（应用数学专业论文）广义非线性超弹性杆波动方程及kleingordon方程的精确解.pdf

独创性声明 川1 1 11 1i i1 111 1 1 1 11 11 1u l y 18 9 4 6 5 5 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中己注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 叶鹋 日期：2 olf 年f 月j 砂日 - ， 广义非线性超弹性杆波动方程及 k l e i n g o r d o n 方程的精确解 t h ee x a c ts o l u t i o n so fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rh y p e r e l a s t i c r o dw a v e e q u a t i o na n d k l e i n g o r d o ne q u a t i o n 姓 2 0 11 年0 6 月 ， 、 江苏大学硕士学位论文 摘要 本文研究的主要内容：在齐次平衡原则的思想下，充分发挥 r i c c a t i 方程、二阶常微分方程( o d e ) 、试探分式函数在非线性偏微分 方程( p d e s ) 求解中的优良特性，利用广义扩展的f 展开法、扩展的 ( g7 g ) 展开法、试探函数法与拓展的分式函数变换法，并借助计算机 符号系统m a t h e m a t i c a ，求解了非线性k l e i n g o r d o n 方程、广义非线性 超弹性杆波动方程，得到这些非线性偏微分方程的一系列精确解，如 周期波解、三角函数解、双曲函数解、有理函数解、复数形式解等 首先，在新提出的( g g ) 展开法的基础上，通过利用对拟解形式 进行改进的扩展( g7 g ) 展开法，求出了非线性k l e i n g o r d o n 方程的含 双参数的双曲函数、三角函数以及有理函数的显式行波解，赋予参数 具体值可以使显式行波解的形式更多样化 其次，对一类非线性弹性杆波动方程进行了扩展，得到广义非线 性耗散超弹性杆波动方程利用广义扩展的f 展开法，求出了广义非 线性耗散超弹性杆波动方程的类型丰富的精确解，包含周期解、尖波 解、三角函数解、复数函数解等 最后，通过对非线性弹性杆的纵波运动方程进行扩展，得到广义 非线性色散超弹性杆波动方程，综合运用试探函数法和拓展的分式函 数变换法，得到了广义色散超弹性杆波动方程的精确分式解，包括有 理式解，周期解，孤立波解，j a c o b i 椭圆函数双周期解，并对部分解 给出了数字模拟图像 关键词：非线性偏微分方程，齐次平衡原则，扩展( g g ) 展开法， 广义扩展的f 展开法，试探函数法，精确解 ， 江苏大学硕士学位论文 一 一 a b s t r a c t t h em a jo rc o n t e n to ft h i sp a p e rc o n c l u d e s ：u n d e rt h eh o m o g e n e o u s b a l a n c ei d e a ，b yt a k i n gf u l l a d v a n t a g e so ft h er i c c a t ie q u a t i o na n dt h e s e c o n do r d e ro d ea n dt h et r i a lf r a c t i o n a lf u n c t i o ni n s e e k i n ge x a c t s o l u t i o n so fn o n l i n e a rp d e s ，t h em e t h o d so ft h eg e n e r a l i z e dm o d i f i e d f - e x p a n s i o nm e t h o d ，t h ee x t e n d e d ( g g ) 一e x p a n s i o nm e t h o da n dt h et r i a l f u n c t i o nm e t h o da n de x t e n df r a c t i o n a lt r a n s f o r m a t i o n sc a nb eo p e r a t e dt o s o l v et h en o n l i n e a rk l e i n - g o r d o ne q u a t i o na n dt h eg e n e r a l i z e dn o n l i n e a r h y p e r e l a s t i cr o dw a v ee q u a t i o n w i t ht h ea i do fc o m p u t e rs y m b o l i c s y s t e m s ( m a t h e m a t i c a ) ，m a s s i v ee x a c ts o l u t i