（凝聚态物理专业论文）各向异性海森堡模型的格林函数方法研究.pdf

摘要 磁性是物质的基本属性。宏观物体的磁性有多种形式，从弱磁性质的抗磁 性、顺磁性、反铁磁性到强磁性质的铁磁性、亚铁磁性，它们具有不同的形成 机理。研究物质磁性的形成及其机理足现代物理学的一项重要内容。此外，物 质的磁性在工农业生产、日常生活和现代科学技术领域中都有着重要的应用， 磁性材料已成为功能材料的一个重要分支。因此，从研究物质的磁性及其形成 机理出发，探讨提高磁性材料性能的新途径，开拓磁性材料的新的应用领域已 成为当代磁学的主要研究方法和内容。本论文研究的足空间各向异性的铁磁、 反铁磁性材料，这种材料可以用空间各向异性海森堡模型来描述。 文章第一章绪论介绍了本文的研究背景和使用的方法及所研究的内容。 文章第二章研究了空间各向异性的铁磁海森堡模型，在自旋s ：1 2 的情况 下，建立了上述模型的哈密顿量。使用双时格林函数方法，在t y a b l i k o v 近似f 无 规相近似) 下，通过求解格林函数的运动方程，得到了该模型的磁化强度，磁化 率、以及关联函数的表达式。通过分析发现，各向异性越强，居里温度越高，磁 化强度也越强。在低温区域，磁化强度按照t3 z e 一。7 0 依赖于两个参数。b ) 形 式下降。在高温下，与分子场理论相比较，各向异性引起了磁化率一附加的修 正。在临界区域，各向异性使得动力学临界指数从血，= , 5 2 变化到z e f f = 1 。 文章第三章研究了空间各向异性的反铁磁海森堡模型，在自旋s - 1 2 的情 况下，建立了上述模型的哈密顿量。引入自旋的升降算符，将反铁磁模型表示 成反铁磁双格子模型。同样的在t y a b l i k o v 近似下，通过求解格林函数的运动方 程，得到了该模型的磁化强度、磁化率、以及关联函数的表达式。我们研究了 基态性质和有限温度的性质。结果显示，在零温下，各向异性越强，零温磁化 强度也越强。在有限温度下，奈尔温度随各向异性的增强而升高。 文章的末尾即第四章，是本论文内容的总结和以后工作的展望。 关键词：海森堡模型；格林函数方法；各向异性；铁磁；反铁磁 a b s t r a c t m a g n e t i s mi s t h eb a s i cp r o p e r t i e so ft h em a t t e r t h e r ea r em a n yd i t f e r e n t f o r m sa b o u tt h em a c r o s c o p i co b j e c t t h e ya r ed i f f e r e n tp r o d u c i n gm e c h a n i s m f r o mt i l ew e a km a g n e t i s ms u c ha sp a r a m a g n e t i s m ，a n t i f e r r o m a g n e t i s ma n dd i a - m a g n e t i s mt ot h es t r o n gm a g n e t i s ms u c ha sf e r r i m a g n e t i s ma n df e r r o m a g n e t i s m i t i sa ni m p o r t a n tp a r to fm o d e r np h y s i c st os t u d yt h em a g n e t i s mo ft h em a t t e r a n di t s p r o d u c i n gm e c h a n i s m o t h e r w i s et h em a g n e t i cp r o p e r t i e sa r eo fi m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nt h ea g r i c u l t u r ea n di n d u s t r yp r o d u c t i o n t h en o r m a ll i f e a n d n l o d e r ns c i e n c et e c h n o l o g y t h em a g n e t i cm a t e r i a lb e c o m e sa ni m p o r t a n te m - b r a n c h m e n ti nt h ef u n c t i o n a lm a t e r i a lf r o ms t u d y i n gt h eo r i g i no ft h em a g n e t i c p r o p e r t i e s ，r e s e a r c h i n gan e ww a y t oi n c r e a s em a g n e t i s ma n d f i n d i n gan e wa p p l i - c a t i o nr e g i o