（光学专业论文）量子算法分析及其物理实现.pdf

摘要 随着信息技术和量子力学的发展，以量子力学为基本规律的量 子信息学逐渐形成。由于量子力学的叠加原理大幅度地提高了计算 效率，而且量子力学的非经典相关使得真正的保密通讯成为可能，量 子信息学倍受关注，并成为当今学术界非常关心的热门领域。量子 信息的核心旨在巧妙地利用量子相干性对信息的新型载体一量子 比特进行操纵控制，以非常规的方式进行信息的编码、存储和传递。 如今理论上对量子信息处理的探讨进行得如火如荼，为了证明在信 息操纵和信息传输上量子力学具有着非常巨大的潜力，人们也急切 地寻找着能实现量子信息处理的物理系统。 过去几十年中，由于光学系统在量子工程上的深厚基础以及光 学探测技术的发展，光学系统早已成为检验鼍子力学基本原理的重 要系统，如今又自然地成为了实现量子信息处理的首选系统。同样 腔量子电动力学( 腔q e d ) 系统也是一个用来实现量子处理器的量 子化系统。目前在该系统中，已经在实验上实现了两量子比特控制相 位门，另外还提出了量子控制非门、量子离散傅立叶变换以及g r o v e r 搜寻算法的实现方案。 本文研究了c h u a n g 的量子时钟同步算法、g r o m r 量子搜寻算 法、b e r n s t e i n 。v a z i r a n i 量子奇偶算法( b v 算法) 和s h o r 分解大数质因 子的量子算法：对量子时钟同步算法和g r o v e r 量子搜寻算法进行了 算法分析；提出了这四种典型量子算法在光学系统和腔q e d 系统中 的物理实现方案。主要创新结果如下； 一、分析了在c h u a n g 的量子时钟同步算法的执行过程中，由于 连续的幺正操作之间不可避免地存在时间耽搁，从而引起的相位误 差及其对时钟同步的影响。发现通过设置合适的耽搁时间可以消除 i i 相位误差。 二、g r 。v e r 在1 9 9 7 年提出了量子搜寻算法( g 9 7 算法) ，2 0 0 5 年又 提出了定点量子搜寻算法( g 0 5 算法) 。在对推广的量子搜寻算法进 行递归方程分析的基础上，我们对g 9 7 算法和g 0 5 算法进行了比较 分析并给出了在实际的搜寻问题中算法各自的优劣区间。 三、基于单光子的路径和极化都可以编码量子比特，我们提出了 c h u a n g 的量子时钟同步算法的一种线性光学实现方案。在该方案中 使用的线性光学元件分别是分柬器、相移器和波片。首先我们对算 法中使用比特数为三个的情况进行了分析，并给出了两种相应的光 学实现方案：方案一中我们利用单光子的路径和极化量子比特来分 别编码算法中的工作和辅助比特；方案二中我们全部用单光子的路 径比特来编码算法中的三个量子比特。接着我们指出这些实现方案 可以推广到多个量子比特的情况，并对四个比特情况下的算法线路 进行了分析，给出了利用单光子的路径和极化量子比特来分别编码 算法中的三个工作比特和一个辅助比特的算法实现方案。利用相同 的方法我们还给出了g 9 7 算法和g 0 5 算法的线性光学实现方案。 四、在利用原子态矢编码量子比特的基础上，通过三能级阶梯形 原子与经典和量子化电磁场的相互作用，我们分别给出了e h u a n g 的 量子时钟同步算法、b e r l l s t e i n ，z i r a n i 量子奇偶算法和s h 。r 算法在腔 q e d 系统中的实现方案。 五、通过非线性光学元件与线性光学元件的组合，提出了s h o r 算法的非线性光学实现方案。算法线路中的两个重要量子操作一 t o 舫l i 门和控制相位门操作是通过交叉k e r r 介质、相移器和分束器 和组合来实现的。 关键词：量子时钟同步算法，线性光学，腔量子电动力学，b v 算法，量子搜寻算法，s h o r 算法。 a b s t r a c t 1 1 1 w i t ht h ed e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o nt e c h i q u ea dq u a n t u 皿i n e c h a n i c s ， a 面w8 u b j e c tb a s e do nt h e1 a wo fq u a n t u mm e c h a n i c s q u a n t u mi n f o r m a t i o n c h e o r yc o m e si n t ob e i g b e c a u s eo ft h cl a r g ei m p r o v e m e n t si nc o m p u t a t i o a j e 币c i e n c ya n dc o m m u n i c a t i o ns e c u r i t yb ye x p l o i t i n gt h es u p e r p o s n i o np r i n c i p l e a n dt h en o n - c l a s s i c “c o r r e l 越i o no fq u a 七u mm e c h a n i c s ，q 1 】a n t u mi n