（计算数学专业论文）薄板大挠度弯曲问题的iefg方法.pdf

苏州i 大学学位论文使用授权声明 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属 在年一月解密后适用本规定。 非涉密论文豳 论文作者签名：堕堡兰皇日期：兰! ! ：生：f 墨 导师签名：么啦立啦日 期：兰! ! 兰堡! ! 堡 薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法 中文摘要 薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法 中文摘要 本文从薄板大挠度弯曲问题基本理论出发，依据改进的移动最小二乘近似和 g a l e r k i n 全局弱式无网格方法的基本思想，形成了改进的g a l e r k i n 无网格( i e f g ) 方法， 并应用到薄板大挠度弯曲问题中 i e f g 方法是一种基于传统的e f g 的改进方法它以s c h m i d t 带权正交函数作为 基函数对移动最d x - 乘近似进行了改进，使需要求逆的矩阵化为对角阵，这样不但继 承了m l s 近似的一致性优点而且具有很好的稳定性，同时也可避免出现病态方程，提 高了计算精度及效率由于薄板大挠度弯曲问题的控制方程是高阶非线性耦合方程 组，难以直接求解，故本文采用g a l e r k i n 全局弱式方法对能量控制方程进行离散，得 到性能稳定的全局非线性离散系统方程 本文最后根据i e f g 方法编制程序计算薄板在多种边界条件的大挠度弯曲，计算 结果表明了本文方法在薄板大挠度弯曲问题上的适用性和精确性 关键词：改进移动最d x - - 乘近似( i m l s ) ，i e f g 方法，g a l e r k i n 无网格法，几何非线性， 大挠度弯曲 作者：殷娉 指导老师：姚林泉 英文摘要 薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法 i e f gm e t h o df o rl a r g ed e f l e c t i o np r o b l e m o ft h i np l a t e s a b s t r a c t i e f gm e t h o df o rl a r g ed e f l e c t i o no ft h i np l a t e si sp r o p o s e di nt h i sp a p e r i ti sb a s e do n i m l sa n dg a l e r k i nm e t h o da n dc o m b i n e dw i t hb a s i ct h e o r ya b o u tl a r g ed e f l e c t i o n i e f gi sa ni m p r o v e dm e t h o db a s e do ne f gm e t h o d i tt a k e so r t h o g o n a lf u n c t i o n s f o r m e db ys c h m i d tm e t h o da sb a s i sf u n c t i o n so ft h em o v i n gl e a s ts q u a r ea p p r o x i m a t i o n i t i sn o to n l yi n h e r i t e dt h em l s c o n s i s t e n c y , s t a b i l i t y , e t c b u ta l s oa v o i d i n gi l l c o n d i t i o n e d e q u a t i o n s ，s oc a l c u l a t i o ni se a s i e ra n dm o r ea c c u r a t e f o rs o l v i n gh i g hl e v e ln o n l i n e a r c o u p l e dc o n t r o le q u a t i o ns y s t e md i r e c t l yi sv e r yd i f f i c u l t ，t h em e t h o dw i t hg l o b a lg a l e r k i n w e a kf o r mi su s e di nt h i sp a p e rt od i s c r e t ec o n t r o le q u a t i o n 目录 第一章引言1 第二章薄板弯曲的理论分析4 2 1 薄板的小挠度分析4 2 2 薄板的大挠度分析7 第三章能量方程的i e f g 方法离散1 1 3 1i m l s 形函数的构造1 1 3 1 1形函数的局部支撑域1 