（应用数学专业论文）一类聚合风险模型的研究.pdf

哈尔滨工程大学硕十学位论文 摘要 风险模型是对风险定量、定性研究的重要手段，从最初的个别风险模型 到聚合风险模型，再到相应的推广模型，每一次理论的创新都更加准确地反 映出实际情况，相应的理论成果对实际的指导意义更强。正是考虑到理赔不 是在导致索赔事故一发生就进行的这一事实，在2 0 0 4 年提出了一类新的聚合 风险模型整值自回归聚合风险模型( 简记为i n a r c r ) m 兰意q ， 该模型将理赔延迟的问题顺利解决，更加准确的描述了理赔过程，本论 文正是在此基础上撰写的。 论文从经典聚合风险模型入手，给出了破产概率的定义 妙 ) = 兰 ) 一生f 厂( x ) ( u - x ) d x 一竺【1 一f ) 】 cc 蝴c 及几种特殊情况下的推广定义，讨论了六种不同情况下的参数值对破产概率 的影响，并给出了两种最新的对保险公司概率特征刻画的指标，即破产前瞬 时赢余 g ( 甜；x ) = p u ( t ) x ；t o o l u ( o ) = “) 和破产时赤字 h ( u ；x ) = p u ( t ) - y ；t o o l v ( o ) = 甜) 详细地讨论整值自回归聚合风险模型的相关结构及分布，给出了相关定 理及推论证明；讨论了整值自回归聚合风险模型的余额过程及相关结构，定 义了破产发生时间 t = i n f ( t ：u f o ，f o ) 乇 月 = 一m 口 = m 哈尔滨工程大学硕士学位论文 初始余额为a 的情况下破产发生的概率 尸( 口) = p ( r o o ) 并给出了相关定理证明。最后给出整值自回归聚合风险模型的实例加以讨论。 关键词：聚合风险模型；整值自回归聚合风险模型；调节系数；实例 哈尔滨下程大学硕+ 学位论文 a b s t r a c t t h er i s km o d e li sa l li m p o r t a n tm e t h o dt h a tq u a n t i t a t i v e l ya n dq u a n t i t a t i v e l y s t u d i e st h er i s k f r o mi n d i v i d u a lr i s km o d e lt oc o l l e c t i v er i s km o d e l ，t h e n c o r r e s p o n d i n gg e n e r a l i z a t i o nm o d e l ，e v e r yt h e o r e t i c a li n n o v a t i o nm u c hm o r e a c c u r a t e l yc h a r a c t e r i z e st h ea c t u a ls i t u a t i o n t h e r e f o r e ，t h e r e s u l t st h a ta r e o b t a i n e db yc o r r e s p o n d i n gt h e o r ye f f e c t i v e l yi n s t r u c tp r a c t i c e c o n s i d e r i n gt h ef a c t s e t t l e m e n to fc l a i mn o ti m m e d i a t e l yo c c u ra f t e rl c a d i n gt oc o m p e n s a t i o no f c l a i m a c c i d e n t 。ak i n do fn e wc o l l e c t i v er i s km o d e l i sp r o p o s e di n2 0 0 4 ，t h a ti st h e i n t e g e rv a l u e da u t o r e g r e s s i v ec o l l e c t i v er i s km o d e l s ( d e n o t e db yi n a r c r ) 曼j 群n t 吃 t h e nw es u c c e s s f u lr e s o l v e dt h ed e l a yp r o b l e mf o rs e t t l e m e n to fc l a i ma n d m u c hm o r ea c c u r a t e l yd e s c r i b e dt h ep r o c e s so fs e t t l e m e n to fc l a i m t h i st h e s i si s c o m p l e t e dt h a ti sb a s e do na b o v et h o r y t h et h e s i ss t