（运筹学与控制论专业论文）基于ts模糊模型的不确定非线性系统鲁棒控制.pdf

、 t f at h e s i si no p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s r o b u s tc o n t r o lo fu n c e r t a i nn o n l i n e a rt - s f u z z ys y s t e m s b yz h a n gs h u a n g s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rz h a id i n g n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u l y2 0 0 8 _il k-，l 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 - 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，包含其他人已经发表或撰写过的 ，研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 i 。作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 ：匕 思。 学位论文作者签名：苏l 是 日 期：a 膨秀辱舌目7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年口 学位论文作者签名：蚕匀k 签字日期：a 汐年多同7 日 导师签名：翟丁 签字日期：o 嘲年目7 目 lj 一 东北大学硕士学位论文摘要 基于t - s 模糊模型的不确定非线性系统鲁棒控制 摘要 随着科学技术的进步和生产力的发展，控制系统变得越来越复杂，往往缺乏精确的 数学模型，具有高度的非线性性和不确定性。t - s 模糊模型对非线性系统有很好的逼近 能力，且便于分析，因此，它成为近年来非线性研究的热点。另一方面，由于模糊系统 特殊的描述方法和本质非线性等特点，系统地进行稳定性分析和控制器设计是模糊控制 理论研究中的瓶颈问题。本文在回顾模糊控制理论发展的基础上，研究基于t - s 模糊模 型的非线性系统稳定性分析及模糊控制器设计等问题。论文的主要内容如下t 1 在l y a p u n o v 稳定性理论的基础上，研究不确定t - s 模糊系统的鲁棒稳定性判据 和鲁棒模糊控制器设计方法，并将以上问题转化为等价的可以通过数值求解的线性矩阵 不等式凸优化问题。 2 针对不确定t - s 模糊系统，一方面，给出了系统在连续状态下的模糊控制器和鲁 棒稳定性判据；另一方面，给出了系统在离散状态下的状态反馈控制器和稳定性判据， 并用线性矩阵不等式分析证明了在这两个状态下的稳定性条件，通过数值算例证明其有 效性。 3 对一类不确定非线性系统利用t - s 模糊模型进行建模，在此基础上分别给出了系 统在连续和离散状态下的输出反馈控制器和观测器的设计。用矩阵不等式的形式给出不 确定模糊系统的输出反馈控制的鲁棒稳定性判据，并加以证明，最后通过数值算例结果 表明其有效性。 关键词：模糊控制；不确定非线性系统；t - s 模糊模型；线性矩阵不等式；稳定性条件； 鲁棒稳定；输出反馈 i i i !呵j f、4ql- 弓| f ， 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t r o b u s tc o n t r o lo fu n c e r t a i nn o n l i n e a rt - sf u z z ys y s t e m s a b s t r a c t w i t hd e v e l o p m e n to fs c i e n c e ，t e c h n o l o g ya n dp r o d u c t i v i t y , t h ec o n t r o l l e dp l a n t sa r e b e c o m i n gm o r ea n dm o r ec o m p l e x f o rl a c ko fa c c u r a t em a t h e m a t i c a lm o d e l ，a n dt h e r ee x i t v a r i o u sn o n l i n e a rs e c t i o n s ，u n c e r t a i n t i e s a sw ek n o wt - sf u z z ym o d e lc a na p p r o x i m a t e n o n l i n e a rs y s t e m ss i g n i f i c a n t l y , a n di ti se a s yf o ru st oa n a