1 3 1 2 改进的移动最小二乘近似1 2 3 2无单元g a l e r k i n 方法离散1 7 3 2 1 薄板小挠度弯曲系统控制方程离散1 7 3 2 2 薄板大挠度弯曲系统控制方程离散1 8 第四章算例分析2 4 4 1 主要步骤2 4 4 2 算例分析2 4 结论与展望3 0 参考文献3 1 致谢3 3 薄板人挠度弯曲问题的i e f g 方法第一章引言 第一章引言 随着工业中广泛采用杆、板、壳等柔韧结构，其非线性因素也越来越受到重视板 壳的非线性变形问题己成为非线性固体力学的重要课题之一v o nk d r m d n 给出了板 大挠度理论的微分方程【l 】由于这种定解问题的复杂性，一般难以求得解析解在弹 性力学问题中，除平面问题的复变函数解法属于正演解法外，其余弹性力学问题都只 能用逆解法或半逆解法逆解法和半逆解法的成功率都很低，不能满足工程上的需要， 从而数值方法应运而生从2 0 世纪5 0 年代开始，我国学者对在不同荷载作用下弹性 薄板大挠度问题的各种数值解法都进行了较为深入的研究目前主要的数值方法有有 限差分法，有限元法，无网格法等 有限差分法( f d m ) 用来求解微分方程已经有几个世纪的历史了它是将偏微分方 程的定解问题按差分格式离散以获得数值解f d m 对形状简单的问题非常有效，故 在适应性更强的有限元法问世前被广泛使用由于计算精度及通用性等原因，有限差 分法目前在固体和结构力学领域已很少应用 有限元法( f e m ) 最早是由c o u r a n t 2 】在1 9 4 3 年提出的它的优点是简单直观，计 算效率好，一般数值精度也较高，在工程数值计算中发挥了巨大的作用它是基于网 格的数值方法，需在整个求解域上进行网格离散，计算成本高在位移法中，由于 f e m 中的位移假设是分片连续的故由f e m 所得到得应力在各单元边界上是不连续 的需要进行后处理，从而应力精度较低对于形状复杂的三维体它在分析涉及特大变 形( 如加工成型、高速碰撞、流固耦合) 、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多 困难同时，复杂三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的 无网格方法( m e s h l e s sm e t h o d ) 黜年来兴起的一种新的数值方法【3 ，4 1 ，它只需要 将问题域用节点进行离散，克服了有限元法中划分网格的前处理过程的复杂性由于 它不需要划分网格，故当结构发生大变形的情况下，也不会出现网格畸变的问题目 前用无网格求解大挠度弯曲问题的方法有很多种，有光滑质点流体动力学方法，重构 核函法，配点法，无单元迦辽金方法等等 光滑质点流体动力学方法( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，s p h ) 最早是由l u c y t 1 第一章引言 薄板大挠度弯曲的i e f g 方法 和g i n g o l d1 9 7 7 年提出的它在天体力学和流体动力学领域应用较广，但是它计算 效率不高，计算精度和稳定性方面还存在一定的缺陷l i uw k t 5 1 和a l u r unr 【6 1 基于 g a l e r k i n 方法和积分变换方法对s p h 提出再生核粒子方法r k p m 配点法( p c m ) 最早是由f r a z e r ，j o n e s 和s k a n i7 j 提出的，它要求基本方程和边界 条件在离散的若干的配点处得到满足一般而言，配点越多，得到的解越精确基于 配点法的无网格法不需要背景网格，比较简单计算效率高，但其精度低，稳定性差 1 9 9 2 年，n a y r o l e s 等人【8 】最早将计算域通过一些互不相干的点离散，从以移动最 小二乘法( m o v i n gl e a s t s q u a r em e t h o d ) 为基础形成的一种非线性插值函数出发并引入 到g a l e r k i n 法中，提出了散射元法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，d e m ) b e l y t s c h k o t 9 】等 对d e m 进行了两点改进，在计算形函数导数时保留了被n a y r o l e s 忽略掉的所有项， 并利用拉格朗日乘子法引入本质边界条件，提出了无单元g a l e r k i n 法( t h e e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，简称e f g ) ，给出了误差估计【1 0 】，并成功地应用于动态 裂纹扩展数值模拟【l l 】和三维撞击分析，掀起了无网格法的研究热潮这类方法比s p h 方法计算费用高，但具有较好的协调性及稳定性b e l y t s c h k o h e 1 2 】等对e