（计算数学专业论文）矩阵的表示理论及其在数值计算中的应用.pdf

中文摘要 矩阵的表示理论及其在数值计算中的应用 摘要 矩阵的理论和方法不仅是各数学学科的基本工具，而且在理论物理学、经济学、 统计学、最优化、信息处理、自动控制、工程技术和运筹学等应用学科的理论研究 和数值计算中都有着广泛的应用近年来，随着近代量子力学的不断发展，力学工 作者遇到并提出了一系列有关矩阵的理论和计算方面的疑难闻题，这些问题制约着 量子力学的发展，急需数学工作者给以解答 在本文中，我们通过引入复矩阵的实表示、四元数矩阵的复表示、友向量和伴 向量的方法，研究并解决了量子力学等学科中的有关矩阵理论与计算中的下列三类 系列疑难问题： 1 矩阵的合相似问题 两个复矩阵ab 称为是合相似的是指存在复可逆矩阵s 满足s _ 1 a 君= b 我 们通过复矩阵的实表示、友向量和伴向量方法，研究并解决了合相似意义下矩阵的 若当标准形、合相似意义下矩阵的三角化和矩阵的广义对角化的问题不但从理论 上给出复矩阵的一个新的若当标准形，而且还给出了相应复矩阵若当标准形的计算 方法进一步地，我们不但给出求一个复矩阵a 的合若当标准形j 的简单方法，而 且还给出一种求相应合相似可逆矩阵s ( 满足s q a 君= ，) 的算法 2 矩阵方程的解问题 矩阵方程解的问题是矩阵理论中的一类重要的问题如何给出某个矩阵方程的 解有时非常困难我们通过复矩阵的实表示、四元数矩阵的复表示、友向量和伴向 量方法，研究了几类矩阵方程a x 一- b = c ，x a 黝= c ，a x b c y d = e 的 华东师范大学博士论文矩阵的表示理论及其在数值计算中应用 解的问题不但给出了相应矩阵方程有解的充分必要条件，而且还给出了相应矩阵 方程的公式解 3 四元数矩阵的数值计算问题 四元数量子力学是近十几年来才发展起来的一门新兴的物理学科，由于四元数 乘法的不可交换性，使得四元数量子力学中的四元数数学理论基础，特别是有关四 元数问题的数值计算方法很不完备我们通过四元数的复表示和友向量方法，研究 并解决了四元数矩阵的一系列数值计算问题，给出一套四元数量子力学中的数值计 算方法 关键词实表示，复表示，友向量，伴向量，合相似，标准形，三角化，对角 化，广义对角化，矩阵方程，四元数矩阵，复四元数矩阵，行列式，秩，c r a m e r 法 则，特征值，特征向量，范数，广义逆，最小二乘。约束最小二乘 英文摘要 t h e ：r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fm a t r i c e sa n d i t s a p p l i c a t i o n si nn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n a b s t r a c t t h e t h e o r ya n dm e t h o d so fm a t r i c e sa r ei m p o r t a n tb a s i ct o o l si na l lm a t h e m a t i c a l d i s c i p l i n e s ，a n dh a v e e x t e n s i v e a p p l i c a t i o n s i nt h e o r e t i c a l p h y s i c s ，e c o n o m i c s ，s t a t i s t i c s ，o p - t i m i z a t i o nt e c h n i q u e s ，i n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，a u t o m a t i cc o n t r o l ，e n g i n e e r i n gt e c h n i q u e s ， o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n ds oo n i nr e c e c ty e a r s ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e r nq u a n t u m m e c h a n i c s ，m a nh a v em e ta n dp u tf o r w a r dm a n yp r o b l e m so nm a t r i xc a l c u l a t i o n s ，t h e s e p r o b l e m sh a v er e s t r a i n e dt h ed e v e l o p m e n to fm o d e r nq u a n t u mm e c h a n i c s ，a n dh a v en o t s e t t l e dn o w i nt h i sp a p e r ，b yi n t r o