f o r m a t i o n t h e o r y8 0 0 na t t r a c t sr d u c ha t t e n t i o na n db e c o m e st h eh o t t e s ta r e a so fm d d e r n a c a d e m e i ti st h eq u a n t u mc o h e r e n c ew h i c hl i e sa tt h eh e 盯to fq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h a tm a k e st h em a n i p u l a t i o o fi n f o r m a t i o n c a r r i e rq u b i t sp o s s i b l e ， a n dt 王1 eo c c u r r e c co ft h ei n f b r m a t i o nc o d i n g ) s t o r i n ga n dt r a n s f b r r i 士l gi a u n c o n v e n t i o n a l i t y 哪 n o w a d a y st h ep r o c e s s i n go fq u a n t u m n f o r m a t i o ni s t h e o r e t i c a l l yu n d e ri t e l l s ei n v e s t 追a t i o n ，p e o p l ea r ee a g e r l yt o 丘n dp h y s i c a l s y s t e mt 。t e s t i 母p o t e n t i a li m p r o v e m e n t so 如r e db yq u 枉n t u mm e 出a n i c st ot h e m a n i p u l a t i o na n dt h e 竹a n s m i s s i o no fi n f o r m a t i o n b a s e do nt h es u b s t 衄t i a l d 即e l o p m e n ti nq l l a n t u me n g i n e e r i n ga n dm e a s l l r e n l e to fl 培mi nt h ep a s t d e c a d e s ，q u a n t u lo p t i c a ls y s t e m sa r ei d e a lf o rt h ee x p e r i m e n t a lt e s to ft h e f o u n d a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c sa sw e l la sf o rt h ee x p e r i m e t a li m p l e m e n t a - t i o no fq u a n t m nl n f 。r m a t i o np r o c e s s i n g a si sw e l lk n o w n ，c a v i t yq e di sa n o t h e rq u a l i 疗e ds y s t e mf o rr e a l i z i n g aq u a n t u mp r o c e s s o r a t w o - q u b i tp h a s eg a t eh a sb e e ne x p e r i m e n t a l l yr e a i i z e dw i t hr e s o n a n ti n t e r a c t i o no fat w 0 - l e v e la t o n lw i t hac a i t vm o d e a 1 s o 七w os c h e m e sf b rt h er e a l i z a t i o no fq u a n t u n lp h a s 8g a t e 8h a eb e e np r e s e t e d m o r e o v e r ，也e 、v a yo ft h er e a l i z a t o no ft h eq u a n t u mc o n t r o u e d n 。t f c n o t ) g a t eh a sb e e np r o p o s e d s c h e m e sh a v eb e e np r o p o s e df o rr e a l i z i n gaq u a n 七1 l m d i s c r 酏ef o u n e rc r a n s f 。