（应用数学专业论文）一类二阶常微分方程组边值问题的正解.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 非线性常微分方程边值问题解的存在性尤其是正解的存在性问题，是应 用和理论中令人感兴趣的关键问题，在整个常微分方程研究领域，显得尤为 重要。特别是二阶常微分方程边值问题。一直是微分方程研究领域中的一个重 要研究课题，它在物理学、天文学、生物学及社会学等研究领域内有着广泛的 应用背景和重要的理论指导意义。 近几十年来，随着非线性泛函分析这支学科理论的出现，利用其中的上 下解方法，迭合度方法，锥上的不动点定理等方法解决非线性常微分方程边 值问题收到了很好的效果，取得了巨大的进展和成功，国内外的众多学者 也陆续得到了很多重要的成果( 参见文献【4 1 9 】) 。关于非线性常微分方程两 点边值问题的研究也有了一些讨论( 参见文献【4 - 6 ，8 1 6 1 ) ，其中z h a n b i n gb a i ， w e i g a og e 在文献【6 j 中，利用不动点指数理论推广了l e g g e t t w i l l i a m s 不动点 定理，并把它应用到了一类非线性边值问题中去。受文【6 】6 启发，本文讨论了 一类二阶非线性r o b i n 边值问题。 非线性微分方程组边值问题起源于流体力学，边界层理论，非线性光学 等应用学科，是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一。由于这种方程呈 现的结构具有深刻的物理背景和现实的数学模型与自然现象及其吻合，而且 应用数学和工程学中有大量模型均可以归结为方程组边值问题正解的存在 性，所以研究微分方程组边值问题正解的存在性具有深刻的内在价值。 关于二阶非线性常微分方程边值问题的研究，已有丰富的结果。相比之 下，对于二阶非线性常微分方程组边值问题的研究要更加困难，研究的人较 少，相应的文献也要少得多( 见文献【2 0 - 3 2 1 ) 。且在这些文献中，非线性项均 不含一阶导数。 本文共分三章，主要利用了非线性泛函分析中的理论和方法以及锥上的 不动点理论，讨论了一类二阶常微分方程和常微分方程组的两点边值问题， 给出了正解存在性定理。 第一章介绍了非线性边值问题的研究目的及意义、国内外研究概况和本 文研究内容相关的基本概念和定理。 i 山东大学硕十学位论文 第二章主要讨论了一类非线性二阶r o b i n 型边值问题正解的存在性，得 出了下列边值问题在某些条件下至少三个正解的存在性定理及相关推论。 ， y o 卜八厶以d 川，( o ) _ o o k1 ( a ) i 比( o ) = “7 ( 1 ) = 0 其中f ：【o ，1 】【0 ，o o ) r _ 【0 ，o o ) 是连续的。 第三章则是把第二章中得到的存在性定理推广应用到常微分方程组中， 建立了如下二阶常微分方程组r o b i n 边值问题正解存在性的判别定理。 “”( f ) 十f ( t ，吠f ) ，i ，( f ) ) = 0 ， 矿7 ( f ) + g ( t ，“( f ) ，u p ( f ) ) = 0 ， “( o ) = “7 ( 1 ) = 0 ， 邶) = 矿( 1 ) = 0 其中f , g ：【o 。1 】【0 ，e o ) r 叶【o ，o o ) 是连续的。 目前有关二阶常微分方程组两点边值问题的文献( 见【2 0 2 9 】) 大都考虑 的是如下几种形式： 一u ”= f ( x ，v ) ，x ( o ，1 ) ， 一1 ，= g ( x ，h ) ，工( 0 ，1 ) ， “( 0 ) = “( 1 ) = 0 ， l ，( o ) = 1 ，( 1 ) = 0 其中，f c ( 【0 ，1 】r + ，r + ) ，g c ( 【0 ，l 】r l - r + ) ，( 工，0 ) 三0 ，g ( x ，0 ) 三0 ， - u ( f ) = 厶l i ( f ) ，“力) ，t ( 0 ，1 ) ， 一v ”( ，) = 五( ，以力，吠，) ) ，t ( 0 ，1 ) ， h ( o ) = “( 1 ) = 0 ， 吠o ) = 吠1 ) = 0 其中 ，f z c ( t r + r + ，r + ) ，= 【0 ，1 】，r + = 【0 ，+ ) i i r ( d + 姐( 缸f ) ，y ( f ) ) = 0 ，0 t 1 ， ) ，7 ( f ) + a f 2 ( x ( t ) ，) ，( f ) ) = 0 ，0 t 1 ， j ( 0 ) = 1 ) = 0 ， 灭0 ) = ) ，( 1 ) = 0 、j b ，l ， ， -l ， f 0 为参数，五，五：r + r + 一r 连续，r + = l o ，o o ) 而对于非线性项含有阶导数的r o b i n 型边值问题并不多见，本章就对此类 问题( b ) 给 l ：了至少存在三个正解的存在性判别定理。 