（计算数学专业论文）板几何中一类具抽象边界条件的迁移方程.pdf

摘要 摘要 本文运用泛函分析、算子理论和半群理论等现代分析方法，研究了板几何 中一类具抽象边界条件下各向异性、连续能量、均匀介质的迁移方程，获得了 该方程相应的迁移算子a 的谱分析和迁移方程解的时间渐近行为等一系列新结 果。主要结果叙述如下： 1 算子 - b ) - 1 k 的幂在b a n a c h 空间x 。( 1 p 0 ，3 m 0 ，使得 ) 一善e 和e 印砘s 胁和恤弦，n o 其中v ( t ) 为由迁移算子a 产生的c o 半群，本征值协，如九，九+ 1 按实部递减 排列，只和4 分别表示a ( 1 sfs ，1 ) 对应的射影算子和幂零算子。 关键词：迁移方程：迁移算子：抽象边界条件：c o 半群：本征值：紧性 ， a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，w er e s e a r c ht r a n s p o r te q u a t i o n sw i t ha n i s o t r o p i c c o n t i n u o u s e n e r g yh o m o g e n e o u si n s l a bg e o m e t r yf o r a b s t r a c tb o u n d a r yc o n d i t i o n sb yt h e m e t h o d so fm o d e ma n a l y s i s ，s u c ha sf u n c t i o n a la n a l y s i s ，t h et h e o r yo fo p e r a t o ra n d t h et h e o r yo fs e m i g r o u p ，a n dw eh a v eg o tas e r i e so fn e wr e s u l t sa b o u tt h es p e c t r u m o ft h et r a n s p o r to p e r a t o raa n dt h el a r g et i m eb e h a v i o r so fs o l u t i o n s t h em a i n r e s u l t sa l es h o w e db e l o w ： 1 t h e p o w e ro f t h e o p e r a t o rq - b ) 1 k i s c o m p a c to nb a n a c hs p a c e x 。0 p 0 ， 拼 0 ，s u c ht h a t ) 一荟e 砷p 印砘s 讹扣憾k 弘， v t 0 w h e r ec o s e m i g r o u pv q ) i sg e n e r a t e db yt r a n s p o r to p e r a t o ra ，t h ee i g e n v a l u e s ，如九，九+ 1 a l eo r d e r e di ns u c haw a yt h a tt h er e a lp a r td e c r e a s e s ，弓a n d 皿d e n o t e ，r e s p e c t i v e l y , t h es p e c t r a lp r o j e c t i o na n dt h en i l p o t e n to p r a t o ra s s o c i a r e d w i t h 五( 1 s is ，1 ) k e yw o r d s ：t r a n s p o r te q u a t i o n s ；t r a n s p o r to p e r a t o r ；a b s t r a c tb o u n d a r yc o n d i t i o n ； c os e m i g r o u p ；e i g e n v a l u e s ；c o m p a c t n e s s n =k 广 8九k九m 瓢 目录 目录 第一章绪论1 第二章预备知识”4 2 ：1 空间：4 2 2 算子5 2 3 预解算子式7 第三章预备定理9 3 1 辅助定理1 1 0 3 2 辅助定理2 1 2 3 3 辅助定理3 1 5 3 4 辅助定理4 1 7 3 5 辅助定理5 2 1 3 6 辅助定理6 2 2 第四章迁移算子的谱分析2 5 4 1 等价定理2 5 4 2 算子a 的谱2 6 第五章迁移方程解的渐近稳定性3 1 5 1 准备知识3 l 5 2 在空间墨上方程解的稳定性3 2 5 3 在空间x 。