（学前教育学专业论文）拓扑占优—学前儿童空间概念特点的实验研究.pdf

论文摘要 论文通过对儿童的形状概念认知、图形表征、建构空间中的直线以及空间物 体定位等研究，发现3 5 岁儿童的空间概念发展具有如下一些特点与规律：空间 概念的发展表现出了拓扑占优的趋势：拓扑、射影和欧氏几何概念都处于逐渐发 展的过程；生物一成熟因素对儿童的空间概念发展起着重要作用；儿童空间概念 的发展具有一定的自我中心性；4 - 5 岁是儿童空间概念发展的关键年龄；儿童的 空间概念发展与其思维的发展形式之间存在着密切关系。 通过对上述特点的分析，对学前数学教育及空间概念的发展教育提出了如下 建议：空间几何的教学要与幼儿的生活经验紧密结合；引导儿童关注各种拓扑关 系；为儿童创设情境，提供大量动手操作的活动；有意识地给儿童呈现各种形状 的不同变式；鼓励儿童想象、预测、探究几何物体之间的关系；经验的提供要与 儿童的最近发展区相适应；儿童对图形的认识和理解不是一回事情。 基于上述研究，我们认为儿童是按照自己的“大纲”学习的。我们应该不 断地挖掘出儿童自身的学习“大纲”，从而把教师的、社会的“大纲”切实转变 成儿童的“大纲”。使教育能始终与儿童的“最近发展区”相适应。 论文最后进一步阐述了本研究的主要结论和观点，分析了本研究的不足， 并对未来的研究给予展望，指出后续研究的方向。 关键词：学前儿童；空间概念；拓扑占优；射影几何；欧氏几何 a b s t r a c t t h ep a p e rs t u d y so l lt h er e c o g n i t i o no fs h a p e s , g r a p h i cr e p r e s e n t a t i o n , c o n s t r u c t s t r a i g h tl i n e sa n ds p a t i a lo r i e n t a t i o n , f i n dt h a t t h ed e v e l o p m e n to f3 - 5y e a r - o l d c h i l d r e n sc o n p to fs p a c eh a st h ef o l l o w i n gf e a t u r e sa n dr o l e s ：t h ed “e l o p m e _ o f t h ec o n c e p to fs p a c es h o w st o p o l o g i c a lp r i m a n y ；t o p o l o g y , p r o j e c t i v ea n de u c l i d e a n g e o m e t r yc o n c e p t sa r ei nt h ep r o c e s so f p r o g r e s s i v ed e v e f o p m e n gb i o - m a t u t i t yf a c t o r s p l a y 如i m p o r t a n tr o l ei nt h ed e v e l o p m e n to fc h i l d r e n ss p a t i a lc o n c e p t ；t h ec h i l d s s p a t i a lc o n c e p td e v e l o p m e n t h a st h ec e r t a i nc g o 咖仃i cn a t u r e ；t h ea g eo f4 5y e a r s o l di sac r i t i c a l 删f o rt h ed e v e l o p m e n to ft h ec h i l d r e n sc o n c e p to fs p a c e ；t h e r ei s ac l o s er e l a t i o n s h i pb e t w nt h ed e v e l o p m e n to fc h i l d r e n sc o n c e p to fs p a c ea n dt h e d e v e l o p m e n to ft h i n k i n g b a s i n go i lt h ea b o v ea n a l y s i so ft h ec h a r a c t e r i s t i c s ，w cp u tf o r w a r dt h ef o l l o w i n g p m p o s a lf o rp r e s c h o o le d u c a t i o ni nm a t h e m a t i c sa n dt h ed e v e l o p m e n to ft h ec o n c e p t o fs p a c e ：g e o m e t r i ct e a c h i n gs h o u l dc o m b i n ec l o s e l yw i t ht h ec m l d sl i f e ；g u i d i n gt h e c h i l d r e nc o n c e r n e da b o u tv a r i o u st o