o n so ft h e s en o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sh a v e b e e no b t a i n e d ，i n c l u d i n gp e r i o d i cw a v e s o l u t i o n s ，t r i a n g l e f u n c t i o n s o l u t i o n s ，h y p e r b o l i cs o l u t i o n s ，r a t i o n a l f u n c t i o ns o l u t i o n s ，p l u r a ln u m b e rf o r m a ls o l u t i o n sa n ds o o n f i r s t l y , a ne x t e n d e d ( g g ) 一e x p a n s i o nm e t h o di so b t a i n e d b y i m p r o v i n gt h ef o r mo fs o l u t i o ni n ( g g ) e x p a n s i o nm e t h o dw h i c hi s p r o p o s e dr e c e n t l y w i t ht h ee x t e n d e d ( g g ) 一e x p a n s i o nm e t h o d ，m a n y e x p l i c i ta n de x a c tt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sw i t ht w oa r b i t r a r yp a r a m e t e r s t ot h ek l e i n g o r d o ne q u a t i o na r e p r e s e n t e d ，i n c l u d i n gt h eh y p e r b o l i c s o l u t i o n s ，t h et r i g o n o m e t r i cs o l u t i o n sa n dt h er m i o n a ls o l u t i o n s ，m o r e 一 一一一 s e r i e so t - r i c ht ) ，p ee x p l i c i ta n de x a c tt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sa u r es h o w e d w h e nt h ep a r a m e t e r sa r et a k e na ss p e c i a lv a l u e s 、 t ， 江苏大学硕士学位论文 n e x t ，t h en o n l i n e a rh y p e r e l a s t i cr o dw a v ee q u a t i o ni sc a r d e do n e x p a n d i n g ，a n dt h e nag e n e r a l i z e dn o n l i n e a rd i s s i p a t i v eh y p e r e l a s t i cr o d w a v ee q u a t i o ni so b t a i n e d w i t ht h eh e l po ft h eg e n e r a l i z e dm o d i f i e d f - e x p a n s i o n ，as e r i e so fr i c ht y p er i c c a t if u n c t i o ne x a c ts o l u t i o n so ft h e g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rd i s s i p a t i v eh y p e r e l a s t i cr o dw a v ee q u a t i o nc a nb e o b t a i n e d ，i n c l u d i n gp e r i o d i cw a v es o l u t i o n s ，s o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ， t r i a n g l ef u n c t i o ns o l u t i o n s ，p l u r a lf u n c t i o ns o l u t i o n sa n ds oo n f i n a l l y , t h eg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rd i s p e r s i v eh y p e r e l a s t i cr o dw a