（光学专业论文）各向异性介质中的傍轴光束的传输研究.pdf

l u q ll l ii i i iii i1 111 111 1l 17 6 812 8 摘要 本文主要研究各向异性介质中傍轴光束的线性传输。我们集中讨论了两 个问题，一个是各向异性介质中的傍轴光束方程，另一个是介质的各项异性 对光束传输的影响。本论文一共分为三章，具体安排如下： 第一章介绍论文的研究背景，分为两节。第一节介绍了各项异性介质的本 征波解。第二节介绍了傍轴光束传输的研究进展。 第二章介绍了两个傍轴光束方程模型并在第一个模型的基础上讨论了椭 圆高斯光束的传输，分为三节。第一节推导第一个光束方程，该方程的傍轴近 似沿中心波矢方向。由于各项异性，方程中含有一混合二阶导项，这一项能 使光斑在传输过程中发生旋转。第二节，通过椭圆高斯光束的解析解研究光 斑的旋转效应，发现在双轴和单轴介质中，对初始输入光的光斑存在一个由 介质的各项异，陛决定的特殊方向，这个方向能决定光束传输过程是否会旋转。 当输入光斑的长轴与这个方向平行或垂直时，则光束在传输过程中不会旋转， 否则，光斑会旋转，而旋转的方向和速度由输入参数决定。第三节，我们先分 析了第一个方程的傍轴近似存在的问题，发现当介质的各项异性高到一定程 度，该近似会变得不合理。由此我们提出更合理的傍轴近似应该沿光束的波 因廷矢量方向，并推导出沿此方向作傍轴近似的第二个光束方程。 第三章，总结了本论文的主要成果和不足之处，并展望可作进一步研究的 方向。 关键词：各向异性，本征波，傍轴光束，傍轴方程，椭圆高斯光柬 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h el i n e a r l yp r o p a g a t i o no fp a r a x i a lb e a m i nt h ea n i s o t r o p i cm e d i u m w ef o c u so nt w op o i n t s ，o n ei st h ew a v ee q u a - t i o nf o rt h ep a r a x i a lb e a mi nt h ea n i s o t r o p i cm e d i u m ，t h eo t h e ri sh o wt h e a n i s o t r o p ye f f e c t st h ep r o p a g a t i o no ft h eb e a m t h i st h e s i si sc o m p o s e do f t h r e ec h a p t e r s ，w h i c ha r ea r r a n g e da sf o l l o w ： c h a p t e r1 ，a ni n s t r u c t i o no ft h eb a c k g r o u n dt ot h et h e s i s i ti sd i v i d e d i n t ot w os e c t i o n s s e c t i o nl b r i e f l yr e c a l l st h et h e o r yo fe i g e n w a v e si nt h e a n i s o t r o p i cm e d i u m s e c t i o n2i n t r o d u c e st h ep r o g r e s so ft h er e s e a r c ho f p a r a x i a lb e a mi nt h ea n i s o t r o p i cm e d i u m c h a p t e r2i n t r o d u c e st w om o d e l so fw a v ee q u a t i o n sa n db a s e do nt h e f i r s tw a v ee q u a t i o n t h ep r o p a g a t i o no fa ni n i t i a le l l i p t i c a lg a u s s i a nb e a mi s d i s c u s s e d t h i sc h a p t e ri sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n s s e c t i o n1i n t r o d u c e s t i l ed e r i v a t i o no ft h ef i r s tw - a v ee q u a t i o