a r t sf r o mt h ec l a s s i c a lc o l l e c t i v er i s km o d e l f u r t h e r m o r e ，t h e t h e s i sg i v e st h ed e f i n i t i o no fr u i np r o b a b i l i t y 少( 咖詈帅) 一兰ci f m ) 帅叫出一詈【l 叫“) 】 a n dt h eg e n e r a l i z a t i o nd e f i n i t i o n su n d e rs e v e r a ls p e c i a lc o n d i t i o n s a tt h es a m e t i m e ，t h et h e s i sd i s c u s s e st h ei m p a c to fp a r a m e t e rv a l u eu n d e r s i xd i f e r e n n t s i t u a t i o n so nr u i n p r o b a b i l i t y , a n dp r o v i d e s t h en e wi n d e xt h a td e s c r i b e s p r o b a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i co fi n s u r a n c ec o m p a n y t h a ti si n s t a n ts u r p l u sb e f o r e r u i n g ；x ) = p u ( ) x ；丁 i u ( o ) = “) a n dd e f i c i ta tr u i n 日( 笳；x ) = p u ( r ) 一y ；f f u ( o ) = 箔) t h et h e s i sd i s c u s s e st h es t r u c t u r ea n dd i s t r i b u t i o no fi n t e g e rv a l u e d a u t o r e g r e s s i v ec o l l e c t i v er i s km o d e li nd e t a i l a n dp r o v i d e sp r o o fo fc o r r e s p o n d i n g t h e o r e m sa n dc o r o l l a r i e s m o r e o v e r , t h et h e s i sd i s c u s s e st h ep r o c e s so fs u r p l u s 乇 帆同 = 一m 口 = m 哈尔滨下程大学硕士学位论文 a n d c o r r e s p o n d i n g s t r u c t u r ef o ri n t e g e rv a l u e da u t o r e g r e s s i v ec o l l e c t i v er i s k m o d e l t h et h e s i sd e f i n e st h et i m eo fr u i n t = i n f ( t ：u ， o ，t 0 ) a n dt h ep r o b a b i l i t yo fr u i nw i t hi n i t i a ls u r p l u sa 尸( 口) = p ( t o o ) f u r t h e r m o r e ，g i v e s t h ep r o o fo fe o r r e s p o n d i n g t h e o r e m s f i n a l l y , t h e t h e s i s d i s c u s s e sa c t u a le x a m p l eo ft h ei n t e g e rv a l u e da u t o r e g r e s s i v ee o l l e e t i v er i s k m o d e l s k e yw o r d ：c o l l e c t i v er i s km o d e l ；i n t e g e rv a l u e da u t o r e g r e s s i v ec o l l e c t i v er i s k m o d e l ；a c c o m o d a t i o nc o e f f i c i e n t ；e x a m p l e 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：傍西弭 日期：z 川。