d u c i n gt h em e t h o d so fr e a lr e p r e s e n t a t i o no f c o m p l e xm a t r i c e s ， c o m p l e xr e p r e s e n t a t i o no fq u a t e r n i o nm a t r i c e s ，c o m p a n i o nv e c t o ra n dc o m p a n yv e c t o r ，w e w i l ls t u d ya n ds e t t l ef o l l o w i n gt h r e ep r o b l e m so nm a t r i c e si nq u a n t u mm e c h a n i c s ： 1 t h ec o n s i m i l a r i t yp r o b l e m so fc o m p l e xm a t r i c e s t w o c o m p l e xm a t r c e sa ，ba r es a i dt ob ec o n s i m i l a ri ft h e r ee x i s t san o n s i g u l a r c o m p l e xm a t r i x _ ss u c ht h a ts 一1 a 君= b b yu s i n gt h em e t h o d so f r e a lr e p r e s e n t a t i o no f c o m p l e xm a t r i c e s ，c o m p a n i o nv e c t o ra n dc o m p a n yv e c t o r ，w es t u d ya n ds o l v et h ep r o b - l e m so fj o r d a nc a n o n i c a lf o r m s ，t r i a n g u l a ra n dg e n e r a l i z e dd i n g o n a l i z a t i o nf o rm a t r i c e s u n d e rc o n s i m i l a r i t y w en o to n l yg i v ean e wj o r d a nc a n o n i c a lf o r mju n d e rc o n s i m i l a r - i t y , b u ta l s og i v eap r a c t i c a lm e t h o df i n d i n gt h ej o r d a nc a n o n i c a lf o r mj ，a n df o ra n y s q u a r ec o m p l e xm a t r i xa ，w ea l s og i v eam e t h o dt i n g i n gan o n s i n g u l a rm a t r i xs s u c ht h a t s 一1 趣= 3 。 2 t h ep r o b l e m so fm a t r i x e q u a t i o n s t h e p r o b l e m o fm a t r i x e q u a t i o n si s i m p o r t a n to n ei nm a t r i xt h e o r y b yu s i n gt h e m e t h o d so fr e a lr e p r e s e n t a t i o no fc o m p l e x m a t r i c e s ，c o m p l e xr e p r e s e n t a t i o no fq u a t e r n i o n 华东师范大学博士论文矩阵的表示理论及其在数值计算中应用 v i i i m a t r i c e s ，c o m p a n i o nv e c t o ra n dc o m p a n yv e c t o r ，w es t u d ya n ds o l v et h ep r o b l e m so f m a t r i xe q u a t i o n s a x 一x b = c ，x a x b = ca n da x b c y d = e ，a n d g i v en o t o n l yt h ec h a r a c t e r i t i c s ，b u ta l s oa l g o r i t h m s 3 t h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n so f q u a t e r n i o nm a t r i c e s t h e q u a t e r u i o n i cq u a n