（计算数学专业论文）cahnhilliard方程的大时间步长方法的稳定性分析.pdf

c a h n h i l l i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 摘要 在建立相分离模型的研究中，c a h n h i l l i a r d 方程被提出并用来分析二元合 金的淬炼1 ，2 1 但该方程具有很强的非线陛性质，在用数值方法进行计算时，具 有一定的难度本文的日的，就是要构造和分析关于c a l m h i l l i a r d 方程的高稳 定的时间离散格式主要思想，就是在经典逼近格式上增加个与时间离散格式 阶数相一致的项( 文中称为“a 一项”) ，从而增强计算的稳定性这一思想由x u 和t a n g 在 3 】中首先提出，并很好地运用在了分析分子束外延生长( m b e ) 问 题上 对于本文所研究的周期性问题，空间的离散上我们采用f o u r i e r 谱逼近出 于稳定性考虑，我们将采用隐式处理的方法来处理四阶项特别地，我们将在本 文中采取个与f 3 】中所介绍的方法相类似的一个特殊技巧，以增加计算格式所 允许的稳定的时间步长 本文的研究可看作文 4 和 3 工作的继续它构造和分析了比经典时问离 散所允许的步长大得多的时间迭代格式对于所构造格式的稳定性分析，我们是 通过能量估计来进行的本文证明了当适当选择4 一项的大小时，能量保持随时 间衰减的性质 本文的主要内容是：首先，提供一阶格式的当4 一项取得足够大时绝对稳定 性的与【4 不同的证明方法其次，提出与h e 等【4 格式不同的一个二阶格式， 其不同之处在于非线 生项的处理中我们使用了不同的组合方式这一变化使得我 们可以得到与m b e 模型f 3 1 中形式上相似的一个弱形式的能量不等式最后， 本文通过一系列的数值试验来证实我们理论部分的结论 关键词：c a h n h i l l i a r d 方程；高稳定时间格式；f o u r i e r 谱方法 c a h n h i n i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 i v a b s t r a c t t h et h e o r yo ft h ec a h n h i l l i a r d ( c h ) h a sb e e ns t u d i e df o rd e c a d e s 1 ，2 h o w e v e r ，b o t ht h ef o u r t ha n dt h en o n l i n e a rt e r mm a k et h ec he q u a t i o ns t i f f a n dd i f f i c u l tt os o l v en u m e r i c a l l y f o rt h es p a t i a ld i s c r e t i z a t i o n ，f i n i t ee l e m e n t s c h e m e sh a v eb e e ns t u d i e db y , a m o n go t h e r s ，b a r r e t te ta 1 5 e l l i o t te ta 1 6 ，7 a n df e n ge ta 1 【8 1 t h e r eh a sb e e na l s o f i n i t ed i f f e r e n c ea p p r o a c h e s 9 ， 1 0 ，1 1 f o u r i e rs p e c t r a lm e t h o d sh a v eb e e nu s e db yz h u e ta 1 1 2 】a n dh ee t a 1 4 f o rt h ec he q u a t i o nw i t ht h ep e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h i sp a p e rf o l l o w st h ew o r ko f 【4 】a n d 【3 1t h ei d e ap r o p o s e db yx ua n d t a n gf o rt h em o l e c u l a rb e a me p i t a x ys i m u l a t i o na l l o w sr a n c hl a r g e rt i m es t e p t h a nt h ee l a s s i c a lt i m ed i s e r e t i z a t i o n s i nt h i sw o r k w ew i l lu s et h i st r i c k t o w a r d sc he q u a t i o n p r e c i s e l y , i no r d e rt os t a b i l i z et h ec a l c u l a t i o n s ，a ne x t r a