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摘要 组合数论产生于二十世纪六十年代，用于研究定义了结构的整数集合。本文隶属于 组合数论中关于加数问题的研究，以高维东教授对d a v e n p o r t 常数d ( g ) 的零和问题研 究为基础，为确定更多的d ( g ) 做了一系列的基础工作 第一章。介绍了组合数学的起源、历史与发展情况，以及本学科领域的一些基本成 果，并针对零和问题及d a v e n p o r t 常数进行阐述，用以对d ( c ) 有较为明确的认知 第二章，以高维东教授引入的一种新的用于研究d ( c ) 的方式，即性质d 为基础， 给出它与d ( g ) 的关系，及用e ( 对性质d 进行深入讨论，接着表述了本文的一个重 要结果，即性质d 与e ( a ) 的一个等价定理及其证明同时提出后文要证明的关于e 的猜想。 第三章，针对上一章中定义的e ( a ) 。分析其相关的性质，并由此对猜想在小范围内 给出的一个代数证明，这也是本文的重点 关键词：零和问题；d a v e n p o r t 常数d ( g ) ；性质d ；e ( a ) a b s t r a c t c o m b i n a t o r i a ln u m b e r t h e o r yw a ss e t t e du pi n1 9 6 0 s ，t or e s e a r c ht h ei u t e 铲a ls e t s o fd e f i n e dc o n f i g u r a t i o n t h i sd i s s e r t a t i o nb e l o n g st oa d d i t i v en u m b e r p r o b l e mo fc o i n - b i n a t o r i a ln u m b e rt h e o r y i te x t e n d st h er a n g eo fu n c o n f i r m e dg r o u pg w i t hd ( g ) ， u n d e rt h eb a s i so fp r o f e s s o rw e i d o n gg a o ss t u d yi nz e r o s u mp r o b l e mo nd a v e n p o r t s c o n s t a n t c h a p t e r 1i n t r o d u c e st h eo r i g i n ，t h eh i s t o r y , t h e d e v e l o p m e n to fc o m b i n a t o r i a ln u m b e rt h e o r y ，a n ds o m ea l r e a d yo b t a i n e da 出i e v e m e u t si nt h i sf i e l d ，p r i m a r i l ye x p o u n d s z e r o 缶u mp r o b l e ma n dd a v e n p o r t sc o n s t a n tf o rl a t e rp a r t s 。 c h a p t e r2 i sb a s e do nt h en o v e lm o d e ，p r o p e r t yd ，w h i c hi s f i r s t l yi n d u c t e db y p r o f e s s o rw e i d o n gg a oo nt h er e s e a r c ho fd ( g ) h e r e ，w ei n t r o d u c et h er e l a t i o n s h i p b e t w e e np r o p e r t yda n dd ( g ) n e x t ，w eu s ee ( a ) t o d e e p l ys t u d yp r o p e r t yd ，a n db r i n