p o l o g y ；c r e a t es i t u a t i o n sf o rc h i l d r e l l ，p r o v i d et h e a c t i v i t yo fo p e r a t i o n ；g i v ec h i l d r e nas e n s eo ft h ed i f f e r e n tv a r i a n t ss h o w i n ga l ls o r t s o fs h a p e s ；e i l c o m a g ec h i l d r e nt oi m a g i n e ，f o r e c a s t , e x p l o r et h er e h t i o n s m pb e t w e e n g e o m e t r i co b j e c t s ；e x i a i e n c em e e tw i t hz o n eo fp r o x i m a ld e v e l o p m e n to ft h ec h i l d ； c m l d r e n sa w a r e n e s sa n du n d e r s t a n d i n go ft h eg r a p h i c si sn o tt h es a m es i t u a t i o n i ns h o r tw e 血dt h a tc h i l d r e na r ei na c c o r d a n c ew i t ht h o r ”o u t l i n e ”o ft h es t a d y , w es h o u l dc o n t i n u et oe x p l o r et h ec h i l d so w n ”o u t l i n e ”a n dt r a n s f o r mt h e ”o u t l i n e 。 o f t e a c h e r s i n t o c h i l d r e n s e d u c a t i o na l w a y sa c c o r d w i t h z o n e o f p r o x i m a l d e v e l o p m e n t ”o f c h i l d f i n a l l y , t h ep a p e rf u r t h e re x p o u n d so nt h em a j o rc o n c l u s i o n sa n dv i e wp o i n t s ，a t t h es a m et i m eaf e wi n a d e q u a c i e sa l r ea l s of o u n do u t t h ef u t u r ed i r e c t i o na n dh o p e f u l b l u e p r i n to ft h ec o m i n gs t u d i e sa r ep m s p e c t c de x p e c t e d l y k e yw o r d s ：p r e s c h o o lc h i l d r e n , c o n c e p t i o no fs p a c e , t o p o l o g i c a lp r i m a c y , p r o j e c t i v e g e o m e t r y , e n c l i d e a ng m c t r y 珏 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：赵二垒日期：恐亟壁 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阗有权将学位论文的内客编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名：赵一乞 导师签名： z 物雪 日期：弛墨鱼 日期：也? ：星： 引言 皮亚杰和卢梭都曾表示：? 要尊重儿童的幼年时期，不必急于求成判定它的 好或坏。在你让自己参与儿童的问题解决以前，要给她自由进行的时问，以免干 扰她的探索。你认为你懂得时间的价值，并且担心浪费它，但是你不明白使用不 当比无所事事是更大的浪费，进一步说，受不良教育的儿童比尚未启蒙的儿童更 差。”自然能使儿童在成长为大人以前保持儿童的天性。如果我们企图颠倒这种 顺序。就像勉强摘下无味的不成熟的水果一样，在它们能够成熟之前，就已经烂 掉了。儿童有他自己的思维、观察和感觉方式。” 这些论述强调了这样一个事实，儿童是按照其自身的“大纲”进行学习的， 其发展遵循着一个不可以匆促提前的时刻表，成人在儿童的成长过程中必须尊重 儿童的自身思维等发生发展的特点。然而现实中成人往往无视儿童成长的规律， 对儿童的成长没有足够的耐心，因此成人通常是按照成人世界所制定的“大纲” 来培养儿童的。这样的现象在学前教育中也是存在的，典型的是儿童的空间几何 概念的形成。皮亚杰等通过研究发现儿童空间几何的心理发生的顺序和科学史上 几何的演绎结构的顺序是一致的，然而，现实的几何教学中却没有真正理解儿童 空间概念的心理发生发展的“大纲”。 