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曲阜师范大学硕士学位论文 一类高阶微分方程及高阶差分方程解的渐近性 摘要 在研究微分方程稳定性理论中，尤其在探讨微分方程的稳定性，解的估计 及有界性的过程中，积分不等式是一强有力的工具近年来，有大批学者从事 这方面的理论研究，取得了一系列较好的结果 常微分方程有界性，渐近性理论是常微分方程理论中的一个十分重要的分 支，它具有深刻的物理背景和数学模型近年来，这一理论在应用数学领域中 已取得了迅速的发展和广泛的重视 由于自然界中的许多以时间作为变量的进化现象是离散的，不像微分方程 中所研究的连续系统，所以对这些现象的本质描述一差分方程便出现了，而且 这些方程在数学模型中具有其独特重要性更重要地，在对微分方程的离散化 方法的研究中也出现了差分方程差分方程理论的一些结果，本质上讲，或多 或少可以由微分方程中相应结果的离散模拟而得到尽管如此，差分方程理论 要比相应的微分方程理论丰富得多因此，差分方程比较贴近于实际，有很好 的发展前景，并有较高的实用价值 根据内容本文分为以下四章 i h “i 不等式的推广，并将其运用 于对一类具有偏差变元的高阶积分 微分方程的解的渐近性的研究中去，其主要结果如下：引理2 2 设以下条件成立： 1u(t)，o(t ) ，函( t ) ：r + 一r + 连续，t = l ，2 ，f ，o ( t ) 1 且n ( t ) 在r + 上非减；2 ( t ，s ) 0 = l ，2 ，m ) ，( t ，s ) ，乜( t ，s ) ( = l ，2 ，n ) ：d = “t ，8 ) ：o s t + 。 _ 玛连续，且对固定的s r + ，关于非减；3 妒( z ) 连续 x 其中， 匠( t ) = r ( t ) = 曲阜师范大学硕士学位论文 + 猷m 如) 协州坩 a s f 25 1 “( t ) 。( t ) 最( ) e ( t ) 倪( t ) ，t r + ， ( 2 ，6 ) 卜叶，c 誊酬z 坤a s q t 唧胁，胁冲 n = 1 ( i = 1 ，2 ，m ) ( 27 ) h 咱，c 如，胁，c 鲫m 羽，踟s r 吣 ， e x p 风c 踟z 。峨c 引垂噩c 瑚m 如，幽 m = t 。= - ，z刚“吲”( 娶酬冲“屯叫m 。“忙 r 皿( t ) = ( t ，s ) d 8 1 ( 待1 ，2 ，n ) ， 如 口 s 妒h 卜 s g ， 。m 如 r su 曲 有，厶 墨 m h 斗 帆 若 9 步 叭 进 常是 一 一 哦 n 一 pm 一 一 n 舯魏脯 8 9 玑心 口 h 随_ji_【 曲阜师范大学硕士学位论文 ( i v ) 积分 及 卜“s ，( 磐1 ) ( 小瑚归) 峨 当t _ o o 时，有界5 则对任意初值函数口( t ) ，ho ，方程( 2 1 ) 的满足初始条件g ( t ) = 目( t ) ，h ，o 】 的解( t ) ，定义在h ，o ur + 上，且满足( 2 4 ) 式 注2 2 若，( t ，“l ，“2 。，“2 卅1 ) 兰，( ，u l ，。，“2 。+ 1 ) ，( ) = o ，则定理 2 1 的结果即为【1 中主要结果 注2 3n = 2 时，则定理2 1 的结果退化为【2 】中结果 注2 4n = 2 时，若，( t ，“l ，“2 ，“3 ，4 ，“5 ) i ，( t ，“l ，“2 ，“5 ) ，则定理21 的结 果退化为f 5 1 中主要结果 注2 5n = 2 时，若，( t ，l ，“2 ，3 ，4 ，“5 ) 三，( t ，“1 ，2 ，让3 ，札4 ) ，贝4 定理21 的 结果退化为【6 中主要结果 第三章在这一章中，我们借用了几种b i h a r l 不等式的推广，并将其运用 于对一类具有偏差变元的高阶积分微分方程的解的渐近性的研究中去其主 要结果如下： 定理3 1 设 肌( t ) 出= o o ，l i n 一1 ，( 36 ) 9 ( t ) st ，且存在k0 0 ) 上的非负连续函数吼( t ) ，os n 及妒( t ) ，存在挑( “) ， o 茎i 曼n 一1 ，使得不等式 阮咖，l ，吣洲圳p 毗( 圳卅酢m ( 芒讣n 1 ) ， ( t ，u o ，“。) 