年6 月4 日 l 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 口在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 作者( 签字叮孽滔峨军 醐：节叩l 导师( 签字) ：施级互 卅年石月，驴日 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 引言 今天，人们习惯用“风险 这个词汇来表达各种可能发生的灾害和不利 事件，认可了我们确确实实是生活在一个充满风险的自然环境和社会环境之 中。风险已经或多或少地成为现代生活中无法回避的内容之一。 风险理论的研究则是伴随着人类对风险的定量研究而出现的，它起源于 早期商业保险，主要是研究保险领域的各种随机模型。随着人类社会的不断 发展，金融、保险、投资决策等经济活动已成为重要研究领域。风险理论的 研究在我国起步较晚，而随着我国经济融入世界经济步伐的加快，对风险理 论的研究就更显重要。 初期的风险理论研究的是个体风险模型。它是以每张保单为基本对象， 考虑某保单组合在一定时期内可能发生的理赔总量，进而考虑全部保单组合 在某段时期的理赔总量。此时的风险理论称为个体风险理论，随着研究的深 入产生了聚合风险理论，则是将所有的保单视为一个整体，以每一次理赔为 基本对象来考虑同一问题，按理赔发生的时间顺序将所有理赔量累加起来， 这样更加符合实际情况。 1 9 0 3 年，瑞典精算i ) 币f i l l i pl u n d b e r g 在其博士论文中首次引入风险理论中 最重要的一类随机过程- - p o i s s o n 过程，并重点讨论了模型的破产概率等问 题。这一成果奠定了经典风险理论发展的基础。不过l u n d b e r g 的工作不符合 现代数学的严格标准。后来，以h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典学派将l u n d b e r g l 拘 工作奠定在坚实的数学基础之上，并发展了随机过程理论。现在公认， l u n d b e r g 和c r a m e r l 拘i 作为经典破产风险理论的基本定理。 如今，风险理论已成为使用数学模型来描述和研究保险公司面临风险的 1 哈尔滨工程大学硕士学位论文 一门学科，使用概率论中的马尔可夫过程和随机模型描述保险公司经营过程， 以此来研究保险公司的生存概率、破产概率、破产时间及破产前最大盈余等 等，在研究方法上，f e l l e r t l 】的更新理论和g e r b e r 2 1 的鞅方法已经成为研究经 典聚合风险论的主要数学工具。 1 2 风险理论的基本知识 1 2 1 个别风险模型 假设保险人在某个时间段内，比如一个会计年度内已售出n 张保单，保 单持有者若遭遇损失则可以根据投保内容向保险人索赔，保险人则按保单的 承诺赔付被保险人，即理赔。对第f 张保单来说，若发生索赔，则赔付额可 能是一个确定的数目也可能按损失程度的大小和保单承诺的具体条款而定， 假定第i 张保单可能发生的理赔( 或理解为保险人的赔付) 为x l ，则x j 应 视为随机变量，现考虑在该时间段内的理赔或赔付总量s ： s = x l ( 1 一1 ) j r i = 1 个别风险模型就是要研究随机变量s 的分布情况，但在般情况下要获 得s 的分布是十分复杂的，只能在一些特殊假设下讨论s 的分布，因此个别 风险模型通常作如下假设： ( 1 ) 每张保单是否发生理赔以及理赔额大小是相互独立、互不影响的， 即而，x 2 ，是- - n 相互独立的随机变量。 ( 2 ) 每张保单至多发生一次理赔。若用随机变量i 表示一张保单可能发 生的理赔的次数，则i 的取值为0 或l ，亦即i 服从0 1 分布或贝努里分布， 记作： 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ，也0 三) 其中，理赔一次的概率g 的确定视具体问题而定，比如在寿险中可根据 某种生命表来确定。 ( 3 ) 保单组合s = 一中的风险都为同质风险，理解为同类保单，数学 上则反应为每张保单的理赔_ 具有相同的分布。 ( 4 ) 所考虑的保单总数刀是一个确定的正整数，又称所考虑的个别风险模 型为封闭模型。 以上假设都是对实际情况的简化和理想化，并不能概括全部真实和适应 各种类型的实际问题，但是可以把他们看作是研究实际问题的基础。 1 2 2 短期聚合风险模型 个别风险模型是以每张保单为基本对象，考虑某保单组合在一定时期内 可能发生的理赔总量，进而考虑全部保单组合在某段时期的理赔总量。而聚 合风险模型则是将所有的保单视为一个整体，以每一次的理赔为基本对象来 考虑同一问题，按理赔发生的时间顺序将所有理赔量累加起来。数学描述如 下： 记是给定时期中保单的理赔次数，置是第，次理赔的理赔量。则： s = 墨+ 屹+ h ( 1 2 ) 表示这一时期的总理赔。