（运筹学与控制论专业论文）分布参数系统控制理论中的几个问题.pdf

摘要 本文研究了坌交叁塾亟婪趁型婴笙。中的如下三个问题 i 无限时区固定终端l - q 问题 2 ，非线性分布参数系统的绝对稳定性 3 k i r c h h o f f 板型方程的精确内部能控性 在籀一章中，我们先研究了h i l b e r t 空间中的无限时区固定终端l q 问题的 几种提法。我们从工程实际需要出发并结合已有参考文献，依据控制函数是否平 方可积及状态最终收敛于零的速度快慢，总结出三种比较重要的允许控制：然后 证踢了它们所对应的三个l q 问题在适定性上是等价的，而在可解性上是不等 价的，并举例说明了这一点；其次，我们证明了这三个l q 问题的适定性与代数 r i c c a t i 方程的f 自共轭有界线性算子1 解的存在性以及频域特征函数的正实性 之间的等价关系；另外，我们还证明了这三个l q 问题的可解性与代数r j c c a t i 方程的反馈渐近稳定鳃或反馈指数稳定解等特殊癣的存在性，以及强频域条件之 间的等价关系在上述研究的基础上，我们证明了算子代数r i c c a t i 方程总存在 最大解，并且该解能被反馈指数稳定算子所任意逼近以上的绝大多数结论是在 系统指数能稳的假设下建立的，这符合大部分分布参数系统只具有指数能稳性的 事实丫7 其次，我们对一般非线性分布参数系统f 包括直接系统和间接系统) 的绝对 稳定性问题进行了研究f 这个问题在分布参数系统控制理论中占据着非常重要 的地位，其研究方法主要有l y a p u n o v 直接方法f 构造二次型加非线性项积分型 l y p u n o v 函数) 和p o p o v 的频域分析方法两种我们直接通过l q 问题来磺究 该问题对状态和控制空间均为一般h i l b e r t 空间的直接控制系统，建立了其绝 对稳定性的充分条件；另外，对状态空间为一般h i t b e r t 空间，控制空问为 r 1 的 间接控制系统也导出了其绝对稳定性的充分条件这些结论推广了d w 。x 】。， 1 9 8 0 年 4 7 1 和z h e n1 9 8 7 年- 5 8 】的工作厂 ， 最后，我们研究了k i r c h h o f f 板型方程的内部精确能控性浩虑转动惯性的 线性板的振动可用k i r c h h o f f 方程来描述，在附加局部分布控制作用力和某种边 界条件( 对矩形板来说这是简支边界条件) 后，可得到一控制系统我们利用保守 系统精确能控性的频域判据( 参见 3 4 ) ，建立了上述系统的精确能控性与波方 程的精确内部能控性之间的等价关系在考虑了转动惯性的振动板的控制器或阻 尼器的位置设计中，这些结论可以提供有价值的参考信息手一 a b s t r a c t t h e f o l l o w i n gt h r e ep r o b l e m sh a v eb e e ns t u d i e di nt h i sp a p e r ： 1 t h el i n e a rq u a d r a t i co p t i m a c o n t r o lp r o b l e mo fd i s t r i b u t e dp a r a m e t e r s y s t e mw i t hi n f i n i t eh o r i z o n ，i n d e f i n i t ec o s ta n dz e r oe n d p o i n tc o n s t r a i n 2 t h ea b s o l u t es t a b i l i t y p r o b l e m o fn o n l i n e a rd i s t r i b u t e dp a g a m e t e rs y s t e m 3 t h ee x a c ti n t e r n a lc o n t r o l l a b i l i t yo fk i r c h h o f f p l a t e 1 i k ee q u a t i o n s i n c h a p t e ro n e ，w ef i r s td e r i v e do u tt h r e ea d m i s s i b l ec o n t r o ls e tf r o m t h el i t e r a c y ；t h e n ，w ep r o v e dt h a tt h ew e l l p o s e d n e s so ft h et h r e ei n f i n i t e h o r i z o nl - qp r o b l e m sw i t hz e r oe n d p o i n ta s s o c i a t e dw i t ht