口，o o ) r “+ 1( 37 ) 及 吲屯咖) l 鲥蛳( 揣) ，训 0 ，。) 蛐( 3 8 ) 如 r l ， 一 罐 。枞， 8 叭 。赳 r 曲阜师范大学硕士学位论文 成立且设 ( 1 ，( t ) i + ( ) ) 出 o 。，( 3 9 ) 及 吼( t ) 厶叫一l ( t ) 出 o 。，1s i n 二1 ，( q o ( t ) + 妒( t ) ) 出 o 。( 3 1 0 ) 则方程( 31 ) 的任一解z ( ) 满足 1 i 罂总：6 即墨茎n - l ( 3 1 1 1 ) t 磐銎了：i 二玎万。6 h os 。s “一1 ( 3 n ) 注3 1 若日( t ，o ，“1 ，。扎。) i 日( t ，“o ，“”，“。一1 ) ，则定理3 1 的结 果退化为 1 1 ，定理l 】 注3 2 若日( t ，“o ，“l ，u 。_ 1 ) u 。) i 日( t ，u o ) ，则定理3 ，1 的结果退化为 5 定理l 与2 定理3 2 设( 3 6 ) 式成立，9 ( ) 兰t ，存在ko o ) 上的非负连续函数吼( t ) ， ost n 及妒( t ) ，且存在”。( “) ，o isn 一1 ，使得( 37 ) 及( 3 8 ) 式成立 且设 厂五刚f 耐刚e 仁。m 小州，e 。郎， 。、 厶一f l ( s ) d s 如n l 如l o 。，l i n 一1 ， ”州s z ) ，。p 2 ( 嘲f 仁。删s ) d 砒一岫 。， ( 3 1 7 ) 厂p 如，f p 。，f e 。mc 骓- ，仁。懈“ 篡 心姗 僦 辨 豫 m 坩 曲阜师范大学硕士学位论文 注3 5 若日( ，蛳虬“。“u 。) j 日( f o ) ，则定理3 ，2 的结果退化力f 1 5 定理3 与4 1 定理3 3 设( 36 ) 式成立，口( t ) t ，存在h 。) 上的非负连续函数m ( t ) o i n 及妒( t ) ，且存在w 。( u ) ，o t n l ，使得( 37 ) 及( 38 ) 式成立， 进一步，设 p ：0 ) o ，或鼽0 ) 口1 j 礼一1 ， r 。 s “一1 哦( s ) s 一1 d s o 。，1 i n 一1 ， j ，。 s ”。【q o ( s ) 十妒( s ) 】如 。，( 32 1 ) 及 m s 一1 【l ，( s ) i + ( 5 ) 】如 。( 32 2 ) 成立，则方程( 3 1 ) 的每个振动解z 满足 墨恐l z ( ) = o ，o 茎南sn 一1 第四章在本章中我们主要研究了一类高阶非线性具有偏差变元的差分方 程解的渐近性与有界性将文【2 3 】的不等式进行离散模拟并加以推广，然后。 利用此不等式研究一类具有偏差变元的高阶差分方程( 4 1 ) 解的渐近性与有界 性 其主要结果如下： 引理4 1 设z ( 女) 与b ( ) 是定义在( d ) 上的非负实值函数， c ( ) 1 ， ，( ) 兰l 在( ) 上非减， ( u ) ，若离散不等式 r k 一1 z ( 女) ，( k ) + e ( 妨6 ( $ ) 妇扣) ) l ( 4 4 ) l s = 如 j 对任意的k ( 如) 成立则有 m m 矿1 ( 争小叫， s ， 曲阜师范大学硕士学位论文 其中( u ) 2 z 。轰万如，o 啦- 1 ( “) 是( “) 的反函数 注4 1 引理4 1 的连续型模拟即为m e n g 2 3 j 中结果 注4 2 引理4 1 中的离散不等式推广并改进了b i h a r i 不等式 定理4 1 设 2 。a ( ) = 。，1 i n l ， ( 4 7 ) 存在( o ) 上的非负实值函数吼( a ) ( os 。茎n ) 及 。( “) ，( o is n 得 n 一1 1 日( ，“o ，毗，u 。) 吼( ) u ，( 1 ) + q 。( ) ， l = 0 ( 七，“o ，札1 ，u n 1 ) ( 屉o ) r 札 进一步，设 ( f ，( 纠+ ( ) ) 。 丘= k o 成立则方程( 4 1 ) 的每个解。