关键词：边值问题；常微分方程组；正解；不动点定理 i 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r - e n t i a le q u a t i o n ，e s p e c i a l l yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s ，i sa ni n t e r e s t i n ga n dc r i t i c a l q u e s t i o ni na p p l i c a t i o na n dt h e o r y ，p l a y i n ga ni m p o r t a n tr o l ei nt h er e s e a r c hf i e l do fo r - d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s p a r t i c u l a r l y , t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rs e c o n do r d e r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sa l w a y sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti nt h er e s e a r c hf i e l do fd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s i th a se x t e n s i v ea p p l i e db a c k g r o u n d sa n ds i g n i f i c a n tt h e o r yv a l u ei n m a n yr e s e a r c hf i e l d s ，s u c ha sp h y s i c s ，a s t r o n o m y , b i o l o g ya n ds o c i o l o g y ，e t c i nt h ep a s td e c a d e s ，w i t hn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sa r i s i n g ，m a t h e m a t i c i a n su s - i n gt h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nm e t h o d ，t o p o l o g i c a ld e g r e em e t h o d ，f i x e dp o i n tt h e o r e m o nc o n et os o l v et h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mc o u l da l w a y sg e tg o o dr e s u l t sa n dh a v e m a d es o m eg r e a td e v e l o p m e n t sa n ds u c c e s s m o r ea n dm o r em a t h e m a t i c i a n sg e tm a n y s i g n i f i c a n ta c h i e v e m e n t s ( s e e 4 - 19 1 ) ，a l s oi n c l u d i n gs o m er e s u l t sa b o u tt w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s e e 【4 - 6 ，8 一1 6 】) a m o n g t h e m ，b yu s i n gt h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y ，z h a n b i n gb a i ，w e i g a og eg e n e r a l i z e dt h e l e g g e t t - w i l l i a m sf i x e d - p o i n tt h e o r e mi nr e f e r e n c e 【6 】，a n da p p l i e di ti n t oac l a s so fn o n - l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m b ei n s p i r e db y 6 】，w es t u d yak i n do fr o b i nb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mf o rs e c o n do r d e rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h i sp a p e r n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rs y s t e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so r i g i n a t e s f r o mf l u i dm e c h a n i c s ，t h et h e o r yo fb o u n d a r yl a y e r , n o n l i n e a ro p t i c s ，e t c ，w h i c hi sa t p r e