h e mi s e q u i v a - l e n t ，b u tt h es o l v a b l i t yi sn o t t w oe x a m p l e sw a sg i v e nt os h o wt h a t ；a t l a s t ，w ee x p l o r e dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ew e l l p o s e d n e s sa n ds o l v e b i l i t y o ft h et h r e el - qp r o b l e m s ，t h ee x i s t e n c eo fs p e c i a ls o l u t i o no ft h ea l g e b r a i c r i c c a t ie q u a t i o na n dt h ep o s i t i v e r e a l n e s so ff r e q u e n c yc h a r h c t e r i s t i c sa 8 8 0 c i a t e dw i t ht h e m a i lo u rr e s u l t sw a sd e r i v e di nh i l b e r ts p a c e su n d e rt h e e x p o n e n t i d l ys t a b i l i z a b i l t yo fs y s t e m t h ea b s o l u t es t a b l ep r o b l e mi s v e r yi m p o r t a n ti nt h ec o n t r o lt h e o r yo f d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m t h e r ea r et w om a i ne q u i v a l e n tm e t h o d st o d e a lw i t ht h i sp r o b l e m ，o n ei st of i n dal y a p u n o vf i m c t i o no f q u a d r a t i cf o r m p l u si n t e g r a l ，t h eo t h e ri sp o p o v 8f r e q u e n c yc r i t e r i a i nc h a p t e rt w o ，w e d e r i v eo u ts n 衔c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ea b s o l u t es t a b i l i t yo ft h ed i r e c ts y s t e m w i t hi n f i n i t ed i m e n s i t i o n a li n p u ta n dt h ei n d i r e c ts y s t e mw i t ho n e i n p u t ，b y t h ea n a l y s i so fa na s s o c i a t e dl i n e a rq u a d r a t i c o p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m t h e s e g e n e r a l i z e dt h er e s u l t so fd w e x l e r 4 7 】a n dz h e n 5 s w h e nt h er o t a t o r yi n e r t i ai st a k e ni n t oa c c o u n t v i b r a t i o n so fal i n e a r p l a t ec a nb ed e s c r i b e db yt h ek i r e h h o f fp l a t ee q u a t i o n c o n s i d e rt h i se q u a t i o nw i t hl o c a l l yd i s t r i b u t e dc o n t r o lf o r c e sa n ds o m eb o u n d a r yc o n d i t i o n w h i c hi st h es i m p l ys u p p o r t e db o u n d a r yc o n d i t i o nf o ra r e c t a n g u l a rp l a t e i nc