r ma n dag r o v e rs e a r c ha l g o r i 七h mm c a v i t yq e d i v t h i st h 单i si n v e s t i g a t e sf o u r q u a n t u m 出g o r i t h m s c h u a n g 8q u a t u m c l o c k8 y n c h r o n i z a t i o na 工g o r i t h n l ；g r o v e r sq u a n t u ms e a r c h 出g o r i t h m ；b e r n 8 t e i n v a z i r a n i 甜g o 血妇a n ds h o r sq u a n t u mf a c t o r i n ga l g o r i t h mm o r e o v e r ，碍 p r e s e n t ss c h e m e 8f o rt h er e a h z a t i o so ft h e s em g o r i t h m si no p t i c a la n dc a v i t y q e ds y s t e m ，r e s p e c t i v e l y o u rm a j n l y 豸r l ( sa r ea sf o l i o w 吕： li nt h i sp a p e r ，w es h o wt h a t ，i nt h ef r 砌色w o r ko ft h eq u a n t u mc l o c k s y n c h r o n i z a t i o na l g o r i t h m ，t h ec o h e r e n tp h 船e e r r o r s p r o d u c e db yt h et i m e d e l a y sb e t w e e ns e q u e n t i a lo p e r a t i o s ，c a nb ea v o i d e db ys e t t i gu pt h ed e l a y t i m ei n t e r v a j st os a t i s 母c e r t a i nm a t c h i n gc o n d i t i o n s 2 g r 。v e rp r o p 。s e dt h eg r d v e r sq u a n t u ms e a r c ha l g o r i t h mi nl 百9 7 ( g 9 7 a l g 。r 1 恤m ) a n dt h eg r o v e r s 丘x e d - p 。i n tq u a n t u ms e a r c h 缸g o r i t h mi n2 0 0 5 f g 0 5 a i g o r i 曲m ) ，b a s e do nt h er e c u r s i o ne q u a t i o na n “y s 王so fg 9 7a l g o r i t h m ，w e a n a l y z ea n dc o m p a r et h eg e n e r 缸i z e dg r o v e r sq u a n t u m8 e 艄c ha l g o r i t h m sa n d f 、e d _ p o i n cq u a n t u ms e a r c ha l g o r i t h m 3 b a s e do nt h er e p r e s e n t 砒i o no fm u l t i p l cq u b i t sb ys i n g l ep h o t o n jw e p r 。p o s eo p t i c 8 li m p l e m e n t a t i o nf o rt h eq u a m u mc l 。c ks y n c h r o n i z a t i o n ( q c s ) a l g or j t h mt w ok i n d so fl i n e a ro p t i c a lr e a n z a t i o ns c h e m e s ，i e ，t h el o c a t i o n _ p l u s - p 。l a r i z a t i o n - q u b i ts c h e m ea n dt h ea l l - 1 0 c a t i o n t q u b i ts c h e m e 盯ep r o p 。s e d ， r e s p e c t i v e l ，f l i n e a ro p t l c a lr e a l i z a t i 。n so ft h r e e q u b i ta n df o u 卜q u b i tq c s a l g o m h m ，g 9 7 “g o r i t h n la n dg 0 5a l g o r i t h ma r ee x p l i c i t l yp r e s e n t e d 4w ep r o p o s eas c h e i n cf o ri m p l e m e n t i n gt h eq u 龇1 t u mc l o c ks y n c h r o - n i z a t i o n ( q c s ) a l g o r i 地mi nc a v i t yq e df 。