（地图学与地理信息系统专业论文）城镇点群空间分布特征的分维研究.pdf

摘要 摘要 地图点群的空间分布格局通常可以分为均匀分布、随机分布和集聚分布三种类型，以 分数维为分析指标的分形几何理论，为地图点群目标的空间均衡性分析提供了一种定量方 法。但是研究表明，地图点群目标的分形性质往往表现出局部的非均匀特性，因此主要以 研究对象整体分维估值为主的传统分维分析方法难以描述这种变化。本文以分形几何理论 和元分维模型作为理论基础，将元分维分析方法引入到城镇点群空间均衡特征分析中，采 用v c + + 6 o 程序开发语言，设计开发了点群元分维模型的分析模块，并利用该模块探讨了 元分维模型用于城镇点群空间均衡特征分析中的描述机理，对不同类型的点群进行局部差 异性分析和同分布格局的关联性分析。分析结果表明：元分维模型在针对地图点群的空间 分布特征研究中表现出较好的分析能力，一方面通过实验得到的元分维岛数据，可以定量 地揭示地图点群内部一定范围内子点群的空间均衡程度，弥补了传统分析方法的不足；另 一方面通过元分维值分布直方图以及剖面曲线图的分析，又可以有效地探测原始点群内部 的空间分布格局，是一种同时可兼顾不同尺度条件的扩展分维分析方法，因此，元分维可 以作为衡量地图点群空间均衡性特征的定量化指标，其研究有助于推动分形几何理论在地 理学及地图学领域的应用发展。 本文选取江苏省作为实验样区，采用2 0 0 5 年基础地理数据，对全省1 8 5 0 个城镇及街 道办的空间均衡程度进行定量测度，得出以下结论：首先，元分维指数可以用于城镇空间 均衡程度的定量描述，且其值介于o 和2 之间。空间分布越均衡的区域，元分维值越大； 反之当空间分布越不均衡时，元分维值则越小；其次，将元分维作为分析指标，初步进行 了江苏省的空间均衡程度分区实验和剖面分析，效果良好；最后，本文分析了江苏省1 3 个中心城市的元分维值分布情况，并和相应城市的城市化指数进行对比，得出两者具有较 好的一一对应关系，从而建立了基于城市化指数的元分维估算模型。本文的研究说明城镇 点群元分维模型是对分形分析方法及其应用的一种扩展，点群元分维模型可以有效地揭示 城镇点群空间分布特征的差异，从而为城镇点群目标的空间均衡特征分析提供了一个新的 思路。 关键词：城镇；点群；元分维模型；空间分布；均衡特征 i v a b s t r a c t a b s tr a c t t h es p a t i a lp a t t e r no ft h ec a r t o g r a p h i cp o i n t g r o u pi su s u a l l yd i v i d e di n t ot h r e et y p e s ，w h i c h a r ee v e nd i s t r i b u t i o n ，r a n d o md i s t r i b u t i o na n da g g r e g a t i o nd i s t r i b u t i o n f r a c t a lg e o m e t r y t h e o r y b a s e do nf r a c t a ld i m e n s i o np r o v i d e saq u a n t i t a t i v em e t h o df o rs p a t i a le v e n n e s sc h a r a c t e r i s t i c a n a l y s i so nc a r t o g r a p h i cp o i n tg r o u p b u tr e s e a r c hs h o w st h a ti np r a c t i c et h ec a r t o g r a p h i cp o i n t g r o u pu s u a l l ys h o w su n e v e n n e s sl o c a lf r a c t a lc h a r a c t e r i s t i c s ot h et r a d i t i o n a lm e t h o dm a i n l y b a s e do nw h o l ef r a c t a lc h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i sc a n h a r d l yd e s c r i b et h el o c a lo n e t h i sp a p e rp u t s f o r w a r dam e t af r a c t a ld i m e n s i o nm o d e l ( a b b r e v i a t e da sm f d m ) b a s e do nt h ee x t e n d e d a n a l y s i so ff r a c t a lg e o m e t r yt h e o r y , t h a tc a r lb ea