f g 法中的 数值积分方案以及近似函数的计算方法进行了深入研究，并将e f g 方法用于动态裂 纹扩展的数值模拟【1 3 1 5 】，克服了有限元方法在模拟裂纹扩展时需要不断进行网格重新 划分的缺点用m l s 可以较容易地构造具有c 1 连续性的函数，因此k r y s l 等【l6 j 将 e f g 用于板壳分析中l i u 等将e f g 和边界元法相耦合，用于固体的应力分析无 网格伽辽金法是目前发展较为成熟的一种无网格方法，它只需要节点信息而不需要划 分单元，节点随机分布，且与积分网格无关它具有精度高、后处理方便、收敛快且 稳定性好的特点，但有时最终的代数方程组会产生病态，然而在求解方程之前，没有 数学理论来判断这个方程是否是病态的，因此有时将得不到正确解或较精确的数值 解 本文所讲的i e f g 方法是基于改进的最d x - - 乘近似的无单元无网格法，该方法 将带权正交函数作为基函数对移动最小二乘近似进行改进，从而避免出现病态方程且 不需要对矩阵求逆，提高了计算精度和效率同时结合g a l e r k i n 全局弱式方程进行离 散具有精度高，收敛快，且比较稳定的优点 2 薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法第章引言 本文从薄板大挠度弯曲问题的基本理论出发，依据改进的移动最小二乘近似和 g a l e r l d n 全局弱式无网格方法的基本思想，提出大挠度弯曲问题的改进的e f g 方法 ( i e f g 无网格法) ，并结合非线性有限元分析方法进行比较第一部分在弹性力学理 论的基础上分别讨论了薄板小挠度和大挠度的控制方程及能量方程第二部分介绍无 网格方法的基本理论，包括改进的最小二乘近似，及g a l e r k i n 离散方法从薄板大挠 度弯曲理论出发给出问题的全局g a l e r k i n 弱形式并利用n e w t o n r a p h s o n 平衡迭代法 求解非线性离散系统方程第三部分根据i e f g 方法编制程序计算分析薄板在多种边 界条件的大挠度弯曲，计算结果表明本文方法在薄板大挠度弯曲问题上具有适用性和 精确性 第二章薄板弯曲的理论分析 薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法 第二章薄板弯曲的理论分析 本章主要考虑厚度为h 的等厚度弹性薄板的弯曲理论，取x - y 平面为板的中面， z 轴垂直于中面正方向向上 2 1 薄板的小挠度分析 薄板弯曲的小挠度理论是建立在k i r c h h o f f 假设的基础上的k i r c h h o f f 假设 如下【1 8 】： 1 平板的厚度远小于平板另外两个方向的尺寸，即只限定考虑薄板问题 2 平板的变形为一阶小量，忽略二阶及更高阶变形分量，即将问题限制在线弹性 的范围 3 假定变形前中面的法线仍然是变形后中面的法线，这一假设实际是假定板截 面内的剪应力为零 4 假定板内各层互不挤压，即假定板的法向正应力为零 根据薄板的k i r c h h o f f 假设，下面列出薄板小挠度弯曲的平衡方程，几何方程和 物理方程 平衡方程( 不计体力) 堡+ 生+ 监：o 瓠 匆 a z 堡+ 堡+ 堡：o 舐 勿 瑟 一o r = + 蔓+ 堡：o 苏 砂 瑟 其中，o x ，q ，o z ，l x y ，k ，屯，吃，勺为板应力分量 几何方程 4 ( 2 1 ) 薄板大挠度弯曲的i e f g 方法第二章薄板弯曲理论分析 a 2 w q 一丽z a 2 w y 一哥z a 2 w 一z 丽z ( 2 2 ) 其中，q ，q ，为板中面应变分量，w 为板中面内各点的横向位移，即所谓的挠度 或写成矩阵形式 物理方程 或写成矩阵形式 即 材一z a 2 w 叙2 a 2 w 砂2 2 塑 舐砂 q = 去( 吒一v q 。= 去( q v q 岛= 半 p ) = c 】1 盯) ， 全- z g a ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 鼽斟旧= 告i j 0 曼卜脆m 第二章薄板弯曲的理论分析 薄板人挠度弯曲问题的i e f g 方法 t 。_ ，= 篷 = ；2 t 仃，z c 扬= 2 2 c c ，t 占，氛拓= ：z 2 比c c ，t 占p ，= c 石，t 郎，c 2 7 ， 黼面= 南_ i ) ，2 卜一鱿 其中，尸为作用于板中面的横向均布载荷 以w 为基本未知量，根据k i r c h h o f f 假设下薄板小挠度问题已退化成二维问题根 据平衡方程，几何方程，物理方程及上下表面内力边界条件可以导出用位移w 表示 的薄板弯曲的控制微分方程【1 8 】 d o v 4 w = p ， ( 2 9 ) 鼽d o = 南称为弯删度w = 导+ 2 南号 由( 2 9 ) 直接求解板的挠度是非常困难的，对于一些结构和载荷都比较简单的情 