上方程解的稳定性3 6 致谢”3 8 参考文献”3 9 攻读学位期间的研究成果4 2 h i l 一 ! _ 鬈 第一章绪论 第一章绪论 迁移方程是研究在大块物质中，由于粒子( 中子、辐射粒子、电子、种群 细胞等) 运动所产生的微观效应综合所致的宏观迁移现象规律的一种数学模型， 它的精确数学表示是积分一微分型的迁移方程。它涉及到物理学、化学、生物 学和社会科学等众多学科。另一方面，各类迁移方程的结构形式雷同，并在一 定的条件下可以相互渗透和转化。这说明脱离特定的对象来研究这类方程的一 般数学理论是十分重要的，仅就线性迁移方程而言，它所确定的迁移算子是一 类无界、非自伴和预解算子不紧的算子。因此，研究这类算子不仅在应用上十 分重要，而且对数学理论的发展也有着非常重要的意义。 1 9 5 5 年l e h n e r j 和w i n g q m 在文献 1 ，2 中首先对无限平行板几何中最 简单的中子迁移方程进行了研究，用p e i e r l s 积分算子的方法，对这类迁移算子 的谱进行了系统的分析，得到了该迁移算子在平面上较完整的谱分布和这类迁 移方程解的渐近展开等系统结果。 1 9 5 8 年j o r g e n s 在文献 3 中使用半群方法，讨论了有界凸体中最小速率大 于零的一般迁移方程，证明了该方程相应的迁移算子产生的c n 半群e ( 0o 苫细) 是紧的，从而利用谱映射原理得出了迁移算子的谱分析和这类迁移方程解的渐 近展开式等一系列结果。 自l e h n e r , w i n g 和j o r g e n s 的开创性研究工作以来，关于迁移方程的研究取 得了许多成果( 部分见文献 4 - 1 3 ) 。在我国以关肇直、田方增，阳名珠和朱广 田教授为核心的科研人员也从五十年代末开始了这方面的研究工作，他们在迁 移方程解的构造性理论等方面取得了许多令人瞩目的成绩( 部分见文献 1 4 - 2 3 ) 。 近年来kl a t r a c h 和m o k h t a r - k h a r r o u b i 等在假设散射裂变核所对应的积分 算子具有某种紧性的条件下，通过证明其相应的迁移算子产生的c n 半群的 d y s o n p h i l l i p s 展开式的二阶余项足( f ) 的紧性来得到该迁移方程解的渐近稳定 等结果( 部分见文献 2 4 - 3 0 ) 。 关于迁移方程解的构造性理论研究，大部分都是针对具体的边界条件，如： 零边界条件，周期边界条件，反射边界条件，积分边界条件等等。这些边界条 iill i， 第一章绪论 件所确定的边界算子h 都满足0hi l 1 ，称这些边界条件为收缩的。对于具抽象 边界条件的一般迁移方程，其中抽象边界条件既可为收缩的( 0 hi i s l ) 也可为发 散的( 0 日l l 1 ，如种群细胞增生的迁移方程等) 。因此在收缩边界条件下所使用 的p e i e r l s 积分算子等方法不再适用，这是因为无法给出p e i e r l s 积分算子和迁移 半群的解析表达式，为此采用新的方法，即抽象预解算子方法来对这类具抽象 边界条件的迁移方程解的构造性理论进行研究。于是九十年代后，出现了许多 关于具抽象边界条件的迁移方程解的构造性理论研究工作( 部分见文献 2 9 - 3 5 ) 。 1 9 9 3 年，k l a t r a c h 在文献f 2 9 1 中系统论证了板几何中具抽象边界条件 ( 0 h 忙1 ) 各向异性、单能、均匀介质迁移算子的一些紧性问题。主要结果有： 如果碰撞算子k 正则，则算子似一r ) k 、k ( a 一丁) 。1 紧。 