nf o rm a g n e t i cm a t e r i a lb e e o l n e st h em a i nc o n t e n t sa n dt h er e s e a r c h i n gm e t h o df o rt h ec o n t e m p o r a r ym a g n e t i s m i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h es p a t i a l l y a n i s o t r o p i cf e r r o m a g n e t i ca n da n t i f e r r o m a g n e t i cm a t e r i a lw h i c hc a l lb ed e s c r i b e d b ya n i s o t r o p i ch e i s e n b e r gm o d e li ss t u d i e d i nc h a p t e r1 1t h i sd i s s e r t a t i o n 8r e s e a r c hb a c k g r o u n d r e s e a r c hc o n t e n t sa n d r e s e a r c hm e t h o d sa r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r 2 ，t h ea n i s o t r o p i cf e r r o m a g n e t i ch e i s e n b e r gm o d e l i ss t u d i e d u n d e r t h ec o n d i t i o no fs p i ns = 1 2 t h ea b o v em o d e l sh a m i l t o n i a ni sc o t m t r u c t e d b y u s eo ft h ed o u b l e - t i m eg r e e n sf n n c t i o nm e t h o d ，i nt h et y a b l i k o va p p r o x i n m t i o n t h r o u g ht h es o l u t i o no ft h en m t i o ne q u a t i o n ，t h ee x p r e s s i o no ft h em a g n e t i z a t i o n ， t h es u s c e p t i b i l i t ya n dt h ec o r r e l a t i o nf u n c t i o na r eg a i n e d i ti sf o u n dt h a tt h e s t r o n g e rt h ea n i s o t r o p y t h el a r g e ro ft h ec u r i et e n l p e r a t n r e a tl o wt e m p e r a t u r e r e g i o nt h em a g n e t i z a t i o nd e c r e a s e si nt h ef o r mo ft 一3 2 e g 丁( w h e r eg i sd e p e n d e n t o ft w oa n i s o t r o p i cp a r a m e t e r sa b 1 i nt h e h i g ht e m p e r a t u r ep h a s e ，t h ea n i s o t r o p y g i v ear i s et oa l lc o r r e c t i o nt ot h eu n i f o r n l - f i c h ls u s c e p t i b i l i t yi nc o m p a r a b l et ot h e m o l e c u l a rf i e l dt h e o r y i nt h ec r i t i c a lr e g i o nt h ea n i s o t r o p yr e s u l t si nt h ec r o s s o v e r o fc r i t i c a ld y n a m i c si nt e r m so ft h ed y n a m i c a lc r i t i c a le x p o n e n tf r o mz e f f = 5 2 t o ：。