再经过变异算子对种群进行定比 例的变异，在特定的概率规则调解下，随机搜索模型空间。通过一步步的迭代， 最终找到符合具体问题的最优解。遗传算法的结构见图3 1 ，其主要步骤如下： 3 2 1 编码与解码 s t a r t t 卜0 初始种群p ( t ) 评估种群p ( t ) w h i l e ( n o t 终止条件) d o b e g i n f _ t - f l 繁殖种群尸( f ) f r o mp ( t 1 ) 杂交和变异 评估种群 e n d e n d 图3 1 遗传算法的结构 在遗传算法中，求解问题不是直接作用在问题的解空间中，而是遗传算法的 种群p ( t ) 空间。编码是指将所求解问题的解空间通过某种方式映射到遗传算法的 种群空间中。为了确保编码的正确性，在进行编码时，需满足以下三个原则：完 备性、健全性、唯一性。本文采用的编码方式是二进制编码。二进制编码是最基 础编码形式，它的最大优点就是编码、解码操作简单，易于进行杂交和变异操作。 3 2 2 产生初始种群 遗传算法在开始迭代时，第一个种群一般采用随机方式产生。从这时开始， 遗传算法的一切操作都是以种群为基础，基本脱离原始问题的解空间。在初始化 种群时，需要预先设置好种群的大小，即n 。n 值的大小直接可以影响到遗传算 法的搜索结果和优化速度。因此，需要对种群大小通过经验方式设定一个较为合 适的值，能够最快的找到最优解。 3 2 3 设置适应值评价解 1 4 适应评价解( 也可以叫适应度函数) 是对解得质量的一种评估，是在整个遗 第三章遗传算法 传算法迭代过程中的唯一评价依据，也可以说是整个遗传算法过程中，种群空间 与实际问题的解空间之间的唯一联系。设置适应评价解要根据具体的实际情况， 一般来说，是可以直接设置为解决实际问题时的目标函数或者目标函数的变形。 确定了适应评价解，则在迭代过程中我们还需要设置迭代的终止条件。终止 条件一般有以下三种方式：设置最大迭代步数( t ) 、设置适应评价解值和比较种 群中的适应评价解。在迭代过程中，当获得的种群满足终止条件时，迭代终止。 3 2 4 繁殖，杂交和变异 繁殖，是指从上一代种群中挑选染色体，形成下一代种群。繁殖的方法主要 有轮盘赌选择、i i + 入选择、锦标赛选择、稳态复制、比例变换与排序选择和共 享方法。其中，轮盘赌选择是解决一般问题的常用方法。先建立一个适应值调节 刻度的轮盘，通过产生随机数，随机转动轮盘来选择染色体进入下一代种群，直 到新种群全部产生。 繁殖保证遗传的特性，同时为了有新的性状的出现，我们对繁殖产生的种群 进行杂交和变异。需设定参数t 杂交概率p c 和变异概率p m ，根据经验，一般设 定在0 1 到0 3 之间。杂交和变异确保了新种群中新的性状的出现，增强了算法 的搜索能力，使搜索不容易陷入局部解。 如上所述，遗传算法通过对种群进行评价、繁殖、杂交和变异，这样一步一 步的重复循环迭代下去。在迭代过程中，种群中的个体的适应度和平均适应度是 不断的加强和提高，直到达到终止条件。 3 3 遗传算法的应用 在本文的工作中，主要使用遗传算法来求解修正的阿尔奇公式中参数p ，m 。 修正阿尔奇公式如下： o 珂= o i z + d 2 避 3 、 其中z ，+ z ? = 1 ，p 【0 ，1 0 】，埘【0 ，1 0 】。 为了能够找到最好p , m 值，使公式3 1 能够很好的拟合实际数据，目标函数 采用最小二乘最小原则，目标函数为： 1 5 3 3 1 设定控制参数 厂= l 一( 吼钟+ c r 2 心) 1 2 + 名l 矸+ 刀一1 i 设定种群由2 0 个染色体组成，即n = 2 0 。 编码时使用二进制编码，参数p 和m 的精度要求为1 0 - 5 ，则对于参数p ，需 要将区间【0 ，l o 】至少分成o o o ) 1 0 - 5 = l ，0 0 0 ，0 0 0 个等距区间，由于： 5 2 4 ，2 8 8 = 2 1 9 l ，0 0 0 ，0 0 0 ，该染色体的适应值为 f ( 1 0 5 2 4 2 6 ，5 7 5 5 3 3 0 ) = 5 8 5 4 6 6 6 2 9 。 种群迭代最大步数设为t = 1 0 0 ，0 0 0 杂交概率p c = o 2 ，变异概率p r = - o 2 。 3 3 2 初始化种群 已设定种群规模n = 2 0 ，通过完全随机，初始化2 0 个染色体，组成初始种群。 并且计算种群的适应函数，同时记录下种群中的最好的适应值及其对应的染色 体，单独存放在另一个变量( g e n e t i c _ b e s t ) q b 。以后每次循环之后，都将种群中的 最好解与该变量进行比较，如果新解好，就更新变量值。 3 3 3 繁殖 1 6 通过轮盘赌选择方法来选择下一代种群，原理如下： 第三章遗传算法 ( 1 ) 计算种群中染色体v = l ，n ) 的适应值e v a l ( v ，) ： ( 2 ) 计算种群整体的总适应值： 2 0 f = e v a l ( v ，)j l j 毒l ( 3 ) 计算种群中染色体v ，( f = l ，2 0 ) 的选择概率另： p t = e v a l ( v j ) f ( 4 ) 计算种群中染色体v 。( ，= l ，2 0 ) 的累计概率毋： 铲吉骞删v 户喜a ( 5 ) 转动轮盘次，按照以下方法为新种群挑选染色体：首先产生区间【0 ，l 】 里的随机数r ；如果， g l ，则选择第一个染色体v ，；否则选择使钆 ，毋成立 的第i 个染色体v ，( 2 i 2 0 ) 。 3 3 4 杂交和变异 通过繁殖产生下一代种群后，利用杂交和变异来增加种群中的新性状。 、 前面已经设置杂交概率p c = 0 2 0 ，进行杂交时，首先，产生2 0 个【0 ，l 】之 间的随机数r j ，如果，： p c ，则选择指定的染色体进行杂交。如果需要杂交的染 色体数是偶数个，则两两配对进行杂交，如果是奇数个，则丢掉最后一个需要杂 交的染色体，再进行配对杂交。杂交时，产生【l ，4 0 】之间的随机整数，确定从 第几个基因开始杂交，例如，如果随机数为1 7 ，则基因从第1 7 位开始杂交。杂 交方式为从1 7 到4 0 位，两个染色体对应的基因进行相互对换。这样循环，直至 需要杂交的染色体全部完成。 变异的过程和杂交是一样的，首先产生1 个【0 ，l 】之间的随机数，：，如果 r j p m ，则该染色体需进行变异。然后再产生1 个【l ，4 0 】的随机整数，确定需 要变异的基因的位置。变异的过程足将该基因的值改变，如果是0 ，就改成l ，