r m a l i 8 m o u rm e t h o di sb a s e do n t h r e e l e v e l1 a d d e 卜t y p ea t o r r l si n t e r a c t i n gw i t hc l a s s i c a la n dq u a i n i z e dc a i t y 6 e i d sa 协m q u b l tr e a l l z a t i o n 8o ft h r e e _ q u b i ta n df o u r _ q u b i tq c s 出g o r i t h i l l s ， t h r e e q u b i tb e r n s t e i n v a z l r a n i 出g o r i t h ma n ds e v e n q u b i ts h o r 8a l g o r i t h ma r e e x p l i c i t l yp r e s e n t e d v 5p r e s e n tap m p o s a lf o ro p t i c a l l yl m p l e m e n t i n gt h es h o r sq u a n t u m f a c t o r i n g 缸g o r i t h mb yl l s i n gs 。m el i n e a ra n dn o n l i n e 盯o p t i c a le l e m e n t s t h e i m p o r t a n to p e r a t i o l l so ft h ea l g o r i t h m 缸et h et o 舫i ig a t e 舡1 dt h ec o n t r 0 1 l e d p h a s es h 疵o p e r a t i o n t h e yc a nb er e a l i z e db yt h e0 p t i c a lc i r c u i t sc o l l s i s t e d o fb e a ms p l i t t e r s ，p h a s es h m e r sa n da d d i t i o n a lc r o s sk e r rm e d i u m k e yw b r d s ：c l o c ks y n c h r o n i z a t i o n ，i i n e a ro p t i c s ，c a v i t yq u a n t u me l e c - t r o n i cd y i l a d c s ，b e r s t e i n - v 如i r a ia l g o r i t h m ，g r o v e r sa l g o r i t h m ，s h o r sq u a n - t u m f a c t o r i ga l g o r i t h m 量子算法分析及其物理实现 第一章绪论 建立在2 0 世纪物理学支柱之一的量子力学基础之上的量子信息 学，是一门利用微观粒子的量子力学原理来解决经典信息学和经典 计算机所不能解决的问题的学科，因此量子信息学是量子力学和信 息学的交叉科学。量子信息学最重要的两个应用方向是量子通信和 量子计算。由于其潜在的应用价值和重大的科学意义，量子信息学 作为最近十几年来迅速发展起来的新兴学科，正在引起各方面越来 越多的关注，而研究量子计算和量子算法又是当今信息科学中最前 沿方向之一。 量子比特可以制备在两个逻辑态。和1 的相干叠加态，换句话 讲，它可以同时存储。和l 。考虑一个个物理比特的存储器，若它 是经典存储器，则它只能存储2 w 个可能数据当中的任一个，若它是 量子存储器，则它可以同时存储2 一v 个数，而且随着的增加，其存 储信息的能力将指数上升，例如，一个2 5 0 量子比特的存储器( 由2 5 0 个原子构成) 可能存储的数达2 。”，比现有已知的宇宙中全部原子数 目还要多。由于数学操作可以同时对存储器中全部的数据进行，因 此，量子计算机在实施一次运算中可以同时对2 “个输入数进行数学 运算。其效果相当于经典计算机要重复实施2 - v 次操作，或者采用2 w 个不同处理器实行并行操作。可见，量子计算机可以节省大量的运 算资源( 如时间、记忆单元等) 。为开拓出量子计算机巨大的并行处 理能力，必须寻找适用于这种量子计算的有效算法。s h o r 于1 9 9 4 年发 现第一个量子算法，它可以有效地用来进行大数因子分解。大数因 子分解是现在广泛用于电子银行、网络等领域的公开密钥体系r s a 安全性的依据。采用现有计算机对数( 二进制长度为2 。g ) 做因子 分解，其运算步骤( 时间) 随输入长度( 2 0 9 ) 指数增长。迄今在实 验上被分解的最大数为1 2 9 位，1 9 9 4 年在世界范围内同时使用1 6 0 0 个 工作站花了8 个月时间才成功地完成了这个分解。