t e r m w h i c hi sc o n s i s t e n tw i t ht h eo r d e ro ft h et i m ed i s c r e t i z a t i o n i sa d d e dt o t h ec l a s s i c a la p p r o a c h e s f o rd i s c r e t i z a t i o ni ns p a c e ，w e i l l | l s et h ef o u r i e rs p e c t r a la p p l o a c h a sf o rs t a b i l i t yr e a s o n ，t h ei m p l i c i ti t e a tx x l e x l lf o xt i l ef o u r t ho r d e rt e r m si s e m p l o y e d t h es t a b i l i t yp r o p e r t i e so ft h ec o l l s t l u c t e ds c h e m e sa l ei n v e s t i g a t e d u s i n ga ne n e r g ye s t i m a t i o n i ti sp r o v e l xt h a tt h ed e c a y o fe n e r g yi sp r e s e r v e d p r o v i d e dt h em a g n i t u d eo ft h ea d d e dt e r mi sc h o s e ns u i t a b l y t h em a i nc o n t r i b u t i o no fo u rw o x ki sa sf o l l o w s ：f i r s t 、ep r o v i d ea l la t t e r n a t i v ep r o o ff o rt h ea b s o l u t es t a b i l i t yo ft i l ef i r s to r d e rs c h e m eu n d e ra s s u m p t i o n t l l a tt h ea m p l i t u d eo ft h ea d d i t i o n a l “a t e r m ”i st a k e nt , ob el a r g ee n o u g h s e c o n d ，w ep r o p o s eas e c o n do r d e rs c h e m e ，d i f f e r i n gf r o mt h eo n eu s e db yh e e ta 1 4 w ea r eg o i n gt os e et h a ta s l i g h tc h a n g ea l l o w su st od e r i v ea w e a k e n e r g yi n e q u a l i t y ，s i m i l a rt ot h a tf o rt h em b em o d e lf 3 f i n a l l y , w ep e r f o r m as e r i e so fn u m e r i c a lt e s t st oc o n f i r mo u rc l a i h i k e yw o r d s ：c a h n h i l l i a r de q u a t i o n ；h i g h l ys t a b l et i m e s t e p p i n gs c h e m e ； f o u r i e rs p e c t r a lm e t h o d 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的 研究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研 究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担 由此论文而产生的权利和责任。 声明人( 签名) ：娴葶 ，年5 月专日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定。厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用 本规定。 本学位论文属于 1 、保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( 。 ( 请在以上相应括号内打“ ”) 作者签名：御手 导师签名： 日期：扣年，月3 日 日期：年月日 c a l m h i l l i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 第一节引言 1 1 谱方法背景 偏微分方程的数值求解般有三种基本方法：差分方法、有限元方法和谱方 法谱方法在近年来获得了迅速发展，它是求解弱形式下偏微分方程近似解的重 要的数值方法它与前两者之间的最大差别就在于它是用整体无限光滑的函数作 为试验函数进行数值逼近的 谱方法最为突出的优点在于它具有所谓的“无穷阶”收敛，即如果原方程的 精确解无限光滑，那么用适当的谱方法所求得的数值解将以_ 1 的任意次幂的 速度收敛于精确解( 为空间逼近参数) ，且收敛速度陕这优点是有限差分法 和有限元法所无法比拟的 其实，谱方法从产生至今已有很长的历史，但是直到7 0 年代初，快速f o r e i e r 变换( f f t ) 1 3 l 的引入，才使谱方法得到了进一步的发展其间出现了不少研究 周期谱方法计算、应用和算法的稳定性方面的工作，如k r e i s s 和o r s z a g 等f 1 4 1 5 1 到了8 0 年代，q u a r t e r o n i 、c a n u t o 、g u o 和m a d a y 等人对谱方法从 理论上做了系统研究，对备类投影算子及插值算子导出了在各种范数意义下的误 差估计，并将其应用到一系列线 生和非线性偏微分方n _ k ，取得了很好的结果 同时，大量的实际计算也证明了谱方法的确是一种有效的数值计算方法 正是由于谱方法的众多优点，目前它已被广泛运用于流体力学、量子力学、 天气预报等科学和工程计算领域参见f 1 6 1 7 ，1 8l9 ， 1 2 研究目的与意义 关于相分离动力学的理论研究已经长达数十年之久在这领域的理论研究 中出现了相当多的模型其中之一，就是基于c a h n h i l l i a r d ( c h ) 方程的模型( 参 见 1 ，2 ) c a h n 和h i l l i a r d 的这两篇文章发展了漫射分界面的理论基础同时， 这一理论的应用更进一步地推导了个临界状态的原子核的性质 2 0 】最初提出 c h 理论只是为了给二元合金的淬炼建立模型，但是，它却在以后的研究中被用 c e d m t t i l l i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 2 在很多其他物理现象中进行建模例如：s p i n o d a l 分解问题，相分离问题，以及 相排序动力学问题等 由于c h 方程的实际意义，对它的研究长期以来一直受到众多学者的重视 然而该方程具有很强的非线性性质，并且在用数值方法进行计算时，随着问题维 数的增加，求解的难度也随之大大提高本文研究的主要目的，就是要提供有效 的数值格式来求解c h 方程首先给定q = ( 0 ，l ) 8 ，l 0 ，d 曼3 ，t 0 ，并考 虑形式为如下的c h 方程： ， i 趾= ( 一n a u + ，( u ) ) ( x t ) q ( 0 t i ： 札( ，t ) 是以三为周期的函数，v t ( 0 r ； ( 1 1 ) lu ( x ，0 ) = ( x ) ，x q ， 、 其中 s ( - ) = u ( u 2 1 ) ( 1 2 ) 这里，“。表示鬻，而i t o 则表示个适当的初始值注意到在( 1 2 ) 中所给出的 f 是在“= 土1 处取得整体极小值0 的一个光滑函数的微分即 1 令f ( u ) = 专( “2 一1 ) 2 则，( u ) = f 。( h ) ( 1 3 ) 在方程( 1 1 ) 中，“是指合金混合物中两种金属材料之一的浓度在周期 性条件下，合金与容器壁之问不存在相互作用这时，由热力学原理，我们可以 得知：混合物的“自由能量“随着时间呈衰减趋势一般地，反应过程会不断发 展，最后将达到个稳定的状态，此时与之相联系的能量泛函极小 在上式中，线性项是引起常数解在t t = 0 附近不稳定的重要原因同时， 非线陛项则起到了稳定的作用这里的系数k 与两个不同相的区域的分界面的大 小有关，该常数通常是非常小的个理想的空间离散要求能够精确地分解分界 面，因此通常需要很高的空间分辨率所以，对于个标准的显式或半隐格式， 我们常常不得不使用非常小的时间步长来满足计算稳定性的要求 正如本文之前所提到的( 参见【1 0 ，2 1 ) ，c h 方程中四阶项与非线性项的存 在，使得该方程具有较强的非线性性质，难以运用传统的数值方法进行求解对于 空间的离散，前人已用有限元方法进行过研究其中，包括b a r r e t t 等卧e l l i o t t c a h n - h i l l i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 3 等 6 ，7 】以及f e n g 等【8 】同时，有限差分逼近方法也曾被使用过( 参见f 9 ，1 0 ， 1 1 1 ) 而对于具有周期性边界条件的c h 方程，z h u 等 12 和h e 等 4 均采用 了f o u r i e r 谱方法来进行研究 然而，对于非线性项的显式处理通常会引起对时间步长的严格的稳定性约束， 特别是当k 较小时在这种情况下，想要进行长时间模拟是不现实的为了能放 宽这类问题的限制条件， z h u 等 12 ，x u 等 