（应用数学专业论文）k（nn2n）方程的行波解及其动力学性质的分析.pdf

摘要 本文利用动力系统分支理论和定性理论研究了k ( n ，一住，2 n ) 方程的行波解及 其动力学性质文中结合可积系统的特点，得到系统的孤立行波解，不可数无穷多 光滑周期行波解和不光滑行波解；并根据行波与相轨线之闻的关系，揭示了不同类 型的行波解间的转变与参数变化的关系，且给出了不同行波解间相互转换的参数分 支值，从根本上解释了。c o m p a c t o n ”和。p e a k o n 。产生的原因文章最后还给出了系 统的部分显示行波解并借助于行波解动力学性质对这些解进行取舍。指出些精确 的显示解可能会给出些错误的信息，因此在求解精确的显示行波解前理解该行波 解的动力学行为是非常必要的并通过数值模拟验证了所得的结论 关键词行波解；孤立波；周期波 失浇光滑波；分支理论；k ( n ，一n ，2 n ) 方程；k ( m ，n ) 方程 a b s t r a c t b yu s i n gt h eb i f u r c a t i o nt h e o r yo f d y n a m i c a ls y s t e m sa n dq u a l i t a t i v et h e o r y , t h i sp a - p e rp r e s e n t st h ed y n a m i c a lb e h a v i o ra n dt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n so fk ( n ，一m2 n ) e q u a - t i o n b a s e do nc h a r a c t e r so fa ni n t e g r a ls y s t e m ，t h ep a p e ro b t a i n si t ss o l i t a r yw a v es o l u - t i o n sa n du n c o u n t a b l ei n f i n i t es m o o t ha n dn o n - s m o o t hp e r i o d i cw a v es o l u t i o n s t h ep a p e r d e m o n s t r a t e st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc h a n g e so fp a r a m e t e r sa n dt r a n s i t i o no fd i f f e r e n t t y p e so f t r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s i na d d i t i o n , t h eb i f u r c a t i o nv a l u e so fd i f f e r e n tt r a v e l i n g w a v es o l u t i o na r eg i v e n t h ep a p e rf u r t h e re x p l a i n sw h y c o m p a c t o n a n d p e a k o n a p - p e a r f i n a l l y , s o m ee x p l i c i tt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sa r ca l s og i v e n w i 也t h eh e l po f t h e d y n a m i c a lt h e o r y , s o m em i s t a k e sf r o mt h ee x a c te x p l i c i ts o l u t i o n sa r cf o u n d t h e r e f 0 陀， i ti sv e r yn e c e s s a r yt ou n d e r s t a n dt h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s