（运筹学与控制论专业论文）群体决策、多目标最优化和全局最优化的若干结果.pdf

摘要 群体决策，多目标最优化和全局最优化是运筹学的重要研究领域。它们的理 论和方法在工业生产，金融投资，交通运输，环境保护，军事决策等方面都具有广 泛的应用。本文研究群体决策，多目标最优化和全局最优化的有关理论和方法， 取得了若干有意义的结果。在群体决策方面，本文证明了基数型群体偏差度法具 有若干扩展的理性性质，还给出了序数型随机偏爱群体决策的两类方法。在多目 标最优化方面，得到g 一恰当有效解的存在性和解集的连通性的新结果，并且证 明了群体多目标最优化的综合有效偏爱法的几个性质。对于全局最优化的研究， 则构造了一个新的求问题全局最优解的算法。 本文的第一章介绍群体决策，多目标最优化和全局最优化的研究概况。特别 是，阐述了与本文进展有关的问题。 第二，第三和第四章研究群体决策问题。在第二章，对于基数型的群体偏差 度法给出几个扩展的理性条件，同时验证了与群体加权偏差度法相应的映射满足 这些条件。第三和第四章研究序数型带随机偏爱的群体决策的方法。第三章给出 一个利用随机较多个偏爱数对供选方案进行群体偏爱排序的随机较多法。然后， 将其推广，进一步给出一个群体决策的带参数的随机a 较多法。在第四章，则借 助随机b o r d a 数，给出一个群体决策的随机b o r d a 数法。 第五和第六章考虑多目标最优化的几个理论问题。在第五章，证明了在约束 集为非空紧凸和向量目标函数为似凸的条件下，多目标最优化问题的g 一恰当有 效解的存在性。在此基础上，还得到向量目标函数既似凸又拟凸的多目标最优化 问题g _ 恰当有效解集是连通的结论。此外，利用所得的结果，还得出一个多目 标最优化问题帕莱托有效解集连通的新结果。在第六章，为了讨论求解群体多目 标最优化问题方法的性质，引进了若干基本的理性条件，并且验证了能对问题的 全部供选方案作出群体偏爱排序的综合有效偏爱法满足所有这些条件。 在最后的第七章，研究求解全局最优化问题的算法。在分析了已有的填充函 数法和打洞函数法之后，吸取这两类算法的优点给出一个求取非线性最优化问题 i 全局最优解的填充修正打洞函数算法。此法比通常的填充函数法降低了对其中参 数的依赖，并且具有较好的求解可操作性。数值试验显示，计算效果是满意的。 关键词：群体决策，偏差度，随机偏爱，多目标最优化，g 恰当有效解，群体 多目标最优化，全局最优化，填充函数，打洞函数 a b s t r a c t g r o u pd e c i s i o nm a k i n g ，m u l t i o b j e c to p t i m i z a t i o n ，a n dg l o b a lo p t i m i z a t i o na r e i m p o r t a n tr e s e a r c ha r e a 8i no p e r a t i o n sr e s e a r c h t h et h e o r i e sa n dm e t h o d sd e - r i v e df r o mh a v ef o u n dw i d ea p p l i c a t i o n si ni n d u s t r i a lm a n u f a c t u r i n g ，f i n a n c i a li n - v e s t m e n t ，t r a n s p o r t a t i o n ，e n v i r o n m e n tp r o t e c t i o n ，a n dm i l i t a r ys t r a t e g i e s t h i s p a p e re x p l o r e st h e o r i e sa n dm e t h o d so fg r o u pd e c i s i o nm a k i n g ，m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o na n dg l o b a lo p t i m i z a t i o n a n do b t a i l l gs e v e r a lm e a n i n g f u lr e s u l t s i nt h e a r e ao fg r o u pd e c i s i o nm a k i n g ，w ep r o v et h a tc a r d i n a lg r o u pd e v i a t i o nm e a s u r e m e t h o dh a ss e v e r a le x t e n d e dr a t i o n a lp r o p e r t i e s ，a n dw ea l s og i v et w oc l a s s e so f m e t h o d si no r d i n a lg r o u pd e c i s i o nm a k i n