（计算数学专业论文）矩阵论中的两个结果.pdf

摘要 非负矩阵是矩阵论中研究比较活跃的领域，不可约非负矩阵是比较重要的非负矩阵，本文 分两部分，一部分主要在詹兴致教授的研究基础上研究了给定非本原性指标的不可约非负矩 阵中非零元个数的连续性，肯定地回答了詹兴致提出的一个自然的问题另一部分对一个矩 阵不等式进行了推广，得到一个新的矩阵不等式，它的一个特殊情形可以证明詹兴致提出地 一个关于矩阵奇异值的猜想 关键词：非负不可约矩阵；矩阵不等式 a b s t r a c t 动觚h a sd e t e r m i n e dt h em a x i m u ma n dm i n i m u mn u m b e r so f p o s i t i v ee n t r i e so fi m 口曲l i 吐v c i r r e d u c i b l en o n n e g a t i v em a t r i c e sw i t ha g i v e ni m p r i m i t i v i t yi n d e x i nt h i sp a p e r , w em e t h a ti fa p o s i t i v ei n t e g e ri sb e t w e e nt h em a x i m u ma n dm i m m u m n u m b e r s ，t h e nt h e r ee x i s t sa ni r r e d u c i b l e n o 尬c g a d v em a t r i xaw i t ht h eg i v e ni m p r i m i t i v i t yi n d e xa n dw i t ht h eg i v e nn u m b e ro fp o s i 6 v e e n t r i e s i nt h eo t h e rp a r to f t h i sp a p e r , w e p r o v ea ni n e q u a l i t yf o rm a t r i x ，w h o s es p e c i a le a s ep l a y sa k e y r o l ei np r o v i n ga e o n j e c t u r eo fz h a n k e yw o r d s ：i r r e d u c i b l en o n n e g a t i v em a t r i c e s ；m a t r i x i n e q u a l i t y 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所 知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的研究成果对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的说明并表示谢意 作者签名：立生i 亟日期：么丑l ：) 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并 向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：立壶i 姿 导师签名：虚兰塑 日 期：趔7 ：i ! ! 日期：三：! ! ：! ：i 第一章引言 非负矩阵是组合矩阵论中研究比较活跃的部分，矩阵的组合性质仅与矩阵的非零元或者 零元的位置和个数有关，而与非零元的大小没有关系因此，我们完全可以把非负矩阵中的非 零元用1 代替非负矩阵又通常和图论紧密联系在一起，因此大部分的研究工作集中在它们 的组合性质，非负矩阵中全体非零元的个数和位置分布通常可以影响到非负矩阵的性质我 们知道非负矩阵可以分为两大类：可约矩阵和不可约矩阵一个不可约矩阵对应于一个强连 通的有向图，所以研究不可约矩阵是有积极的意义 詹兴致在 3 5 1 中的结果清楚地指出了给定非本原性指标的非负不可约矩阵中非零元个数 所处的区间，本文在他的研究结果上进一步研究了给定非本原性指标的非负不可约矩阵中非 零元个数的连续性问题，即对于这个区间内任意一个正整数都存在一个非负不可约矩阵，使 得它的非零元个数等于给定的正整数 m l e w i n 在 2 5 】中证明了对于任意一个不可约矩阵a 如果它的非零元的个数大于零元 的个数，则a 是本原的r a b r u a l d i 1 3 利用非负不可约矩阵的标准型可以得到同样的结 果我们用盯) 表示非负矩阵a 中非零元的个数对于一个给定的实数墨l z f 表示不超过z 的 最大整数论文中前三章出现的矩阵a 是给定非本原性指标为七的n 阶非负不可约矩阵m ， l e w i n 在【2 6 冲证明了下面的结论： 盯( a ) j m 2 纠若七4 ， lh 2 4 j 若惫5 当克4 时，m l e w i n 结论中的上界是可以达到的，但是当七5 时，【譬j 这个上界是达不到的 第一章引言 下面的矩阵可以说明， b = 0 b 1 00 00 b 2 0 000 岛 o000 b 1 50 00 其中b 1 ，岛，局3 都是1 阶矩阵，b 