a tl a s t , t h ec o r r e c t n e s so fc o n c l u s i o n sa 他t e s t e db yt h eu s eo fn u r n e r i c a ls i m u l a t i o n k e y w o r d st r a v e l i n gw a v e ；s o l i t a r yw a v e ；p e r i o d i cw a v e ；c u s pw a v e ；s m o o t h n e s so f w a v e ；b i f u r c a t i o nt h e o r yo fd y n a m i c a ls y s t e m s ；k ( n ，一n ，2 n ) e q u a t i o n ；k ( m ，罪) e q u a - t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外 本论文不包含其他个人已经发表或撰写的 研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的说 明并表示谢意 作者签名：盔迭l 吱 日期：型! ：- 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：缸劐矗导师签名：兰过 第一章引言 1 1 背景 2 0 世纪7 0 年化非线性科学成为一门重要的前沿学科，也由此成为当今的重大 研究课题而孤波c 疋称孤子孤立子；孤立波) 研究又是非线性科学的热点问题18 3 4 年8 月，英国工程师s c o t tr u s s e l l 首先发现了孤立波的现象后来在其他的领域也发 现了它的存在性从而人们越来越认识到研究孤波的重要性不过近年来，人们已在 更广泛的意义下理解孤漉把它理解为非线性发展方程的局部化的行波解近3 0 年 来，孤波理论取得了很大的发展，许多领域中的孤波方程相继被建立 目前已经有许多文章对非线性发展方程的精确孤波解的求解问题做了研充如 文献【1 1 2 微分方程的精确求解问题是数学物理的重要课题之；一直受到数学和 物理学界的关注近年来人们建立了求解非线性偏微分方程的许多直接方法，如逆 散射方法、h i m m 双线性法、d a r b o u x 变换法、b a c k l u n d 变换法、齐次平衡法、t a n h 法等等但如何理解精确解的动力学行为；精确行波解如何依赖于系统的参数；行波 解的光滑性为什么会改变；怎么理解 c o m p a c t o n ”解和 p e a k o n ”解 这些都是非常重 要而且值得去研究的问题近年来，这些问题得到了很大的发展 1 8 9 5 年由荷兰数学家科特韦格和德弗里斯共同发现的一种偏微分方程， 饥+ n t + 地嚣= 0 该方程称为k d v 方程它是许多不同物理系统中出现的弱非线性色散介质中长波 传播的重要的模型方程，其孤波解在量子场论、等离子物理及固态物理中有着广泛 的应用对于此类方程，不少文章都对它的孤波解进行了研究：在文献【1 2 】中，作者 对如下两种特殊的k d v 方程一可积的k a d o m t s e y - p e t v i a s h i v i i l i ( k p ) 方程和不可积 的z a k h a f o v - k u z n e t s o v ( z k ) 方程分别进行了研究： 啦+ 口t + 王霉 霉+ 七= 0 ， 恤+ 口u t 工毒+ ( v 2 u ) 霉= 0 华东师范大学硕士论文k ( n ，一扎，2 n ) 方程的行波解及其动力学性质的分析 其中，v 2 = 理+ 骘+ 砖为拉普拉斯算予 2 0 0 3 年，a m w a z w a z a 一5 1 研究了如下形式的k n ) 和k p 方程： t t + a u ( u n k + 6 阻( u n ) 霉k = 0 ，( 4 ) 魄+ 傩( 矿k + 6 【缸( 矿) 嚣】善k + v b , = 0 ( 5 ) 其中n 0 n21 且v i t = 警霹+ 继墨k h ! 