（计算数学专业论文）关于矩阵填充和非负矩阵的研究.pdf

摘要 本论文分五个部分在第一部分，我们研究了部分整数矩阵填充为单模矩阵的 问题；在第二部分，我们研究了给定非本原指标的不可约非负矩阵正元素的可能个 数；在第三部分，我们考虑了两个非负矩阵h a d a m a r d 积的谱半径的上界和两个m 矩阵f a n 积的最小特征值的下界；在第四部分，我们考虑了k a h a n 保范扩张定理中 待定矩阵的一般解；最后我们考虑了部分半正定矩阵的唯一填充问题 1 部分整数矩阵的填充问题 我们证明了如果一个部分整数矩阵有一条自由对角线，那么这个矩阵能被填充 为一个单模矩阵这样一个条件从一般意义上讲也是必要的随后我们证明了如果 一个nxn ( n 2 ) 部分整数矩阵有2 n 一3 个确定的元素并且这些元素中任何n 个 不构成一行或一列，那么这个矩阵能被填充为一个单模矩阵这个结果改进了詹的 一个最近的结果 2 非本原矩阵正元素的可能个数 在 31 】中，詹确定了一个给定非本原指标的不可约非负矩阵的正元素的最大个 数和最小个数令a ( a ，k ) 表示给定非本原指标为k 的不可约非负矩阵a 的正元素 的个数令m ( 佗，k ) 和m ( n ，k ) 分别表示礼阶非本原指标为七的不可约非负矩阵的正 元素的最大个数和最小个数詹曾提出下面的问题：设正整数d 满足m ( n ，k ) d u ( n ，惫) ，是否存在非本原指标为惫的一个不可约非负n 阶矩阵a 使得d = a ( a ，) 我们给出了肯定的回答 3 非负矩阵h a d a m a r d 积的谱半径的上界和m 一矩阵f a n 积的下界 我们给出了两个非负矩阵h a d a m a r d 积的谱半径的上界和两个m 矩阵f a n 积 的下界这两个界改进了已知的两个结果 4 k a h a n 的保范扩张定理中待定矩阵的一般解的表达式 在1 9 6 7 年，k a h a n 得到了一个矩阵扩张定理：假设h c 搬是h e r m i t i a n 并 华东师范大学博士论文关于矩阵填充和非负矩阵的研究 且b c 联z r = ( 日b ) 用i i 忆表示谱范数那么存在一个形 鄱使得 a = h 矽w ) 是h e 锄i t i a n 并且i i a = “冗k 曲a n 并没有给出的一个 显示表达式在【11 】中，d a v i s ，k a h a n ，和w e i n b e r g e r 推广了k a h a l l 的矩阵扩张定 理他们证明了如果给定矩阵a ，b ，c 则存在解d 使得 “a 三) 忆= 仇口z 圳( 三) ，f | ( a c ) ， 并且随后构造了所有的解d 令p = l ir2 在【3 4 ，3 5 中，征证明了我们可以取 w = 一b h ( q 2 ，一h 2 ) b 4 进一步，不等式 b ( e i + h ) t b 4 一e l w p ，一b ( o i h ) t b 给出了k a h a n 的定理中解w 的表达式征用广义逆形式给出是新的想法在本 章，我们将给出d a v i s ，k a h a n 和w e i n b e r g e r 的保范扩张定理中广义逆形式的解随 后，我们用一种更为简单的方法得到征的结果 5 半正定矩阵的唯一填充问题 在最后一部分，我们研究了一个部分半正定矩阵的唯一填充问题我们给出了 一个三对角部分半正定矩阵有唯一填充的充分必要条件我们也研究了部分半正定 矩阵的无向图是弦图的唯一填充问题最后给出了一个刻画那些有唯一半正定填充 的部分矩阵的猜想 关键词部分整数矩阵，单模矩阵，矩阵填充，矩阵的对角，不可约非负矩阵，非 本原指标，正项个数，h a d a m a r d 积，谱半径，p e r r o n 特征向量，m 矩阵，f a n 积，最小特征值，k a h a n 矩阵扩张定理，谱范数，广义逆，唯一填充，部分半正定 矩阵，弦图 a bs t r a c t t h e r ea r ef i v ep a r t si nt h i st h e s i s i nt h ef i r s tp a r t ，w ed i s c u s st h ec o m p l e t i o no f ap a r t i a li n t e g r a lm a t r i xt oau n i m o d u l a rm a t r i x ；i nt h es e c o n dp a r t ，w ei n v e s t i g a t et h e p o s s i b l en u m b e r so fp o s i t i v ee n t r i e so fi m p r i m i t i v en o n n e g a t i v em a t r i c e s ；i nt h et h i r d ， w ec o n s i d e ru p p e rb o u n d sf o r t h e s p e c t r a lr a d i u so ft h eh a d a m a r dp r o d u c to fn o n n e g a t i v e m a t r i c e sa n dl o w e rb o u n d sf o rt h em i n i m u m e i g e n v a l u eo f t h ef a np r o d u c to f m m a t r i c e s ； i nt h ef o u r t h ，w ec o n s i d e rt h eg e n e r a ls o l u t i o nf o r m u l af o rd i nd a v i s ，k a h a n 。