g o u ta ni m p o r t a n tr e s u l ta n dt h ep r o o f , n a m e j yt h ee q u i v a l e n c et h e o r e m a tt h es a j t l e t i m ew ea l s od e s c r i b ea c o n j e c t u r eo nf ( 口) c h a p t e r3a i m s a tt h e d e n f m i t i o no fe ( o ) ，d e n f i n e di nc h a p t e r2 ，a n dm a i n l y a n a l y z e s i t sc o r r e l a t i v ep r o p e r t i e s ，a n dm a k e so u taa l g e b r a i cp r o o fo nt h ec o n j e c t u r ei nas m a l l a r e a ，w h i c hi sa l s oat o p i c 、 k e y w o r d s ：z e r o s u mp r o b l e m ；d a v e n p o r t sc o n s t a n t ；p r o p e r t yd ；e ( 包) 符号说明 下面我们给出本论文中常用符号代表的含义 1 g 表示n 阶循环群，在不产生歧异及般的的情况下，可以将其看作集 6 ，而 或更简单记做g = o ，n 一1 ) 2 岛，o 0g ，表示1 1 - 一，g ，的直和，而当n 1 = n 2 一- = m = n 时，可将 ，0 og ，简记为：g 3 若a 表示一个有限集合，则l a l 表示该集合的秩，即集合所含元素的个数 4 a ，b 均表示集合，i a + b l 皇伽4 - # 1 v a a ，b b ) 5 对任一实数z ，m 表示不大于。的最大整数 6 v 表示对任意的 7 v x g ，用i x l 。表示z 在整数加群到g 的自然同态下的最小正逆象，如1 0 1 。= 礼 那么显然v z ，y g 有： i x - - y b 肄排。矧浆 8 0 表示空集 9 对可重复的非空集合或序列a = 血l 一，d ) ，k 2 为正整数，记： a a 皇 啦l4 - - t - l 啦。 o “a ) 表示a 中任个不同元的所有可 能和之集； a 皇 口t 。+ 4 - f 1 i l “i ，a ，1 j 冬j ) 表示a 中任 女个元的所有可能和之集； a 皇 划a i l 0 ic 1 ，2 ) ，啦钟表示a 中元所有可能和之集 1 0 用黑体中文及数字表示文中引用或给出的定义、定理、引理、命题及推论，如定理 3 1 2 表示第三章第一节中第二个定理 1 绪论 组合数论是研究整数环z 或者抽象群g 的子集或序列的组合性质本质上，它是 组合学，但附以整数的一些算术性质不同于其它数论，如代数数论、分析数论等用于 处理整数之间的关系和整数的非离散性质，组合数论用于研究定义了结构的整数集合 组合数论中的问题和结论并没有严格而精确的分类，但其研究方向大体主要包括整 除问题( 最小公倍数问题) 、整数集合划分问题、整数分拆问题、加数问题、和集的基数 问题等近几十年来，组合数论得到较大的发展，主要代表人物为p a u le r d a s 本文隶属于加数问题中的一个小分支：d a v e n p o r t 常数的零和问题下面对零和问 题与d a v e n p o r t 常数d ( g ) 作以介绍 1 1 零和问题 所谓零和问题，即对加法a b e l 群g 中元的序列( a l ，o 2 ，) ，是否存在子集 j 1 ，2 ，n ) ，使得e ，啦= 0 1 9 6 1 年p ，e r d 6 s ，a g i n z b u r g 和a z i v 证明的e g z 定理为零和理论的开创性工作 其内容为： 定理1 1 1 ： 1 , 3 8 , 3 9 任给正整数佗及长为2 n 一1 的整数列s = ( a l ，a 2 ，a 2 n 1 ) ，必有 j 