1 4 是1 2 f 功1 矩阵，b 1 5 是2 l 阶矩阵，从而可以, - # u p 得 出盯( b ) 1 7 【警j - 6 4 詹兴致在 3 5 1 0 0 对于给定非本原性指标k ( 1 k 几) 的n 阶非负不可约矩阵a 完全地确定 了仃( a ) 的最大值和最小值 设a 具有下面中的标准型结构， p a p ： 其中主对角线块都是非空的零方阵如果记 p a p t = d i a g ( a 1 ，a 2 ，a k ) 则a 1 ，九都是本原矩阵( 1 ) 称之为以的标准型，由于其中主对角线块都是非空的零方阵， 设它们的阶数分别为z 1 ，x 2 ，z ，而a 中的非零元都集中在易，j = 1 ，2 ，k ，所以可得 盯( a ) x l x 2 + x 2 x 3 + + x k l x k + x k x l 2 4 o 0 o；黾o o o o；o 0 o现；o o o邑0；o 0 巩0 0 ；o o 0 o o ；o 敝 第一章引言 m 查a x 翰f ( x 三耋? 嗣“i = 1 ，七 2 n k 甄2 ：i + 1 ( 2 ) 翰坼，h 2 i k j ( 3 ) 对十任葸的正墨数n 和后，( 3 ) 和( 4 ) 甲的t - 界郡是司以达到的 性质1 1 3 5 ，定理2 】设r ( n ，七) 表示所有非本原性指标为七的n 阶不可约非负矩阵的集合，则 m a x a ( a ) r aer ( n , k ) = 。l n 礼2 一k 七j + 。n 一砷。，刽霎：主：4 性质2 3 5 ，定理4 】设r ( n ，后) 表示所有非本原性指标为后的n 阶不可约非负矩阵的集合，则 m i n a ( a ) i a r ( n ，k ) ： 礼+ 1 苎七 n ， 3 叫 尸 七一n + 詹一n2 p ( a ) ( 3 ) p ( a ) 是以的单根( 即其代数重数是1 ) ( 4 ) a 有正特征向量z 与p ( a ) 相应，即z 0 ，a z = p ( a ) z 而且a 的任一个非负特征向量一定 是z 的正整数倍 定理( f r o b e n i u s ) 设n ( 1 ) 阶的不可约非负方阵a 有七( 1 ) 个特征值的模等于p ( a ) ，则 ( 1 ) 这七个特征值一定是p ( a ) e i 掣( f = 0 ，i ，k 一1 ；i = ，= t ) 而且a 与a e 辟2 相似， 从而点集跏c a 在复平面上围绕原点旋转警z 角的变换下不变 ( 2 ) 若k 1 ，则a 置换相似于 a = 0 a 1 2 0 00 a 2 z 00o 0o0 a k l 0 0 0 o 0 0 a 3 4 0 0a k 一1 k 0 0 其中主对角块都是非空零方阵 定理2 4 1 2 8 设a 是n ( 1 ) 阶非负方阵则下面的各个结论是等价的： ( 1 ) a 是不可约的 ( 2 ) 不存在1 i 1 。0 ，这里m 是a 的最小多项式m a ( z ) 的次数 ( 7 ) ( ，+ a ) ”1 。0 6 第二章预备知识 ( 8 ) ( i + a ) ”1 。0 ( 9 ) 对每个( 蟊j ) ，存在一个整数k ，使n 0 下面将不可约非负方阵a 分为两类：设a 有k 个模为p ) 的特征值，当k = 1 时，称方阵a 是本原 的；当k 1 时，则称方阵a 是非本原的把k 称为方阵a 的非本原性指标 定理2 5 2 7 】不可约非负矩阵a 是本原矩阵的三个充要条件： ( 1 ) 以只有一个模为p ( a ) 的特征值，就是p ( a ) 本身 ( 2 ) 4 特征多项式为： x ( a ) = a “+ c 1 a ”1 + + 岛a “，c l ，岛0 ， n n l 0 则：g c d n 一礼1 ，竹一砌，n n ，= 1 ( 3 ) 存在正整数p ，使得a p 。0 ( 4 ) i g d ( a ) 为a 所对应的强连通图，则d ( a ) 所有的回路( 或所有的简单回路) 的长的最大公 因数是1 定理2 6 1 3 】设a 是不可约非负方阵，则a 的非本原性指标是k 的充要条件是：存在置换阵p ， 使得： p a p r ： 其中主对角线块都是非空的零方阵如果记 则a ，a 都是本原矩阵 p a p t = d i a g ( a l ，a 2 ，一，a ) 7 o。o；o o o既；o o 0邑0； 0 o 巩o 0 ：o o o o o ；o 巩 第三章非负不可约矩阵中非零元个数的连续性 引理3 1 设a 是一个本原矩阵，b 是任意一个与它同阶的非负矩阵，则a + b 是一个本原矩 阵 证明根据定理2 1 a 本原存在正整数p ，使a p 。0 显然有+ b ) 。a p 。