l y z e t h es t a b i l i t ya n a l y s i sa n d s y s t e m a t i cd e s i g no ff u z z ys y s t e m sh a v eb e e nt h em o s ti m p o r t a n ti s s u e sf o rf u z z yc o n t r o l s y s t e m sd u et ot h es p e c i a ld e s c r i p t i o na n dt h en a t u r a ln o n l i n e a r i t yo ff u z z ys y s t e m s a f t e r r e v i e w i n gt h er e c e n tr e s u l t so nf u z z yc o n t r o lt h e o r y , t h i sp a p e rs t u d i e st h em e t h o d st oa n a l y z e s t a b i l i t ya n dd e s i g nc o n t r o l l e rf o rt h et - sf u z z ys y s t e m s t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： 1 b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , t h i sp a p e rs t u d i e s t h es t a b i l i t y a n a l y s i sa n d s y s t e m a t i cd e s i g no ft - sf u z z ys y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t i e s ，a n dt h ep r o p o s e dm e t h o d sa r e t r a n s f o r m e dt o e q u i v a l e n tl m ic o n v e xo p t i m i z a t i o np r o b l e m ，w h i c hc a l lb en u m e r i c a l l y s o l v e d 2 t h ep r o b l e mo fu n c e r t a i n t i e st - sf u z z ys y s t e mi ss t u d i e d t h ef u z z yc o n t r o l l e ra n dt h e r o b u s ts t a b i l i t yi nc o n t i n u e ss t a t ea r ep r o p o s e d m e a n w h i l e ，t h i sp a p e rp r o p o s e dt h es t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e ra n dt h es t a b i l i t yc r i t e r i ai nd i s c r e t es t a t e w i t hl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , a n a l y s i st h es t a b i l i t yc o n d i t i o nf o rb o t hs t a t e s t h en u m e r i c a lc a nd e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c y o ft h em o r er e l a xa p p r o a c h e s 3 f o rac l a s su n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m ，t - sf u z z ym o d e lc o n s t r u c t i o ni sf i r s tp r o p o s e d t h e n ，t h eo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e ra n do b s e r v e ra r ed e s i g n e df o rc o n t i n u ea n dd i s c r e t et - s f u z z ys y s t e m s a n dt h e n , p r o p o s e dt h e s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rr