几何学有多种，与儿童的经验最密切相关的是拓扑、欧氏几何、射影几何及 度量几何或测量。目前向儿童介绍几何知识总是从欧氏几何开始的如线段、 三角形、正方形和圆这些欧氏图形。从历史上讲，几何学也就是这样发展起来的。 这正是古希腊人在二千多年前所研究的几何类型，直到今天它依然是初中几何的 基础内容。 浏览一些小学低年级及幼儿因数学教材或活动中所出现的几何内容，大多数 是这样一些活动，如用线段来连接各点，对画出来的图形( - - 角形、正方形和长 方形等1 进行再认并说出它的名称。例如在3 4 岁幼儿感知几何图形的教育中， 要求幼儿认识圆、正方形和三角形，所采用的方法一般是配对、指认和命名。所 谓指认是指按成人说出的图形名称，找出( 指出) 相应的图形。如老师说= 圆形 在哪? 幼儿用手指出来即是。所谓命名就是让幼儿说出给定的图形，如老师出示 一个三角形的图形问幼儿；“这是什么图形? ”幼儿能够说出是“三角形”即可。 4 5 岁幼儿的几何图形教育中要求幼儿能认识一些图形的基本特征。如长方形 的特征是：4 个角，4 条边，2 条边长，2 条边短，对着的两条边一样长，是一个 封闭的图形。井能初步感知理解图形之间的简单关系。如一个正方形可以分成2 个长方形或4 个小正方形，或两个大三角形，或四个小三角形等。在小学一年级 有关“认识平面图形”的内容中。其教学目标为1 使学生初步认识长方形、 正方形、三角形和圆( 能说出名称、能正确地分辨、直观感知其特征) 。教 师采用的教学方法通常有( 1 ) 教师说出平面图形的名称，学生根据要求举起图 形。( 2 ) 抢答。教师出示各种图形，学生抢答( 说出图形的名称) 这类活动无一例外涉及的都是欧氏几何的内容，欧氏几何可以认为是研究所 谓刚性的各种图形的，例如一个三角形可认为具有三条刚性的边这些边是不 会弯曲也不会延伸的。当我们把这个三角形与另一个三角形相比较时，可以移动 这个三角形，它的大小和形状不会改变。 目前小学和幼儿园里向大多数儿童介绍的几何，正是在这样的假定基础上编 排的，即一个儿童最初的空间概念是欧氏几何的概念。认为我们知觉和空间表征 是欧氏几何的直接反应。我们看这个世界，并看到直线、蓝线，角，圆形、正方 形和球体所有的都包含在一个三维的广阔区域中。假如我们闭上眼睛，我们能 毫不费力地想象( 表征) 所有的各种线和角。但是趴皮亚杰的视角来考察，这个 假定是不正确的，因为这种假设错误地传递了知觉和空间概念之间的复杂关系。 皮孤杰指出：“相当奇怪，儿童几何概念的心理发展次序，更加接近于现代几何 的演绎结构或公理结构的次序，而并不接近于发现几何学的历史次序。”他强调 空间的表征是一种结构而不是知觉的简单反应。认为儿童所理解的空间知识不一 定与他们看到的相匹配。年幼儿童也许看到了一条直线，但他不能想象一条直线； 从圆形中区分出正方形，但不能在脑海中再现它们之间的差异。空间的许多最基 本的方面仅能通过拓扑的关系被合适地表征，而不能通过射影或欧氏几何的特性 被表征。 由此从皮亚杰的观点来看，目前小学低年级和幼儿园的数学教学中，几何概 念( 线、三角形、正方形等) 作为点的集合来教，纯粹是一种空谈的言语练习， 儿童只能像鹦鹉学舌那样背诵射线、线段、三角形等等的定义，他们对这些概念 还缺乏必要的准备。 当然也有不同于皮亚杰的论点的，他们认为儿童空间概念的发展是同时渐进 的，自学前阶段开始，三种几何概念就开始萌发、发展。然而对我国儿童空间概 念的发展到底是如何的似乎还未有全面的研究，那么我国儿童对空间几何概念的 理解到底是否和皮亚杰所提的一致呢? 如果是的话，那么我们现在的小学低年级 和幼儿园中有关空间几何的知识编排意味着什么? 儿童对空间几何概念的理解 有何特点和规律? 这些特点和规律对儿童空间几何概念的教学又有怎样的教育 意义和启示? 等等，这一系列的问题对幼儿园的数学教育具有理论和实践的价 值，值得我们加以研究和探索。 2 第一章研究概述和问题的提出 对儿童发现空间关系的研究一这也许可以称为儿童自发的几何，其意义不 亚于研究儿童的数概念。本章首先对与儿童空间概念相关的概念进行界定，然后 通过国内外有关儿童空间概念发展的研究概述，探寻以往研究中存在的问题，在 此基础上，架构起本研究的思路和框架。 第一节相关概念阐述 恩格斯指出：从历史上看，数学中的原始概念物品的数和量及几何图形 的概念一只是人在现实世界中，通过实际运用而后抽象的结果，而决不是在人 脑里从纯粹思维中产生出来的。几何学起源于土地测量，并常常将尼罗河泛滥后 土地的重新测定作为例证。几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个 领域里最基础的分支之一。几何学中与儿童的经验最密切相关的是拓扑几何、射 影几何、欧氏几何等。 一、拓扑几何 1 、数学中的拓扑几何概念 拓扑学c r o p o l o g y ) 是十九世纪形成的一门数学分支，是继欧氏几何、解析几 何、微分几何、射影几何之后的一门较新的、研究图形( 或集合) 在连续变形下的 不变的整体性质的几何分支。过去称做“位置分析( a n a l y s i ss i t u s ) ”，并有“橡皮 几何学”的俗称。它属于几何学的范畴。有关拓扑几何的概念，不同的学者在不 同的著作中有不同的表述，和本研究密切相关的归纳起来大致有如下一些。 