况，级数解法是寻求弹性力学近似解析公式的一种十分有效的方法，而对于较为复杂 的u - j 题，一般使用能量法或变分法结合数值方法进行求解 根据最小势能原理，真实位移使总势能泛函的一阶变分为零，即 6 1 - i = 0 ( 2 1 0 ) 总势能兀等于应变能u 与势能w 的和，即 1 - i = u + w ， ( 2 1 1 ) 其中， u = 丐1i f c 科 盯 d r ( 2 1 2 ) 根据( 2 3 ) ，( 2 7 ) ，将( 2 1 2 ) 关于z 积分得 u = 三1 胍盯 d r = 互1i 6 p 1 _ 】 郇矽q ( 2 1 3 ) 势能形为 6 烈 l 一 意 一 一 吃 吒 薄板火挠度弯曲的i e f g 方法第二章薄板弯曲理论分析 由( 2 1 0 ) 一( 2 1 4 ) 可知 形= 一1 1 w p d q q ( 2 1 4 ) n 万 o ) r 动 o 矽q i l s w p d 2 = 0 ， ( 2 1 5 ) 式( 2 1 5 ) 即为薄板小挠度弯曲的能量控制方程的变分形式 2 2 薄板的大挠度分析 对于薄板的小挠度问题，挠度远小于厚度，薄板中面内各点由挠度引起的纵向位 移可以不计，于是薄板的中面没有伸缩和切应变，因而也就不发生中面内力对于钢 筋混凝土来说，小挠度理论总能符合实际情况的但对于金属薄板来说，挠度却不一 定小于厚度这样，就必须考虑中面内各点由挠度引起的纵向位移，因此也必须考虑 此项中中面位移引起的中面应变和中面内力 我们假设薄板的挠度仍然远小于中面尺寸，则中面平衡微分方程 c o f r + o f r x y ：0 苏 砂 堡+ o f r x y ：o 咖 苏 ( 2 1 6 ) 其中，最= ；h 2 2c r f l z ，= f h 2 2 c r y d z ，= ：龙为中面内力 以及弹性曲面微分方程 d o v 4 w - ( 露面0 2 w + 等+ 2 面8 2 w ) = 尸 ( 2 1 7 ) 中面应变由中面内各点的纵向位移分量“和v 引起的中面应变和挠度引起的中面 应变叠加而成，即非线性几何关系 由( 2 1 8 ) 可以得到相容方程 毛：_ 0 u + = 1 【_ t v ) 2 o x2 o x q = 万0 v + j 1 万0 w ) 2 ( 2 1 8 ) 0 v 锄0 w0 w 岛2 瓦+ 万+ 面万。 第二章薄板弯曲的理论分析 薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法 将物理方程( 2 4 ) 改写为 引入应力函数( x ，y ) ，令 q = 去( 矗一略) 0 ：瓦1 ( 一v f r x ) 0 2 丽( 户一 = 掣2 督。 = 乃矿0 2 ( d = 办窘 = 办等 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 这样平衡方程( 2 1 6 ) 自然满足由弹性曲面微分方程( 2 1 7 ) ，微分相容方程( 2 1 9 ) ，物 理方程( 2 2 0 ) 及( 2 2 1 ) 可以得到薄板的大挠度微分方程组 即为冯卡i - j ( v o nk c j r r n d n ) 方程这是高阶非线性耦合方程组，求解起来相当困难， 可采用逐步逼近差分法求解下面从能量的角度出发，用能量法进行分析【1 8 】 根据最小势能原理，真实位移使总势能泛函的一阶变分为零即 , f f i = 0 ( 2 2 3 ) 总势能等于形变势能圪与势能形的和，即 兀= k + w ( 2 2 4 ) 设 p ) 为外部载荷向量， s ) = ”，1 ，以r ，则 8 盟妒 盟掰 p 盟坳 盟岫 堕掰 监驴 挑一掰 l 垫矿盟矿 群等篱争 喀岛 薄板人挠度弯曲的i e f g 方法 第二章薄板弯曲理论分析 万形= 一心万 尸盥， ( 2 2 5 ) 薄板的形变势能k ，包括相应于中面应变的势能和相应于弯曲形变的势能： 将( 2 1 8 ) 写成矩阵形式 褂 圪= + k - + 1r 伽、2 一l i 2l 苏 1f ，挑、2 一i l 2l 砂 o w o w 苏砂 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 中面应变势能圪可以由平面应变 毛) 和平面应变 q 表示， = 丐1m q ) 7 1 c r i d v 由物理方程( 2 6 ) 可知 q ) = c 毛) ， 代入上式并考虑到 毛) ， q ) 都是关于x ，y 的函数与z 无关，沿z 方向积分得到， = j 1m 7 o - , a v = 互1m 嘲q 炒= 考他懈毛徊( 2 2 8 ) 对于弯曲形变势能k ，仍然和板的小挠度弯曲的应变势能一样，根据( 2 1 3 ) ，有 = 专心7 1 一 d q ， ( 2 2 9 ) 其中 由( 2 2 3 ) - ( 2 2 9 ) ，得到 s ：) = 一 a 2 w 锄2 a 2 w 砂2 2 塑 缸砂 9 为板弯曲引起的应变 ( 2 3 0 ) 加一缸 q l q i 空砂 挑一苏挑一耖伽一缸 ，_，l + 1 2 l 一2 v x 。