s e n to n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d si na n a l y s i sm a t h e m a t i c s s i n c et h es t r u c t u r e st l l e y p r e s e n th a v ep r o f o u n ds i g n i f i c a n c eo fp h y s i c a lb a c k g r o u n d sa n dp r a c t i c a lm a t h e m a t i c a l m o d e l st h a tc o i n c i d ew i t ht h en a t u r a lp h e n o m e n o n ，a n dt h e r ea r el o t so fm o d e l si na p p l i e d m a t h e m a t i c sa n de n g i n e e r i n gc o u l db ec o m ed o w nt ot h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s o fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs y s t e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ei n v e s t i g a t i o no f p o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs y s t e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a s p r o f o u n di n t n n s i cv a l u e t h e r ea r ea b u n d a n tr e s u l t sf o rt h es t u d yo fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n d i v 山东大学硕士学位论文 o r d e rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b yc o n t r a s t ，i t sm u c hh a r d e rt os t u d y t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs y s t e m so fs e c o n do r d e rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h e r ea r ef e w e rp e o p l et oi n v e s t i g a t e ，a n dt h er e l e v a n tr e f e r e n c e sa r es l i m p i c k i n g s ( s e e 【2 0 3 2 】) a n di nt h e s er e f e r e n c e s ，t h e r ei s n tf i r s t - o r d e rd e r i v a t i v ee x p l i c i t l y i nt h en o n l i n e a rt e r m t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s ，e m p l o y i n gt h et h e o r ya n dm e t h o do fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sa n df i x e dp o i n tt h e o r yo nc o n e st oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n so fac l a s so fs e c o n do r d e rt w o p o i n to r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d o r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s c h a p t e r1i n t r o d u c e st h ea i ma n ds i g n i f i c a n c eo ft h er e s e a r c hf o rn o n l i n e a rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s ，t h eg e n e r a ls i t u a t i o no fd o m e s t i ca n df o r e i g nr e s e a r c h ，a sw e l la ss o m e r e l e v a n tp r e p a r a t o r yk n o w l e d g ei n c