（光学专业论文）非均匀波的反射与透射研究.pdf

、 s t u d y o nt h e i s u b m i t t e p r o f e s s o rz h u a n g qic a o 一一 d e p a r t m e n to fp h y s i c s ，s c h o o lo f s c i e n c e s h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y m a y ，2 0 0 9 l 1 学位论文作者签名： 日期：融1 年扫厂月。宫日 气 l i i 上海交通大学学位论文答辩决议书 所在 姓名粟鹏义 学号0 0 2 0 7 0 2 0 1 9光学， 学科 ：矗 答辩 答辩 指导教师曹庄琪2 。dc f 一彳二l 物理楼五楼会议室 日期地点 论文题目非均匀波的反射与透射研究 投票表决结果： f 亏f ( 同意票数实到委员数应到委员数)答辩结论：疏过 口未通过 评语和决议： ， 填 徘 风劲0 7 年r 月1 日 职务姓名职称单位 签名 主席程兆谷研究员上海光机所 倒钦 答 _ 秘 辩 委员 丁良恩教授华东师范大学 委 委员 徐雷 教授 复旦大学 瓤一八 贝 一獭 厶 委员 陈险峰教授上海交通大学矗 成 撵凝 贝 委员詹黎教授 上海交通大学 i 签 委员 名 委员 秘书胡晓讲师上海交通大学饼盹 上海交通大学博士学位论文 摘要 在每层的厚度足够小而层数足够多的情况下，折射率连续改变的 介质实质上相当于由许多层折射率均匀的薄膜堆积而成，可以采用解 析转移矩阵方法代替数值计算来精确确定非均匀介质的反射系数。通 过定义总波数，其包括了在折射率连续变化的介质中传播的主波和子 波的累计贡献，最终在没有引入任何近似的情况下得到了非常简洁的 常规形式的公式，且具有清晰的物理意义。 所得公式表明，除了环境与该介质的上下表面之问的折射率之外， 反射系数只依赖于主波和子波所累计的总的位相贡献。 与传统的w k b j 比较，由于w k b j 忽略了子波反射，所以是近似的 结果而本文得到的结果是精确结果。 根据所得的公式，本文研究了光波在单层介质、双层介质、三层 介质、折射率分别呈指数分布、高斯分布、正弦分布的介质的反射和 透射情况并对结果进行了讨论。实际上本文的结果可以计算任意折射 率分布的介质。 本文对光的反射与透射的研究结果具有广泛的应用前景，如各种 具有很高的灵敏度和精确度的传感器或者测量装置。其中最引人注目 的应当是可以根据其来指导薄膜工艺中的厚度控制或材料选择，只要 厚度的改变或者折射率的改变满足所推导出条件，则反射率与透射率 保持不变。这些结果对诸如红外薄膜、太阳能薄膜等热点具有重要意 义。 上海交通大学博士学位论文 在分析物质波在非均匀势场中的反射及透射几率时，由于薛定谔 方程与光波导方程的近似性，含时薛定谔方程类似于菲涅尔方程而与 时间无关的薛定谔方程则类似于亥姆霍兹方程，势场分布类似于折射 率分布，能量本征值对应于光波的传播常数，高折射率区域相当于势 阱而低折射率区域相当于势垒，因此将分析光波导中所应用的解析转 移矩阵方法应用于分析薛定谔方程中。最终在没有求解薛定谔方程， 而且没有引入任何近似的情况下，通过定义总波数，得到了非常简洁 的表达式且物理意义清晰。 在所得公式中，整个的反射与透射几率除了环境、势垒的开始点 和结束点的参数外，只依赖于主波和子波总的累积相移。同时公式不 受德布罗意波长和能量范围大小的局限。 本文得到的结果可以广泛地应用于许多基本的量子现象，例如， 量子隧道效应、量子反射、量子粒子和隧道共振等。利用该结果分别 研究了抛物线型单势垒情况、方型双势垒情况、抛物线型双势垒情况 以及置于外场中的双势垒情况。 从光波反射系数公式和物质波的反射系数公式来看，两者一个统 一的形式，这样就将光波、物质波在非均匀介质中的反射及透射问题 统一起来，理所当然具有十分重要的意义。 关键词：解析转移矩阵方法，反射系数，量子隧道效应，反射几率， 透射几率，总波数 ， 上海交通大学博上学位论文 a b s t r a c t s i n c eac o n t i n u o u sv a r y i n gi n d e xp r o f i l ei sn o t h i n gm o r et h a nas t a c ko ft h i n l a y e r sw h i c hh a v eh o m o g e n e o u sr e f r a c t i v ei n d e i c e sw h e nt h et h i c k n e s so fl a y e r si s v e r y v e r ys m a l lw h i l et h en u m b e ro fl a y e r s i sv e r y v e r yl a r g e ，i nt h ep r e s e n t i n v e s t i g a t i o n ，i n s t e a do ft