1 9 9 4 年，kl a t r a c h 在文献1 3 0 中对于板几何中具抽象边界条件各向异性、 单能、均匀介质的迁移算子，若算子k ( z r ) 以k 分解成几个空间中算子 霉( f - - 1 , 2 , - , k ) 的复合，证明了若其中一个算子互满足l i m0 引i - 0 ，其它算子 l l m x l - , * t j ( i j ) 是有界算子，则l i ml i k ( a - t ) d ki i - - o ，但要求抽象边界算子h 是 i i i l i x t - , * 对角的( 或反对角的) 上t l l h 忙1 ，或对于0 h0 1 ，则要求边界算子h 是紧的。 1 9 9 9 年， i cl a t r a c h 和m m o r h t a r - k h a r r o u b i 在文献【3 2 1 讨论了带抽象边 界条件的各向异性、单能、均匀介质的一维s t r e a m i n g 算子的谱性质，并证明了 在厶空间中，当边界算子h 满足i i nl i 1 时，s t r e a m i n g 算子生成c o 半群。 2 0 0 0 年，kl a t r a c h 和a d e h i c i 在文献f 3 4 1 中对于板几何中具抽象边界 条件各向异性、单能、均匀介质的迁移算子，证明了若边界算子h 严格正的且 0h 忙1 ，则迁移算子产生的半群是不可约的，并讨论了迁移算子的占优本征值与 边界算子h 、积分算子k 之间的单调关系。 2 0 0 6 年，kl a t r a c h 和h m e g d i c h e 在文献【3 5 】中得到主要结果是：若边界 算子h 是正的对角( 反对角) 的，且0 hi i s l ，则迁移算子的谱在区域r 中由至 多可数个具有限代数重数的离散本征值组成及该迁移方程解的渐近稳定等结 果。 本文研究以下板几何中具抽象边界条件下各向异性、连续能量和均匀介质 的迁移方程的初边值问题： 2 专 厶 f 7 7 i 鸯 嗉 第一章绪论 o l f f ( x , v , b t , t ) = - i t 丝掣一仃。渺 ，w ，f ) o t 缸 一 幔咖f ，k ( v ，v ，咖o ，y ，f 矽； ( 1 1 ) l f ，o ，v ，j c l ，o ) = 缈。( x ，) ，妒= h 缈。) 其中妒是厚度为2 a 的平行板模型中的粒子密度函数，x 【- a ，a 】，( 0 a ) ， v 是速率，v e e = 【，v m 】( o s 0 0 ) ，卜1 1 】是粒子速度与x 轴夹角的 余弦值，函数仃d ) 和k ( v ，j l ， ，：j l i ) 分别表示总碰撞率和散射裂变核，日表示抽 象有界边界算子。假设： ( h 1 ) 口o ) 和k ( v ，j l ，1 ，弘i ) 分别表示为e 和e 卜1 , 1 x e x 一1 1 】上的有界可 测函数，且存在常数a 和k 使得 o a = e s s i n f 仃( ，) e ) ；o s k ( v ，v ，) s 七 本文的结构为：第二章预备知识，主要是定义本文所涉及的各类空间和算 子；第三章预备定理，主要是证明：l i mi i m ；t1 7 i ik ( a - r ) 1 ki i _ 0 ；第四章迁 i i r na i - - * * 移算子的谱分析，主要是讨论迁移算子a 在复平面的谱分布，得到了该迁移算 子a 的谱在右半平面仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成等一系列结 果；第五章迁移方程解的渐近稳定。 3 一咀皑陟( - a , v , t t ) n + i , v y o 眇( 刚，) l p d ) 4 各 其 数 鼍 第二章预备知识 其中表示这些空间的自然恒等，妒o = 缈? ，妒；) r ，妒= 舻：，妒：) r ， 抽象边界算子h 可以表示为： 其中 2 2 算子 h ：群呻一； 喇2 ( 乏祧0 在x p 上定义s t r e a m i n g 算子b 及积分算子k 分别为： 掣一仃( v 渺o ，w ) ； 批 旦o x 竺x j ，妒b 一妒i 以p i ，妒l 。= 妒。鬈，妒a 却。】 ( 2 1 ) k ：x p x p ，妒o ， ，) _ 正咖z 。k ( x ，y ，v ，咖 ， ，：矽j c l ： ( 2 2 ) 则迁移算子a 为： a b + k ，d ( 彳) 。