nw i t ht h ep a r a x i a la p p r o x i m a t i o n m a d ea l o n gt h ec e n t r a lw a v e - v e c t o r t h ew a v ee q u a t i o nc o n t a i n sas e c o n d o r d e rm i x e dd e r i v a t i v et e r mo r i g i n a t i n gf r o mt h ea n i s o t r o p y ，a n dt h i st e r m c a nr e s u l ti nt h er o t a t i o no ft h eb e a m s p o t i ns e c t i o n2 ，t h er o t a t i o n e f f e c ti s i n v e s t i g a t e db ys o l v i n ga n a l y t i c a l l yt h ew a v ee q u a t i o nw i t ha n i n i t i a le l l i p t i c a lga u s s i a nb e a mf o rb o t hu n i a x i a la n db i a x i a lm e d i a i t i sf o u n dt h a tf o rb o t hm e d i a ，t h e r ee x i s t sas p e c i f i cd i r e c t i o n ，w h i c hi s d e p e n d e n to na n i s o t r o p yo ft h em e d i a ，o nt h ec r o s s - s e c t i o np e r p e n d i c u l a r t op r o p a g a t i o nd i r e c t i o nt od e t e r m i n et h er o t a t i o no ft h eb e a m - s p o t w h e n t h em a j o ra x i so ft h ee l l i p t i c a ls p o to ft h ei n p u tb e a mi sp a r a l l e lt oo r p e r p e n d i c u l a rt ot h es p e c i f i cd i r e c t i o n ，t h eb e a m s p o tw i l ln o tr o t a t ed u r i n g p r o p a g a t i o n ，o t h e r w i s e ，i tw i l lr o t a t ew i t ht h ed i r e c t i o na n dt h ev e l o c i t y d e t e r m i n e db yi n p u tp a r a m e t e r so ft h eb e a m i ns e c t i o n3 ，w ed i s c u s s t h ei ) a l 。a x i a la p p l o x i m a t i o nt h a tm a d ei nti l ef i r s tw a v ee q u a t i o n f i n d i n g i i i a b s t r a c t t h a tt h ea p p r o x i m a t i o nw i l lb e c o m ei n v a l i di ft h ed e g r e eo ft h ea n i s o t r o p y i sh i g h a sar e s u l t ，w ed e r i v ea n o t h e rw a v ee q u a t i o nw i t ht h ep a r a x i a l a p p r o x i m a t i o nm a d ea l o n gt h ed i r e c t i o no ft h ep o y n t i n gv e c t o ro ft h eb e a m t h i ss e c o n de q u a t i o ni sm o r ea c c u r a t et h e nt h ef i r s to n ef o rd e s c r i b i n gt h e p r o p a g a t i o