，= 1 i nc h a p t e r3 ，t h ea n i s o t r o p i ea , n g i f e r r o m a g n e t i ch e i s e n b e r gm o d e l i ss t u d i e d u n d e rt l l ec o n d i t i o no fs p i ns = 1 2 ，t h ea b o v em o d e l sh a m i l t o n i a n i sc o n s t r u c t e d b yi n t r o d u c i n gt h es p i nr a i s i n ga n dl o w i n go p e r a t o r s t h eh a m i l t o n i a nc a n b e e x p r e s s e da 3a n i s o t r o p i ca n t i f e r r o m a g n e t i ct w o - s u b l a t t i c eh e i s e n h e r g m o d e t t h e s a m ea p p r o x i m a t i o n - t y a b l i k o va p p r o x i m a t i o ni su s e dh e r e u s i n gt h e s o l u t i o no f t h em o t i o ne q u a t i o n ，t h ee x p r e s s i o no ft h em a g n e t i z a t i o n ，t h es u s c e p t i b i l i 吼a n d t h e c o r r e l a t i o nf i m e t i o na r eo b t a i n e da g a i n t h eg r o u l l d - s t a t ep r o p e r t i e sa n df i n i t e - t e m p e r a t u r ep r o p e r t i e sa r es t u d i e d ，r e s p e c t i v e l y a tz e r ot e m p e r a t u r e ，i ti sf o u n d t h a tt h e s t r o n g e rt h ea n i s o t r o p y t h el a r g e ro f t h ez e r ot e m p e r a t u r em a g n e t i z a t i o n - a tf i n i t , t e m p e r a t u r e ，t h en d e lt e m p e r a t u r ea n dt h e s t a t i cs u s c e p t i b i l i t yi n c r e a s e w i t hi n c r e a s i n ga n i s o t r o p y i nt h el a s tc h a p t e r ，t h ec o n c l u s i o n sf o rt h ew h o l ed i s s e r t a t i o na n dp r o s p e c t f o rt h ef u t u r ew o r ka r eg i v e n k e yw o r d s ：h e i s e n b e r gm o d e l ；g r e e n sf u n c t i o nm e t h o d ；a n i s o t r o p y ；f e r r o - m a g n e t ：a n t i f e r r o n l a g n e t 广州大学学位论文原刨性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担。 学位论文作者签名：王枢i 甜日期：z o o ! 年4 月牛目 广州大学学位论文版权使用授权书 本入授权广州大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 广州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：王牲明日期：埘年月午曰 导师躲傅吲隰腓加r 日 第一章绪论 1 1 研究背景与意义 磁性是物质的一种基本属性，从微观粒子到宏观物体，乃至宇宙天体，都 具有某种程度的磁性。研究物质的磁性及其形成机理是现代物理学的一项重要 内容。此外，物质的磁性在工农业生产、日常生活和现代科学技术各个领域中 都有着重要的应用。 对于磁性体本身内在规律的研究始于1 9 世纪末。法国物理学家居里( p c u r i e ) 在这方面做了开创性的工作 “。他不但发现了铁磁性存在的临界温度( 后称居 里温度) ，确立了临界温度以上顺磁磁化率与温度的关系，还在总结大量实验结 果的基础上指出了抗磁性和顺磁性的存在并提出了居里抗磁性定律和居里顺磁 性定律。而后，郎之万( pl a n g e v i n ) 2 】将经典的统汁理论应用于具有固定原子 磁矩的系统，导出了居里定律，对顺磁性做了唯相解释。