h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n sw i t ht r a n s f e rm a t r i xa p p r o a c h ，t h e a n a l y t i c a lt r a n s f e rm a t r i xm e t h o di se m p l o y e dt od e t e r m i n et h er e f l e c t i o nc o e f f i c i e n t f r o ma ni n h o m o g e n e o u ss t r a t i f i e dm e d i a w i t ht h eh e l po ft h ed e f i n i t i o no fg e n e r a l w a v e n u m b e r ，w h i c hc o n t a i n sb o t ht h em a i nw a v e sa n dt h es u b w a v e sp r o p a g a t e di n t h es t r u c t u r ew i t hc o n t i n u o u s l yv a r y i n gi n d e xp r o f i l e ，a ne x p l i c i ta n de x a c te x p r e s s i o n w i t hc l e a rp h y s i c a li n s i g h ti so b t a i n e dw i t h o u ti n t r o d u c i n ga n ya p p r o x i m a t i o n t h er e s u l ts h o w st h a t ，b e s i d e st h ea m b i e n c ea n dt h er e f r a c t i o ni n d i c e so fb o t h f r o n t s u r f a c ea n db a c k - s u r f a c eo ft h es t r u c t u r e ，t h eu n i q u ed e p e n d e n c eo ft h e r e f l e c t i o nc o e f f i c i e n ti st h et o t a lp h a s es h i f ta c c u m u l a t e db yt h em a i nw a v ea n dt h e s u b w a v e s t h et r a n d i t i o n a lw k b ja p p r o a c hi sa na p p r o x i m a t i o ni nw h i c ht h es u b w a v e s r e f l e c t e df r o mt h ei n t e r i o ro ft h es t r u c t u r ea r en e g l e c t e dw h i l et h er e s u l tp r e s e n t e d h e r ei se x a c t t h er e f l e c t i o nf r o mo n e - l a y e rp l a n a rs t r u c t u r e ，t w o l a y e rp l a n a e rs t r u c t u r ea n d t h r e e l a y e rs t r u c t u r ei s s t u d i e du s i n gt h ee x p r e s s i o n e v e nm o r e ，t h er e f r a c t i v ei n d e x p r o f i l ei sa ne x p o n e n t i a lf u n c t i o n ，o rg a u s sf u n c t i o n ，o rp e r i o d is i n ef u n c t i o n s i s 上海交通人学博十学位论文 c a l c u l a t e da n dt h er e s u l t sa r ed i s c u s s e d i nf a c tt h ee x p r e s s i o no b t a i n e di nt h ep a p e r c a nb ea p p l i e dt oa r b i t r a r yr e f r a c t i v ei n d e xp r o f i l e t h es t u d yo nt h er e f l e c t i o na n dt r a n s m i s s i o no fl i g h t sc a nb ea d o p t e di nm a n