v e e q u a t i o ni so b t a i n e dw h i l et h en o n l i n e a rh y p e r e l a s t i cr o dw a v ee q u a t i o n i sc a r d e do ne x p a n d i n g b yu s i n gt h et r i a lf u n c t i o nm e t h o da n de x t e n d f r a c t i o n a lt r a n s f o r m a t i o n s ，e x a c t l yf r a c t i o n a ls o l u t i o n st ot h eg e n e r a l i z e d - 一 n o n l i n e a rd i s p e r s i v eh y p e r e l a s t i cr o dw a v ee q u a t i o na r eo b t a i n e d w h i c h i n c l u d er a t i o n a lf u n c t i o ns o l u t i o n s ，t r i a n g u l a rp e r i o d i cs o l u t i o n s ，s o l i t a r y w a v es o l u t i o n sa n dj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o nd o u b l yp e r i o d i cs o l u t i o n s a n dn u m e r i c a lr e s u l t so fs e v e r a ls o l u t i o n sa r es h o w n k e yw o r d s ：n o n l i n e a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，h o m o g e n e o u s b a l a n c e p r i n c i p l e ，e x t e n d e d ( g ，g ) 一e x p a n s i o nm e t h o d ，g e n e r a l i z e d m o d i f i e df - e x p a n s i o nm e t h o d ，t r i a lf u n c t i o nm e t h o d ，e x a c t s o l u t i o n i i i j 、 江苏大学硕士学位论文 目录 第一章绪论1 1 1 研究背景1 1 2 研究现状4 1 3 研究内容和意义5 第二章基本概念7 2 1 孤立子及尖峰孤立子7 2 2 孤立子的分类8 2 3 逆算符方法9 2 4 齐次平衡方法1 0 2 5 ( g o ) 展开法1 1 2 6 试探函数法和分式函数变换法1 2 2 7f 展开法1 2 第三章扩展的( g ，g ) 一展开法及非线性k l e i n g o r d o n 方程的行波解1 5 3 1扩展的( g ，g ) 展开法1 5 3 2 非线性k l e i n g o r d o n 方程的行波解1 6 3 2 1 非线性k l e i n g o r d o n 方程1 6 3 2 2 非线性k l e i n 。g o r d o n 方程的精确行波解1 6 第四章广义非线性耗散超弹性杆波动方程的精确解2 2 4 1 广义扩展的f 展开法2 2 4 2 广义非线性耗散超弹性杆波动方程2 4 第五章广义非线性色散超弹性杆波动方程的精确解2 9 5 1试探函数法和拓展的分式函数变换法2 9 5 2 广义非线性色散超弹性杆波动方程2 9 第六章结束语3 5 参考文献3 6 攻读硕士期间发表的论文3 9 致谢4 0 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究， 不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部 分它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研 究领域日益扩大 目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程 ( p d e s ) 很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程 的研究现实生活的许多领域内数学模型都可以用非线性p d e s 来描述，很多重 要的物理、力学等学科的基本方程本身就是非线性p d e s ，另外，随着研究的深 入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所 以对非线性p d e s 的研究，特别是非线性p d e s 求解精确解的研究工作就显示出 