0 从而可得a + b 本原 口 推论3 2设a = a i a 2 a 是一个本原矩阵，其中a a = 1 ，2 ，后) 是非负矩阵如 果马a ，则b = b l b 2 风是本原矩阵 定义3 3 如果非负不可约矩阵a 满足a ( a ) = m ( n ，后) ，则称a 为一个最小矩阵同样地可以 定义最大矩阵，r j a ( a ) = m ( n ，七) 本文的思想是：在保持非本原性指标不变的情况下，对最小矩阵增加正元的个数，同时对 最大矩阵减少它的正元的个数，最后可以证明在增加和减少正元个数之后，分别得到的非负 矩阵的正元个数所在的区间是相交的 定理3 4 设d 是区间【m ( n ，七) ，m ( n ，七) 】中的任意一个正整数，那么存在一个非本原性指标 为k 的n 阶不可约非负矩阵a ，满足a ( a ) = d 证明 当非本原性指标k = 1 时，那么矩阵a 是本原的由性质1 和性质2 ，可得m ( n ，1 ) 和 m ( n ，1 ) 值，分别为n + l 和n 2 设d h + 1 ，n 2 】，假定b 是一个n 阶本原矩阵，满足盯( b ) = n + 1 b= o10o 0 o 0l0 0 0 o o1 o 0 o 0 0 1 110o 0 只需要将b 中任意d 一礼一1 个零元变为1 ，得到矩阵a ，使得a ( a ) = d ，由引理3 2 ，知a 是 8 第三章非负不可约矩阵中非零元个数的连续性 本原的即 a = 厶= 11 11 1 1111 1 1ll1 1 盯( b ) = n 2 可知当k = 1 时结论是成立的 当七= 扎时，仍然根据性质1 和性质2 。可得m ( n ，n ) = n ，m ( n ，几) = n ，形如： b= 0100 0 o o1o 0 0 o o1 o 0 0oo 1 1o 0o o 当1 k 考虑形如下面的非负矩阵a ， 进一步，可得： a = 0 a 1 00 0 00a 20 0 000 a 3 0 0 00 0 a k 一1 a k 000 o a 一d i a g ( a 1 a 2 a k ，a 2 a 3 a 女a 1 ，一，a k a l a k 一1 ) 如果i n d ( a ) = 惫当且仅当小中的每一个对角块是本原的 9 ( 1 ) ( 2 ) 第三章非负不可约矩阵中非零元个数的连续性 情况( i ) 当k i n 设n = k m ，用厶来记t 阶的单位矩阵，定义形如( 2 ) 的矩阵a 中a 1 = a 2 _ = a 女一1 = k a k = 010o o o o10 o o 0ol o 0 o 0o 1 11oo o 知a 是不可约的非负矩阵，i n d ( a ) = 后并j l a ( a ) = m ( n ，k ) = n + 1 考虑下面的一个矩阵 b= 0 b 1 00 ：0 00b 20 0 000 b 3 0 000 0 民一1 风0 00 - 0 其中b 1 b 2 一b k 1 = b k = 厶由定理2 1 可知，b 是强连通的，因此b 是不可约的并 且盯( 口) = k m 2 = 撕根据推论3 2 ，可得i n d ( b ) = k 情况( ) 当k 肛 设n = k m + r ( 1 r k ) 定义e 。= ( 0 ，0 ，1 ) r r ”* 0 e m = ( 1 ，1 ，1 ) t 舻定 义a 为形如( 2 ) 的矩阵，并且令a 1 = a 2 _ = 4 1 = i n + l ，4 + 1 _ = a 一1 = 厶， 丸=( t ) 1 0 a k = ( e mk ) 第三章非负不可约矩阵中非零元个数的连续性 知a 邑一个不可约矩阵，有i n d ( a ) = 七和a ( a ) = m ( n ，k ) = n + 1 考虑另外一个矩阵c c = 0 a00 0 00 c 20 - 0 000c 3 0 000 0 c k 一1 g0 00 0 ( 4 ) ， 其中a c 2 一g 一1 = 厶+ 1 ，g + 1 一一g 一1 = 厶， g = ( 乏) ( 一) 同理c 所对应的图也是强连通的，因此c 是不可约的，并且可得 盯( c ) = ( r 一1 ) ( m + 1 ) 2 + ( k r 一1 ) m 2 + 2 m ( m + 1 ) = k m 2 + ( 2 m + 1 ) r 一1 根据推论3 2 ，可得盯( e ) = k 当1 k 5 时，根据性质1 和性质2 ，可得盯( b ) = m ( n ，七) 或者盯( c ) = m ( n ，后) 可以 任意将b 1 ，b k d p d n 一1 个零元变成l 得到矩阵a 显然盯( a ) = d 并且根据推论3 2 n - j 得i n d ( a ) = k 此时，证明了1 ( 学) v 2 舭邶) ) ( 竽) v 2 下面证明定理4 6 的推广形式： 定理4 7 对于a 1 ，a 2 ，a 0 和一个算子单调函数， 喜讹，( 毕) v 2c 喜胞，( 学) v 2 第四章一个矩阵不等式 证明由4 4 ，要证明( 1 ) ，等价于证明下面的不等式， q 善卢衙+ z 幽a + a s ) 1 。蝴) “ ， l = 1= 1l = l 。” a ( a ) ( a ) ；+ 卢( a ) ( a j ) ( e a ) 加 + f o 。a ( 半) 5 ( 骞讹圳。) ( 半) 5 蝴， 对于任意的半正定矩i i # ( - a ，有a + i 0 ，由于t t 一1 是算子凸的，则对于任意的n 个半正定矩 阵a 0 = l ，一，n ) 有 显趔n 生竖( 登1 丛1 , ) ( 2 ) 令 瓯= 各。a p c a t + j ) - 1 = ：。砷( a + j ) _ 1 = 。