（运筹学与控制论专业论文）金融风险测度分析.pdf

摘要 金融风险的测度问题是近年来国内外金融界、学术界非常关注的课题。无 论是市场风险和非市场风险，都是各界关注的焦点。本文在不假设金融市场的 完全性的一般理论框架内研究金融市场和非市场风险测度问题。通过引入“可 接受的”未来随机净价值和“不可接受的”头寸风险等概念，建立了一致风险 测度公理体系。指出，满足平移不变性、次可加性、正齐次性和单调性的风险 测度为一致风险测度。在一致性公理体系内，研究了一致风险测度的有关性质 并由一致风险测度弱化部分条件后推广出凸性风险测度，并证明了它的表示定 理。凸性风险测度是将一致风险测度的正齐次性和次可加性条件放宽为凸性条 件后得出的。结果证明凸性风险测度和与其相伴随的可接受集之间可相互表出 的关系。进一步，作为例证研究，本文考察了以有界亏空风险的形式定义的凸 性风险测度。本文中的公理并非限于定义特殊的风险测度，而是刻画了大类 风险测度的性质。至子具体选择哪一种测度，则应视特殊的经济情况而定。 另外，本文研究了目前在金融市场中广泛使用的、用以刻画风险的v a r 方 法。目前，g a r 方法正日益成为各金融机构所青崃的风险监控手段。但它究竟 是不是一种正确成熟的风险测度方法呢? 我们的回答是否定的。研究发现在一 致性框架下，由于v a r 不满足次可加性的条件，从而导致它并非是适当的风险 测度方法。文中给出的实例指出了v a r 方法的理论缺陷。为了弥补v a r 方法 的不足，我们讨论了几种可能对其进行改进的方法并分析了它们之间的相互关 系和彼此不同。在文中分析的几种风脸测度方法中，我f f j 指出预期损失方法是 较为合理的风险测度方法。 关键词：风险，测度，致风险测度，凸性风险测度，v a r ，预期损失 a b s t r a c t t h ef i n a n c i a lr i s km e a s u r e m e n ti st h ef o c u so fa l lo ft h es o c i e t y t h i sp a p e r d i s c u s s e dt h em e a s u r e so ft h em a r k e tr i s ko rt h en o n - m a r k e tr i s ku n d e rt h eg e n e r a l t h e o r yf l a m e w eh a v ee s t a b l i s h e dt h er i s km e a s u r e m e n ta x i o ms y s t e mb yd e f i n i n g t h en o t i o n sl i k ea c c e p t a b l ef u t u r er a n d o mn e tw o r t h ，u n a c c e p t a b l ep o s i t i o n w es t a t e t h a tt h er i s km e a s u r ew h i c hi st r a n s l a t e i n v a r i a n t ，s u b a d d i t i v e ，p o s i t i v e h o m o g e n e o u s ，a n dm o n o t o n e ，i st h ec o h e r e n tr i s km e a s u r e i nt h i sa x i o ms y s t e m ， w em a d eas t u d yo ft h ec o h e r e n tm e a s u r e so fr i s ka n dc o n v e xm e a s u r e so fr i s k ， w h i c hi se x t e n d e df r o mt h ec o h e r e n tm e a s u r e so f r i s k ，a n dp r o v e di t sr e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m w eh a v ep r o v e dt h a tt h ep r o p e r t i e so fc o n v e xr i s km e a s u r e sc a l lb e c h a r a c t e r i z e db yt h a to ft h ea c c e p t a b l es e t f u r t