1 ，2 ，2 n 一1 ) ，使得l i i = 讥且谢毗= o ( m o d n ) 而可以仅考虑当n 为素数p 时的情况： 定理1 1 2 ：设p 为素数，循环群g 中的任意序列( a l ，a 2 ，a 2 p t ) ，存在集合ic 1 ，2 ，2 p 一1 ) 且i i l = p ，使e 列啦= o ( m o d p ) e g z 定理还可推广成： 定理11 3 ：【1 8 】设整数礼d 2 且d i n ( 表示d 整除n ) ，( a 1 ，a 2 ，a n + 扣1 ) 是整数序 ，4 ，则必有j 1 ，2 ，扎+ d 一1 ，使得l j i = n 且讵j m 兰0 ( r o o d d ) 在国内，1 9 8 0 年，柯召与孙琦 2 】曾猜测有这样的结果，那时e g z 定理尚不为我们 所知；1 9 8 3 年单尊【3 用解析的方法证明了它；1 9 8 5 年高维东 q 给出了一个纯初等的 1 大连理工大学硕士学位论文：关于d a v e n p o r t 常数的零和问题 证明定理的最初证明是很简短的，而至今，这个定理已经有了十几种证明方法，这些 证明方法结合了组合和代数的思想方法，充分体现了组合数论的研究意义 零和闻题主要研究组合常数之间的关系及各组合常数的精瑭值或是大小估计，而数 论及加法数论又是其基础，这将在后面的文章中有所体现，这里就不累叙了 1 2 d a v e n p o r t 常数 d a v e n p o r t 常数，是英国数学家d a v e n p o r t 在1 9 6 5 年的一次国际会议上提出的 定义1 2 h 任给长为d 的有限a b e l 加法群g 中元序列s = ( d 1 ，o d ) ，必有蛋i c 1 ，2 ，以使得讵j n t = o ，称具有以上性质的最小正整数d 为d a v e n p o r t 常数，记 做d ( a 1 d a v e n p o r t 常数是零和理论中的重要常数，从代数数论的角度考虑，其意义为；设 是一个有理数域，r 是耳上的代数整数环，g 是冗上的一个群，d ( g ) 表示是r 的不可约元在分解成素理想乘积时，素理想因子的最大可能个数( 这里按重复的计算) 由于它有着基本的数论背景，所以出现在各种渐进估计式中，且与一些图论和初等数论 中的重要问题密切相连，与编码问题也有些联系它的深刻意义以及历史评论可以参阅 【4 0 ，4 1 ，4 2 那么如何确定d ( g ) 的大小，对于不同的群之间d ( g ) 的关系又如何呢? 从1 9 6 5 年 开始，这个问题成为一批人探求和研究的重点以下介绍其相关的知识及已有的结论 定义1 2 2 ：由于群g 可以唯一的记为g = g ；0 称循环群的个数r 为群g 的秩，记做r ( g ) 定义1 2 3 ：如果0 4 g ( i = 1 ，k ) ，称s = ( 吼 1 如果冬1 a i = 0 ，则称其为一个零和序，4 o c j ，其中1 m ( g ) ， v a ne m d eb o a s 1 q 提出猜想此时应有m ( v ) = m ( c ) ，其少数已经得到验证 3 2 一种确定d ( g ) 的方式：性质d 2 0 0 0 年，高维东教授【1 q 在v a ne r o d eb o a s 的研究基础下，提出了一种新的方式 来进一步讨论d ( g ) ，即一系列性质来确定d ( g ) ，而其中以性质d 最为主要，并与已 有的验证紧密结合起来，且围绕r ( c ) = 3 ，在对其性质进行判别，作确定性的讨论与研 究 2 1 性质d 及它与d ( g ) 之间的关系 定义2 1 1 ：在c ：= g ；o q 中，如果对任意形为a p - 1 b p _ 。c 1 勺一1 的序列都不舍短零 子序列，必有c 1 一一岛o ，那么称素数p 具有性质d 由下面的定理可以进一步知道r ( c ) = 3 时d ( g ) 的确定，并对 不变量起重要的作 用。 引理2 1 1 ：设h = c j 。oc ，其中1 佗l l 啦时有d ( h ) = v ( h ) + 2 令p 为一个 素数满足性质d 而b 一4 ) 礼l n 2 + 3 白一1 ) 2 c 矿一2 ) ，那么对g = 口；。