gw i t hs t o c h a s t i cp r e f e r e n c e i nm u l t i o b - j e c t i v eo p t i m i z a t i o n ko b t a i nt h ee x i s t e n c eo fg p r o p e r l ye f f i c i e n ts o l u t i o na n d e o n n e c t e d n e a so fg - p r o p e r l ee f f i c i e n ts o l u t i o ns e t a n dp r o v es e v e r a lp r o p e r t i e so f j o i n te f f i c i e n tp r e f e r e n c em e t h o di ng r o u pm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n i ng l o b a l o p t i m i z a t i o n ，w ec o n s t r u ean e wa l g o r i t h mf o rs o l v i n gg l o b a lo p t i m a ls o l u t i o no f t h ep r o b l e m c h a p t e r1 i sa l li n t r o d u c et og r o u pd e c i s i o nm a k i n g ，m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a - t i o na n dg l o b a lo p t i m i z a t i o n ，s p e c i f i c a l l y , i te x p a t i a t e sp r o b l e ma n dd e v e l o p m e n t s r d a t e dt oo u rs t u d y c h a p t e r2 , 3a n d4c o n c e n t r a t eo ng r o u pd e c i s i o nm a k i n g s o m ee x t e n d e d r a t i o n a la r eg i v e nw i t hr e g a r dt oc a r d i n a lg r o u pd e c i s i o nm e a s u r em e t h o di n c h a p t e r2 a n dt h em e t h o dc h e c k e dt os a r i s f yt h e s ec o n d i t i o n s o r d i n a lm e t h o d s w i t hs t o c h a s t i cp r e f e r e n c ef o rg r o u pd e c i s i o nm a k i n ga r es t u d i e di nc h a p t e r3a n d 4 i nc h a p t e r3 ，as t o c h a s t i cm a j o rm e t h o du s i n gm a j o rs t o c h a s t i cp r e f e r e n c e n u m b e rf o ro r d e r i n ga l t e r n a t i v e sa n di ti sf u r t 。h e re x t e n d e dt oas t o e h a s t i com a j o r m e t h o dw i t hp a r a m e t e ra r e 西y e n i nc h a p t e r4 ，as t o c h a s t i cb o r d a - n u m b e r m e t h o df o rg r o u pd e c i s i o nm a k i n gi sg i v e n i nc h a p t e r5a n d6 ，w es t u d yaf e wt h e o r e t i c a lp r o b l e m si nm u l t i o b j e c t i v eo f t i m i z a t i o n i nc h a p t e r5 ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fg p r o p e r l ye f f i c i e n ts o l u t i o n o fm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e i r i sw h e nt h ec o n s t