其中理赔次数是与理赔发生频率有关的随 机变量，取值为正整数。个别理赔量而，屯，h 是取值为正数的随机变量。 为模型讨论方便，常对该模型中随机变量作如下假定： 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( 1 ) 随机变量n ，葺，x 2 ，靠是相互独立的。 ( 2 ) 一，x 2 ，h 是具有相同分布的随机变量，即一中的风险都是同质风 险。 对于该模型的研究主要是通过利用的分布和五所服从的共同分布 来表示理赔总量的s 的分布，并相应求出s 的期望值、方差和矩母函数 等，或研究s 的渐进性。 1 2 3 长期聚合风险模型 该模型区别于短期聚合风险模型，主要表现在它是从一种动态的角度出 发，用一个简单的数学模型来描述保险人在一个较长时期的财务状况，即盈 余随时间而变化的过程。并在忽略利率、税收、通货膨胀及保单持有人分红 等因素，以及简化保费收入过程等前提下，讨论赔付与保险人财务稳定的关 系。 从保险人最关注的资产负债配比问题入手，称资产大于负债的差额为盈 余，记做： u ( t ) = a ( t ) - l ( t ) ，0 ( 卜3 ) 其中a ( t ) 表示时刻t 的实际资产，l ( t ) 表示时刻f 时的实际负债，他们 之差u ( t ) 则表示在时刻t 时保险人的盈余。作为一个初步的理论模型，这 里将对实际情况做较大的简化，在负债部分只考虑理赔s ( f ) 这个主要的不确 定因素，资产部分则主要考虑保费收p ( t ) 和初始准备金u ，并且完全忽略 对利率、通货膨胀、运营费用和支付保单持有者红利等等因素的考虑。此外， 对保费收入过程p ( t ) 还作进一步的简化，假设保费收入按照固定比例c 随 4 哈尔溟i 程大学硕十学位论文 时间线性增长，即尸l j f ) = c t 。这样一来，被简化后的盈余过程模型为： 【，( f ) = u + c t - s ( t ) ，t o ( 卜4 ) 对盈余过程矽( f ) ，o ) 的研究主要区分为保费收入过程p r ，f o 和理 赔过程p ( f ) ，f o ) 的研究，并讨论s ( r ) ，u ( r ) 的分布及模型破产概率问题。 1 3 主要研究方法 1 3 1 特征函数和矩母函数 定义1 1 设x 是一个随机变量，其分布函数为f ) ，它的特征函数定 义为： 们) = e g 妇) = e p 触卵( x ) ( 1 - 5 ) 矩母函数定义为： 帜( r ) = e ( e 髓) = ie 扛d f ( x ) ( 卜6 ) - 卜 定理1 1 设分布函数f ( 砖的特征函数为厂) ，又而，恐为罗( x ) 的连续点， 则： ( 1 ) ( 逆转公式) 盹m ( 班舰去竿o ) d r ( 1 _ 7 ) ( 2 ) ( 惟一性) 分布函数由其特征函数惟一决定。在f ( x ) 的每一个连 续点上 m ) = 去熙舰竿( f ) d t ( 1 - 8 ) 特征函数中f 的是虚数单位4 - 5 ，由于p 触i = 1 ，因此( 1 5 ) 式中 啥尔溟工程大学坝上掌位论文 的复积分总是存在的，亦即特征函数总是有定义的。这样在随机变量的特征 函数和它的分布函数之间便建立了一种相互惟一确定的“一一对应”关系。 有了这个理论保证，就可以通过讨论分布函数所对应的特征函数性质来获得 分布函数本身的性质，反之亦然。 矩母函数定义式中的被积函数矿是一个指数函数，故( 1 6 ) 式中的 积分未必存在，亦即矩母函数未必总有定义，因而矩母函数的理论性质不如 特征函数优美。不是所有的分布函数都有对应的矩母函数，但矩母函数的定 义中避免了使用复数被积函数，使用起来较为方便。从定义( 1 6 ) 易知，矩 母函数在原点总是有定义的，即以( o ) = 1 ：假定x 的矩母函数在原点某 领域h ，内存在，则在该领域内尥( f ) 具有如下性质： ( 1 ) 在i f l t ，内，x 的分布函数由矩母函数m x ( t ) 唯一确定。 ( 2 ) 记x 的k 阶原点矩为p k = e ( x ) ，则有 仇= 彬( o ) = 嘉蚴) i ：= o 扣1 ，2 m 9 ， 并且矩母函数丝( ，) 还有如下的t a y l o r 展开式： m x ( t ) = k 效刊 ，(卜10)=o n ； ( 3 ) 若x 。，五，k 为相互独立的随机变量，则独立随机变量和 s = 五+ 五+ + 置 的矩母函数为各随机变量矩母函数的乘积： m s ( t ) = 地( ，) 地：( 吵m x ( f ) ( 卜1 1 ) ( 4 ) 若y = a x + b ，口，b 为常数，则随机变量】，的矩母函数为 6 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 坼o ) = g 加丝( 口f ) ( 卜1 2 ) 1 3 2 更新理论 1 3 2 1 相关定义 定义1 2 设k ，e ，为非负、独立同分布随机变量序列，记 互= z + 夏+ + k n ( t ) = s u p k ：瓦f ) ，s u p o = 0 。