p p l i e di n t ot h es p a t i a le v e n n e s sa n a l y s i so nt h e t o w np o i n tg r o u p t h ea n a l y s i ss o f t w a r eo ft h em f d mi s d e v e l o p e do nt h ep l a t f o r mv i s u a l s t u d i o6 0 ，w h i c hh a sd i s c u s s e dt h ed e s c r i p t i o nm e c h a n i s mo ft h ee v e n n e s sd e g r e eo ft h et o w n p o i n tg r o u pa n dh a sh a da 1 1a n a l y s i so nt h ep a r t i a ld i f f e r e n c ea n dt h er e l a t i o n s h i po ft h ep o i n t w h i c ha r ei nt h es a m ed i s t r i b u t i o np a r e m i th a sp r o v e dt h a tt h em f d m w h i c hm a k e st h ef r a c t a l m e t h o da ne x p a n s i o ns h o w sg o o da n a l y t i c a la b i l i t yf o rs p a t i a ld i s t r i b u t i o nc h a r a c t e r i s t i c so ft h e c a r t o g r a p h i cp o i n tg r o u pt h r o u g ht h ee x p e r i m e n t s o nt h eo n eh a n d ，t h ee x p e r i m e n t sr e s u l t so f m e t af r a c t a ld i m e n s i o n sc a nq u a n t i t a t i v e l yr e v e a lt h es p a t i a ld i s t r i b u t i o nc h a r a c t e r i s t i c s ，w h i c h r e m e d yt h ed e f i c i e n c yo ft h et r a d i t i o n a la n a l y t i c a lm e t h o d o nt h eo t h e rh a n d ，t h ed i s t r i b u t i o n h i s t o g r a ma n dp r o f i l ec u r v eo fm f d ，w h i c hi nt h em e a n t i m et h i n k sa b o u tm a c r o s c o p ea n d m i c r o s c o p ea n a l y s i s ，c a l lf u r t h e rd e t e c tt h ei n t e r n a ls p a t i a ld i s t r i b u t i o np a a e mo ft h e s eo r i g i n a l p o i n t s s o t h em e t h o do ft h em f d mm a yb e a d o p t e dt oa n a l y z et h es p a t i a le v e n n e s s c h a r a c t e r i s t i c so ft h ec a r t o g r a p h i cp o i n tg r o u pq u a n t i t a t i v e l ya n dt h er e s e a r c ho ft h em e t h o di s h e l p f u lt op r o m o t et h ea p p l i c a t i o no ft h ef r a c t a lg e o m e t r yt h e o r yi ng e o g r a p h ya n dc a r t o g r a p h y i nt h i sp a p e r , t h em f d mi sa p p l i e dt o m e a s u r et h es p a t i a ls t r u c t u r eo f1 ，8 5 0t o w n sa n d b l o c k sq u a n t i t a t i v e l yu s i n g2 0 0 5j i a n g s uf o u n d