不久，外斯( p w e i s s ) 3 又在郎之万理论的基础上提出了两个假说：分子场假说和磁畴假说。后来，这 两个假说被发展成为研究物质铁磁行为的两大分支。尔后，奈尔 4 】又提出并建 立了反铁磁性与亚铁磁性的分子场理论。但是，没有人能对分子场的来源做出 合理的解释。后来，安德森( 5 l 从理论上证明反铁磁体的磁性离子之间存在着间 接的交换作用( 超交换作用) ，其一级近似可以等效为分子场。于是，反铁磁性 分子场理论找到了根据 “。 量子力学建立起来之后，1 9 2 8 年，海森堡把量子力学中电子之间的交换 作用( 一种量子效应) 同电子自旋的相对取向联系起来，正确的解释了铁磁体 内磁有序现象的产生 “。正是电子之间的交换作用导致了自发磁化的产生并 按这一模型计算了自发磁化随温度变化的关系。海森堡模型正确的解释了铁磁 性物质自发磁化的本质，为铁磁性量子理论的发展奠定了基础。正是在这一基 础之上，逐步建立起了低温自旋波理论，铁磁相变理论和铁磁共振理论【6 】 海森堡交换作用理论构成了局域磁矩铁磁理论的框架，相当出色的解释了铁磁 性、顺磁性、磁相变以及若干相关性能。如自旋波、熵及比热异常等。但用局 域磁矩理论描述r 、巴、批等过渡族铁磁金属的磁性质导致了若干严重的 问题。现已确认，f c 、g 、m 的d 电子是巡游电子，不能用局域磁矩理论 来解释。属于局域磁矩模型的物质有绝缘体磁性化合物及金属中的稀土和部分 锕族金属【“。从海森堡交换作用模型出发，从理论上可以解释铁磁物质的各 种行为。但是上述理论并不是统一的，对于不同的温度范围需要不同的理论处 理，格林函数方法可以从低温到高温统一的处理铁磁理论问题。格林函数理论 是二十世纪五十年代到六十年代建立起来的。它将量子场论技术应用到统计 物理中，成为研究多粒子的量子体系十分重要的工具。首先，将热力学格林函 数方法应用到铁磁理论的是博戈留玻夫和加布里柯夫，他们仅仅讨论了s - t 2 的情形 9 1 。1 9 6 2 年塔依尔( t a h i r ) 1 q 等人将这一方法推广到任意自旋的铁磁 体系。 2 0 世纪4 0 年代末及5 0 年代，以铁氧体为代表的亚铁磁性的发现、研究 及其应用形成一个热潮，改变了一百多年以来金属磁性材料独占强磁体领域的 局面，强磁性材料的研究及其应用扩展到绝缘体化合物，发展到高频和微波领 域。2 0 世纪6 0 年代后有两个重大突破，即稀土化合物及其合金和非晶态磁性 的研究及其应用。磁性材料所含元素从3 d 发展到4 f 族，稀土一过渡族金属的 研究使得永磁性能获得极大提高。非晶合金磁性的发展不仅打破了晶态统一强 磁物质的局面，而且开拓了一个优质软磁材料的新领域，发展了新的应用。近 来，一个新的应用领域正在迅猛发展，即各种磁记录材料和新近的磁光记录材 料的研究，后者将磁性材料的研究和应用发展到光频领域。同时，薄膜、超薄 膜、多层膜、微粒及超微粒材料及其磁性的研究和应用又成为一热点。最近， 有机铁磁体及化合物铁磁性的发现预示了磁学与磁性材料引人入胜的发展前 2 景。随着丰富的实验事实的不断出现，基本磁性理论和磁化过程的理论既都在 不断的开拓发展，又不断接受挑战和更新i s 。 物质的磁性大体可以分为五类：抗磁性、顺磁性、反铁磁性、铁磁性及亚 铁磁性。抗磁性物质的磁化率为负，其磁化强度m 与磁场强度h 反向。顺磁 性物质的磁化率为正，m 与h 为同向。这两种物质的磁化率数值均很小，约 为1 0 一1 0 ；反铁磁性物质的磁化率也为正值，其数亦很小。而铁磁性物 质、亚铁磁性物质及反铁磁性物质均为磁有序物质，前两种属于强磁性物质， 它们都有相变点，称为居里点2 ：。当温度高于瓦时，物质呈现顺磁性，只有 温度低于瓦时才呈现铁磁性或亚铁磁性。强磁性的特点是其磁化率远高于弱 磁性的磁化率。x 1 0 0 一1 0 5 ，其磁化曲线呈非线性，较容易达到磁饱和， 磁化率和磁导率随磁场而变，有磁滞现象等。反铁磁体的磁有序转变温度称为 奈尔温度z ，在温度7 k 以上的区域呈顺磁性，在n 以下时，原子磁矩自发 的反平行排列，原子磁矩相互抵消，不加磁场时，m = 0 ，在磁场作用下，i 很小，x 一1 05 1 旷4 ，是磁有序的弱磁性。反铁磁体的磁化率与温度的关 系常以n 处出现极大值为特征。其它反映二级相变特征的物理量亦常在r 处出现极值或折点 8 1 。 在量子力学建立前，对磁各向异性的研究受到很大的局限。自1 9 3 0 年开 始用量子力学方法处理磁各向异性问题。早期有布洛赫与真契( g g e n t i l e ) 、 阿库洛夫、范弗莱克、冯索夫斯基和布鲁克斯等人的工作。后有济纳、开佛尔 ( f k e f f e r ) 、沃尔夫( w p v v b l f ) 、房田与立木( m t a c h i k i ) 、延夫( m n o b u o ) 等 人的工作。经多年研究，局域电子的磁各向异性理论已经趋于成熟。在这 方面建立了两种理论模型：单离子各向异性理论模型和各向异性交换作用理论 模型 6 1 。在不同离子的电子之间，虽然交换作用是各向同性的，但其大小受 电子云分布的影响。另一方面，处于晶格中的原子和离子，由于受晶体场的作 3 用使其轨道磁矩失去了空间对称性，因而造成电子云在分布上的各向异性。