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集合论习题课,1.判断下面命题的真值(真的话证明，假的话举反例)a)如果AB，BC，则ACTb)如果AB，BC，则ACF举反例A=1B=1C=1,2c)如果AB，BC，则ACF举反例A=1B=1,2C=1,2d)如果AB，BC，则ACF举反例A=1B=1,2C=1,22.集合计算a)=b)=c),=,d),-=e),-=,3.在什么条件下，下面命题为真？a)(A-B)(A-C)=A(A-B)(A-C)=(AB)(AC)=A(BC)=A(BC)=A-(BC)=A所以满足此式的充要条件是：ABC=b)(A-B)(A-C)=(A-B)(A-C)=A-(BC)=所以满足此式的充要条件是：ABCc)(A-B)(A-C)=(A-B)(A-C)=(AB)(AC)=A(BC)=A(BC)=A-(BC)=所以满足此式的充要条件是:ABCd)(A-B)(A-C)=因为当且仅当A=B，才有AB=所以满足此式的充要条件是:A-B=A-C,4.集合的基数A,B是有限集合,已知|A|=3,|(B)|=64,|(AB)|=256,则|B|=(),|AB|=(),|A-B|=(),|AB|=()解：由|(B)|=64=26，得|B|=6由|(AB)|=25628，得|AB|=8由容斥原理得|AB|=|A|+|B|-|AB|AB|=|A|+|B|-|AB|=3+6-8=1，所以|AB|1|A-B|=|A|AB|=3-1=2|AB|=|AB|AB|=8-1=7,5.集合的证明a)证明(AB)C=A(BC)iffCA证明；充分性已知CA(AB)C=(AC)(BC)=A(BC)(CAAC=A)必要性已知(AB)C=A(BC)xC，xCx(AB)CxA(BC)xA所以CA,b)证明(A-B)-C=(A-C)-Bx：x(A-B)-Cx(A-B)xC(xAxB)xC(xAxC)xBx(A-C)xBx(A-C)-B所以(A-B)-C=(A-C)-B,c)证明以下各式彼此等价：AB=U,AB,BAAB=Ux(xABxU)x(xAB)(xU为T)x(xAxB)x(xAxB)x(xAxB)AB同理AB=U.x(xAxB)x(xBxA)x(xBxA)BA所以AB=UABBA.,6.幂集设A,B是集合，证明以下命题成立a)(AB)=(A)(B)S：S(AB)SABSASBS(A)S(B)S(A)(B)b)(A)(B)(AB)S：S(A)(B)S(A)S(B)SASBSABS(AB),c)ABiff(A)(B)证明：必要性：若AB证明(A)(B)S：S(A)即SAABSB即S(B)(A)(B)充分性：若(A)(B)证明ABx：xA必S，SA，使得xS(A)(B)由SA即S(A)可得到S(B)也就是说SBxBAB综上所述：ABiff(A)(B
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