若用同样计算功 能来分解2 5 0 位的数则要用8 0 万年，而对于1 0 0 0 位的数，则要有1 0 2 5 年。与此相反，量子计算机采用。s h o r 算法可以在几分之一秒内实现 1 0 0 0 位数的因子分解，而且操作时间仅随输入数的3 次方增长。可见 s h o r 量子算法将这类“难解”问题变成“易解”问题。在量子计算机 面前，现有公开密钥r s a 体系将无密可保! s h o r 的开创性工作有力 地剖激了量子计算饥和量子密码术的发展，成为量子信息科学发展 硕士学位论文2 的重要里程碑之一。 1 9 9 7 年g r 。v e r 发现了另一种很有用的量子算法，即所谓的量子搜 寻算法，它适用于解决如下问题：从n 个未分类的客体中寻找出某 个特定的客体。经典算法只能是一个接一个地搜寻，直到找到所要 的客体为止，这种算法平均地讲要寻找2 次，成功几率为l 2 ，而 采用g r r 的量子算法则只需要o ( 、，丙) 次。例如，要从有着1 0 0 万个 号码的电话本中找出某个指定号码，该电话本是以姓名为顺序编排 的。经典方法是一个个找，平均要找5 0 万次，才能以1 2 几率找到所 要电话号码。g r 一的量子算法是每查询一次可以同时检查所有1 0 0 万个号码。由于1 0 0 万量子比特处于叠加态，量子干涉的效应会使前 次的结果影响到下一次的量子操作，这种干涉生成的操作运算重复 1 0 0 0 ( 即、，霄) 次后，获得正确答案的几率为1 2 。但若再多重复操作 几次，那么找到所需电话号码的几率接近于1 。 g r 。v e r 算法的用途很广，可以寻找最大值、最小值、平均值等， 也可以用于下棋。最有趣的是可有效地攻击密码体系，如d e s 体系， 若以每秒1 0 0 万密钥的运算速率操作，为了寻找到正确的密钥，经典 计算需要1 0 0 0 年，而采用g r 一算法的量子计算机则只需小于4 分 钟的时间。 f e y n m a n 最先( 1 9 8 1 年) 指出，采用经典计算机不可能以有效方式 来模拟量子系统的演化。我们知道，经典计算机与量子系统遵从不 同的物理规律，用于描述量子态演化所需要的经典信息量，远远大 于用来以同样精度描述相应的经典系统所需的经典信息量。量子计 算则可以精确而方便地实现这种模拟。采用少数量子比特的量子计 算机可以进行有效的量子模拟，事实上人们已采用这种方法在简单 情况下预言了量子体系的行为。 一般地说，量子模拟可以按下列步骤来完成：根据所研究的 量子体系的哈密顿量，设计出能够实现相应的幺正变换的量子网络； 将n + 量子比特按照要求制备为特定初态；操作计算机进行模 拟运算。计算机的终态就是所需的量子态。因此，一旦人们有了量 子模拟计算机，就无需求解薛定谔方程或者采用蒙特卡罗方法在经 典计算机上做数值运算，便可精确地研究量子体系的特性。 然而，量子计算的实现在技术上遇到严重的挑战。实现量了计算 必须解决三个方面的问题：一是量子算法，它是提高运算速度的关 量子算法分析及其物理实现 键，目前已研究成功s h o r 分解大数质因子的量子算法、g r o v e r 量子搜 寻算法等；二是量子编码，它是克服消相干的有效办法，目前已有 量子纠错、量子避错和量子防错三种不同原理；三是实现量子计算 的物理体系( 即多个量子比特的量子逻辑网络) ，目前在腔q e d 、离 子阱、核磁共振、量子点等系统已实现少数量子比特，但距实现有 效量子计算的需求相差甚远。各国科学家正从不同途径来探索实现 可扩展的量子逻辑网络的方法，虽然不断取得进展，但仍未根本上 突破。这个领域仍处于基础性的探索阶段。 本文是一篇利用光学系统和腔量子电动力学系统进行量子信息 处理的理论性文章，主要研究了四种量子算法一c h u a n g 的量子时钟 同步算法、g r o v e r 量子搜寻算法、b e r s t e i n v “i r a n i 量子奇偶算法以及 s h o r 分解大数质因子的量子算法。结构和章节安排如下：第一章简 单介绍了量子信息学所包含的内容和现今的发展；第二章中简要介 绍了量子信息学的基本知识和量子信息处理的基本原理；第三章介 绍了几种简单的、常用来做量子信息处理的光学元件；第四章介绍 了腔电动力学系统，主要介绍了原子与经典及量子化电磁场的相互 作用问题；第五章到第八章中有我们所做工作，其创新之处在于：第 五章详细地介绍了时钟同步算法及其研究进展，并给出了c h u a n g 的 量子时钟同步算法在线性光学系统和腔量子电动力学( 腔q e d ) 系 统中的实现方案；第六章详细地介绍了b e r n s t e n v a z i r a n i 算法并给出 了其在腔q e d 系统中的实现方案；第七章详细地介绍了g r o v e r 量子 搜索算法( g 9 7 算法) 和定点量子搜索算法( g 0 5 算法) ，并在对推广 的量子搜寻算法进行递归方程分析的基础上对这两种算法进行了比 较分析，最后给出了它们在线性光学系统中的实现方案；第八章详 细地介绍了s h o r 分解大数质因子的量子算法，并给出了其在光学系 统和腔q e d 系统中的实现方案；第九章对论文的内容做了简单的总 结，并对于今后的工作提出了一些展望。 