o b u s t s t a b i l i t y o f u n c e r t a i n t i e st - sf u z z ys y s t e mi nl m i t h ee x a m p l ea n dn u m e r i c a lc a nd e m o n s t r a t et h e e f f i c i e n c yo f t h em o r er e l a xa p p r o a c h e s k e y w o r d s ：f u z z yc o n t r o l ；u n c e r t a i n n o n l i n e a r s y s t e m ；t - sf u z z ym o d e l ；l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ；s t a b i l i t yc o n d i t i o n ；r o b u s ts t a b i l i t y ；o u t p u tf e e d b a c k v 、p i ，j j 】 一j i ，1 东北大学硕士学位论文 目录 独创性声明 摘要 a b s t ra ( 了r 第1 章绪论 目录 v 1 1 1 模糊控制的起源、基本原理及特点1 1 2t a k a g i s u g e n o 型模糊逻辑系统2 1 3 模糊系统的稳定性分析和控制器设计4 1 4 目前存在的问题及本文的主要内容安排7 第2 章数学基础 9 2 1 模糊控制的数学基础。9 2 1 1 模糊集合9 2 1 2 逻辑运算1 0 2 1 3 模糊推理1 1 2 2 关于l m i 的几点说明1 1 2 2 1l m i 的定义及表示。1 2 2 2 2 几个标准的l m l 问题1 2 2 3s c h u r 补引理1 3 第3 章不确定t - s 模糊系统的鲁棒控制 3 1j ； i 言 【5 3 2 连续不确定t - s 模糊系统的鲁棒控制1 5 3 2 1 连续不确定t - s 模糊模型描述1 5 3 2 2 连续不确定t - s 模糊系统的鲁棒稳定性分析1 6 3 3 离散不确定t - s 模糊系统的状态反馈控制2 0 3 4 数值算例2 4 3 5 本章小结2 5 第4 章不确定t - s 模糊系统的鲁棒输出反馈控制 4 1 引言2 7 4 2 问题陈述2 7 4 2 1 输出反馈控制。2 7 一i 目录东北大学硕士学位论文 4 2 2 基于输出反馈控制的二次稳定性2 8 4 3 不确定连续t - s 模糊系统的鲁棒输出反馈控制3 0 4 4 不确定离散t - s 模糊系统的鲁棒输出反馈控制3 7 4 5 数值算例4 6 4 6 本章总结4 8 第5 章总结与展望4 9 参考文献。5 1 致谢 附录a 攻读硕士学位期间发表的论文5 9 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 随着科学技术的进步，现代工业过程日趋复杂，过程的严重非线性性、不确定性、 多变量、时滞、未建模动态和有界干扰，难以建立控制对象的精确数学模型，模糊控制 不需要知道被控对象的精确数学模型，而且模糊算法能够有效地利用专家所提供的模糊 信息知识，处理那些定义不完善或难以精确建模的复杂过程。因此，模糊控制【1 j 成为了 近年来国内外控制界关注的热点研究领域。现在，国内外许多学者都在对模糊控制系统 理论和方法进行研究，并把成果应用于实际，取得的效果也很明显。 模糊控制技术作为2 1 世纪的核心技术之一，是模仿人大脑思维的技术，是简单而 有效的控制技术。将模糊控制技术应用到家用电器中【2 ，3 j ，使家用电器更加人性化的同 时，在以下三个方面有了明显的进步：性能更完善，使用更方便，节能水平更高。如今， 打上“f u z z y c o n t r o l ( 模糊控制) ”标签的家用电器越来越多，如：日立空调器、松 下洗衣机、三菱电冰箱等，人们在不知不觉中接受了模糊控制这一新事物。 但是，由于模糊系统本质上的非线性和特殊的描述方法，使得人们难以利用现有的 控制理论对模糊控制系统进行分析和设计，模糊控制理论仍未形成较为完善的理论体 系，还有许多理论问题有待进一步解决。 1 1 模糊控制的起源、基本原理及特点 自从1 9 6 5 年，美国控制理论专家l a z a d e h 发表了创建性论文 1 4 j 之 后，引起了国内外许多学者的极大关注。这篇论文在描述现象差异的中间过渡问题中提 出了“隶属函数这个概念，它突破了经典集合论中属于或不属于的绝对关系，标志着 模糊数学的诞生。 1 9 7 3 年z a d e h 教授提出模糊控制的基本思想，1 9 7 4 年英国科学家m a m d a n i 6 , 7 j 首次 将模糊集合理论应用于热电厂的蒸汽机控制【8 】，从此揭开了模糊控制理论和应用研究的 新篇章。 