no fb e a mi n t h em e d i u mw i t he i t h e rl o wo rh i g h d e g r e eo f a n i s o t r o p y c h a p t e r3i sas u m m a r y k e y w o r d s ：a n i s o t r o p i cm e d i a ，e i g e n w a v e ，p a r a x i a lb e a m ，p a r a x i a le q u a - t i o n ，e l l i p t i c a lg a u s s i a nb e a m l v 摘要 a b s t r a c t 目录 插图目录 目录 第一章绪论 1 1 引言 1 2 各向异性介质中的本征波。 1 2 1 各项异性介质中本征波解 1 2 2 本征波的正交性 1 2 3 各向异性介质的光轴 1 2 4 单轴介质的本征波解， 1 2 5 折射率椭球 1 3 各向异性介质中的光束传输的研究进展 1 3 1j a f l e c k 的傍轴光束方程。 1 3 2s r s e s h a d r i 对j a f l e c k 的e 光束傍轴方程的修正 1 3 3y b b a n d 等的光波包在各向异性介质中的传输方程 1 3 4 m a d r e g e r 的双轴介质的光束传播子 1 3 5q ig u o 和s i e nc b 5 的各向异性介质中的光束方程 1 3 6a c i a t t o n i 等的单轴介质中的矢量傍轴光束方程 1 4 本章小结 第二章高斯光束在各项异性介质中的传输 2 1 光束方程 2 1 1 光束方程的推导 2 1 2 占系数的表达式 2 1 3 附录：计算6 系数用到的数学方法 2 2 椭圆高斯光束的传输。 2 2 1 椭圆高斯光束的解析解 2 2 2 具体例子 2 3 光束轴坐标系下的光束方程。 2 3 1 光束轴坐标系下的光束方程 2 3 2 光束轴坐标系下的6 系数 2 3 3 本章小结， 一 m v ：曼 1 l l 1 5 6 7 9 n挖埔坞嚣嚣 疗凹行；嚣弱钌铊匏钙酊 目录 第三章总结与研究展望 参考文献 致谢 公开发表或待发表的论文 个人简历 联系方式 8 9 1 2 3 3 4 4 5 5 5 5 插图目录 1 1 k 在主轴做标系下的方向余弦q 、卢、7 分别是k 与x 7 、y 7 、z 7 轴的夹角 3 1 2 双轴介质中两个本征波的法线面( a ) 为模1 波的法线面，( b ) 为模2 波的法 线面，( c ) 为两个法线面的组合为了使两个本征波的法线面能明显区别开， 介质的主介电常数取g 一= 4 ，e v , = 3 ，：，= 2 4 1 3 各向异性介质中每个模式的矢量k ，d ，e 和h 的关系。 6 1 4 ( a ) 两个本征波的法线面在x 7 一z 平面的交线，两法线面的交点确定了光轴 的方向( b ) 和( c ) 分别为模1 本征波和模2 本征波的法线面与z 7 一z 平面 的交线 7 1 5 两类单轴介质的法线面 8 1 6 ( a ) 折射率椭球和( b ) 平面切椭球所得的椭圆 9 1 7 傍轴光束的谱空间示意图，l c 0 为中心波矢 1 l 1 8 传输坐标系与主轴坐标系的旋转关系0 角为中心波矢l c o 与z 轴( 光轴) 的 夹角，0s 口7 r 1 3 1 9 光束的走离角与中心波矢l 【0 的关系。 1 5 1 1 0 脉冲在单轴介质中的传输的l a ( r ，t ) l 的等高线图，( a ) 为初始输入的高斯脉 冲，( b ) 、( c ) 、( d ) 为逐步增加的传输距离处的波形，可见脉冲发生旋转 1 8 1 1 1 圆高斯光束沿一般方向传输的数值模拟，光束的双折射模1 光( t y p e1 ) 沿z 轴走离，模2 光( t y p e2 ) 沿y 轴走离同时，两模式的光斑均变为椭圆2 1 1 1 2 圆高斯光束沿光轴的传输的数值模拟，发生锥形折射( c o n i c a lr e f r a c t i o n ) ， 外光环为模1 光束，内光环为模2 光束2 2 1 1 3 高斯光束沿光轴附近的传输的数值模拟，光束的传输在双折射与锥形折射 之间2 2 1 1 4 初始输入为沿z 7 方向线偏振的圆高斯光束，同时激发两个模式的光束：( a ) 为。