通 过自旋一轨道耦合又影响到自旋在空间的取向。因此，在同时考虑交换作用、 晶体场、自旋一轨道耦合作用的联合效应后，其高级微扰项便出现了磁各向异 性。范弗莱克在解释3 d 金属的磁各向异性时，首先引入了这一机制，并称之 为各向异性的交换作用【。 在众多的研究手段中，由于格林函数方法能由低温到高温统一的解决问 题，能反映出磁性系统的物理本质，因此，该方法是一个较好的解决方法。 在运用上述方法时，t y a b l i k o v 切断近似常被用来从一组无限的运动 方程链中获取近似的解，切断近似给出了一个依赖于平均磁化强度 的 自旋波谱。这种近似被s i u r a k s h i n a 等用来研究自旋s = 1 2 三维空间各向 异性海森堡模型。然而，在一维和二维情况下( 除了伊辛各向异性和一些长程 相互作用) ， 消失。为了使双时格林函数方法能运用到没有长程序 的情形，k o n d o 和y a m a j i 1 6 1 等人提出了一个比t y a b l i k o v 近似更高一阶的近 似，简称k y 近似。运动方程的解依赖于两格点之间的关联函数 ， 等，它们由一组自洽运动方程来决定。磁性系统的热动力学行为可 由上述运动方程的解得到。 k n a p p 和t e rh a a r ”1 运用k y 切断近似研究了三维海森堡模型的顺磁相。 接着，s c a l e 和g e r s c h 1 目研究了一维、二维、三维反铁磁海森堡模型。k o n d o 和 y a m a j i ” 研究了一维s = u 2 的各向同性铁磁、反铁磁海森堡模型。对于交换 积分的正负两种情况，他们的结果在整个温度范围内给出了一个合理的解释。 一方面，在高温下，他们的结果与高温展开的结果相一致。另一方面，低温下 ，他们的结果与改进的自旋波理论( t h em o d i f i e ds p i n - w a v et h e o r y ) 2 q 相一致， 也与其它方法得到的结果符合的很好，比如有限链的数值方法刚( n u m e r i c a l c a l c u l a t i o nf o raf i n i t ec h a i n ) 。最后，y a m a j i 和k o n d o 2 2 】运用k y 近似研究了 4 二维铁磁海森堡模型。u c h i n a n f i 2 3 等人研究了s = i 2 的x y 模型。由u c h i n a n f i 等人计算的一维情况下的最近临关联函数的值与由k a t s u r a 【2 q 等人计算的精 确值符合非常好。为了获得s = l 2 的二维反铁磁海森堡模型的动力学自旋关联 函数，w i n t e r f e l d 和i h l e 2 5 扩展了s h i m a h a r a 和t a k a d a 的近似。b a o 2 6 】等人 归纳了一维反铁磁海森堡链的k y 近似。k a w a b e 【2 1 以及以后的f u k u m o t o 、 o g u c h i 2 8 】研究了平方晶格s = 1 2 反铁磁x x z 模型。d o n g 和f e n g 2 9 研究了 三角晶格的二维反铁磁海森堡模型自旋液态( t h es p i nl i q u i ds t a t e ) ，结果显 示基态能与用变化的蒙特卡罗方法得到的结果是一致的。s o n g 等人刚提出 改进的k y 切断近似，并将其用于研究确定温度下有断带的( b r o k o nb o n d s ) s = 1 2 二维反铁磁海森堡模型。i h l e 等人刚联合了自旋旋转不变的格林函数 方法( s p i n - r o t a t i o n i n v a r i a n tg r e e n sf u n c t i o na p p r o a c h ) 以及l a n c z o s 对角化 方法( l a n c z o sd i a g o n a l i z a t i o n ) 来研究空间各向异性的s = i 2 的反铁磁海森 堡模型的有序一无序转变。 1 2 研究的内容 在以前的研究中，人们提出了不同的理论来解释铁磁性物质的各种行为 。比如，在远高于o k 和临界点的范围里，分子场理论 目可以得到很好的 结果。在低温下，自旋波理论取得了成功。为了讨论临界点附近的磁性行 为，需要采用小口理论和高温展开等方法。此外，人们还发展了不同的方 法，如蒙特卡罗方法、簏温格一玻色方法、重正化群方法、格林函数方 法等来研究磁性性质。 早期研究中，人们主要关注的是各向同性的海森堡模型，近来，随着磁性 材料的不断发展，新的实验事实的不断出现，各向异性的海森堡模型引起了人 们的兴趣，并且提出了多种不同形式的各向异性的海森堡模型。对于在x ，z 方 5 向上存在着各向异性，而x y 方向上各向同性的情况，已有许多文献研究过， 而对于在x ，y ，z 方向均存在各向异性的情况，有文献研究过基态情况【3 “，但有 限温度下的情况，则极少有文献研究。