p o c k 有 d ( g ) = u ( g ) + 2 引理2 1 2 ：设h = g 。o g 2 ，其中1 n l n 2 时有d ( h ) = ”( 日) + 2 令m p l - 肼，诸 p 都是素数而且满足性质d 假设慨一4 ) n l - n 2 + 3 0 , ”- l p 懈( f 一，- 2 ) ，其中对 = 1 ，r 且对i = 1 有p l a 一1 = 1 那么，当g = c k 。og 。时有d ( g ) = ( g ) + 2 证明：由引理2 1 1 对r 进行归纳即可得到证毕 定理2 1 1 ： 14 】设h = c ；，o c ，其中1 n 1 i n 2 且d ( h ) = ( 日) + 2 令m = 肌- 肼， t p i 都是素数而且满足性质d 假设i 一4 ) 讥1 一n 2 + 3 亟墨p l 躯 p 4 垒- 1 丑，其中对i = 1 ，r 且对i = 1 有p i a 一1 = 1 那么，当g = 岛o g 。o 瓯m 时有d ( c ) = m ( g ) 证明：由定理1 2 3 及命题2 1 2 可得证毕 高教授同时提出的性质还有t 1 如果g ；中的任一长为2 p 一1 的最小零和子序列s 中存在出现p 一1 次的元，则 称素数p 具有性质b 5 大连理工大学硕士学位论文：关于d a v e n p o r t 常数的零和问题 2 。如果四中的任一长为印一3 且不含短零子序列的序列s ，有形式矿。垆- 1 扩_ 1 b ， c 锑) ，则称正整数p 具有性质c 当然这里的素数可以扩展为正整数n ，由于每个n 都可以表示成素数的幂次积的形 式，所以只需讨论任意素数即可显然，性质b ，c ，d 均讨论暖中序列的结构性质，由 于性质b 已经研究得很深入( 有猜想 1 4 t 每个素数都有性质b ) ，而性质d 较性质c 简单，且对于高教授提出的性质c 与、e m d eb o 船性质【1 0 】有下面的等价定理，从而 我们将重点放在讨论性质d 上，当然如果能证明对于l 生质b 猜想也是有一定意义的 定理2 1 2 ：对任意素数p ，如果d ( q 3 ) = 3 p 一3 ，则如下两条均等价： 1 p 具有性质c ； 2 v s 暖，l s i = 3 p 一3 ，如果序列s 不包含短零子序列而且其任意一个零和子序 列都是最小的，则s 必有形式ts = 扩。妒- 1 c p _ 。，o ，b ，c 锘 2 2 本文重要的定理及证明 由上节可以看出，讨论性质d 无疑可以拓展我们对d ( g ) 的研究，那么迸一步对性 质d 讨论又有如下结果首先引入e ( 口) 的概念，接着给出并证明本文的第一个重要结 论：关于e ( o ) 与性质d 等价关系的定理，从中就可以了解e ( a ) 的作用 定义2 2 ，1 ：对任意的o g k ，0 口1 ，定义e ( 口) 为表示所有满足以下条件的( k 中n 一1 序列l ，一，x n _ 1 ) 构成的集合 ( i ) 对任意的正整数t ( 1 t n 一1 ) ，及任意的亡子集0 l ， t ) 1 ，n - l ， 如果t l 托1 。则有i z l 。+ + 。“i 。 j 托i 。则有i z t 。+ + 茁“l 。1 缸l 。i ( i i i ) 0 1 一= z n 一1 不成立 定理22 1 ：设p 为一个素数，那么p 有性质d 当且仅当v a q 且0 o 1 均有 e ( n ) = 0 猜想：如果p 是一个素数，则v a g ，o o 1 必有e ( a ) = 口 为了证明定理22 1 ，还需引入下面两个引理： 引理2 2 ，1 ：【1 ) 设n 一2 k 1 ，取长为礼一k 的g 序列s 假设0g ( s ) ，那么，必 存在一个c i 中的元在s 中出现至少n 一2 + 1 次 引理2 2 2 ：【1 2 】如果p 是一个素数，那么qoc ；中任一个至少含有2 p 个元的零和序列 6 ! 皇= 登堕塞望f 堡2 塑查茎! 