d ( b ) 5 ( 2 3 ) 嘎l，一j (一(nu 婀小m 篡曩 一一一一 地似m 似吐吐 冷美 肛k 寥美 肛h ，幼 墨 硒 汀 包 丝 毖 日 h ，却 e 乏 p p r i l i i 卜 n 妒 缈 ； o 叻 毗 郇 ( 刊一批非“以“咖方，- l z 0 6 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ) ( 2 7 ) i 毫 第二章预备知识 q ：以_ 一；c x q ，：f f i 苏o 1 ) ( ) c ：驴+ 苁训( ) q 妒； ( c ：驴) 肛) 一乩p 棚“呻 驴( y ，哪渺，o 肛 1 ； ( g 伊) o ，) = f e 徘川“却 驴( y ，j “) 方，一1 九时，算子，一m ；h ：。和，一m ：q ：可逆， 7 ；n 向 1 n ，胪一r “ 允r 一等 锄 a 混瀚 川m “忙 m k 川夏 胖q 忙 驴缈何 + + d l o 2摊蝴 h 仃 一+ m m 暑 毒 o l o 2 影 8 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 第三章预备定理 第三章预备定理 为了研究迁移方程解的构造性理论即其相应的迁移算子的谱分析，需要证 明下面重要的预备定理3 1 。 定理3 1 设k 是一( 1 s p 0 ) 上一致成立。 由于证明过程较复杂，分以下6 个辅理证之。因为算子k 在x p 0 0 ，有 吼( ) ：s ，+ 。) h ! e 惭m 争 s ( 3 5 ) 由( 3 5 ) 式得o 墨吼( ) 口( ，+ ) ，设以一( ”。是几乎处处收敛于吼( ) 的非负 阶梯函数，且 定义算子4 ： 0 s l 。( ) s 吼( ) ， 6 n ， 4 ：l p ( - a ，口) 一l p ( - a ，口) ； 伊_ 4 驴。) ：= 噬吖”争小 p o ，孚砌( f ) 哪s ) 其中颤纠一) ( ) 是集合 一f ，+ ) 上的特征函数，定义算子序列( 4 一) ，： 4 讲：上尸( 一a ，口) 呻l p ( - a ，口) 驴呻4 9 0 ) ：= 住吵f 。d s e 巾“一p o o ) j i l ( y ，。x ，- t ，、t ) - 缸一，+ 。) 0 ) 3 1 辅助定理1 ( 3 6 ) 辅理3 1 对v f 0 ，v a 民，算子序列( 4 一) ，由定义在扩( 一口，口) 上的线 性算子所组成的空间上一致收敛于4 。 证明对s 0 ，有礼叫一) 0 ) = 巅x - s 一) p ) ，如果驴( 一口，口) ，则 o ( 4 一一4 砌舻= 出l 哩吖”出e 书。一p f v o ) 一吼( s ) ) d ，孚) 妒o ) 新x - s 一) o ) l ， 1 0 1j。， rjf)lj jl 卜 吃 第三章预备定理 利用h o l d e r 不等式得 i i ( a 矿4 帅s ( 2 口) q 吐出l 正d ”出e 书。一p ( 3 7 ) x l v o ) 一瓯o ) 冲( v ，孚砌o ) p i 正哆。妞_ ? ? 帅浮腆) l p p ( 3 8 ) s m 正咖l f 。凼e _ t x + x - p 矾一g ) 一吼g ) 冲p ，孚砌c t ) l p 、7 这里m - - - - i ，d - v ，由( 3 7 ) 、( 3 8 ) 式得 o ，一4 砌i i p s ( 知m ) 哆噬咖正。凼e - l x + x 。一p 仉一o ) 一吼( s ) 弘o ，孚砌o ) l ， 利用f u b i n i 定理及作变换x 一石一t 得 0 似。- a , ) 驴旷 s ( 知m ) 丘哆仁吆咖旷。出e - i x + ；, - p o o ) 一o ) 批o ，詈砌c o l s ( 2 a m f qs u p l h ( ，) r 咖啊”出g 舭 鲰纸o ) 一啪) ) ) p i l ) 旷 这说明 1 1 0 。一4 ) 旷 s ( 2 a m f ；qs u 小，) f p 丘吆咖晴”幽e 纽吼o ) 一啪) ，) ，3 9 从( 3 4 ) - - ( 3 6 ) 式得 e - 【r c “a 一p 吼o ) 一l ，。o ) s 詈e - m s 厶。