h e rm o r e ，a sac a s es t u d y ，w e c o n s i d e r e dc o n v e xm e a s u r e so fr i s kd e f i n e db yt h en o t i o no fb o u n d e ds h o r t f a l lr i s k t h ea x i o m si no u rp a p e ri sn o tt od e f i n eas p e c i a lr i s km e a s u r e ，b u tt od e s c r i b et h e p r o p e r t i e so f ac l a s so ft h er i s km e a s u r e t h ec h o i c eo ft h er i s km e a s u r ei sr e l a t e dt o t h ee c o n o m yc o n d i t i o n o nt h eo t h e r h a n d ，w ei n v e s t i g a t e dt h ev a l u e a t r i s k ( v a r ) m e t h o d ，w h i c hi s s ( ) p o p u l a ri nt h ef i e l do ff i n a n c i a lr i s km a n a g e m e n ta tt h ep r e s e n tt i m e w ef o u n d t h a tv a ri sn o tas u i t a b l er i s km e a s u r e m e n tu n d e rt h ec o h e r e n tf l a m e w ep o i n t e d o u tt h es h o r t c o m i n g so ft h ev a r b yc a s ee x a m p l e s i no r d e rt of i n dar e m e d yo ft h e v a r ，w ed i s c u s s e ds e v e r a lm e t h o d s ，a n df o u n de x p e c t e ds h o r t f a l lm e t h o di sa b e t t e ro n e k e y w o r d s ：r i s km e a s u r e ，c o h e r e n tm e a s u r e so fr i s k ，c o n v e xm e a s u r e so fr i s k v a r ，e x p e c t e ds h o r t f a l l 硕士学位论文 m a s t e p st h e s i s 1 引言 1 1 风险测度的缘起 m a r k o w it z 时代之前，金融风险曾被视为期望收益的修正系数。这些原始 的测度对于投资者决定其投资的优先顺序是有利的。 1 9 5 2 年，m a r k o w i t z 提出用与收益分布的均值的偏离，即方差来测度与各 单个资产的收益相应的风险，而在考虑多资产投资组合时，用组合内各对资产 之间的协方差决定该组合风险水平，即c o v x ，y _ 日，y 一e i x e y ，其中 和，为随机收益。 m a r k o w i t z 的主要创新在于他通过所有单个资产的联合( 多元) 分布来测 度投资组合的风险。多元分布由所有成分随机变量的边缘统计特性以及它们的 相关结构来刻画。m a r k o w i t z 用单变量分布的乘积来描述前者，通过每对随机 i 收益之间的相关系数来描述后者，即：p ( x ， ，) = c o v x ，y ( 盯。2 口，2 ) 2 ，其中， 盯，和盯，分别表示独立随机变量和】，的标准差。 我们注意到，m a r k o w i t z 模型与恰当的效用函数密切相关。效用函数允许 投资者在对资产和资产组合进行排序时有个人主观选择。当相关的分布不是正 态分布时，尽管是对称的分布，那么效用函数就必须为二次函数。而在实际中， 这样的限制阻碍了m a r k o w i t z 模型在投资组合上的应用。使得模型的应用仅限 于由收益的联合正态分布所描述的投资组合，在这种情形下，所有资产的收益 以及它们之间的相关结构均是正态的。 