光束，( b ) 为e 光束( c ) ( d ) 分别为o 光束和e 光束在两个瑞利距离处的 衍射图样2 5 2 1 波因廷矢量s 垂直于在l c 0 处的法线面 2 9 2 2 规则”的欧拉角的坐标旋转变换第一个旋转为绕z 7 旋转角；第二个 旋转为绕z 轴( o a 轴) 旋转口角，其中，p 【o ，丌1 第三个旋转为绕z 轴旋转 妒角q ，p 和，y 为z 轴在主轴坐标系( z 7 ，矿，z ) 的方向余弦3 0 2 3 不同的妒对应长轴沿不同方向的初始椭圆高斯光束的输入砂= 丌4 对应的 输入光束在传输过程中会发生旋转，妒= 丌2 对应的输入光束则不会 3 7 2 4 删系数与自转角砂的关系，其中= 1 0 9 5 0 。和p = 6 0 0 。实线为础，虚 线为捌3 8 插图目录 2 5 不同输入束宽的椭圆高斯光束的传输：( a ) 伽。：蛳= 1 ：1 ，( b ) w x ：w y = 1 4 ： 1 ，( c ) 魄：w y = 2 ：1 ，其中w y = 1 0 0 p m 振幅l a u ) ( z ，y ，z ) i 的等高线图取于 = 1 0 模1 光束的j 系数为攒) = 1 5 4 9x1 0 一，西u = 6 5 5 7x1 0 一，万嬲= 一3 9 0 6 1 0 _ 8 m ，删= 一3 4 8 6 1 0 m ，删= 一2 0 9 5 1 0 一m ；模2 光束的6 系数为拶) ；一1 5 8 5 1 0 一，6 5 2 ：3 7 4 5 1 0 一，艘：一3 5 6 5 1 0 8 m ，删： 一3 8 5 5x1 0 8 m ，x ( 2 y ) = 1 4 2 7 1 0 9 m 3 9 2 6 传输方向与图2 5 相同，但选1 f ，= 6 9 4 8 0 使如= 0 时的光束传输模1 光束的 6 系数为：蹬) = 1 6 8 2 1 0 ，毋) = 1 3 4 9 1 0 ，趔= 一3 9 9 2 x1 0 8 m ，西= 一3 4 0 0 1 0 - 8 m ；模1 光束的6 系数为：蹬) = 一4 6 3 9 1 0 _ ，拶= 4 0 6 7 i 0 3 ，6 掣= 一3 5 0 7 1 0 8 m ，五留= 一3 9 1 3 1 0 8 m 4 0 2 7 振幅l a ( j ) ( r ) i 的等高线图每个模式的初始输入束宽为= 1 2 5 # m 和 w y = 1 0 # m ，传输距离分别为( a ) 毒= 0 ，( b ) 荨= o 7 3 4 ，c ) 舌= 1 2 7 7 ，( d ) = 1 9 1 5 其余的参数与图2 5 中的一样4 1 2 8 ( a ) 旋转角妒u ) 与的关系，( b ) 长轴与短轴之比叼( 实现为模1 光束，虚 线为模2 光束4 l 2 9 光束包络示意图4 2 2 1 0 介质的各项异性程度与r 撼的关系图 4 3 2 1 1 光束轴坐标系下对k 如的泰勒展开示意图4 4 2 1 2 单轴介质的光束轴坐标系，由于介质关于名7 轴的旋转对称性，所以坐标系 的定向与西无关，可取= 0 这里自转角取矽= 丌2 ，使z 。一z 。在主平面内4 6 第一章绪论 1 1 引言 许多材料的光学性质与光的传输方向和偏振态有关，这种性质称为光的各项异性( 简 称各向异性) ，含有这种性质的介质为各项异性介质。许多晶体都是各项异性介质，如方 解石、石英、磷酸二氢钾( k d p ) 晶体以及液晶等这些介质内含有许多独特的光学特性， 如双折射，偏振效应，锥形折射以及电光、声光效应等基于这些特性，各项异性介质广 泛应用于光学仪器的设计和制造，如偏光器、双折射虑波器、电光调制器、声光调制器【l 】 等对这些传统的光学器件，采用平面波分析【2 】( 或本征模分析) 便可以解决其光场的传 输问题。然而随着半导体激光器的发展以及集成光学技术的需求，光学器件日益小型化， 使得光在这些器件的传输性质已不能用传统的平面波分析法来解7 央并且，除了这些传 统应用，各向异性材料也广泛应用于新的光学现象中，如对光场的振幅、相位、频率以及 传输方向的调制，二次谐波的产生以及其相位匹配【3 】，激光谐振腔的模式调节和光波导 【4 】，还有最近发现的液晶中空间光孤子的传输【5 ，6 】等这些应用中，介质中的光场和平面 波有极大的不同，平面波分析已经不能解释介质申光的传输性质，而必须依靠光束的传 输理论 本论文主要讨论傍轴光束在各向异性介质中的线性传输由二f 各向异性介质中本征 波的知识是研究光束传输的基础，因此我们先详细介绍什么是各向异性介质中的本征波 1 2 各向异性介质中的本征波 手屯鎏) m j ， 这里，我们讨论的介质是均匀、无损、无源且无磁性的( p = ，t o ) ，因此，介质中的m a x w e l l 方程为 4 1 v e ( 叫) = 一p 。