( 女) 满足 1 ) ，使 f 4 8 1 ( 49 ) ( 4 1 0 1 l ：z ( 七) = o ( 厶一。一1 ( 七) ) ( 七 。) ，osi 墨礼一1 ( 41 1 ) 注4 3 定理4 1 的连续型模拟即为l l ；定理1 1 的结果 注4 4 若日( ，z ( 女) ，工】z ( 地，k 一1 z ( ) ) ；日( ，z ( ) ) ，则定理4 1 的连续 型模拟即为f 1 6 ，定理 的结果 注4 5 若n = 2 ，( ) = o ，则定理4 1 推广并改进了 2 3 ，定理2 的结果 定理4 2 设( 4 7 ) 式成立，且存在( ) 上的实值非负函数吼( 砌( o i n ) 及咖( u ) ，( o 兰i n 一1 ) ，使得( 4 8 ) 式成立进一步，设 一n 一 一 0 七 一一矗 七 吼 。 及 蚍 曲一一厶 耐 。 o鼽一陬 ”沁 现 船 s p 商 曲阜师范大学硕士学位论文 及 。o 。 p ( 船1 ) 叭s ) i + 铷( s ) 】 。 s 一1 = s 日一0 s = s n l f 4 1 9 1 成立，则方程( 4 1 ) 的每个振动解z ( ) 满足 l i m 三：o ( 七) = o ，o z 冬n 一1 注4 7 定理42 的连续型模拟即为 1 l ，定理2 的结果 定理4 3 设( 4 7 ) 式成立，且存在( 女o ) 上的实值非负函数吼( ) ( osi 茎n ) 及。( u ) ，( o t n 一1 ) ，使得( 4 8 ) 式成立且设 胁( 南) o ，或p ：( 南) s 卢，l 2 n 一1 ， f 4 2 4 1 及 o 。 s ”1 阴s ) i + g n ( s ) 】 。 ( 4 2 5 ) s = 0 则方程( 4 ，1 ) 的每个振动解z ( ) 满足 熙毛( k ) = o ，o 冬i s n 一1 关键词：偏差变元，积分一微分方程，渐近性，离散不等式，有界性 日 昆m s p 瑚 一 n 一 一 0 一 一n 吼 一n 岫 曲阜师范大学硕士学位论文 a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o i i so fc e r t a i n h i g h e rd i f i - e r e n t i a le q u a t i o n sa n dh i g h e r d i 能r e n c ee q u a t i o n s a b s t r a c t t h e i n t e g r a li n e q u a l i t yi sau s e f u lt o o lw h e nw es t u d yt h es t a b i l i t yt h e o r y o fd i 好色r e n t i a le q u a t i o n ，e s p e c i a l l yw h e nw es t u d yt h es t a b i l i t y ，t l l ee s t i m a t eo f s o i u t i o na n dt h eb o u n d e d n e s so fd i 丑b r e n t i a le q u a t i o ni nt h ep a s tf e wy e a r s ， m a n ys c h o i a r st a k eo nt h er e s e a r c ho ft h i sf i e l d ，t h e yh a ea c h i e v e dm a n yg o o d r e s u l t s t h et h e o r yo fb o u n d e d n e s si so n eo fi n l p o r t a n tb r a n c h e so fd i f k r e n “a l e q u a t i o n s i nt h ef i e l do f m o d e r na p p l i e dm a t h e m a t i c s ，i th a sm a d ec o n s i d e r a b l