，+ ) 由范数的连续性和控制收敛定理及( 3 9 ) 式知： lr，_ 1 i ml i m a r i l r c 2 , 。k l l _ 0 。 i h 计一* 关于a 吃一致地成立。由算子k ，q 。的定义知： 1 2 ，在吃上 i ，。 l 第三章预备定理 暇。k c p ( x ，y ，) = 厂( y ，肛墟咖_ d 肛死p ：幔。出p 书叫帅五。，警) o ) re l y f _ _ 。d g ( v ”，仰 一s ，v ”肛t i ) 做变换t = x 一s 得 k q 。k 驴 ，v ，) = ，p ， 呃咖t 哆f 。r i s se - i x + o r i e l , h p ：孚) 五，叫一：o ) 堰d v t d 翟p ，j c l 却o ，”，i ) 把算子图；k 分解 k q 。k ；似4 其中 4 ：上尸( 一口，口) _ x p ；妒_ 4 驴0 ) _ ( v ，) 驴o ) ， a z ：x p - - - l p ( 一口，口) ； 妒_ 4 妒 ，v ，p ) ：气正叫。g ( v ，砌o ，v ，矽 4 如前定义。显然，4 ，4 在民上一致有界，所以只需证明： l i mi i m a 川4i i p = 0 l i m x l - - - 。 在心上一致地成立。y , e h 辅理3 1 知只需证明：对所有n e n ， l i mi i m a 川4 。胪= 0 在心致地成立。令甩，伊( 一a ，a ) ，则 o4 ，妒l i p = 出i 吆吖”扭巾。一1 5 0 ( o h ( v ，专砌o ) 强川一) ( s ) i p s 丘出i 噬矾f 。缸巾。一1 5 l o 沙o ，孝砌o ) 五，删o ) i p 利用h o l d e r 不等式知： -0lr 从而 1 4 j 堕塑鱼塞型 i f ”e 一1 + 一罗p g ，v ( 5 ) c ，is j ! ! ! 。群， 注意这里用到o o ) s ( s ) s 吾，设m = 一，于是 lh na p 丘函正a 陟虻。& 书+ r 一】5 乙一。沙o ，詈) 五 。j o ) r 枷卵雌警芈咖 ( 3 1 1 ) s4am(2(m-1)supih(,)d pli m a p ( 1 - r ) 因为对v 厂f o ，1 ) ，在吃上一致有 驰燮蕊铲= 。 从上式和( 3 1 1 ) 式知，( 3 1 0 ) 式成立。 对于豳矗k 的情况，同理可证。从而辅理3 2 证毕。 3 3 辅助定理3 v 0 ，v l ，e ，定义函数仍，： 仍，：( o ，1 ) 一r ，j c l e ，q 一卜彳， 由( 3 5 ) 式知：ose 4 。r 吲彳sg e l , ( 0 , 9 ，所以孵，厶( o ，1 ) 。 对f 0 ，设( f r m ( ) ) ，倒是厶( 0 ，1 ) 上收敛于仍。，( ) 的非负递增阶梯函数。令 ( 毛k 是收敛于0 的实数列0 - 0 9 ，设函数列( e 五) ，创为 f , z ：t r 呻正州o ，) ，o ，弦- a a - - 竺 2 石l t m ) 巅一) o ) d 口俾) 这里( 。，。) 是e 【o ，1 】上的可测阶梯函数。定义函数 ：f 尺呻正西z u ( v ，) 厂o ，弦1 抽扣五o ，+ 。) q ) d 口僻) 第三章预备定理 辅理3 3v a e 吃，在口僻) 上，( e ) 蒯一致收敛于只。 证明v n e n ，有 ，f + l ， ie ， _ ei - l 正吨o ，) ，p ，j c l ) e 2 厢 f f ，一( ) 氟厶一) o ) 一仍，( ) 颤0 i + 。) ( t ) d zi ，卧“ p s 正嘣l p ，) 弛，) l e i ，一( ) 五厶，+ 。) o ) 一仍，( ) 颤o ，+ 。) ( t ) l d u 由( 3 4 ) ，( 3 5 ) 式得 i e ， 一只l s2 s u p l p ( ， ) ls u p l f ( ，) l f e d v f o e - x ( o ，+ 。) ( t ) d l a s2 m s u pl ( - ，) ls u p lf ( ， ) l f o e x ( 。