模糊控制利用了模糊集合的思想，具有非线性和智能性【9 1 引，显示出了许多优良品 质。特别是近几年来，非线性系统的控制理论研究相当的活跃，同时，模糊控制受到了 越来越多的关注，将模糊控制应用到非线性领域来解决一些现实的问题成为当今控制理 论和应用领域的热点问题之一在模糊控制系统理论的研究方向上，对模糊控制系统的 设计准则，模糊系统的稳定性、鲁棒性等关键性理论问题的研究取得了长足的进展。虽 - 1 - 第1 章绪论东北大学硕士学位论文 说如此，可是模糊控制的理论研究相对滞后，缺乏般性结论，因此模糊控制理论研究 的深层次挖掘的潜力是很大的。目前，对模糊控制理论的研究方向主要有以下四点：( 1 ) 模糊集成控制系统设计方法的研究；( 2 ) 模糊控制系统的稳定性分析 1 1 - 1 4 j ；( 3 ) 模糊控 制系统的系统化设计方法；( 4 ) 把已经取得的研究成果应用到工程实际过程中，尽快转 化为生产力。 模糊控制系统由被控制过程和模糊控制器构成，模糊控制器由模糊化、模糊推理和 去模糊化三部分组成，三者均建立在知识库基础上。模糊控制的基本原理如图1 1 所示。 图1 1 模糊控制系统原理框图 f i g 1 1f u n c t i o n a lb l o c kd i a g r a mo f h ef u z z y c o n t r o ls y s t e m s 模糊控制系统的主要特点为： ( 1 ) 与传统的控制方法相比，模糊控制更接近人类的思维方法和推理习惯，因此人 类对过程的定性认识和控制经验可直接表达为模糊量，并可方便地表达为语言控制规 则。 ( 2 ) 模糊控制系统建立在知识经验上( 以是系统本身的某些特性或综合判断) 不要求 被控系统的精确数学模型，因此，适合于具有多输入多输出、强非线性、时变、包含大 滞后和不确定的复杂控制场合。 ( 3 ) 模糊控制规律之间的非线性模糊关系本身即是一个自适应变结构非线性控制 器，对参数、干扰、工况的变化，模糊控制系统的自适应能力和鲁棒性较强。 ( 4 ) 模糊控制系统与计算机密切相关，并且由于专用开发软件和硬件的发展，模糊 控制的设计、使用、维护变得越来越简单，成本越来越低。 1 2t a k a g i s u g e n o 型模糊逻辑系统 自1 9 8 5 年t a k a g i s u g e n o 模糊模型提出1 1 5 j 以来，模糊控制理论获得了长足的发展。 首先用于非线性系统的辨识，随后被用于菲线性系统控制【1 6 1 7 l 。由于t - s 型模糊逻辑系 - 2 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 统可以方便地进行非线性系统建模和非线性控制系统设计，所以得到了广大研究者的关 注，逐渐成为了独立的模糊逻辑系统。 t - s 模糊模型的主要思想是把输入空间分成若干个模糊子空间，在每个模糊子空间 里建立关于输入输出简单线性关系模型，模糊规则的前件是用来表示模糊子空间，后 件表示在这个模糊子空间里输入输出之间的线性关系。t - s 模糊模型本质上是一种非线 性模型，它易于表达复杂非线性的动态特性，其结论部分采用线性方程式来描述，因而 便于采用传统的控制策略，设计相关的控制器和对控制系统进行分析。t s 模型是一类 特殊的模糊模型，其规则的后件采用线性集结方式，模型总的输出一般是对每条规则的 输出进行加权平均。 t - s 模糊系统的数学描述如下 r t ：玎x 1i sea n dx 2 i s f ；a n d 。a n dx 。i sf ：， t h e n ：y 一c ：+ d 工l + + c ：z 。 ( 1 1 ) 式中，e 为模糊集；c j 是真参数；石ag ，尸e ucr 8 ；r 一忸1 ，r 为模糊规 则基；y 为系统根据规则r 所得到的输出；l 一1 ，2 ，n 。 采用单点模糊化、乘积推理和中心平均加权反模糊化构成的模糊逻辑系统为 y 阱掣 荟珥k )爿j 。 或 y b ) ；荟丕n ：兰n ：卫竺! 竺! ( 1 2 ) 荟珥k ) 模糊逻辑系统( 1 2 ) j 直常称为t - s 模糊模型。 式( 1 1 ) 描述的模糊模型是一种最初的t - s 模型，这种模型的特点是局部输出是输入 的线性组合，局部模型是静态的映射关系，模型辨识比较容易。t - s 模糊模型辨识的基 本方法是将辨识过程分为两个步骤：第一个步骤是辨识模型条件部分，这包括对输入空 间的划分和一些参数的辨识，可以通过聚类分析等方法实现；第二个步骤是辨识模型结 论部分，由于结论部分是线性的，所以可以通过线性回归等方法实现。文献阻1 等对模 糊模型辨识方法进行了研究。随着研究的推进，c a o 等i m 一拍】又提出了模糊动态模型( 模 第1 章绪论东北大学硕士学位论文 糊状态方程) p j 。模糊动态模型是对最初t - s 模型的推广，其结论部分采用状态方程形 式，是一种动态映射，所以可以描述更为广泛的被控对象，也可方便地用于多变量控制 系统，这也是其主要优点。