1 9 6 3 年，5 l a r k o w i t z 的学生s h a r p e 根据l l a r k o w i t z 的模型建立了一个计 算相对简化的模型一单一指数模型，即模型。这一模型假设资产收益只与市 场总体收益相关，从而大大降低了计算量。各种证券的收益与市场收益之间的 线性依赖关系的测度p ，引出了主要的定价理论，如c a p m 和a p t 。这些模型 都在“正态世界”中发展，而当他们被用于日常生活中的情况时，则有可能导 致错误的结果。比如说，非市场的贷款是完全非对称的，甚至是有尖峰的，并 且，某些发展中国家的公债的收益分布可能包含极值。 不幸的是，m a r k o w it z 模型已经被视为问题的解决方案，而且被不恰当地 耳) 于很多风险不能用方差描述、依赖性不能用线性相关系数来测度的实际案例 中了，而且有时所用的效用函数根本不是二次函数。因此，很可能会得出非理 肚的结果，影响风险监管效果。 1 2 额的研究进展 多元正态分布模型之所以非常吸引人，是因为任意两个随机变量之间的相 关性都可以由它们的边缘分布和线性相关系数完全描述。很明显，这些模型离 实际应用的要求还有较大的差距。实际中，单个资产的投资回报的积累分布是 偏斜的( 非对称的) 、有峰值的或是胖尾的。更有甚者，资产的投资回报是非 连续分布的。由于缺乏恰当的理论框架，先进模型的引入受到了阻碍。 于是有学者考察了单变量收益的统计模型，进而利用连接函数技术将其推 广到了多元变量的情形。连接函数的概念从1 9 7 0 年代中期开始发展，研究多 元分布。但连接函数的使用仍然不能解决小概率事件的处理问题，如分布的尾 部问题等。 近5 年，关于新的风险测度的研究主要集中在以下5 个不同但关系密切的 力面： l 风险测度的定义以及一致( c o h e r e n t ) 风险测度的结构 2 保险溢价( p r e m i a ) 理论的合理性 3 最佳交易( g o o dd e a l s ) 理论 4 广义双曲型l e v y 过程 5 多元分布的相关性研究连接函数( c u p o l af u n c t i o n ) 进行第一个方向研究的代表人物有：p h i l i p p eh r t z n e r ，f r e d d yd e l b a e n ， j e a n m a r ee b e r ，和d a v i dh e a t h 。几乎是在同时，s h u a nw a n g ，v i r g i n i a y o u n g 和h a r r yp a n j e r 在研究保险溢价问题时得到了与投资问题相似的结论。与此 同时，s t e w a r th o d g e s 提出了最佳交易( g o o dd e a l s ) 理论。1 9 9 5 年e b e r l e i n 和k e l l e r 将双曲型分布引入到金融中，给出了一个对每日资产价值分布的非 常精确的拟合。这一研究与广义l e v y 运动的研究有关。最后一个方向就着重 研究连接函数( c u p o l af u n c t i o n ) 在相关尾事件，即非正常事件同时发生的 可能性的调查中的应用。这类事件之所以值得研究是因为在此情况下，可能发 生的损失程度将非常惊人。不论是线性相关还是其它的相关测度都不能完全描 述这类事件。出于这样的原因，许多研究者将连接函数技术应用到广义的随机 变量的相关结构的分析中。可见，有关的研究正在从多个方面试图解决随机变 量分布对风险测度的影响问题。有关新的风险测度的研究可能是被金融机构所 制定的规则的新趋势和学术界对应用不正确甚至是误导的风险测度的反应所 带动的。毕竟，金融机构要求有非常成熟的风险控制模型1 1 9 9 4 年，在险价值( v a l u ea tr is k ，下文简称v a r ) 的概念，在一片赞扬声 中诞生。这种方法的明确的任务就是回答下面这样一个问题：在确定的概率下， 投资者如何预期将会在某年某月某天损失多少钱? 他的资产有多少处于风险 之中? 目前，v a r 方法正日益成为各金融机构所青睐的风险监控手段。但它究 竟是不是一种正确成熟的风险测度方法呢? 我们的回答是否定的。由于v a r 方 法在理论上存在缺陷，所以，使用这种方法难免会导致很严重的后果。正因如 3 此，探索新的风险测度的进程还在不断进行着。 1 3 本文工作与文章结构 本文的研究是沿着上述第一个方向进行的。首先介绍了一致风险测度理 论，以此为基础迸一步研究了凸性风险测度；鉴于v a r 方法的流行，和它所存 在的理论缺陷，本文对这一方法也作了深入分析，并针对其缺陷提出了可能的 解决方案，研究了几种弥补v a r 方法缺陷的方法，是本文主要创新之处；最后 我们给出了实例及其分析。