卜2 。l2加一知 锄一魂加一砂钆r砂 第二章薄板弯曲的理论分析 薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法 宝万儿v ) d q + a j j 巳 e 2 7 c e 2 d n = 亚邓) r p d n ( 2 3 1 ) 为能使( 2 3 1 ) 进一步离散，定义广义应变 同时定义广义应力 其中， 将( 2 3 2 ) 代入( 2 31 ) 得到 叫褂 ( 2 3 2 ) 口) = q ，o - 2 ，0 - 3 ，0 4 ，o - 5 ，a 6 r = 【d 占) ，( 2 3 3 ) r c 】办 【d 】2 k l - n 以s ) 7 【d 】d q = f l 万 p d n ， ( 2 3 4 ) 式( 2 3 4 ) 即为薄板大挠度弯曲的能量控制方程的变分形式 薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法第三章能量方程的i e f g 方法离散 第三章能量方程的i e f g 方法离散 本章主要分析用i e f g 方法对薄板小挠度弯曲和大挠度弯曲的能量方程进行离 散首先介绍i m l s 形函数近似，接着分别对薄板小挠度弯曲和大挠度弯曲的能量控 制方程的i e f g 方法进行详细分析并利用n e w t o n r a p h s o n 方法求解最终的非线性方 程组 3 1i m l s 形函数的构造 在无网格方法( m e s h l e s sm e t h o d ) 中，其问题域通常是由任意分布的场节点 x l ( 扛l ，2 ，”) 离散问题域中的任意点x 的场变量甜( x ) 通过该点的局部支撑域中的 一组场节点x l ( 江l ，2 ，) 的近似来表达的，一般格式为“( x ) = 办( x ) 嘶，其中， u ，= u ( x ，) ，办( x ) 为x 在x ，处的形函数 3 1 1 形函数的局部支撑域 在二维问题中，支撑域相对于求解域是很小的区域，它一般取圆形或者矩形( 如 图3 1 ) 只是支撑域覆盖了计算点的那些节点才对形函数有贡献，而这些支撑域的并 称为计算点的影响域 计算点支撑域中的节点数目将影响计算的精度，一般计算点x 的支撑域的尺寸 以= a s d 。，其中口。是无量纲尺寸，以为x 的支撑域内平均节点间距定义吐的最简 单的定义方法以= 二e 丝- 1 ，4 为估计的支撑域的面积，为4 中的场节点的个数 第三章能量方程的i e f g 方法离散 薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法 局部支 场节点 计算点 图3 1 计算点的局部支撑域 3 1 2 改进的移动最小二乘近似 移动最小二乘方法最早用构造插值函数来拟合曲线和曲面它是指通过几个互不 相关节点上的数据，拟合出一个函数，其能够精确构造基函数空间中的任意函数，在 求解偏微分方程数值解时，形函数的形成及区域积分的实现都可以脱离单元的概念 设待求函数“( x ) 的全局近似函数为“6 ( x ) ，计算点x q ，q 是问题域，且甜( x ) 在 计算点x 的支撑域内的局部近似为1 9 】 甜6 ( x ，孓) = d ( 孓) q ( x ) = p ) r 口) ， i = i 其中， p ) r = p 。( i ) ，仍( i ) ，以( 习) ，b ( i ) 是多项式基函数，孓为计算点x 支撑 域内各点的坐标脚为多项式基函数的个数， 口) = 口l ( x ) ，口2 ( x ) ，( x ) ) r ，q ( x ) 待定 系数 近似函数“6 ( x ，孓) 是待求函数”( x ) 在计算点x 支撑域内的最佳近似，对所有点x 都可以在其支撑域内建立甜( x ) 的最佳近似，这些局部近似函数“6 ( x ，i ) 在孓= x 处的值 的集合就是待求函数u ( x ) 在问题域内的全局近似函数“6 ( x ) 即 薄板人挠度弯曲问题的i e f g 方法 第三章能量方程的i e f g 方法离散 甜( x ) “6 ( x ) = “6 ( x ，戛) l = p ) r 口) ， ( 3 1 ) 其中， p ) 7 1 = 见( x ) ，仍( x ) ，p 。