了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍 有效的求精确解的方法2 0 世纪5 0 年代以来，人们对非线性现象的研究中提出 了“孤子”的概念，进而使得对非线性p d e s 求解的研究成为非线性科学中的热 点下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状及本文的研究工作 1 1 研究背景 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，它既反映一类非常 稳定的自然现象例如江河中的某一类水波、光纤中的光电信号传播等，又提供了 求非线性偏微分方程显式解的方法，因而受到数学界和物理学界的充分重视 孤立子是具有弹性散射性质的孤立波，其发现可追溯到1 8 3 4 年，英国著名 科学家、造船工程师j o h n s c o o t r u s s e l l 在运河河道中偶然观察到了一种奇特的水 波，这种水波在行进的过程中形状与速度在较长的时间内无明显变化1 8 4 4 年， 他在英国科学促进协会第十四届会议以“波动论为题做了一次生动的报 告r u s s e l l 当时就认识到他所发现的孤立的耸起的波峰绝不是一般的水波，它 实际上表现为流体力学的一个稳定解随着近代物理学和数学的发展，孤立波现 象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增这是因为 一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立 子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象；另一方面， 江苏大学硕士学位论文 随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成 比较完善的理论体系【1 剐 非线性科学中有三大研究领域一孤立子，混沌和分形，这三者之间互相促进， 互相联系孤立子理论是非线性科学中的一个重要研究分支，究其原因是孤波现 象无所不在，从天上涡旋星系的密度波，线，超流氦一3 ，超导j o s e p h s o n 结，磁 学，结构相变，液晶，流体动力学以及基本粒子等，都与孤子有关孤立子理论 自1 9 6 5 年由n j z a b u s k y 和m d k r u s k a l 将他们发现的孤立波命名为孤立子 ( s o l i t o n ，简称孤子) 以来，得到了迅速地发展，其发展大致可分三个阶段： 第一阶段，主要是在1 9 世纪最早讨论孤立子问题的是英国著名科学家、 造船工程师j o h ns c o t tr u s s e l l 1 8 4 4 年他发现船在运河中快速行驶着，当这条船 突然停止时，在船头附近产生了一个光滑的、像小山包一样的水波，然后这个水 波离开船头保持它的形状和速度保持不变，接着这个水波的高度逐渐减少，最后 在运河的一个拐弯处消失掉，他把这种水波称为孤立波，认为它就是流体运动的 一个稳定解直到1 8 9 5 年，荷兰阿姆斯特丹大学的d j k o r t e w e g 教授和他的学 生gd v f i e s 才成功导出了著名k d v 方程，求出了与j s r u s s e l l 描述一致的即 具有形状不变的脉冲状的孤立波解，在理论上证实了孤立波的存在，并对孤立波 现象作了较为完整的分析，解释了j s r u s s e l l 的浅水波，解决了这个问题他 们的数学模型为 u t + 6 u u 。+ “。= 0 ( 1 1 ) 求解出的与j s r u s s e l l 所发现的孤立波现象一致的、具有形状不变的脉冲状 孤立波解 ( 蹦) = 导s e c h 2 ( 孚( x - - c f + x o ) ) ( 1 2 ) 厶 其中c 0 为孤立波的传播速度，与波动本身的性质有关，x o 为任意常数后人称 ( x ，f ) 为卜孤立子解 第二阶段大致可划在1 9 5 5 1 9 7 5 年1 9 5 5 年，f e r m i ，p a s t a ，u l a m ( f p u ) 将 6 4 个质点用非线性弹簧连成一条非线性振动弦，用计算机计算了一维非线性晶 格在各个振动模之间的转换初始时，这些谐振子的所有能量都集中在一个质点 上，其他6 3 个质点的初始能量为零按照经典的理论，只要非线性效应存在， 2 江苏大学硕士学位论文 就会有能量均分，各态历经等现象出现，即任何微弱的非线性相互作用，可导致 系统的非平衡状态向平衡状态的过渡但实际计算的结果却与经典理论是背道而 驰实际上，经过相当长时间之后，能量似乎又回到了原来的初始分布，这就是 著名的f p u 问题由于f p u 问题是在频域空间考察的，未能发现孤波解，因此 该问题未能得到j 下确的解释后来，人们发现可以把晶体看成具有质量的弹簧拉 成的链条，这恰好是f e r m i 研究的情况t o d a 研究了这种模式的非线性振动，得 到了孤波解，使f p u 问题得到正确的解答，从而进一步激发起人们对孤立波的 研究兴趣19 6 5 年，美国p