岳h ( 叫) ， v h ( 州) = 爰d ( 叫) ： v d ( r ，t ) = 0 ： v # o h ( r 1 = 0 ， ( 1 2 a ) ( 1 2 b ) ( 1 2 c ) ( 1 2 d ) 其中，e ( r ，t ) 为电场，d ( r ，t ) 是电位移矢量，h ( r ，t ) 是磁场当光场为单色场，即光场只 第1 章绪论 含有一个角频率叫时，其电场可表示为 e ( r ，t ) = e ( r ) e x p ( - i w t ) ， 将它代入方程( 1 2 ) 可得单色场的m a x w e l l 方程为 v e ( r ) = i w p o h ( r ) ， v h ( r ) = - i w d ( r ) ， v d ( r ) = 0 ， v ，# o h ( r ) = 0 ， 同时由本构方程【4 】可得d ( r ) 和e ( r ) 的关系为 ( 1 3 ) ( 1 4 a ) ( 1 4 b ) ( 1 4 c ) ( 1 4 d ) d ( r ) = o 手( c 一) e ( r ) ( 1 5 ) 由于本论文研究的本征波和光束均为单色场，因此，为了书写的简清，此后的关于本征波 或光束的表达式中均省略时谐因子e x p ( 一i w t ) ，当要表述完整的场时再将其补回对方程 ( 1 4 a ) 求旋度，并将方程( 1 4 b ) 代入可得 工 2 v v e ( r ) = d ( r ) ( 1 6 ) u 式中，k c = u c 为真空中的传播常数利用本构方程( 1 5 ) 以及恒等式v v e = v ( v e ) 一v 2 e 可从上式得到关于e ( r ) 的波动方程 ( v 2 一v v + 足) e ( r ) = 0 ( 1 7 ) 各向异性介质中的平面波解称为本征波( e i g e n w a v e ) 【4 7 1 设解的形式为 e ( r ) = e oe x p ( i k r ) ， e o 为振幅，k 为波矢其相应的磁场为 ( 1 8 ) h ( r ) = h oe x p ( i k r ) ( 1 9 ) 在各向异性介质中，给定一个传输方向k l k l ，通常存在两个相互正交的本征波这两个 本征波分别有不同的传播常数k 和偏振方向e o i e 0 1 1 4 1 我们称本征波的传播常数k 为本 征值求本征波解就是求它的本征值与电场的偏振方向现将( 1 8 ) 式代入方程( 1 7 ) 可得 ( k k k 2 ，+ 碍0 e o = 0 ，( 1 1 0 ) 这个方程称为本征值方程【4 一，其中j 是二阶单位张量要使本征值方程( 1 1 0 ) 中e o 有 非零解，则其系数行列式必须等于零，因此我们有 d e t ( k k 一七2 ，+ 七；司= 0 ( 1 1 1 ) 1 2 各向异性介质中的本征波 岁= n 为方便起见，设g 印 办将波矢写为坐标分量的形式：k = e 。，七一+ e 矿b ，+ e 也， 其中叼，e l ，e 分别是沿坐标轴，矿和z 7 的单位矢量这样，在主轴坐标系下可将色 散方程( 1 1 1 ) 写为 磋印一磅，一磅 b ，k ， 也， k ，也， b ，k ：，l = 0 ( 1 1 3 ) 磋句一詹：，一镌，l 令k i k i = e 茁，c o s o f + e 可，c o s b + e z ，c o s 7 ，其中c o s 、c o s b 、c o s 7 为k k l 在主轴坐标系下 的的方向余弦，如图1 1 所示，有k 一= c c o s o r 、b ，= i f c o s f ，、k 。，= k c o s l , ，由此可将方程 图1 1k 在主轴做标系下的方向余弦a 、，y 分别是k 与、矿，z 轴的夹角 ( 1 1 3 ) 化为 寤k 2 一c o s 2 f l c 。s 2 7 c 。8 a c 。s pc 。s o i c o s 7 c 。s a c 。s p 餐掣，一c o s 2 q c o s 2 7 c o s c o s 7 c o s o l c o s 7c o s o c o s 鍪印一c o s 2 q c o s 2 ， 2 ： 七 脚磅彬 k 一也 耖 = 2 c 七 第1 章绪论 从上式可以解得一个关于k 的四次方程 其中， n 七4 + 6 后2 + c = 0 ， a = e z ，c o s 2 a + 掣，c o s 2 p + e 名，c o s 2 ，y ， b = ( e $ ，+ e 可，) e ：，c o s 2 ，y + ( e ，+ e z ，) f 掣，c o s 2 卢+ ( e | ，+ e z t ) e z ，c o s 2o c ， c= e $ 7 e l ，芒z ( 1 1 5 ) 上式包含了k 的四个解：七( ，后( ，( 3 ) 和七( 4 1 ，其中只有两个是相互独立的，即七( 1 ) = 一后( 3 1 ，蠡( 2 ) = 一后( 钔这两个独立的解为【9 】 枷：等 坦2 a产j ( 1 1 7 ) 其中j = 1 ，2 ，且k ( d 对应符号士中的+ 号，七( 2 ) 对应一号这两个解对应两个本征波的 本征值易知，后( 1 ) 南( 扪我们称以艮( 1 ) 传输的本征波为模1 波，以膏( 2 ) 传输的本征波 为模2 波由于詹( j ) = n u ) k c ，我们称n o ) 为孝h 应本征波的本征折射率( e i g e n i n d e x ) 4 由 于( 1 1 7 ) 式中每个模式的解均为传输方向k l k i 的方向余弦的函数，所以每个解在整个空 间构成一个四次曲面，这个曲面称为法线面( n o r m a ls u r f a c e ) 4 一，如图1 2 所示，它反应 ( a )( b ) 图1 2 双轴介质中两个本征波的法线面( a ) 为模1 波的法线面，( b ) 为模2 波的法线 面，( c ) 为两个法线面的组合为了使两个本征波的法线面能明显区别开，介质的主介电 常数取一= 4 ，e 掣，= 3 ，= 2 了本征波的本征值k 与传输方向的关系由图1 2 ( c ) 可见，两个曲面间有四个公共点，由 这四个公共点确定的两个方向为介质的光轴。光轴是一个特殊方向，我们将在后面介绍 易知，除了沿光轴方向外，其余方向均有两个不同的本征值岛 、，、j、j c 蓦 c g 1 i l 1 0 q 0 1 2 各向异性介质中的本征波 得到本征值后，为t 得到冥电场偏振方向，将( 1 1 7 ) 式代入方程( 1 1 0 ) , - - f 解得【4 j 嵩科一两c o s 坞，惫托，惫) ，m 埘 其中礓为归一化常数， 牡 ( 惫) 2 + ( 惫) 2 小煮) 2 r 由e 的偏振方向和材料的本构方程( 1 5 ) 可解得相应的电位移矢量d 的偏振方向，也称 为本征波的本征矢， 器= 晶啡，器+ 叼瑶托，溉) 朋， 其中喘为归一化常数， 啦 ( 卷) 2 + ( 舞) 2 小舞) 2 r 容易证明，d 廿d ( 0 2 ) = 0 ，即两个模式之间的电位移矢量相瓦垂直 对于沿同一方向k k i 传输的两个本征波，由方程( 1 4 c ) 可得v d o ) = k d 0 ) = 0 ， 所以d ( ，d ( 2 ) 垂直于k i k l 另外，从a ，时w e l l 方程( 1 4 ) 可得d ，e ，h 的关系为 啪) _ 一半高k xh ( 1 2 0 a ) c h 0 ) = n 川u ) k 可x 删( 1 2 0 b )p o cl k l 由上面两式可知，d ，h 0 ) 均与传输方向k k l 垂直而由( 1 1 8 ) 与( 1 1 9 ) 可知，一般情 况下e ( j ) 与d o ) 不重合，因此，本征波的波印廷矢量s ( j ) = e u ) h 0 ) + ( 符号a + 表示矢 量a 的共轭复数) 一般情况下与传输方向k k l 不重合另外，由于【7 】 v v e 。，= 七u ，。( e 。，一垦写击劣尝k u ，) = 七。，z e 望， c 1 2 1 ) 其中，e 望是垂直于k l k l 的电场分量，且由方程( 1 6 ) 可知，d u ) 平行于e 芏，所以，三 个矢量k l k l 、d o ) 和e o ) 共面上面所讨论的各矢量的关系如图1 3 所示f 1 0 1 1 2 2 本征波的正交性 下面我们证明各向异性介质中的本征波的传输是相互正交的，即存在正交关系( o r t h o g o n a l i t yr e l a t i o n ) 4 1 k ( e ( 1 ) h ( 2 ) ) ：0 ( 1 2 2 ) 第1 章绪论 图1 3 各向异性介质中每个模式的矢量k ，d ，e 和h 的关系 方程( 1 2 2 ) 意义沿k l k i 方向的两个模式的能量是不耦合的，电磁场的能流密度等于每个 本征波的能流密度的和利用洛伦兹互易定理可得f 4 】 k ( e ( 1 ) h ( 2 ) ) = k ( e ( 2 ) h ( 1 ) ) 将( 1 2 0 b ) 式代入上式可得 尝k 【e 1 ( k xe 2 ) = 尝k e 2 ( k e 1 ) 】 利用矢量运算关系式a ( b c ) = c ( a xb ) 可将上式化简为 n 眦( 2 ) ( k xe ( i ) ) ( kxe ( 2 ) ) = 岩( k e ( 2 ) ) ( kxe ( 1 ) ) 由于上式恒成立，且除了沿光轴外，均有n ( 1 ) n c 2 ) ，因此必有 k ( e ( 1 ) h ( 2 ) ) = k ( e ( 2 ) h ( 1 ) ) = 0 因此，沿同一方向传输的两个本征波是相互正交独立的 1 2 3 各向异性介质的光轴 ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 前面已经提到，两个本征波的法线面中共有四个公共点，这四个公共点确定了双轴 介质中光轴方向【1 一由于沿光轴传输时，有后( 1 ) = 七( 2 1 ，因此，从方程( 1 1 7 ) 可得 b 2 4 a c = 0 ( 1 2 7 ) 因为已假设勺 勺， 乞，利用c o s 2a + c o s 2 p + c o s 2 = 1 可将上式化为 扛z ，( e ! ，一e = ，) c o s 2 a 一2 ，( 2 ，一e y t ) c o s 27 】2 + e 2 ，( z ，一：，) 2c o s 4p + c o s 2 口 2 勺，( 岛，一2 ，) p ：，( 岛，一勺，) c o s 2 7 + 岛，( 钳一：，) c o s 2 0 ) = 0 ( 1 2 8 ) 1 2 各向异性介质中的本征波 由此可解得光轴的方向余弦( c 0 6c t 。，c o s 倪，c o s7 c ) 所满足的方程 c o s 恁= 0 ， 霉：譬掣_ - - t a l l 2 0 。c c o s 2 ( ￥c e z l ( ( z ，一e ，) ( 1 2 9 a ) ( 1 2 9 b ) 两个光轴的方向由上式确定：它们在z 7 一z 7 平面内，与z 7 轴的夹角分别为士q 。如图1 4 所示【l l | ，沿着光轴传输的两个本征波的本征值相等，其偏振方向是任意的【9 】 zl 、冬。 j 誊l 焱 1 i，?jij一，j 7 i ：轴，7 z l f 一 矿 k c 压 ( f 1 ) ( b ) z 厂。 弋一 0 ”i l ；f l 矗 、 | ? 沁t 、- ( c ) 图1 4 ( a ) 两个本征波的法线面在一z 7 平面的交线，两法线面的交点确定了光轴的方 向( b ) 和( c ) 分别为模1 本征波和模2 本征波的法线面与z 7 一z 7 平面的交线 的本征波解为了讨论的方便，设岛，= q = n ：，：，= n ：，其中，竹。+ n 。对应正单轴介 乞埘= ( 孳虽三) ， c t 3 0 ， ( 磋，+ 砖，+ 詹乡一2 r 2 儿 2 + 砖，) n ：+ ( 磅一走。2 ，- 。2 】= 0 ， ( 1 3 1 ) 磋，+ & ：，+ 多= 膏；n ： ( 1 3 2 a ) 警+ 兹k 2 叫2 ( 1 - 3 2 b ) 礼i。? 吃 “r 叫 第1 章绪论 ( 1 3 2 ) 式的两个方程分别对应不同的本征波，特别地，单轴介质中的两个本征波解分别称 为寻常光0 光和非寻常光e 光【1 】方程( 1 3 2 a ) 对应的本征波称为0 光从方程( 1 3 2 a ) 中 我们可解得其本征值为 知( 。) = k e n 。，( 1 3 3 ) 它与传输方向无关方程( 1 3 2 b ) 对应的本征波称为e 光从方程( 1 3 2 b ) 中可解得e 光的 波数为 删：一堕生坠一一 ；( 1 3 4 ) 【n ；( c o s 2 口+ c o s 2 p ) + 礼2 c o s 2 一y 】孝 它的大小由传输方向决定由色散方程( 1 3 2 ) 的表达式易知，o 光的法线面为球面，而e 光的法线面为椭球面【7 】，如图1 5 所示o 光与e 光的电场偏振方向可将其对应的本征值 ( a ) j e 中- 轴介质( b ) 负单轴介质 图1 5 两类单轴介质的法线面 代入( 1 1 8 ) 式得到对于。光，由( 1 1 8 ) 式可知，方向的电场分量为无穷大，而在 e 一上有限，其物理意义是该矢量始终在x 7 一矿平面内由洛必达法则可得 故其电场的偏振方向为 ( 1 3 5 ) 黑：- 一( 飞，c o s ? + e l ，c o s 毗 (136j 丽。一cos2,1+cos2fl【_ez e l ，咖a ) 6 j 从本构方程( 1 5 ) 可知，d ( 。) = e o n 2 0 e ( 。) ，所以0 光的d ( 。) 与e ( d ) 具有相同方向对于e 光，将后( 。) 