l u d i n gs o m ed e f i n i t i o n sa n db a s i ct h e o r e m s c h a p t e r2m a i n l yd i s c u s s e st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fr o b i nb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so fn o n l i n e a rs e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n u n d e rc e r t a i n c o n d i t i o n s ，w eg e t st h ee x i s t e n c et h e o r e mo fa tl e a s tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n so ft h ef o l l o w i n gb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m 二篇? 肛l w h e r e f ：【0 ，1 】【0 ，o o ) r _ 【qo o ) i sc o n t i n u o u s ( a ) i nc h a p t e r3 ，w ec o n s t r u c tae x i s t e n c et h e o r e mo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h ef o l l o w - i n gs e c o n d - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hr o b i nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mb y g e n e r a l i f i n gt h et h e o r e mo fc h a p t e r2 u ”( f ) + 八f ，v ( o ， ，( d ) = 0 ，0 t 1 ， 矿( d + g ( t ，“( 力，( o ) = 0 ，0 t 1 ， “( o ) = ( 1 ) = 0 ， 1 ，( 0 ) = 矿( 1 ) = 0 w h e r e 工g ：【0 ，1 】【0 ，o o ) r 一【0 ，c o ) i sc o n t i n u o u s ( 动 a tp r e s e n t ，t h er e f e r e n c e sa b o u ts e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t ht w o v 山东大学硕士学位论文 p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( s e e 2 0 2 9 】) m o s t l yc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gf o r m s ： 一“”= 厂( 】矗v ) ，x ( 0 ，1 ) ， - v 7 = g ( x ，“) ，x ( 0 ，1 ) ， u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 ， v ( o ) = v ( 1 ) = 0 w h e r e ，f c ( 【0 ，l 】r ，r + ) ，gec ( o ，l 】r + ，r - ) ，f ( x ，0 ) 三0 ，g ( x ，0 ) 三0 ， - - u ”( 力= ( 厶以力，v ( 力) ， 一v ”( 力= f 2 ( f ，“( f ) ，“f ) ) ， u ( o ) = “( i ) = 0 ， 以0 ) = ，( 1 ) = 0 t ( 0 ，1 ) ， t ( 0 ，1 ) ， w h e r e ，五c ( 1 r + r + ，”) ，j = 【0 ，1 】，r + = 【0 ，+ ) r ( 力+ a ( 舣f ) ，) ，( d ) = 0 ，0 t 1 ， ) ，( f ) 十, t f 2 ( x ( t ) ，y ( f ) ) = 0 ，0 0 ， m - 2 ( b c 2 ) h ( o ) = 0 ，“( 1 ) 一 ，k i u ( f i ) = 0 ， 1 f = l m - 2 其中k i 0 ，( i = 1 ，2 ，m 一2 ) ，0 f l 靠一2 1 ，k i w i 1 ， ( b c 3 ) u ( o ) = c “( f ) ，“( 1 ) = b u ( q ) 其中。 f 叩 o ，且o 6s 石1 z h a n b i n gb a i ，w e i g a og e 在文献 6 】中推广了l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理， 建立了一个新的锥上的不动点定理，并把它应用到下列边值问题 l ，7 ( f ) + f ( t ，珂f ) ，r ( f ) ) = 0 ，0 t 1 ， 1 i 工( o ) = 瓤1 ) = 0 得到了至少三个正解的结论。 