r i n c e t o n 大学两应用数学家m d k r u s k a l 和n z a b u s k y 对等离子体中孤立波的相互碰撞过程进行计算机数值模拟，进一步证实了孤立波 在碰撞前后波形和速度保持不变的论断，这种性质与物理中粒子的性质类似，因 此把这种孤立波命名为孤立子( s o l i t o n ) ，它是指一大类非线性偏微分方程的许多 具有特殊性质的解，以及具有相应的物理现象，它的性质具体为：( 1 ) 能量比较 集中；( 2 ) 孤立子相互碰撞时具有弹性散射现象从此孤立子理论的研究工作得 到了迅速发展 第三阶段( 1 9 7 3 至今) ，把孤子概念及理论广泛应用于物理学，生物学，天 文学等各个领域，开展了高维孤子的研究1 9 8 0 年非线性效应专刊p h y s i c ad 问 世，与此同时，离散孤立子和光纤中的孤子已在实验中产生出来此后的发展更 是突飞猛进 综上所述，孤立子理论的产生和发展是与近代物理密切相关的孤立子理 论不但包括了有关的数学理论，也包括了物理理论，数学的严密性和物理的启发 性和实用性两者相互结合，相互依存，相互渗透，相互促进，使孤立子理论显示 出强大的生命力，这也是现代自然科学发展的重要特征之一 孤立子一词虽被广泛引用，但无一般性定义数学中，将孤立子理解为非 线性偏微分方程的局部行波解，所谓局部是指微分方程的解在空间的无穷远处趋 于零或确定常数的情况换言之，孤立子指的是稳定的孤立波，即与同类孤波碰 撞后不会消失，而且波形、波速和幅度不会改变或只有微弱改变的孤立波在物 理中，孤立子被理解为经典场方程的一个稳定的有限能量的不弥散的解，即能量 集中在一个狭小的区域内且相互作用后不改变波形和波速许多物理上重要的非 线性系统都具有孤立子解，而非线性系统一般都是由非线性偏微分方程来描述 江苏大学硕士学位论文 的，因而非线性偏微分方程的求解和其解的性质的研究成为了理论和实践中一个 备受关注的研究课题微分方程的显式解，特别是行波解可以很好的描述各种物 理现象，如振动、传播波等许多非线性偏微分方程，如k d v 方程、s i n e g o r d o n 方程、s c h r o d i n g e r 方程、b o u s s i n e s q 方程、k p 方程，t o d a 晶格方程等都具有孤立 子解孤立子除常见的钟型和扭型外还有包络孤子、哨孤子、拓扑性孤子和非拓 扑性孤子、呼吸子、亮孤子和暗孤子、正孤子和反孤子以及它们叠加而形成的形 形色色的孤立子 1 2 研究现状 求解微分方程是古老而在理论和实际上又很重要的研究课题，但由于非线 性微分方程的复杂性，至今仍有大量的重要方程无法求出精确解，即使已经求出 精确解，也各有各的技巧，至今尚无一般的求解方法所幸的是孤立子理论中蕴 涵着一系列构造精确解的有效方法，如反散射法( i s t ) 、b i c k l u n d 变换法、d a r b o u x 变换法、h i r o t a 双线性法、p a i n l e v 6 有限展开法【l o 】，延拓法及l i e 群法1 1 1 等随着 各种求解方法的出现，不但过去难以求解的方程得到解决，而且许多新的，具有 重要物理意义的解不断被发现和利用 1 9 6 7 年，g a r d n e r t l 2 l 等人发明了求解k d v 方程的逆散射方法( 也称为非线性) ， 这一方法利用量子力学中的s c h r o d i n g e r 方程特征值问题( 正散射问题) 及其反问 题( 反散射问题) 之间的关系，经过求解g e l f a n d l e v i t a n m a r c k e n k o 线性积分 方程而给出k d v 方程初值问题的解它不仅对应用技术提供了崭新的方法和概 念，而且对数学自身的发展也有深远影响随后，l a x b 3 】将该方法加以综合和推 广，使之能够用于求解其他非线性偏微分方程的初值问题，从而逐步形成一种系 统的求解方法1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t t l 4 】推广了这一方法，求出高阶k d v 方 程，立方s c h r o d i n g e r 方程等的精确解a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g u r 【1 5 _ 1 7 】贝i 更 加一般化反散射方法李翊神、田畴、屠规章教授等也为发展反散射方法做了很 好的工作 1 9 7 1 年，h i r o t a 所引进的双线性变换法( h i r o t a 方法) i s , 1 9 ，是构造非线性偏 微分方程n 孤立子解及其b a c k l u n d 变换的一种重要而直接的方法 1 9 7 5 年，w a h l q u i t 和e s t a b r o o k 提出延拓结构法，以外微分形式为工具，给出 4 江苏大学硕士学位论文 寻找与反散射方法相联系的线性特征值问题的系统的方法 1 9 9 1 年，李翊神教授基于对称约束提出一种非线性偏微分方程的直接的变 量分离方法；随后，楼森岳教授等提出另一种更有效的直接变量分离法得到了许 