拓扑学的英文名是t o p o l o g y ，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相 类似的有关学科。拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面 几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间 的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体 积等度量性质和数量关系都无关。 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上， 如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形， 在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素， 每一个图形的大小、形状都可以改变。 拓扑学主要研究连续性、变化的连续性，意思是把邻近的点变成邻近的点， 因此图形必须具有某种结构以表现点与点之间的邻近关系。 研究几何图形在一对一的双方连续变换下保持不变性质的数学分支叫拓扑 学。最初属于几何学，叫作“位置分析”或“形势分析”。1 8 4 7 年德国数学家利 斯廷( j b ，l i s t i n g ，1 8 0 8 - - 1 8 8 2 ) 在( 拓扑学初步) ( v o r s t u a i e n z u r t o p o l o g i e ) 中改称 为“拓扑学”，暗指与地形、地势相类似的学科。 拓扑学有人说是“橡皮几何学”，它研究的也是点、线和面等图形，但是所 讨论的图形可以改变大小和形状。拓扑学就是研究图形经过拓扑变换后的不变性 质的学科，这里的拓扑变换形象地说是一种既不撕破也不黏台、但允许将图形伸 缩和弯曲的变换，通俗地说，橡皮筋或橡皮膜的伸缩变形就是一种拓扑变换。儿 童玩的气球，如果球面上有一些花纹包括有圆形花纹等，把它吹胀了，只要不破， 虽然花纹的形状有变化，如圆可能变为椭圆，其花纹的长度、面积、共线性等都 会改变，但气球和吹胀的气球面上的花纹之间仍有一一对应关系并且邻近的点仍 变成邻近的点，这时变换和逆变换都是连续的，这样的变换便是拓扑变换或同胚。 如果在圆的内部画一点，不管你怎样拉或吹胀这一橡皮膜制成的气球，点总是在 圆的内部这便是拓扑学的一种简单的不变性质。 对于拓扑学，吴文俊做了一个通俗的比喻：橡皮泥几何学。橡皮泥可以由原 来的形状变成许多新形状，这种变形的数学抽象就是几何图形的拓扑变换，图形 在拓扑变换下保持不变的性质就是图形的拓扑性质。拓扑学就是一门研究图形的 拓扑性质的学科，它是几何学的一个崭新分支。 拓扑空问的概念是通过抛弃度量空间的距离函数而保留开集来定义的。它包 含邻域、集合的闭包、集合的内部、集合的边界等。( b e r tm e n d e l s o n ，1 9 8 3 ) 在拓扑几何中，所允许的运动可以称作弹性运动。我们想象图形是由弹性极 好的橡皮做成的。因此，在移动一个图形时可随意地伸张它、扭曲它、拉它或折 它。甚至可以将这样一个橡皮图形切断将它打个结，只要事后再将切口缝合得与 未切割时一样即可。也就是：没切割以前紧挨着的点在缝合后仍然紧挨着。然而 必须注意，图形中不同的各个点仍为不同的点，不可以使不同的两点合并成一点。 所谓两图形是“拓扑等价的”，当且仅当可把一图形作弹性运动使与另一图形重 合。一个图形的拓扑性质就是那些所有与此图形拓扑等价的图形都能具有的性 质。这就是说所有拓扑等价的图形对拓扑学家来说都是一样的。在研究某一个图 形时，他感兴趣只是所有与它拓扑等价的图形共同具有的性质。由此，图形的拓 扑性质就是那些在弹性运动中保持不变的性质一图形的任何弹性运动都丝毫不 改变图形的拓扑性质。( a r n o l d ，1 9 s o ) 拓扑学是关于空间关系的最为一般的科学，它的基础是“组分”( p a r t ) 和“整 体”( w h o l e ) 之间的关系，或者换句话说，是“被包含在内”( b e i n g - i n c l u d e d i n ) 的概念。同这些概念密切联系的是“点”( p o i n t ) 的“围绕”( s u r r o u n d i n g ) 的概念。 4 如果通过一条完全位于区域内的道路，区域的每一个点能够和其他的每一个区域 点相连通，那么称之为“连通”区域。因此图1 - 1 中所表示的区域是连通区域。 图1 - 2 中由b 和c 组成的区域不是一个连通区域。图1 - 3 中由诸点组成的区域 也不是一个连通区域。因此区域概念并不意味着它的组分必须连通。 图1 - 1 连通区域图i - 2b + c 不是一个连通区域图1 - 3 不是连通区域 图1 - 2 中区域b 本身是一个连通区域区域c 也是如此。从拓扑学观点来 看，区域a 、区域b 、区域c 之间，没有什么差异。人们能够把下列事实作为拓 扑等价的标准；通过一个连续变换的过程，有可能把这些区域的任何一个变为任 何其他一个，而没有改变区域的连通关系，即它伸展或弯曲而不至于分裂。在拓 扑学上，圆、椭圆、规则的或不规则的任何边数的多边形，以及图形a ( 见图1 1 ) 之间，都没有什么差异。