h u i h u ip a n g ，m e i q i a n gf e n g ，w e i g a og e 在文献【7 】中利用单调迭代技术得到 了边值问题 “”+ f ( t ，“( f ) ，“( r ) ) = 0 ，0 r 1 ， 口h ( 0 ) 一f 池7 ( 0 ) = 0 ， “7 ( ，7 ) + “( 1 ) = 0 准对称单调正解的存在性。 本文主要利用文献【6 】中给出的一个锥上的推广的l e g g e t t - w i l l i a m s 不动 点定理来研究一类边值问题正解的存在性。主要的方法思想就是将微分方程 转化为积分方程，构造相应的全连续算子，将微分方程解的存在性问题转化 为算予的不动点的存在性，该思想起源于数学家希尔伯特于1 9 0 4 年的发现。 1 2 预备知识 本节给出一些讨论二阶常微分方程两点边值问题所要用到的预备知识。 由于本文以非线性泛函分析为主要理论基础来研究非线性常微分方程边值 问题，所以首先给出非线性泛函分析中的几个基本定义和定理。 定义1 2 1 c 1 j 设e l 和易是两个b a n a c h 空间，dce l 。设算子a ：d _ 易，若a 将d 中任何有界集s 映成易中的列紧集a 岱) ，则称a 是映d 入易的紧算子。 3 山东大学硕士学位论文 定义1 2 2 l l j 设e 1 和如是两个b a n a c h 空间，dce l 。设算子a ：d e 2 ，若算 子a ：d _ 易是连续的，而胃又是紧的，则称a 是映d 入岛的全连续算子。 定义1 2 3 t 2 】设e 是b a n a c h 窄间，p 是e 中的非空闭集。如果p 满足 ( i ) 任给x ，y 只口0 ，卢0 ，有o r x + 缈ep ； ( i i ) 若xep ，x 0 ，贝0 一螂， 则称p 是e 中的锥。 定义1 2 4 映射7 被称作是p 上的非负连续凹泛函，如果y ：p 一【0 ，o o ) 是连续 的，且有 y ( t x + ( 1 一f ) ) ，) t y ( x ) + ( 1 一t ) r t y ) ， 对任意的x 。y p , o t 1 。类似的，我们称映射口是尸上的非负连续凸泛函， 如果口：p _ 【0 ，o o ) 是连续的，且有 a ( t x + ( 1 一t ) y ) 船( 力+ ( 1 一t ) a t y ) ， 对任意的工。y p , o t l 。 假设口，卢：p 一【o ，o o ) 是两个非负连续凸泛函，满足： i i x l i m m a x o t ( x ) ，卢( 曲l ，v x 只( 1 2 1 ) 其中m 是一个正常数，且 q = f x p i o ! ( x ) r ，卢 0 ( 1 2 2 ) 则q 是p 中的一个非空有界开子集。 定义1 2 5 给定常数r a 0 ，l 0 ，假设口，卢：p 【0 ，) 是满足( 1 2 1 ) 和 ( 1 2 2 ) 的两个非负连续凸泛函，且y 是锥p 上的非负连续凹泛函。定义凸集 尸( 口，r ；f l ，d = xepi 口( 曲 r , 3 ( x ) l l ， p ( o t ，r ；f l ，d = i x pla ( x ) r 卢( 功l l ， p ( 口，r ；p ，l ；y ，口) = i x 尸l 口( 曲 ，卢( 力 口1 ， p ( a ，r ；p ，l ；y ，a ) = f x pic k x ) r 觑z ) l ，y ( x ) 口1 由于可以通过线性齐次常微分方程边值问题解的结构，来分析非线性常 微分方程边值问题解的情况，下面给出常用的相关定义和定理。 4 山东大学硕十学位论文 定义1 2 6 t 3 1 设 n l x = 一+ 删，z 二j 信i 叭”= 【u l ( 力，如( 力，玑( j ) 】r ， m lp i - - l 其中u i ( x ) = 口政( 鲰) ，i = l ，2 ，n ， k = o j = o a = 口o o 1 口m 一1 = b ，咒1 ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 怯等 m 2 固 定义1 2 7 t 3 】在b v p ( i 2 5 ) 中，如果，( f ) 和玎分别用f ( t ，工，| 口) ，g ( t ，毛，神) 代替，其中q n 一1 ，就得到一般的非线性边值问题 鬈麓强 2 固 定义1 2 8 t 3 1 若b v p ( 1 2 5 ) 中，若f ( t ) 暑0 ，j 7 = 0 ，即 三。 m 2 刀 则称为线性齐次边值问题，否则称为线性非齐次边值问题。 定义1 2 9 t 3 j 如果边值问题( 1 2 5 ) 中，f ( o 0 ，或，7 0 ，则线性非齐次边值问题 旧等 m 2 固 慨舅 2 聊 分别称为第一类半齐次边值问题和第二类半齐次边值问题。 g r e e n 函数是研究非线性常微分方程边值问题的一个重要工具。借助 g r e e n 函数可以将微分h - 程边值问题解的存在性、唯一性、多解性转化成算子 山东大学硕士学位论文 不动点的存在性、唯一性及多解性。同时，根据g r e e n 函数给出的算子表达式， 可以较容易地给出边值问题的有解性条件并利用迭代法建立逼近解。g r e e n 函数具有与边值条件有关而与非线性项无关的良好件质，对于一些经典的两 点边值问题，我们已经得到了g r e e n 函数的具体形式。