多的( 2 + 1 ) 维非线性发展方程的精确解 精确求解非线性发展方程的工作具有重复性、固定的套路和规律、计算量 大的特点，计算机代数的出现使人们摆脱了刻板、大量而重复的计算，提高了速 度保证了准确率1 9 9 6 年，p a r k e s 和d u f 匆给出了求非线性发展方程孤立波解的双 曲f 切函数法的m a t h e m a t i c a 程序包王明亮教授等基于非齐次项与高阶导数项 平衡的原则，将非线性方程齐次化、代数化，提出了齐次平衡法 近年来提出并发展起来的齐次平衡方法，实际上是求非线性偏微分方程精 确解的一种指导原则，故也称为齐次平衡原则依据该原则，可事先判定某类非 线性偏微分方程是否有一定形式的精确解存在，如果回答是肯定的，则可按一定 的步骤求出它来，并同时得到其满足某些条件的b a c k l u n d 变换因而齐次平衡原 则具有直接、简洁、步骤分明的特点，再者，还适用于计算机的符号计算系统进 行计算，且得到的是精确的结果至今，齐次平衡原则在非线性数学物理中已得 到广泛的应用，且其应用范围正在不断的扩展，已成为处理非线性数学物理相关 问题的有效工具之一 所以，近年来在齐次平衡原则下又发展了多种求解非线性偏微分方程精确 解的方法：像t a n h 函数法1 2 0 2 1 1 ，s i n e c o s i n e 方法【2 2 】，j a c o b i 椭圆函数展开法【2 3 】， r i c c a t i 方程方法【2 4 2 5 1 及f 展开法f 2 6 乏9 1 等这些方法一般都借助于计算机代数系统 ( m a t h e m a t i c a 或m a p l e ) ，求解方便、直接，而且可以对解进行数值模拟以便于 直观分析解的性质 1 3 研究的内容和意义 本文在齐次平衡原则的思想下，利用对解的形式以及约束条件进行了改进的 广义扩展的f 一展开法、扩展的( g ，g ) - 展开法、试探函数法与拓展的分式函数变换 法，发挥r i c c a t i 方程、二阶o d e 、试探分式函数在非线性偏微分方程( p d e s ) 求 解中的优良特性，并借助计算机符号系统m a t h e m a t i c a ，求解了非线性 k l e i n g o r d o n 方程、广义非线性超弹性杆波动方程，得到这些非线性p d e s 的一 江苏大学硕十学位论文 系列精确解下面是本文具体的研究工作： 第三章，利用对拟解形式进行改进的扩展( g g ) 展开法及齐次平衡原则，求 出t k l e i n g o r d o n 方程的含双参数的双曲函数、三角函数以及有理函数的显式行 波解，赋予行波解参数具体值可以使解的形式更加多样化 第四章，通过对一类非线性弹性杆波动方程进行了改进，得到广义非线性耗 散超弹性杆波动方程利用对解的形式以及约束条件进行了改进的广义扩展的f 展丌法，求解了广义非线性耗散超弹性杆波动方程，得到了包含周期解、尖波解、 三角函数解、复数函数解等类型丰富的精确解 第五章，对非线性弹性杆的纵波运动方程进行改进，并综合运用试探函数法 和拓展的分式函数变换法，得到了广义色散超弹性杆波动方程的精确分式解，包 括有理式解，周期解，孤立波解，j a c o b i 椭圆函数双周期解，并对部分解给出了 数字模拟图像 本文研究的意义：提出对解的形式以及约束条件进行了改进的广义扩展的f 展开法、扩展的( g g ) 展开法、试探函数法与拓展的分式函数变换法，比原有方 法有更加广阔的应用范围，而且随着对r i c c a t i 方程、二阶o d e 、试探分式函数的 深入研究，相信此方法应用前景会更加广阔，并能有助于发现更多复杂的精确解 本文结合齐次平衡思想并发挥r i c c a t i 方程、二阶o d e 、试探分式函数在非线性 p d e s 求解中的优良特性，求解非线性k l e i n g o r d o n 方程、非线性超弹性杆波动方 程，得到它们丰富类型的精确解及一些新解相信这些解将会对于解释一些重要 的物理现象有积极的意义 6 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念 2 1 孤立子及尖峰孤立子 目前，对孤立子有多种定义方式，但还没有一个确切的定义李政道认为： 在_ 个场论系统中，如果有一个经典的解，它在任何时间内都束缚于一个有限区 域内，那么这样的解就叫做经典孤立子解 通常在应用数学中，将孤立子理解为非线性演化方程局部化的行波解，经过 互相碰撞后，不改变波形和速度( 或许相位发生变化) 在物理领域，孤立子被理 解为：经相互作用后，波形和速度只有微弱改变的孤立波或者被理解为：非线 性演化方程能量有限的解即能量集中在空间有限区域，不随时间的增加而扩散 到无限区域中去 本文采用下述定义，即： 定义2 1 1孤立子是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的 解，以及与之相应的物理现象它满足以下三点： ( 1 ) 孤立子( 孤波) 是波动问题中的一种能量有限局域解； ( 2 ) 能在空间给定区域稳定存在； ( 