y a p p l i c a t i o n ，s u c ha sh i g hs e n s i t i v es e n s o ro rm e a s u r e m e n ti n s t r u c t i o n s e s p e c i a l l yi t c a nb eu s e di nt h ec o n t r o lo ft h i c k n e s so fm a t e r i a l ss e l e c t i o ni nt h et h i nf i l mp r o c e s s ， t h er e f l e c t i o nc o e f f i c i e n tw i l lk e e pu n c h a n g eo n l yi ft h ec h a n g ei nt h et h i c k n e s so r r e f r a c t i v ei n d e xs a t i s f i e dt h ed e r i v e dc o n d i t i o np r e s e n t e dh e r e t h ec o n c l u s i o n sa r e v e r yu s e f u lf o rt h e h o ta p p l i c a t i o ni nt h ei n f r a r e dt h i nf i l mo rs o l a rt h i nf i l mt o d a y i nt h ea l a y s i so fr e f l e c t i o na n dt r a n s m i s s i o np r o b a b i l i t yo ft h ep a r t i c l ew a v e f r o mi n h o m o g e n e o u sp o t e n t i a lf i e l d ，s i n c et h es h r o d i n g e re q u a t i o ni ss i m i l a rw i t ht h e l i g h tw a v e g u i d ee q u a t i o n ，s u c ha st h et i m e d e p e n d e n ts c h r o d i n g e re q u a t i o ni ss i m i l a r w i t hf r e s n e le q u a t i o nw h i l et h et i m e - i n d e p e n d e n ts c h r o d i n g e re q u a t i o ni ss i m i l a r w i t hh e l m h o ze q u a t i o n ，i tc a nb er e g a r d e dt h a tt h ep o t e n t i a lf i l e de q u a t e st or e f r a c t i v e i n d e xp r o f i l e ，e n e r g ye i g e n v a l u e se q u a t e st o l i g h tp r o p a g a t i o nc o n s t a n t ，h i g h r e f r a c t i v ei n d e xs e c t i o nt o p o t e n t i a lw e l lw h i l el o wr e f r a c t i v ei n d e xs e c t i o nt o p o t e n t i a lb a r r i e r s ot h ea n a l y t i c a lt r a n s f e rm a t r i xm e t h o dc a nb ea l s oa p p l i e dt o a n a l y z i n gt h es c h r o d i n g e re q u a t i o n w i t h o u ts o l v i n gt h es c h r o d i n g e re q u a t i o n ，a n d w i t ht h eh e l po fd e f i n i n gt h eg e n e r a lw a v e n u m b e r ，a ne x a c ta n dg e n e r a le x p r e s s i o nf o r t h et r a n s m i s s i o na n dr e f l e c t i o np r o b a b i l i t i e sa r ep r e s e n t e di nav e r ye x p l i c i tw a y d i f f e r e n tf r o mt h ew k bm e t