a n dw 色i n b e r g e r sn o r r n - p r e s e r v i n ge x t e n s i o nt h e o r e m ；f i n a l l yw ec o n s i d e rt h eu n i q u ec o m p l e t i o n o fap a r t i a lp o s i t i v es e m i d e f i n i t em a t r i x 1 c o m p l e t i o n so fap a r t i a li n t e g r a lm a t r i xt oau n i m o d u l a rm a t r i x w ep r o v et h a ti fap a r t i a li n t e g r a lm a t r i xh a saf r e ed i a g o n a lt h e nt h i sm a t r i xc a l l b ec o m p l e t e dt oau n i m o d u l a rm a t r i x s u c hac o n d i t i o ni sn e c e s s a r yi na g e n e r a ls e n s e c o n s e q u e n t l yi fa n 礼n ( 7 , 2 ) p a r t i a li n t e g r a lm a t r i xh a s2 n 一3 p r e s c r i b e de n t r i e s a n da n y 佗e n t r i e so ft h e s ed on o tc o n s t i t u t ear o wo rac o l u m nt h e ni tc a n b ec o m p l e t e dt o au n i m o d u l a rm a t r i x t h i si m p r o v e sar e c e n tr e s u l to fz h a n 2 p o s s i b l en u m b e r so fp o s i t i v ee n t r i e so fi m p r i m i t i v en o n n e g a t i v em a t r i c e s i n 3l 】，z h a nh a sd e t e r m i n e dt h em a x i m u ma n dm i n i m u mn u m b e r so f p o s i t i v ee n - t r i e so fi m p r i m i t i v ei r r e d u c i b l en o n n e g a t i v em a t r i c e sw i t hag i v e ni m p r i m i t i v i t yi n d e x l e to ( a ，后) d e n o t et h en u m b e ro fp o s i t i v ee n t r i e so fa n 佗仃i r r e d u c i b l en o n n e g a t i v e m a t r i xaw i t hi m p r i m i t i v i t yi n d e xk l e tm ( n ，尼) a n dm ( n ，后) d e n o t et h em a x i m u m a n d m i n i m u mn u m b e r so fp o s i t i v ee n t r i e so fi m p r i m i t i v ei r r e d u c i b l en o n n e g a t i v em a t r i c e so f o r d e r 仃w i t hag i v e ni m p r i m i t i v i t yi n d e x ，r e s p e c t i v e l y i nas e m i n a r , z h a no n c ea s k e d w h e t h e ro rn o tw h e nm ( n ，后) d m ( n ，后) w h e r edi sa p o s i t i v ei n t e g e r , t h e nw e c a nf i n da l l 礼x 扎i r r e d u c i b l en o n n e g a t i v em a t r i xaw i t hi m p r i m i t