t u m m e c h a n i c si san e wc o m i n g d i s c i p l i n e so fp h y s i c s ，b e c a u s e o fn o n c o m m u t a t i o no fq u a t e r n i o n s ，s o m en u m e r i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o d so f q u a t e r n i o n a n dq u a t e r i n o nm a t r i c e sa r ec o m p l i c a t e da n dt e d i o u s b yu s i n gt h em e t h o d so fc o m - p l e xr e p r e s e n t a t i o no fq u a t e r n i o nm a t r i c e sa n dc o m p a n i o nv e c t o r ，w es t u d ya n ds i m p l i f y t h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o d so fq u a t e r i n o nm a t r i c e s ，a n de s t a b l i s hn e w a l g e b r a i c m e t h o d si nq u a t e r u l o n i cq u a n t u mm e c h a n i c s k e y w o r d s r e a lr e p r e s e n t a t i o n ，c o m p l e xr e p r e s e n t a t i o n ，c o m p a n i o nv e c t o r ，c o m - p a r t yv e c t o r ，c o n s i m i l 缸i t y , c a n o n i c a lf o r m ，t r i a n g u l a r ，d i a g o n a l i z a t i o n ，g e n e r a l i z e dd i a g - o n a l i z a t i o n ，m a t r i xe q u a t i o n ，q u a t e r n i o nm a t r i x ，c o m p l e xq u a t e r n i o nm a t r i x ，d e t e r m i n a n t ，r a n k ，c r a m e r 8r u l e ，e i g e n v a l u e ，e i g e n v e c t o r ，n o r t m ，g e n e r a l i z e di n v e r s e ，l e a s ts q u a r e s m e t h o d ，e q u a l i t yc o n s t r a i n e dl e a s ts q u a r e sm e t h o d 第一章概述 矩阵的理论和方法不仅是各数学学科的基本工具，而且在理论物理学、经济 学、统计学、最优化、信息处理、自动控制、工程技术和运筹学等应用学科的理 论研究和数值计算中都有着广泛的应用 在本文中，我们通过引入复矩阵的实表示、四元数矩阵的复表示、友向量和 伴向量的方法，研究并解决了复矩阵的合相似问题、某些矩阵方程的解问题和四 元数矩阵的一系列数值计算问题全文共分为八章 在第二章中，我们通过引入实表示、友向量和伴向量的方法，研究了矩阵合 相似标准形的问题，给出一种新的若当标准形本章不但给出求一个复矩阵a 的合若当标准形i ，的简单方法，而且还给出一种求相应合相似可逆矩阵s ( 满足 s - 1 a 君= j ) 的方法主要结果为； 定理2 1 1 每一个n n 复矩阵a 一定合相似于一个合若当标准形，并且 如果不计合若当标准形的对角块的次序，该合若当标准形是被矩阵a 唯一确定 的即存在一个可逆复矩阵s 满足 其中 s _ 1 船= o ( 山) o o 如( d j ) ( a j ) = a j 如 、 山 i ，山： 如i 如i ( 一a 幻ja b j ) l k j ( a j ) 称为矩阵a j 的若当块，a j o ， 0 ，如( 嘞) 是由0 的若当块，且 b = a j + 6 j ，d j 是实表示矩阵a ，的特征值 定理2 1 2 每一个n n 复矩阵a 一定合相似于一个合若当标准形，并且 如果不计合若当标准形的对角块的次序，该合若当标准形是被矩阵a 唯一确定 的即存在一个可逆复矩阵s 满足 s 一1 a 可= o 三白( 山) o o 丘j ( d j ) jj 1 华东师范大学博士论文矩阵的表示理论及其在数值计算中应用 2 其中 fa 埘山) ：i 如a j 