其中预期损失( e x p e c t e ds h o r t f a l l ) 方法和凸性 风险测度分析是本文的研究重点。 全文共分六个部分。第一部分引言。第二部分阐述一致风险测度理论框架， 包括风险和风险测度的定义、可接受集公理定义、可接受集与风险j 受4 度的关系、 可接受集公理与风险测度公理的关系、一致风险测度表示定理以及表示定理的 应用等。第三部分针对市场实际，弱化一致性条件，提出了凸性风险测度方法。 第四部分分析v a r 方法，包括其定义、性质，并主要指出其理论上和逻辑上的 缺陷并举例说明。第五部分研究预期损失方法，主要比较了几种常用的风险测 度之间的区别和相互关联，并着重说明了预期损失方法在实践中的重要意义。 第六部分为全文总结。 m 砒a s t e 牡r s 敞f l i e s l 2 一致风险测度 2 1 风险 仅考虑。和丁这2 个时刻间的一期不确定性，时间段为【0 ，t 】，国际投资市 场中有1 种货币，对每个货币i ( 1 i ，) 给出种参考投资工具( r e f e r e n c e i n v e s t m e n t i n s t r u m e n t ) ，这种投资工具将0 时刻1 个单位的货币i ，变为7 1 时刻， 个单位的货币i 。在考虑多种货币的证券投资组合时，可以设0 时刻互换率为1 用e 表示丁时刻1 个单位货币i 能买到黄金单位的数量。 投资者的初始投资由头寸爿，( 1 i ，) 组成，头寸a ，在t 时刻价值为彳( 丁) 个单位的货币i ，定义投资者的未来净价值p 。4 ，( r ) 为风险。 值得一提的是，此前的很多文献中将风险定义为两个时刻间的价值量变 化。但本文认为，由于风险与该头寸的“未来”价值是密切相关的，它取决于 市场变化或一些不确定因素，所以，只需要考虑头寸的未来价值即可。将未来 净价值作为丁时刻自然状态集上的随机变量看待，它是当前持有的头寸或投资 组合未来可能的净价值。 2 2 可接受集 假设期末，时刻所有可能的状态的集合是有限集，记为q 。用q 上的随机 变量j 表示初始头寸的未来净价值，其值用证券价格及互换率来表示。状态翻 的指示函数为1 。 称q 上所有实值函数的集合为风险集合，记为x o 记中非负元素的集合 勺l ，其相反数集合为一。 设j 。为i 国的监管者集合，且j ( j j ，) 是由货币f 表达、被监管者，所接受 未来净价值集合。令月严n 月。j ，称为以货币i 表达的未来净价值的可接受集， e j + 以f 简称为可接受集。 本文考虑满足以下性质的可接受集。 性质2 2 1 可接受集月包含三。 性质2 2 2 可接受集月与三不相交，其中， l 一= x i 对任何q ，有x ( c o ) 0 ，则称风 险测度p 满足相关性。 定义23 4 说明，加入确定价值为口的参考投资工具到初始头寸中，可将 风险减少口，而且定义2 3 4 保证了对任何，有p ( x + p ( z ) ，) = 0 。定义2 3 5 说明合并不增加新的风险。定义2 _ 3 6 说明，如果头寸的规模直接影响风险的 大小，那么，我们就应在计算头寸的未来净价值时考虑到流动性差所带来的后 果。由定义2 3 4 和定义2 3 6 可得，对任何口有，p ( a - ( - r ) ) = 口。 定义2 , 3 9 ( 一致风险测度) 满足定义234 23 7 的风险测度为一致风险测度。 2 , 4 可接受集与风险测度 命题2 , 4 1 如果集合b 满足性质2 2 i 一2 24 ，风险测度p 鲫是一致的。 证明：i ) 性质2 2 2 ，2 2 3 保证对每个x ，pm ( x ) 是有限数。 2 ) 由于i n f p l x + ( 口+ p ) r b = i n q q x + g r 毋) _ d ，说明， p ( x + r 口) = p ( ) 一口，则定义2 3 4 得到满足。 3 ) 如果x + m ，j ，+ r 哂，则x + y + ( 肌+ , ) ，b ，再由性质2 2 3 、 2 2 4 知p 。的次加性满足，即，定义2 3 4 得到满足。 4 ) 如果m p 如( x ) ，则对每个五 0 ，有丑x + 五研r b ，再由定 义2 3 2 和性质2 2 4 ，知p 卸( 月工) 五州；如果m 0 ，有丑x + 五 r 萑国，贝0p 幔，( 允y ) 旯脚：所以， p 卸( 五) = 五p 卸( z ) ，即，定义2 3 6 得到满足。 5 ) 如果爿y ，且x + m ，b ，则y + m r 圆，由性质2 2 3 、2 2 1 和定义2 - 3 1 知，定义2 3 7 得到了满足。 