h o da n di t sr e f i n e dv e r s i o n s ，s u b w a v e s ，w h i c h i n h e r e n t l y e x i s ti nai n h o m o g e n e o u ss y s t e m a n di sa l w a y s n e g l e c t e d i nt h e s e m i c l a s s i c a la p p r o a c h e s ，i st a k e ni n t oa c c o u n t ，r e s u l t si nt h et o t a lp h a s es h i f to fa 卜海交通大学博 j 学位论文 q u a n t u mp a r t i c l ea c r o s sa na r b i t r a r yp o t e n t i a lb a r r i e r m o r e e v e r ，i ti sn o ts u b j e c tt ot h e r e q u i r e m e n to f t h ed eb r o g l i ew a v e l e n g t ha n dt h er a n g eo ft h ep a r t i c l ee n e r g y a sac o n s e q u e n c e ，t h ee x p r e s s i o no b t a i n e dh e r em a ye x t e n s i v e l yb ea p p l i e dt o m a n yb a s i cq u a n t u mp h e n o m e n a ，s u c ha s ，q u a n t u mt u n n e li n g ，q u a n t u mr e f l e c t i o n ，t h e t i m er e l a t e dt oat u n n e li n gp a r t i c l ea n dt h er e s o n a n tt u n n e l i n g t h ep a r a b o l i cb a r r i e r ， d o u b l eb a r r i e rw i t har e c t a n g u l a rw e l l ，d o u b l eb a r r i e rw i t hap a r a b o l i cw e l ls t r u c t u r e a n dt h ep o t e n t i a lb a r r i e rp l a c e di na ne x t e r n a lf i e l da r ed is c u s s e dh e r e t h er e f l e c t i o na n dt h et r a n s m i s s i o no fl i g h ta n dq u a n t u mp a r t i c l ea r eu n i f i e di n t h ee x p r e s s i o n s ，o b v i o u s l yi t i sv e r yi m p o r t a n ti np h y s i c s k e yw o r d s ：a n a l y t i c a l 仃a n s f e rm a t r i xm e t h o d , r e f l e c t i o nc o e f f i c i e n t ，q u a n t u mt u n n e l i n g ， r e f l e c t i o np r o b a b i l i t i e s ，t r a n s m i s s i o np r o b a b i l i t i e s ，g e n e r a lw a v e n u m b e r 2 3 3 2 3 4 2 4 2 5 第三章 3 1 3 2 3 3 3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 3 7 3 5 3 6 第四章 4 1 4 2 4 3 4 3 1 光波导中的转移矩阵方法 3 3 薛定谔方程和转移矩阵方法4 0 本章小结。4 4 参考文献 4 5 光在非均匀介质中传播的反射系数公式4 6 弓i 言 4 6 公j 4 6 讨论及结论5 2 单层介质 5 2 双层介质5 3 三层介质5 5 其他复杂情况。5 6 和w k b j 近似方法的比较6 0 应用讨论。6 l t m 波的情况 6 4 6 5 本章小结 参考文献。 i 6 6 物质波在非均匀势场中传播的反射系数公式6 9 引言 公式 6 9 7 0 量子隧道效应7 5 所得公式验证。 