a t i o n a ld a t a b a s e do nm a n y e x p e r i m e n t s ，s e v e r a l c o n c l u s i o n sh a v eb e e nd r a w ni n t h i sp a p e r f i r s t l y , t h em e t af r a c t a ld i m e n s i o ni n d e xw h i c hi s b e t w e e n0a n d2c a n q u a n t i t a t i v e l yd e s c r i b et h ee v e n n e s sc h a r a c t e r i s t i c so ft h et o w np o i n tg r o u p t h eh i g h e rt h ev a l u eo ft h em e t af r a c t a l d i m e n s i o n ，t h ee v e n e rt h ed i s t r i b u t i o ni s a 1 1 d c o n v e r s e l yt h el o w e rt h ev a l u eo ft h em e t af r a c t a ld i m e n s i o n ，t h el e s se v e n e rt h ed i s t r i b u t i o ni s s e c o n d l y t h em e t af r a c t a ld i m e n s i o nc a l lb er e g a r d e da sa na n a l y t i c a li n d e xf o rp a r t i t i o n e x p e r i m e n to ft h es p a t i a le v e n n e s sd e g r e ea n dp r o f i l ea n a l y s i s ，a n dag o o de f f e c th a so b t a i n e d f i n a l l y , t h em e t af r a c t a ld i m e n s i o nh a sb e e nc o m p a r e dt ot h eu r b a n i z a t i o ni n d e x w h i c hs h o w s t h a tt h e yh a v eaw e l lc o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n s oa l le s t i m a t em o d e lo f t h em e t af 讥t a ld i m e n s i o n v a b s t r a c t h a sb e e nc o n s t r u c t e db a s e do nt h eu r b a n i z a t i o ni n d e x t h es t u d yo ft h i sp a p e rr e v e a l st h a tt h e m f d mo ft h et o w np o i n tg r o u pi sa ne x p a n s i o nt ot h ef r a c t a la n a l y s i sm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n t h em f d mo ft o w np o i n tg r o u pi se f f e c t i v et od i s c o v e rt h ev a r i a t i o no ft h el o c a ls p a t i a l d i s t r i b u t i o nc h a r a c t e r i s t i c so nac e r t a i ns c a l e ，w h i c hp r o v i d e san e wa p p r o a c hf o rt h ea n a l y s i so f t h es p a t i a le v e nc h a r a c t e r i s t i c so ft h et o w np o i n tg r o u p k e y w o r d s ：t o w n ；p o i n tg r o u p ；m e t af r a c t a ld i m e n s i o nm o d e l ( m f d m ) ；s p a t i a ld i s t r i b u t i o n ； e v e n n e s sc h a r a c t e r i s t i c s v l 图表索弓 图表索引， 图2 1 点群空间分布类型9 图2 2 