量子算法分析及其物理实现 第二章量子信息基本原理 信息是当前社会最热门的词语之一，它代表着某一抽象的有待 传送、交换、存储以及提取的内容。信息是物理的，它反映了物理实 在的客观本质，信息必须编码在某一物理系统的特定状态上才能被 识别和处理，而信息的识别和处理也是由某一真实的物理实现装置 来执行的。在本章中我们将介绍量子信息学中的一些基本原理。 2 1 量子位、量子门和量子线路 一、量子位 在经典信息理论中，信息量的基本单位是比特，它有两个取值 o ，l ，从物理角度讲，比特是个两态系统，它制备在两个可识别状态 “是”或“非”、“真”或“假”、“o ”或“l ”中的一个上。相应的，量子 信息的基本单位称为量子比特，它是一个两态量子系统。量子比特 的两个态l o ) 和i 1 ) 分别对应于经典比特的。和1 ，它们是两个独立可 区分的态。与经典比特不同，量子比特不仅可以处于i o ) 或1 1 ) 态，还 其中a 和p 是复数，且衅+ 御= 1 。从另一个角度看，量子比特是 定义在二维h i i b e r t 空间的一个单位矢量，该空间由正交基矢i o ) 和f 1 ) 张成。这两个基可以是光子相互正交的两个偏振方向，如水平线偏 振1 日) 和垂直线偏振i v ) ，也可以是电子或原子核的自旋向上态ft ) 和自旋向下态11 ) ，还可以是两能级系统的基态和激发态，而且也可 以是任何量子系统的空间模式，等等。由于量子比特的归一性，忽 略整体相因子，方程( 21 ) 可以写成 l 妒) ：c 。s 孙+ e t n 知： ( 2 2 ) i 讪) 对应于三维空间单位球面上的一点，这个球称为b l o c h 球，实数 日和p 描叙这个点的位置。虽然b l o c h 球面上的点有无穷多个，但一 个量子位只能编码一个经典的位，换句话说，即使日和可以连续 变化，但是一个量子 立和一个经典立所包含的信息量是一咩的。因 硕士学位沦文 6 为只有通过测量才能读取包含在量子位中的信息，而测量一个量子 位时，量子位的叠加态会以川z 的概率塌缩为l o ) ，以蚓。的概率塌 缩为1 1 ) 。如果量子比特的叠加系数未知，通过一次测量无法决定a 和卢的取值，然而可以肯定测量后的量子比特制备在已知的量子态 上。量子位信息的提取就象在经典计算机中一样都只有两个可能的 结果，由此可见经典比特是量子比特的特例。 二、量子门 量子信息处理是对编码的量子态进行一系列幺正演化。对量子位 最基本的幺正操作称为逻辑门。逻辑门按照它作用的量子位的数目 可分为一位门，二位门和三位门等。逻辑门的操作可以用对量子位的 硪l b e r t 空间基矢的作用定义。如果一个幺正操作演化基矢态为：1 0 ) 一 ! o ) ，1 1 ) 一e m 队这个幺正操作就是一个一位门。记基 壮( ：) 这个门操作就可用一个幺正矩阵p ( p ) = ( ：品) 表示。容易验证 尸( 目) 1 0 ) = j o ) ，p ( 目) 1 ) = 一队所以这个门操作还可以用投影算子形式 表示为p ( 日) = l o ) ( 0 1 + e ”川1 h 由于p 操作改变两个基底态的相对相 位，p 门称为位相门。下面我们介绍量子信息处理中常用的一系列 量子门： a 一位门 ( 1 ) 、恒等门j 、非门x 、y 操作和相位反转门z ，三盯o = l o ) ( o l + 1 1 ) ( 1 f = x 三盯l = o ) ( 1 + i l ) ( o i = yi 口2 = 一i l o ) ( 1 i + 啦) ( o l = z 三。3 三= 1 0 、。o i i 1 ( 24 ) ( 2 5 ) ( 26 ) ( 27 ) 、 一o d l l 0 0 z ，、 ( 2 ) 、h a d a r n a r d 门( h ) 、z 8 ( t ) 门和相位( s ) 门 日= 扣，删制堋邮蛐= 击( ：。) t = l 。，；l + e 打4 1 - ，c - = ( ：。；0 。) ， s 钏邶 一州- f = ( ：) ( 3 ) 、绕z 、g 和z 轴的旋转门操作定义为 聊，一泓= ( 篡意嬲) 即，一妒= ( 嚣名：；黝) ， 、s l n l f z )c o s 【zj， 兄c 。，= e 1 ；z = ( 8 叩i 埘2 。印品，。，) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 可证明任意2 2 酉矩阵可分解为这三个旋转门乘积的形式 1 】 u = e “置：( _ 8 ) 吼( 1 ) 见( 6 ) ( 2 1 4 ) - 一扩( 唧秽。印赫) ( 篇篇葛嬲) o e 印( i p 2 1 s i n ( 7 2 )c o s ( 1 2 ) e z p ( i j 2 ) o o e 印( 钻2 ) b 二位i 作用到两个量子位上的所有可能的幺正操作中最重要的是如下 子集：o io 1 l9 u ，其中，是一个量子位的恒等操作，矿是一 个单量子比特门。这样的两比特门称为控制一u 门，第一量子位称为 控制位，第二量子位称为靶位。控制一u 门对靶位作用j 还是u ，决 定于控制位处于1 0 ) 态还是1 1 ) 态。