( x ) ) 设计算点x 的支撑域内有个场节点x 1 ( ，= l ，) ，且在x ，处定义权函数( 窗 函数) ( x ) = w ( x - - x ，) ，权函数( x ) 是紧支的设q ，为( x ) 的支撑域，也即为x ，的 支撑域 令 n n l m i ，= ( x ) 【“6 ( x ，x ，) - u ( x ，) 】2 = ( x ) l 只( x ，) q ( x ) 一甜，1 ( 3 2 ) 1 = 11 = 1 l # lj 求j 的最小值， 故有 即 其中， 茹= 2 否n 叫喜删绀小- o ，川2 m ini n i ( x ) 只( x ，) p l ( x ，) i q ( x ) = l ( x ) b ( x ，) u l ， i = 1l 1 = 1 j l 1 = 1j 【彳- 】 口 = o l u ) ， ( 3 3 ) a 1 = z w , ( x ) p ( x ，) p ( x ，) 丁， l = l 【b1 = 【( x ) p ( x 1 ) ，w 1 2 ( x ) p ( x 2 ) ，( x ) p ( x v ) 】， “) = 甜l ，甜2 ，“ r 对于v ( x ) ，g ( x ) s p a n ( p ) ，定义内积 ( 厂，g ) = w ( x - - x ，v ( x ，) g ( x ，) ， 其中，s p a n ( p ) 是一个h i l b e r t 空间 于是，( 3 3 ) 可写成 第三章能量方程的i e f g 方法离散薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法 其中， ( a ，a ) ( p 2 ，p 1 ) ( p l ，p 1 ) ( p 2 ，p 1 ) ( p l ，p 2 ) ( p 2 ，p 2 ) 一( p 。，a ) ( ，见) ( p l ，p 2 ) ( p l ，p m ) ( p 2 ，仍) ( p 2 ，p m ) ( p m ，p 1 ) ( ，p 2 ) ( p m ，p m ) ( p l ，) ( p 2 ，p m ) ( ，p 。) = m 】， ( a ( p 2 ( q ( x ) 呸( x ) a m ( x ) 搿 ( a ，u 1 ) ( p 2 ，u 2 ) ( p m ，甜册) = b q u ， q ( x ) a 2 ( x ) ( x ) ( 3 4 ) = 口) 仍= 1 ，仍：，一黑仍， h 嵩群产3 ，删 ( 3 7 ) 一1 嵩貉产3 ，删 “7 1 4 。一 i 薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法第三章能量方程的i e f g 方法离散 c 嘶，= 黔x ；多 用正交向量 缈 替换( 3 1 ) d o 的多项式基 办，则 u h ( x ) = 仍( x ) 虿( x ) = 泐r 何 ， i = l 其中， 刃= 瓦( x ) ，瓦( x ) ，瓦( x ) ) r ， 纠= 仍，仍，) r 为s c h m i d t 正交基 根据( 3 4 ) 和( 3 8 ) 可以得到 记 于是， ( 仍，c 0 1 ) o 0 o ( 仍，仍) 0 o o 此时，( 3 1 0 ) 可以写成 故( 3 9 ) 可以写成 o 0 ( 仍，仍) 0 0； 0 ( ，) 0 0 ( 仍，仍) 0 0； 0 ( ，) 国= z i i ( x ) 瓦( x ) = 么】， ( 仍，u 1 ) ( 仍，“2 ) ( ，“。) ( 仍，u 1 ) ( 仍，u 2 ) ( ，u 。) j 【_ o o ( 仍，仍) o l o ( 仍，仍) o o 0 0 【么】 万) = 【8 1 u ) = b 甜) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ；南 第三章能量方程的i e f g 方法离散薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法 记 则有 卫w ( x x 施( x ，弦， 甜6(x)=缈)r【j】。1【百】“)2善仍(x)兰呈孚 ( 3 1 2 ) 叫叫一喀m 絮铲， “6 ( x ) = ，( x ) 蜥= ) 甜) ， 其中， ) = l ( x ) ，2 ( x ) ，( x ) ) ，伽) = ，“2 ，甜_ ) r 由( 3 1 3 ) ，可利用链式法直接求得，( x ) 的一阶，二阶导数公式 “c x ，= ，c x x ，摹；里 丢考老笋+ w c x x ， 喜竺 丢等掣 ， 吲炉咖引善掣啪一，慝帮 川引陲掣 ，f + 吣一，i ；错 ， ， ( 3 1 4 ) 薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法第三章能量方程的i e f g 方法离散 3 2无单元6 aie r kin 方法离散 这一节主要介绍利用3 1 节所述的i m l s 近似，结合g a l e r k i n 方法对薄板弯曲问 题的能量控制方程进行离散使用全局弱形式处理过程，其表面力边界( 自然边界) 在 公式形成过程中已自然满足，不需要处理而在公式形成过程中没有处理位移边界条 件( 本质边界条件) ，故只需处理本质边界条件由于i m l s 方法和m l s 方法一样不具 有k r o n e c k e rd e l t a 性质，故需要使用具约束条件的g a l e r k i n 方法 3 2 1 薄板小挠度弯曲系统控制方程离散 由于i m l s 小满足k r o n e c k e rd e l t a 性质，对于本质边界条件不能精确满足，本文 引入罚因子进行处理 以简支边界条件为例说明简支边界条件为 w = 。