综上所述，命题得证。 命题2 4 2 如果风险测度p 是一致的，则可接受集a 。是紧集，且满足性质 2 2 i - 2 2 4 。 强。明：1 ) 定义2 3 5 、2 3 6 保证p 是上的连续凸函数，集合a 。= ( x l p ( x ) 0 是紧凸集，且是齐次的。 2 ) 定义2 3 6 说明p ( o ) = 0 ，再由单调。i t 失n ，a 。包含三+ ，满足性质2 2 1 。 3 ) 令x 三一p ( 彳) 0 ，茌月。，满足性质2 2 2 。 2 5 一致风险测度的表示定理 定理i 给定参考投资工具的总收益率r ，则风险测度p 是一致的，当且仅当存 在自然状态集上的概率测度类 使得p ( x ) = s u p e ， - x , 1 1 p 卿。 2 6 小结 这一部分中，我们由风险的定义入手，介绍了一致风险测度理论。为了描 述风险的可接受与否，我们引入了可接受集的概念，给出了可接受集公理，讨 论了风险测度的一致性与可接受集的关系，描述了一致风险测度的一般特性。 硕士学位论文 m a s t r 1s ，r 1 正s i s 3 凸性风险测度 3 1 凸性风险测度 在本文第一部分中，我们讨论了一致风险测度的有关性质，简而言之，它 f 自映射p ：r 的下列性质所定义： 次可加性：p ( x + y ) p ( x ) + p ( y )( 3 1 1 ) f 齐次性：如果五0 ，则p ( 五) s 五户( z ) ( 3 1 2 ) 单调性：如果x ，贝j j p ( x ) p ( y ) ( 3 1 3 ) 平移不变性：如果r ，则p ( y + 埘) = p ( 】，) 一m ( 3 1 4 ) 一般地，一个一致风险测度p 是从q 上的概率测度族中生成的。在q q 上计算预期可能的损失，然后取当q 在q 上变化时的最差结果： p ( x ) = s u p e o 卜x 】； ( 3 1 5 ) 口e 9 然而，在很多情况下，头寸的风险会随着其规模做非线性变化。比如，该 头寸被放大一个较大的倍数时，流动性风险将会随之产生。这就意味着我们需 要放宽正齐次性和次可加性的条件，以下的凸性就是一个较g ；的条件： 凸性：p ( 3 x + ( 1 一五) y ) s ，矽( x ) + ( 1 一五) p ( y ) ，五f o , 1 】( 3 1 6 ) 凸性说明多样化投资不会增加风险，即多样化头寸的风险，将不大于加权 平均后单个头寸风险之和。令z 为q 上函数的凸集，假设0 石且j 在加入 常量后是紧的。以下定义凸性风险测度。 定义3 1 。l 映射p ：nr 称为凸性风险测度，如果它满足凸性、单调性和平移 1 0 不变性。 凸性风险测度可用相伴随的可接受集的性质来刻画 a 。= 州p ( z ) o ) 反过来，给定可接受集a ，通过以下集合可定义一个凸性风险测度 以( ) = i n f m r i m + x 月) 3 2 可接受集合 令为给定的可能事件集q 上函数的线性空间，假设x 包含所有常函数。 任意风险测度p ：，杠r 诱导出一个可接受集，定义如下： a 。= x l p ( x ) o ) ( 3 2 1 ) 测度 反过来，给定可接受头寸的集合，可通过以下集合定义与其相伴随的风险 p a ( ) = i n f m r i m + x 月 下面两个命题指出了凸性风险测度与其可接受集之间的关系。 ( 3 2 2 ) 命题3 2 1 假设p ：r 是凸性风险测度，其伴随可接受集为a 一，n p 九= p 而且，令a = a 。，它有下列性质： 1 a 是非空凸集 2如果x 月，y 石满足y x ，则y 月 3如果xz a ，y 石则研【o ，1 l 五+ ( 1 2 ) y月) g 0 ，l 】上的紧集 证明：由p 的平移不变性，有： p 屯( x ) = i n f m l m + x a - = i n f m l p ( m + x ) s o = i n f 州p ( x ) m = 户( x ) 前两条件是显然的，对于第3 条，注意到函数 卜p ( z x + ( 1 一五) l ，) 是连续 的，因而，满足p ( z x + ( 1 一兄) 王，) 0 的兄【0 ，1 的集合是紧的。 命题3 2 2 假设a 非空，是x 的凸子集，工满足命题3 2 1 的性质2 ，通过( 3 2 2 ) 襄示与月相伴随的pj 。如果pj ( 0 ) t 则： 1 oa 是凸性风险测度 ：a 是a 。的子集。且如果a 满足命题3 21 的性质3 ，则3 = a ，。 