其中应用最多的是控制非( c n o t ) 门，它的作用是 翌主兰垒垒苎一立 油= ( | 在这组基下，c n o t 门的作用可以甩矩阵表示为 = 口 0 0 0 j 一、0 l 】0 1 0 m 一砌) ( 2 1 7 ) 雠黼黼 吼卟 l、， 0 o l o ，一 、， 0 l 0 0 ，j、li、 | | 10 、， 1 o 0 o ，f、， = o 0 、f o 0 l 0 o 0 0 l o l 0 0 1 o o 0 ， 叱因戮 广口叭组 嗽 黼 耋玑 蛳 撇枷凇 州 蓟岫徽篡孺 一 一鳓 曼 辑扩咀 图 逻缘 醣鬻一 量吁，多 门 意弹刀蒹 垮鞴鬻露蕊 l l加 一 一 l l 量子算法分析及其物理实现 - 9 同样，三量子位的基矢也可由一个量子位的基矢直积构造，这样t 0 f f o u 门的作用也可以用矩阵表示为 o00o o000 o o o o 0 0 0 0 l0 0 0 0 l0 0 00 ol 0olo 它的线路图如图2 2 ( a ) 所示。 ；壬一t 咕 图2 2 ：图( a ) 三比特控制一u 门和t 0 助1 i 门；图( b ) 受控u 门 设u 是作用在n 量子比特上的任意酉矩阵，于是u 可视为那些 量子比特上的量子门。作为受控非门的自然推广，可定义受控【，门， 如图22 ( b ) 所示。这样的门具有单一的控制量子比特，用带黑点的线 表示，和n 个目标量子比特，用标上u 的盒子表示。如果控制量子 比特置于o ，目标量子比特将不受影响；如果控制比特置于1 ，则门 矿作用到目标量子比特上。 二、量子线路 利用前面介绍的一系列量子门作为基本元件，我们可构造量子 线路来完成一些有用的量子操作。线路的读法是从左到右。每条线 表示量子线路中的连线，连线不一定对应物理上的接线，而可能是对 。应一段时间或一个从空间一处移动到另一处的物理粒子，如光子。 在图23 中给出包含三个量子门的量子线路，它可完成一件简单 而有司的仨务一对换两个量子比特的状态。为明白该线路完成对换 0 0 o l 0 o 0 0 0 0 l 0 0 0 o o 0 1 o 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 o 0 硕士学位论文 1 0 操作，需要注意这一连串门在计算基态hb ) 上的一系列作用 h6 ) 一i o ，ob ) _ l n o ( o ob ) ，o o6 ) = h o6 ) 一慨( 。ob ) ob ) = 陋，。) ，( 2 2 0 ) 其中所有白劬法都是模2 的。于是，这个线路的作用就是互换两个 量子比特的状态。 强三工 图2 3 ：对换两个量子比特的线路和这个常用线路的等价框图符号 值得注意的是，一些经典线路特有的概念在量子线路中通常不 出现。首先，量子线路不允许出现回路，即从线路的一部分到另一部 分的反馈，也就是说量子线路是无环的。其次，经典线路允许连线汇 合，即所谓扇入操作( f a n i n ) ，导致单连线包括所有输入位的按位或 ( b i 嘶s eo r ) 。显然这个操作是不可逆的，因而也是非酉的，因此在量 子线路中我们不允许出现扇入。最后，相反的操作，扇出( f a n o u t ) ， 即产生一比特的多个拷贝在量子线路中也是不允许的。事实上量子 力学禁止量子比特的复制，扇出操作是不可能的。 图24 ：表示测量的量子线路符号 量子线路中一个重要的操作是测量，用仪表符号来表示，如图 24 所示。这个操作把单量子比_ 特的状态v ：no h3 1 ) 变成概率意 义下的经典比持m ( 为与量子比持区分，画成双线) ，取。的概率为 。，取l 的概率为铲， 量子算法分析及其物理实现 1 1 2 2 量子不可克隆定理 克隆是指保持原有物体不变，而复制出一个与之完全相同的另 一物体。我们都知道经典计算机中的数据可以被重复使用和拷贝，即 b o o l 态是能够被克隆的，而在量子计算中经典的b o o l 态对应着相互 正交的计算基矢l o ) 和队这也就是说：相互正交的量子态能够被克 隆。例如，存在这样的幺正操作巩 仉：? 。粤 ( 2 2 1 ) 1 1 ) a i o ) b 1 1 ) a 1 1 ) b ， 、7 无论第一个量子位处于i o ) 还是队它都能将这个量子位的态拷贝到 第二个量子位中。但如果第一个量子位处于1 0 ) 和1 1 ) 的某一叠加态 l 讪) = o l o ) + 6 1 1 ) ，则在上述幺正操作觇作用下，i 母) 将演化为 而这个态并不是i 咖) 。l 妒) e ，即第二个量子位未形成第一个量子位的拷 贝。由此得出结论：一个未知的量子态不可能被完全精确复制。 考虑两个不同且不正交的量子态l 讪) 和l 妒) ，假设存在这样的量子 克隆机器，它能够作出) 和l 妒) 的完全拷贝，即存在操作u 完成下 面变换 矿：i 妒) a 1 0 ) b 。l 讪) a i 母) b 1 妒) a i o ) b ，l 妒) a l 妒) b ( 22 3 1 根据量子力学的幺正性有：a ( 廿l 妒) a = a ( 出 妒) 口( 讪i ) b ，由于1 讪) 和1 l p ) 是非正交的，因此只有( 廿1 ) = l ，也就意味着l 妙) 和l ) 是相同的态。 