幽舻z ，七= 2 ，3 文献f 3 - 5 】主要通过三角函数法，计算并发现( 4 ) 、( 5 ) 中的精确行波解而在文 献【7 - 1 2 】申，作者利用动力系统分支理论【1 6 一1 9 1 对一些微分方程方程进行分析，得到 系统的孤立行波解不可数无穷多光滑周期行波解和不光滑行波解等案并揭示了随 着参数的改变时，不同类型的行波解间的相互转变关系在这些模型的定性分析中， 动力学理论扮演了非常重要的角色通常在这些偏微分方程所对应的行波系统中，存 在条非奇异直线( 或曲面) 使得行波系统右边不连续在文献【1 3 - 1 4 】中，首次提出 相图中的奇直线能产生各种各样的奇异波( 即c o m p a c t o n s ，尖波，周期尖波，破缺波等 等) ；文献【1 5 】首次利用动力系统的变换技巧，该方法利用动力学的分支理论进行更 精确的研究并利用目前的分析知识加以证明 2 0 0 5 年，a m w a z w a z l e 在文献降5 】基础上对g ( n ，7 1 ) 方程作进步研究在文 中对如下形式的k ( n ，一礼，2 n ) 和k ( n ，2 n ，一凡) 方程进行了研充 饥+ o ( 矿k + b u nun ) 铭】z = 0 ，( 6 ) t i + a ( t | n ) + 6 垆( t 一n ) 船】霉= 0 1 2 本文主要工作 文献【6 】主要通过s i n c o s i n e 和t a n h 方法给出了k ( n ，一n ，2 n ) 方程一组精 确行波解，并计算发现该方程中紧的色散结构本文是在文献【6 】的基础_ k 3 t t 行进一 步研充运用动力系统分支方法来研究g ( n ，一n ，2 n ) 方程的行波铱得到了精确行波 解，这些解包括了【6 】6 中的结论本文还借助于行波解的动力学性质对这些解进行取 舍，揭示了在求解精确的显式行波解前理解该行波解的动力学性质是非常必要的文 中还结合可积系统的特点，得到系统的孤立行波解 破缺漉不可数无穷多光滑周期 2 华东师范大学硕士论文k ( n ，一n ，2 n ) 方程的行波解及其动力学性质的分析 行波解和不光滑行波解再根据行波与相轨道之间的关系，揭示了由参数变化所引 起的不同类型的行波解间的转变关系，且给出了不同行波解间相互转换的参数分支 值文章还对( 礼，一n ，2 n ) 方程其它形式的行波解的走向作出具体的判断 具体的说本文分为两章：第一章主要介绍k d v 方程的些背景和研究成果；第 二章是本文的主要结论，它分为三个部分，第部分主要讨论与k ( n ，一2 n ) 方程具 有相同拓扑结构的多项式系统在参数空间上的分支和相图；第二部分对奇直线附近 的相轨线进行分析并结合前面的相轨图给出k ( n ，一n ，轨) 方程所具有的不同形态 的行波解，以及在分支曲线附近不同形态的行波解的变化关系；第三部分给出了系统 的部分显示行波解并借助于动力学性质对这些解进行取舍，指出一些显示解会给出 一些错误的信息并通过数值模拟验证结论的正确性 3 第二章k ( 佗，一礼，2 佗) 方程的行波解及其动力学性质的分析 考虑( n ，一n ，2 n ) 系统 t i t + a ( u 住k + b u 咱( 舻) 站】霉= 0 ，( 1 1 ) 其中a ，b 为非零常数；n 为大于l 的自然数 令u ( x ，t ) = 妒( ) ，其中f = z a t ，将其代入( 1 1 ) 式得 一入妒+ ( a 0 时： 通过对上面系统分析可知：在( c ，g ) 参数空间上 有4 条分支衄线l ：g = 等，c 0 ( c 0 ( c 0 时， 系统( 2 2 ) 的分支曲线 图2 2 ：当n = 2 ，七 0 的情况 ( a ) 若( c ，g ) a 1 ，系统( 2 2 ) 无平衡点 ( b ) 若( c ，g ) 计，系统( 2 2 ) 在妒轴有一2 重平衡点( d o u b l ee q u i l i b r i u m ( c u s p ) ) ( c ) 若( c ，g ) b 1 ，系统( 2 2 ) 有两个平衡点( ，o ) ，且 ，( 妒一，0 ) 0 ( 中，曲特别地当c 2 一磐9 0 时，飓( 蛾0 ) = 0 有三个根磊， i ：1 ，2 ，3 ，其中两：o ，磊：垡三磐，函：旦! 