，+ 。) ( t ) d l t 这里m = v m 一，再由h o l d e r 不等式得 o s f o e x ( o + 。) o ) d s 眼p 一。) ( f m 肛】 这样，由f u b i n i 定理得 正咿撕，o 矽r 出s 血p 一孙，o 彬s 石1 0 1- 【h “。 1 ， 正吖l 肛( ，) ，d ，) i e 2 朋锄，v ( ) 一m ( ) 颤一) o ) m c l s 4 州i j l ( y ，z ) f ( 唧) 伽c + 一j 1 7 第三章预备定理 j 。似：厶) g k 驴o ， ，) = 刀p ， 正咖z d 肛肛( ，t i ) 厂o ，1 ) t 撕肿叫喇m 伽卅 fd v f _ , g ( v ”，t ) 妒o ，y e p 矽” 定义下列算子 b , ：o e x , - - , f d v f _ 。g ( y ，) 妒o ，矽f ( 一口，口) b ：驴f ( 一口，口) 一正州d 彬，) 厂o ，) 正出g 蛳枷沁咖叫驴 ) 忍：y e r _ m ( v ，) q 1 则，。似：厶) a ；r = b b ：b ，显然 i i j 。似 ) g ：k 删b 3 洲b 2i i l i b , 0 g b , ，b 2 和毋都有界，因b 和岛与a 无关，所以只需证明： l i ml i r n a l ，i i 垦l i = 0 i h 讣一* 在吃上一致成立。令 只o ) = 正秒f 肛o ，) ，( y ，弘- i , t , , o ( v ) l ，t 么n a 颤。一) ( t ) d a 欲证e ( ) e l q 似) ，由h o l d e r 不等式得： i f , ( t ) l s 正咖l f p ，) ，o ，j c l 弦- 1 j + o o , ) l ，t a n 。叛。一) ( f 矽i s f e d v f f ( v ，) 彤哌l 肛o ，) 阿孙。) o ) d 】石 s i ifi i pt fo ，) re _ 泓m 。况：五。，+ 。) o ) d 】彳 1 8 jijlll一，1 - 一 所以 利用 则 这样 利用 从而 i i8 21 1 9 s f i 正“d ，) ，i ；c 1 ) e 枷p d rd t ( 3 1 3 ) 由辅理3 3 知只要证明： 陋l i 。m 叫i i m a l 矿上i 正v y o p ，) ，弦 向l t , v , n ( 矽r d t = 0 ( 3 1 4 ) - - , j , 一i + r 联合( 3 1 3 ) 式便有 l i ml i m a , 川吃i i - o j h n a 卜+ * 在吃上一致成立。下面证明( 3 1 4 ) 式成立。 对锄， o ，r e o ，1 ) 有，一( ) s 仍，( 肛) 。若f ( ，+ ) ，l ，e ，显然 1 9 l l i 1 | i 弋 第三章预备定理 t 。( ) ：【0 , 1 】呻r ，h 0 ，a ) f ( v ，) f f ，一( 肛) 是简单函数，设( 以l 。是其支撑集上的划分，且满足对v f 1 ，2 ，m - 1 ，当 p - 1 u i ，胜+ 1 ) 时，有 所以 ，一( j 1 ) 一，一( 儿) ， i 正吲o ，) 厂p ，弦 厢，一( 矽肛l = i 正嘣t 朋 弘d i ；眇m - 1 t m ( 触垅“e 书“ 彳d 肛i 涨邺i ( ) i 艺l 肛n “鼍彳d i 其中1 ，( 。，) 2 ( 。，。) ，( 。，) ，然后做变换；。，由上面不等式得 l 正吨( y ，) 厂p ，弘 2 朋m 似矽i 1- l “詈 批州i ( ，) im 荟- 1 l 嚣e 一一锄引 舶i ( ，) i 静忐f n “号k 】磐i s 渊r 扩a - i “r 专l 丘+ , _ e - l z + z - 争i 。占ia + a 一号l 白。 这说明 i 正硝厂咻小。 钆( 胖磊2 ( 鬲m - 1 ) 厕m s u piv ( , ) l p 训 几硝加，( y ，咖小“鼍钆( 胁bs 嘉( 塾掣y l 一 弋 呱a 刮= i 正叫高弛如弦小“鼍么 饵m 似) 麓，叫o ) 一仍，似) 颤。