r a i n e ds e ti sn o n e m p t y c o m p a c tc o n v 麟a n dt h ev e c t o ro b j e c t i v ef u n c t i o ni sl i b c o n v e x a n db a s e do i l t h i sr e s u l t w ea l s op r o v et h ec o n n e c t e d n e s so fg p r o p e r l ye f f i c i e n ts o l u t i o ns e t w h e nt h ev e c t o ro b j e c t e df m m t i o ni sb o t hh b c o n v e xa n dq u a s i - c o n v e x m o r e - o v e r ，w eo b t a i nt h ee o r m e c t e d n e s so fp a r e t oe f f i c i e n ts o l u t i o ns e t i nc h a p t e r 6 w ei n t r o d u c es o m ef u n d a m e n t a lr a t i o n a lc o n d i t i o n si ng r o u pm u l t i o b j e c t i v eo p - t i m i z a t i o n ，a n ds h o wt h a t o i n te f f i c i e n tp r e f e r e n c em e t h o d ，w h i c hc a no r d e r 甜l a l t e r n t i v e sf o rg r o u pp r e f e r e n c e s a t i s f i e sa l lt h e s ec o n d i t i o n s g l o b a lo p t i m i z a t i o np r o b l e mi ss t u d i e si nc h a p t e r7 ，t h el a s tc h a p t e r c o m b i n - i n gt h ea d v a n t a g e so ff i l l e df u n c t i o na l g o r i t h ma n dt u n n e l i n gf u n c t i o na l g o r i t h m ， w ei n t r o d u c eaf i l l e dm o d i f i e dt u n n e l i n gf u n c t i o na l g o r i t h mf o rn o n l i n e a rg l o b a l i i i o p t i m i z a t i o n t h i sa l g o r i t h md 印e n d 8l e s so i lt h ep a r a m e t e r st h a no r d i n a r yf i l l e d f u n c t i o na l g o r i t h ma n dt r a c t a b l ea ss h o w nb yn u m e r i c a lt e s t s k e yw o r d s g r o u pd e c i s i o nm a k i n g ，d e v i a t i o nm e a s u r e ，s t o c h a s t i cp r e f e r e n c e ，m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n ，g - p r o p e r l ye f f i c i e n ts o l u t i o n ，g r o u p m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n ，g l o b a lo p t i m i z a t i o n ，f i l l e df u n c t i o n ， t u n n e l i n gf u n c t i o n i v 生海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：。生垒目。期i 垫丑兰：2 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：t 鸯导师签名：艇笠日期：之堕7 ：夕 上海大学博士学位论文 第一章绪论 本文的研究涉及运筹学的群体决策，多目标最优化和全局最优化三个分支学 科领域。本章先对这三个领域的发展概况和与本文有关的研究动态依次作出介 绍。 第一节，在介绍了群体决策的发展概况的基础上，综述了基数型群体决策的 群体偏差度法，以及序数型随机偏爱群体决策的研究动向。