山= ( a j：) j 2 a j l k j ( a j ) 称为矩阵a j 的若当块，a j2o ，b j 0 ，矗j ( 由) = 踞( 奶) 是d j 0 的若当 块，且b = a j + b j i ，由是实表示矩阵如的特征值 在第三章中，我们借助矩阵的实表示、友向量和伴向量的方法，建立起了复 矩阵合相似与复矩阵普通相似之间的关系，研究了复矩阵的合三角化、合对角化 以及合广义对角化问题，不但分别给出一种简单的复矩阵可以合三角化、合对角 化以及合广义对角化的判定方法，而且还分别给出一种复矩阵合三角化、合对角 化以及合广义对角化的有效算法主要结果为 定理3 2 令a ，b c “”是两个复矩阵，则矩阵a 合相似于矩阵b 当且仅 当实表示矩阵相似于实表示矩阵b 。，即a 怨b 当且仅当之伊 定理3 4 令a c “是一个复矩阵则a 是一个可以合三角化的矩阵当 且仅当d e t ( a 1 2 。一a 4 ) * 1 1 ( 铲一) ，沁0 ，i = 1 ，2 ，n i = 1 定理3 6 令a c “是一个复矩阵则a 是一个可以合对角化的矩阵当 且仅当下列两个条件成立t ( 1 ) g a ，( a ) = n ( 入2 一a i ) ，a 0 ，l = 1 ，2 ，n ； ( 2 ) a 4 是一个可对角化的矩阵即对的任意特征值a 都有r 丑血( 屯。 a a ) = 2 n 一3 ， 妻中s 是特征值a 的重数 定理3 1 4 令a c “是一个n 阶复矩阵，且置换 i 1 1 2 i 。】有分解式 ( 3 3 ) ，如果a 是一个可逆矩阵，则下列命题等价： ( 1 ) a 是一个 i l i 2 。】合广义对角化的矩阵； ( 2 ) a d i a g ( b h l ( 1 ，1 ，d 1 ) ，b h 2 ( 1 ，1 ，d h 2 ) ，b h 。( 1 ，1 ，d h 。) ) ； ( 3 ) a 4 品d i a g ( b 墨( 1 ，1 ，d h 。) ，( 1 ，1 ，d 2 ) ，( 1 ，1 ，d h ) ) ； ( 4 ) 忌d i a g ( b h i ( 1 ，1 ，d 1 ) ，b l ( 1 ，l ，i 。) ， b h ，( 1 ，1 ，d h ，) ，b h ，( 1 ，1 ，五，) ) o d i a g ( b h ，+ - ( 1 ，1 ，l d i ) ，b h ( 1 ，1 ，一i d ，+ ，i ) ，b l ( 1 ，1 ，i d h 。i ) ，b h 。( 1 ，1 ，- i d a ，眠 第一章概 述3 其中屯。，= ：+ 。，：+ 2 i j ： 。，。( 不失一般性) ； ( 5 ) d e t ( a 1 2 。一a 4 ) = n ( a “一d h 。) ( “t d 1 ) 兀( a h j i d h ，i ) ( “，+ i d h ，i ) ， h l e v e n h j o d d d h 。0 ，i - 1 ，2 ，8 ，且是一个可以对角化的实矩阵； ( 6 ) d e t ( a 2 。一a 。) = n ( a “一d ) ( a 帆一赢；) n ( a “一i 如，i ) ( a + l d ，1 ) ， h i c v e b h j o d d 0 ，i = 1 ，2 ，s ，且对a 。的任意特征值a ，r a n k ( a 1 2 。一a 。) = 2 n q ，其中q 是a 。的特征值a 的代数重数 在第四章中，我们借助复矩阵的实表示、友向量和伴向量的方法，研究了矩 阵方程x a x b = g ，x a - x b = e 和a x x b = c 的解的问题，不但给出 这两类矩阵方程有解或有唯一解的充分必要条件和判定定理，而且还给出相应矩 阵方程的公式解主要结果为 定理4 1 0 若a c m ，b c n 。n 且g c m ”，则 ( 1 ) 若矩阵方程x a x b = g 有一个解x ，则 l女 x h a ( b ) = a k a b c b 一。， k = ls = l 且 x = f h + ( b ) + y ( 厶一 a ( b ) ，1 支( b ) ) ， 其中h a ( ) 由( 4 6 ) 给出，h i ( b ) ：( h ( b ) ) + ，且f ：曼k 钆a 一。c b m ，y k = l j = l c m 。“： ( 2 ) 若矩阵方程x a x b = g 有唯一解x ，则此解为 mk x = ( a k a 七一。c b m - - 8 ) ( “( b ) ) ， 定理4 1 5 令a c m 。m ，b c n 一，g c m “，则 ( 1 ) 若矩阵方程x a x b = g 有一个解x ，则 mk - i 七 x g a ，( 动) = 一口驰【( 舡) 十1 ( a - c b ) ( - b b ) ”十1 + ( 觚) 。一g ( 勋) “一刁 k = l j = 1 j = l 并且 x = 的乞( _ b ) + y 一) 唬( _ b ) ) ， 其中f = 。