e h e a d w a yi nr e c e n ty e a r s ，b e c a u s ea ut h es t r u c t u r eo fi t se m e r g e n c eh a sd e e p p l y s i c a lb a c k g r o u n da n dr e a i i s t i cm a t h e m a t i c a l m o d e l d i 矗色r e n c ee q u a t i o n sa p p e a ra sn a t u r 甜d e s c r i p t i o n s 。fo b s e r v e de v 0 1 u t i o n p h e n o m e n ab e c a u s em o s tm e a s u r e m e n t so ft i m ee v 0 1 v i n gv a r i a b l e sa r ed i s c r e t e a n da ss u c ht h e s ee q u a t i o n sa r ei nt h e i ri i ii ? 一：j 二；= ：_ ：_ _ 二= 三。- i ：? j ! x 曲j 呈业难丕毳掣玉丢张霉鑫 黧鎏辫萌囊鹫菲露鏊誉鼙磐蠹鼋 鬟羹鬃耄蕊蜒联蓑i 趣墨辩冀羹盏臻迮器鬻 蕊5 攀蟊蠹毪羹i g g l 譬g 鞭址 奏0 誊d 嚣黎涮蘩雾 鞋终嚣燮捌霹巍女蠢咝妻鬻 囊i 魏g 薹翟曼絮鳝魏蟊篓菲8 鞋簿蠹 蠢霎酯襄鬟蓉驻霸襄 蠢曼 忖f 们萋l ”ii 手三羹宴毒! l ? 社： 髓址。l 鳍i 健生j1 ( 弓奢k 露弭z 5 q 苎| e 筝i i “筑( j j ! 一。气_ 1 上 疆；胃l # t * 耸! ；囊im 0 s 9 9 f 。2 l 雾￥分 殍l 锚薹矗并拦一“z 铲笔j ；橇yj 苎1 j 【；i l ji l ；兰；自! ；_ ；薯一 ? 蓉l i 孑“1 堰撂 冬制蝇器”靠错j 鹫r 扛 钎；要i 耋# 稍蛇； r i 享嚣1 工譬i i 塞辛 ；警i # 篡3 f ；l h 钳叉一矗。 等屿_ 抑_ 娃”* r re u 氍v nf 玎蕾r r t 錾1 m 聪钎ii 孽i i i 壬；芽；望n 型喜l l 莲u “筹譬；莹骋矗嚣蓦搴卫釜ph 簧抖 z o 并i # 饕- j 妻壬m 钳0 0 结蟠冀量嚣一荐铽“q ji i 抖峰叫”0i 三；萋毒妒喜l ? 差二穗托f ，? 苎 i j 箩；崮是譬； 一i 三曩i ；1 ；i ；ii 雾掌i i e ；蝰蓦彗磊 掣上l “r 当专! i 耋 票u 女拳j 酬搀i i 刊￥i ；i ；_ 至套鬟型娃譬；芳￥l q i “1 ；喜 丢三三琵篮_ 肇； 拜1 “销等g 耋耋h d hj 鏊e e 桀童一钮h 廷；g 。；i j 毛三；! ；馨釜i ；i 善呈；妻u f 千孽董j 董j 主零 事i ；冀罢i 主蓦；囊誊吐叫书巧尊亏季葺毒譬i i 自；一遗骚i 蔷专莲事；! 。j 三；一1 _ _ 一j ：_ i ? _ j i 一、? i j 、i ? ? 二 - ? 一- j ，j 毫i i j j ；毒j ! ? - 三；jt i 。j j j _ j 一 ： j l j 一 i _ - i ：i 一。f - 一l i i i j i = 二一j i z - 二j jj j ? ? 。二i i _ ：j ；j i ； 三j 点箩囊! l i 妻i 譬 圣薯荨皇；： j ；j ；? 二_ j i j _ j j ，jj i = ：j ；0 7 i ji i ii ? 一：j 二；= ：_ ： j 二= 三。- i ：? j ! x 曲阜师范大学硕士学位论文 e ( t ) = g 。( t ) = ，十c ，一a ，c 照rc 刚z 。