h p t e r t h r e e ，w ee s t a b l i s h e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo ft h e s y s t e m i nt e r m so ft h e e q u i v a l e n c et oe x a c ti n t e r n a lc o n t r o l l a b i l i t yo ft h ew a v ee q u a t i o n ，b yi n e a n s o faf r e q u e n c yd o m a i nc h a a a c t e r i z a t i o no fe x a c tc o n t r o l l a b i l i t yi n t r o d u c e d r e c e n t i yi nf a 4 1 a + d ( a ) a n 记号说明 自然数集合 实数集合 n 维欧氏空间 非负实数集合 扩展实数集合，即r u - t - c o x x 的有界线性算子空间 x y 的有界线性算子空间 矿一x 的p 可积函数空间 r + 一u 的局部上2 可积函数空间 空间x 的维数 矩阵r 正定 算子r 一致正定，即存在e 0 ，使r e 算子a 的谱集 算子a 的谱集的实部 平方可积实数序列空间 集合a 的l e b e s g u e 测度 定义为 算子a 的共轭算子 算子a 的定义域 区域n 的边界 n r时阱娴一一一一产删 i l 报送博士学位论文简况表 论文题目 岔印冬粒冬统柠5 1 i 优汜t f 南n j 卜0 瞧 作者姓名 俩新据 授予学位的 黏譬，立暮7 亨斟i 圮 学科、专业 作者单位 溺知t 事屯- 司叛嘻、各 地 址 叫；钾江文学，加王7 专业 t 鸯鼍。 导师姓名 科= = 殳孚缸檀 技术职务 导师单位 甸0 从罾乏j 蟊驭罾复 地址 删冲；爷t 芎 论文隶属学科分类号8 论文关键词* 铆夸莓酶 玉、g - q 罩伽。缱z j 穆主t ! c 稚确计舭 论文文摘( 1 豇衄础室l 且越奉五i 辞瓤釜牟考漱缸麓晕涮越南? f 科嘶砌压l 一拉陶熟，立幸；钟刘习忍吖砌9 弛媲芙辇 该吏。o 枣 制互间厶芝午恳土进宠叶量扪研忾与仅缸妣拍i l 庙红威刿砺土1 o 矗粕国j ) 坼叠转确一舯瞄i i 嘶静千艺锻芰f 厶r 毕蟛；f ，硎啪沫 “誊，即确l ，z 翩j 渊t 跏直袒黝t f i 诅 f 舭矗】 越j 它1 也 龟叼秘蕞舅主；：韵 摹 i ：；l 着戎难0 | ：代芍啐参酶j 扣 移寸稳荛 _ f 撕辨邑芝钟厶衅j 眷孰诵确耐j 它矗；童谢怖，讴呐5 醯丛煎 | ! | 釜鞋蚴鞑衲磷咱崎醇煎世鞠鬈牲堂i 型器i 鲻型垂 论文在何时何地以何种方式发表 获得学位日期i1 报送日期备注l 收藏单位t 北京图书馆( 中国国家图书馆) 。执行部门：国内资料组。 一般应注明：1 国图书资料分类法的类号。 * 为了文献标引工作从论文中选取出来用以表示全文主题内容信息款目的单词或术语 每篇论文选取3 8 个词作为关键词。为了国际交流，应标注与中文对应的英文关键词。 致谢 本论文是在导师陈叔平教授的悉心指导下完成的陈教授渊博的知识、严谨 的治学态度、一丝不苟的工作作风，给我留下了深刻的映像使我这几年来深受 裨益无论是在学习上还是在生活上，陈教授都给予我极大的帮助在此谨向陈 教授致以最诚挚的谢意 本论文的完成也是与刘康生教授的悉心指导分不开的刘教授不仅带领我进 人分布参数系统控制理论这一领域，而且对本论文提出了许多宝贵的修改意见 在此一并向刘教授表示深深的感谢 从进人浙大到博士毕业的这十年期间，系里的许多老师传授给我各种数学知 识和韧 究方法，没有这些基础，本论文是不可能完成的在此也要向他们致以崇 高的谢意 在此我还要感谢系里的许多同学平时与他们的相互讨论给予我极大的帮 助 因是 概述 近年来，分布参数系统控制理论已成为控制理论中最活跃的领域之一其原 1 现实世界的大多数现象是无限维的，其中的控制问题要求用分布参数系统 来描述特别当控制精度要求较高时，不宜简单地化为有限维问题来处理 有限维化只有建立在无限维分析的基础之上才能合理地引进 2 与有限维系统相比，在研究分布参数系统控制理论时，会遇到许多新的本质 的困难，这也进一步激起了许多学者的研究兴趣 美国“控制理论未来方向”专门研究小组的报告f 2 中指出，分布参数控制理 论围绕以下几个主题展开： 1 状态空间的选择和正则性问题正确地选择状态空间，不论是连续形式还 是数值逼近形式的表述，对于控制理论都是决定性的第一步状态空间的 选择本身又依赖于解的正则性，即依赖解在所选状态空间里对初值和控制 的连续依赖关系的光滑程度，而光滑程度是由状态空间的类型决定的解 的正则性对于利用r i c c a t i 方程数值方法求解调节器问题具有决定性的作 用忽视这一点，则可能出现发散并导致错误的计算结果； 2 稳定化和精确能控性无限维空间中的稳定化和能控性问题，在数学上是 非常趣的问题，在实际中也是重要的问题。