滑动窗口示意图11 图2 3 元分维计算的示意图1 l 图2 4 元分维点群1 2 图2 5 元分维曲线1 2 图3 1 计盒法15 图3 2 半径计数法16 图4 1 江苏省各中心城市位置及城镇、街道办示意图2 4 图4 2 元分维模型建立的技术路线图2 5 图4 3 江苏省不同分析尺度下的元分维分层设色图( 图中括号内为滑动窗口尺寸) 2 6 图4 4 江苏城镇元分维直方图2 7 图4 5 六城市平均元分维值分布图2 9 图4 6 江苏城镇体系双对数坐标图3 0 图4 7 城镇元分维双对数坐标图31 图4 8 空间均衡程度分区结果3 2 图4 9 选择的“三横三纵”线3 3 图4 1 0 江苏省城镇点群空间分布的元分维剖面3 4 图4 1 1 不均衡指数估算模型3 6 表3 1 三点群的元分维模型分析结果2 1 表4 1 空间均衡程度分区表3 3 表4 2 江苏省1 3 个地级市平均元分维值区间分布3 5 表4 3 依据不同标准对各中心城市的分类比较3 5 i i i 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新 的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：宣茎兰签 日期： f 28 ：6 ：l 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有 权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 i i i 作者签名：焦堡拯 日 期：芝壁! ： 第一章绪论 1 1 本研究目的和意义 第一章绪论 城镇体系空间结构是一个国家或一定区域范围内经济和社会的物质实体城镇在 空间上的分布、联系及其组合状态( 杨国安，2 0 0 4 ) 。分形是探索大自然奇异性和复杂性 的有效工具之一( 林鸿益，1 9 9 2 ) ，城镇体系作为复杂的动力系统，其空间分布具有明显 的无标度性( n o n s c a l i n g ) ，显示出统计分形( s t a t i s t i cf r a c t a l ) 特征( 陈涛，1 9 9 4 ) 。城镇体 系的自相似。 生( s e l f - s i m i l a r i t y ) 意味着人文地理系统的自组织演化受到某种隐含规则的支配， 具有优化趋向，因而揭示城镇体系的分形几何特征及其支配法则有着重大的理论意义和实 践价值( 刘继生，1 9 9 9 ) 。 不考虑城镇内部的性质区别，将城镇抽象为地域空间上的一个点，以此来探讨城镇之 间的空间分布特征，并对这种分布类型形成的内在机制进行分析，是城镇体系研究的重要 内容之一。不同城镇点群在空间分布上呈现出不同的特征，同一城镇点群在局部上的空间 分布特征也各不相同。一般分形对象虽然在整体与局部上具有一定的结构自相似性，但其 性质并不都是简单的线性自相似，而是更多地表现为尺度或空间依赖性( h e r z f e l d ，1 9 9 9 ； l o n g l e y ，1 9 8 9 ) ，一旦受到不同因素的交叉影响，往往在空间形态与分布上表现出非均匀 现象，城镇点群同样如此。城镇点群的这种尺度依赖现象实际上是由推动各城镇发展的自 然环境及社会经济等因素的差异性所造成的。长期以来，城镇体系空间结构的研究多集中 于城镇体系空间分布特征的整体性描述，均难以有效地反映其内部空间均衡程度。本研究 通过对传统单一分维分析方法的扩展，采用点群的元分维模型方法( 龙毅，2 0 0 6 ) 来更进 一步地分析江苏城镇体系的空间结构。 城镇体系空间结构一向是城市地理学的研究难题，研究城镇体系结构特征及成长的动 力机制，从而今后可以制订合理的城镇体系发展对策，对促进区域经济增长、社会发展具 有十分重要的意义。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 城市地理分形研究起源 分形理论诞生于本世纪7 0 年代，在分形理论的创始过程中，m a n d e l b r o t ( 1 9 7 7 ) a d 探讨 第一章绪论 过城市位序规模分布的分数维性质。8 0 年代前期，m b a t t y ( 1 9 8 5 ) 受分形海岸线问题的 启示，研究了英国c a r d i f f 市的边界线，发现城市边界具有分形特征，并且计算了不同年份 的分形维数，借此揭示了c a r d i f f 市演化过程的许多地理信息。同年，s l a r l i n g h a u s 研究 了c h r i s t a l l e r 的中心地体系，发现中心地模型具有分形几何结构。此后，城市地理学的分 形研究日渐兴起，形成了地理学界的一股新潮。 1 2 2 城市体系分维分析的研究现状 1 2 2 1 国外研究现状 国外的城市地理分形研究主要以城市个体为对象，研究城市的形态、结构、生长、交 通和演化机制等问题( b a t t y , 1 9 9 4 ；f r a n k h o u s e r , 1 9 9 4 ) 。