在本文中，我们利用双时格林函数方法 研究了在x , y z 方向均存在各向异性的铁磁、反铁磁海森堡模型。 在本文的第一部分，我们利用双时格林函数的方法研究了自旋为l 2 的三 维空间各向异性相互作用的铁磁海森堡模型。在t y a b l i k o v 切断近似下，计算 了各向异性对磁化强度，关联函数，静态磁化率等的影响。结果显示各向异性 越强，临界温度越高，磁化强度也越强，这可由磁各向异性倾向于抑制自旋波 动得到解释。在低温区磁化强度按照t _ 3 2 e g 7 旭依赖于两个参数n ，b ) 形式下 降。零温下，若n = b ，磁化强度m o = t 2 。高温下，与分子场理论相比较， 各向异性引起了磁化率一附加的修正。在临界区域，各向异性使得动力学临界 指数从磊，= 5 2 变化到r ，= 1 。 在本文的第二部分，我们利用双时格林函数的方法研究了自旋为1 2 的三 维空间各向异性相互作用的反铁磁海森堡模型。在t y a b l i k o v 切断近似下，计 算了各向异性对磁化强度，关联函数，静态磁化率等的影响。结果显示各向异 性越强，临界温度越高，磁化强度也越强，磁化率也越大，这也可由磁各向异 性倾向于抑制自旋波动得到解释。 1 3 研究方法 格林函数方法主要有三种：d y s o n 方法 a s l 、费曼图方法 3 s l 、双时格林函 数方法 1 3 1 。本论文采用双时格林函数方法来做近似计算。它不同于利用图形技 术的费曼方法。双时格林函数的要点是从格林函数的运动方程出发，假如我们 利用场算符的运动方程( 海森堡方程) 来计算单粒子格林函数的时间导数，就 得到它的运动方程，其中含有双粒子的格林函数。再求双粒子的格林函数，又 得到更高阶的格林函数运动方程。如此下去，就导致格林函数的运动方程链。 现在如果到一定阶段，把高阶格林函数分解成较低的格林函数，则运动方程链 就被切断而闭合起来。从而通过一定的数学步骤，就可解出所需格林函数。这 个切断近似方法的好处是无论对于零温或有限温度都可直接处理格林函数。在 有限温度下，直接处理格林函数，毋需间接的通过松原函数来计算。它的缺点 是切断近似的物理实质不像应用图形技术那样明确【4 0 】。 双时格林函数方法简介如下 1 3 , 3 2 ： 对于两个算符4 ( t ) ，b ( t 7 ) ，定义推迟格林函数为 g 如( t t7 ) = ( 11 ) = 一i o ( t t4 ) 定义超前格林函数为 g 孙( t t ) = ( 1 2 ) = i o ( t t ) 其中算符a ( t ) 一e i h t a ei h t 是玻尔兹曼常数，t 是热力学温度 t r ( e 一阳r ) t r ( e - a n ) ，这里口= 击b o ( t t ) 为阶跃函数。定义时间关联函数 为算符4 ( f ) b ( t ) 乘积的系综平均值，即 f b a ( t 一t ) 一 f 4 8 ( 一t ) = 关联函数岛4 ( t 一t ) 和f a b ( t t ) 之间的关系为 如a ( t t ) = 霸8 ( t f i 席) 推迟和超前格林函数可改写为 g j b 0 t ) = 一i o ( t 一) 【n 口0 一t7 ) 一f b a ( t t7 ) ( 13 ) ( 1 4 ) ( 15 ) ( 16 ) g x 口一tj = i o i t t 儿，a 曰l t tj 一，b a l 一， 经时间傅立叶变换后，对于推迟格林函数有 ( ，) _ 仁丽d e ( 耻1 引h 。， g 搿驴去幽觜 对于超前格林函数有 ( 川卜丽d e ( 跏1 引， ( 1 7 ) ( 18 ) ( 1 9 ) f l1 0 1 g 矧驴去仁血筹 ( 1 1 1 ) j ( “) 为展开系数，称为谱强度。联合以上4 式，可定义格林函数 g a b ( 耻去仁凼警 ( 1 1 2 ) 其中已将e 看成复数，故g 。( f ) 和g ”( e ) 可以从实轴延拓到e 的复平面上 去。谱定理给出了格林函数和关联函数的关系 蹦= 磊i 上o 。o d w e i “, ( t t ) 型业瓮掣( 1 1 3 ) 对t - 推迟格林函数两边求导可得到格林函数的运动方程 z d i u r b 0 一t7 ) = 5 ( t t7 ) 一i o ( t t7 ) ( 11 4 ) 这样，具体的做法是：根据问题的需要选择算符a ( t ) ，b ( t ) ；由运动方 程( 1 1 4 ) 求懈格林函数g a 口0 一t ) ；做傅立叶变换求解格林函数g a _ b ( e ) ， 再由式( 11 3 ) 得到关联函数只b ( 一t7 ) ，从n n n 求得相应物理量的系综平 均值。 在处理铁磁模型时，我们选择算符a 和b 分别为对( t ) ，s i ( 亡，) 和 耳( t ) ，耳( t7 ) 。对于反铁磁模型，我们选择算符a 和b 分别为对( t ) ，磊( t ) 和耳( t ) ，& ( t7 ) 。由于相邻格点上的自旋反向时能量较低，为了方便起见，可 将原来的晶格( s c 或b cc ) 分成两个次晶格a 和b ，使相邻的格点分属不 同的次晶格。