实际例子有机翼振颤中的主动 稳定化技术、可变形曲面到指定位形的精确能控性问题等对于双曲型动 力系统，尤其是关于边界控制的情形，求解精确能控性问题的h i l b e r t 唯一 性方法是控制理论中的一个重要的数学进展对于时间可逆的双曲动力系 统，精确能控性和一致稳定化反馈以及最优稳定化反馈设计是密切相关的 浙江大学博士学位论文i i 3 控制和辩识的数值方法在分布参数系统的理论中、算子r i c e a t i 方程是矩 阵r i c c a t i 方程的一般化，其数值求解的一般方法是用一个有限维逼近系统 来替代原系统，然后应用线性系统现有的数值方法对其相应的矩阵r i c c a t i 方程进行数值求解，并增加逼近系统的维数以提高精度这一方法的收敛 性依赖于三个关键性问题：第一是有限维系统逼近系统对于原系统的收敛 性问题；第二是关于逼近伴随系统的收敛性问题；第三是诸逼近系统的一致 稳定性问题： 4 包含延迟的问题含有时间延迟的系统控制在数学上和实际中都具有其特 殊的困难性对于含有延迟的线性常微分方程，已经有了反馈控制理论，但 是非线性情况下还没有一个很好的理论： 5 鲁棒性和控制分布参数系统中现有的摄动理论相当有限一个基本的困 难是，在摄动下双曲算子的特性会改变对于未经摄动系统有效的理论框 架会在摄动下失效，而且对各种摄动对控制规律和数值仿真的真实性将会 产生什么效应尚不清楚 本文研究分布参数系统控制理论中的如下三个问题： 1 无限时区固定终端l - q 问题与代数r i c c a t i 方程及频域判据的关系 2 非线性分布参数系统的绝对稳定性 3 k i r c h h o f f 板型方程的精确内部能控性 它们与分布参数系统控制理论目前的发展有密切的联系，这可以从上述引文 中看出下面简要地介绍一下本文在这三个问题上所做的工作 一无限维连续时间定常线性系统的无限时区固定终端l q 问题 浙江大学博士学位论文1 1 1 l - q 问题就是在线性动态约束下求二次泛函指标的极小值对分布参数系 统来说，自然要考虑这样几方面的问题：1 动态方程的类型：2 允许控制类的确 定；3 二次指标中权函数的选择对我们所研究的无限维无限时区固定终端l q 问题来说，动态方程和二次指标基本上已经确定下来了，但允许控制类却还有几 种选择、其中只有要求状态和控制都是平方可积函数的情形被广泛地研究过而 对状态只要求渐近稳定的情形还没有人研究过而在某些实际问题中，又需要搞 清楚这些问题下面把我们讨论的问题作一介绍 设x 和u 为实h i l b e r t 空间考虑如下l q 问题：即在连续时间定常线性系 统 圣( t ) = a x ( t ) + b “( f ) ，x ( o ) = 2 c 0( o 1 ) 的约束下，关于控制u 阮d ( z o ) 极小化如下二次性能指标 ， ，( “，g g o ) = fn ( z ( t ) ，u ( t ) ) d t ，( 0 2 ) ju 其中f 2 ( z ，u ) = ( q 。，z ) 十( r u ，1 1 , ) 是关于z ，u 的二次型，z ( t ) x 是状态变 量，“f f ) u 是控制变量，初始状态。o x 假设是已知的，a 是x 上g 半 群丁( t ) 的无限小生成元，b l ( u x ) ，q = 0 + l ( x ) ，r = r ( u ) ，并 且r 0 ，即存在常数6 0 ，使r 芝6 j 上述问题中允许控制类玩d ( 。) 的选择是非常关键的，它将影响问题的适定 性和可解性f 参见定义1 1 和定义1 2 ) 和最优反馈系统的性质符合无限时区固 定终端l q 问题的控制目标的允许控制类有以下三种： m ( z 。) = “三2 。( r + ，u ) f 点乳山( u ，z 。) 在r 。中存在，。l i r a z ( t ，x 0 7 u ) = 0 ) 地( 。) = “l 2 ( n , + ，u ) j 舰矗( u ，z 。) 在中存在，。望器。( t ，u ) = o ) 玛( z 。) = “z 2 ( 1 a + ，) f 。( ，“) 三2 ( r + ，x ) ) ( o3 ) 其中r e = i r u 土o 。) ，矗( u ，。o ) = 君n ( 。( t ) ，“( f ) ) d t 对上述l - q 问题的有 限维约柬系统情形，这几秘允许控制类都曾被研究过；但当约束系统为无限维时， 浙江大学博士学位论文l v 矾( x o ) 和地( z o ) 类允许控制还没有人研究过而实际上，这三种允许控制类在 l q 问题的适定性以及可解性问题上的差异，正是在约束系统为无限维时才体现 出来允许控制类( 。) 