证明：1 易证p 月满足平移不变性和单调性。以下证明p a 只取有限值a 在非 空集合a 中取定一个元素j ，对于给定的z 存在有限的m 使得 m + x ，因为x 和y 都是有界的。单调性、平移不变性和p 月( 】，) s0 使得0 月( ) s m ，为了说明p 月( x ) 一o o ，可以取渐1 使得m 十x 0 ，并 且有pj ( x ) pj ( o ) + m 一，即，p 月( z ) m 。对于凸性，假设 x i ，x 2 工m i ，m 2 r ，且有研，+ 工。月。如果五【0 ，l 】，则月的凸性说 明，五( 研。+ x 1 ) + ( 1 一五) ( 坍2 + x 2 ) a 。从而由p j 的平移不变性有： 0 p 月( 2 ( m l + x 1 ) + ( 1 一五) ( ，”24 - x 2 ) ) = d j ( z x i + ( 1 一a ) x 2 ) 一( a m l + ( i 一五) 州2 ) i 所以，p a 满足凸性。 2 月a 。是显然的。假设，a 满足命题3 2 1 的性质3 。我们必须证明 x 芒月可推出p 月( x ) 0 ，为此，取m 9 月( o ) 。由命题3 2 1 的性质3 ， 存在( 0 , 1 ) ，使得绷+ ( 1 一e ) x 月。从而，有： 删p j ( ( 1 一s ) x ) = p 月( 占0 + ( 1 一c ) x ) sp 月( o ) + ( 1 一) p j ( ) 所以， p 月( x ) 璺警 o ，即此时月= 月n ，则命题得证。 3 3 凸性风险测度的表示定理 以下证明凸性风险测度结构化的表示定理，首先考虑一种特殊情形。 3 3 1x 是有限集q 上所有实值函数空间时的表示定理 定理3 3 1 假设z 是有限集q 上所有实值函数空间，则p ：z 。r 是凸性风险测 度，当且仅当存在“罚函数”口：口一( 一，o o 】，使得， p ( z ) = s u p ( e o 卜z 卜o c ( q ) ) ( 3 3 1 ) 0 e p 函数口对任何q 积有a ( 0 ) 一p ( o ) 。 证明：1 ) 充分性显然：对每个q p ，泛函x be o 卜x 】- a ( 0 ) 是凸的，单调 的并且是平移不变的。这三条性质在取最大值之后不变。 2 ) 证明必要性，需要以下辅助式，对q 毋。定义口( q ) 如下： a ( 0 ) = s u p ( 【一】一户( ) ) ( 3 _ 3 2 ) j e 硕士学位论文 卜l s t e r st l | e s , i s 再令口( q ) = s u p 岛【一x l ，由且。的定义，有a ( q ) a ( q ) 。 ￥e 也 任取x 工并令x = p ( ) + x 月。， 于是有，o r ( q ) e q 卜x _ 卜x l p ( ) ，所以，口( q ) = e t ( q ) ，即： a ( q ) = s u p ( e o 卜z 】) ( 3 3 3 ) x e d 现在固定某y z 如( 1 0 ) 式选取口( ) a 于是有p ( y ) 嫠p 【一h 一( q ) ) 再取柳震，使得：小 s u p ( e 。卜y 】一口( q ) )( 3 3 4 ) q e p 必须证明小 p ( j ，) 或者等价地，m 十ye 月。假设，m + y 仨月，。由于p 是 定义在欧氏空间r o _ k 的凸g j 数，仅取有限值，因此，由文献 1 2 】中推论 1 0 1 ，1 知p 是连续的a 而月。= ( 户s0 ) 是紧凸集，所以，可以找到r o 上的 线性泛函，使得： = s u p ，( ) = 口( q ) ， 硕士学位论文 m a s t e r st t i e s i s 这与我们所选的m 相矛盾。因此，必有m + 】，月，继而，有m p ( v ) 。 由1 ) 、2 ) 知，定理得证。 在上述证明中，假设q 是有限集，是为了得到可接受集月。的紧性。当 为一般概率空间( q ，f ，尸) 上的有界函数空间r ( q ，f ，p ) 时，我们需要在合适的 拓扑上假设月。的紧性。因而有一般概率空间上的一致风险测度表示定理的推 广如下。 3 3 2x 为一般概率空间上的有界函数空间时的表示定理 定理3 3 2 假设胎r ( q ，c p ) ，口是概率测度集，q p ，p ：n r 是凸性 风险测度。则下列性质等价： 1 存在“罚函数”口：( 一，叫，使得，对所有的j z 有： p ( x ) = s u p ( e o _ 一硼一口( g ) ) ( 3 3 7 ) o ( ( p 2 与p 相伴随的可接受集月。