砷( a + ，) - 1 = 翟，a n k ( a + ，) - 1 1 ug ( 2 ) 可得 进而可得 m = ( 墨1a 1 ) l n = ( ：za , ) n = ( 盖a a , z 一( 警- a k ) l n c o n ( j + m ) 一1 q + 俪g 俪n ( ，+ m ) 一1 + n v f f f ( x + m ) 一1 何= n i 并且注意到g + c h + l = 冬。a f = ：。钟= ；。毋= ：。a 2 令h = o l i 寸得到：c o + a = n i ，l i t ( 4 ) 可得 进而可得 砑( n ，一g ) 、丽a n m a 痂何 1 5 ( 5 ) ( 6 ) 第四章一个矩阵不等式 又由于a + q = n m ，由( 6 ) 可得 q 何g 何 静矿1 ( 挈) 5 ( 妾讹州) ( 半) 5 用a a t ，a - a a i ，a 一1 坞，a - 1 a 代替( 8 ) 中的a ，a ，4 ，也，两边再同时乘以a 2 得 a 静c 川矿( 毕) 5 ( j _ 妻a j ( a j 坩1 ) ( 半) 。 由性质4 5 可知z 一。2 是一个算子凸函数，可得 掣( 半) 2 ， n 、 n ， 、 此时利用算子单调函数的积分表示形式和( 8 ) ，( 9 ) ，( 1 0 ) ，可得( 1 ) 口 对于任意的方阵a ，b ，知a ( a b ) = a ( b a ) ，用九( a ) ( 1 t n ) 表示n 阶h e n l l d 髓矩阵以的 第t 大的特征值，可得到下面的一个推论 推论4 7 对于a 1 ，a 2 ，a 0 和算子单调函数， 九( 砉训a ，) 净1t ( c 弘c 勘k = l 枷) ， k m r a u d e n a e n 在【4 】中用n = 2 的特殊情形证明了詹兴致在2 0 0 0 年【3 2 仲提出的如下关于 奇异值的猜想，也可参考【3 3 ，p 3 0 】即 定理4 8 受 i - t - a ，b m n ( c ) ，a ，b 0 ，j = 1 ，2 ，n r o t 1 ，则 勺( a b 1 _ + a 1 叫b 。) 勺( a + b )( 1 2 ) 1 6 发表论文情况 m f a n ga n da w a n g p o s s i b l en u m b e r so fp o s i t i v ee n t r i e so fi m p r i m i t i v en o n n e g a t i v em a t r i c e s ， l i n e a ra n dm u l t i l i n e a r a l g e b r a , v o l u m e5 5 。i s s u e4 ( 2 0 0 7 ) 3 9 9 - 4 0 4 1 7 参考文献 【l 】t a n d o ，c o n c a v i t y o f c e r t a i n m a p s o n p o s i t i v e d e f i n i t e m a m c e s a n d a p p l i c a t i o n s t o h a d a m a r d p r o d u c t s , l i n e a ra l g e b r aa p p l 2 6 ( 1 9 7 9 ) 2 0 3 2 4 1 【2 】t a n d o ，r a h o r n ，a n dc r j o h n s o n ，t h es i n g u l a rv a l u e so f ah a d a m a r d p r o d u c t ：ab a s i ci n e q u a l i t y , l i n e a ra n dm u l t i l i n e a ra l g e b r a , 2 1 ( 1 9 8 7 ) 3 4 5 3 6 5 【3 】e a n d r u c h o w , g c o r a c h ，a n dd s t o j a n o f f , g e o m e t r i co p e r a t o ri n e q u a l i t i e s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l 2 5 8 ( 1 9 9 7 12 9 5 3 1 0 【4 1k m r a u d e n a e r t , s i n g u l a rv a l u ei n e q u a l i t i e sf o r h e i n zm e a n s , l i n e a ra l g e b r aa p p i 4 2 2 ( 2 0 0 7 ) 2 7 9 2 8 3 【5 】r b b a p a ta n dt es r a g h a v a n ，n o n n e g a t i v em a t r i c e sa n da p p l i c a t i o n s , c a m b r i g eu n i v e r s i t yp r e s s ， 【6 】r b h a t i a ，p e r t u r b a t i o nb o u n d sf o r m a t r i xe i g e n v a l n e s ，l o n g m a n ，e s s e xa n dw i l e y , n e wy o r k , 1 9 8 7 【7 jr b h a t i a , ek i t t a n e h ，n o t e so rm a t r i xa r i t h m e t r i c - g e o m e t r i cm e a ni n e q u a l i t i e s , l i n e a ra l g e b r aa p p l 【8 】r b h a t i a , c d a v i s ，m o r em a t r i xo ft h ea r i t h m e t i c - g e o m e t r i cm e a ni n e q u a l i t y , s i a mj m a t r i xa n a l a p p l 1 4 ( 1 9 9 3 ) 1 3 2 1 3 6 【9 1r b h a t i a m a t r i xa n a l y s i s , s p r i n g e r , b e r l i n ( 1 9 9 7 ) 【1 0 】r b h a t i aa n dek i u a n e h 。n o r mi n e q u a j j t i e sf o r p o s i t i v eo p e r a t o r s ，l e t t e r sm a t h p h y s 4 3 ( 1 9 9 8 ) 2 2 5 2 3 l 【1i 】r b h a t i a f g d t t a n e h , o nt h es i n g u l a rv a l u e so f ap r o d u c to f o p e r a t o r s , s i a mj m a t r i xa n a l a p p l 11 ( 1 9 9 0 ) 2 7 2 - 2 7 7 【1 2 】r b h a t i a , i n t e r p o l a t i n gt h ea r i t h m e t i c - g c o m c t t cm e a ni n e q u a l i t ya n di n so p e r a t o rv e r s i o n ，l i n e a r a l g e b r aa p p l 4 1 3 ( 2 0 0 6 ) 3 5 5 3 6 3 1 8 【1 3 】r a b r u a l d ia n dh j r y s e r , c o m b i n a t o r i a lm a t r i xt h e o r y , c a m b r i g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 1 【1 4 c d a v i s ，w m k a h a n , a n d h e w e i n b e r g e r , n o r m - p r e s e r v i n g d i l a t i o n s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s t o o p t i - m a le l t o fb o u n d s ，s i a mj n u m e r a n a l 1 9 ( 1 9 8 2 ) 4 4 5 - 4 6 9 【1 5 1m f a n g a n d a w a n g ，p o s s i b l e n u m b e r s o f p o s i t i v e e n t r i e s o f i m p t i m i t i v e n o n n e g a t i v e m a t r i c e s ，l i n e a r a n dm u l t i l i n e a ra l g e b r a , 5 5 ( 2 0 0 7 ) 3 9 9 - 4 0 4 【1 6 】t f u r u t a , a n o t e o n t h e a r i t h m e t i c - g e o m e t r i c m e a n i n e q u a l i t y f o r e v e r y u n i t a r i l y i n v a r i a n t m a u i x l l 0 1 7 1 1 ， l i n e a ra l g e b r aa p p l 2 0 8 ( 1 9 9 4 ) 2 2 3 2 2 8 【1 7 】o i f i r z a l l a h ，i n e q u a l i t i e sf i o r s u m sa n d p r o d u c to f o p e r a t o r s , l i n e a ra l g e b