由于t - s 模糊动态模型的自身优点，其已经逐渐替代最初的 t - s 模糊模型，成为了研究的主流。本文即采用t - s 模糊动态模型作为模糊控制系统分 析和设计的基础，为了叙述方便，如无特殊说明，下文中的t - s 模糊模型即指t - s 模糊 动态模型，这也符合目前文献中大多采用的提法。 连续型t - s 模糊动态模型的一般描述为 r ：驴z l g ) i se la n d a n d 乙o ) 西瓦， t h e n ：戈o ) = 4 z o ) + e “( f ) ， f = 1 ，2 ，n ( 1 3 ) 其中，r i 表示第f 条模糊规则：z ( f ) 一【z 。( f ) ，z 。o ) 为模糊规则的前件变量；为 模糊集合；x o ) 足“为状态变量；“o ) r ”是系统的控制输入；a ；r ，ee r 分 别为系统矩阵和输入矩阵；为模糊推理规则数。它在模糊控制器的设计和模糊闭环系 统的稳定性分析方面显示出了很大的优越性。之后，c a o 基于模糊状态方程模型的模糊 系统的设计及其稳定性分析进行了深入的研究并取得了一系列成果。 t - s 模糊模型是对非线性不确定系统建模的一个重要工具，目前已经在系统辨识及 其控制中得到了广泛的应用，并形成了模糊控制领域中最重要的研究方向之一。 总之，基于t - s 模糊模型的控制方法具有如下优点： ( 1 ) 由于t - s 模糊模型的条件部分是模糊的，而结论部分是清晰的，所以系统既可 以利用专家的经验知识，又可以充分利用人们对系统已有的较为精确的认识，包括对模 型进行物理分析得到的一些信息和系统本身固有的信息，从而可以大大提高系统的建模 精度，减少系统的规则数，适合实际工程应用泌j 。 ( 2 ) t - s 模糊模型适宜于描述复杂系统的动静态特性，c a o 等在文献 2 9 。2 j 中证明了 t - s 模糊系统可以以任意精度逼近r “中致密集u 上的连续实函数。 ( 3 ) t - s 模糊模型在模糊系统和线性系统理论之间建立了联系，因此可以充分利用现 有的线性系统和非线性系统的有关理论进行系统分析和控制器设计研究，这种系统的提 出使得模糊系统的理论性得到了加强，文献【3 3 罐j 基于此系统的研究十分活跃，并已在许 多实际问题中得到了成功的应用。 1 3 模糊系统的稳定性分析和控制器设计 稳定性是系统的一个基本结构特性，稳定性问题一直是系统控制理论研究的重要课 4 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 题，因此，一开始就成为了研究的重点。而模糊模型本质上是非线性的，所以其稳定性 分析显得尤为困难。近年来，在非线性稳定性理论的基础上，模糊控制系统的稳定性分 析取得了一些进展。所采用的方法有：( 1 ) 描述函数方法；( 2 ) 圆稳定性判据方法；( 3 ) 小 增益理论法；( 4 ) 基于滑膜变结构系统的方法；( 5 ) l y a p u n o v 方法等。从模糊控制系统 稳定性分析的结果可知，最一般的方法是李亚普诺夫方法，但比较保守。对于其它一些 典型的模糊控制系统稳定性分析方法，要求对象模型确定且应满足一些连续性限制。 基于l y a p u n o v 稳定性原理，c h e n 等【3 9 4 0 j 最早提出了一个连续t - s 模糊系统稳定性 判据，其结果是寻找一个公共正定矩阵p ，满足如下矩阵不等式 彳p + 以f 0 ，f 一协， 而且有 心g d ”乩弘( z m l ，f 一1 , 2 9 , o , 9 由于反馈增益依赖系统状态，该控制器本质为非线性控制器。 并行分布补偿法进一步可以分为以下两种方法： ( 1 ) 试凑法 试凑法是最先使用的，该方法通过如下步骤完成设计： 步骤1 - 对模糊模型的每一个子系统，应用现代控制理论的方法( 极点配置、线性二 次调节器等) 分别设计局部控制器； 步骤2 ：将所设计的控制器与被控对象模型组成闭环系统； 步骤3 ：应用式( 1 4 ) 等稳定性判据判别闭环系统的稳定性，若稳定，完成设计，若 不稳定，返回步骤1 ，重新设计局部控制器。其原理如图1 2 所示。 图1 2 试凑法并行分布补偿( p d c ) 原理图 f i g1 2t h ep d cp r i n c i p l eo fc u ta n d 时m e t h o d 试凑法的缺点是无法控制设计时间，无法实现自动设计。 ( 2 ) 直接法 为了克服试凑法的缺点，后来提出了所谓直接法。其特点是，与试凑法将局部控制 器设计与稳定性检验分开进行不同，直接法通过一定的矩阵变换，将稳定性条件及其它 设计要求统一表示为线性不等式组的形式，利用l m i 计算软件直接求解，因此又称为 l m l 法。根据设计要求不同，直接法可以分为以下几种： ( a ) 稳定模糊控制器设计方法 基于稳定性判据，s u n 等伽j 将稳定模糊控制器设计问题转化为一个标准l m i 问题 6 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 可行性问题( l m if e a s i b i l i t yp r o b l e m ) 。