堡里旦 包含一个短零子列 定理2 2 1 的证明：充分性 令s = 扩- 1 泸c i 勺一1 为四中长为3 p 一3 的序列，假设s 不含任何短零子序 列通过选择适当的基，可取 s = 陋掣掣卜懈，) 则有断言：对于 1 ，p 一1 ) 任意的非空子集仇，乱) 必有 令 t i 戤l + + 。“ p - i - i 轨l + - + 价t k 1 = t ，则v i 1 ，p 一1 有i x i p o ，即1 戤sa 一1 ，进而 旧i p + i o x d p = o ，所以i o 一盈i p b 记序列( o 一。1 i 一，o x p _ 1 ) 为& 3 1 e ( a ) 的基本性质 命题3 l 1 ：设s = ( x l ，唧一1 ) e ( o ) ，则是= ( a x l ，a 一却一1 ) e ( o ) 证明：我们依次检验e ( a ) 定义的三个条件 ( i ) 令t 为一个正整数且满足1 冬t p 一1 及t i t a l p ，任取t - 子集a l ，乱) 垦 1 ，p 一1 ) 由于扛l ，x p - - 1 ) e ( 口) ，则有l 。t 。+ + z “k 0 的最 大的整数，则乳+ l 一= 8 。一1 = 0 且8 1 + - - + s = p 一1 对排序之后的各元产生的 次数进行分析，有如下定理： 定理3 11 ：v 2 曼f n 一1 ，均有乱+ + s i 坠q 趔成立 要证明此定理我们还需要下面一些结论， 引理3 1 1 ：如果s = ( x 1 j ，x p 一1 ) e ( o ) ，且对某个1 t 冬p 一1 有 o ，1 ) c t ) 成立，那么l t o b = 1 ，其中t ( s ) = g 。+ + 窖“1 1 i l 。 i t p 一1 ) 证明：设 o ，1 ) c t ( s ) ，那么对1 k l 也p 1 ，1 冬f 1 姓u + l ，则a k 十1 一= a 钏。= y l ，) 等 等对i = 1 ，毗，令b = f a 当z ，毗= 0 时，有i 蜀i = o ，那么f k 再 由引理3 1 3 知l 且1 m i n ( p ，l l a t l z 2 + 1 ) 取t = 蚴，由引理3 1 2 和引理3 1 3 得到 ( ) i = i 鼠1 m i n 白，i b l + + 玩i - 1 i + i s w r i 一1 ) ti = l i m i n ( p ，( i b , i ) 一 l + 1 ) 墨! 童兰( 生墨堕塑堕至塑 因此 m i n ( p ，( q l a , i 1 2 + 1 ) ) 一删l + 1 ) i = 1 w k ( 1 k f 2 + 1 ) + ( w k 一1 一t i ) ( j 一1 ) 一f 2 + 1 ) + ( 一2 一删女一1 ) ( f 似一2 ) 一f 2 + 1 ) + + ( 劬一叫l + l ) ( f f f 2 + 1 ) 一毗+ 1 = l ( w k + ” 一1 + + 叫f + 1 ) + 1 = f ( p 一2 一( 叫1 + - + 叫1 ) ) + 1 i ( s ) l i ( w ) l l ( p 一2 一( t j l + + i ) ) + 1 tt 且 l ( s ) i i ( ) l f 一2 一( 伽1 + + 劬) ) + 1 ， t + l t 又由i t a l p 1 或l o + 1 ) o k 1 ，通过引理3 1 1 可得到 p 一1 m i n ( 踟i ( s ) 1 ) l ( p - 2 _ ( 叫1 + + 妣) ) + 1 tt + l 及5 l + + 却训l + + 毗兰止掣证毕 推论3 1 2 ：s 1 + s 2 2 以下，在不出现混淆的情况下，将k k 简记为蚓 引理3 1 4 ：取定。，2 a p 一1 ，v x 1 ，o 一1 ) 及v t 1 ，p 一1 ) ，能且只 能属于下列三种情况之一t 1 t x f t a f 且t f t a f ； 2 1 t x i l t a l 且t t 甘i 一t ) x l i 一t ) a i t ，那么 l 一t ) z i = l p x t x l = p l t x i p l t a l = 1 扫一t ) 口1 = p t 一1 p t ， 反之亦然。