3 1 ，以及h e 等 4 提出了一种高 稳定性的半隐差分f o u r i e r 谱方法用来求解c h 方程和m b e 模型该方法的 主要思想是，通过在常规的半隐格式上增加个添加项，来增强算法的稳定性， 使得在数值试验中可以使用较大的时间步长他们的稳定性分析是通过能量估计 来进行的本文中也将继续采用这种思想 首先，在处理时间离散的问题时，我们考虑使用半隐式格式，即；对于方程 ( 1 1 ) 中的四阶项，我们采用隐式处理以减弱针对时间步长的稳定性约束条件；非 线性二阶项则采用显式处理，以避免在每一个时间步中都必须求解一个非线性方 程 对于非线陛项使用显式处理方法还有一个很重要的原因，那就是这样的处理 使得我们可以使用f f t 方法如前所述，正是由于f f t 这一方法的出现及发 展，f o u r i e r 谱方法才越来越成为解决周斯陛问题最有效的逼近方法之一由于 本文所考虑的是周期性问题，很自然地，在空间的离散上我们希望使用f o u r i e r 谱 逼近方法 本文的研究是继续 4 】和 3 】两篇文章的工作来进行的而本文所做的工作 主要有如下些： 首先，本文提供了个对于一阶格式当a 一项取得足够大时绝对稳定性的与 4 1 不同的证明力怯 其次，在文章中还提出了与h e 等4 1 提出的格式不同的一个二阶格式，对 于非缵 生项的处理在这里使用了不同的组合方式我们将可以看到，这一变化使 得我们可以得到与m b e 模型f 3 中形式上相似的个弱形式的能量不等式 最后，本文通过一系列的数值试验来证实我们理论分析得到的结论 c a h n 。h i l l i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 4 第二节一阶时间离散的稳定性分析 在c h 方程的实际应用中，我们常常需要在较大的区域和较长的时间上进行 计算之所以选择这样的计算区域和积分时间，是因为我们需要取得足够多的统 计信息，并使得边界条件和初始条件的影响最小化 对于这类问题，我们希望构造高稳定和高精度的数值方法来进行数值模拟 首先，我们考虑经典的一阶半隐格式这一格式，是由对“。使用一阶向后 差分( b d ) 同时对非线性项使用一阶外插法( e p ) 而得到的 j 挈- 一a 2 u + 1 + a f ( u 创，( 2 1 ) 【u 。= 钍。， 其中u “i 矿x ) 是u ( x ，t ) 在t = t ”处的逼近 我们希望对于( 2 1 ) 式中的四阶项的隐式处理能够放宽加在时间步长上的限 制需要特别指出的是，在f o u r i e r 谱方法中，对于该四阶项的隐式处理不会增 加计算的复杂程度，因为这里的四阶项是完全线性的在数值试验中，我们还证 实了当x 取值较小的时候，格式( 2 1 ) 无法使用较大的时问步长+ 为了克服这一不足，我们在格式( 2 1 ) 中加上一项o ( x t ) 这样，我们就得 到了如下的一个新的格式：( b d l e p l ) j 兰二：芸孑旦= a ( “+ 1 一“”) 一“2 “”+ 1 + ，( “) n2 o ( 2 2 ) i “o = o ， 其中，a 是一个待定的正常数它的确定，我们将在后面提出增加这一项的目 的，就在于改进原格式的稳定性，使得我们的计算可以采用较大的时间步长我 们将在这一节中从理论角度证明这个结论，数据结果的验证放在最后一节 为了研究( 2 2 ) 的稳定陛，我们使用离散的能量估计方法为此，首先给出 如下的结论( 参见 2 2 】) 该定理及其证明是前人已有的成果，并不复杂但在这 里，为了读者的方便，我们仍将简述这一结论的证明过程 引理1 如果“( x ，t ) 是方程似纠的1 啷 ，则有如下的能量不等式成立 e ( t ) e ( o ) ，v t20 ，( 2 3 ) c a h n h i l l i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 5 其中，e ( t ) 由下式给出 耶) = a ；i v “n 即m x ， ( 2 4 ) f ( “) 由一彰式定义 证明：由( 1 1 ) 式可知，对于任意属于三2 ( q ) 的函数妒，有如下等式成立 ( t “，妒) = ( ( 一托“+ ，( 狂) ) ，妒) ，( 2 5 ) 其中( ，) 表示l 2 空间中的标准内积 在( 2 5 ) 式中令妒= 一k u + ，( u ) ，则 ( “t ，一片札+ ，( “) ) = ( ( 一k “+ 厂( “) ) ，一k a u + ，( u ) ) 接下来进行分部积分由于“的周期性，可得 圪( v u t ，v u ) + i t f 、，( “) ) = 一( v ( 一a - a u + ，( u ) ) v ( 一h a u + ，( ) ) ) 利用( 1 3 ) 式，可知 ；爰上l v “1 2 ( f x 十蔫上f ( f ) d x = - z l v ( - 一, - a u + ，( f ) ) 1 2 ( f x 。 