若次晶格a 的格点用i t 表示，次晶格b 上的格点用i ；表示，因 为次晶格a 的近邻是b ，b 的近邻则是a ，故对于各向同性的反铁磁海森堡 模型，h 可写成 h 一，霹夏 ( 1 1 5 ) ( u 。：) 取x 3 作为磁化方向，由于两个次晶格的磁化有相反取向的趋势，为对称起见，对 于次晶格b 上的自旋算符夏作如下变换l s s 甓2 一钱，筏。霞- 2 髓不 难验证，经此变换后，黠，s i 仍满足自旋算符的对易规则，变换后，式( 1 _ 1 5 ) 成为 h = 一l ，醴笼十号( 黠锚+ ) ( 1 1 6 ) 第二章自旋i 2 的空间各向异性铁磁海森堡模型磁性质 2 i 引言 双时格林函数方法是研究磁性系统的一种标准方法 1 3 , 3 2 。通过该方法可 以得到一个非线性微分方程，即格林函数的运动方程，在该方程中同时出现了 格林函数的高阶项和低阶项。求解高阶格林函数的运动方程，将得到更高阶 的格林函数。如此下去，将得到各阶格林函数组成的运动方程链。为了求解方 程链，可以采用切断近似的方法。三维磁性系统动力学性质的许多结果可以 在简单的切断近似，t y a b l i k o v 近似下得到【“该切断近似给出了一个足够简 单的处理，而由此方法得到的结果与用其它方法得到结果在一个广泛的温度 内是一致的。其它的近似，如c a l l e n 近似，k o n d o y a i n a j i 近似是比 t y a b l i k o v 近似更高一阶的近似。最近，k o n d o - y a m a j i 近似被用来研究自旋为 l 的低维量子铁磁x y 模型，以及二维、三维反铁磁海森堡模型蚓。 在第二章中，我们用最简单的t y a b f i k o v 近似来研究自旋1 2 的空间各向 异性铁磁海森堡模型的磁性质。描述该模型的哈密顿量由下式给出： h = 一l ， s ；s 2 十n 耳譬+ b s g s y ( 21 ) ( ) 在这里求和仅对所有三维晶格最近邻求和。算。是自旋算符沿x y , z 三个方向 的分量。j 是相邻格点间的交换积分。ab 为各向异性参数。a , b 的取值范围 分别是0 a l 和0 b l 。当。= b 一1 时，上述模型描述了各向同性的 铁磁体 4 0 , 4 4 - 4 8 。当n 一1 ，b 1 时，描述的是盘状铁磁体 4 9 , 5 0 。当n = b i 时，描述的是单轴铁磁体 5 1 , 5 9 。当a = b = 0 时，描述的是伊辛模型嘲。上 述模型均已经使用格林函数方法研究过，但是对于a 1 且a 6 的情况，则 少有文献研究。我们的结果显示当温度t 靠近居里温度疋时，空间各向异性 的影响较为显著，导致了磁性质和临界指数的转变。 引入自旋的升降算符黠= 霹4 - i 掣。满足对易关系 对，野 = 2 s z s i j 和 s ，s 孔= t s ? 6 。 那么上述哈密顿量可以用升降算符表示为： h = 一j p ；s a + 4 b 一- + s i + s i s ；、+ 字( 对对+ 耳写) _ 譬 ( 22 ) 这里外加磁场h 沿z 轴方向。 如下 2 2 理论推导 为了计算该模型的磁性质，定义推迟格林函数( ( 对( t ) ；写( t ，) ) ) 和( ( 舅( ) ；写( t ，) ) ) ( ( 对( t ) ；s ( ，) ) ) i o ( t，) ( 对( ) ，可( t ，) 】) ( ( 筇( t ) ；尊( ，) ) ) i o ( tt ，) ( ( 膏( t ) ，与( 驯) ( 2 3 1 ( 2 4 ) 这里目( ) 足阶跃函数，( a ( t ) ) ；t r a ( t ) e 。”t t r p - 4 ”】_ a ( t ) = m a e - i h t 卢 上述两格林函数的运动方程分别为 i 蔫( ( 对( t ) ；写( t ，) ) ) = a ( t - t ) a ；，2 ( 譬) + ( ( 对( t ) ；写( t ，) ) ) + ， 2 ( ( 2 * z ，( ) 对( t ) ；s t ( t ，) ) ) p 一( n + b ) ( ( 譬( t ) 黠，( t ) 写( ，) ) ) 一( n 一6 ) ( ( g ( t ) s i 。( t ) ；彤1 t ，) ) ) 】-( 25 ) i 2 z 面d ( ( 酊( t ) ：写( ，) ) ) = 一 ( ( 耳( t ) ：写( t ，) ) ) 一j 2 ( ( 路，( ) s ( 州可( ，) ) ) 一( n + 6 ) ( ( 髟( t ) s 甬( t ) ；写( t ，) ) ) 一a 山) ( ( 群( t ) 黯，( t ) ；写( ，) ) ) 】 ( 26 ) 根据t y a b l i k o v 切断近似，我们将上述方程右边的格林函数近似为 ( ( 瓯，( ) s 7 ( ) ：可( t ，) ) ) = m ( ( 驯( ) ；s j 一( t ，) ) ) ， ( ( 譬( t ) s 0 ( t ) ：写( t ，) ) ) = m ( ( 踮，s ( t ，) ) ) ， ( ( s ；( t ) s i ，( t ) ：写( t ，) ) ) = m ( ( s i ，( t ) ；丐( t ，) ) ) ， ( ( 路，( t ) s ( t ) ：膏( t ，) ) ) = m ( ( 膏( t ) ；丐( t ，) ) ) 这里近似认为磁化强度平均值( 冀) 对所有格点均相同，对任意格点i 有( & ) = m 。