拓扑学也不考虑大小的差异。一滴水珠和一个太阳般大 小的球体之间，在拓扑学上没有差异。人们不能说图1 - 1 中点1 和点2 之间的距 离比点1 和点3 之问的距离短。 拓扑学区分“开放”( o p ) 区域和“封闭”( c i o s 哪区域。两维封闭区域的例 子为：一个带有边界的圆形，或者图1 - 1 和图1 - 2 中的区域a 、区域b 和区域c ， 如果人们把周线作为区域的组分的话。开放区域的例子为：一个圆形的内区域， 不带边界的区域a 、区域b 和区域c ，或者一个无界平面。( 库尔特勒温，1 9 9 7 ) 拓扑学里的图形是什么样的? 正像欧氏几何的图形是刚体运动下保持不变 的图形，射影几何的图形是射影变换下可以互变的图形，拓扑学里的图形也是拓 扑变换下可以互变的图形，那么哪些是拓扑图形? 如果图形x 通过弯曲，伸缩， 而没有撕裂也没有黏合( 即拓扑变换) 变形为y ，则称两个图x 与y 是拓扑等价或 同胚。通常互相同胚的图形被看做同一种图形 例如：( 1 ) 一块橡皮膜的方形，在适当的拉伸紧缩下可以变成三角形、圆、 椭圆；各种图形，虽然形状和大小发生了明显的变化，但是，不管怎么去作这种 拓扑变换，图形仍然只有一条道路a b c d a ，并且，从道路上任何一个地方出发， 都会回到出发点，且中间不和这条道路交叉。在拓扑学里，所有这些图形有相同 的名称即简单闭曲线( 或闭合道路) ( 图1 4 ) 图1 4 f 2 个橡皮球，在适当的拉伸紧缩拓扑变换) 下可以变形成立方体的表面、 椭球面、象形面等闭曲面，因为这类曲面把空间分成一个内部和一个外部，从内 部一点到它的外部所走的道路或者所作的线，和这曲面一定交= 9 - - 点。这类没有 洞的闭曲面有相同的名称即简单闭曲面( 图1 - 5 ) ，有洞的闭曲面如图i - 6 。a 和b 黏合在一起，便得到一个新图形即闭曲线( 图1 7 ) ，故拓扑变换不允许切割、撕 薯霹囊蕊 汁尝i ：。癸藩； r9 - 纛 汁，囝。* j - 婚，哂管 、- q ： 以上介绍了拓扑几何概念的不同表述，通过分析我们可以看出，拓扑几何有 一些稳定的、独特的特性，即在拓扑的等价变换中拓扑性质( 连通性、封闭和连 续性等) 保持不变。 2 、心理学研究中的拓扑几何概念 皮亚杰从1 9 2 9 开始对空间几何概念进行了系统的研究，著有儿童的空间 概念( 1 9 5 6 ) 、o l 童的几何概念( 1 9 6 0 ) 等专著，在儿童的空间概念中他们 所提的拓扑概念，主要是指图形的拓扑性质的直观意义，即图形拓扑变换过程中 保持不变的特性。如圆形、三角形和正方形能够在拉伸紧缩的变形下相互转化 最基本的拓扑特性就是开放与封闭。如图1 - 8 和卜9 就是开放图形和简单的封闭 图形。 cn l 图l 一8 o o 口 图卜9 皮亚杰和英海尔德( 1 9 5 6 ) 通过考察儿童表述在家庭关系中所使用的。兄弟”、 “姐妹”等关系，认为在拓扑数学中也存在类似的关系，进而提出了邻近或靠近 关系、分离关系、次序或顺序关系、封闭或包围关系和连续性或无限关系是在拓 扑变换下保持不变的最基本的拓扑空间关系。这些拓扑关系成为之后的心理学研 究有关空间几何概念的基础。 能通过知觉被掌握的最基本的拓扑空间关系应该是邻近或靠近关系。儿童年 龄越小，邻近关系的重要性就越大，因为儿童是根据哪个物体近些哪个物体远些 来区分各种物体的。如在画人脸时，他把两只眼睛画得靠近些。 第二个基本的拓扑空间关系是分离关系。在儿童的成长过程中，分离关系的 重要性是随着年龄的增长而增长，而邻近关系的重要性却随着年龄的增长而下 降。随着儿童逐渐成长，他能越来越容易地将一个物体从别的物体中或者将某个 物体的一部分与另一部分“分离”或者区分开来。如他能把门同墙壁分离开来； 当他画人脸时，他能将鼻子、嘴巴和服睛分离开来。儿童能区分欧氏图形( 如三 角形与正方形) 之前，已经能够将一个图形画在另一个图形的内部，如把一个圆 画在另一个圆内，或两圆相交，或两圆相离，因而他已注意到了这两个圆是否是 分离的。 当两个相邻但分离的物体被放成一个在前一个在后时，第三种拓扑空间关系 被建立了，这就是次序或顺序关系。它在儿童生活中非常早就出现了，如婴儿床 上的横档的次序，或者更为重要的看到一扇门打开了，一张图出现了和就餐前所 需要的一系列准备。 第四种拓扑空间的关系是封闭( 或包围) 关系。如在一个abc 的系列中， b 就是被知觉为在a 和c 之间，组成了一个一维的包围关系。在一个平面上，一 个元素也许会被其他许多元素包围。例如鼻子被人脸的其他器官所包围。在三维 情形中，包围就成了在内部的关系形式，就像桔子内部的一粒核那样的情形。很 明显包围关系是由原先被给的一些知觉，如邻近的关系、分离和各种次序关系共 同组成的。 连续性或无限关系是相邻关系、分离关系、次序关系及包围关系舍在一起的 结果。如“一条线或线段是无限多个点的集合”的观念。儿童平时已看到了连续 性观念的若干实际例子，如他注视着一块方糖放进水里后，先溶解为谷粒那么大， 以后又变成云雾状，最后就完全消失了。连续性概念，当它综合了邻近、分离、 次序和封闭等拓扑概念而形成时，也就“圆满地完成了作为儿童空间观念基础的 一些拓扑概念的发展。” 二、射影几何 1 7 世纪时，数学家们重新研究古希腊的圆锥面截线问题和文艺复兴的透视 法原理，积累了射影几何的原始素材，同时开始做系统的综合整理工作，创立射 影几何学。 