i v i t yi n d e x 七s u c ht h a t d = o ( a ，七) w ea n s w e rt h i sq u e s t i o na f f i r m a t i v e l y 3 b o u n d so ne i g e n v a l u e so ft h eh a d a m a r dp r o d u c ta n dt h ef a np r o d u c to f m a t r i c e s w ep r o v ea nu p p e rb o u n df o rt h es p e c t r a lr a d i u so ft h eh a d a m a r dp r o d u c to fn o n n e g a t i v em a t r i c e sa n dal o w e rb o u n df o r t h em i n i m u me i g e n v a l u eo ft h ef a np r o d u c to f m m a t r i c e s t h e s ei m p r o v et w o e x i s t i n gr e s u l t s 4 t h eg e n e r a ls o l u t i o nf o r m u l af o rw i nk a h a n st h e o r e m n a n a n db c s 则d e n o t e 恤s p e c 仃a h 。咖o f r = ( ；) b y i i 冗t h e nt h e r e e x i s t saw c 8 8s u c ht h a ta = ( ；：) i s h e 硼i t i a na n di i a 忆= f i 冗忆k a h a n 、b ” d i dn o tg i v ea ne x p l i c i te x p r e s s i o n 、f o rw i n i1l 】，d a v i s ，鼬a n ，a n dw e i n b e r g e rh a d g e n e r a l i z e dk a h a n sm a t r i xe x t e n s i o nt h e o r e m t h e yp r o v e dt h a tt h e r ee x i s ts o l u t i o n sd “a 。c ) = m n z 川( 三) 忆，“( a c ) 忆， l e tp = i ir2 i n 3 4 ，3 5 ，z h e n gs h o w e dt h a to n e m a yt a k e f u r t h e r m o r e ，t h ei n e q u a l i t y = - b h ( 0 2 一h 2 1 t b + b ( o i + 日) b + 一o i w o i b ( o i h ) t b g i v e st h eg e n e r a ls o l u t i o nf o r m u l af o rwi nk a h a n st h e o r e m t h eg e n e r a l i z e di n v e r s e f o r ms o l u t i o no fk a h a n sm a t r i xt h e o r e mi sn e w i nt h i st h e s i s ，w ew i l lg i v et h e g e n e r a l i z e di n v e r s ef o r ms o l u t i o no f d a v i s ，k a h a n ，a n dw e i n b e r g e r sn o f n l p r e s e r v i n ge x t e n s i o n t h e o r e m c o n s e q u e n t l y , w ec a ng e tz h e n g sr e s u l ta n do u rp r o o fi ss i m p l e rt h a nt h a to f z h e n g 5 t h eu n i q u ec o m p l e t i o no fap a r t i a lp o s i t i v es e m i d e f i n i t em a t r i x i v 华东师范大学博士论文关于矩阵填充和非负矩阵的研究 i nt h i st h e s i st h ep r o b l e mo f u n i q u ec o m p l e t i o no f a p a r t i a lp o s i t i v es e m i d e f i n i t em a t r i xt oap o s i t i v es e r n i d e f m i t em a t r i xi sc o n s i d e r e d w eg i v eas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o