由( 2 4 ) 式中e ( t ) 的定义，有 面d 球) o 成立证毕 口 引理2 1 说明能量随着方程解的发展而衰减 接下来，我们要证明只要选择适当的a ，对于( 2 2 ) 的半离散解，能量随时 间衰减的性质仍然可以得到保持 下面的记号将在我们的稳定性分析中用到首先，定义 h 1 ( q ) ：= ( h ( q ) ) 7 ，即h ( q ) 的对偶空间， 蜥( q ) ：= w h 一( n ) ；( 鲫，1 ) ，= o ) ， c a l m h i n i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析6 其中r 0 ，( ，) ，表示h 1 ( q ) 和( n ) 的对偶积特别地，令瑞( q ) ：= u 2 ( q ) 对于口l 2 0 ( f 2 ) ，记一- 1 口：= ，其中，“为下述问题的解：求“ 日1 ( q ) n 瑶) ，使其满足如下条件： f 一u = ”j 礼q ， 1 札是以l 为周期的函数i n q 一f 1 在一些论著( 参见 2 3 ”中被称为逆拉普拉斯算子( i n v e r s el a p l a c i a n ) 其实，已被证明当考虑带有周期性边界条件的矩形区域i 2 时，对于任意的 l g ( n ) ，有一一1 h 2 ( q ) 在完成了以上准备工作之后，我们现在来证明形式上与连续情况相似的离散 情况的能量不等式需要指出的是，h e 等 4 】使用了不同的证明方法，得到了 与下面的定理相一致的结论 定理1 若偿剀中的常数a 足够大，贝有下列能量不等式成立 e ”1 e ”vn 0 ( 2 6 ) 其中 ”= ；l i v 训2 + ：眦矿) 2 1 旷 ( 2 7 ) “”是f 22 j 的一个解，| 1 表示标准的驴范数 证明： 首先，由( 2 2 ) 式可知，对于任意h 2 ( q ) 中的函数，有 壶( 矿“一u ”f ) 一a ( ( u “一“”) 一妒) + ( 一2 “”“一，( u “) ，妒) = 0 ( 2 8 ) 在这里，令妒= 一a - 1 文矿其中盈“：= 泸+ 1 一u ”，那么 j 1 + 如+ 3 = 0 ，( 2 9 ) c a h n - b i l l i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 7 其中，等式左边三项分别有如下表示： 厶：= a 1 t 。u n - 一1 魂“”) ( 2 1 0 ) 2 剖v 1 磊”“悒 如：= 一a ( 民“”，一a 。1 文“)( 2 i i ) ，如分别是 以及 a ( 5 t u “，文矿) a i l 6 r “限 ( k 2 ”1 一a f ( u “) ，- - a 一盈u “)( 2 1 2 ) ( k “”+ 1 一，( “) ，一西钍“) j 1 + 如， j ，：= 一( “”1 ，一也) 、如：= ( ，( u ”) 讪”) 现在，我们来处理非线陛项厶 通过如下分解1 + 1 = 旦：二；芷+ 旦! 二；芷我们得到 一( a u “矾“) ( 2 1 3 ) 一( v “”1v 跏”) ；| i v 州肛扣洲i i + 扣4 “”n j 2 ：= ，( “”) ，文“) = ( 乱”( ( u “) 2 1 ) ，钍”+ 1 狂”) = ( ) 2 - - 1 ，( 竿一竿) ( u n + l - - “n ) ) = ；( ( ”) 2 1 ，( 札“+ 1 ) 2 一( “”) 2 ) 一互1 ( ( “) 2 1 ，( u n + 1 = ；( ( u 2 ，( 矿) 2 ) + 互1 ( 一( 矿) 4 一( 1 ) 2 + ( 矿) 21 ) 一；( ( “) 2 吐( u 州一矿) 2 ) 羔些璺= 堡些竺生查堡堕蠢堕塑三! ：基二遂箜壁垒丝坌堑 8 织：耻删懈项硎用微2 扔。一( 。+ 6 ) 。”妒材埘可 以得到 、 7 ”叫 其中 畦厶心= 劫f 一坩旷 + ( a 一；“1 ) 2 一，) 显然，当 + ( 扩) 2 ，1 ) l 2 ) ) 2 z ) + 勃v 训胪+ e 川f ( 2 1 5 ) 一；( 扩佃1 。，( t u 甲、) a 乏；( ( u “) 2 一1 ) + ；( “。- + 扎c ) 。， 。 时，( 2 6 ) 式成立证毕 a m c 姝a 阶2 , 扩) 2 1 ) + 扣n 十t ) 。 ( 2 1 6 ) 口 m + l ，步方 事实上，a 14尸 十 h 、， n 甲心 u 一 尸 】 n + “ n ，l 甲 ， 。 k “ 1 沁 j i 卜 一，厶 卜扣叫奴 2 0 呻 “ p ，“ 目 扩 ，目：，；一!