；丽0 2 w = o ， ( 3 1 5 ) 其中，w = o 是本质边界条件，窑：o 是自然边界条件( 自然满足) ，力为法方向，n ( 2 1 5 ) o n 可化为 豫万怵。脚一儿万删q - 1 2d f 。眦w d r = o ， ( 3 1 6 ) 其中，口是惩罚因子，r 。为本质边界 利用i m l s 法近似( 3 1 4 ) ，挠度近似为 w ( x ) = 艇) = ) 形) ， ( 3 1 7 ) 其中，o ，为形函数， = 。，o ：，) 为计算点x 处的形函数向量， 形) = ，w 2 ，k ) 7 ，为局部支撑域中节点数目 1 主t ( 2 3 ) ，( 3 1 7 ) 可以得到 1 7 第三章能量方程的i e f g 方法离散薄板大挠度弯曲问题的1 e f g 方法 e p = 一 其中， b 】= 一 a 2 w 缸2 a 2 w 砂2 2 立 叙砂 a 2 l 叙2 0 2 ( i ) l 砂2 2 堕 叙砂 a 2 a 2 ， 苏2良2 a 2 ，a 2 ， 却2却2 ，a 2 1， a 2 2 反砂苏砂 a 2 ， 叙2 a 2 2 砂2 2 0 2 ( i ) 2 叙勿 w l 比 w u = 【b 】 形) ，( 3 1 8 ) 将( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) 代入( 3 1 6 ) 式得 万 矿) 7 皿 别7 石 【b 】 形矽q 一艿 ) r 皿 ) r 朋q 一6 形) 7 。 ) r 口 ) 形矽1 1 = 0 ， 由a w ) 的任意性得到 【k 】 形) = _ ) ， ( 3 1 9 ) 其中， 【k 】= 皿【别r 【- 【b f q l ) 7 1 口 矽r 为刚度矩阵， 一p - - 皿 ) 丁朋q 为载荷向量 ( 3 1 9 ) 是个线性方程组，容易求出解 形 ，再利用( 3 1 7 ) 可以求出板中各点的挠度 3 2 2 薄板大挠度弯曲控制方程的离散 ( 3 2 0 ) 等等鲁 等等鲁 薄板大挠度弯曲问题的1 e f g 方法第三章能量方程的i e f g 方法离散 廿 由( 2 3 2 ) ，将 s ) 分成线性 8 l ) 和非线。l 生 6 n ) 两部分，即 占) = 吒) + 知) = 1 主1 ( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 可以得到 气) = 3 u 苏 加 砂 锄加 上 砂苏 a 2 w 舐2 a 2 w 砂2 13 2 w 幺一 苏砂 0 0 0 l 反 0 锄i 砂 0 3 0 0 1 勿 锄1 舐 o0 o0 o0 o u 戗 加 砂 a u 加 上 砂叙 a 2 w 苏2 3 2 w 砂2 1 3 2 w 一二一 良砂 扩吧 反2 a 2 1 砂2 _ 2 堕 叙砂 + 1f ，伽、2 一l l 2l 苏 1f ，撕、2 一l l 2l 砂 弧撕 苏砂 0 0 0 揶，、 二 u 叙 垒 。 砂 垒 。 出 。一耸 锄2 0 一堡 0 3 , 2 全【0 0 1 s ) ( 3 2 1 ) o - 2 垒 缸印 f 3 2 2 ) 坼h；k o o 吼 。吼。 吼o o 0 0 呶 0 q o 旺0 o 坼h m 屹屹 o 鸲可o o o 侈 第三章能量方程的i e f g 方法离散薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法 垒 眈 s ) ， 6 n ) = 1f ，辄、1 2 j l 瓦j 1f ，挑、1 2 互i 万j 挑挑 苏砂 0 o o 1 = = 2 却 ，、 一u 缸 0 挑 砂 0 o o 加 砂 跏 反 = 扣 【g 耶) 卸吼 ， 其中， 【眈 _ 堕。 舐 0 抛l 砂 o 抛l 砂 a 电 苏 隅 oo 竺 叙 oo 竺 砂 锄，、 _ 三 u 叙 o a ， 砂 0 一_ a 2 c i ) 1o 苏2 抛 砂 a 舐 。一孽 苏2 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 嘶h屹屹； 薄板大挠度弯曲问题的1 e f g 方法第三章能量方程的i e f g 方法离散 由( 3 2 2 ) 一( 3 2 4 ) 可得 占) = ( 眈 + b 】) s ) 全【召】 s ) ( 3 2 7 ) 对( 3 2 7 ) 求变分得 8 8 ) = 艿( ( 【眈】+ 氐】) s ) = 万 风】 s ) + 【皖】艿 s ) + 【氐】万 s ) ， 可以证明研风 s = i b m a s 【2 0 1 ，则 a e ) = 盈 艿 s ) + 2 鼠】万 s = ( 眈】+ 2 巩】) 万 s ) 全( 【眈】+ 【b ， ) 万 s 全 b 】万 s ) ，( 3 2 8 ) 其中， 【氐】= 2 吼】，【b 】 吃】+ 氐】 ( 3 2 9 ) 根据( 3 2 8 ) 和( 3 2 1 ) ，1 主t ( 3 2 0 ) 可以得到 悯r m 矾刎【b f q s 一删rm 叫r d q 一7 f 。 