6 - 7 5 簟 5 3 致 参考文献9 3 谢9 6 攻读博士学位期间发表的学术论文9 8 7 - 上海交通大学博十学位论文 1 1 问题的提出 第一章引言 本人一直从事半导体领域工作，工作的内容涉及光刻技术( o p t i c a ll i t h o g r a p h y ) 、光刻掩 模版技术( p h o t o m a s k ) 、半导体业内相关检测检验技术以及相关的设计自动化软件- t 作。 当f i f 半导体技术尤其足硅基集成电路制造技术已经进入深亚微米( v d s m ，v e r yd e e p s u bm i c r o ) i 对代，主流人规模集成电路生产中的特征线宽( c d ，c r i t i c a ld i m e n s i o n ) 已经从 0 1 8 u m 、0 1 5 u m 、0 1 3 u r n 到9 0 n m 、6 5 n m 、4 5 n m ，很快3 2 n m 也将实现量产，而在研究中 的集成电路特征线宽已经可以实现1 0 n m 级别。由于大规模集成电路生产效率的要求( 即使 是3 0 0 r a m 直径的晶圆，采用步进的方式，曝光时间也不到一分钟，例如n i k o n 公司的 n s r $ 3 0 8 f 光刻机分辨率为6 5 n m ，视场面积为2 6m m x3 3 m m ，通过步进方式每分钟可以 曝光1 4 0 片3 0 0 r a m 直径的晶圆) ，光学光刻依然是广泛采用的主流技术。光学光刻中目前广 泛使用的曝光光源波长有3 6 5 n m 的i - l i n e 紫外光源( o v ，u l t r av i o l e t ) 实现0 3 5 u m 和0 2 5 u m 线宽，2 4 8 n m 的鼬f 准分子激光器深紫外光源和1 9 3 r i m 的f 准分子激光器深紫外光源 ( d u v ，d e e pu l t r av o l e t ) 实现0 1 5 u r n 以下的线宽。显然这时候的特征线宽已经小于光刻机 的曝光光源的波长，达到了曝光波长的l 4 甚至更少，进入了亚波长光刻领域。 在研究中的下一代光刻技术中包含有极紫外光刻技术( e u v ，e x t r e m eu l t r a v i o l e t ) 、软 x 线光刻技术( p r o x i m i t yx r a y ) 、散射投影电子束光刻技术( s c a l p e l ，s c a t t e r i n gw i t ha n g u l a r l i m i t a t i o n p r o j e c t i o n e l e c t r o n b e a ml i t h o g r a p h y ) 、离子束投影光刻技术( i p l ，i o n b e a m p r o j e c t i o nl i t h o g r a p h y ) 、电子束直写技术( e l e c t r o n b e a md i r e c tw r i t i n gl i t h o g r a p h y ) 等等，所 涉及到的不仅仅是光，而是电子束、离子束等物质波。 8 上海交通人学博 学位论文 半导体工艺技术的实质可以归结为薄膜工艺技术。核心：l 艺是光刻工艺 4 7 - 5 l 】，如图 1 1 所示。曝光光源通过光刻版( 其上有需要的集成电路版图某层的图形) 照射到涂有抗反 射膜( a r ，a n t i r e f l e c t i v ec o a t i n g ) 、光刻胶层( p h o t o r e s i s t ) 、底部抗反射膜( b a r c ，b o t t o m a n t i r e f l e c t i v ec o a t i n g ) 的品圆上，由于光与光刻胶发生反应，在随后的显影中该部分的光刻 胶将被去掉，没有被光照射到的光刻胶部分将被保留。这样通过光刻工艺就在晶圆表i 白形成 光刻胶保护膜，然后通过离子注入( p i a n t ) 、刻蚀( e t c h ) 、物理气相沉积( p v d ) 、化学气相沉积 ( c v d ) 、电镀等上艺在需要的区域生成一层薄膜，之后再用类似的步骤一层层生成，最后制 成能完成电路功能的芯片。 f i g 1 1 曝光原理示意图 f i g 1 1e x p o s u r ec o n c e p t i o n 毙辫簸，p h o t o m a s k 抗反射囊，眠a n t i i 胁f l e c t i v e 光费睃，p h o t o r 酷i s t 嚣黝射爱b a r cb o t t o m a n t i - r e f l a c t i v ec o a t i n 9 品疆，w a f e r , s i l i c o n 在图1 2 中示意了一颗最简单的芯片的生产过程。一个最简单的逻辑反电路，输入逻辑 1 ( 对应高电平) 输出逻辑0 ( 对应低电平) ，反之亦然。根据a ) 原理图可以很容易地画出 需要 、刻 层薄 类似 t - 海交通大学博士学位论文 于一层层的薄膜组成的。