这表明：若l 曲) 和 p ) 是两个不同且非正交态，则不存在一个这样的 幺正量子机器，能够作出1 妒) 和i 妒) 两者的完全拷贝。 以上的结论就称为量子不可克隆定理，它是由量子力学的态叠 加原理，以及系统态的演化须遵从幺正变换这两个基本原理所导致 的。这个定理是量子信息与经典信息的另一重要区别，同时量子不 可克隆定理也是确保量子通讯安全的基础。 2 3 量子态的测量 量子测量理论联系着量子趣论计算和量子实验测量，是两者之 硕士学位论文 1 2 间必经的桥梁，是量子理论的基础和支柱。理想的完全测量的三个 阶段为：纠缠分解、波包塌缩、初态制备。 在被测态的纠缠分解阶段中，虽然因为观测量的不同，使态分解 方式不同，但只要尚未进入塌缩阶段，在此期间被测态仍然保持原 来的全部相干性。在接下来的第二个阶段里，发生了状态的塌缩，这 个塌缩过程有四个特征：随机的原则上无法预见和控制的；不可 逆的一不少人说，测量是熵增加过程；斩断原有相干性的一切断被 测态原有的一切相干性；非定域的一空间波函数的塌缩都是非定域 的。 以往量子力学经常只限于研究“孤立封闭”的量子体系。此时量 子测量都是v o nn e u m a n n 正交投影一按测量公设，是向被测力学量的 正交归一本征函数族投影 j 咖) + 最l 妒) = ( 。l 妒) h e = l 。) ( 。1 ，( z l j ) = 略，v 。，n ，( 22 4 ) 即 p = 中l = 盘弓扎 t ，j p 。= 风皿= 龟喀1 ) ( 忙= 2 最， k l ，j ，k k 既= l 女) ( 取= j ， 墨马= 最， t r 西= l( 22 5 ) 但一般地说，按不同情况和不同观点，量子测量有不同的种类：( 1 ) 封 闭系统量子测量与开放系统量子测量；( 2 ) 两体及多体有局域测量、 关联测量、联合测量；( 3 ) 完全测量与不完全测量。 2 4 量子纠缠 一个孤立的微观体系a ，其状态一定可以用一个纯态来完备地描 述。但如果考虑它和外界环境b 有相互影响，这些难以避免的直接 ( 或间接) 的相互作用将会导致a 和b 状态之间的量子纠缠。量子纠 缠的概念和术语是由s c h r 6 d i n g e r 于1 9 3 5 年首次引入量子办学，并称 之为“量子力学的精髓”曩量子纠缠是一种奇持而又十分复杂的 纯量子现象，反映了量子理论的本质相干性、或然性阳空间非定 量子算法分析及其物理实现1 3 域性，已经并且正在广泛应用于蓬勃发展着的量子通信和量子计算 中。 量子纠缠只有对多量子体系量子态才有意义。所说的纠缠态就 是多粒子体系的一种不能表示为直积形式的叠加态。设一双电子体 系，处在自旋单态上，其波函数为 叫= 去( 1 ) 2 邛川0 ) 2 ) ( 22 6 ) 其中1 0 ) 和1 1 ) 是z 方向自旋算符本征态。显然l 皿一) 不能写成电子1 态j 廿) ，和电子2 态l 妒) ：的直积形式j 母) 。 j 妒) 。当测量电子l 或电子 2 的= 方向自旋时，将以1 2 的概率得到自旋向上的态l o ) ，以1 2 的 概率得到自旋向下的态队若在某次测量后，发现电子1 的自旋沿 z 的正方向，这时再测量电子2 的自旋，根据波包塌缩原理，得到的 结果必定是电子2 沿z 的负方向。这个态是b 0 h m 为简单明了地表述 e p r 佯谬而给出的双电子体系的e p r 态，e i n s t e i n ，p o d o l s k y 和r d s e n 早已指出，e p r 态一旦制备出来，无论两个粒子相隔多远，这种关 联依然存在。然而沿z 轴方向的测量并不能完全说明量子关联，因 为以5 0 的几率分布于1 0 1 ) 和i l o ) 的两个粒子，构成的系统处于态 1 0 1 ) ( o l l + 1 l o ) ( 1 0 l ，在沿才轴方向进行测量时，若测得其中一个粒子 以5 0 的几率处于川，则另一个粒子必定处于叫态，但当我 们沿z 轴方向进行测量时，由于基矢变换，这个混合态的密度矩阵产 生了非对角元，粒子的自旋也就不再具有关联。然而量子情况却不 相同，令l + ) 、卜) 表示。轴方向自旋算符的本征态，变换基矢后，e p r 态表述为： 旷) = 去( 卜) z 一- 2 ) ， ( 22 7 ) 从方程( 2 2 4 ) 可知，若以5 0 的几率得到电子1 或电子2 的自旋沿z 轴的正方向时，另一粒子必定沿z 轴的负方向，也就是说在z 方向 两粒子仍是关联的，不仅如此，e p r 态在沿任意方向的自旋都是关 联的。量子纠缠是复合量子系统的一种非局域关联，关联性强于经 典关联。经典关联是不具有纠缠特性的，例如，由n 个粒子组成的系 统，若系统的状态可用密度矩阵 f 22 8 1 硕士学位论文 1 4 描叙，则这个系统就是可分离的，只具有经典关联，是非纠缠的。 方程( 2 2 4 ) 的i 皿一) 和下面所列的三个态构成四维础b e r t 空间的完 备基，他们统称为b e u 态 卫+ ) 圣一) 圣+ ) 容易验证这四个b e u 态是对易算子毋毋和毋毋) 的共同本征态， 毋一1 2 和一1 1 ) a 字中上标( 1 ) 和( 2 ) 表