nf o rp a r t i a ll r i d i a g o n a lp o s i t i v es e m i d e f i n i t em a t r i c e st oh a v eu n i q u ep o s i t i v e s e m i d e f i n i t ec o m p l e t i o n w ea l s oc o n s i d e rt h eu n i q u ep o s i t i v es e m i d e f i n i t ec o m p l e t i o n o fp a r t i a lp o s i t i v es e m i d e f i n i t em a t r i c e sw h o s ea s s o c i a t e dg r a p h sa r ec h o r d a lg r a p h s f i n a l l yw ep o s eac o n j e c t u r ew h i c hc h a r a c t e r i z e st h o s ep a r t i a lp o s i t i v es e m i d e f i n i t em a t r i c e s w h i c hh a v eu n i q u ep o s i t i v es e m i d e f i n i t ec o m p l e t i o n k e y w o r d s ：p a r t i a li n t e g r a lm a t r i x ，u n i m o d u l a rm a t r i x ，c o m p l e t i o no fm a t r i x ，d i a g o n a lo fm a t r i x ，i r r e d u c i b l en o n n e g a t i v em a t r i x ，i m p r i m i t i v i t yi n d e x ，n u m b e r so f p o s i t i v e e n t r i e s ，h a d a m a r dp r o d u c t ，s p e c t r a lr a d i u s ，p e r r o ne i g e n v e c t o r s ，m m a t r i x ，f a np r o d u c t ， m i n i m u me i g e n v a l u e ，k a h a n sm a t r i xe x t e n s i o nt h e o r e m ，s p e c t r a ln o r n l ，g e n e r a l i z e di n v e r s e ，u n i q u ec o m p l e t i o n ，p a r t i a lp o s i t i v es e m i d e f m i t em a t r i x ，c h o r d a lg r a p h v 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名：禅 日期：垒爱：堑 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：芝叁生导师签名：学位论文作者签名：丕垄! 主导师签名： 日期：d 彦 日 期： z o 一6 第一章整数矩阵以及整数矩阵的填充问题 1 1 整数矩阵的性质 为了表达的简单，我们仅仅考虑有理整数z 上的整数矩阵，但是所有的结果都 可推广到更一般的矩阵环上令螈( z ) 是在亿x 钆矩阵上z 的环一个矩阵a ( z ) 被称为单模矩阵如果d e t a = 士1 令a ，b 为两个等阶整数方阵，如果存在单模矩阵使得b = u a ，那么我们就 说b 左等价于a ；如果存在单模矩阵y 使得b = a v ，那么我们就说b 右等价于a 如果存在单模矩阵以y 使得b = u a v ，那么我们就说b 等价于a 令k 是一个整数且1 k 死令q 七，n 表示所有 i 1 ，i 七) 组成的集合，其中 i l ，z k 为正整数且1 i 1 i 2 0 如果存在矩阵p m m ，( z ) 和 q 尬。( z ) 使得a = p q 我们就说矩阵a 有满秩分解 引理1 1 4 4 j 令a ，n ( z ) 那么下列条件等价： 4 是正则的 ( i o a 存在满秩分解 ( i i o a 的不变因子都等于j 砂a 的秩等于其行列式因子的秩 定理1 1 5 | 4 l 令a m m ，n ( z ) 并且b m r ，。( z ) 是a 的一个子阵那么有下列 结论： 何6 ( b ) 6 ( a ) 一f ) r + 8 6 ( b ) m + n 一6 ( a ) 证明首先我们假设m = 7 + 1 ，n = 8 ，并且不失一般性我们假设b 由a 的前r 行构成令p = m i n r ，s ) 令u b v = d i a g ( s 1 ，8 p ) r 。