证毕 上面的引理说明，当z 适合条件1 与2 时，t p 一2 ；而适合3 时，n 。 t ，根据露( 口) 定义条件( i ) 可知： f n + + 。l 瑶，则 i 瑶( 0 一z ) l = i t ：o 一埕。i = p + 1 埕口l 一1 t ：i l t ：nj t ：， 反之亦然，即 l 埕z i i 亡口。i 亡： = = l 圮( o z ) i 亡口n i ， 故t ；= t ：一。因此我们只需考虑2 zs 【a 2 及z = 1 即可 引理3 1 5 ：对素数p 1 1 ， ( 1 ) 如果o = 函2 】+ 2 = ( p + 3 ) 2 ，那么￥2s 。 8 2 有摇= 2 ； ( 2 ) v + a ) 2 o p 一1 及v o 一由2 】sz 【o 2 】，则摇= 2 证明：首先，当。= 函研+ 2 = 函+ 3 ) 2 吼v 2 。& 翻有 。1 2 x i 4 3 = i 2 ( p + 3 ) 2 i 2 ， 所以圯= 2 。 其次，对( p + 3 ) 2 a p 一1 ，如果t ：= 2 ，这意昧着f 2 x f 2 a f 2 ，那么 1 2 ( x + 1 ) l = 1 2 x + 2 i 1 2 a + 2 1 = 1 2 ( a + 1 ) i 3 2 ， 】2 第3 章e ( a ) 及猜想的证明 所以t ：嚣= 2 ；如果对一些n 及zj t ：= 2 ，那么1 2 x i 1 2 a l 2 ，且对z 2 x 2 x j 2 a l 2 ，所以锡= 2 证毕 引理3 1 6 ：对素数p 1 1 ， ( 1 ) 如果= 加3 + 2 ，则v 21 z 冬【a 2 有t ：= 3 ； ( 2 ) 素数对所有的防3 + 2 o ( p + 1 ) 2 ，及。一扫3 z n 2 ，则t ：= 3 。 证明：首先，当a = l o 3 】+ 2 时，v 2 冬。 a 2 】，那么 p 3 半3 z 6 三1 3 ( 西3 + 2 ) j 3 ， 而2 z 3 ， 则t ：+ 1 = 3 ；如果对一些o ，茹，j 瑶= 3 ，那么l a x l 1 3 a i 3 ，且对z 3 x 3 x 1 3 a l 3 ，故瑶= 3 证毕 命题3 1 4 ：对任一素数p ，必有8 1 = 住1 证明：由命题3 1 2 知：8 1 f r t a $ p t ，t ) ，即s l + 1 ) 2 而对任一素数p 及 2s 口曼p 一1 ，2 。o 一1 ，考虑如上面选取的圪，如果瑶 ( p + 1 ) 2 ，则显 然s 1 ；如果瑶( p + 1 ) 2 ，则p t ：0 + 1 ) 2 ，此时由引理3 1 4 知： f 0 一) z i i ( p 一) o i t 此与e ( n ) 定义条件中( i ) 矛盾证毕 命题3 2 2 ：设4 。p - 1 ，且令m 为适合1 m o 一2 的一个整数设( o 一1 ) l ( v + m ) 及p 仇( o 一2 ) ，贝1 jf ( o ) = 0 。 证明：假设结论不成立，即e ( o ) 0 取( x l ，爷1 ) e ( a ) ，那么由命题3 1 1 可知 ( 0 一z i ，o z p 1 ) e ( a ) 令t = 酱，则n = 学由p m ( 0 2 ) 及a 4 ，可得m 4 - t5 p ，因此 t m 十t = f t a f 断亩1 ? 2 2 4 - + n 。一2 t 一1 否定断言1 ，可得n 24 - + n 。一2 t ，那么可以找到( 茹l ，$ ，一1 ) 的一个t 一项 子序列( 嗣一，。“) ，满足2s ，i o 一2 ，对j = 1 ，t ，则 m 十t 2 t ( 1 白p 仇( d 一2 ) ) s i 墨。4 - + 翰t i ( a 一2 ) t p ( i t p m 0 2 ) ) ， 因此 m 4 - t i 茁i 1 1 + 4 - 陬，1 = l x l l4 - + 茁“i 上式与t f t a f = m 4 - t 可得，与e ( 口) 定义条件( i ) 相矛盾，这便证明了断言故 礼1 4 - 佗。