曼蚴【k 三- 1 ( 硒k - j - 1 ( a - c b ) ( - b b ) m 一卜l + 圭( 俩k - j c ( - b b ) m 一】，并且 = 1 ，= l = 】 g j 。( - b b ) = ( 9 如( 百b ) ) + ，y c m x n ； 华东师范大学博士论文矩阵的表示理论及其在数值计算中应用 4 ( 2 ) 若矩阵方程x a x b = c 有一个解x ，且( ，( a ) ，a 。( a ) ) = 1 ，则矩阵 方程x a - x b = g 有唯一解x x = f ( g a 。( b b ) ) 一1 mk - 1 k = 2 【( a 才) 一一1 ( a - c b ) ( - b b ) ”一一1 + ( a - a ) k - i g ( 吾_ 口) m - j 】( 9 ，( 百b ) ) 一1 下列两个定理给出了矩阵方程a x x b = c 的解的结构 定理4 2 2 令a c m m ，b c n 一，k ( a ) 和k ( b ) 由式( 4 1 9 ) 和( 4 2 0 ) 给 出则矩阵方程a x = x b 当且仅当y = p _ 1 x q = y = ( k t ) ，且 ( 1 ) 若k ，则比= 0 ， ( 2 ) 若 = p 0 ，则是实u p p e r - t o e p l i t z 矩阵， ( 3 ) 若入= 弘= 0 ，则是u c a - t o e p l i t z 矩阵， ( 4 ) 若k s ( a ) = l h ( 山) 且甄) = 氐( m ) ，或凰( a ) = 以( k ) 且托) = l “( b ) ，则k = 0 ， ( 5 ) 若a 。b ，虬( a ) = 工k ( 也) ，g d b ) = 工k ( 玩) ；则= 0 ( 6 ) 若a 。= b ，0 ，k s ( a ) = l k , ( a 。) ，甄( b ) = l i l ( 玩) ；则为 耻( ( ：。：) ) 定理4 2 3 令x 。是矩阵方程a x x b = g 的一个特解则矩阵方程履一 x b = g 的任意解都可表示为墨+ 粕，其中x o 是矩阵方程a x x b = 0 的一 个解且下列命题等价 ( 1 ) a x - x b = g 有唯一解； ( 2 ) a - x x b = 0 只有0 解 定理4 2 7 令a c ”。”，b c ”“，g c “则 ( 1 ) ( b o t h 定理) 矩阵方程a x x b = c 有一个解当且仅当矩阵 ( 吉乏) 相似于矩阵 ( 吉兰) ； ( 2 ) 矩阵方程a x x b = c 有一个唯一解当且仅当矩阵特征多项式，a 。( a ) 与，b 。( a ) 互素，即矩阵，a ，( 毋) 是一个可逆矩阵 第一章概 述 定理4 2 8 令a c m 。m ，b c ”。“，c c ”。“贝4 ( 1 ) 若矩阵方程( 4 2 5 ) 有一个鳃x ，则 mk 一1k x p a ，( 口两= 一p 2 k ( a - a ) ( g 百) ( b 百) 一一1 + ( a 才) j - 1 ( a 刁) ( b 百) 一 k = l j = lj = l 并且 x = f p 古。( b 百) + y ( 工n p a 。( b 百) p + 。( b 再) ) ， 其中f ：曼p 2 【譬( a - a ) j ( c - b ) ( b - 百) k j 一1 + 圭( a 万) j 一1 ( a c ) ( b - b ) 一】，并且 p = ；。( b 百) = ( p a ，( b 百) ) + ，y c r u x - ； ( 2 ) 矩阵方程( 4 2 5 ) 有一个唯一解x ，则x = mk - 1七 一 p 驰【( a 万) ( ( b 百) 一卜1 + ( a 页) j - l ( a - c ) ( b b ) k - j 】 【p a 。( 口百) 】_ 1 在第五章中，我们通过四元数的复表示和友向量的方法，研究了四元数体上 矩阵的行列式、矩阵的秩，矩阵的逆、c r a m e r 法则和特征值以及特征向量的问 题。把四元数体上的非交换四元数问题巧妙地归结为复数域上的可交换的复数问 题上述结论和方法大大筒化了四元数力学中的数值计算问题，使得相应数值的 计算机处理也成为可能主要结果为 定理5 1 7 令a q “是一个四元数矩阵，则 ( 1 ) a a = a a = d e t ( a ) 厶； ( 2 ) 四元数矩阵j 4 可逆当且仅当d e t ( a ) 0 ，且当矩阵a 可逆时， a - * 2 赢1 两 定瑗5 2 2 令a q “，p 妒m 若四元数右线性方程a x = p 的系数矩 阵的行列式d e t ( a ) 0 ，则a x = 卢有唯一的一个解。= ( 第1 ，z 2 ，$ 。) t ，且 。 = 石丽a t ，t = 1 ，2 ，n ， 其中 a r d 2 t - 1 。瓦d 2 一t 。) ， d 2 t 一1 是把行列式d e t ( a 。) 