是弱紧的，即是盯( 上。( j d ) ，f ( p ) ) 一紧的。 3 p 具有f a t o u 性质：如果序列( x 。) 。c x 是一致有界的，且x 。依概率收敛 到某个x x 则p ( x ) s l i m i n f p ( 以) 。 4 如果序列( z 。) 。c 爿是递减收敛到x z 则p ( x 。) 寸p ( 彳) 。 证明：因为由( 3 3 7 ) 所给i ：i ：i i 拘p 是盯( r ( j d ) ，l 1 ( p ) ) 一下半连续的，所以由1 j 2 成立。对于由2 j1 ，可以重复定理3 3 1 的证明，并在局部凸空间 ( r ( j p ) ，盯( r ( p ) ，l 1 ( p ) ) ) 上应用h a h n b a n a c h 分离定理，得到负的连续线 性泛函，满足( 3 3 5 ) 式。由假设，可被表为，( z ) = 耳】，其中，妒f ( 即， 硕士学位论文 m a s t e r 57 l f i f s i s 且给出概率测度d q d p = p e 【纠，则证明过程与定理3 2 1 g 似。本定 理余下的几条性质的证明与【3 】中完全相同。 3 , 4 以亏空风险形式定义的风险测度 在这一部分中，将分析一个凸性风险测度的例子。 假设f ：r 斗r 是递增凸性损失函数，不恒为常数。对于头t f x 三。( q ，f ，p ) ，定义期望损失为4 ，( 一) 】。令x 。是范围，的内点。如果头寸 a r ( q ，f ，p ) 的期望损失以为界，则x 称为可接受的，于是，以下集合为 可接受头寸集： 月= x z 严( q ，口op ) l p 【f ( 一x ) 】x o )( 3 4 1 ) 易知，集合且满足命题3 2 1 的前两条性质。可定义凸性风险测度p = 几。由 f f 作为r 上有限值凸函数是连续的，则p 具有f a t o u 性质，以及( 3 3 7 ) 式的表 达形式，相应的最小罚函数可用下列，的转化形式表达：，( z ) = s u p ( z x 一，( x ) ) 定理3 , 4 1 设月是由( 3 4 1 ) 给出的可接受集，则对q p ，p = p 。的最小罚函数 为：吼( 加s 。u p g 一( 卅= i n f l ( x o + e v i t 私考) 】) 本定理的证明需要用到以下引理。 引理3 4 1 函数，和f 有下列性质： i ，( o ) = 一毽；f ( x ) 且对任意z ，有f ( z ) 一，( o ) 。 2 集合n = z r l ( z ) = 一，( o ) 非空，z l = i n f n 0 ，且对于z z j ，有 1 6 硕士学位论文 m a s ! e r s 几i e s i s ，+ ( z ) = s u p ( x z 一，( x ) ) ，特别地，在 z 。，c o ) 上是非减的。 j 2 0 3 = i n “z rj r ( z ) m ) o ，c o ) 。 4 当：个。时，盟哼。 z 证明：1 此结论是显然的。 2 ，的凸性说明，满足硝s ，( x ) 一，( o ) ，x r 的z 的集合是非空的，对这 样的z ，有f ( z ) - z ( o ) ，又由i ，( z ) 一，( o ) 。 3 由2 ，0 0 ，因而， o o ，对z 0 有，( z ) = 。 4 对于z z l ，由2 ，+ ( z ) z = s u p ( x l ( x ) z ) ，所以，如果 j o z ：= s u p x l l ( x ) z ) ，则，( z ) z x = 一l 。由于，递增，且取有限值， 所以，当：个。时，盟_ 。 z 以r 让明定理3 4 1 。 固定9 ，( 0 ) 的情况，否则，由于，是，( r ) 的 内点，所以，可找到某口r 使得，( 一口) 。令j = l ( x - a ) ，且j ： j r ( q ， f ，p ) e ，【7 ( - x ) l - o ，x 月，有一却= _ 1 ( 一x ) ( p ) ( f ( 一x ) + f ( 五p ) ) ，所以，对 以 l 任何五 o ，有：( q ) s u p e p ，( 一爿) 】+ e ， z + ( 五妒) 】) ( + 廓 ，( 五妒) ) 。 aal 还要证明，当( q ) 0 0 时，( 9 ) _ - 2 i n f + ( + 廓【，( a 妒) 】) ( 3 4 4 ) 首先在下面附加的两个条件下证明：在( 0 0 0 1 上，+ 0 有：昱( ( 五。