甄c 州亟置c 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2 t h e o r e m3 3 s u p p o s et h a t ( 3 6 ) h o l d s ，g ( t ) t ，a n dt h e r ea r en o n n e 争 a t i v ec o n t i n u o u sf h n c t i o n s 舔p ) ，o t na n d 妒0 ) o n 陋，o 。) a n d 仞；( “) 厂， o z 礼一l ，s u 曲t h a t ( 37 ) a 皿d ( 38 ) h o l ds u p p o s em o r e o v e rt h a t p ：( f ) o ，o rp f ( f ) 卢，1sis 礼一l ， p o 。 s 竹。吼( s ) ，一一1 d s 。0 ，1 t 礼一1 ， 厂s “ 1 咖( s ) + 妒( s ) 1 d s 。 f 3 2 1 1 凸阜师范大学硕士学位论文 a n d 1 f ，( s ) + ( s ) d 5 。 ( 3 2 2 ) t h e ne v e r yo s c i u a t o r ys o l u t i o nz ( t ) o f ( 3 1 ) s a t i s 右e s l i m 三 z ( ) = 0 ，0 s 礼一1 i nc h a p t e r4 ，、槽s t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h a i o ra n db o u n d e d n e s s ( ) fs o l u t i o n so fac l a s so fh i g h e ro r d e rf u n c t i o n a ld i 矗b r e n c ee q u a n o n 8 t h ea i mo f t h i ss e c t i o ni st og e n e r a l i z et h ed i s c r e t ea n a l o g u eo ft h ei n e q u a h t i e si n 【2 3 ， a n da p p l yt h e mi nt h es t u d yo ft h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ra n db o u n d e d 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一1 ) ，s u c ht h a t h ( ，“o ，“1 n l 坼，) l 吼( ) 叫。( + ( ) 仁= 0 f o r ( 惫，u o ，u 1 ，u 。一1 ) ( 南。) j r “( 4 、8 ) s u p p o s em o r e o v e rt h a t ( | m ) l + ( a ) ) 。 = h f 49 1 a n d q ；厶牛l ( ) o 。，o i n 一1 ( 4 ，1 0 ) = “ t h e ne v e r ys o l u t i o n 石( 惫) o f ( 4 1 ) s a t i s 丘e s 工i z ( 后) = = ) ( 厶一i 一1 ( 七) ) ( 惫 o 。) ，o zs 佗一1 ( 4l i ) e t e m a r k4 3i h ec o n t i n u o u s a n a l o g u eo ih e o r e m41 i sd u et o 11 ； t h e o r e m1 1 r e m a r k4 4i f 日( 七，茁( 南) ，l 1 z ( 克) ，l 。一l z ( 七) ) 兰日( 七，。( 七) ) ，t h e nt h e c o n t i n u o u sa 肌a l o g u eo ft h e o r e m4 1l sd u et o 1 6 ，t h e o r e m r e m a r k4 5 i f 礼= 2 ，( 七) = 0 ，t h e nt h e o r e m4 1g e n e r a l i z e sa n d i m p r o v e st h er e s u l t so f 2 3 ，t h e 。r e m2l 。 