= d 是s m i t h 标准型，这 里配y 是单模矩阵，8 1 ，8 k 是不变因子，s 七+ 1 = = 8 p = 0 ，k = r a n k b 令 a = 出口9c 以d b y 2 ( ；) 对于a ，把最后一行分别减去第i 行的忍倍，i = 1 ，6 ( j e 7 ) 这样a 化成一个这样 的矩阵其最后一行的前6 ( b ) 个元素为0 很明显，如果化归后的矩阵的最后一行有 4 华东师范大学博士论文关于矩阵填充和非负矩阵的研究 一项等于l ，那么6 ( a ) = 6 ( 4 ) = 6 ( b ) + 1 否则6 ( a ) = 6 ( b ) 因此在这种情况下( i ) 得到证明 令t = 6 ( a ) 如果5 i 。，a 删。是a 的一个长度为t 的部分对角，因此它至少含 有d 的t 一1 项因此4 长度为t 的任何部分对角的积要么是0 要么能被s t - 1 ( j e 7 ) 整除因此8 t - a ( b ) l d t ( a ) = 1 所以我们可以得到s 1 ( b ) = = 8 t - 1 ( b ) = 1 因此 6 ( b ) 2t 一1 所以( i i ) 在这种情况下也得到证明 当a 是通过b 加一列，证明是类似的一般的情况可以通过不停的加行和列 得到口 如果a 和b 是两个矩阵并j | a b 有意义，那么r a n k a b m i n r a n k a ，r a n k b 对于6 来讲也有类似结果 引理1 1 6 1 4 1 令a a ，n ( z ) ，b 螈，p ( z ) 那么6 ( a b ) m i n 6 ( a ) ，6 ( b ) ) 证明根据c a u c h y b i n e t 公式，a b 的任何t x t 阶子式要么为0 要么是a 的t x t 阶子式的一个整数系数的线形组合，这里t = l ，m i n m ，p ) 因此如果4 ( a b ) 非 零，那么d t ( a ) l d t ( a b ) 记t = 5 ( a b ) 我们看到如( a b ) ( a ) = 1 ，因此6 ( a b ) 6 ( a ) 同样我们可以类似证明6 ( a b ) 6 ( a ) 。这样我们就完成了证明 口 定理1 1 7 1 4 1 4 。a m m ，n ( z ) ，b ，p ( z ) 那么 6 ( a b ) 6 ( a ) + 6 ( b ) 一佗 证明令5 ( a ) = r ，j ( b ) = s 令w = m i n m ，n ) ，z = m i n n ，p - 令 a = u d i a g ( h l ，h r ，h r + l ，h 加) m n y 和 b = 巩d i a g ( k l ，k s ，+ 1 也) n x p k 是s m i t h 标准型，这里h 1 = = h ，= k l = = = 1 那么 u 。a b v l - 1 = d i a g ( h ”h w v 巩d i a g ( k 1 ，也) 根据上面的方程我们知道由y 仉的前r 行8 列构成的子阵也是叫b 盯1 的子阵 因为y 巩是单模矩阵，根据定理j j 5 这个子矩阵至少有r + s n 个不变因子等于 j 根据定理j ，j 工我们有 5 ( a b ) = 6 ( u 一1 a b v i - 1 ) r + s n = 6 ( a ) + 6 ( b ) 一n 5 华东师范大学博士论文 关于矩阵填充和非负矩阵的研究 这样我们就完成了证明 口 如果a ，x ，b 是矩阵并且a x b 有意义，那么著名的f r o b e n i u s 不等式为： r a n k a x b r a n k a x + r a n k x b r a n k x 对于6 来讲却没有类似结果看下例； d i a g ( 1 ，0 ，1 ) ，x = d i a 9 ( 2 ，2 ，3 ) ，b = d i a g ( o ，1 ，1 0 那么 5 ( a ) = 1 ，5 ( a x ) = 1 ，5 ( x b ) = 1 ，5 ( a x b ) = 0 5 ( a x b ) 5 ( a x ) + 6 ( x b ) 一6 ( x ) 但是当x 是正则时对于五& f r l - r 以得到类似的f r o b e n i u s 不等式 定理1 1 8 1 4 1 令a ，n ( z ) ，x ，p ( z ) 且b ，口( z ) 假设x 是正贝l i 5 ( a x b ) 5 ( a x ) + 5 ( x b ) 一巧( x ) 证明令r a n k x = r 因为x 是正则的，根据引理j ，tx 的，个不变因子都 等t1 令 x = u d i a g ( h ，o ) n x p v 是x 的s m i t h 标准型于是 4 x b = 4 u ( ：) n x ，( l 。) ，p y b 令c = a u ( ：) ，。