一) o ) m i s 正以i 南m 黼训p 恤m 鼍彳 l ，o , ) x c 厶，+ 。) ( f ) 一仍，( ) 强o ，+ 。) o ) id 2 1 第三章预备定理 可设，( ，垤( ，) n e x 0 , 1 】c e x 5 ，1 】，0 0 ，r e o ，1 ) 有m 似) s 够，似) 。若f ( ，+ ) v e e 显然七，m ( ) ：【0 ，1 1 - r ，c l 卜f ( v ，u ) g o , ，) m ( ) ，是简单函数，设( 以) ，五。是其 支撑集上的划分，且满足对他2 ，朋一母，当【以，雎+ ，) 时，有 屯，一( j c l ) 一t ，v 一( 段) 所以 i 正州南胞础咻巾“鼍砭一胁i s 昙lc 咖以一( 弘小“号彳d ul s 言l 正叫也m ( 弘 s 扎咖黔舷铲小“号肛i s 了ms u p i 七( ，) i 萋l r “e - 【“ 么d l 其中七( ，) ；( ，) 厂( ，) ，后面类似辅理3 4 可证。 下面证明定理3 1 。 证明由辅理3 4 和辅理3 6 得：v n ，厂【o ，1 ) ， 第三章预备定理 l i mii m xl i ik b ；h 。：似：日。：) ”g ；ki i = 0 ( 3 1 5 ) i i m a - - - a , 在吃上一致成立。类似可证： l i mli m a r l ik b ；h ：，似：日：。) “何ki i = 0 ( 3 1 6 ) 1 1 n 1 2 卜。 在兄上一致成立。由( 3 2 ) 式、( 3 3 ) 式、( 3 1 5 ) 式、( 3 1 6 ) 式及辅理3 2 可得 定理3 1 。 假设( 也) ：h 具有形式( 1 日0 ：) ，这里q - 。口+ 厶，日砣2 口j ：+ 肚：， 口，t i e r + ，j 1 、j 2 是紧的， 厶：x 品一一，1 “( 一a ， ，z ) - - , 1 u ( 一a ， ，一) l 2 ：x ；，2 呻x 帕t u ( a ， ，u ) - * l 2 u ( a ， ，一) 对于假设( 日，) ，类似可证定理3 1 成立。 二 在本 面的 4 1 其中 即 第四章迁移算子的谱分析 l g p ( ( 2 - b p ) 以k ) 且其对应的特征子空间相同。 充分性同理可证。 2 由关系式a 一4 一a 一髟一k = q 一毋) 【，一 一巳) 4 q 即可得。 4 2 算子a 的谱 定理4 2 设k 是x 。( 1 s p 0 ，则集合a ( a ) n r g ，从而0 ) n g o 有限： 3 、如果 0 ，则对于充分大的ii m ai ，l i ( a 一么) 。10 在心上一致有界。 证明 1 、设r e a 九，因为算子【( a ，一b ) 以k 】2 在x ，上是紧的，所以根据g o h b e r g - k r e i n 定理和谱映象定理知：迁移算子a 在带域p 似) 内由至多可数个具有限代 数重数的离散本征值所组成。 2 、因为当r e a 九时， 一b ) - 1 k 为有界正算子。又当卢= r e a 0 k 0 + 九 时，有 0 ( 一曰) - 1 k0 m m a x iki i - a ，九】- 时，- a ) 以为有界正算子。则由谱映 象原理知：；万与，肛盯( 。) ) 营a 口。) ，其中) = 够一4 ) 一。因为 ( 一彳) 一1 为有界正算子，则厂( 哗即) ) 咋( 彤似”，所以a = 声一i 丽1 - ) ， 其中 m ，允 n = 聊f 聍 i i k 0 一a ，九) ，所v ( a ) n r 乒f 2 j 。 设日a q 一纬) k ，0 q 1 。由定理3 1 ( rs o ) 知 所以 从而存在 利用 再由 这样存在 于是 所以 由前述1 知：似) n 吃有限。 3 、若a g ，则 ( i - h x ) 2 磊叫 第四章迁移算子的谱分析 由等式似一彳) 一= 【，一( a b ) - 1 k 】1 一曰) - 1 得：对a g ， ( a - a ) 2 善叫( a b ) ， 另一方面，蜘，劫，q ，使得刀= 2 p + 日，0 s 口 2 ，于是由0 日；l i sc l 1 ，得 荟1 2 到日川i s 到硎叫2 酽 o 钾2 s m a x ( 1 , 1 1 日b 荟o h 刘2i ，jm a x n o 日b 云百! 