然后，指出本文在这 方面的研究结果。在第二节，简述了多目标最优化的发展历程，特别地阐述了本 文关于g 恰当有效解理论研究的两个结果。此外，还介绍了群体决策和多耳标 最优化相交叉的群体多目标最优化研究及有关求解方法的性质。第三节，简介了 全局撮优化的研究概况，其中重点介绍了与本文研究相关的填充函数法和打洞函 数法的求解思想。 1 1 群体决策综述 群体决策是一门考虑由多个决策者共同对某类可供选择的方案进行选优抉 择的学科。它研究如何将决策群体中各决策个体对供选方案的偏爱汇集成整个 群体对方案的偏爱，由此对各供选方案作出群体的偏爱排序或选优的问题。 在现代社会中，由于对一个复杂的，特别是不能用数量表示的定性问题，要 仅凭单个人的知识和经验常常是难以作出优劣判断的。此外，对于某些关系到群 众利益的公共事业也应民主地由众人进行决策。因此，作为一种择优手段，群体 决策的理论和方法是现实世界中处理重大复杂简题的有力工具。 关于群体决策的研究，主要是体现在两个方面：一个是决策者个体的偏爱以 什么方式显现，另一个是如何汇集决策者的偏爱成群体的偏爱。根据群体决策中 决策个体的偏爱形式，群体决策有序数型和基数型两类模式。依据个体偏爱信息 的确定程度，它又有以下三种类型：决策个体提供确定性偏爱，决策个体提供随 机性偏爱，以及决策个体提供模糊性偏爱。序数型群体决策的研究是建立在二元 关系理论的基础上。把决策个体对方案的偏爱汇集成群体的偏爱。是群体决策和 】 上海大学博士学位论文 社会选择理论研究的主题。在对个体偏爱如何进行汇集的研究中，为了使群体偏 爱能够对所有供选方案作出优劣排序，人们要求所有汇集的群体偏爱在供选方案 集上要具有传递性、完全性和自反性。对于个体偏爱作不同形式的汇集，反映了 相应的群体决策是如何联合个体的意见以形成群体的意志或妥协。 对群体决策的研究，可以追溯到2 0 0 多年前法国数学家j c b o r d a 在1 7 8 1 年提出群体对方案排序的b o r d a 规则【l 】；1 7 8 5 年法国数学家c o n d o r c e t ，发现 了多数规则的投票悖论阁。此后，许多学者从各个方面对群体决策进行了研究。 例如：1 9 4 4 年j v o nn e u m a n 和o m o r g e n s t e r n 在对多人对策问题效用的研究 中，涉及群体决策问题阎。1 9 5 1 年，诺贝尔经济奖得主美国经济学家a r r o w 在 他的名著社会选择与个人价值中，提出了著名的不可能性定理【4 l ：即在一 组看起来非常可信的公理条件下，k j a r r o w 证明了并不存在汇集社会中各成员 偏爱的社会福利函数。也就是说在一组非常“合理”的条件下，没有任何决策是 公正的。a r r o w 的不可能性定理是群体决策研究的一个里程碑，成为群体决策 理论研究的经典性结果。并对当时社会的政治和经济都产生了深远的影响。其 后，p c f i s h b u r n 对a r r o w 定理进行了研究，证明了当群体中的个体成员为无 限集时，a r r o w 的不可能性定理变为可能定理嘲。其它，如在研究如何从决策 个体的偏爱序集合中合理地形成决策群体的一致性或妥协性偏爱方面，重要的 文献有：j c k e m e n y 和l j s n e l l 、r d a r m s t r o n g 、k p b o g a r t 、w d c o o k ，及 h p y o u n g 等人的工作【6 】”f l 嘶。 上世纪7 0 年以后，群体决策研究主要由两类学者沿两条不同的途径进行。 一个途径是社会心理学家通过实验的方法，观察分析群体相互作用对选择转移的 影响；另一条研究途径是，经济学家对个体偏爱如何汇集的研究。其中，最具典 型意义的应属自j c r a v e n 以后的系列工作【儿】。同时，一些数学工作者开始加入 经济学家和社会学家们所研究的社会福利理论的行列，使得社会选择理论的研究 在数学理论和数学工具的推动下逐步进入了一个薪的高度。 自上世纪8 0 年代以来，群体决策理论研究开始突破社会选择理论框架，其方 法和应用也发展到了一个新的阶段，标志是r l k e e n e y ，j s d y e r 和r k s u r l i n ，r e w e n d e l l ，以及h w b r o c k 等人的工作 l 功”【3 5 l 。人们在进一步分析a r r o w 2 上海大学博士学位论文 的不可能性定理成立的原因后，发现其中的关键在于没有考虑决策个体的偏爱 强度。也正是由于缺乏对偏爱强度的认识，使得传统的社会选择理论产生了许多 悖论。在上述学者们提出偏爱强度概念以来，许多学者将群体决策和社会选择的 研究推进到基数型偏爱意义下的群体决策问题。特别是，胡毓达引进了决策个 体和决策群体的偏差度概念，建立了相应的公理体系，以及从个体偏差度到群体 偏差度的群体偏差映射，创立了群体决策偏差度分析的基本理论。同时，他还给 出了利用供选方案间的偏差度进行群体偏爱排序的方法l l 柳。