的第2 t 一1 列换为风的第一列所得的行列式，d 2 t 是 把行列式d e t ( a ，) 的第2 t 列换为艮的第二列所得的行列式 华东师范大学博士论文矩阵的表示理论及其在数值计算中应用 6 在第六章中，借助四元数的复表示和友向量的方法，我们进一步研究了四元 数矩阵的j o r d a n 标准形的问题，不仅构造性地证明了四元数矩阵的j o r d a n 标准 形的存在性，而且还给出了求j o r d a n 标准形和相应可逆相似矩阵的具体算法 特别地，我们还借助四元数的复表示和友向量的方法，研究了四元数矩阵的对角 化和广义对角化的判定和算法主要结果为 定理6 4 任意一个四元数矩阵a q n 都相似于一个j o r d a n 标准形，即 存在一个可逆矩阵p q “n 满足 p - 1 a p = o 以。j ( 扎) l j 其中 ，c , x d 是复特征值沁的k k d j 若当块矩阵，且i m k 0 除了各若当块 矩阵排列的次序外，该若当标准形是由a 唯一确定的 定理6 2 1 令a 掣“是一个n 阶四元数矩阵，且置换【i 1 2 。1 有分解 式( 6 1 7 ) ，则下列命题等价： ( 1 ) a 是一个【i l i 2 i 。】广义对角化的四元数矩阵； ( 2 ) a “d i a g ( b h 。( 1 ，1 ，如 。) ，既b ( 1 ，1 ，d b ) ，b b + 1 1 ，b “h ) 其中d h k 0 ，d e t ( b h k , + j ) = 0 ，且k l ，k 2 ，k 。是1 ，2 ，。的一个排列； ( 3 ) a 4 一d i a g ( b h k 。( 1 ，1 ，d h 。) ，b h ，( 1 ，l ，d h ，) ， b h ，( 1 ，1 ，d b ) ，b h b ( 1 ，l ，瓦h ) ，b h k r + l ，b h i r + l ，b h b h h ) 其中d h h o ，一且b h ，= e s j , n j ( o ) ，其中( o ) 8 是a 4 的特征值0 的若当块， j j = 1 ，2 ，s r ； ( 4 ) d e t ( a 1 2 。一a 4 ) = n ( a 一d ；) ( a k d h ；) ；( a 4 ) ”是一个可以对角化的矩 阵，并且对特征值d h 。= 0 ，矩阵a 一的特征值0 的所有的若当块恰好可以组合成 b h b + 。，b h + 。，b h v b h 引其中b h = e e j m a o ) ，且j 南( o ) 8 是矩阵小的 特征值0 的若当块，j = 1 ，2 ，s r ( 5 ) d e t ( a 1 2 n a 4 ) = n ( 聃一d 。) ( a i 一_ ) ，且对( 俨) m 的任意特征值 a ，r a n k ( a 1 2 n 一( 小) ”) = 2 n g ，其中口是矩阵( a ) “的特征值a 的代数重数， 并且，对特征值d = 0 ，矩阵小的特征值0 的所有的若当块恰好可以组合成 b h h ，既b + l i 一，玩v 觇v 其中玩，= 嚣。咖f ( o ) ，且如，( o ) 8 是矩阵的 特征值0 的若当块，j = l ，2 ，8 一r 第一章概述 7 在第七章中，我们借助四元数的复表示和友向量的方法，研究一般四元数矩 阵方程a x b c y d = e ，给出一般四元数矩阵方程a x b c y d = e 的解的 判定和算法主要结果为 定理7 9 ( r o t h 定理的推广) 令a q “”，b q n 一，c q m 一，则 ( 1 ) 四元数矩阵方程 a x x b = c 有一个解的充分必要条件是( 拿g b ) 与a 三) 在q 上相似 ( 2 ) 四元数矩阵方程 有一个解的充分必要条件是( 拿g b ) 与( a 0 三) 在q 上等价 定理7 1 7 ( 1 ) 四元数矩阵方程a x b c y d = e 有一个解当且仅当矩阵方程( 7 2 1 ) 有 一个解； ( 2 ) 四元数矩阵方程a x b - c y d = e 有一个唯一解当且仅当矩阵方程( 7 2 1 ) 有一个唯一解； ( 3 ) 若x ，y 是四元数矩阵方程a x b c y d = e 的一个解。则复矩阵托， k 是矩阵方程( 7 2 1 ) 的一个解；且若贾，p 是矩阵方程( 7 2 1 ) 的一个解，则x = u s = x l + x 2 j ，y = v t = m + y 2 j 是四元数矩阵方程a x b c y d = e 的一个 解，其中 且 u = 矾一驴2 j ， 捌= ( 茏茏) ，苌) s b h = b t r ”“，t d h = d 1 r “。“ 在第八章中，我们借助四元数的复表示方法，研究了四元数矩阵的最小二乘 问题和约束j f - - - 乘问题，给出了相应四元数矩阵最小二乘问题和约束最小二乘 问题的算法主要结果为 定理8 8 四元数矩阵的最j 、- - 乘问题 a x b 1 1 2 = r a i n 旗h 矿，。 