其中表示空集。 则称 k ：七1 ) 为更新间隔序列，称 ( f ) ：r 0 ) 为更新过程，称 吼( r ) j ，v t 0 ( 卜1 3 ) 为更新函数。 对任意的x 0 ，记 g ( x ) = 尸 z z ) ，q ( x ) 为分布函数g ( x ) 的n 重卷积， 即 g ( x ) = 【g ：一l ( x - t ) d g ( t ) = g 宰g 幸g ( x ) ，船1 w 、- - - - - 、，- - - - - - j 定义1 3 对任意非负实数，称下述类型的积分方程： 么( f ) = 疗) + 么宰g ( f ) = 口o ) + f a ( t - x ) d g ( 砖 ( 1 - 1 4 ) 为适定更新方程，简称为更新方程，其中a ( t ) 为在任意区间上有界的已知函 数，而且如果有 f d g ( x ) 1 则称更新方程( 1 1 2 ) 为瑕疵更新方程。 7 哈尔滨工程大学硕十学位论文 1 3 2 2 基本定理 引理1 1 对f o ，m ( f ) = g o ) 0 ，使得 记 p ( y = n d ) = 1 n = l 定义1 5 称 o ，0 0 ) 上的函数h 是直接黎曼可积的，如果对任意艿 0 ， 且对堡( 万) = 万丝。， n = l m 。= i n f h ( t ) ，( 门- 1 ) a f 刀j ， m 一= s u p h ( t ) ，( n - i ) 8 f n a ， 苫( 万) = 万鬲。，我们有： n = l 8 哈尔溟- k 程大学硕十学位论文 l i m ( 万( 万) 一垡( 艿) ) = 0 所谓黎曼直接可积，和通常意义下黎曼可积的概念是有区别的。下面给出黎 曼可积的一个必要条件和一个充分条件。 引理1 2 3 1 ( 1 ) 若函数以( f ) 在【0 ，0 0 ) 上黎曼直接可积，则在【o ，0 0 ) 上 有界，且l i m a ( t ) = 0 ； ( 2 ) 若函数口( f ) 在【o ，0 0 ) 上单调递减，且在通常意义下黎曼可积，则在 【0 ，0 0 ) 上黎曼直接可积。 定理1 3 3 1 ( 关键更新定理( k e yr e n e w a lt h e o r e m ) ) 设更新间隔k ，k l ， 服从非格点分布，且e y 】 ，如果函数口( f ) 在【0 ，0 0 ) 上黎曼直接可积，则有 l i m 驴磁妒南v 1 f o 删刃 ( 1 - 1 6 ) f yi u 1 3 3 鞅论 定义1 6 称随机过程口( f ) ：f o ) 为一鞅，若有 ( 1 ) e 0 x ( ，) i 】 o o ，v f o ； ( 2 ) 对o j ，恒有e x ( t ) l x ( r ) ：r 0 ，恒有 e l x ( ，) i - e 陋防( 圳x ( o ) 卫= e 防( o ) 】 ( 卜18 ) 引理1 4 设涉( ，) ：f 0 是零初值，且具有齐次独立增量的随机过程。 9 咐小捩上程大字坝士竽伍记又 记 x ( t ) = x ( 0 ) p y n ， 若e ky ( 1 ) j - 1 ，则讧( f ) ：f o 为一鞅。 其中x ( o ) 为常数初始值。 证明：显然 e 0 x ( f ) l 】- i x ( o ) l e e w ) 】 由妒( f ) ：，o 的齐次独立增量性有e ky ( 1 ) 】：扛ky ( 1 ) 驴= 1 故 e o x ( o l l = l x ( o ) i 再对0 s t ，恒有 4 x ( o l x ( ，) ：，s 】- e 区o ) e y ( f ) - r ( j i x ( ，一) ：，s 】 = x ( s ) e e y ( i ) 一y ( j ) j = x ( s ) e e r ( f 一5 ) j = x ( s ) 扛k 7 ( 1 ) f 一= x ( s ) 定义1 7 着对一切f 0 ，随机变量f 满足： p f ) 仃忸( s ) ：j f 则称非负随机变量f 是关于随机过程汪( f ) ) 的随机时间，其中盯留( s ) ：s ， 表示包含一切形如口( s ) ：s f f ，x r ) 的事件的最小仃一代数。特别地， 称随机时间f 是关于随机过程忸( f ) ) 的停时，p r o o - - 1 。 引理1 5 t 4 1 若f 是关于随机过程讧( f ) ：f o 的随机时间，则对任意固 定时刻， r a t = m i n r ，舀 1 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 是关于随机过程的有界停时。 