r aa p p l 4 0 7 ( 2 0 0 5 ) 3 2 - 4 2 【l8 】r a h o r n ，c r j o h n s o n ，m a t r xa n a l y s i s ，c a m b n g eu n i v e r s i t yp r e s s , 1 9 8 5 【1 9 】r a h o r n ，c r j o h n s o n ，t o p i c si nm a t r i xa n a l y s i s , c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 1 【2 0 r a h o r n ，n o r m b o u n d s f o r h a d a m a r d p r o d u c t s a n d 8 1 1 a r i t h m e t i c - g e o m e t r i c m e a n i n e q u a l i t y f o r u n i - t a r i l y i n v a r i a n t b o i t b s , l i n e a r a l g e b r a a p p l 2 2 3 2 2 4 ( 1 9 9 5 ) 3 5 5 3 6 1 【2 l 】ek i t t a n e h , an o t eo nt h ea r i t h m e t i c - g e o m e t r i cm e a ni n e q u a l i t yf o rm a t r i c e s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l 1 7 1 ( 1 9 9 2 11 - 8 【2 2 】h k o s a k i ，a r i t h m e t i c - g e o m e t r i c m e a n a n d r e l a t e d i n e q u a l i t i e s f o r o p e r a t o r s , j f u n c t a n a l 1 5 6 ( 1 9 9 8 ) 4 2 9 4 5 l 【2 3 】m kk w o n g ，0 ht h ed e f i n i t e n e s so ft h es o l u t i o n s 如c e r t a i nm a t r i xe q u a t i o n s , l i n e a ra l g e b r aa p p l 1 0 8 “9 8 8 ) 1 7 7 - 1 9 7 2 4 】m k k w o n g ，s o m er e s u l t so i lm a u i xm o n o t o n ef u n c t i o n s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l 11 8 ( 1 9 8 9 ) 1 2 9 1 5 3 【2 5 】m l e w i n ，o n t h e p r i m i t i v i t y o f a n o n n e g a t i v e m a t r i x w i t h m a n y e n t r i e s , a r s c o m b i n a t o r i a , 2 9 c ( 1 9 9 0 ) ， 4 l - 4 7 【2 6 m l e w i n 。af a m i l yo fi n e q u a l i t i e sa n dt h es p a r s i t yo fi m p r i m i t i v em a t r i c e s ，a r sc o m b i n a t o r i a , 3 6 ( 1 9 9 3 ) ，2 7 - 3 1 1 9 【2 7 】李乔，矩阵论八诜上海科学技术出版社。1 9 8 8 【2 8 】柳柏濂，组合矩阵论，第= 版，科学出版社，2 0 0 5 【2 9 r m a t h i a s ，a na n t h m e t i c - g e o m e t r i c - l m r m o n i cm e b ni n e q u a l i t yi n v o l v i n gl 妇d a m a r d p r o d u c t s , l i n e a r a l g e b r aa p p l 1 8 4 ( 1 9 9 3 ) 7 1 7 8 【3 0 】h m i n c ，n o n n e g a t i v em a t r i c e s ，aw i l e y - i n t e r s c i e n c ep u b l i c a t i o n ，1 9 8 8 【3 l 】yt a n ，m o r er e s u l t so l ls i n g u l a rv a l u ei n e q u a l i t i e s , l i n e a ra l g e b r aa p p l 4 1 6 ( 2 0 0 6 )