和( z o ) 要求系统的状态渐近稳定，适合于对收敛速 度要求不高的情形；阮( z o ) 要求系统状态指数稳定，适合于对收敛速度要求较高 的情形它们各有自已的应用范围，都有研究的必要， 针对上述三种允许控制类，我们研究了如下三个l q 问题( i = 1 ，2 ，3 ) ( p b ) i 在系统( o 1 ) 的约束下，关于u m ( ) 极小化指标( o 2 ) 的相互关系，以及它们的适定性和可解性与代数r i c c a t i 方程以及频域不等式之 间的联系，得到如下几个结论( 其中代数r i c c a t i 方程各种解的定义请参考1 2 ) ： 定理1 1 设( a ，b ) 指数能稳刘 h ( 。o ) = ( z o ) = k ( z o ) ，v x q x 其中v ( x o ) = i n f 。e 乩。( 。) j ( u ，z o ) 是l - q 问题( p b ) i 的值函数 定理1 2 设( a ，b ) 指数能稳则 ( p b ) 3 可解 ( p b ) 2 可解弓( 尸6 ) l 可解 关于问题( p b ) 。的适定性，我们有如下结论 定理1 3 设( a ，b ) 指数能稳曼4 ( 1 ) 问题( p b ) 1 适定当且仪当方程( a r e ) 存在解 浙江大学博士学位论文 ( 2 ) 若已知方程( a r e ) 有解，则 v m ( 。) = ( p z o ，。o ) ，v z o x ，( o 4 ) 其中户是( a r e ) 的唯一反馈极限指数稳定解 ( 3 ) 频域条件 ( u ) 0 ，v i w 口( a ) 是l q 问题( p b ) l 适定的必要条件 推论1 1 设( a ，b ) 指数能稳，q = c + c 0 ，其中c l ( x ，y ) ，y 是某一 h i l b e r t 空间则代数r i c c a t i 方程( a r e ) 必存在( 自其轭有界线性算子) 解而 且当( a + ，c + ) 也具指数能稳性时，则( a r e ) 必有反馈指数稳定解 定理1 4 设( a ，b ) 在某个区间 0 ，司上精确能控，并且集合o ( a ) n i l r n - - 维l e b e s g u e 测度为零如果l - q 问题( 鳓) 1 的频域特征函数满足 则该问题是适定的 ) 0 ，v i w 隹o ( a ) 关于问题( p 6 ) i ，( i = l ，2 ，3 ) 的可解性，有如下结论 定理1 5 设( a ，b ) 能稳则 ( 1 ) 问题( p 6 ) 1 可解当且仅当( a r e ) 存在反馈渐近稳定解_ p ( 0 5 ) ( 2 ) 设尸是( a r e ) 的反馈渐近稳定解，则= 一且一1 b + p z 是( p 6 ) 1 的最优控 制，并且 ( 。o ) = ( p x o ，x o ) ，v x o x 浙江大学博士学位论文 定理1 6 设( a ，b ) 能稳则 ( 1 ) 问题( p b ) 2 可解当且仅当( a r e ) 存在满足 f e “”。三2 ( r + ，u ) ，v x x ，( 0 6 ) 的反馈渐近稳定解p ，其中f = r “b + p ( 2 ) 设j p 是代数p d c c a t i 方程( a r e ) 的反馈渐近稳定解，并且满足条件( 0 6 ) 则“= 一昱一1 b + 尸。是问题( p b ) 2 的最优控割，并且 kx o ) = ( p x o ，z o ) ，v x o x 定理1 7 设( a ，b ) 指数能稳则 ( 1 ) 下述三个命题等价： i l - q 问题( p b ) a 可解； i i ( a r e ) 存在反馈指数稳定解； i i i 存在k l ( x ，u ) ，使a 日指数稳定并且 。( u ) = 【，一k ( i w i a + b k ) - 1 口r 妒( u ) ，一k ( i w l a + b k ) “b 】 ( 0 7 ) 满足： 存在e o 使奴) e i ，v c o r ( 2 ) 若p 是( a r e ) 的反馈指数稳定解，则也= - r _ 1 b + p z 是问题( 尸6 ) 3 的最 优控黼并且值函数 k ( 。