卧 k | | 巧 矿 y 华东师范大学博士论文矩阵的表示理论及其在数值计算中应用 8 的解为 x = a + 6 + ( 厶一a + a ) a 其中g q “1 是任意四元数矩阵，且最小范数解为 x l s = a + 6 定理8 1 0 四元数矩阵等式约束最t j 、_ - 乘e c l s 问题 有一个解当且仅当苎西1 1 2 ：0 ，且其解为x ：q z ，且 五= 巍麓：霉， 其中啦，岛和qe h ( 8 2 1 ) 和( 8 2 2 ) 给出。h i , 而由( 8 2 6 ) 定义，且8 = r a n k ( b ) 第二章矩阵的合相似若当标准形 2 1 引言 在研究量子力学中的时间反演问题时，物理工作者经常碰到复向量空间上的 反线性变换问题复向量空间上的一个反线性变换t 是指一个映射t ：v - ， 满足t 恤+ 卢) = t n + t 卢和t ( a a ) = a - t o t ，其中k 是两个复向量空间，仉卢 是y 中的任意两个向量，a 是任意复数反线性变换在近代量子力学的理论研 究中占有重要的位置1 1 - 3 矩阵的普通相似理论的产生是由于研究不同基下的线性变换的结果一般说 来，矩阵合相似的产生是由于研究不同基下的反线性变换的结果两个复矩阵a ， b 称为是合相似的是指存在复可逆矩阵s 满足s - 1 a 君= b 不难看出，矩阵的 合相似关系是矩阵的一个等价关系 令 是一个n 阶复矩阵，若复数 和非零向量a 满足肪= a 则称a 为 矩阵a 的一个合特征值，称a 为矩阵a 的属于特征值a 的一个合特征向量 在文阻6 】中，作者h o r n 和h o n g 通过引入矩阵的合特征值和合特征向量的 方法，研究了复矩阵的合相似标准形的问题，给出了合相似下矩阵的一种标准 形，得到了下列复矩阵的若当标准形定理； 定理设一a 是一个n 阶复矩阵，矩阵a 再的若当标准形是 j ( a 7 4 ) = d p o s ( a t f ) oj z e a ( a - 页) od n s a ( a t 【) oj c o m a x ) 其中的各个直和项依次表示矩阵廊的所有正特征值、零特征值、负特征值和虚 特征值的若当矩阵组成的矩阵特别地， d e o s ( a t i ) ；j m 。( p ) o o 厶，( p ；) ，其中所有“ 0 且詹是矩阵a 五的所 有的正特征值； j n e a c a 才) = 【五。) o 厶。) 】o o 【j n 。) o j n 。( 魄) 】，其中是矩阵a 页的 所有的负特征值； j c o u c a t f ) = 【j c 。( a 1 ) o 五。( i l ) 】o o 【五。( k ) o 屯( k ) 】，其中凡是矩阵a 万 的所有的虚特征值，且i m a t 0 9 华东师范大学博士论文 矩阵的表示理论及其在数值计算中应用 1 0 则存在一个n 阶复可逆矩阵s 满足s - 1 a 亏是一个合若当标准形 s 一1 府= 妇0 d z o q _ 0 q c 其中直和项如，如，q 和q f 阶数分别与矩阵j p o s ( a t r ) ，j z e r ( a - 万) ，j n e g ( a a ) 和j c o m ( a 再) 的阶数相同，且 ( 1 ) 昂兰j m ，( p 1 ) o o j m ，( 脚) ， ( 2 ) 如三五。( o ) o o 厶( o ) 且j z e r ( a - a ) 是露的若当标准形， f 0 。【氐( 魄) f 0 。i 如( ) 并且，如果不计矩阵j p 和矩阵j z 中的若当块厶( a ) 的次序和q n 和0 c 中 的拟若当块( 0 ( 柚：) 的次序，矩阵的合若当标准形是唯一确定的 h o r n 和h o n g 通过矩阵的合特征值和合特征向量的方法，在上述定理中给出 了矩阵的一种合相似若当标准形不难看出，矩阵a 的上述合若当标准形是通 过矩阵廊的若当标准形而构造得来的这种合若当标准形的构造求法想必是很 复杂的，而且h o r n 和h o n g 没有给出求上述合相似可逆矩阵s 的方法 在本章中，我们将通过引入矩阵的实表示、向量的友向量和伴向量的方法， 来研究矩阵合相似标准形的问题，给出一种新的矩阵若当标准形我们不但从理 论上给出复矩阵的一个新的若当标准形，而且还给出了相应复矩阵若当标准形的 计算方法进一步地，本章我们不但给出求一个复矩阵4 的合若当标准形，的 简单方法，而且还给出一种求相应合相似可逆矩阵s ( 满足s o a 器。j ) 的方法 令r 表示实数域，c 表示复数域对任意复数窖c ，r 船表示复数口的 实部，i m x 表示复数$ 的虚部系数符号f m 一表示f 上所有m n 矩阵的集 合，a t 表示矩阵a 的转置，冱表示矩阵a 的共轭，a 盯表示矩阵a 的共轭转 置我们记a 品b 表示矩阵a 相似于矩阵b ，a 怨b 表示矩阵a 合相似于矩阵 b ，a 跫b 表示矩阵a 置换相似于矩阵b 显然，矩阵的置换相似关系不但是相 似关系而且还是合相似关系s p a n o q ，n 2 ，o t 。) 