随后，t a n a k a 、k i m 等人又提出了具有更小 保守性的模糊控制器设计方法。 佃) 具有最大衰减率下界的控制器设计方法 t a n a k a 等提出模糊控制系统( 1 3 ) 的具有最大衰减率下界的控制器设计问题可以通 过求解一个标准l m i 问题广义特征值问题( g e v p ) 来获得。 ( c ) 具有控制输入约束和输出约束的控制器设计方法。 1 4 目前存在的问题及本文的主要内容安排 t - s 模糊模型之所以被广泛地应用于非线性系统的建模和控制，其中一个重要原因 是由于其具有良好的逼近特性1 5 1 劫j ，但是在实际控制系统设计中，为了达到这种逼近性， 往往需要数量庞大的模糊规则，特别是在前提变量较多时，甚至会出现“规则爆炸现 象。为了解决这个问题，t a n g u c h i 等提出一种t - s 模糊模型简约方法l 跏5 6 j ，可以在一 定模型简约误差下，显著减少模糊规则数。进而，模型简约误差可以转化为模型不确定 性，从而可以利用鲁棒控制理论进行研究。 本文第三章，首先给出具有不确定的t - s 模糊系统描述，然后基于此模型给出一个 模糊控制器讨论t - s 模糊系统的鲁棒稳定性判据并给出详细证明，最后用仿真算例验证 所设计的模糊控制器的性能。 本文第四章，针对输出反馈控制系统，分别给出连续和离散t - s 模糊模型的模糊控 制器，讨论它们的鲁棒稳定性判据，并加以证明，最后用仿真算例验证其有效性。 由于本文的问题求解方法是基于l m i 方法 5 7 - 6 1 j 的，所以在第二章中将对l m i 作简 要说明。 7 东北大学硕士学位论文笫2 章模糊控制的数学基础 第2 章数学基础 2 1 模糊控制的数学基础 模糊控制是通过模拟人脑的模糊思维方法，从而实现对被控系统的控制。所谓模拟 人脑思维，简单地说就是先将人的实践经验用模糊语言的形式加以总结和描述，产生一 系列模糊控制规则，再通过模糊推理，将输入量变换为模糊控制输出量这样一个过程。 所有这些内容，即形成了模糊控制的基本理论和方法。在上述模糊控制过程中始终没有 离开模糊数学的支持，因此可以这样说，模糊数学是模糊控制的理论基础。 2 1 1 模糊集合 定义2 1 映射心g x 一 o ，1 】称为论域x 上的模糊子集合，记为a 。, u a g ) 称为z 相对于模糊集合彳的隶属度，心g ) 称为模糊集合的隶属函数。 由定义2 1 可知，论域x 的一个模糊集合a 完全由隶属函数心g ) 所刻画。x 对模 糊集合彳的隶属程度由儿g ) 在闭区间【o ，1 】上的取值大小来反映特别地，当心b ) 的值域 为 o ，1 时，隶属函数将变成集合x 上的特征函数，即模糊集合变成了清晰集合。因此， 模糊集合是清晰集合在概念上的拓广，清晰集合是模糊集合的一种特殊形式。 模糊集合的表示方法有多种，最基本的表示方法是将它所包含的元素及其相应的隶 属函数表示出来。它可以用如下的序偶形式来表示 彳= 戤，4 g ) ) i x x 也可表示成 哗棚黝磁徽 肛传趔，如删离散论域 【钉屯 模糊集合的运算有代数运算和逻辑运算两大类。在进行模糊集合运算时，要求参加 运算的集合的元素量要相等。 定义2 2 设彳，b 是论域x 上的两个模糊集，心仁) ，心g ) 分别为彳和b 的隶属 函数，定义并集彳u b 的隶属函数为 刖。b ) 一p b ) vp 矗b ) 一m 觚缸b ) ，p j b 汁 交集a n b 的隶属函数为 9 第2 章模糊控制的数学基础东北大学硕士学位论文 脚b ) ；j c l _ b ) a n g ) ；m i n 比 g j l 口g ) ) 彳的补集万的隶属函数为 i g ) = 1 一a 彳b ) 定义2 3 设a ，b 是两个模糊集，其论域分别为x ，y ，称积空间x x y 上的模糊 集合axb 为a 和b 的直积，其隶属函数为 i i 比a x b b ，y ) 一4 b 址b ( y ) = m i n a 一b ) ，z n ( y ) ( 1 ) 代数和：对于a 和b ，其代数和用彳+ b 表示 z a , n g ) = g ) + 丑g ) 一肛_ g k b g ) ( 2 ) 代数积：对于a 和b ，其代数积用a b 表示 , t a a b ) 一_ b k b 0 ) 2 1 2 逻辑运算 1 基本运算 ( 1 ) 模糊逻辑“补 ：p 一一1 一p ( 2 ) 模糊逻辑“取小 ：p q m i n p ，q ) ( 3 ) 模糊逻辑“取大：pvq m a x p ，q ( 4 ) 模糊逻辑蕴含 ：p _ q 一 ( 1 一p ) vq 】 1 ( 5 ) 模糊逻辑“等价”：p q = p 呻q ) ( q - p ) ( 6 ) 模糊逻辑限界积：p o q 。