常见的城市形态分维大致可以分为三 类：一是边界维数，可以采用周长尺度关系和面积周长关系计算( b a t t ym ，l o n g l e yp a ，1 9 8 8 1 9 8 9 ) ；二是半径维数，可以借助密度距离关系或者面积半径标度关系计算( b a t t y m ，1 9 9 1 ；w h i t er ，e n g e l e ng ，1 9 9 3 ) ；三是网格维数，借助网格数目一尺度关系计算( b e n g u i g u i l ，c z a m a n s k id ，m a r i n o vm ，p o r t u g a l ij ，2 0 0 0 ；d ek e e r s m a e c k e rm - l ，f r a n k h a u s e rp , t h o m a si ， 2 0 0 3 ) 。 在城市体系方面，国外的分形研究目前比较薄弱，除了前述m a n d e l b r o t 的城市规模分 布研究，w o n gd 、f o t h e r i n g h a m a s 和f r a n k h o u s e rp 等( 1 9 9 3 ，1 9 9 4 ) 先后研究城市体系 的位序规模法则以及p a r e t o 分布与分维的关系。a r l i n g h a u ss l 和a r l i n g h a u sw c ( 1 9 8 9 ) 在其前期工作的基础上进一步探讨了场l o s c h 中心地体系的分形与分维。还有学者从混沌 ( c h a o s ) 动力学的角度研究城市体系，其成果也与分形有一定关系，譬如d e n d r i n o s d s ( 1 9 9 6 ) 。9 0 年代中期，b a t t y 和f r a n k h o u s e r 等分别出版了有关“分形城市”研究的理 论专著，集城市地理学分形研究之大成。此后国外的有关成果一时渐少。就在国外的分形 城市研究进入低潮之际，中国的城市地理学分形研究崛起( 刘继生，2 0 0 0 ) 。 1 2 2 2 国内研究现状 1 9 9 2 年，李后强、艾南山发表了题为具有黄金分割特征和分形性质的市场网络的 学术论文，中国城市地理分形研究肇端。随后，陈勇、陈嵘等的城市规模分布的分形研 究，陈彦光、刘继生的城市体系分形特征的初步研究等文章相继发表，至今为止， 为时十多年，中国的城市地理分形研究成果已经很多。 城市体系是国内城市地理分形研究的突出领域。在基础理论方面，陈彦光、刘继生等 第一章绪论 ( 1 9 9 4 ，1 9 9 8 ) 基于c h r i s t a l l e r 的中心地理论提出了城市体系空间结构的k o c h 雪花模型， 进而将其推广为区域城市随机分布的三角点阵模型，并给出了相应的数学描述和分维计算 公式。陈涛( 1 9 9 5 ) 运用分形理论揭示城镇体系随机聚集的数学法则和空间扩展的物理机 制，指出城镇分布的分形特征，为利用计算机模拟城镇体系的生成和演化奠定了理论基础。 陈彦光、刘继生等( 1 9 9 8 ) 证明了关于城市规模分布的d a v i s 二倍数( 2 “) 规律与三参数z i p f 模型的等价性，从而将二倍数规律推广为任意倍数( 扩) 规律，修正了c u r r y 最大熵模型， 得出城市规模分布的w e i b u l l 公式；并将众多的城市规模分布模型统一到分形模型体系之 内( 陈彦光，刘继生，1 9 9 9 ) ；提出了城市体系的q 函数，奠定了城市体系等级结构优化 的理论基础( 陈彦光，刘继生，1 9 9 8 ；陈彦光，刘明华，1 9 9 8 ) ；发展了b e c k m a n n 的异速 生长方程，给出了城市生长率与分维数之间的关系( 陈彦光，刘继生，1 9 9 6 ) ；修正了 r e i l l y c o n v e r s e 的引力公式，提出了基于互相关函数的分形城市引力模型( 陈彦光，1 9 9 9 ) ； 研究了城市人口城区面积异速生长模型标度因子的分维性质，解决了n o r d b e c k d u t t o n 的理论佯谬( 陈彦光，许秋红，1 9 9 9 ) 。陈彦光等( 2 0 0 4 ) 以城市体系和交通网络为主要对 象，借助网络结构与等级体系的数理转换关系，成功地实现了城市网络的数学抽象与模型 建设，初步形成了关于城市地理系统的新的解释体系。 在实证分析方面，陈勇、陈嵘等( 1 9 9 3 ) 研究了中国城市规模分布的分形特征。刘继生、 陈彦光等( 1 9 9 5 ，1 9 9 6 ) 研究了东北地区城市体系空间分布的分形结构以及长春地区城镇 体系异速生长的分数维性质( 陈彦光，罗静，1 9 9 7 ；陈彦光，刘继生，1 9 9 8 ) 。近年来， 很多学者对国内特定城市体系的分形特征进行了实证分析研究：杨永春( 2 0 0 1 ) 以具有国 内代表性的干旱区河西地区绿洲城镇体系为例，从城镇的规模等级结构体系、职能类型结 构体系、地域空间结构体系以及联系城镇的网络结构体系对绿洲城镇体系进行较为深入的 研究，得出绿洲城镇体系的一般特征和发展规律。