南- 声：6l _ s m a x 1 , 0 以i i 上一c | 设一a ，由半群理论知：3 m ( m i ) ，s 1 对a ：r e a 苫，有 v ae g ，有 一b ) s 掣， 一 i l ( ，一以) 一， 1 sm a x l , 坐剑掣 三。c 3 ( ) ， 一g o 1 一g 由上面两个式子得到：v - , e g ，有 l l ( z 一彳) 一i i s 坐坐掣= c 4 ( ) 一 定理4 3 设k 是x 。( 1 s p 九，k 是紧的，则有q b ，) 。1 k 在x ，( p g + ”上紧， 在墨上弱紧，更有对p 乏1 ，由( 2 9 ) 式、( 2 1 0 ) 式和( 3 1 ) 式知 ( a b ，) 以k = q 一置) 1 。另一方面，在x p 上b ，生成一强连续半群，所以当 r e a 0 0 时，有 j， 7 1 ， 第四章迁移算子的谱分析 l i ( z - q ) 以忙o ， 从而当r e z 呻时，有 i i 一彤) 。1 k i i i i ( a - 以) 。1l i | l k0 _ o ， 这说明，对于实部充分大的a ，有r o ( ( z b p ) 1 k ) 1 ， ( ，- ( z 一吃) d k ) 以作为r 上的算子值函数是退化的( ( ，一 一b ，) 。1 k ) 。1 在r s ， 解析，s p 由离散点组成，且这些点是有限次极点，如果a e s p ，则 q 一曰，) 。1 脚一缈有非平凡解，即1 是似一b ，) 4 k 的本征值) 。注意，当1 0 ，使得扣c ：0 l a t ，b 6 n p ) = g ，则 11 只，p2 荔叫。p 一4 ) d v 相应地，对每个a p ) - - p ( 4 ) ，有 只，p2 只，- 阻， ( 3 1 7 ) 设fe x p ，在c o ( ( - a ，口) ( 一1 ，1 ) ) 上存在一列( 六) 。e ，使得在x p 上，当刀呻 时，有一厂。因为只，p 是x p 上的有界算子，所以在x p 上，当，l _ 时，有 只，p 无呻只，p f ，这说明只，p ( c o ( ( - a ，口) ( 一1 ，1 ) ) ) 是尺( 只，p ) ( 只，p 的值域) 的稠密 k l_hl 第四章迁移算子的谱分析 子集。当a s ；p 似，) 时，r ( p x ，p ) 在x p 上是有限维的，所以对p 苫1 ，有 尺( 只，p ) = 只，p ( c o ( ( 一口，口) ( 一1 ，1 ) ) ) ( 3 1 8 ) 由( 3 1 7 ) 式和( 3 1 8 ) 式得：x tp a l ，尺( 只，p ) - n ( p 。，。) 和a p ) 一p ) 。 又对每个k 苫0 ，有 所以有 k e r ( a - a p ) 】r ( 只，p ) = r ( 只，) k e r ( x - 4 ) 】r ( 只，1 ) - r ( p a ，p ) k e r ( a - a p ) 】= k e r ( a - a 1 ) 】墨n 置- x ， 第五章迁移方程解的渐近稳定性 第五章迁移方程解的渐近稳定性 本章主要是给迁移方程的初边值问题( 1 1 ) 解的渐近稳定性等结果。为此首 先是作些相关准备；其次是在空间x 。中证明该迁移方程的初边值问题( 1 1 ) 解 的渐近估计；最后在空间e ( 1 s p 0 0 ) 中证明该迁移方程的初边值问题( 1 1 ) 解的渐近稳定性。 5 1 准备知识 如果边界算子h 满足0 日l i i 或i ihi i = l ，则算子b 在x p ( p2 1 ) 上生成c o 半群u o ) o 苫0 ) ( 见文献 9 ) 。另一方面，因算子k 有界，由扰动定理( 文献 3 9 ) 知：a = b + k 在x p ( p 1 ) 上生成c o o ) 半群y o 沧0 ) ，且其d y s o n p h i l l i p s 展 开式为 y ( t ) - - 嘉啪m 这里u o ( f ) 。u o ) ，u a t ) = f o u ( s ) k u o s ) 出，j = 1 ，2 ，n 阶余项r o ) 为 r ( f ) 2 f $ 1 + 耐西：。v ( s - ) k u o n ) o 一墨一s n ) 出t 帆， 众所周知：对任意初始