竺孕，并满足关系 式：0 妒一 西 妒+ o ( 中，国而由飓( 妒，可) = 0 所定义的曲线为耖轴和过点( 0 ，0 ) 的椭圆，具体 图象见图4 1 ( 1 ) ( e ) 若( c ，夕) q ，系统( 2 2 ) 在妒轴上有两个平衡点( 啦，o ) ，而这两个平衡点都 是中心；在轴上也有两个平衡点( 0 ，姓) ，而系统( 2 2 ) 所对应的线性系统在 这两个平衡点处的系数矩阵是 ( 4 一五士) ， 故这两个平衡点是鞍点，且有关系式西 q o 一 0 0 吨系统( 2 2 ) 的分支图 ( 2 ) 当k o ( c o ( c 0 ( c 0 的情况， 可得 ( a ) 若( c ，9 ) a 2 ，系统( 2 2 ) 在妒轴无平衡点；在轴上有两个平衡点( 0 ，姓) ， 与1 1 , = 2 ，詹 0 时情形( e ) 一样，这两个平衡点都是鞍点 ( ”若( c ，夕) 计，系统( 2 2 ) 在妒轴上一2 重平衡点( c u s p ) ；在y 轴上有两个平 衡点( 0 ，姓) ，且这两个平衡点都是鞍点而曲线岛( 妒，可) = 0 与妒轴无交点 ( c ) 若( c ，夕) 岛，系统( 2 2 ) 在妒轴有两个平衡点( 啦，o ) ，且j ( 妒一，0 ) 0 ( 中 - ，j ( 妒+ ，0 ) 0 ( 中 一曲，j ( 妒+ ，0 ) o ( 中 - 曲，j ( 妒+ ，0 ) o ( 鞍点) ；在轴上有两个平衡点( 0 ，姓) ，这两个平衡点都是 鞍点而曲线凰( 妒，秒) = 0 与妒正半轴有两个交点( 西，o ) ，( 磊，o ) ，且有关系 式0 妒一 磊 妒+ 磊证明见附【a 】 若( c ，夕) 聪，系统( 2 2 ) 只有一个平衡点( 妒+ ，o ) ，且j ( 妒+ ，0 ) o ( 鞍点) 而 由h 2 ( 妒，y ) = 0 所定义的轨线为妒轴和条双曲线该曲线中心在( 等，0 ) 处， 焦点在妒轴匕耳过点( 0 ，o ) ，具体图象见图4 1 0 ) ( 曲若( c ，夕) d 2 ，系统( 2 2 ) 只在妒轴上有两个平衡点( ，o ) ，两者都是鞍点 在y 轴上无平衡点 综上所述，易知当j i 0 ( c 0 ( 中，已i ) ，且在g ，轴上无平衡点 ( b ) 若( c ，9 ) 砧，忍( 9 ) 有三个实棍由韦达定理知，妒l 0 吨 系统( 2 4 ) 的分支曲线 图2 6 ：当，l = 3 , k 0 盹 系统( 2 4 ) 的分支曲线 ( c ) 若( c ，9 ) b 3 ，易( 妒) 有三个不同的实根，并满足：妒l 0 0 时，在( 9 ，c ) 参数空间的各个区域上 系统( 2 4 ) 有如图2 7 所示的拓 扑相图 ( 2 ) 当后 o ( c o ) ；砖：9 = 士臻；砖：g = 士铬这6 条分支曲线将( c ，夕) 面分为a 4 ，鼠，q ，d 4 ，甄，只， 六个区域( 见圈2 6 ) 同样这里只讨论g 0 的情况 ( a ) 若k 9 ) a ，系统( 2 4 ) 在9 轴只有个平衡点( 仇，o ) ，且j ( 妒l ，o ) ) o ( 鞍 点) 而在y 轴上无平衡点 若( c ，g ) 醋，殇( ) 有三个实零点，由韦达定理可知，妒l 0 忱= 妒3 ， 且j ( 妒1 ，0 ) o ( 鞍点) ，( 妒2 ，o ) 为尖点( c u s p ) ，且系统( 2 4 ) 在y 轴上无平衡点 1 0 华东师范大学硕士论文( n ，一n ，2 n ) 方程的行波解及其动力学性质的分析 ( c ) 若( c ，g ) b 4 ，系统( 2 4 ) 只在妒轴有三个平衡点，并有关系式：g o l 0 妒2 ，其中t ，( 妒1 ，0 ) 0 ( 中心) ，( 协，0 ) 0 时 系统( 2 4 ) 的分支图 ( d ) 若( c ，9 ) 聪，系统( 2 4 ) 在妒轴有三个平衡点( 妒1 ，o ) ，( 仇，o ) ，( 妒3 ，o ) ，并有 关系式：妒1 0 仇 妒3 ，j ( 妒1 ，0 ) 0 ( 中一曲，j ( 伽，0 ) o ( 鞍点) ，且 h s = 0 ，由此可知，当h ( 如，h s ) 时 由日3 ( 妒，箩) = h 定义 了系统( 2 1 ) 的族闭轨 ( e ) 若( c ，夕) q ，系统( 2 4 ) 在妒轴有三个平衡点，( 妒l ，0 ) 为鞍点，( 仇，0 ) 为中 