宋吉涛( 2 0 0 6 ) 应用中心地理论，引入 中心性指数和分形网络维数等方法以及g i s 格网化技术，按照交通原则，即k = 4 作为参照 系，采用2 0 0 4 年基础数据，对由1 6 0 个地级市和7 0 0 多个县级市构成的2 8 个城市群及其 空间结构的稳定性进行了定量测度。伍世代( 2 0 0 7 ) 应用分形理论对福建省城镇体系进行 了规模和空间结构研究，验证了福建省城镇体系的规模分布和空间布局均符合局部的分形 特征。李文旗( 2 0 0 7 ) 通过计算兰州经济区城镇体系的首位指数、城市规模分形分布的分 维数，分析了兰州经济区城镇体系的规模等级结构特点；用关联维数分析了兰州经济区城 镇体系的空间结构，总结了目前兰州经济区城镇体系的主要特征。魏兴华( 2 0 0 7 ) 用分形 3 第一章绪论 模型对胶东半岛城镇体系的等级规模和空间结构进行分析，认为受胶东半岛丘陵地貌的影 响，城镇等级规模结构和空间结构都较分散，属于城镇体系发展阶段。谢天成( 2 0 0 8 ) 通 过计算环北部湾经济圈城镇体系的首位指数、不平衡指数及城市规模分形分布的分维数， 讨论了环北部湾经济圈城市体系的等级规模特点；用城镇密度、关联维数分析了环北部湾 经济圈城镇体系的空间结构，指出了目前城镇体系的特征。刘耀彬( 2 0 0 8 ) 利用分形方法 和断裂点模型对湖北省城市体系空间结构进行定量测度和空间的次级划分，并对其形成演 变规律进行时空分析和优化提升。张虎( 2 0 0 8 ) 利用齐夫( z i p 0 公式和关联维数对淮海经济 区城市等级规模结构、空间分布进行了研究。苏朝阳( 2 0 0 8 ) 基于分形理论对中原城市群 地区的城市等级规模结构和空间结构进行了分析和探讨。 在方法探讨方面，刘继生、陈彦光( 1 9 9 8 ，1 9 9 9 ) 先后提出并总结了一整套城市体系 空间结构和等级结构的分形维数及其测算方法，包括回转半径法、网格计数法和空间关联 函数法( 对于空间结构) 以及p a r e t o 公式法、分形结构因子( f s f ) 和信息熵替代法( 对于等 级结构) 等。陈彦光和周一星( 2 0 0 5 ) 基于城市体系的三角点阵模型提出了自组织城市网络 空间结构无标度性的数学定义和描述方法：假定区域城市是三角点阵格局上的无规分布， 构造城市两两之间的空间关联函数；只要城市关联密度与码尺之间满足幂指数关系，就表 明城市体系是无标度网络，可以用标度指数进行度量。并以河南省为研究区，对城市空间 关联进行了实证分析，发现在双对数坐标图上存在明确的无标度区，从而在揭示自组织城 市网络内在复杂规律的同时，证实了上述方法刻画无标度城市网络的有效性。 1 2 3 分维扩展的研究现状 从以上的总结中可以看出，无论是分形几何理论的理论与方法研究，还是城市体系的 分形应用，都取得了大量的研究成果，证明了分形分析方法本身的科学性及其在城市地理 领域应用的有效性。但必须指出的是，这些方法大都基于特定的研究方向或者特定的数据 格式，仍然存在着许多不足之处，从分维理论本身而言，某种类型的地图目标，仅仅适合 特定的分维或者扩展分维方法，方法选择不当，必然会引起分析结果的偏差；作为分形性 质的重要量化指标，分维数的估算已成为分形研究的关键环节和必然途径。分维估值过程 本身又包含了m a n d e l b r o t r i c h a d s o n 曲线( 双对数坐标系下的量测尺度和量测结果的关系 曲线，简称m r 曲线) 的拟合方法、无标度区间的确定等问题，不同的拟合方法，会使 m r 曲线的形状出现一定的差别，势必会影响无标度区间的确定，而无标度区间实际上是 一种自相似性程度对于分析尺度依赖性的直接表现，其确定方式不同，往往会出现结果不 4 第一章绪论 同的情况，这也就会使分形的指标一分数维出现不同的值，从而导致“同形异维 现象的 出现，即不同分布方式的两种结构具有相同分维数。日本学者高安秀树在其著作分数维 一书中认为：“分数维的维数是定量地表示自相似的随机形状和现象的最基本的量，仅利 用分维数这样一个数字去描述所有的复杂形状和现象，无论如何也是不可能的。因此， 分形方法作为分析的唯一指标是有缺憾的，因此对分形方法进行扩展是有必要的( 龙毅， 2 0 0 2 ) 。 目前，在分维扩展方法及其应用的研究主要分三个方面： ( 1 ) 引入新的参量：h e r z f e l d 和o v e r b e c k ( 1 9 9 9 ) 应用分数布朗运动模型( 毋m ) 建 立了随观测尺度变化的分形地貌形态模拟；王桥和毋河海( 1 9 9 8 ) 讨论了分形体的双参数、 三参数描述方式，从而使分形学能更灵活、有效地应用于地图目标的研究和分析。崔玉军 和付昱华等( 2 0 0 8 ) 讨论分形模型( 其中分维数d 可以是实数、变量、复数) 和分形级数建 立的外推公式，给出常维分形、变维分形、复数维分形、分形级数外推四种外推方法，并 用于台风路径预测。 ( 2 ) 扩展观测尺度的分形区间：w h a l l e y 和o r f o r d ( 1 9 8 9 ) 讨论了将l o g 1 0 9 曲线划 分为三个独立的分维问题；k a y e ( 1 9 9 4 ) 提出了织构分维与结构分维的概念及其计算方法， 并把两者是否具有一致性作为区分理想分形( 有规分形) 和统计分形( 无规分形) 的标志； 高安秀树( 1 9 9 4 ) 将分维扩展为观测尺度的函数：毋河海( 1 9 9 8 ) 进一步利用拟合的扩展 分维函数，实现了面向地图目标的织构分形、结构分形和态势分形的有效划分；龙毅( 2 0 0 2 ) 在织构、结构和态势分形划分的基础上，根据外部形态和细节复杂性程度，提出了地图目 标的r i c h a r d s o n 曲线分带模型，这既是解决传统分形学中单一分维值对空间形态描述的不 充分性问题的一个扩展方法，也是解决地图目标在非理想分形形态条件下的分形分析方法 的发展。在观测尺度r 的取值范围足够大时，地图目标的r i c h a r d s o n 曲线往往呈现反s 形 态。根据这一特点，蔡金华等( 2 0 0 6 ) 采用反s 数学模型带导数三次多项式模型拟合 r i c h a r d s o n 曲线，并根据该模型推导出分形无标度区间的计算公式，提出一种自动确定地 图目标分形无标度区的新方法。 ( 3 ) 分析地图目标的局部分形变化：龙毅和毋河海等( 2 0 0 6 ) 提出了一种基于分形 理论的元分维模型，可以用于描述地图目标的局部形态特征变化，为地图目标的进一步分 析应用提供了一个新的思路；同年，周侗等基于元分维曲面模型，提出了一种描述d e m 地形复杂度的分形分析方法，并应用于黄土地貌样区的地形分析；龙毅和王丽琴等以我国 第一章绪论 长江、黄河等7 大河流为分析对象，通过倒置的l o g i s t i c 模型拟合，建立了基于观测尺度 变化的扩展分维量算公式，并通过对河流长度变化的扩展分维尺度分析来反映河流形态存 在不同层次细节的内在原因；王丽琴等( 2 0 0 7 ) 以元分维曲线为主要研究对象，通过对其 分维扩展的尺度分析，在倒置的l o g i s t i c 模型函数拟合的基础上提出了一种自动确定滑动 窗口尺寸的定量方法，并将该方法应用到对长江河道形态特征的分析研究中。 关于城市体系的分维扩展研究，主要集中在多标度分形( 即多重分形) 研究上：陈彦 光和周一星( 2 0 0 1 ) 以河南省北部为研究区，对城镇体系空间结构的多分形性质进行了实 证研究，证明城镇体系是地球表面分形支体上发育的多标度分形系统。刘继生，陈彦光 ( 2 0 0 3 ) 进一步证明：第一，多分形是由单分形演化而来，城镇体系的多分形结构是基于 地球表面的分形支体由测度集中区向测度疏散区渐近发育的。第二，城市体系的分形发育 与水系的分维结构具有一定的数理关系，城市体系的分维理当小于水系维数。此外，c h e n ygz h o uy x ( 2 0 0 4 ) 基于三参数z i p f 模型对城市的位序规模结构进行了多重分形测度。 1 3 研究内容与论文组织 本文在总结近年来有关点群及分形几何理论研究的基础上，提出了分析城镇点群空间 分布特征的元分维模型方法，研究了城镇点群空间分布特征的元分维模型的理论基础、算 法实现以及应用分析等方面的内容。 全文共分为五章，第一章详细地介绍了城市体系分形的国内外研究进展；第二章介绍 了点群分维分析的基本理论；第三章具体介绍了城镇点群的元分维模型的算法实现；第四 章介绍了城镇点群元分维模型在江苏城镇中的应用情况；最后一章是对全文的总结以及对 城镇点群空间分布特征的分维分析模型的研究展望。 全文的主要研究内容如下： ( 1 ) 首先，论文对城市体系分形方面的研究，做出了全面的回顾及总结分析。着重 探讨了分形分析方法及其扩展模型，如元分维模型等方面的研究成果，探索基于城镇点群 的元分维模型的方法，主要涉及到分维估值方法、分析尺度的确定，滑动窗口移动方式等 方面的内容，并从城镇点群数据( 具有行政级别，将其划分为不同等级) 本身的特点出发， 建立一套适合于具有等级差异的城镇点群数据的分形分析方法，以及对建立城镇点群的分 维分析模型的可行性进行了验证分析。 ( 2 ) 本研究旨在将元分维分析方法引入到城镇点群空间均衡程度分析之中，采用 6 第一章绪论 v c + + 6 o 程序设计语言，设计开发了点群元分维模型的构建与分析模块，并利用该模块探 讨了元分维模型用于城镇点群空间均衡程度的描述机理，对不同类型的点群进行局部差异 性分析和同分布格局的关联性分析。 ( 3 ) 最后，本文采用2 0 0 5 年江苏省城镇点群基础数据，将城镇点群元分维模型应用 于该省城镇点群的研究中，实验证明元分维模型描述城镇点群空间均衡程度变化状况的合 理性，以及尝试利用元分维指数进行江苏城镇点群的自动分区试验的合理性，最后，由城 市化水平指数和相应城市元分维指数建立基于城市化水平的不均衡指数估算模型。 7 第二章点群分维分析的基本理论 第二章点群分维分析的基本理论 2 1 分形与分数维 普通的几何对象，具有整数维数，比如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体， 乃至四维的“时空”。