知知刍上 i+k k 、 + + 1 4 l 2 j j 燃e 综 带难篙 懈粕蒜 灿铖 在稔帆断 醐上 器蛐槐蹴 注脚驰 c a h n - h i l l i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 9 来近似地确定 在实际应用中，问题“纠完全发展后的解札在n 上几乎处处接近于土1 通过数值试验，我们证实了a = 1 1 在多数情况下对于一阶格式是个恰当的选 择此外，条件俾纠同样可以用一种后验的方法得到保证，即：在每一步计算 结束时，检查条件偿剀是否满足，以保证离散能量的递减j 陛 c a h n h i h a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 l o 第三节高阶时间离散的稳定性分析 与第二节中构造一阶格式的方法类似，我们也可以相应地构造出高阶的时间 离散格式例如，我们可以对“。使用二阶向后差分法，而对于非线陛项的显式处 理，采用二阶外播法这样一来，我们就可以得到如下的二阶格式； 兰兰：! _ = ：掣：a ( 2 f ( u ) 一，( 。n 一，) ) 一心a z u n + - ，。0 但是，和标准的一阶格式( 不含增加的a 一项) 一样，该格式有很强的时间 步长大小的限制，即在计算中我们常常不得不使用较小的步长以保证稳定性这 在后面进行的数值试验中同样得到了实证 这里，我们试着增加与前面一阶格式中的添加项相类似的a 一项我们希望 这一项能够与该格式的整体阶数相一致，并能使该格式保持稳定如此一来，霾 们得到了如下的经过修正的二阶格式： 兰型兰二二害掣：a 6 “。n + ( 2 ，( f f ，) 一，( o f t1 ) ) 一k a 2 u n + 1 ，n 0 ， 其中4 f ，“：= u ”1 2 u ”+ “”1 最近，h e 等在4 1 中就这一格式进行了数值试验，但在该文献中并未给出 理论上的稳定性分析 我们也尝试对这一格式进行稳定性分析，但没能得到有意义的结果于是我 们转而研究另一个类似的格式，并希望能够得到形如 3 】中定理3 1 的离散的能 量不等式为此，我们提出一个取代上面的格式的一个新的格式：( b d 2 e p 2 ) a 文u ”+ a f ( 2 u “一“”一) 一a a 2 “”+ 1 ，n 0 ( 3 1 ) 其中，迭代开始时的“o ( x ) 由初始条件给出，而u 1 ( x ) 则由一阶格式( 2 2 ) 计算得到 对于格式( 3 1 ) ，我们可以得到如下的稳定性 c a h n h i h i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 1 1 定理2 若p j j 中的常数a 足够大，则有下列的能量不等式成立 啻”+ 1 争+ o ( a t 2 ) ，v 0( 3 2 ) 其中e ”由 啻“= 去t l l w x 一1 文“一1 1 1 2 + ；l i v u ”1 1 2 + ；队u “) 2 一l 胪+ 罢l 。n n 一1 酽，( 3 3 ) 定义 证明：为了证明过程的简明起见，我们采用如下的记号：与定理2 1 的证明 一样，令文u 7 ：= “”+ 1 一“”，占“u “：= “+ 1 2 u “+ u ”一1 = 5 t u “一以“一1 对于以l 为周期的日2 ( q ) 中的函数妒，我们可以由( 3 1 ) 式直接得到如下 等式 ( 兰竺：二二笋妒) + “( 2 “+ 1 ，妒) 一a ( 也。札“，妒) ( s a ) + ( f ( 2 f ”一f f ”一1 ) 一( 2 u ”一 ”一1 ) 3 】，妒) = 0 令# = 一a 一1 5 r “贝0 其中， i = 1 ， 对于，有 1 1 4 依次表示( 3 4 ) 式左侧的四项 ( 型掣m a - 1 胪) ( 3 e ) 其中，我们在最后一步推导中运用了不等式a ( 3 a b ) 2 a 2 2 b 2 尸 m v 协 p v m 土龇 玩 叫 矿 文m 盯 。必。一& = 一 c a h n t t i n i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 1 2 对于如和，3 ，利用不等式2 a ( a b ) 2a 2 6 2 ，得 如：= k ( a 。u ”“，一a “4 钍”)( 3 7 ) = k ( v 钍”+ 1 ，v 蠡挂”) 2 钏v 札州1 | 2 一钏v 矿限 ：= 一4 ( 盈t “，一a 一1 晚u ”) ( 3 8 ) = a ( 也e “，文“) = a ( 如n 一跏“，华+ 华) ， = 虿d u 。“n 酽一鲁| 1 4 札”一旷+ 鲁l i 瓯u 刈2 在处理厶之前，先对( 2 u “一l n - 1 瓶“这一项进行变形； 【( 竿一竿) + w - 1 1 ( 2 , - n + l - - u n ) ；l l n + 1 ) 2 一；( “) 2 一；( 6 。”) 2 + 文扎“一1 6 。“( 3 9 ) ；( “，h 1 ) 2 ；( ”) 2 一；( 函“”) 2 一；( 占“”) 2 + ；( 反f i n - 1 ) 2 + ；( 区“”) 2 ；( “+ 1 ) 2 一；( 札“) 2 + ；( 巩u “一1 ) 2 一；( 6 “u ”) 2 堂! ：堡塑堑塑查堡箜盘堕塑圭兰查选箜堡垒：堡坌堑 1 3 亍楚，朋d - 1 4 j 碍宝u 娜p 鞲果； 厶：= ( ( 2 u “一u ”。) 