心( 伽，0 ) 为鞍点并有关系式：妒l 0 仇 镪，k 0 h s ，则当 ( k ，0 ) 时，由矾( 功= 定义了系统( 2 1 ) 的族闭轨；当h ( 0 ，h s ) 时， 由上b ，暂) = h 定义了系统( 2 1 ) 的族开轨线 若( c ，g ) 妄，系统( 2 4 ) 的两个平衡点为( 士，o ) ，两者都为鞍点 ( g ) 若( c ，9 ) 坛，系统( 2 4 ) 只在y 轴上有两个平衡点( 0 ，士1 l 务) ，且都是鞍点 综上所述，易知当七= 2 l ( f ) 时 在( c ，夕) 参数空间上，有4 条分支曲线砖：9 = o ，c 0 ( c 的情况 1 2 华东师范大学硕士论文k ( n ，一7 l ，2 n ) 方程的行波解及其动力学性质的分析 图2 9 ：当n = 2 1 ，k 0 日寸 系统( 2 1 ) 的分支曲线 图2 1 0 ：当n = 2 1 ，k 0 时， 系统( 2 1 ) 的分支曲线 ( a ) 若( c ，g ) a s ，系统( 2 1 ) 无平衡息 ( b ) 若( c ，夕) 聪，系统( 2 1 ) 在p 轴有一2 重平衡点( c u s p ) ( c ) 若( c ，夕) b 5 ，系统( 2 1 ) 有两个不同的平衡点( 妒：，o ) ，( 妒：，o ) ，由韦达定理可 知：0 d 戎，且j ( 西，0 ) o ( 中一曲 ( d ) 若( c ，9 ) 聪，系统( 2 1 ) 只有个平衡点( 戎，o ) ( 中一 ( e ) 若( c ，g ) c 5 ，系统( 2 1 ) 只在妒轴上有两个平衡点( 科，o ) ，( 磊，o ) 由韦达 定理可知：访 0 时，系统( 2 1 ) 的分支图 1 3 华东师范大学硕士论文 k ( n ，一i t ，2 n ) 方程的行波解及其动力学性质的分析 ( 2 ) 当k 1 ) 时： 在( c ，9 ) 参数空间上有6 条分支曲线孛：c = 士2 z ( 矗) 祭；己手：c = 士( 6 f + 1 ) ( 砸岛) 2 铲；l 手：g = o ，c 0 ( c 0 的情况 ( a ) 若( c ，g ) a 6 ，系统( 2 1 ) 无平衡点 ( b ) 若( c ，g ) 甜，系统( 2 1 ) 在妒轴上双重平衡点( c u s p ) ，且该平衡点的横坐 标是大于零的 ( c ) 若( c ，g ) b 8 ，系统( 2 1 ) 有两个平衡点( 妒：，o ) ，( 矗，o ) ，并有关系式：o 妒： o ( 中- ，( 妒：，0 ) o ( 鞍点) 而且由定理l 知，轨 线日n ( 妒，y ) = 如与妒正半轴另个交点在0 和讲之间 ( d ) 若( c ，g ) 睇，系统( 2 1 ) 有两个平衡点( 秭，o ) ，( 戎，o ) ，其中( 妒：，0 ) 为中心， ( 磊，0 ) 为鞍点，且疋= 0 ，则当h ( ：，如) 时，由风( 妒，y ) = h 定义了系 统( 2 1 ) 的族闭轨 ( e ) 若( c ，g ) 岛，系统( 2 1 ) 有两个平衡点( 矗，0 ) 为中心，( 区，0 ) 为鞍点，且啊 0 如，则当h ( 啊，0 ) 时，由王k ( 妒，y ) = h 定义了系统( 2 1 ) 的族闭轨； 当h ( 0 ，砖) 吨由风( 妒，y ) = h 定义了系统( 2 1 ) 的族开轨线 ( f ) 若( c ，夕) 聪，系统( 2 1 ) 只有个平衡点( 疋，o ) ，该点为鞍点 ( g ) 若( c ，g ) d e ，系统( 2 1 ) 有两个平衡点( 矗，o ) ，( 菇，o ) ，并有关系式：矗 0 戎，且这两个平衡点都是鞍点 故当七 0 ( c 0h 寸 系统( 2 1 ) 的分支曲线 图2 1 4 ：当n = 2 1 + 1 ，k 0 日寸， 系统( 2 1 ) 的分支曲线 由于分支曲线关于c 轴对称 这里只讨论g 0 的情况 ( a ) 若( c ，g ) a 7 ，系统( 2 1 ) 只有个平衡点( 矗，o ) 由韦达定理知，片 o ( 中曲 ( b ) 若( c ，g ) 酷，系统( 2 1 ) 有三个平衡点( 访，o ) ，i = 1 ，2 ，3 ，并满足衍 0 戎= 磊其中( 矗，0 ) 为中心，( 妒幺0 ) 为尖点 1 5 华东师范大学硕士论文 