= ( 。) y b 根据定理一，乃 5 ( c d ) 5 ( c ) + 5 ( d ) 一r 很明显，5 ( a x ) = 6 ( c ) ，5 ( x b ) = 6 ( d ) 这样我们就完成了证明口 6 华东师范大学博士论文关于矩阵填充和非负矩阵的研究 现在我们考虑两个整数矩阵的和令a ，n ( z ) ，b 朋m ，n ( z ) 一般情况 下不存在不等式6 ( a + b ) 6 ( a ) + 6 ( j e 7 ) 比如：令a = d i a g ( 2 ，0 ) ，b = d i a g ( o ，3 ) 那么a ( a ) = 6 ( b ) = 0 ，但是5 ( a b ) = 1 但如果a 或b 是正则的，上述不等式则是 成立的我们需要下面的引理 引理1 1 9 1 4 】令a ，n ( z ) ，c m m + 1 ，。( z ) 是在a 的基础上加一个行向 量那么 6 ( c ) 6 ( a ) + 1 证明c 的任何t t 阶子式是a 的t 一1 t 一1 阶子式的整系数线形组合因 此d t 一1 ( 以) l 画( c ) 记t = 6 ( a ) 我们看到5 ( a ) 6 ( c ) 一1 这样我们就完成了证明 口 定理1 1 1 0 1 4 】令a ，n ( z ) ，b ，住( z ) 假设a 或b 是正则的那么 6 ( a + b ) 6 ( a ) + 6 ( b ) a + b = ( k 厶) ( 三) 6 c a + b ，6 ( 三) 7 华东师范大学博士论文关于矩阵填充和非负矩阵的研究 1 2 整数矩阵的填充问题 在文章 3 3 ，t h e o r e m 口詹刻画了给定阶数的单模矩阵的子矩阵的特征如下t 命题1 2 1 令r ，8 ，礼是正整数且忽，l n 一个k l 整数矩阵a 是一个阶数为 r 的单模矩阵的子阵当且仅当a 至少有k + l n 个不变因子等于， 为了证明命题j 2 ，我们需要下面的引理： 引理1 2 2 令a m r ，。( z ) 是b 螈( z ) 的子矩阵且7 + 8 一n 1 那么 c f r + 。一礼( a ) id e t b 证明令p = m i n ( r ，s ) ，凫= r + s n 那么p 庇不失一般性伽果必要的话可 以通过行列置榭，我们可以假定a 在b 的左上角令u a v = d i a g ( s 1 ，s p ) ，x 。= d 是a 的s m i t h 标准型，这里阢y 是单模矩阵，8 1 ，8 m 是不变因子，并且8 m + 1 = = s p = 0 ，m = r a n k ( a ) 我们用厶来表示t 阶单位矩阵表示 雪= 成。9 c 厶一，b d z n 9 c v 厶一。，= ( 兰三) = c b 巧，礼n 因为r + s = 死+ 概根据k s n i g 的定理以p 7 3 房的每个对角线( 6 1 ，盯( 1 ) ，k ，叮( n ) 至少含有d 中的忌项，这里盯是1 ，2 。，礼的一个置换因此如果里轨一t ) 0 ，那 他七 么旦阮川t ) 2 伽1 ：7 1s 乱对某个整数伽并且1 2 1 2 n 一3 这与a 只有2 礼一3 个确定的元素这个事实矛盾所有a 有一个自由对角并且能被 填充为一个单模矩阵这就完成了证明口 评论注意到推论j 2 5 好于詹口刀中的结论当n 4 在推论j 2 j 中我们不 华东师范大学博士论文关于矩阵填充和非负矩阵的研究 能把2 n 一3 改为2 n 一2 观察下列示例： a = ? 2 2 72 2 77 7 77 7 这里? 是自由元素并且礼3 这些预定的元素的位置中任何n 个位置都不构成 a 的完整一行和一列但是a 却不能填充为一个单模矩阵在p 刃中我们也能看 到一个相似的例子当佗= 3 时当n = 2 ，如果a 有两个确定的元素并且这两个元 素不构成a 的完整一行和一列，那么a 能填充为一个单模矩阵 下面我们指出定理j 2 3 中的条件从一般意义上讲也是必要的 定理1 2 6 令a 为一个部分整数矩阵如果a 没有一个自由对角，那么存在一 个n 阶部分整数矩阵b 使得b 和a 有同样的一组自由元素但是b 不能填充为一 个单模矩阵 证明令且为一个把的每一个确定位置的元素取z 而其它自由元素保持不变 的部分整数矩阵那么因为a 并且因此b 没有自由对角，无论这些自由位置被填充 为什么整数d e t b 总是偶数因此b 不能填充为一个单模矩阵这就完成了证明 口 1 2 华东师范大学博士论文关于矩阵填充和非负矩阵的研究 1 3 具有整数特征值的整数矩阵的性质 定理1 3 1 1 2 6 一个佗x 佗整数矩阵a 具有整数特征值当且仅当矩阵a 可以表 示为 乱一l a = f u t v i + 七厶 z 一 。 i = 1 这里钆i 和v i 是拥有刀个部分的行向量并且满足u i ov j = 0 对1 i j d ( a ) 例p ( a ) 是4 的单根p p 其代数重数是矽 例a 有正特征向量名与p ( a ) 相应，即z 0 ，a z = p ( a ) z 而且a 的任一个非负 特征向量一定是z 的正整数倍 定理( f r o b e n i u s ) 设n ( 1 ) 阶的不可约非负方阵a 有后( 1 ) 个特征值的模等于p ( a ) ，则 这k 个特征值一定是p ( a ) e 2 簪( 2 = 0 ，1 ，尼一1 ；i = v - z t ) 而且a 与 a e i 2 一r l 相似，从而点集s p e c a 佃a 的所有特征值构成的集合) 在复平面上围 绕原点旋转孥f 角的变换下不变 例若k l 则a 置换相似于 a = 0 a 1 2