有 定理1 4 t 4 1 ( 可选抽样定理假设f 是关于鞅仁( ，) ：f o ) 的有界停时，则 e 防( f ) 】= e 防( o ) 】 ( 1 - 1 9 ) 定理1 5 ( 收敛性定理) 设口( r ) ：f o ) 是一个非负鞅，则存在几乎处处 收敛的有限极限，即有 i m x ( t ) = x ( 哟 0 ( 1 2 2 ) 在具体应用中z o 与的值通常是己知的。 1 4 本文结构安排 本文由三个章节组成。 第一章简要回顾了风险理论的产生背景及发展过程，并一一介绍了现代 风险理论主要研究的三类风险模型和几类主要的研究方法。 第二章详细的介绍了经典聚合风险模型，介绍了模型的相应性质及几类 模型推广。 第三章的内容是本文的主要工作。在考虑了理赔延迟这一实际应用问题 后，2 0 0 4 年提出了一类新的聚合风险模型整值自回归风险模型。本文的 主要工作是详细地讨论了整值自回归聚合风险模型的相关结构及分布、余额 过程及相关结构、参数估计等，并举出整值自回归聚合风险模型的实例加以 讨论。 1 5 本章小结 本章主要概述了风险理论的产生及发展过程，介绍了风险理论中三类主 要的风险模型，即个别风险模型、短期聚合风险模型、长期聚合风险模型， 并详细介绍了特征函数和矩母函数、更新理论、鞅论等三类主要的研究方法， 最后给出了本文的结构安排。 1 2 第2 章经典聚合风险模型的研究 2 1 经典聚合风险模型的定义 经典聚合风险模型是由以下三种过程组合的复合p o i s s o n 过程，其模型 描述如下： ( 1 ) 保费收入过程臼( r ) ：f o 。其中么( f ) = 材+ c f 表示【o ，f 】内总收入， u 为初始准备金，c 为一正常数，它表示单位时间内收取的保费。 ( 2 ) 理赔到达的计数过程 ( r ) ：， o ) ，其中( f ) 表示【o ，f 】内理赔发生 的次数。 ( 3 ) 理赔额序列 z ：f n ，其中置表示i 次理赔的理赔量。 若定义s ：艺置为风险过程，表示【0 ，】内理赔总额，则可由此定义盈余 过程妙o ) ：f o ) 。其中u ( f ) 可表示为： ( f ) u ( t ) = u + c t - 置= a ( t ) - s ( t ) ( 2 - 1 模型( 2 1 ) 应满足以下几个基本假设条件： 条件1 理赔到达的计数过程 ( f ) ：f o ) 是参数为旯的p o i s s o n 过程， 即是说p ) 服从参数为刀的p o i s s o n 分布，即 帆却) = 一等p 少。 条件2 理赔额序列x i ，i ) 为独立同分布序列，有相同的分布函数 哈尔溟工程大学硕士学位论文 f ( 功： 条件3 理赔到达的计数过程 ( f ) ：f 田与理赔序列阮：f ) 相互独 立： 条件4 安全附加费条件，即c = ( 1 + p ) e p ( 1 ) 】= ( 1 + 口) 弛，其中 p i = 研置 ，目称为安全系数或相对安全附加费因子，即要求保费收取率大于 单位时间内期望理赔量。 记 t = i n f t ：u ( f ) o ) 为破产发生时刻，即首次赢余为负值的时刻。 ( 2 2 ) 记 ) = 尸留 l u ( o ) = 甜) ( 2 3 ) 则沙 ) 表示模型的终极破产概率。而在有限时间区间【0 ，f 】内的破产概率记 为： 沙 ，f ) = 尸留 f l u ( o ) = “) ( 2 - 4 ) 2 2 经典聚合风险模型的破产概率问题 2 2 1 经典聚合风险模型的破产概率 关于破产概率的研究始终是风险理论的核心内容，对破产概率的深入研 究也是国内外学者不断追寻的目标。 1 4 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 先给出g e r b e r 4 1 得到的破产概率沙( “) 的一个泛函方程。 定理2 1在复合p o i s s o n 过程下，终极破产概率沙( “) 满足微分： 妙( “) = 兰沙 ) 一兰i ：f 厂 ) y 一x ) d x 一兰【1 一f ) 】 ( 2 5 ) cc o c 证明：由于( f ) 为泊松过程，在充分小的时间( o ，d t ) 内至少发生一次理 赔，正好发生一次理赔的概率为2 d t ，不发生理赔的概率则是1 一h i t 。 若( 0 ，d r ) 内不发生理赔，在时刻出的盈余为“+ c 出，且由泊松过程关于 时间起点的独立性知，时刻0 和时刻讲后的终极破产概率沙 + 疵) 一致。 若( o ，d t ) 内发生一次理赔，理赔额为c ，则可进一步细分为在时刻魂之 前破产或不破产两种情况： ( 1 ) 不发生破产，即0 c u + c d t ，v t ( o ，d t 】。由于c 为随机变量，设c 的分布函数为f ( x ) ( 密度为f ( x ) ) ，当c = x 时，同样由泊松过程关于时间起 点的独立性知，时刻0 和时刻西后的终极破产概率 + c 出一x ) 一致，把x 从 0 到u + 础累加即得： 尸 “ o l 发生一次理赔但在( o ，d r ) 内不破产) = r + 础厂( x 沙 + c d t - - x ) d x ( 2 ) 发生破产，即有c = x 使盈余为负。