一 笪( 几，一n ，2 佗) 方程的行波解及其动力学性质的分析 ( c ) 若( c ，鳓b 7 ，系统( 2 1 ) 有三个平衡点( 矗，o ) ，i = 1 ，2 ，3 并满足妒： 0 访 戎其中( 访，0 ) 为中一b ( 垆：，0 ) 为鞍点，( 文，0 ) 为中心 ( d ) 若( c ，g ) 聪，系统( 2 1 ) 有两个平衡点( 妒0 0 ) ，( 说，o ) ，它们都是中心，并 且“ 0 时 系统( 2 1 ) 的分支图 ( 4 ) 当七 0 ( c 0 知：既( 妒) 只有个实根妒：，且妒： 0 j ( 妒：，0 ) 0 则( 衍，o ) 为系统( 2 1 ) 的鞍点 嘞若( c ，g ) l 手，则风( 妒) 有三个实根，且它们满足关系：妒： 0 矗= 妒：， 其中( 访，0 ) 为鞍点，( 戎，0 ) 为尖点 1 6 华东师范大学硕士论文 ( n ，一n ，2 n ) 方程的行波解及其动力学性质的分析 ( c ) 若( c ，9 ) b s ，系统( 2 1 ) 只在妒轴有三个平衡点，并有关系：妒： 0 玩 妒0 其中( 妒：，0 ) 为鞍点，( 妒：，0 ) 为中心( 蟊，0 ) 为鞍点由定理1 知，轨 线风( 妒，! ，) = 以与妒轴的正半轴另个交点在0 和菇之间 ( d ) 若( c ，夕) e 砧，系统( 2 1 ) 在妒轴有三个平衡点：( 妒：，0 ) 为鞍点，( 妒：，0 ) 为中 心，( 矗，0 ) 为鞍点，并有关系：如 砖= 0 ( c ) 若( c ，9 ) g ，系统( 2 1 ) 在妒轴有三个平衡点：( 妒：，0 ) 为鞍点，( 区，0 ) 为中 心，( 矗，0 ) 为鞍点，并有关系式：吃 0 碡 固若( c ，夕) e 聪，系统( 2 。1 ) 仅有两个平衡点( - 4 - 妒o ，o ) ，都是鞍点 ( g ) 若( c ，夕) e 菇，系统( 2 1 ) 无平衡点 综匕所述，当忌 o 当 增大或减小时， ( f ) ，| ( ) ) 沿着轨道，y 趋于( 0 ，士乃 例y = 0 ，当f 增大或减小时( 妒 ) ，y ( f ) ) 沿着轨道7 趋于( 0 ，o ) ，即轨道，y 与y 轴 相交于点( 0 ，o ) 1 9 华东师范大学硕士论文k ( n ，一佗，2 佗) 方程的行波解及其动力学性质的分析 纠当f 增大或减小时，( 妒 ) ，y 健) ) 沿着轨道7 趋于奇异直线q o = 0 ，且l i m 归dm = 0 0 则一定存在某个有限敷弓使得峨妒( ) = 0 2 2 2 光滑( 不光滑 的孤立波和周期波的存在性 当系统( 2 。1 ) 的轨线远离奇异直线妒= 0 时系统( 1 2 ) 的解对f 是光滑的，且 系统( 2 1 ) 的光滑同宿轨对应于系统( 1 1 ) 的两种孤立波：峰形波( p e a kf o r m ) 和谷形 波( v a l l e yf o r m ) 即若加( ) 是过鞍点( 仇，0 ) 且包含中心( 仇，0 ) 的同宿轨当q o c q o o 时伽( f ) 是峰形孤立波；当 0 时下列结论成立? 倒若珂为偶数且0 ，c ) 岛绒b n 则系统( 1 1 ) 有一族光滑的周期行波解风( 9 ，影) = h , h ( h c ，h o ) ，并由月( q o ，v ) = h ，定义了系统( 1 1 ) 的一个光滑的峰形孤立波； 若( 9 ，c ) d 5 绒d o ，则系统( 1 1 ) 有一族光滑的周期行波解巩( 妒，y ) = k h ( h c ，h 。) ，并由凰( 仍y ) = h 。定义了系统( 1 1 ) 的一个光滑的谷形孤立沌 渤若刀为奇数且( 9 ，c ) 岛线b 3 ) ，则系统( 1 1 ) 有两族周期行波解和一个光滑的 峰形孤立沌并由风( 妒，箩) = 髓h ( h c ，h ，) 给出了系统( 1 1 ) 的一族光滑的周 期行波解，其中风( 妒，3 ，) = h 。定义了系统( 1 1 ) 的一个光滑的峰形孤立站而 由巩( 妒，弘) = kh ( 疋，0 ) 所给出的另一族周期行波解会随着h 趋于d 而失去 其光滑性变成周期尖波盼若( 9 ，c ) 岛绒例，则系统( 1 1 ) 有两族周期行波解 和一个光滑的谷形孤立洗由z k ( 妒，秒) = 毛矗( 疋，) 给出了系统( 1 1 ) 的一族 光滑的周期行波解，其中风( 妒，可) = h 。