最后e ) 封装成可用：卷片。从纵剖i a i 图上可以看到，显然每一层介质 既可能足均匀的也可能足非均匀的。 0 m a ) 原理囝 i n 谢m 圈参蛐 团叠囊一 i - 1 黔r - i z ii m t l l u l j i c c m a m il 矗鼻矗伊 d 翻阱m 蝴 o u t b ) 电路圈 d ) 芯片纵剖露图 d 。二垂等 c)版图0)芯片封装圈 f i g 1 2 集成电路设计生产示意图 f i g 1 2f r o ms c h e m a t i ct oap a c k a g e dd e v i c ef o ri n t e g r a t e dc i r c u i t 显然，每次光刻工艺都牵涉到光的反射与透射问题。另外半导体工业界中的检验检测技 术，如扫描电子显微镜( s e m ) 、激光共聚焦显微镜等，大量采用各种激光束、电子束、x 射 线等，但目前在测量的精度及效率上还有很大的提高空间。 基于此，从本身工作的实践需要出发，萌发了要研究光波( 以及物质波) 的反射和透射 现象的想法。 扩展开来，薄膜光学是物理光学的一个重要分之，它研究的对象是膜层对光的反射、透 射、吸收 现在，这 广泛，是 膜等成为 j 海交通大学博士学位论文 失去作用。光学薄膜的作用表现在提高或降低反射率、吸收率与透射率方面；或者在使光束 分开或合- 3 t ：方面；或者在分色方面；或者在使光束偏振或检偏方面；或者在使某光谱带通过 或阻滞方面；或者存调整位相方嘶等等。总之，存光学器件的几乎全部功能方而光学薄膜都 扮演着关键角色。薄膜光学的发展方兴来艾。1 9 5 7 年b e r n i n g 和t u r n e r 推导出了单层膜的 透过率的普遍表达式【l 】。之后关于薄膜特别是多层膜的基础理论慢慢建立起来。1 9 6 0 年捷 克斯洛伐克科学家瓦施切克( y a s i c c k ) 教授发表了第本薄膜光学著作：薄膜光学( o p t i c s o f t h i nf i l m ) 2 。1 9 6 5 年德国科学家安德斯( a n d e r s ) 出版了光学薄膜一书，着重介绍了 许多工艺技术问题【3 】。1 9 6 9 年英国科学家麦克劳德( m a c i e o d ) 用干涉矩阵解释和计算光学薄 膜，出版了薄膜光学滤光片一书，对六十年代以前的成就和发展进行了总结【4 】。 h e m i n g w a y 等人通过近似化简弱吸收介质膜堆的透过率的简化表达式，分别推导了四分之 一波长介质膜堆的吸收和几种全介质滤波片的透过率和吸收的表达式，讨论了多层膜的特性 【5 】。1 9 7 6 年，尼特尔发表他的专著薄膜光学 6 】。1 9 8 6 年麦克劳德( m a c l e o d ) 再版了他的 专著，提出用导纳图( a d m i t t a n c ed i a g r a m ) 的方法来分析膜系的特性并用它来解释膜系监控 的一系列问题【7 】。b a l i e 等人观察和分析了每层厚度为四分之一波长的多层介质膜堆构成的 高反镜的中心频率附近的反射特性，导出了q w 镜的反射延时和穿透深度【8 】。由反射延时 引伸出来的穿透深度概念得到了广泛的应用【9 】。除此之外还有许多学者对基础理论进行了 一系列的改良和完善，包括各种矩阵方法等 i o - 1 2 。 另一方面，由于从2 0 世纪6 0 年代发展起来的导波光学在未来信息社会具有巨大的应用 潜力，长期以来，一直受到学术研究界和工业界的高度重视。经过4 0 多年的发展，特别是 近年来随着材料科学、光电子学以及微细加工技术包括半导体工艺技术的进步，不少制约导 波光电子器件进一步发展的障碍被解决，使得导波光学日益成熟，本身初步形成一门体系较 为完整的学科。随着科学技术的发展，一系列具有新原理、新材料和新结构的光波导功能器 上海交通大学博f ：学位论文 件和系统如光开关、光调：刨器、光选模器、光分频器等存技术上也日臻完善。以导波光学为 基础的光通信和光传感等技术正以异常迅猛的发展势头走向f j 场实用化。这种快速发展不仅 引发了人们对于导波光学这门学科的更多关注，同时对导波光学的进一步发展也寄予热切的 期望。近年来，在器件的计算机模拟、利料处理、工艺技术的优化以及结构的创新，特别当 今成为研究热点的平诅i 集成光路、波导光子带隙结构、纳米阵列结构、等离子激元学、光纤 波导的耦合和器件的封装等领域，导波光学已经显示出其强人的生命力。 由于薄膜光学和导波光学这两方面的原因，本文欲研究光在1 f 均匀介质中传播的反射及 透射，又由于薛定谔( s c h r o d i n g e r ) 方程与光波导波动方程的相似性，将在研究中所采用的解 析转移矩阵( a t m ) 方法应用于求解薛定谔( s c h r o d i n g e r ) 方程中，来研究物质波在任意分布势 场中的反射及透射几率，并试图得到一种简洁的、统一的、物理意义清晰的形式。 1 2w k b 方法 目前研究中常用方法有数值计算方法和半经典近似方法等。