然而从7 0 年代开始，出现了不必是整数的分数维( f r a c t a ld i m e n s i o n ， 简称分维) 的理论分形( f r a c t a l s ) ( 郝柏林，1 9 8 5 ) 。分形到目前为止还没有严格的定义， k f a l c o n n e r 对分形的集合f 的描述如下( 张济忠，1 9 9 5 ) ： ( 1 ) 具有精细的结构； ( 2 ) f 是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述； ( 3 ) f 通常具有某种自相似性，这种自相似性可以是近似的，也可能是统计意义上的； ( 4 ) f 在某种意义下的分形维数通常都大于它的拓扑维数； ( 5 ) 在多数令人感兴趣的情形下，f 以非常简单的方法定义，或许以递归过程产生。 分形原意是破碎和不规则，曼德尔布罗特用它指代“由与整体以某种方式相似的各个部 分组成的一类形体 ( m a n d e l b r o t ，1 9 8 6 ) 。这类形体具有层次结构，即层层嵌套，具有层次的 空洞和缝隙，其内部分布不均匀。具体说来分形有两个基本特征：一是无标度性，不能用长 度、面积、体积这类规则几何的特征量来描述；二是自相似性，即分形体的局部与局部、局 部与整体相似，每一个局部膨胀到一定尺度与整体的形状一样。 自然界中相当一部分地理事物的形状是极不规则的，例如凹凸不平的地表、分支众多的 水系、弯弯曲曲的海岸线等都不能用传统欧氏几何进行刻画。“分形几何是一种描述地球表 面凹凸不平的有效方法”( 格莱克，1 9 9 1 ) ，不仅自然地理景观是如此，许多人文地理现象， 如城市的生成和扩展，城市交通网络的分布，城镇点群空间分布都可以从某个角度用分形来 研究。 2 2 点群分维的定义与性质 2 2 1 点群的分类 单个地理空间中的点目标是一个没有形状、没有大小的空间图形，人们所关注的是点目 标的地理位置、自身属性和与之相关的若干信息，本文研究重点放在点群目标的空间分布特 征分析上。地图中散列的居民地、成群分布的岛屿、湖泊、沙丘，各种点状分布的专题内容 等，以及海图中特有的地理目标水深点，都包括在地图点群目标的范畴之内。 8 第二章点瓣分维分析的基本理论 地图点群在空间分布上呈现出不同的特征，内部差异也各不相同。地图点群的空间分布 格局通常可以分为均匀分布、随机分布和集聚分布三种类型( 张红，2 0 0 5 ) ，如图2 1 所示。 - - ( a ) 均匀分布点群 2 2 2 点群的分维描述 鬻装 辫篓 吩。二，7 h 0 7 ：i ：j j 一囊0 ； j 譬黪太? _ 。瞥j 飞 ：? ： 图2 1 中三种类型点群的整体与局部形态特征，均呈现出较为明显的差异。分维分析方 法可以用来描述点群目标的整体分布特征，点群的分维值反映了点群空间填充能力的大小， 其分维值大于拓扑维，但小于所占据的空间维( 刘式达，1 9 9 3 ) 。地图点群目标的分维值通 常采用改变粗视化程度的方法来计算得到( 王桥，1 9 9 8 ；k a y ebh ，1 9 9 4 ；张济忠，1 9 9 5 ) ， 即使用一定尺度的单元( 譬如d 维球或立方体) 去分解地图目标，将单元内的性质视为均匀 分布，统计有效的单元数量或者测度大小。这样，在这个尺度下，单元内的细节就会被忽略 掉；并且随着尺度的变化，单元尺度越大，忽略的细节就越多，单元数量或者测度就越小， 从而达到从更远距离、更小比例尺观察点群目标相同的效果。点群分维通常采用计盒法计算 得到的盒维数来定义，它通过一个正方形格网将点群目标区域划分成若干边长为g 的格子单 元，并计算地图目标占据的格网数n ( e ) ，改变的值重新划面并计算相应格网数，得到一组 点对序列 ，n ( e ) 。选择合理的无标度区间使得在该区间内，满足或近似满足： ( 印* 尸 2 1 通过( 1 0 9 e ，l o g n ( e ) ) 值序列的线性回归方程建立线性回归直线，计算其斜率，记为 k 。，则分维值d = 一墨，分维d 的大小反映系统要素分布的均衡度，即均衡程度，d 值越大 城镇分布越均匀；反之则分布越集中。 一个单一的点的拓扑维为0 ，但是对于点群来说，如果其均匀致密地排列并覆盖住整个 平面，此时，点群的分维值为2 。所以，当点群在2 维空间均匀分布的情况下，其分维值接 近2 ；当点群在2 维空间随机分布或集聚分布时，其分维值介于0 至2 之间。 9 第二章点群分维分析的基本理论 而同一点群密度和目标内部特征等方面依然有很大区别，以图2 1 ( c ) 为例，在同一集聚 类型的点群内部，区域a 点目标较为疏散，而区域b 则较为稠密，此点群内部在密度以及 空间分布特征上均呈现出较大的差异，这种差异性运用单一分维值方法，无法对于其某一特 定的空间位置一定区域范围内点群空间特征进行描述。本文主要基于分维扩展的需要，探讨 一种地图点群空间分布特征的局部分维分析方法。 2 3 点群的元分维模型( m f