表示由向量a l ，a 2 ，生成 的子空间 且 、-、 j 0 ，0 o o 、，、 ，0 j o o o m 知 如 ，一 i | i 兰 q q 3 4 第二章矩阵的合相似若当标准形 2 2 矩阵的实表示 本节给出复矩阵的实表示的定义，讨论实表示的一些性质 令a c ”，a = a l + a 2 i ，a l ，a 2 r m ”，i 2 = 一1 定义 扣( 2 三。) 倒n 实矩阵如称为复矩阵a 的实表示 对任意m n 矩阵 定灿扣似，且弓2 ( 乃0 0 弓) ，劬= ( 三 如是j j 单位矩阵 由分块矩阵的运算可得下列结论 命题2 1 ( 1 ) 若a ，b c “，o r ，则 ( a ) ( a4 - 日) ，= a 口4 - b 。； ( b ) ( a a ) ，= a a ， ( 2 ) 若a c ”“，b c “7 ，则 ( a b ) ，= a ，p n b q = a ，b p r = p m ( 万) ，b o - ( 3 ) 若a c ”。”，则a 可逆当且仅当a ，可逆 ( 4 ) 若a c ”。”，b c “。”，c c 。“，则 ( a ) a 驴= ( ( a 万) ) ，p m ； ( b ) 若k + l 是一个奇数，则 怕雕= 嬲怒嚣嚣挑) a p n 一, k = 。2 矬8 。l = 2 t ( c ) 若k + l 是一个偶数，则 ， 如讲= 嬲g ( a u b b 掣k ：翥- - 2 s 穿1 ( 5 ) 若a c ”。“，则1 0 h a 。q 。= a ，q 2 a ，q 。= 一a ， 证明直接计算易知( 1 ) 、( 2 ) 和( 5 ) 成立 令a = a 1 + 2 i ，则由下列等式可知( 3 ) 成立 ( 。i ￥) ( 三：一a 4 2 。) ( ：1 7 ) = ( a 1 三，弘一a ，：a 。；) 华东师范大学博士论文矩阵的表示理论及其在数值计算中应用 1 2 若a 是一个m 阶复矩阵，则由( 2 ) 可知，a 驴= ( a ，) 2 = ( a ，) 2 ( 一1 ( 如) 2 = ( a 。) 2 ( 1 ) ( a 万) 。p m 最后，由数学归纳法直接计算易得( 4 ) 成立 定理2 2 令a c “，d “，则存在一个n 阶可逆复矩阵t = m + n i 满足t - 1 a 亍：d 当且仅当存在一个可逆的实矩阵b ：f m 1 满足 b 一1 j 4 ，b ：所 一埘 证明因为d r n “，则由命题2 1 的( 2 ) 和( 3 ) 知，存在一个可逆矩阵t 满足a 亍= t d 当且仅当a ，b 尸n = t a p n d 。，容易验证如马p n = 马r 珥当且仅 当t 了1 如乃= d ，所以，定理的结论成立 2 3 友向量和伴向量 本节我们给出友向量和伴向量的概念，讨论一些关于友向量和伴向量的性 质 定义z s 若a = ( ：) c x l ，硼c “l ，则向量a 的友向量和伴向 量a 6 分别定义为 。c = ( 三。) ，a 6 = ( 三。) 显然，帮= 一，且若向量a 是一个实向量，则a c = 扩 由友向量、伴向量和实表示的定义可得下列结论 命题2 4 若向量a ，反7 c 2 ”“，复数a c ，复矩阵a e o n n ，则 ( 1 ) ( q 。) 6 = 一a ，( 口6 ) 6 = 一o ； ( 2 ) ( 口士卢) 。= a 。4 - 卢。，( 口士卢) 6 = 口6 - t - 卢6 ； ( 3 ) ( a a ) 。= ：x & 。，( a a ) 6 = a a 6 ； ( 4 ) ( a ，a ) 。= - a ，a 。，( a 口a ) 6 = 一a f a 6 ； ( 5 ) a 。a = 卢+ a ，y 甘a ，n 。= 一卢。一：研c ， a 口n = 卢+ a ，y 亭a 口o t b = 一卢6 一a ，y 6 ； 第二章矩阵的合相似若当标准形1 3 ( 6 ) 若a 0 ，则q ，d 。线性无关； ( 7 ) 向量组a 1 ，o t 2 ，t ，a 。线性无关甘向量组o ，0 5 ，a ：线性无关， 向量组o ，n 2 ，o s 线性无关甘向量组0 2 n 2 ，a ：线性无关； ( 8 ) 向量组o t l ，n ，0 2 ，o ，a 。线性无关甘向量组o l ，o i ，0 2 ，口l ，a 。，n ：线 性无关 证明由友向量、伴向量和实表示的定义直接计算易知( 1 ) ( 7 ) 成立 若向量组o t i ，a i ，o t 。线性无关，但向量组o r l , a ，a 。，o ：线性相关，则 口：可由向量组a l ，a i ，a 。线性表示，故存在一组不全为零的复数n 1 ，b l ， - 1 b , - 1 ，c 满足a ：+ o ，a ，= ( a o t i + b i o t c ) 由命题的( 1 ) ( 3 ) 易知，一o t 。 + 瓦口：= 8 置- 1 ( i 一瓦啦) 因此有n 。= ( 1 +