一( 2 u “一u “一1 ) 3 ，一一1 文“) = ( ( 2 扩一n “一1 ) 2 1 ，( 2 让“一n ”一1 ) 磊赳”) = ( ( z “n u “一1 ) 2 - - 1 , ；( “+ 1 ) 2 一；( “) 2 + ；( 疋“n = ( ( 2 “n t ，一1 ) 2 一，一；( 文。“”) 2 ) + ( ( 2 让”一u “1 ) 2 互1 ( u n + 1 ) 2 一；( 乱“) 2 + ；( 坑u n 一1 ) + l , - - 1 2 ( u ”+ 1 ) 2 + 互1 ( u “) 2 一；( 文“”一1 ) 2 ) = ( 互1 一；( 2 “n 一扩1 ) 2 瓶2 ) + 五1 ( 州1 ) 4 ) + ；( 1 ，( 2 n n u ”一1 ) 4 ) 一；( ( “n + 1 + 2 1 1 n - - u n - 1 ) z ， 一互1 ( 1 川。) 4 ) ；( 1 ( 2 矿一扩1 ) 4 ) 十；( ( 3 1 卜1 ) 2 ( 4 卜，) 。) 十：( ( 2 乱n 一“n - ) 。， 一；j lu ，n 1 j j2 + ：l | f f 7 l j 2 一：jj 文一- j l z = 孤”1 ) 2 叫卜孤u ，1 ) 2 - l i l 2 + ( ；一；( 2 u n - - t t n - 1 ) 2 一z + l j v2 t z n - - a n - 1 ) 2 + ( ；( 3 “”一t z n 一1 ) 2 + 互1 、z “n u n1 ) 2 ；，( 6 。u n 一1 扣叫2 ) ( 5 u u ”) 2 ) ( 文“”1 ) 2 ) ( 如扩) 2 ) ，2 ) 甲八 堂里：堡! ! 塑型查堡塑盎堕塑翌益查姿塑垫窒! 些坌堑 1 4 综e 所述， 0 = i l + 1 2 + 1 3 + 1 4 ( 却v 一舻胪+ 如“”2 十釉秽酽+ 瓤，) z - - 1 胪) 一( 却v 一文u ”- 1 1 2 + 如扩1 1 2 + 知矿。1 旷+ 1 1 1 ( u n ) 2 - 1 1 1 。j 3 _ 1 1 ) 显然，当 a ( 2 u n - u - 1 ) 2 + l ( u t m + 2 u n _ ? n - 1 ) 2 1 ，。e 打lq 时，由( 33 ) ，( 3 5 ) 和( 3 1 1 ) ，有 证毕 1 ) 2x 3 1 2 ) 口 问题( 1 1 ) 的三阶离散格式可以使用与前面所述相同的过程构造出来例如 我们可以得到如下的b d 3 e p 3 格式： 1l u “+ 1 1 8 u “。9 u n l 一2 u n 一2 6 a t a a ( 3 u “一3 u “一1 + t ，一2 1 + a f ( 3 “ + k 2 钍州。1 一a “+ 1 3 u ”1 + u n - 2 ) ，n 0 ( 3 1 3 1 这里，迭代开始所需的 1 和n 2 分别运用一阶和二阶格式计算出来 对于三阶格式( 3 1 3 ) ，我们并不知道是否也存在与一阶和二阶格式类似的稳 定性不等式从前面关于二阶格式的稳定性分析我们猜测，即便存在这样的个 、)， 文2 ， 0 舻h ， 一 一 扩 矿 饥 叶 尸 u l 一4 扩 尸 n 也 1 2 一 n 2 m 、， 啦 o 2 扩 一 一 l 2 n + c 芎 a一2氧 ， + + 国 怛， 一 扣矿 一 忪 尸 o o +妒 一 州 l 一2 忪 ，l一9一 + + 一e e 一 一 ，e c a h n h i l l i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 1 5 不等式，相信它的推导也会十分复杂并极具技巧性在最后一节的数值结果中， 我们证实了个足够大的a 在增强三阶格式的稳定性中仍能起到一定的作用但 是，与低阶格式相比，三阶格式中a 一项对稳定性的影响显得不那么显著 c a h n h i l l i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 1 6 第四节全离散 完整的算法还包括空间离散现在，我们转而讨论空间离散 众所周知，对于周期问题的空闻逼近，f o u r i e r 谱方法是最合适的方法之一。 在这里，我们也将采用这一方法来进行由不同时间迭代格式得到的半隐格式的空 间离散 令k 为个正整数，并定义 s n = s p a n e x p ( 一i k x ) ，k = ( k l ，尼2 ) ，一k h ，k 2 k 考虑用如下的f o u r i e r 谱方法离散问题( 2 2 ) 求u 譬1 s k ，使得 盖，妒) + k ( 扎寸1 ，a q z ) + a ( v u 分1 ，v 【p ) ( 4 1 ) = 一a a u “k 十，( ? i 晏) ，妒) ，v 妒s t ( ， 同样地，可以写出问题( 3 1 ) 的f o u r i e r 谱逼近 求uj ，、l + 1 s n 使得 面1 ( 3 t - 寸1 4 “奄+ “茚1 ，妒) + k ( “秽1 ，妒) + a ( v “才1 ，v 