o ) = ( p x o ，x o ，v z o x 浙江大学博士学位论文 关于算子代数r i c c a t i 方程，我们有如下结论 定理1 8 设( a ，b ) 指数能稳则 ( 1 ) 如果( a r e ) 有解，曼4 ( a r e ) 必有反馈极限指数稳定解 ( 2 ) p 是( a r e ) 的反馈极限指数稳定解当且仅当p 是( a r e ) 的最大解 ( 3 ) ( a r e ) 的极限反馈指数稳定解、反馈渐近稳定解、反馈指数稳定解都是最 大解，因此它们都是唯一的， 1 9 7 0 年，j c w i l l e m sf 4 8 1 在系统能控并且维数有限的条件下证明上面几 乎所有的结论1 9 7 7 年，m o l i n a r i 【3 9 】用更为简便的方法证明了f 4 8 1 中的大部 分结论，并在( 有限维) 系统能稳的条件下指明了上述l q 问题的值函数与代数 r i c c a t i 方程最大解之间的关系，1 9 9 2 年，y a k u b o v i c h 对有关上述l q 问题( 有 限维情形) 可解性的工作傲了总结，至此，有限维l q 问题的适定性与可解性的 可以说是已被彻底解决了 关于上述l q 问题的无限维和算= r - 4 弋数r i c c a t i 方程的研究，j z a b c z y kf 5 6 1 于1 9 7 4 年在( a ，b ) 指数能稳和( g ，a ) 指数能检测的条件下证明了0 = c + c 情形下算子代数r i c c a t i 方程非负反馈指数稳定解的存在唯一性；d ，w e x l e r 4 7 11 9 8 0 年在a 指数稳定的条件下证明了强频域条件与算子代数r i c c a t i 方程反馈指数稳定解的存在性之阅的等价性；1 9 8 5 年，y o uy u n c h e n gf 5 5 在( a ，b ) 指数能稳且a 具有谱分离性质( 盯( a ) ni r = 0 ，并且存在常数m 0 ， 使l l ( 幻，一a ) - 1 i ；m ，v u r ) 的条件下，证明了强频域条件是( a r e ) 有反 馈指数稳定解的充分条件，从而得到了l q 问题( p b ) 3 的可解性1 9 9 4 年，l i 和 y o n g 在【3 0 1 中总结了无限维无限时区不定指标l q 理论的最新结果，在a 指 数稳定情形下，阐述了问题( p b ) 3 的可解性、r i c c a t i 积分方程、正实引理、两点 浙江大学博士学位论文v 1 1 1 边值问题以及d e d h o l m 积分方程这几者之间的相互关系，其中大部分结论也适 应于f a ，b ) 指数能稳的情形 我们关于无限维l q 问题( p b ) l 和( j p 6 ) ：的研究工作，推广了w i l l e m s 的 结果在定理1 1 中，我们证明了l q 问题( p b ) i ，( i = 1 ，2 ，3 ) 的值函数是完全 相等的，从而得到了他们在适定性问题上的等价性 在定理1 2 中，我们证明了 这三个问题在可解性问题上的包含关系，并且在例1 1 和例1 2 中说明了相反 的递推关系一般不成立；定理1 3 和定理1 4 则阐述了问题( p b ) ，的适定性与 r i c c a t i 方程解的存在性以及频域不等式这三者之间的关系在定理1 3 的诬e 明 过程中，我们将b e l l m a n 拟线性化原理应用于没有能观性和能检测性的q 不定 的算子代数r i c c a t i 方程，扩大了其适应范围作为定理1 3 的一个推论，我们在 f a ，b ) 指数能稳条件下证得了代数r i c c a t i 方程的非负反馈极限指数稳定解的 存在性，定理1 5 、定理1 6 和定理1 7 则给出了上述三个l q 问题的可解性与 代数r i c c a t i 方程特殊解的存在性之间的等价关系，在定理1 7 中，我们还给出 了问题( p b ) 3 可解的等价频域条件，这一条件对问题( p b ) 1 和问题( p b ) ，的可解 性也是充分的但指数能稳性的条件下与适定性以及问题( p b ) 。的可解性等价 的频域条件则还是一个未解决的问题 二 非线性分布参数系统的绝对稳定性 系统的稳定性在自动控制系统的分析与设计中是一个非常基本的问题线 性定常系统的稳定性研究已经非常成熟，主要有r o u t h h u r w i t z 判据、n y q u i s t 判据和e v a n s 根轨迹法等而非线性控制系统的稳定性研究还存在着许多困难 l y a p u n o v 在十九世纪末建立了研究非线性系统稳定性的基础理论，但由于构 造l y a p u n o v 函数没有统一的途径可循，因此，该理论很难在实际中运用，而且 l y a p u n o v 建立的稳定性理论主要是局部稳定性理论，它对要求大范围稳定性的 j 可题无能为力有鉴于此，苏联学者l u r e 和p o s i n i k o v 于1 9 4 4 年提出了一种处 理非线性控制系统的稳定性问题的新方法一非线性分离方法，用于解决非线性部 浙江大学博士学位论文 分能被分离出来的系统的大范围稳定性问题，由此导出了绝对稳定性的概念，并 构造出二次型加非线性项积分型l y a p u n o v 函数来研究绝对稳定性，这种研究方 法被称为l y a