下面给出本文要用到的 关，tg r e e n 函数的几个重要结论。 定理1 2 1 i 3 】当线性边值问题( 1 2 8 ) 为非共振情况时，存在唯一的g r e e n 函数 g ( t ，s ) ，使b v p ( 1 2 8 ) 的唯一解可表示为 产 工( f ) = j6 ( t ，s ) f ( s ) d s j a 定理1 2 2 1 3 1 线性边值问题( 1 2 8 ) 在非共振的情况下对应的g r e e n 函数存在且 唯一。 6 山东大学硕十学位论文 第二章一类二阶边值问题正解的存在性 2 1 引言和引理 非线性常微分方程两点边值问题一直是国内外的研究热点，如d i d c h l e t 边值问题，n e u m a n n 边值问题，r o b i n 边值问题，s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题及周 期边值问题等都被深入而广泛地研究过，取得了许多系统而深刻的结果。但 其中非线性项显含一阶导数的情况较少。本章主要讨论的就是下列非线性项 含一阶导数的二阶r o b i n 问题 ， i “”( f ) + f o ，( d ，( f ) ) = 0 ，0 ， l ， ( 2 1 1 ) l “( o ) = u ( 1 ) = 0 ， ( 2 1 2 ) 正解的存在性，其中f ：r 0 ，1 】【0 ，o o ) r _ 【0 ，o o ) 是连续的。 定义2 1 1 如果函数“( f ) 满足下列条件 ( i ) “( f ) c o ，l 】nc 2 ( o ，1 ) ； ( i i ) u ”( f ) + f ( t ，h ( f ) ，h 7 ( f ) ) = 0 ，0 b ，l 0 ，如l l 0 。假设口，卢是锥p 上的非负连续凸泛函，满足( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) ，y 是锥p 上的非负连续凹泛函，满足7 ( 曲s 口( 曲对任意的工户( 以r 2 ；b ，如) ，令 t ：户( 口，r 2 ；卢，如) 一取叱r 2 ；p ，厶) 为全连续算孑，满足以下假设： ( h 1 ) f x p ( a ，d ；3 ，t a ；r ，易) 1 7 ( 曲 b 1 0 ，y ( r 劝 b ，对任意的x p ( t r ，d ；3 ，如；y ，6 ) ， ( h 2 ) a ( t x ) d 则r 在户( 口，r 2 ；3 ，如) 上有至少三个不动点x l x 2 ，工3 ，且有 x l p ( 口，r l ；3 ，l i ) ，x 2 p ( a ，r 2 ；层l 2 ；n 易) iy ( 曲 6 l ， 7 山东大学硕士学位论文 和 x 3 户( 口，r 2 ；f l ，如) ( 户( 口，r 2 ；i ，l z ；y ，易) up ( a ，i ；卢，l 1 ) ) 设x = c l i o ，1 】上赋有序“v 。如果h ( f ) “r ) 对v f 【0 ，l 】，且赋有最大 模，l l u l i _ m a x m a x i u ( t ) l ，m a x f ( 力l j 。由”= 一f ( t ，研，“7 ) 0 ，可知“在f 0 ，1 】上是凹 i ，! ，s lu f 3 i 函数。因此可以定义锥p xp = 恤xu ( t ) 0 ，h 是【0 ，1 】上的f u l 函数jcx 口( “) 2 心m a s x l u ( ) l ，觑“) _ 。m 班a x ii “7 ( 力i ，y ( “) 2i ，嬲，4 i ，“p 则口，p ，y ：p _ 【0 ，o o ) 是三个非负连续泛函，使得i l u l l = m a x l a ( u ) ，卢( “) ，且 ( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 成立；a ，卢是凸的，y 是凹的，且有认蹦) 口( “) ，v “p 令g ( t ，j ) 为 焉翥。 b ，l 0 ，l _ a l l 0 使得b 6 m i n 2 r 2 ，- a 】且 以下假设成立： ( a 1 ) 厂( f 五y ) b 1 6 , v ( t , x ，y ) 【 ，；】【多，的】【一如，t a l ； ( a 3 ) 厂( x ，力m i n 2 r 2 ，- , 2 j ，v ( t ，工，力【o ，1 】【0 ，r 2 】卜如，如】 则边值问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 至少存在3 个正解u i ，“2 ，“3 ，且满足： 8 o m ，a x lu i ( f ) r l ，。m f a 蔓x 1 “j ( ) i l j ； 6 b l 0 。 因此，若“p ( a ，4 b ；3 ，l 2 ；y ，厶) ，则b “( f ) 4 b ， t i 。由假设( a 2 ) 可 知，( ，( f ) ，( f ) ) b & - ist ；。由y 及p 的定义可知，我们需要讨论以下两 种情况： ( i ) t ( t u ) = ( 丁h ) ( 1 4 ) ，和 ( i i ) y ( t u ) = ( t u ) ( 3 4 ) 9 sd 厂上 如 如 v i 一一 山东大学硕十学位论文 对于情况( i ) ，我们有： 在情况( i i ) 中，有： y ( = (