3 ) 相互作用不改变各自的特性 从以上定义可知，孤立子能量集中在一个较狭小的区域，两个孤立子相互作 用时出现弹性散射现象，即波形和波速能恢复到原状( 或许相位有一些改变) 因 此，孤立子具备了粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性近年来， 人们也从更广泛的意义下理解孤立子这一术语，比如说，把能量集中在一个较狭 小的区域的静念解有时也称为孤立子 定义2 1 - 2 若孤立子解在波峰处有一个不连续的一阶导数，则称此孤立子 解为尖峰孤立子解，如图2 1 所示；若孤立子解在波峰处有一个连续的一阶导数， 则称此孤立子解为光滑孤立子解，如图2 2 所示 7 江苏大学硕士学位论文 图2 1 尖峰孤立子解 2 2 孤立子的分类 x j 。哦 6 o 4 图2 2 光滑孤立子解 通常所说的孤波，是指非线性演化方程局域行波解所谓“局域”，指的是 非线性演化方程的解在空间的无穷远处趋于0 或趋于确定常数的情况目前已经 有一系列非线性演化方程存在孤波解，除k d v 方程外，比较重要的还有非线性 s c h r o d i n g e r 方程( n l s 方程) 、s i n e - g o r d o n ( w g o r d o n ) 方程、h i r o t a ( m t o d a ) 非线 性晶格方程、铁磁链方程、布森内斯克方程、波恩( m b o r n ) - - 英菲尔德( m l i n f e l d ) 方程归纳起来，孤波的典型类型不外乎图2 3 中的四种：( a ) 波包型( 钟型) ；( b ) 凹陷型( 反钟型) ；( c ) 扭结型；( d ) 反扭结型其中( a ) 和( b ) 都是当吲专时，解 织( 孝) 专0 ；而( c ) 和( d ) 则是当孝j 佃或一时，织( 孝) 趋向于不同的常数值 i ( 孵) 一 号 ( a ) 波包型( 钟型) l 嘁芎) 一号 ( b ) 凹陷型( 反钟型) 仉1艇则叫=_h“rl曩i； 2 江苏大学硕士学位论文 j味毛) 厂一 芎 ( c ) 扭结硝 1 咄号) 、 i 善 ( d ) 反手h 结型 图2 3 孤立子的分类 从拓扑性质角度，孤波可分为拓扑性孤波和非拓扑性孤波拓扑性孤波存在 的必要条件是有简并真空态，即在无穷远处存在不同的真空态，或者说有不同的 边界条件：有孤立子解时，无穷远处的边界条件就与没有孤立子解时不同而非 拓扑性孤波不需要简并真空态，无论有无孤立子解，在无穷远处都有相同的边界 条件一般来说，钟型分布的正、负( 暗) 孤波及其序列都是非拓扑的，但是k i n k 孤波( 其模方或其导数却是钟型的，如光纤中基本暗孤子就是例子) 是拓扑孤 子需要注意的是，同一方程可能支持两类不同拓扑性质的孤波解，如( n l s ) 方 程支持明孤子解和小振幅明暗孤子解( 非拓扑) 及基本暗孤子解( 拓扑) 值得说明的是，尽管孤波原本指一类可积非线性演化方程的局域行波解但 现在，至少在物理上，孤波概念已经被推广到相对稳定的孤波解即使原来方程 并非可积的例如光孤子理论中，尽管有阻尼项的n l s 方程是不可积的，而且 实际光纤中的光孤子也不可能不衰减，但在阻尼很小的情况下，相对稳定的孤波 仍被称为光孤子在其他一些情况下，对孤波的理解常常也因为实际问题而有所 推广 2 3 逆算符法 据逆算符方法的基本思想，把偏微分方程a u = a ( u ，“，u ，“。，) = 0 改写为 甜+ r 甜+ n u = 0 ( 2 1 ) 其中上和尺是线性微分算子，“是非线性项算子是可逆的，作用逆算子上。于上 式两边得到 9 江苏大学硕士学位论文 “= f l - 1 ( r 甜) + f 1 ( n u )( 2 2 ) 其中，满足( 2 1 ) 及初始条件，根据逆算符方法“可以分解为一系列分量之和 甜= ( 2 3 ) n * o 利用回归关系可以得到 u o = ( x ) ，u = - 1 , 7 1 ( r u ) + f 1 ( n u t )( 2 4 ) 非线性项f ( u ) ：n u 可以表示为无限级数之和 f ( 甜) = 4 t ( 2 5 ) n = o 其中么行是a d o m i a n 多项式，定义为 4 = 去熹叭静讹= 0 ，l 2 ， ( 2 6 ) 利用( 2 3 ) ，( 2 4 ) 可以依次解出u o ，u 。，甜：，u ，从而得到方程的解 u = u o + 毡+ “2 + u 3 + ( 2 7 ) 业已证明a d o m i a n 分解法是收敛的，而且收敛速度相当快，能够得到精确解 2 4 齐次平衡法 齐次平衡法是一种求解非线性偏微分方程非常重要的方法，它将非线性发展 方程的求解问题转化为纯代数运算利用这种方法不仅可以得到方程的b a c k l u n d 变换，而且能得到非线性偏微分方程的新解该方法的大致步骤如下： 对于给定一个非线性偏微分方程 p ( u ，u x ，珥，u x x ，l 。