一l = p 一1 一( n 2 4 - 4 - n 。一2 ) p 一1 一( t 一1 ) = p t = p 一3 0 1 ) 4 - ( t 一1 ) 4 - ( t 一2 ) = p 一3 ( 里掣) + p 一1 ) + p 2 ) ( t 一1 ) + ( t 一2 ) ( 由。一1 3 及m s 口一2 ) ， 因此我们可以假设礼t t 一1 ( 否则价1 = h a - 1 t 一1 ，并考虑( 。一z l ，一z p 一1 ) 而不是( 。i ，一，昂一z ) ) 。 断言2 n 2 + + 2 。一ls m 一1 苎! 童曼! 生墨煎塑塑堡堕 否定断言2 ，可知n 2 + + 一1 m 令a 表示( z l j 一，一1 ) 的所有形为( 如果必要 可以重排脚标) l 二2 ，y 1 7 一，鼽的扣子序列，且适合1 。m ，。一。+ i + + t - i p ，及2 i v i i 口一1 ，g i = 1 下面证明a 0 。取( 茁 序列1 ，1 ，y 由p m ( a ；， - ，1 一1 ) 中任意项，适合2 f y i 口一1 并考虑t - 子 2 ) 得到，t 一1 + i y i 兰t 一1 + o 一1 = 告等+ o 一1 p 这表明( 1 ，l t - 1 ，) a ，因此，a d 取q 二- 土。1 ，动) a ，使得 t - i t f + l z l i + + i 盈i = m a x t 一七十l 叫l i + 。+ 1 w i ，延。叫1 ，一，叫 ) a t 一七 其中咚二铷1 ) 一，研t ) 取遍整个集合a 我们区男4 两种可能情况 t - k 情况1 i = m 由t m + j z l l + + l i 冬p 得到， t + m = t m + 2 m t m + i z l i + + i j = 1 3 ：! ，+ 忽+ t - - m 这与e ( 。) 定义条件( i ) 相矛盾 情况2 2 兰m 一1 在这种情况下，我们可以找到( x l 唧一t ) 一盈 t - 1 中的一项z ，使得2 蔓 z l o 一1 ，由( 1 ，1 t - l ，2 ：1 ，魂) a 的最大性可知 这表明 而兰口一1 ，所以 ”。两。) g a t - l - l t l 一1 + l 盈1 + + 1 劫i + 1 2 1 p + 1 t f + i z l l + - - - + i l p + 3 一a 通过区别下列三个子状况t 1 ) m - - - - - 1 ； 2 ) a = 4 ； 3 ) o 5 且m 2 ， 并注意到p m 一2 ) ，可很容易的证明p + 3 一口t + m ，故， t + m t l + i z l l + + l 魂i = l 童：+ 魂+ + 盈 。 盔整里三盔兰堡主兰垡堡壅! 差量望螋塑! 苎堂墼堕墨塑旦堑 矛盾这证明了断言2 因此虹t p 一1 一( m 一1 ) = p m 。令让为一个整数，及 1 u n 一2 且( o 一1 ) l ( 婶+ 1 ) 设s = 等等，则 n 1 p - m 掣一1 ( 由p m a - 2 ) 卧s 。一2 ) 口一l 芝s 一1 ， 如此可得，m 8 1 ，使得8 8 + 1 = 【s 0 1 断言3 n l = p 一1 否定断言3 ，得到n 2 + + n 。一1 1 ，那么可以找到( 。1 7 一，z p 一1 ) 中的一项叫， 使得2 l 叫1 口一1 ，由t l + i t c j i t 一1 + o 1 p ，则由t l t a i = m + t 和e ( 口) 的定义条件( i ) 得到，t 一1 + 训t + m 一1 ，那么ism ，故可知， s 一1 + l l 竺堡三+ m 一1 堕二窆望+ m 一1 口一l ：p 一粤+ m 一1 p ( c 日p m ( 口一2 ) 及m o 一2 ) ， 通过n 1 s 一1 可以找到( z 1z ，一t ) 的个具有形式2 l 二o 的s 子序列，注 0 1 意到 1 + s s 一1 + 1 w l = 1 3 ：! ，+ 叫i ， 8 - - i 此与s t ，那么由e ( a ) 的定义条件( i ) 可知 r t