。r a e o d r s = 0 ( 3 3 0 ) 由d s 的任意性可得 ( i l c 否j 1 d 】【曰f q 一【】7 a e o d f ) s 一j 【 】r p ) d q = 0 ( 3 3 1 ) 将( 3 31 ) 记作 k 凇) = ) ，( 3 3 2 ) 其中， k 】= 皿 否】 d 】【b f q i t * 1 7 口p 】j r 为刚度矩阵， ) = n r 尸) d q 为载荷矩阵 令 、壬，) = k 】 s ) 一 尸) ，则由( 3 3 2 ) p - j 知 甲) = 0 ( 3 3 3 ) 式( 3 3 3 ) 是非线性方程组，线性化的处理带来的误差可能带来解的漂移和不稳定，因 此，本文采用利用n e w t o n r a p h s o n 平衡迭代法求其近似解 对( 3 3 3 ) 求全微分，得 d 甲( = 儿回俐d q + f l d b 7 o d q f ，州o t o o d f d s ( 3 3 4 ) 由( 2 3 3 ) 可得增量本构关系 d 盯) = 珥f 占) ， ( 3 3 5 ) 2 1 第三章能量方程的i e f g 方法离散 薄板大挠度弯曲问题的i e f g 方法 兵中，【研】- d 】 先考虑( 3 3 4 ) 第- - 项，由( 3 2 8 ) ，( 3 3 5 ) 可得 亚【司7 d o - d f 2 = 皿【司7 d d a s 矽q = n 否】7 d - b d d m sa _ k ， d s ，( 3 3 6 ) f l j ( 3 2 9 ) ，( 3 3 6 ) 可知 【墨】- 儿( 【吃】+ 【万】) 7 【d 】( 【眈】+ 【瓦】矽q = n 【吼】7 【d 吼f q + 亿 眈r d b - 7 d f 2 + f i t g l r 【d 吃f q + 瓦】7 1 【d 】【瓦v q 全 k 。】+ 【k ：】， 其中， k 。 - j e 毋】7 1 d b l d f 2 ( 线性部分) ， 【k ：】_ 旺 眈】7 【d 】【瓦f q + 儿瓯】r d b l d f 2 + 儿【瓦】7 【d 瓦f q ( 非线性部分) ， 然后考虑( 3 3 4 ) 第- - 项 儿讲矸 盯矽q = ；l d ( t b l + t - 瓦n ) r c r d f 2 = 儿d 瓦】r o - d n ( 3 3 7 ) 由( 3 2 4 ) ，( 3 3 7 ) 可写成 i ld b 7 1 o - d n = 他( d 彳】【g 】) rp 矽q = m g 7 ( d 【么】) 7 o - d n ( 3 3 8 ) 又由于 ( d 么】) 7 仃) = 【m 】 g 】d s ) ， 其中，c m ，= ( 三三) q ，吒，吒见c 2 3 3 ， ( 3 3 8 ) 又可以进一步写成 心饥否】7 仃矽q = 几【g 】r ( d 【么】) 7 1 盯) d q = 他 g 九m 】 g v 似 s ) 垒 心】d s ) ( 3 3 9 ) 再考虑( 3 3 4 ) 1 拘第三项 一f 。 】，口嘲d 形会 墨掀趴 ( 3 4 0 ) 将( 3 3 6 ) ，( 3 3 9 ) ，( 3 4 0 ) 代入( 3 3 4 ) 可以得到 d 甲“s ) ) = 0 1 d s ，( 3 4 1 ) 薄板人挠度弯曲问题的i e f g 方法 第；室j 滢方程的i e f g 方法离散 其中， 【巧】= k 】+ 【砭】+ 【坞】即为刚度切线矩阵 ( 3 4 2 ) 利用n e w t o n r a p h s o n 平衡迭代法的迭代公式为1 2 l 】 甲) = 甲( s ) ) ) = 【k ( s 7 ) ) 】 s ) 一 j p ) a s o ) = 一 砰】- l 甲o ) s 川) = s ( o ) + 丛) ， 迭代过程可归纳为以下6 步： 1 求小挠度解作为迭代初值 s ) ： 2 求不平衡节点力向量 甲) ，f 初始值为0 ； 3 求切向刚度矩阵【巧刁； 4 求节点位移增量 丛7 ) = 坼f ) 】。1 ( 毋一】 s 7 ) ) ； 5 求修正的节点位移 s ”1 ) = s 7 ) + s ： 6 i = i + 1 ，重复2 ， 3 ，4 ，5 步直到 甲f ) ) 充分小 经过以上步骤即可求出 s ) ，再利用( 3 2 1 ) 可以求出薄板上各点的纵向位移分量u ， 及横向位移( 挠度) w 改进的无单元g a l e r k i n 方法