该文中，利用偏差 度泛函描述的公理体系包含了用序数型偏爱关系描述的a r r o w 公理体系。但与 a r r o w 不可能性定理的结果不同，在引入偏差度泛函的情况下，基数型偏爱可以 精细地刻画出决策个体和决策群体关于供选方案对之间的偏爱差异，因而证明了 满足所有偏差度公理的群体偏差度映射是存在的。这一结论，是传统的群体决策 和社会选择理论向现代群体决策理论发展中的重要成果。本文的第二章就是在 该成果的基础上，进一步研究了群体偏差映射关于扩展的理性条件的满足情况。 它是对群体偏差映射已有理性性质的推广。 随机偏爱群体决策经典的研究是c o n d o r c e t 等人的工作。b g r o f m a n 、g o w e n 在此基础上作了进一步的发展，w h b a t c h e l d e r 和a k r o m n e y 总结了标准的 c o n d o r c e t 模型1 1 4 1 ，给出了用主观概率偏爱数据进行参数估计的方法，y o u n g 区分了选择函数和排序函数，认为在一定的条件下，b o r d l e y 过程提供了一种 c o n c l o r c e t 获胜的最大似然估计，随后发展了一些重要的相关理论分支。对方案 的概率意义下解释开始于p c s a v a g e 。就像效用可以采用公理化建立偏爱关系， 主观概率也可以通过公理化表示一个更可能的关系1 5 j 。特别是，胡毓达对决策 个体具随机偏爱的情况，在引进随机偏爱，随机严格偏爱和随机淡漠的基础上， 建立了随机偏爱公理系 1 5 j 。本文的第三和第四章，就是在此基础上研究了随机 偏爱群体决策的两种方法。 在群体决策中，准确地获取各决策者真实的偏爱信息是非常重要的，而山 于决策者的提供偏爱信息往往是不精确的，因此把模糊理论引入群体决策分析 中来是必要的。上世纪8 0 年代以来，模糊决策理论受到了极大的关注并得到 了迅速的发展，模糊集合理论在决策理论方法研究的各个方面，各个阶段都有 3 上海大学博士学位论文 应用。在群体决策中，利用模糊偏爱关系作为一个有用的工具很早就开始了。 例如，j m b e n 建议用模糊偏爱矩阵来表示决策者的偏爱 1 6 ，1 7 1 ；l w f u n g 和 k s f u ，以及胡毓达等从公理化的角度讨论了如何汇集个体模糊偏爱关系为群 体偏爱关系口询：j b e z d e k 和b s p i l l m a n 讨论了确定群体偏爱的方法和导出一致 性的测量方法口均。v b k u z m i n 和s v o v c h i m m i k o v 研究了根据模糊偏爱关系 空间中的距离进行群体决策 2 4 j ；t t a n i n o 也研究了当个体偏爱用模糊关系表示 的情况，得到群体偏爱关系的方法，并且回顾了模糊理论在群体决策研究中的进 展，比较了模糊和非模糊群体决策的共同点和差别1 2 5 j 。h n u r m i 提出了在模糊 偏爱关系基础上确定最优方案和获得非模糊群体偏爱关系的方法。h m h s u 运 用梯度模糊数的概念，使决策者对给定准则和方案评价的相似性问题转化为梯形 两面积之比的问题阱化采用模糊集合理论对群体决策进行研究是一个非常有前 途的方向。 近年来，随着计算机技术及通讯技术的发展，群体决策支持系统也成了当前 研究的热点。此外，鉴于群体决策理论主要是研究静态的偏爱汇集模型，而实际 上群体决策是一个信息反复交流最终达成一致的动态过程，所以对群体决策过程 的研究也是一个新的被关注的领域。 1 2 多目标最优化简述 多目标最优化是运筹学的一个较新的学科分支。它研究在一定约束条件下， 多个目标函数在某种意义下的最优化问题。在现实世界中，大量关于最优化的问 题一般都可以归结为对多个目标的最优化模型。回顾最优化理论的发展历史不难 发现，在多目标最优化学科尚处于萌芽时期，人们是把实际为多个目标的最优化 问题人为地设计了其中的主要目标，从而作为单个目标的最优化问题加以处理。 应该说，人们是在开始对经济学理论的深入研究中，逐步地感悟到建立多目标最 优化理论体系之重要性。 多目标最优化起源于十九世纪末二十世纪初，但真正作为运筹学和应用数学 中的独立学科分支，乃是二 世纪七、八十年代。尤其是近三十多年来，大批运 筹学家、数学家、数量经济学家和系统科学家的艰苦工作，为多目标最优化学科 4 上海大学博士学位论文 建立了严整的理论体系。 多目标最优化的发展可以分为三个时期：十九世纪末到二十世纪初为萌芽 期，本世纪五十年代到七十年代为形成期，七十年代以后为为发展期。1 9 0 6 年 v p a r e t o 在福利经济的研究中考虑了多目标最优化问题，并提出了p a r e t o 最优 的概念。而后，e b 0 r e l 关于心理对策，j v o n n e u m e n n 关于对策论，g c o n t o r 关 于有序集，以及f h o u s d r f 关于有序空间理论等的研究为多目标最优化的形成和 发展提供了基本的理论工具和必要条件。