数值计算方法如有限元技术 ( f e m ，f i n i t ee l e m e n t 。m e t h o d ) ) 、数值矩阵计算、级数方法等可以给出所要求的精确度，但 是难以了解所研究问题的物理意义。半经典近似方法中比较著名的是w k b 法，它本来是量 子力学中求解一维薛定谔( s c h r o d i n g e r ) 方程的一种方法。由于薛定谔( s c h r o d i n g e r ) 方程与波 动方程具有极大的对应性：介电常数分布相当于量子力学中的中的势函数，电磁场分量与波 函数相对应。因此，毫无疑问地，可以把w k b 方法应用于非均匀光波导中。只要把波函数 按壳( 7 i = h 2 n , ) 。h 是普朗克( p l a n c k ) 常数) 的幂级数展开，改为电磁场分量按1 k o 的幂级数展开即可。 1 9 2 6 年，温采( g w e n z e l ) ，克拉末( h m k r a m e r s ) 和布里渊( l b r i l l o u i n ) 各自独立地建 立了一种主要用于一维系统中求解薛定谔( s c h r o d i n g e r ) 方程的准经典近似方法 1 3 1 ，被称为 1 2 - w 小 实 外 慢， 塑 一di 1 2 e 一矿( x ) 】d x l ( 1 2 ) 也就是必须在粒子的德布罗意( d eb r o g l i e ) 波长范围内，y ( x ) 的变化名华比粒子的经 口x ， 典动能小得多a 满足这些条件后可以得到半经典量子化条件，也即w k b 定态公式 一 叮p 出= ( 疗一圭弘，c 疗= - ，2 ， ( 1 3 ) 由于转折点附近经典动量趋于0 ，不满足近似条件，所以w k b 近似只适用于远离转折 点的区域。w k b 方法认为转折点处的位相损失在长波近似时为7 ，在短波近似时为7 2 。 w k b 方法的特点足形式比较简单，物理意义明确。在量子力学里广泛应用，例如计算 势阱本征能量和势垒隧穿系数的近似计算【5 】。而且w k b 方法在其他物理领域也大量应用例 如渐变折射率光波导。当量子数比较大时，w k b 方法能给出比较精确的结果。w k b 方法 的缺点是不适用于折射率分布或势场分布快速变化的情形，而且在转折点附近与精确解有较 大的偏差。 1 3 上海交通大学博十学位论文 为了提高w k b 方法的精确性，后来发展了许多新的方法( m o d i f i e dw k b ) 米改进w k b 近似的精确度，象爱里函数方法( a i r yf u n c t i o n ) ，贝塞尔函数方法( b e s s e l ) ，l a g u e r r e 修正等。 这些修正大部分着重于修改转折点的位卡损火。 1 9 5 3 年s c m i l l e r 提出了w k b 型的近似( aw k b - t y p ea p p r o x i m a t i o n ) 【6 】，类似于通常 的w k b 近似。存通常的w k b 近似中用指数函数作为近似的基础而w k b 型的近似中选择 任意薛定谔( s c h r o d i n g e r ) 方程的解作为近似的基础。 1 9 6 0 前后k e l l e r 7 提出了e b k 公式对w k b 方法进行了较大的修正，他插入了量子数 的相移和爱凶斯坦积分法则，提出了e b k 公式 似= ( 疗+ 鼽 显然，对转折点处的相移不再认为是石或万2 。 ( 门，m z ) ( 1 4 ) 当w k b 近似公式的适用性条件在接近转折点的地方被违反时，就需要插入相应的万2 ， 的非整数倍做为m a s l o v 指数。n m i ( n o n i n t e g e r a l m a s l o v - i n d e x ) 方法【8 1 3 1 j 勺形式为 叮p 凼= ( 刀+ 等， ( 以= 1 , 2 ，) ( 1 5 ) 对转折点处的相移认为不再是整数、半整数或四分之一整数，而取决于势阱变化率以及 能级序数，例如h f r i e d r i c h 和j t r o s t 认为，既然波长不可能任意短，位相变化应当是刀2 的非整数倍，根据这一观点，w k b 波函数的精确性可以大大提高 1 0 ，1l 】，他还提出了一 种方法来近似计算长波极限下经典禁止区域w k b 波函数的非整数m a s l o v 指数【l l 】。通过这 些对转折点相移的修正，n m i 方法得到了比w k b 方法更加精确的近似结果。 其他的改进w k b 近似的方法还有一些。例如j b b r o n z a n 提出的一种改进w k b 近 似的方法能精确地得到一个或多个自由度系统的没有节点的基态 1 4 1 。对于大多数特殊的形 状不变的势能，采用超对称w k b 量子化条件能给出精确的能量本征值【1 5 - 1 6 】。m a f -1 4 上海交通大学博：卜学位论文 g o m e z 和s a d h i k a r i 讨论了对强束缚势的w k b 量子化条件的代数再现 1 7 】。