伊) ，( p 圳】= 工o 。 令x = 一j ( 丑。p ) 。 ，n x 有界且包含于月中。进一步，由( 3 4 3 ) ，有： 一x c ( p = ( 一zc ) ( 丸妒) ： ( ，( ，( 五。妒) ) + f ( 五。妒) ) ， ，；。 l 一 那么，a 。( q ) - e o 【一z 】= l 以( x o - l ( 。) 尸【妒 c 】+ e f ( 五。妒) ， ，s 。 ) 。 上式右边以( ( 一，( o ) ) 丸) 为上界。假设( q ) ( q ) a g ( q ) ( + e e ，：( 或p ) 】) 一占。引理 ，0 h 3 , 4 1 的第4 个论断说明，如果( q ) 0 ，h x v = p ( h x ) = h p ( ) 3 ) 平移不变性：x 矿，a r ，x + a 矿j p ( x + d ) = p ( x ) 一a ) 法则不变性：对所有的f r ，x ，y v ，p 【r 】_ p l y t 】j p ( x ) = p ( y ) 注意到v a r 。是法则不变的，就意味着，柳y 的分布并不要求是相同的。 特定的局部分布相同，就足以推导出v a r 。( z ) = v a r 。( j ，) 了。特别地，一个尾 剐概率较小的随机变量x 和一个尾部分布很厚的随机变量y ，可能会有着相同 的砌心值。显然这一点是不合理的! 这也是v a r 方法受到的主要批评之一。 另外，有例子表明( 见下一节) ，v a r 不一定满足次可加性，因此，v a r 并 不满足一致性条件，从而不是一致风险测度。用v a r 来测度风险就如同用橡皮 筋来测度两点间的距离一样是不可行的! 虽然，v a r 在特殊的条件下是可以满 足次可加性的，但在类似简单的情形下用方差来测度就足够了! 而引入v a r 方 法原本是为了对于方差所不能使用的情形来测度风险的，那么从理论上讲，引 入v a r 是不成功的。 4 3 例证分析 例4 3 1 令x ，x ：相互独立，且取值在( 一o o ，1 ) 之间。( x ， ，) 的联合分布为： p x l x l ，x 2 蔓x 2 = ( 2 一x 1 ) 一1 ( 2 一x 2 ) ，x l ，x 2 o 在( “，v ) 是可微的。那么，我们有： p ( u i + u 2 ) p ( u i ) + p ( u 2 ) ，u l ，u 2 c ， ( 4 3 2 a ) 当且仅当，p v ( ( ，i + u 2 ) p ( u 1 ) ，p v ：( u i + u 2 ) p ( u 2 ) ，u l ，u 2 c ， ( 4 - 3 2 b ) 这里确“毯笔“心，v i 十v 1 。考( “l 奶 ) u ，：“，+ v ，y ，i ：1 , 2 。 汪明：先证由( 4 3 2 a ) 可导出n “u + u 2 ) p ( u i ) 。取u ，= ，+ v ，y ，i = 1 , 2 非注意到p ( u ，) = p ( u l ，v 。) ，p ( u l + u 2 ) = p ( u i + “2 ，h + v 2 ) 。 定义函数 ：( 1 ，o o ) 寸r 为： 且特别地，f ( o ) = 0 j r ( o ) = p ( “l ，v ，) 一娑( z f l + “2 ，v 。+ v 2 ) + v 1 挈( “1 十“2 ，v 1 + v 2 ) ( 43 3 c ) 洲 = p ( u 一) 一p v , ( u i + u 2 ) 由( 4 3 2 a ) 女1 1 ，对于， 0 有厂( ，) 0 。又由( 3 6 c ) ，p ( v i ) 一p u ( l + u 2 ) o ，则 f 4 3 2 b ) 成立。 再来考虑由( 4 3 2 b ) 推导( 4 3 2 a ) 。由e u l e r 关系和( 4 3 2 b ) 可得： p ( u l + u 2 ) = p ( u l + i a 2 ，v l + v 2 ) = ( “i + “2 ) 挈( + “2 ，v l + v 2 ) + ( v l + v 2 ) 挈( ”i + “2 ，v l + v 2 ) o uo v p ( u 1 ) + p ( u 2 ) a33 斗v+p+“+ “ 0 + “p v“ 护 +v+v“+“ p i i m 死b目 弘1 j 一 +p d +“+ j ， 矿 m + f l h 咖 “ + 劲面m 蚝 叱 一 十 吣 地 嘶 + 以 m 卜印面 缸 h 厂 一 所以，命题4 3 1 得证。 命题4 3 1 说明，只有当满足条件(