五十年代初，t c k o o p m a a s 从数量经 济角度对多目标最优化所作的基本工作，h w k u h n 和a w t u c k e r 关于向量极 值的研究，g d e b r e 有关评价均衡的讨论。以及l h a r w i c z 在一般向量空间对多 目标最优化的研究，为多目标最优化学科的形成奠定了雄厚的理论基础。在这些 工作的基础上，由于大批数学工作者加入了多目标最优化理论的研究行列，使得 这一学科的研究更具系统性。现今，它己成为运筹学和应用数学的一个新的学科 分支。 由于多于一个的数值日标可以表示为一个向量目标，而空间中的向量间的大 小比较要涉及不同意义下的序关系，所以研究多目标最优化的首要问题是在序结 构下如何定义其解的概念问题。通常人们考虑使多目标最优化问题中的目标函 数在某种意义下为非劣的所谓有效解。因而，对多目标最优化问题的研究，就是 对各种意义下的有效解的研究。 本文的第五章和第六章，研究多目标最优化的几个理论问题。第五章，对多 目标最优化问题的g - 恰当有效解，在一定凸性的条件下得到了存在性的结果。 在此基础上，还进步证明了在某些凸性情况下g 恰当有效解集是连通的。 第六章研究群体决策和多目标最优化相交叉的群体多目标最优化问题。也取 得一些理论结果。需要指出群体多目标最优化是决策群体按照某种偏爱结构对 于多个目标的最优化问题进行决策的过程，它不是简单地在决策个体进行多目标 最优化而得到相应的结果的简单叠加。在社会选择理论问世以后的一段相当长 的时间内，人们并没有真正将群体决策的思想贯穿在多目标最优化过程之中。二 十世纪七十年代，r d m c k e l v e y 和r e w e n d e l l 开始处理群体多目标最优化问 题【l ) 1 ，开始将群体决策过程贯穿于多目标最优化过程之中的角度加以研究，逐 5 上海大学博士学位论文 步体现了作为独立学科领域的群体多目标最优化模式，并且从群体决策和多目 标最优化过程的相互制约，相互反馈的关系出发加以研究。基于这种思想，一批 新的研究成果相继产生【“i 7 6 3 。如所周知，传统的研究群体多目标最优化问题 最终是将问题归结为一个数值最优化问题，一般地说它只能得到决策群体在某 种意义下的一个最优解，丽不能得到群体对所有供选方案的优劣排序。胡毓达在 【7 4 1 中撇开引用效用函数，定义了群体多目标最优化问题的综合有效解类概念。 而后，在【7 5 】中给出了对群体多目标最优化问题进行群体偏爱捧序的综合有效 捧序法。本文第六章就是在此基础上研究综合有效挥序法的理性性质，给出并证 明了对应于综合有效排序法的综合有效映射要满足的五个必要条件。 1 3 全局最优化简介 全局最优化是非线性规划中一个重要的研究领域。它研究如何求解非线性 最优化的全局最优解的问题。最优化理论和方法的出现可以追溯到十分古老的 极值问题，然而，它成为一门独立的学科还是在上世纪4 0 年代末，g d a n t z i n g 在1 9 4 7 年提出求解一般线性规划问题的单纯形算法之后。随着工业革命、信息 革命的不断深化，和计算机技术的发展，至今短短的几十年，它得到了迅猛的发 展。由于求解局部最优解的传统的非线性规划技术不能顺利地应用于求解全局 最优化问题，在过去的三十几年里，关于全局优化的许多新的理论和算法层出不 穷，特别对各种在实际中出现的具有重要意义的全局优化问题，都有了一些比较 好的解法。最近几年。对于适用于一般的全局最优化问题的算法的研究也有了长 足的进展【7 7 1 1 1 0 6 j 。 全局最优化方法的文献一般分为两大类，第一类主要是处理具有一定特殊结 构的全局优化问题。例如，研究关于凹极小、反凸规划、d c 规划和单调规划的 全局优化算法的等；第二类是处理一般结构的全局最优化方法，这类全局最优化 方法不要求目标函数和约束函数具有特殊的结构和特殊的性质( 有时一些连续性 甚至可微性也是需要的) ，这类方法包括了一些确定性算法和一些随机算法。 求解非线性规划的全局最优解的主要困难在于搜索过程中缺乏跳出局部最 优解或平稳点的技巧。因此，求全局最优解的关键是要如何“超越局部最优性” 6 上海大学博士学位论文 或者更一般的讲，“超越当前”，即指给定一个可行解( 当前得到的最优的解) ，如 果它不是全局最优解，如何找到一个更好的可行解，或者怎样证明该解已经是全 局最优解。而辅助函数法是实现这目标的一种比较好的途径。所谓辅助函数 法，是指从该解点出发，借助一个有适当的辅助函数来代替原函数的子问题，从 而得到一个比该点更好的可行解。然而，满足条件的辅助函数是很难构造的，到 目前为止，常用的辅助函数有两种，即填充函数和打洞函数。 在第七章给出了一个求解全局最优化问题全局最优解的算法。我们先介绍了 关于全局最优化的有关概念，特别地分析介绍了常见的填充函数法和打洞函数法 的特点。在此基础上，吸取这两种算法的优点，构造了一个求解一般无约束全局 最优化问题的填充修正打洞函数算法，本文所给的算法比起填充函数法和打洞函 数法降低了对参数的依赖，并且具有较好的可操作性。