( p + q 一1 ) v0 一m a x p + q 一1 ，o ( 7 ) 模糊逻辑限界和：p ( g q 一( p + q ) 1 一m i n e + q ，母 2 模糊逻辑运算性质 ( 1 ) 幂等律：p vptp ，pap p ( 2 ) 交换律：p vq ；qv 尸，p q = qap ( 3 ) 结合律：pv ( q vr ) ；( pvq ) vr ，尸 ( q r ) - ( paq ) r ( q 吸收律：p vp q ) = p ，p ( pvq ) ；p ( 5 ) 分配律：pv ( qa 尺) = ( pvq ) ( p vr ) ，p ( qv 尺) ；( 尸 q ) v ( par ) ( 6 ) 双否律：p 2 ；p ( 7 ) 荻摩根律：e v q 。p 一 虿，p q - p v 万 ( 8 ) 常数运算法则：1vp 一1 ，0vp p ，1 ap = 尸，0 p 一0 1 0 东北大学硕士学位论文笫2 章模糊控制的数学基础 上述模糊逻辑运算的基本性质可以用来简化模糊逻辑函数，通过简化可以寻找到逻 辑上等价的最佳物理结构，这在模糊逻辑控制电路的设计中是很有用的。 2 1 3 模糊推理 模糊推理是模糊逻辑系统的心脏，它根据模糊系统的输入和模糊推理规则，经过模 糊关系合成等逻辑运算，得出模糊系统的输出。 定义2 4 当推理所用判断具有模糊性时，也就是在推理规则( 大前提) 和事实( 小 前提) 中含有模糊命题，称之为模糊推理，所得结论为一个新的模糊判断( 模糊命题) 。 在形式逻辑中，我们经常使用三段论式的演绎推理，即由大前提、d , f i 仃提和结论构 成的推理。比如，漂亮就是美丽，小赵很漂亮，则小赵很美丽。这种推论可以写出如下 模型 大前提：如果工是彳，则y 是口 小前提：x 是a 结论：则y 是曰 在这种推论过程中，如果大前提中的“a ”与小前提的“a 是完全一样的，则 结论必然是“b ，这即是二值逻辑的本质。在这种推理过程中，不管“a 与“b 代表什么，推理是普遍适用的。目前的计算机就是基于这种形式逻辑推理进行设计和工 作的。如果大前提中的“a 与小前提的“4 不一致，形式逻辑就无法再进行推理， 因此计算机也无法进行推理。但是在这种情况下，人是可以进行思维和推理的。 为了解决模糊推理的实现，必须首先处理以下两个问题： 问题1 ：模糊关系的生成规则：设a 是x 上的模糊集，b 是y 上的模糊集。根据模 糊推理的大前提条件，确定模糊关系r g ，y ) - “a b ”仁，y ) 。 问题2 ：模糊推理的合成规则：即由模糊关系尺b ，y ) 一“a 呻b b ，y ) 和小前提中 的模糊集4 得到y 上的模糊集b ，即8 ；a o 尺。 关于详细的推理方法在这里就不一一介绍，请参考文献【驯。 2 2 关于l m i 的几点说明 2 0 世纪7 0 年代初，w i l l e m s 首先将线性二次型最优控制问题转化为线性矩阵不等 式求解，并且建立了线性矩阵不等式与r i c c a t i 方程之间的关系。2 0 世纪8 0 年代，日。 控制问题的提出和研究，更加促进了线性矩阵不等式的研究和发展：第一是因为控制中 的许多问题由于复杂性的增加，而不可能直接给出问题求解的解析表达式，但是却可以 1 】 第2 章模糊控制的数学基础东北大学硕士学位论文 将问题转化为l m i 求解，从而可以利用现有的各种优化算法，特别是近年来发展起来 的内点算法，求得问题的唯一最优解；第二是因为在工程实际问题中，对控制系统提出 的性能指标要求可能是多方面的，利用传统的矩阵等式方程，求解系统控制问题只能得 到满足某一方面性能指标的最优唯一解。而利用l m i ，由于可以将对控制系统提出的多 目标性能指标转化为l m i 解集的多个凸约束，因此就可以很容易利用凸优化技术得到 满足不同性能指标的各个解，即得到一个解集。所以，l m i 的求解在控制系统的分析、 设计和系统辨识中扮演着一个重要的角色。 2 2 1l m i 的定义及表示 定义2 5 一个线性矩阵不等式( l m o 是具有如下形式的矩阵不等式 f b ) ；昂+ 黔p 0 ，f 一0 扣，n ( 2 1 ) 其中，工r g ，z ：，hye r 为变量：e ；e re r ，e 为给定的对称矩阵；不等 号“ 表示f g ) 为正定的，0 0u r f g - 0 ，“e r “为非零。 l m i ( 2 1 ) 表示了x 上的一个凸约束，即集合仁g ) o 为凸的。这种l m i 可代表许多 种x 上的凸约束，特别是线性不等式、凸二次不等式、矩阵范数不等式及控制理论中的 多种约束。 2 2 2 几个标准的l m i 问题 标准的l m i 问题主要有：可行性问题( l m ip r o b l e m s ) 、特征值问题 ( e i g e n v a l u e p r o b l e m s ) 、广义特征值问题( g e n e r a l i z e de i g e n v a l u ep r o b l e m s ) ，下面分别作简 要介绍。 ( 1 ) 凸规划可行性问题( l m i p ) 给定l m i f ( x ) 0 ，相关的l m i p 即为寻找可行( f e a s i b l e ) 解工，鲫，使f b 知) o ， 或者确定此l m i 为不可行的( i n f e a s i b l e ) 。 ( 2 ) 特征值问题( e v p ) 特征值问题是最小化与变量仿射相关的矩阵的最大特征值，满足一个l m i 约束( 或 确定此约束为不可行_ ) 。即 e v p ：m i n i m i z ea s u b j e c t t o m 一彳g ) o ，b g ) o 其中，彳、b 为与优化变量x 仿射相关的对称矩阵函数，a 为优化变量。此外，e v p 还 】2 东北大学硕士学位论文第2 章模糊控制的数学基础 n - - j 以作为求以f 线性函数最小值问题的等价形式 m i n i m i z ec t x s u b j e c tt o ，b ) 0 ( 3 ) 广义特征值问题( g e v p ) 广义特征值问题是最小化与变量仿射相关的一对矩阵的最大广义特征值，满足一个 l m i 约束。其一般形式为 g e v p ：m i n i m i z ea s u b j e c tt o 旭b ) 一彳g ) 0 ，b b ) 0 ，c g ) 0 其中a 、b 、c 为x 的对称放射矩阵函数。上式也可表述为 g e v p ：m i n i m i z ek ( - g lb g ) ) s u b j e c t t ob 0 ，c g ) 0 式中，k y ) 表示心一x ，y 0 的最大广义特征值，即矩阵】，2 x y 一2 的最大 特征值。此g e v p 为凸二次优化问题，因为约束为凸的，目标为凸二次的。 2 3s c h u r 补引理 定义2 6 6 2 考虑一个对称矩阵s 尺一，并将s 进行分块 s 。【s s 磊i t 耋笠1 2 】 其中s l l 是厂，维的，假定s l l 非奇异，则s 恐一s 1 t 2 ) l - 1 1 s 1 2 称为s n 在s 中的s c h u r 补。 引理2 1 【6 2 】对给定的肛维对称矩阵s2 【s s 互n 要兰】，s l le r r , 以下三个条件等价 ( 1 ) s 0 5 ( 2 ) s l l 0 ，s 恐一s l t 2 ) l - 1 1 s 1 2 0 。 ( 3 ) s 1 2 0 ，则存在矩阵p 0 ， 满足 a r p + p a + p b r 一1 b r p + q 0 的充分必要条件是 1 3 第2 章模糊控制的数学基础东北大学硕士学位论文 彳r p 三? + q 篡】 。 1 4 东北大学硕士学位论文第3 章不确定t - s 模糊系统的控制 第3 章不确定t - s 模糊系统的鲁棒控制 3 1 引言 不确定性和非线性是实际控制系统设计中必须面对的两个困难，而实际上，不确定 性和非线性在被控系统中又常常同时存在，这就更为增加了控制系统设计的难度。为了 解决不确定性和非线性问题，分别产生了鲁棒控制理论陋岱】和非线性控制理论，而当二 者同时存在时，如何解决呢? 一种方法是将系统非线性也转化为不确定性，从而将同时 含有不确定性和非线性的控制问题归结为单纯的不确定性控制问题，以便利用鲁棒控制 理论进行分析和设计。这种方法的缺点是：由于人为地增加了系统的不确定性，从而也 增加了分析和设计的保守性。另一种方法是将不确定性和非线性进行分开处理，对于非 线性，利用t - s 模糊模型进行逼近，而保留系统不确定性，这样就产生了基于不确定性 t - s 模糊模型的分析和设计问题。 以上所说，只是产生不确定性t - s 模糊模型的原因之一，另一个原因是为了模糊模 型简约的需要。正如绪论中所讲，在t - s 模糊系统建模时，可能会出现“规则爆炸现象”， 这对于模糊系统的分析和设计，特别是对于基于l m i 方法的模糊系统分析和设计极为 不利。t a n i g a c h i 提出可以通过适当地在基本t - s 模糊模型中引入不确定性来减少模糊规 则的数目，完成模型简约。 正是由于以上两方面的原因，基于不确定性t - s 模糊模型的分析和设计问题显得尤 为重要。 本章内容具体安排如下：首先，介绍了二次稳定的概念，并根据定义给出并证明系 统( 3 5 ) 大范m - 次稳定判据；其次，分别给出连续和离散不确定t - s 模糊系统模型，通 过设计的一个模糊控制器，研究系统的鲁棒稳定性判据，并加以证明；最后，通过数值 算例验证其有效性。 3 2 连续不确定t - s 模糊系统的鲁棒控制 3 2 1 连续不确定t - s 模糊模型描述 在参数不确定的t - s 模糊系统中，其连续状态的模糊规则如下 r ：矿z 。o ) s 晶a n d a n d 乙o ) i s 瓦， t h e n ：j o ) 一l 4 f + 4b p ) + ( j 哦+ 厶忍- ( f ) ，f - 0 , 1 , ，n ( 3 1 )