定义了系统( 1 1 ) 的一个光滑的谷形孤 立慰由巩( 妒，暑f ) = l ，h ( h c ，0 ) 所给出的另一族周期行波解会随着h 趋于d 而失去其光滑性变成周期尖波解这里( 说，o ) 是系统( 2 1 ) 的另一个平衡点，且 满足关系戎 0 时 有 = 士豢( 熹一 ( 4 1 ) 将( 4 1 ) 代入( 1 2 ) 的第个方程中，两边积分可知：满足初始条件妒( o ) = o 与妒( o ) = ( 器) 击的解为 2 妒孚亡 不了甜咖专2 ， 、赢再 华东师范大学硕士论文 k ( n ，一n ，2 n ) 方程的行波解及其动力学性质的分析 l y n 0u 妒 l # 2 j k o ( i ) ， 7 矿 萨2 j k 0 2 ) 7 。妒 l f 3 j k 3 。k 0 3 ) ， jl 。、i 厂- j y 1 i n = 2 1 ) 3 ，k 3 k ( 0 8 ) 2 妒t， i 玎眦0 0 6 专需2 v3 n + l l i p 可得到文献【6 】中 c o m p a c t o n s 毹 u ( 列) = 妒x - 入) = 彘甜【百n - 1 娠( z 一入啪击， ( 4 2 ) 呛= 出一m = 熹磷【百n - 1 嘱z 一州】击 ( 4 3 ) 其中七，c 入定义同上 同理。当七 0 时， 若n = 2 ，则由( 4 2 ) 知u ( x ，t ) = 等s i n 2 【等 一她) 1 ，由( 4 3 ) 知u ( z ，t ) = 丝7c 0 6 2 【譬0 一沁) 】这两个都是周期为丧的周期觫且都与图4 1 0 ) 中的卵行 线相吻合 若n = 3 时 与图4 1 ( 2 ) 中的两拱行轨线相吻合的解为 移k 幻= 4 - 、警c o s ( 譬。一) z a te 【o ，杀】 ( 4 6 ) ( 4 6 ) 式是( 4 3 ) 式当几= 3 时的结果且由定理2 可知，( 4 6 ) 式定义了系统( 1 1 ) 的两个周期尖波 当n = 2 1 ，2 2 时，图4 1 ( 3 ) 中只有个开轨道，该轨道方程即为( 4 3 ) ； 当n = 2 1 + 1 ，z 2 时，图4 1 ( 4 ) 中两个开轨道的方程由( 4 3 ) 所决定，此时( z a ) 【o ，南) 当n 3 时 由方程( 4 2 ) 所定义的曲线不对应以( 妒，可) = 0 的任一实轨因此该解无意义 ( b ) 当k 2 ，方程( 4 5 ) 对应于图4 1 ( 7 ) 中过点( 仇，0 ) 的开轨绲但该 解还是无界行波解 i i ) 若n = 2 1 + 1 ，l 2 ，方程( 4 5 ) 对应于图4 1 ( 6 ) ，( 8 ) 中过点( 士，0 ) 的两 开轨线但这两个解也都是方程( 1 1 ) 的无界行波解 而当n23 时，由( 3 4 ) 所决定的曲线不对应于 k ( 妒，y ) = 0 的任一实钆故 该解无意义 华东师范大学硕士论文k ( n ，一n ，2 礼) 方程的行波解及其动力学性质的分析 综上可知，由( 4 2 ) 所定义的 c o m p a c t o n s ”是无意义的；而由( 4 3 ) 所定 义 c o m p a c t o n s ”只有当n 为奇数时，( z 一她) 才有区间限制；由( 4 4 ) ，( 4 5 ) 所 定义的解也并非是“s o l i t a r yp a t t e r n s 因j 也在求解精确的显式行波解前理解该 行波解的动力学性质是非常必要的 2 3 2 夕0 时，由水平集 k ( 妒，耖) = 0 所确定的行波解 本节主要考虑当夕0 h 寸，由水平集三k ( 妒，箩) = 0 所确定具体波解。 孤立尖波 ， 若7 l = 2 ，七 0 ，( 夕，c ) 聪，由4 1 知，系统( 1 1 ) 也有两个周期尖浇其表达 式为 一 一 绯) = 士、警c 锵譬 ，f 卜孺3 z ，罴】 2 7 华东师范大学硕士论= 塞= 一 丝( n ，垫2 n ) 方程的行遮堡壁基塑塑堂丝重丝坌堑 此吨周期尖波的周期为t s = 丽6 z 破碎波 设n = 3 ，后 0 ，( g ，c ) c 4 ( 或d 4 ) 不失一般性令( 9 ，