由光学与绘画中的透视法所提出的一些问题使许多数学家把它们当作欧氏 几何的一部分来讨论，所得到方法和结果大大丰富了欧氏几何的内容，但它本身 却是另一个新的几何分支的开端。这直到1 9 世纪才被人们称为射影几何。 射影几何学( p r o j e c t i v eg e o m e t r y ) 是研究图形的射影性质，即它们经过射 影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科一度也叫投影几何学。 射影几何和画图有很密切的关系，是基于绘图学和建筑学的需要，射影几何学产 生的最初动力，来自为了帮助绘画而对透视进行的研究，古希腊几何学家就开始 研究透视法，也就是投影和截影。 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的 位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不 变性质的科学。 何为射影几何? 按照近代德国数学家克莱因( c p k l e i n ，1 8 4 9 - - - 1 9 2 5 ) 的观 点，欧氏几何是研究图形在一切运动( 保距变换) 下的不变性质和不变量的学科， 但有的变换并不保距，例如：太阳光以平行光线把玻璃窗上的剪纸画照射到地面 上，这时画和影子已不全等，这种从画到影子的变换，称为平行投影。又如，电 影救浃机通过放射灯的光线将电影胶片上的图像照射到银幕上，这对原图与电影 画面( 即原图的影子) 已不全等；这种从胶片到银幕的不一定保距的变换。称为中 心投影。这时研究经过有限次平行投影图形所保持的不变性与不变量的学科就是 仿射几何；而射影几何便是研究经过有限次中心投影图形所保持的不变性与不变 量的学科。 皮亚杰和英海尔德( 1 9 5 6 ) 在儿童的空间概念中指出，在射影几何中， 一个物体或一条直线这样的概念不是根据它本身或孤立地来考虑的，而是跟观察 它的特定的视点有关，即从一视点来看它将是怎样的。如一支铅笔，从不同的角 度来看，它的样子就完全不同。直线的概念来自儿童确定目标方位或瞄准的动作。 他们得出了视点的整体协调是构造简单射影关系的基本前提的结论。 三、欧氏几何 欧几里得( e u c l i d ) 的几何原本共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等 的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积( 面积相 等) 的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨 论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第 十卷讲述比例和算术的理论；最后讲述立体几何的内容。从这些内容可以看出， 目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在几何原本里了。 因此长期以来，人们都认为几何原本是两千多年来传播几何知识的标准教科 书。属于几何原本内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为 欧氏几何。 欧几里得几何( 欧氏几何) 中所讨论的一切图形性质以及图形之间的位置关 系和度量关系，不论搬动到地球的任何地方都不会改变，这里的搬动即指刚体运 动，它是保持距离不变的变换( 保距变换) 。按照近代德国数学家兑莱因 ( c p k l e i n ，1 8 4 9 - - 1 9 2 5 ) 的观点，欧氏几何是研究图形在一切运动( 保距变 换) 下的不变性质和不变量的学科。 欧氏几何研究平面或空间图形的某些性质。它并不考虑一个图形的所有性 质，而是只考虑其“几何的”性质。一个图形的几何性质就是所有与此图形全等 的图形都能具有的性质。这就是说，所有全等图形对几何学家来说都是一样的。 在研究某一个图形时，他只对那些所有与它全等的图形所共同具有的性质感兴 趣，如三角形的边长和角度。在欧氏几何中，所允许的运动只能是剐性运动( 平 移、旋转、反射1 。在这种运动中图形上任意两点间的距离保持不变。因此，几 何性质就是那些在剐性运动中保持不变的性质一图形的任何刚性运动都丝毫不 改变图形的几何性质。 皮亚杰与英海尔德特别重视欧氏几何中的长度( 距离) 和方向( 平行、角度) 或大小和形状的恒常性。 四、拓扑领先 这是皮亚杰和英海尔德( 1 9 5 6 ) 在研究儿童的空间概念发展的过程中所提出 的，即几何思想的逐渐组织遵循定义的顺序，这种顺序比历史的顺序更合逻辑， 即儿童最初建构拓扑关系( 如邻近、分离、封闭和次序) ，后来是射影( 直线构 成) 以及欧几里得( 多边形，平行和距离) 关系。也称作拓扑首盆的论点，它强 调拓扑关系更易于被儿童所掌握。随后的许多研究中对拓扑的邻近、分离、封闭 和次序及欧氏几何中的距离和角度属性进行计分，如果拓扑几何中所有属性的分 数显著大于欧氏几何中所有属性的分数，就认为是拓扑领先的。本研究认为这两 者是事实上一致的，前者是通过描述性方式得出的结论，而后者是通过统计学的 方法得出的结论。 