妒) ( 4 2 ) = ( - 2 a a u ：c + a a u “k - 1 + a f ( 2 婚一u 芽1 ) ，妒) ，v 妒s k b d 3 e p 3 半隐格式( 31 3 ) 的空问离散具有类似的形式 在计算实施中，u 才1 由f o u r i e r 展开式来表示： ( 4 3 ) 然后将这一展开式代入( 4 1 ) 或( 4 2 ) 中便得到由展开系数i ”t k “，2 = 一k ，构成的个线性方程组 值得提的是，由于在( 4 1 ) 和( 4 2 ) 中所有关于“寸1 的隐式项都是线性 的，因此，在该缵 生方程组中，不同的k 对应的谱系数也；“完全分离求解 xk p x u k 一 c a h n h i l l i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 1 7 实际上，通过将“岔1 表示为( 4 3 ) 的形式，并将( 4 1 ) 中的检验函数妒选 择为s k 的基函数e x p ( 一i k x ) ，对于每个模k ，我们都可以在f o u r i e r 空间中 得到一列线性方程组： 譬刊蝴“删啪n = a l k l 魄n 邛1 2 厕。， ( 4 4 ) 其中i k i = 碹+ 礓，k 表示函数，的第k 模的f o u r i e r 系数 同样的过程作用在( 4 2 ) 上，类似地得到 型* n l + t 二等 n 二坠 n - i + k i k l 4 科1 + a l k l 2 也：+ 1 (45)2at 。 “、7 = 2 a i k 2 矗：一a l k t 2 也：一1 一i k l 2 f ( 2 u 盖一“f 1 ) ： 可见( 4 1 ) 和( 4 2 ) 的求解是高效率的，因为由( 4 4 ) 或( 4 5 ) 确定的线性 方程组的求解可归结为简单的对角阵求逆 对于全离散问题( 4 1 ) 和( 4 2 ) ，可推导两个分别类似于定理2 1 和定理3 1 的能量不等式( 证明过程此处略去) 定理3 考虑全离散问题似n 若 a 搿 i ( ( u 瓷) 2 1 ) + i ( u 芽1 + u 并) 2 ) ， ( 4 6 ) 则“j ，的解满足 e p ls e 嚣，v n 0 ， ( 4 7 ) 其中 臻= “； v n 蚤j 2 + f ( 峻) 叔 定理4 考虑全离散问题似剀若 a m 2 x ( 2 “n u n k - 1 ) 2 + i ( “才1 十2 u 一札f 1 ) 2 1 ) ， ( 4 8 ) 则“纠的解满足 豆寸1se - n + o ( t ) 2 ， v n20 ， ( 4 9 ) 其中豆蚤由 e - 。n = 却v 1 l 讪纠n 割v u 驯2 十孤“掰刈阿自跏纠1 2 定义， c a h n h i l l i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 1 8 第五节数值结果 本节我们将利用前面提出的算法进行数值试验，给出数据结果以支持理论分 析所得到的结论 ( 4 1 ) 式和( 4 2 ) 式右侧的f o u r i e r 系数由离散f f t 计算在后面的数值试 验中，所有计算都在谱空间中进行若需要在某个时间点存储节点值，则要再使 用一次f o u r i e r 逆变换，将谱空间上的值矗r 1 ，一ksk 1 ，k 2 k ，变换到物理 空间中 本节的主要目的，就是利用数值试验来研究不同格式的稳定性性质在数值 试验中将特别注意考察a 一项对于稳定性的改进作用 计算中选择q = o ，2 丌】2 作为计算区域，而取随机数为初始条件，同时，在 空间方向上使用双周期边界条件 首先，定义t 。为使得计算稳定的最大的时间步长也就是说，当时间步长 大于t 。时，数值解“爆破” 对于不同的a ，表1 分别列出了格式( 2 2 ) ，( 3 1 ) 和( 3 1 3 ) 的f o u r i e r 谱离 散格式的f 。的值计算中使用的f o u r i e r 模数是k = 6 4 通过观察表1 中的 数据，我们可以得到以下的一些结论： 一首先，当x 较大时，例如，取一= 1 ，即使a = 0 ，也有相当大的t 。也 就是说，此时所有的标准半隐格式已经是稳定的，因此没有必要使用a 一项； 一当一较小时，即一0 1 时，如果使用标准的隐式一显式逼近，那么就需 要较小的时间步长来满足严格的稳定性要求这种现象在高阶格式或小的一时表 现得尤为突出； 一对于一阶格式b d l e p l ，正如已在定理2 1 中证明过的，当a 足够大时， a 一项可以保证计算过程是无条件稳定的对于二阶格式，a 一项对于稳定性的改 进同样非常显著：与a = 0 的情况比较，当使用a 一项时，可以使用1 0 倍大的 步长； 一对于三阶格式，增加a 一项的作用并不理想：当取较大的常数a 0 时， 仍然需要非常小的时间步长才能保证稳定性这一现象出现的原因尚不清楚，还 需更进一步的研究 c a h n - h i l l i a r d 方程的大时间步长方法的稳定性分析 1 9 a = 0 a t 。 0