代入( 1 1 8 ) 式可得e 光的电场偏振方向为 罱= 掣( e z , c o s o t + e y , c o s m 器篙2 2c o s l ) ， 3 7 ， 8 - 竺| ； 糕 1 2 各向异性介质中的本征波 式中，归一化常数畦为 掣= 0 的半空间传输的本征波o 光与e 光分别为 e ( d )= e 乎e x p i k 上，- r 上，+ z ( 舟( d ) 2 一忌主，) 1 2 1 兰e 3 0 e x p ( i k 上，r 上，+ t 南乡z ) ， e ( e ) = e 乎e x p i k 上，r 上，+ i z ( k ( e ) 2 一南i ，) 1 2 】 三e 乎e x p ( i k 上，r 上，+ i 七多z ) ， 2 3 - ( 1 9 7 ) ( 1 9 8 ) ( 1 9 9 ) ( 1 1 0 0 ) 第1 章绪论 上式中，r 上，= 一，+ 矿e l ，k 上，= 也，e 。，+ b e 矿，且由( 1 3 7 ) 式可知，e ( o o ) 和e 乎可写为 e 驴= e 护( 一b ，e + k z e 矿) ， 掣= 掣k x , e x , + k u , 一莲争) 由此，精介质中的光束卅表不为 e ( r z ) = d l c 上，【e 妒e x p ( i l 【r r r + i k 。) z ) + e 3 e ) e x p ( i k 上，r 上，+ 啦：c e ，) z ) 】 兰 e ( 。) ( r 上，z ) + e ( 8 ) ( r 上，z ) ( 1 1 0 1 ) 上式给出了光束的矢量的积分表达式对于z ，0 输入场e ( r z ，o ) ，通过傅里叶变换 e ( k 上，) = 西1 乎d r 上，e x p ( 一i k 上，r 上，) e ( r 上，。) ( 1 1 0 2 ) 可得 础，= 一面i 【b ，墨，( k 上，) _ ，岛，( k “ 剐，= 面1 盼玩，( k 上，) + b ，岛，( k 上，) 】( 1 1 0 3 ) 上式中只包含输入场的横电场分量础，将( 1 1 0 3 ) 代入( 1 1 0 1 ) ，将南箩对硌作泰勒展 开并保留到二阶可得 e 桫( 7 ) = 刚力m 一( t 一蕞z ) p o e ( 虹) 兰e x p ( i k c n o z ) a 譬( r 上，o ) ， ( 1 1 0 4 a ) e 箩( k 上，z ) = 0 ， ( 1 1 0 4 b ) e 譬( r 上，) = 唧( t k n 。柏d r 上，e x p ( i l c 上，r 上，一霹i n o k j , z ) p 。e ( - q ，) 三e x p ( i k 。n 。z 7 ) a 譬( r 上，o ) ， ( 1 1 0 4 c ) e 妒( w 7 ) 2e x p ( 如n o z t ) ( 穗) m ，e x p ( t m ，一蕊i n o k 2 , z ，) p 。倒b ， 可见，只要给出输入场，则由输入场激发的0 光束和e 光束在介质中的传输就可有上式 确定上式中，张量p o 与p 。分别为 耻专( 一毛一警) ，耻乏1 ( k 2 , 矿南x 磅, k ) ， 蛐， 1 3 各向异性介质中的光束传输的研究进展 奄3 毒轴 心埒 小堙 e 笛 o 毒 鸭 秭 一j 、二 图1 1 4 初始输入为沿一方向线偏振的圆高斯光束，同时激发两个模式的光束：( a ) 为口 光束，( b ) 为e 光束( c ) ( d ) 分别为0 光束和e 光束在两个瑞利距离处的衍射图样 且p 。与p 。满足正交完备性：p o = = p 。，p 2 = p 。、p 。+ p 。= l 、p d p 。= 1 ，因此他们 能够将初始输入场e ( k 上，) 中的o 光与e 光的成分分离出来；a 3 ，、a s ，和a ! ，均表示慢 变包络，而从式中可见，0 光束与e 光束的快变因子均为e x p i ( w c ) n 。z ，】，这是因为沿光轴 方向有= 蜷在得到( 1 1 0 4 ) 式的过程中，只作了对波数后u ) 的泰勒展开近似，因此 ( 1 1 0 4 ) 式的积分表达式中个本征波均含有精确的偏振态在对( 1 1 0 4 ) 式进行些数学处 理后可得0 光束与e 光束的傍轴光束方程 ( i 刍+ 甄1v 主，) a - o ， ( z 昌+ 獗n gv 主，) a 譬一o ， 2 5 ( 1 1 0 6 a ) ， o；jr 绀；j 第1 章绪论 式甲，v i ，= ，e x ，+ ，e ! ，初媚牺人甲所管盯母个俣瓦日可分重力 鳓u = 磊1 虮蚓”i ( 一苏一) 嘶哦研a ， 诎，0 ) = 磊1 毗蚓吨”l ( 嚣譬) 耻o ) ( 1 埘h 方程( 1 1 0 6 ) 和( 1 1 0 7 ) 式就是矢量的傍轴光束方程，图1 1 4 为利用该方程对线偏振的圆 高斯光束在束腰输入时的解析解的结果【2 2 | 可见，输入场同时激发出两个模式的光束， 日均不县中。r ) 对称的 1 4 本章小结 本章主要讲了各项异性介质的本征波和光束方程的研究进展两部分内容： (