l o 第= 节国内外关于儿童空间概念发展的研究现状 一、国外研究现状 从互联网和学校图书馆查阅的相关资料来看，国外对空间概念认知的研究颇 多，主要集中在5 0 7 0 年代，其中典型的是皮亚杰与英海德尔( 1 9 5 6 ) 的研究， 其他相关的研究基本都是围绕着他们的研究进行的理论和实践的迸一步探索。主 要研究结果体现在以下几个方面。 1 、皮亚杰关于儿童空间概念认知的研究 皮亚杰从1 9 2 9 年开始着手研究空间、几何等概念的形成和发展，并将这些 研究成果整理发表在儿童的空间概念( 1 9 5 6 ) 、儿童的几何概念( 1 9 6 0 ) 以及 儿童的运动和速度的概念( 1 9 7 0 ) 等几本专著中。这些富有成效的研究成果激 起了同行们对空问概念进行探索的兴趣，形成一股研究热潮。 在u m 童的空间概念( p i a g e t 和l h e l d e r ，1 9 5 6 ) 一书中。皮亚杰指出许多 数学家和教师们一直假定，我们关于空间的知识概念，是通过“触”、“视”周围 物体的感性经验而发展起来的，并在这些感知觉的基础上将这些物体合成一个有 意义的整体。他认为这个假定或者说结论实际上是错误的，他告诉我们事实上儿 童空间观念的演化是在两个不同的水平上进行的知觉水平( 即通过触与视的 感性学习) 和思维或想象水平。这后一个水平并非如人们所设想的在逻辑上是从 前一个水平来的，而是各自沿着本身的途径发展的。知觉是由于直接和物体接触 而产生的对物体的认识。他认为儿童理解的空间知识不一定与他们看到的相匹 配。年幼儿童也许看到了一条“直线”或一个“三角形”，但他无法将这些观念 转化为心理表象。表象不是一个照相过程，皮亚杰强调空间表征是一种结构而不 是知觉的简单反应，在表象空问发展阶段，从一般意义上讲，表象活动是知觉活 动的反应或投射，空间知觉先于表征。 为了研究，在2 7 岁期间根据感性经验( 知觉) 抽象几何概念或对几何 图形“构成一种心理映象”( 表征) 的能力，皮贬杰开展了一系列的研究。 首先皮亚杰利用通过触觉肌肉运动的方式去画出或从视觉识别一个形状。他 认为在这个实验中需要一些空间表征，因为没有直接的视觉信息被使用，儿童的 响应必须是来自触觉任务的概念分析。在实验中儿童被出示许多物体，熟悉的实 物( 球、剪刀等) 或平面几何图形( 正方形、圆形等) ，并用手去感觉每一个物 体，不允许看到它们，然后它必须被命名，绘画或从一堆看见或画出的实物或图 形中指出来，为了消除偶然性，儿童命名了他所感觉到的物体以后，要求在一些 图形中区别出它们，或者儿童也可被出示一些图画，或要求简单的画出他感觉到 的物体。还提供( 仅仅是作为简单的辅助) 用火柴杆贴在平面上的三角形、正方 形等形状，和用纸板剪出的字母形状，比火柴杆更好用的凿在木头上的轮廓，儿 童紧跟着凹槽代替做一个完整的触觉探索 根据实验结果皮亚杰总结出儿童空间概念发展经历了三个阶段：第一阶段： 3 “岁，容易发现熟悉的物体如汤匙，但不能再认欧氏图形如三角形，第二阶 段：4 6 6 或7 岁，是过渡阶段，能再认的欧氏图形增多：第三阶段：6 6 - 7 罗之 后，达到了感知复杂的图形。每个阶段根据儿童的不同表现又各自形成了一些子 阶段，具体表述如下： i a 熟悉物体但不是形状。 m ( 3 6 4 岁)最初认识的形状不是欧氏图形而是拓扑图形，尽管他们已能区 分开放的图形，圆和正方形还不能被区分，因为他们都是封闭图形，直线和角也 还不能区分。 m h a 阶段4 - 4 6 岁，开始有了基本的区分直线与曲线的能力，但还不能区分 不同的直线形状( 正方形、长方形等) 或曲线形状( 圆、椭圆) ，通过绘画表征 是可能的( 开始于ib ) ，但有点落后于通过选择辨认。 i i a4 6 - 5 或5 6 岁，根据角度甚至是大小( 圊、椭圆、正方形、长方形) 来区 别形状有了进步，但认知和绘画之间仍有较大的差距，除了绘画变得更准确，触 觉肌肉运动探索显示搜寻的迹象对辨认是一个重要线索。 i i b5 - 5 6 岁，通过更多的犹豫对菱形和梯形有一个连续的区分，十字形和星形 能被区别，但在复杂图形的表征中，仍有许多错误发生，探索更加积极，但并不 总是系统的。 m6 6 7 岁开始通过也许现在可被正确叫做运算的确定影响，儿童能区别复 杂图形，如纳粹标记，并同时考虑到了次序和距离。从这个阶段开始，想象( 绘 画等) 与认识是正相关的，在思维的稳定控制下，合适的位置关系好像能通过更 精细的图形符号直接表示出来。 从上述描述中可以看到，儿童通过随意地接触物体，最初还不能理解那些需 要充分探索的形状，之后，当儿童发展了理解形状的能力后，他还不能超越拓扑 的关系，并且还不能重建欧氏形状。由此儿童对几何图形进行再认的发展顺序是： 儿童熟悉的物体一拓扑图形一欧氏几何图形。 继而皮亚杰通过绘画对儿童表征基本欧氏图形的能力作了进一步的研究。要 求儿童整体或部分地复制如下的一系列模型。这些模型有些是强调拓扑结构的而 另外一些是简单的欧氏图形，第三种是几种关系的结合体( 整个或部分交织的欧 氏图形等) 。 ( 1 ) 一个4 - - 5 c m 长的不规则形状，在靠近边界的外面有一个直径2 - - 3 r a m 的 小圆。( 2 ) 和( 1 ) 一样，但小圆在靠近边界的内部。( 3 ) 和( 1 ) 一样，但小圆 在边界上。( 4 ) 一个大圆。