p u n o v 直接方法用这种方法能得到绝对稳定性的各种代数判据， 但由于所得代数判据过于复杂，应用时很不方便1 9 6 1 年，罗马尼亚学者p o p o v 借助f o u r i e r 变换，开刨了用该非线性系统的线性部分的频域特性来研究绝对稳 定性的全新途径由于频域判据相对要容易验证，这一方法很快就成为研究非线 性控制系统的绝对稳定性的主要方法其后不久，y a k u b o v i c h 【5 3 和k a l m a n f 2 3 发现l u r e 方法和p o p o v 方法有着非常密切的联系 自此以后，绝对稳定性的研究一直是沿用这两种方法到目前为止，关于有限 维系统的绝对稳定性研究工作较多，在此我们不作详细讨论而关于无限维系统 的研究工作较少，其中，1 3 3 ，4 4 ，4 6 ，5 8 】等对一类特殊无限维系统一时滞系统的 绝对稳定性进行了研究； 5 1 ，5 2 ，2 0 等致力于建立无限维系统的正实引理一频 域判据与代数r i c c a t i 方程的正定解的存在性之间的等价关系；1 4 7 ) 对一般抽象 无限维间接控制系统的绝对稳定性问题进行了研究，给出了其频域充分条件 迄今为止，输入亦为无限维的直接控制系统的绝对稳定性还没有人研究过 本文从无限时区l q 问题与代数r i c c a t i 方程以及频域不等式这三者之间的关 系出发，给出了输入为无限维的直接系统绝对稳定的充分条件，对只有一个输入 的间接系统绝对稳定的充分条件也一并进行了研究下面简单介绍一下我们的主 要工作 考虑如下非线性系统 愀 2a x ( t + ) 、坷庐( 4 ( 。) ) ， ( o ，8 ) 【盯( z ) = g 。( t ) ， r 叫 其中z ( t ) x ，口( t ) uv t 0 ，b 二( 以x ) ，c l ( x ，c ，) ，a ：d ( a ) c x _ x 是x 上指数稳定g 半群t ( t ) 的无限小生成元，f ( e ) ，这里e = e + l ( u ) 是已知的正定算子，f ( e ) 是按下式定义的甬数类 f ( e ) 垒 审：u ui 为局部l i p s c h i t z 函数，且满足 浙江大学博士学位论文 0 0 ； ( 2 ) 存在算子p = p 工( x ) ，p o ，满足下述代数r i c c a t i 方程 ( 2 p a 一( p b + s ) r 一1 ( p b + s ) + + q x ，。) = 0 ，v 。d ( a ) ( o 1 0 ) 其中 q = 一d + d ，s = 芝- ，r = e 一6 1 ( o 1 1 ) ，1 + 则系统( 0 8 ) 是绝对稳定的 对如下无限维间接控制系统 三锹荔! 黜；) ) ( 0 1 2 ) 【子( t ) = ( c ，。( t ) ) 一p ( 占( t ) ) ， 、 7 其中。( ) x ，寿( t ) r ，v 0 ，b ，c x ，p r ；a 同上，毒f ( p ) ，这 里肛 o 是已知的常数，f ) 是按下式定义的函数类 f ( p ) = a ：r r1 为局部l i p s c h i t z 函数，且满足 0 ( ) p 2 ，y w 0 ) ( o 1 3 ) 我们同样得到了其绝对稳定的充分条件，即 浙江大学博士学位论文 定理2 2 设 j 瓢z 8 ( r ) 玉= + o o ，v 西瓦 如果存在常数0 0 ，并且 圣( u ) 垒e + ；【。u j a ) 一1 b + b + ( 一i j a + ) 一1 g 4 】 6 0 l ，v 鼠( o 1 5 ) 则系统( 0 8 ) 是绝对稳定的 由定理2 2 ，我们可推得d w e x l e r1 9 8 0 给出的结论 4 7 ： 推论2 2 ( d w e x l e r 【4 7 】) 设昂满足( h 2 3 ) 如果存在常数o 6 p ，使 p r e ( c ，( i w i a ) 一1 6 ) 。6 则系统( 0 1 2 ) 是绝对稳定的 ( o 1 6 ) 绝大多数研究有限维输人非线性系统的绝对稳定性的文献【1 ，5 8 】所考虑的 非线性函数类为 f ( 芦) = l l i p ( r ，r ，m ) l ( 口) = ( , h ( o d ，m ( 口m ) ) ， 0 o 是常数，b ( x ) u ( x ，t ) 是控制作用力，分布函数对所有的z n 都满 足6 ( 。) 