l x t ，u t t ，) = 0 ( 2 8 ) 这里尸一般是其变元的多项式，其中含有非线性项及线性出现的最高阶偏导数项 一个函数w = w ( x ，) 称为是方程( 2 8 ) 的拟解，如果存在单变元函数 f = f ( w ) ，使鳅w ) 关于_ ) c ，f 的一些偏导数的适当的线性组合，即 “o 力= 鬻+ v ( x 力( 厂( w ) 关于x 和f 的低( 2 9 ) 于m + n 阶的偏导数的适当线性组合) 精确的满足方程( 2 8 ) ( 式( 2 9 ) 中的非负整数m ，l , l ，单变元函数f = f ( w ) 以及函 数w = w ( x ，f ) 都是待定的) ，将式( 2 9 ) 代入方程( 2 8 ) 中可通过以下步骤确定它们： 江苏大学硕士学位论文 首先，使高阶偏导数项中包含的w = w ( x ，t ) 的偏导数的最高幂次和非线性项 中，包含的关于w = w ( x ，f ) 的偏导数的最高幂次相等，来决定非负整数m 及胆是否 存在 其次，集合w = w ( x ，f ) 的偏导数的最高幂次的全部项，使其系数为零，而得 a w ) 满足的o d e ，解之可得f = 厂( w ) ，一般是对数函数 第三，糊w ) 的各阶导数的非线性项，瞰w ) 的较高阶的导数来代替，再搠w ) 的各阶导数项分别合并在一起，并令其系数为零，而得w - - - - - w ( x ，) 的各次齐次型 的p d e 组，可适当选择式( 2 9 ) 中线性组合的系数，使p d e 组有解 最后，若前三步的解答使肯定的，将这些结果代入式( 2 9 ) ，经过一些计算就 得方程( 2 8 ) 的精确解 、 从式( 2 9 ) 可以看出，如果v ( x ，f ) 方程( 2 8 ) 的一个解，则通过上述步骤就可以 求得方程的b a c k l u n d 变换 2 5 ( g7 g ) 一展开法 考虑非线性偏微分方程( 2 8 ) ： 尸( 材，u ，u ，u 矗，u 删，“f l ，) = 0 尸是以u 及其各阶导数为变元的多项式，其中包括最高阶导数项和非线性项用 ( g g ) 一展开法求方程( 2 8 ) 行波解的步骤如下： 首先，对方程( 2 8 ) 作如下的线性变换 u ( x ，) = “( 孝) ，孝= k x 一纠+ 氛 ( 2 1 0 ) 其中忌，国为待定常数，白是任意常数将式( 2 1 0 ) 代入方程( 2 8 ) ，则方程( 2 8 ) 化 为“( 0 的o d e q ( u ，u ，u 。，) = 0( 2 1 1 ) 其次，设“( 0 可以表示为( g g ) 的多项式 ，1 ， “( 孝) = 口l ( 告) j ( 2 1 2 ) 其中a t i = 0 ，1 ，2 ，肋是待定常数，且口棚，g ( 0 满足下面的二阶线性o d e g ”( 告) + 力g ( 孝) + g ( 孝) = 0( 2 1 3 ) 其中 ，虞待定常数，整数可以通过齐次平衡原则嘲来确定 江苏大学硕士学位论文 再次，把式( 2 1 2 ) 代入方程( 2 1 1 ) ，则方程( 2 1 1 ) 的左边化为( g g ) i 黟项式， 合并同类项，令此多项式中的( g7 g ) 系数全为零，得到关于口疋f - 0 ，l ，2 ，加，k ， 彩，a 和的代数方程组 最后，求解上述关于a 舡= o ，1 ，2 ，朋，k ，0 9 ，五和的代数方程组( 可借助 m a t h e m a t i c a ) ，把得到的口，( 卢0 ，1 ，2 ，朋，k ，彩，a 和的值代入式( 2 1 2 ) 就得到非 线性方程( 2 8 ) 的精确行波解 2 6 试探函数法和分式函数变换法 试探函数法和分式函数变换法的基本思想是假定非线性发展方程的形式解 具有某类函数形式，然后将这类形式解代入该非线性发展方程，从而把非线性发 展方程转化为一组待定系数( 函数) 的代数方程组，通过求解代数方程组，可以 确定形式解的各项系数，最终求得非线性发展方程这类函数形式的解 考虑非线性偏微分方程( 2 8 ) ，考虑两个自变量的情形： p ( u ，“，“，“。，u 矗，“盯，) = 0 为了求解上述方程，首先引入一个变换： = + _ o v ，v ：v ( y ) ，y ：。x , t )(214)uu o yy ( x2 + _ ，v 2 v l y ) ，=)【r 2 c 其中“o 为待定常数，v 和y 为试探函数1 ，和y 应根据具体的非线性偏微分方程灵活 选择选好试探函数后，将式( 2 1 4 ) 代入方程( 2 8 ) ，就可将非线性偏微分方程化 为非线性代数方程，然后用待定系数法确定相应的常数，最后可方便的求得其孤 波解、奇异行波解，然后选取适当的函数，就可以将非线性偏微分方程( 2 8 ) 化为 非线性代数方程，从而求出方程的解 2 7f 一展开法 前人提出并不断发展的f 展开法，可以看作是任何一类j a c o b i 椭圆函数展开 方法，因而是j a c o b i 椭圆函数展开法的全面概括，其主要思想和步骤如下： 考虑非线性偏微分方程( 2 8 ) ，如两个自变量的情形： p ( u ，u x ，u l ，u 。，u x t ，u f f ，) = 0 这里p 是其变元的多项式，其中应包含有非线性项及线性出现的高阶偏导数项寻 1 2 江苏大学硕士学