将方程( 25 ) ，( 26 ) 对时间和空间进行傅立叶变换，衔f j - - t 与变换后的 格林函数g k ) 和 ) 有关的代数方程组。格林函数的傅氏变换为 ( ( 对( 班s j - ( t ) ) ) = 堂2 r c 三n z - 。沙( 岬以 ( 2 7 ) ( ( 膏；可) ) ) = 筹斋e i k ( i - j ) - i w ( t - t ) ( 以 ( 28 ) 鲰) 和 ) 的解可表示为 这里 g k ( _ ) 一2 m ( w + e 1 + h ) ( u 2 一u 2 )( 2 9 ) ( u ) = 2 m e 2 ( “2 一u ；)( 21 0 ) u k = ( + e 1 ) 2 一霹 1 2( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) e 2 = j m ( a 一6 ) 7 ( )( 2 t 3 ) 其中1 ( k ) = 矿。7 。由谱定理可知，关联函数( s i - ( t 7 ) 譬( t ) ) 和( 耳( t 7 ) 笥( t ) ) p 与格林函数关系为： ( 最( t ) s j ( t ) ) 。d w e i w ( t t ) 坐塑若芈 ( 2 1 4 ) ( 黜讶) = i fd 。u 。j e - i w ( t - t , ) 业型掣( 2 1 5 ) 将上述两方程进行空间傅立叶变换，可得： ( s i x 们譬) = 专e m ( 1 _ j ) g m ，t ) ，( 21 6 ) ( 耳( t 7 ) 写( t ) ) = 1 e i k ( i - j ) g 一( t t ，) ( 2 1 7 ) 其中变换后的格林函数g 一+ ( k ，t t 7 ) 和g ( ，t t 7 ) 由以下两式定义： g 一( k , t - t ) 一、ei w 。k 。( t - t ) 竽+ i e i w k ( t - t ) 等等) 坤1 8 ) 旷( k , t - t 却安( 瓦e - i “( 了t - 。) t 一岩等) 旧 “k e ”一e 一l 。 现在令t = t 7 可得到静态横向磁化率x 一+ ( 纠= 臼g 一+ ( 女，0 ) 如下 x 1 垆p m ( 警c o t h 丁f l u 2 k 一1 l ( 2 2 0 ) 、u z x _ _ ( 垆肋z 象c o t h 丝2 ， ( 2 2 1 ) 在方程( 21 4 ) ( 2 1 6 ) ，( 2 1 8 ) 中，令i = j ，t = t 7 ，并利用关系式( 耳对) = 1 2 一( s z ) 可得到磁化强度m = ( 鹭) 的表达式由下式决定： 丽1 = 三n 警c o t l - 丝2 ( 2 2 2 ) 2 m 年u p 2 3 结果与讨论 接下来，我们利用格林函数的解来研究磁性与温度以及各向异性参数的关 系。取自旋s = i 2 。首先，在方程( 22 2 ) 中，令磁化强度m 趋于0 且不存在 外场时，自发磁化消失，求得居里温度的表达式： 丢=三军志+一i丽in n ( 2 z s ) 正 7 ( o ) 。1 ( ) 1午1 ( o ) 一6 1 ( ) 7 代入a = b = 0 可得到熟悉的伊辛模型临界温度的结果。我们的结果也与a = b = l 时的情形相一致 4 0 , 4 4 - 4 8 。对于n = l 和b 1 的情形 4 9 ，5 0 和0 n = 6 垆1 ，5 2 】 的情形，我们的结果与其也是一致的。将方程( 2 2 3 ) 右边的求和用积分代替可 直接计算出居里温度疋。例如，对于体心立方晶格，居里温度由下式给出： 2 j v ( o ) t c = 2 k ( p 1 ) t c 2 十 2 k ( p 2 ) 口】2( 22 4 ) 式中p t = 1 一( 1 一a 2 ) 1 2 2 和p 2 = 1 一( 1 一b 2 ) 1 2 2 ，= z 1 而高等丽 2 z 1 志 在这里k ( p ) 表示第一类完全椭圆积分，l p i l 。 由图l 可以看出，对于一定的各向异性参数b ，居里温度随着参数n 的升 高而下降。对于一定的n b ，居里温度总是高于各向同性情形下的居里温度瓦 但是小于伊辛模型的情形。在0 a b l 的区域内，存在着各向异性耦合之 间的竞争。由于磁各向异性倾向于抑制临界波动，从而导致了临界温度( 居里 温度) 的升高。 其次，在低温下，即温度小于临界温度咒，在无外磁场( 即h = 0 ) 的情形 0 002口4 圈2 - 1 ：居里温度与各向异性参数之间的关系 a 0 6