v b m a n d e l z w e i g 则把_ 阶线性微分方程转变成阶瑞卡迪型的非线性方程，再运用准线性化方 法对此近似【1 8 】。 这些改进的w k b 方法对w k b 近似的计算精确都有不同程度的改善。但是由于他们都 是建立在w k b 近似的基础上，都没有脱离w k b 方法的整体框架，因而无法摆脱其本来的 局限性，无本质上的改进，也不可能在物理上有突破性的提高。w k b 法带来的误差爿未得 以消除。正是由于有这些缺陷，在这个领域至今依然在发展。 1 3 解析转移矩阵方法( a t m m ) 转移矩阵方法最初足作为一种数值方法用于求解二阶微分方程的物理问题里，后来该方 法本身得到了不断的发展并被人扩展到不同的应用领域。1 9 8 5 年l m w a l p i t a 提出可以利 用转移矩阵方法计算平板波导的传播特征【1 9 】。1 9 8 7 年a k g h a t a k 提出一种修改过的转移 矩阵方法，采用2 x 2 矩阵的直接乘积而不需要求解超越方程或微分方程，可以得到渐变折 射率波导结构的不同模式的传输特征和损耗以及泄露损失和吸收损失 2 0 1 。1 9 8 8 年同样是 a k g h a t a l ( 等提出一种矩阵方法用来求解量子阱结构中的薛定谔( s c h r o d i n g e r ) 方程【2 l 】。同 年t m a k i n o 提出用转移矩阵方法讨论了d f b 激光器中的同步发射 2 2 】。1 9 8 7 年k e b r e n n a n 首次在量子阱结构中与别的求解薛定谔( s c h r o d i n g e r ) 方程的方法展开了大量的比 较，将爱里函数( a i w f u n c t i o n ) 年u 转移矩阵方法结合，讨论了易变间隔式超品格能量滤波器 中的能级【2 3 】。1 9 9 0 年bj o n s s o n 用转移矩阵方法求解任意量子势阱的薛定! , ( s c h r o d m g e r ) 方程，讨论了转移矩阵方法在应用上的局限性和优越性并且在计算中包含了有效质量的变化 【2 4 。 - 1 5 卜海交通人学博士学位论文 转移矩阵是薄膜光学中常用的方法，可以追溯到阿贝勒( f a b e l e s ) 7 2 表的阴篇论文，提 出了薄膜系统的矩阵算法，用光的电磁理论对分层介质做了最普遍性的处理【2 5 】。在渐变折 射率波导研究中用来决定波导的传播常数。w k b 方法也是计算非均匀平板波导导模传播常 数的常用方法但只适用于缓变折射率和波导线度远远大于此波长的情况，在此条件fw k b 方法能给 j j 合理的精度，其局限性主要是完全忽略了折射率梯度的层问反射( 也就是子波的 反射) ，并简单地认为转折点出的全反射相移是y - 2 。 1 9 9 9 年左g - , - 曹庄琪教授等建立了完全不同丁w k b 近似的解析转移矩阵( a t m ) 方法并 用于研究非均匀光波导 2 6 - 3 0 l 。将非均匀光波导看成是一个折射率梯度变化的无限多层膜结 构，利用转移矩阵理论，导出非均匀平板波导递推形式的色散方程，通过定义总波矢最后得 到简洁的积分形式，确定了转折点处的实际位相损失为万。 曹庄琪教授等将解析转移矩阵( a t m ) 方法应用到量子力学e p 3 1 - 3 4 】。应当说这是一个创 新的求解薛定谔( s c h r o d i n g i 神方程的方法。因为薛定谔( s c h r o d i i l g e r ) 方程和波导方程中的一 些物理量互相对应，依此可以把解析转移矩阵( a t m ) 方法运用到薛定谔( s c h r o d i n g e r ) 方程中， 并得剑精确的描述散射子波的位相贡献的表达工弋，进而提出适用于一维任意势阱的精确的量 子化条件，通过定义等效波函数将递推形式的量子化条件表述为积分形式的量子化条件，其 中散射子波的位相贡献也用积分式来表达。a t m 方法得出的结果是，对于连续势阱，在转 折点处的相移为万。这个结果不但与能级序数无关，也与势阱分布函数无关，是普遍成立的。 与w k b 方法比较，解析转移矩阵( a t m ) 方法不但保持了相位积分方程的简单形式，而 且给出了精确的模式本征值和转折点处的相移。同时最重要的是解析转移矩阵方法除了考虑 了主波贡献外还考虑了散射子波的贞献，而在w k b 方法和n m i 方法以及其他方法中散射 子波的贡献完全被忽略，或者说是被混淆在转折点柏移之中。解析转移矩阵( a t m ) 方法对任 - 1 6 上海交通大学博士学位论文 意势函数( 势阱或辨帛) 都有效，能得到精确值，而且其得到的表达式1 f 常简洁f l 具有作常 清晰的物理意义。 解析转移矩阵( a t m ) 方法得到精确的量子化条件。可以精确求解能量本征值和波函数， 可以解决许多物理问题，在不同的领域得到发展和应用。总的来说，解析转移矩阵( a t m ) 方法运用起来比较简荤，对许多复杂的问题能迅速得到准确的结