数值试验显示，该算法是 有效和可靠的。 7 上海大学博士学位论文 第二章群体偏差映射的扩展理性性质 关于群体决策的研究，依据各决策者对供选方案所提供的偏爱情况，可分为 序数型和基数型两大类。对于决策者仅能提供各方案间偏爱序关系的序数型问 题，k j a 盯o w 【4 】和a k s e n 3 3 等已取得系统的研究结果。对于决策者能够提 供各方案间偏爱程度的基数型问题，胡毓达建立了各决策者都提供两方案间偏爱 程度之差的群体决策的偏差度分析理论【l 跏。在【1 3 】中，作者给出一个利用偏差 度进行群体排序的加权和偏差映射的方法，同时证明了此映射满足基数型的许 可性、一致性、独立性、非强加性和非独裁性等五个理性条件。在文【1 3 l 的基础 上，本章扩展了【13 】中的五个条件，进一步给出基数型群体决策的匿名性、中立 性、正响应性、非负响应性，以及分别比帕莱托原则和非独裁性更强的强帕莱托 原则和局部非独裁性等理性条件。并且，验证了群体加权和偏差映射也满足所有 这些条件。 本章第一节，介绍基数型群体决策的有关群体偏差映射的概念。第二节，给 出基数型扩展理性条件的定义。第三节，则依次证明了群体加权和偏差映射满足 所引进的扩展理性条件。 2 1 偏差度和群体偏差映射 设x 是供选方案集，d 尬 r = 1 ，2 ，2 2 ) 是第r 个决策个体，g = d m ，d m 2 ，d 蚴) 是决策群体。研，只和依次是d 露在x 上的偏爱， 严格偏爱和淡漠，r ，p 和i 依次是g 在x 上的偏爱，严格偏爱和淡漠 1 3 1 。 定义2 1 1 1 1 3 设嚣，y x ，d 0 ， ( 1 ) 若d 坼( r = 1 ，2 ，1 ) 确定的实数啡( z ，y ) f - d ，明满足 1 ) 啡( z ，y ) 0 静x r , y ， 2 ) 啡( z ，y ) = 一啡( ，z ) ， 3 ) 啡扛，y ) + 啡( 玑z ) = 毋 ，z ) ( v 。x ) ， 则称毋( z ，y ) 是d 4 关于供选方案对( 为y ) 的个体偏差度。 8 上海大学博士学位论文 ( 2 ) 映射啡：x x r 1 ，( z ，y ) 一啡( z ，y ) ，称为d 幅在x x 上的个 体偏差度泛函。 定义2 1 2 1 1 3 设z y x ， ( 1 ) 若g 的偏爱关系r 对应一个确定的实数o ( x ，) ，满足 0 ( x ，y ) 0 铮z r y 则称p ( z ，们是g 关于供选方案对( 霉，y ) 的群体偏差度。 ( 2 ) 映射0 ：x x 一科，( 霉，y ) 一口( 。，y ) ，称为g 在xx x 上的群体偏 差度泛函。 定义2 1 3 f t 3 j 设啡( r = 1 ，2 ，1 ) 和0 分别是d 坼和g 在xx x 上的 个体偏差度泛函和群体偏差度泛函， 巩，如，岛 是所有个体偏差度泛函组成 的集合，则称映射0 ： 口l ，如，阳- 一0 是g 在x 上的群体偏差映射，并记 0 = e ( 口l ，0 2 ，仇) 定义2 1 4 1 3 1 设六( r = l ，2 ，z ) 是9 m , 在xxx 上的个体偏差度泛 函，则称泛函组0 - ，0 2 ，岛为g 在x 上的偏差度截面，记作【0 。，0 2 ，巩】x 。 对于各决策个体能够提供任意两两方案间偏差度信息的基数型群体决策问 题，文【1 3 】曾建立了与序数型的a r r o w 公理相应的五个基数型理性条件，即许 可性、一致性、独立性、非强加性和非独裁性条件，并且，对所给的加权和偏差 映射，检验了这些条件。 2 2 扩展理性条件 在序数型群体决策的研究中，除了k j a r r o w 提出的五个条件之外，k 0 m a y 和a k s e n 曾进一步扩展了a r r o w 的条件，提出了匿名性，中立性，正响应性， 非负响应性，强帕来托原则，以及局部非独裁性等条件。下面，我们给出与这些 条件相应的关于群体偏差映射0 = o ( 0 1 ，0 2 ，o t ) 的一些扩展的理性条什。 定义2 2 1 ( 匿名性)设p 1 ，如，0 d x 和，绷x 是g 在x l ： 的两个个体偏差度截面，0 = 0 ( 口1 ，如，巩) ，= e ( 钙，研) 。若对任一 9 上海大学博士学位论文 r 1 ，2 ，j ) 有且仅有一一 1 ，2 ，f 使当 啡( z ，) = 够( z ，y ) v z ，x( 2 2 1 ) 时有 护( z ，y ) = ( 岔，)协，掣x ， 则称口= e ( o l ，巩，在x 上满足匿名性条件。 定义2 2 2 ( 中立性) 设吼，如，聃k 和阱，昵，明x 是g 在x 上的 两个个体偏差度截面，9 = e 帆，0 2 ，= 0 ( 珥，呓，哪) 。着对任意的 岔，y ，世， x 当 啡p ，y ) = 啡扣， ) 和啡( 玑。) ；薛0 ，u ) v r 1 ，2 ，1 )( 2 2 2 ) 时有口p ，可) 0 甘矿( t ，t ，) 0 和o ( y ，z ) 0 静( 口，t 上) 0 ，则称p = e ( 口1 ，0 2 ，刚在x 上满足中立性条件。 