0 ，n 是r ”中的一个具l i p s c h l t z 边界a n 的有界开区域 当n 是一个矩形域时，( o 1 7 ) 就是著名的具简支边界条件的k i r c h h o f f 板方 程：方程( 0 1 7 ) 的一维模型就是r a y l e i g h 梁方程；方程( o 1 7 ) 忽略转动惯量，即 浙江大学博士学位论文 ，y = 0 的情形就是p e t r o v s k y 方程p e t r o v s k y 方程的精确内部能控性已被广 泛地研究过，这方面的工作有h a r a u x 1 9 ，j a f f a r d 【2 1 ，k o m o r n i k 2 5 ，l i o n s 3 3 ，l i u 3 4 a n dz u a z u a 【5 9 然而，系统( o 1 7 ) ( 包括一维情形) 的精确内部 能控性到目前为止还没有人研究过 我们利用保守系统精确能控性的频域判据 3 4 证明了( o 1 7 ) 的精确内部能 控性与下述波方程的精确内部能控性之间的等价关系 i n n ( 0 ，t ) 0 1 1 a n ( 0 ，t ) ( o ，1 8 ) z n 令d ( a ) = u vj ”l 2 ( n ) ) ，v = 明( n ) ，h = l 2 ( n ) 则系统( o 1 7 ) 和 ( 0 1 8 ) 的有限能量状态空间分别为 h k = d ( a ) k 爿。= v h 考虑广义函数空间圩一1 = v 7dhdv 对6 c 1 ( n ) 和u 日_ 。，定 义5 “日一1 为 ( 6 “) ( ) = u ( m ) ，v f 硪( n )( o 1 9 ) 我们得到如下结论( 精确能控性的定义参考定义3 1 和定义3 2 ) 定理3 。t 设系统( o 1 7 ) 和( 0 1 8 ) 具有相同的q 和0 6 ( ) c 2 ( q ) 则 ( 0 1 7 ) 在空间何 内是用日一控制精确能控的当且仅当系统( o 1 8 ) 在空间爿。内 是用l 2 一室制精确能控的 在系统( o 1 7 ) ( o 1 8 ) 的控制器设计过程中，一个重要的问题就是：如何选取 控制域g = 。ni6 ( 。) 0 ) ( 它表明了系统( o 1 7 ) ( o 1 8 ) 的控制器的几何 特征，如位置，大小和形状等) ，使系统( o 1 7 ) ( o 1 8 ) 具有精确能控性对于波方 p 毗 m扣 力 i j | 攀 仲 浙江大学博士学位论文 程( 0 1 8 ) ，这个问题已经被很好地解决；有关这方面的参考文献，b a r d o s ，l e b e a u a n dr a u c h 【5 ，6 1 ，b u r q 8 讨论了n 至少具有c 3 阶光滑性的情形；l i uf 3 4 1 则 针对n 只具c 阶光滑性或者f 2 为凸区域的情形因此，对系统( 0 1 7 ) 来说，该 问题的答案可以从定理3 1 和那些已有的结论中导出我们在这里只给出了n 为 维和矩形时的结论，这是因为这两种情形具有自然边界条件在( 0 ，1 8 ) 和3 4 1 考虑的受控波方程( 4 1 ) 。一( 4 2 ) 一( 4 3 ) 的表示之间有一点细微的差别，这一差距可 以通过考虑与f 0 1 8 1 有关的阻尼系统 f “+ 6 ( 。) 2 t a w = 0 i nn 珉卜 = 0 o n a n i r + ，( o 2 0 ) 【( z ，0 ) = t o ( 。) ，w t ( x ，0 ) = w l ( x ) 。q 来弥补此即文献 3 4 】中( 4 1 ) d 一( 4 2 ) 一( 4 ，3 ) 的d ：= b 2 情形由 3 4 的定理3 2 ， 系统( 0 2 0 ) 能量的一致指数衰减性( u e d p ) 等价于( o 1 8 ) 的精确能控性；关于 u e d p 的定义可以参考1 3 4 ，3 1 ，由本章的定理3 i ， 3 4 中的定理4 1 ，4 2 ，4 5 和注4 3 ，我们可得到以下结论 1 设n 为一区间则系统f 0 1 7 1 是在h k 内用盯- 1 控制精确能控的当且仅当 存在z o n 使b ( z o ) o ， 2 设n 为一矩形则系统( 0 1 7 ) 是在“i 内用日- 1 控制精确能控的，如果 ( i ) g 包含了矩形n 两条对角线中的任意一条， 或者 f i i lg 包含满足下述条件的两条开直线段：q 的任何一条边都至少包含四 个端点中的一个，并且这两条直线相交于n 中的一点 但当g 可被包含于n 的某一个真子矩形之中时，系统( o 1 7 ) 是不可能精确能控 的( 比照k o m o r n i k 【2 5 】的结论) 浙江大学博士学位论文。 与( 0 ，1 7 ) 相关的阻尼系统是 fy u 一7 a y t t + a 2 y = 6 ( 。) 6 ( 。) 叭】 i nn 珉，+ g = a y = 0o i l 挑! r + ，( o 2 1 ) ( y ( x ，0 ) = s ，o ( 。) ，y t ( # ，0 ) = y l ( ? ) 。n 即，i + a 1 + b 1 _ 口；9 = 0 i n vt 0 再加上初