时刻斫后的终极破产概率 f ，( “+ c 西一x ) 为1 ，把x 从u + c 出以后累加得： p u o l 发生一次理赔且在( o ，d t ) 内发生破产) = 础厂( x 妙 + c 刃一x ) d x = f + c d l 厂( x ) l d x = l f ( “+ c d r ) 因此有： 妙 ) = 以u 0 ) = p 扛 + 尸伽 尸 ( o ，衍) 内发生一次理赔) = ( 1 - a t ) 弘( u + c d t ) + 2 d t p u 形。分别令“= o 和甜专o o ，得毛= 0 5 1 1k 2 = y ( o ) ， 因此有： ) ：y ( o 弦一口一扣 为了得到沙( o ) ，对上式求导，得： 沙( “) = 一y ( o ) ( 口一) p 巾一珈= 一( 口一) y ( “) 与第一个方程相比较并化简，得： 口( o 弦一知7 c ：口y ( o ) 知v c 1 ) + 兰口( 0 弦= 口y ( 0 ) 一1 ) + 二二 注意到c ：( 1 + 口) 五土，有： 则) 2 丢= 而1 ( 2 - 7 ) a 霹l + 所以 州= 黝e - ( u - ) u = l + 1 a l + 1 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 在证明定理2 2 的过程中所导出的( 2 7 ) 式具有特别的含义，即在不考 虑初始资金的情况下，所收取的保费不够支付理赔的概率。从( 2 7 ) 式中看 到，这个概率仅与附加保费有关，与理赔额的分布函数无关。事实上，这可 以证明它甚至与理赔额的分布类型也无关。 2 2 2 变化的参数值对破产概率的影响 作为破产分析理论，我们应该研究有限时间内破产概率是怎样随时间而 变化的，也应该研究初始余额、保费附加因素以及泊松参数是怎样影响有限 和无线时间上的破产概率。我们通过引用少( u ) ( 最终破产概率) 的一个结 论来开始我们的研究。 ( 一) 当f ( x ) 服从指数分布时，对y ( u ) 的影响 当个体索赔数额服从均值为1 的指数分布，保费附加系数为秒时，要描 述y ( u ) 的公式是十分方便的。公式为：当f ( x ) = l e x p ( 一x ) 1 一型 沙( u ) 2 南p 一 ( 2 删 我们阐述这一结论是为了表明，对于这类特殊的分布，最终破产概率是怎样 受参数值的变化所影响的。 ( 二) 在有限时间里考虑破产概率时，对( u ) 的影响 我们考虑的都是在有限时间里的破产概率，然而，( 【，) 并非决定诸如保 费附加系数或应有初始余额( 对某一业务量) 的最佳标准。原因在于，y ( u ) 哈尔溟工程大学硕十学位论文 是假定保险人按无限期的计划范围进行破产分析的。在实践中，假定保险人 在有限计划范围里分析破产情况更合理。在这种情况下，y ，f ) 即在时间f 之前的破产概率，是比( 更好地决定保费附加系数的标准。 现在，开始讨论( u ，f ) 。特别地，我们假定，索赔总额过程为一复合泊 松过程。在下面三、四、五中，我们将假设： 一索赔次数的泊松参数为1 ( 2 - 0 ) 一个体索赔额的预期值为1 ( 2 - 1 0 ) 一个体索赔额服从指数分布。( 2 - 1 1 ) 假设2 - 9 式的含义是，我们选择这样的时间单位，使得在一个单位时间 内的索赔的预期次数为1 于是y ( u ，5 0 0 ) 就是在一个定期间内的破产概率( 已 经定初始余额) ，在这个期间内，我们预期有5 0 0 次索赔。在这段时间内真正 发生的索赔次数服从泊松分布( 参数为5 0 0 ) ，并能取任何非负整数值。 假设2 - 1 0 式的含义是，我们选择了货币单位，使其等于次索赔的预期 数额。于是g ( 2 0 ，5 0 0 ) 就是在给定初始余额为依次索赔额的期望数额的2 0 倍 时，破产的概率( 在我们预期有5 0 0 次索赔的期间内) 。 假设2 - 1 l 式的含义是，采用指数分布作为个体索赔额的分布。 ( 三)f 值的变化对y ( u ，) 的影响 图2 1 画出了0 t 5 0 0 时，y ( 1 5 ，t ) 的图形，保费附加系数p 为o 1 ，所 以单位时间的保费收入为c = 1 + 口，e ( 索赔额) = 1 1 图2 1 中同时还画出了 g ( 1 5 ) 和e x p ( - 1 5 r ) 。 后两个值在图上是两条平行于时间轴的线，因为他们的值独立于时间。 1 9 哈尔陨i 程大学硕十学位论文 对图2 1 应该注意到如下特征： ( 1 ) 缈( 1 5 ，) 为t 的增函数。 ( 2 ) 对较小的f 值，5 f ，( 1 5 ，f ) 增长得很快( 在f 从2 5 增加到5 0 时，沙( 1 5 ，f ) 的值增长一倍；从5 0 增长到1 0 0 时，杪( 1 5 ，f ) 的值达到伊( 1 5 ) ) ( 3 ) 对f 的较大的值，y ( 1 5 ，f ) 的值的增长慢一些，并渐进地达到y ( 1 5 ) o 3 0 0 2 5 o 2 0 o 1 5 o - l o o 0 5 o 0 0 图2 1 g j ( 1 5 ，f ) 的函数图像 ( 四) 初始余额的变化对y ( u ) 的影响 间g 图2 2 画出了在0 ，5 0 0 及初始余额为1 5 、2 0 、2 5 时，少，) 的值。 在图2 1 中，保费附加系数为0 1 ，对u = 1 5 ，y ( u ，f ) 的图形如图2 1 所示。 对图2 2 我们应注意到如下特征： ( 1 ) 对f 的任何值所有的曲线都具有相同的一般形状。 哈尔滨工程大学硕十学位论文 ( 2 ) u 的值减小，则y ( u ，t ) 都减小。 ( 3 ) 当t 增加时，三条曲线的每一条都达到一个渐进的极值( 在图2 1 的讨论中，已提到u 等于1 5 的情况) 。 05 01 0 01 5 02 0 02 5 03 0 03 5 04 0 04 5 05 0 0 图2 2y ( u ，) 的函数图像 甜= 1 5 u = 2 0 ”= 2 5 时间t ( 五) 保费附加系数的变化对y ( ) 的影响 图2 3 画出了对0 t 5 0 0 及3 个保费附加系数值为口= 0 1 、o 2 、0 3 时 5 f ，( 1 5 ，) 的值。口= o 1 时y ( 1 5 ，f ) 的曲线图与图2 1 的曲线及图2 2 中的相同。 对图2 3 我们应该注意的特点是： ( 1 ) f ( 1 5 ，t ) 的曲线都具有相同的一般形式。 ( 2 ) 对所有给定的值和f ，增加秒值，便使f ( 1 5 ，f ) 的值减少；这实际 上对u 的任何值都是成立的，并且也是一个显然的结果，因为秒的增加相当 于在索赔总额过程不发生改变的情况下保费收入率的增加。 ( 3 ) 我们可以看到，对目= 0 2 和0 3 ，在f 大于1 5 0 时，5 u ( 1 5 ，f ) 的值 2 l 历 坫 m 阻 仉 仉 m m m 哈尔滨工程大学硕士学位论文 后多或少地有一定的稳定性( 保持不变) 。对t i t 2 ，( 1 5 ，t 1 ) 一y ( 1 5 ，t 2 ) 的差 表示在t ，和如之间破产发生的概率。于是对口的这些值( 0 2 和o 3 ) ，并且对 于初始余额的值为1 5 及如此的索赔总额过程，破产若终将发生的话，更可能 在时间1 5 0 前发生，即与在第1 5 0 次索赔后发生破产的可能性相比，破产发 生在第1 5 0 次索赔发生之前破产的概率更大。 o 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 0 5 0 0 0 05 01 0 01 5 02 0 02 5 03 0 03 5 04 0 04 5 05 0 0 图2 3( 1 5 ，) 的函数图像 护= 0 1 9 = 0 2 口= 0 3 ( 六) 参数服从泊松分布时对少( u ) 的影响 在此，我们也将做2 1 0 式和2 1 1 式的假设，但我们将允许泊松参数变 化。图2 5 画出了对保费附加系数的3 个值口= o - 1 、0 2 、o 3 。y ( 1 5 ，1 0 ) 作为a 的函数的图形。除x 轴坐标外，该图形与图2 2 是相同的，这可通过考虑以 下两种风险得到解释。 第一种风险：索赔总额是泊松参数为1 和f ( x ) = 1 - e ”的复合泊松过程， 承保这种风险的单位时间的保费收入量为c = ( 1 + 秒) 。 第二种风险：索赔总额仍是一个复合泊松过程，其泊松参数为0 5 ， 哈尔溟工程大学硕士学位论文 ，( x ) = 1 一e ，承保这种风险的单位时间的保费收入量是c = o 5 ( 1 + 0 ) 。 我们令单位时间为1 年，可看到这两种风险的惟一区别是，在第一种风 险下预期的索赔2 倍于第二种风险下的索赔。这可以两种保费中得到反映。 如果单位时间为2 年时，考虑第2 种风险，则索赔总额分布和单位时间 保费收入与第一种风险的相应参数相同。于是，在无限时间条件下，两种风 险的破产概率是相同的。 图2 6 所示的是口= o 1 时，第一种风险的余额过程的结果。这表明，对 第一种风险造成最终破产的余额过程的任何结果，同样将对第二种风险造成 最终破产。对这两种风险来说，最终破产的概率是没什么区别的。只是破产 所需时间( 以年为单位) 将有所不同。 若用年数来衡量时间，对第一种风险，在时间1 之前破产的概率与对第 二种风险的时间为2 年之前破产的概率是相同的。这也解释了为什么图2 2 和图2 5 所示的是同一函数。例如，a = 5 0 时( 1 5 ，l o ) 的值( 图2 5 ) 与允= 1 时吵( 1 5 ，5 0 0 ) 的值( 图2 2 ) 是相同的。 现在让我们来讨论我们在前面提到的一一在矽= 0 2 和0 3 时，对大于1 5 0 的f 值，y ( 1 5 ，)