定义2 2 3 ( 正响应性) 设p l ，如，刚x 和【，明x 是g 在x 上 的两个个体偏差度截面，p = e ( 口1 ，0 2 ，矿= e ( ，碍) 。若对任意的 z ，f x ，当 ( 1 ) 对每一r l ，2 ，j ) ：啡( z ，y ) 啡( z ，) ， ( 2 ) 存在t l ，2 ，z ：碰p ，可) 巩 ，暑，) ， 时有 ( z ，可) 口( z ，暑，) ， 则称口= e ( 0 1 ，如，在x 上满足正相应性条件。 定义2 2 4 ( 非负响应性) 设p - ，如，0 1 x 和噼，呓，明x 是g 在x 上的两个个体偏差度截面，口= e ( 口，3 2 ，印，矿= e ( 以，昵，研) 若对任意 的z ，p x 当 啡( z ，y ) 啡( z ，) ，、打 1 ，2 ，f ( 2 2 3 ) 时有 ( 上，私) 口( z ，可) ， 则称口= o ( 0 1 ，如，鲫在x 上满足非负相应性条件。 1 0 上海大学博士学位论文 定义2 2 5 ( 强帕莱托原则) 设口= o ( e 1 ，如，岛) 。若对任意的zy x 有 ( 1 ) 对所有的r l ，2 ，z ：啡( 。，y ) 20 ，并且存在t 1 ，2 ，1 ) ： 0 t ( x ，y ) 0 号口( z ，y ) 0 ， f ) ( 2 ) 对所有的r 1 ，2 ，f ) ：啡( z ，y ) = 0 号口( 而y ) = 0 ， 则称目= o ( e 1 ，如，岛) 在x 上满足强帕莱托原则。 定义2 2 6 ( 局部非独裁性) 设口= e ( 目1 ，如，鲫，则不存在t 1 ，2 ，f ) 使得存在一方案对z ，y x 有 0 t ( x ，y ) 0 净o ( z ，y ) 0( 2 2 4 ) 或 0 t ( x ，y ) 20 辛p ( z ，y ) 0 ，( 2 2 5 ) 则称口= o ( 0 1 ，0 2 ，佛) 在x 上满足局部非独裁性条件条件。 上述诸定义给出了对于一个理性的群体偏差映射的要求。匿名性条件表明， 使用群体偏差映射作决策时，对各决策者应该是具同等权利的；中立性条件要求 它对于所有的供选方案应该是一视同仁的，即对各方案应具“中立性”：正响应 性条件意味着：在群体决策中若在方案z 与y 之间，某决策者的偏爱向有利于 正的方向变化，同时其他各决策者对于z 和y 之间的偏好保持不变，则群体的 偏爱也应向有利于z 的方向变化；非负响应性条件意即：在用群体偏差映射作决 策的过程中，只要方案z 在任何决策者的偏爱中不变差，它也不能在群体偏爱 中变差：局部非独裁性条件具有两方面的意义：第一，在用群体偏差映射作决策 中，不允许有局部的独裁者，即没有一个个体能够在哪怕仅在一对方案上是决定 性的，第二，它还不允许有这样一种独裁，就是在任何方案对上一个弱的个体偏 爱会蕴含一个弱的群体偏爱。 2 3 群体加权和偏差映射的扩展理性性质 先介绍【1 3 】中给出的一个基本的群体偏差映射。然后，验证它满足上一节定 义的所有的理性条件。 1 1 上海大学博士学位论文 定义2 3 i 1 3 1 设啡( r = l ，2 ，1 ) 和口分别是d 珥和g 在x x 上的 l 偏差度泛函，坼( 0 ，1 ) ，w r = 1 ，则称由 r = l f o ( x ，y ) = 蚺啡( 刎) 忱，y x ( 2 3 1 1 ) r = l 确定的g 在x 上的群体偏差映射： 巩，如，仇) 一p 为群体加权和偏差映射， 并记口= o 。( 0 1 ，如，岛) 。 以下证明，群体加权和偏差映射满足扩展的理性条件。 定理2 3 1 若啡( z ，) = 哆( z ，! ，) ，( r 一 1 ，2 ，f ) ) 时有坼= 嵋，则 日= e 0 ( 口1 ，如，巩) 满足匿名性条件。 证明设对任意的z ，y x ，再记( z ，暑) = 研筇( ，y ) 。由定理的条 件，据( 2 3 1 ) ，即得 定理2 3 2 口= o ，( 0 1 ，如，钔满足中立性条件。 l 证明对任意的。，”，u ， x ，记矿( 让，t ，) = 啡( ，口) 。由( 2 3 1 ) 和 r = l ( 2 2 2 ) 的第一式有 ll f ) = 啡( ) = 啡( 刚) = ( 掣) r = lr - - - - 1 由此，得口( z 硝) 0 铮口( u ，口) 0 。同理，由( 2 2 2 ) 的第2 式可推知o ( y ，z ) 0 争0 ( v ，牡) 0 。 定理2 3 3p = o ，( 口1 ，如，鲫满足正响应性条件。 证明对任意的z ，y x ，再记( 。，y ) = 睇( z ，y ) 。由定义2 2 3 的 ( 1 ) ，对每一r 1 ，2 ，j 有群( z ，y ) 啡( z ，) ，以及定义2 2 3 的( 2 ) ，存在 一t l ，2 ，n 使得啡( 石，y ) o t ( x ，y ) 。据此，由( 2 3 1 ) 得到 f ，) = 坼啡p ，f ) = 坼啡扛，f ) + 咄( z ，) r = l r