( 5 ) 一个正方形。( 6 ) 一个等边三角形。( 7 ) 一个椭 圆。( 8 ) 一个长方形，长是宽的两倍。( 9 ) 两个直径i c m 分离的圆。( 1 0 ) 两个 直径i c m 相切的圆。( 1 1 ) 两个直径1 c m 相交的圆。( 1 2 ) 一个包含内接等边三 角形的圆。( 1 3 ) 一个包含等边三角形的圆，三角形的一个顶点在圆心，另两个 顶点在圆上。( 1 4 ) 一个直径4 c m 圆在它的e e , c , 有一个边长是1 5 c m 的等边三 兔形。( 1 5 ) 一个边长为4 5 c m 包含一个内切圆的等边三角形。( 1 6 ) 一个边长为 4 5 c m 等边三角形与一个直径4 c m 的圆相交，并形成三段相等的弧。( 1 7 ) 有一 条斜线的正方形。( 1 8 ) 边长4 c m 的菱形。( 1 9 ) 边长4 c m 的菱形，中间的水平 线把它分成两个相同的等边三角形。( 2 0 ) 一个垂直相交的十字。( 2 1 ) 一个倾斜 的十字。具体如图1 1 0 所示。 图i - 1 0 ( i 自0 1 , 童怎样学习数学，第2 2 6 页) 最终所得结果与在触觉知觉实验中是非常相似的。 在阶段0 ( 在触觉知觉实验中是不可能的) 可看到绘画是无目的的，他们是 简单的乱画，无论什么模型都毫无区别( 2 ；6 2 ；1 1 ，即2 岁6 个月至2 岁1 1 个月) 。 阶段i 可分为两个分阶段。i a ( 3 ；6 3 ；1 0 ) 儿童的涂画根据图形是开放 ( 如) 的或封闭( 如0 ) 封闭的而有所变化。i b ( 3 ；6 4 ) 儿童画的图开始 具有一种更加确定的形式。此时，圆，正方形和三角形全部以同样的方式表示成 一条不规则的封闭曲线。因为这些图形在拓扑上是等价的，所以从拓扑上讲儿童 如此画也是正确的。此时边长、角度、大小和边数等欧氏关系完全被儿童忽略了。 阶段i i 开始于4 岁。在m 和i i a 之间的中间水平，曲线形状能从直线形状 中开始被区分出来，但还不能区分各种直线形如正方形和三角形。 在h a 阶段中，形状逐渐根据它们的角甚至是边来区分，正方形从三角形中 1 3 分离出来就像圆从椭圆中分离出来一样。正方形和有对角线的菱形被成功画出， 尽管不是一般的菱形。这两个十字被区分，表明斜线的发现。复合图形根据它们 的正确形状被正确画出，但接触点不能正确表征( 相反两个相切的圆没有被成功 画出) 。最后，在l i b 阶段，菱形被成功画出，并且复合图形被逐渐掌握，除了 模型1 6 。 在m 阶段( 6 ；6 - - 7 ) ，儿童能画出上述全部图形，包括像模型1 6 的复合图 形( 圆同三角形三边相交) 。 儿童的这些图画证实了儿童所具有的空间概念最初是拓扑几何的而不是欧 氏几何的。 随后在射影空间的研究中，通过观察儿童建构空间中的直线的实验，皮亚杰 发现处在阶段l 的儿童能够再认一条直线并能将直线与曲线区别开来，但是他们 无法重新画出一条直线，即使让他平行于一条直边例如桌子边来画也不行。他们 排的火柴棒或篱笆所形成的线是一条弯弯曲曲的或波浪形的线。他们只能直接靠 着另一条直边来作直线，因而也只有将火柴靠着一条直边如一堵墙，才能把它们 排成一条直线。 皮亚杰认为儿童的这种方法是拓扑性质的。如果没有一条直边作基准或模 型，那么儿重排的火柴所形成的线就是弯弯曲曲或波浪形的，不过至少a 与b 、 b 与c 等的相邻关系是正确的。同时b 在a 的后面，c 在b 的后面这种次序关系 也是能够保持的一- = ：_ = 一 在阶段2 ，儿童只有在靠近一条直线模型如桌边的时候，才能摆成一条直线。 让一名四岁半的儿童把十多个娃娃在地板上摆成一条直线，如果他试图将各个娃 娃放得开些，那么他摆的这条线就变得弯弯曲曲了。让他将火柴插入桌上的橡皮 泥中并排成直线，那么只有当这些火柴靠得很近时，他才能排成一条与桌边平行 的直线。 在阶段3 ，儿童发现“瞄准目标”来排是排出一条直线的最好方法。因而此 时表象的直线观念已代替阶段2 中知觉的直线而发展起来，知觉的直线观念要求 有一个模型如桌子的一条边。而阶段3 的儿童已不再局限于这样的知觉观念。他 现在不用外界参照系如桌子的边，就能排出一条直线。他已经掌握了投影关系依 存于观察者的位置或视点的观念。 在研究欧几里得空间的复制村庄模型的实验中，皮亚杰发现处在阶段1 的儿 童仅仅用到相邻或封闭的拓扑概念。如娃娃被放在“靠近”房屋处，但娃蛀这时 与其它物体如河流之间的相邻关系，儿童往往就忽略了。同样，如果一个模型中 娃娃被放在河流“中间”，那么儿童也会将另一个娃娃放到另一个模型的河流中 间，不过很可能放错了，他把娃娃放到河流的另一头去了，这时娃娃对于其它物 1 4 体如小山和房屋等的相对位置就不正确了。对于上述这两种拓扑关系来说，儿童 是完全正确的。娃娃是在河流的“中间”，这是封闭的拓扑关系。当一个模型中 的娃娃放在“靠近”房屋处时，儿童也能在另一个模型中把娃娃至少放在邻近房 屋或房屋附近的地方，这是“相邻”的拓扑关系。这说明儿童是从简单的拓扑观 念逐步发展到复制一张简单的地图所必需的射影几何和欧氏几何的概念的。 在阶段2 ，从四岁到七岁，儿童能同时使用两个或三个参照点，也能将娃娃 正确地放在房屋的左边或右边或前面或后面。然而还没有把整个布局坐标化。 在阶段3 ，从六岁到七岁，一个模型旋转1