t h e o r e m4 2s u p p o s et h a t ( 4 7 ) h 0 1 d s ，a n dt h e r ea r er e a lv a i u e dn o n n e g & t i v ef u n c t i o n s 吼( 七) ( o isn ) o n ( 七o ) a n d 埘l ( 札) ，( o 。曼n 一1 ) ， s u c ht h a 七( 4 8 ) h 0 1 d s s u p p 0 8 em o r e o v e rt h a t 0 z n l v 1 1 1 1 ( s ) e o ( 4 1 8 ) 厶 。 札m 。一 。一 出 。一 p 。嘞 曲阜师范大学硕士学位论文 l ( s n j ，( s ) j + ( s ) j x h o l d ，t h e ne v e r yo s c i l l a t o r y8 0 1 u t i o n 茁( 七) o f ( 41 ) s a t i s 矗e s l i m 厶。( ) = 0 ，o sz 一l e 叶 f 4 1 9 1 r e m a r k4 - 7t h ec o n t i n u o u 8a n a i o g u eo ft h e o r e m42i sd u et o 1 1 t h e o r e m2 - t h e o r e m4 3 s u p p 。s ee h a t ( 4 7 ) h o k i s ，a n dt h e r ea r er e a iv a l u e dn o n n e g a t i v ef u n c t i o s 吼( 七) ( os isn ) o n ( 七o ) a n d 伽；( 札) ，( o z n 一1 j s u c ht h a t ( 4 8 ) h o l d s s u p p o s em o r e o v e rt h a t 弛( 七) 茎0 ，o ra ( 壳) s 卢，l 茎i 亿一l ”1 o 。，0 茎i n 一1 ，( 42 4 ) a n d s 一1 叭s ( s ) 。 s = r 0 t h e ne v e r yo s c i u a t o r ys o l u t i o nz ( 七) o f ( 4 1 ) s a t i 8 丘e s 舰l z z ( ) = o o i n 一1 f 4 2 5 ) i o 且妒( ) 最 终为正，e 兄+ r 2 “+ 1 ，r ，9 a r 呈尺n ，r 1 设7 = i n k r 妒( t ) ，口为给定的定义在h ，o 】上的函数且具有n 一1 阶导 数 ( 21 ) 的在区间 o ，卢) 上的初值问题就是找一个函数f ( t ) ，满足： ( i ) 可( o 十) = 日( o 一) ，可( o + ) = 曰( o ) ，g ( “一1 ) ( o + ) = p ( n 一1 ( o 一) ； ( j i ) 掣( ) ( ) = 曰( j ( ， 7 ，o ，歹= o ，l ，站一l ； ( i i i ) ( p ( t ) g ( ”1 】) 在f o ，p ) 上存在，且满足( 21 ) 我们总设( 2 1 ) 的c a u c h y 问题的解具有局部存在性 我们设方程 n ( p ( t ) 。“。1 ) 7 + c i ( t ) z ( p 1 ) = o ，t r +( 2 2 ) 仁：l 的通解已知，协难l 是( 2 2 ) 的一个基本解组，且耽：lsi n ， ( 五( o ) ，( o ) ，“一1 ( o ) ) = 毛，( 2 3 ) 其中百= ( o ，o ，1 ，o ，o ) ( 1 在第j 个位置上) 为印的标准基 我们将证明：对任意的初始函数目( t ) ，t h ，o 】，( 2 1 ) 的满足初值条件 ( t ) = 口( t ) ，f h o 的解口( t ) ，定义在h ，0 1ur 。上，且满足：t - 。时， 可蝴( t ) = ( d ( 1 ) ) 妒( # ) ，( 2 4 ) 第二章 一类具有偏差变元的高阶积分微分方程解的渐近性 其中a = o ：1 ，2 ，n 一1 民( z = l ，2 ，n ) 为常数 我们将给出以下所需积分不等式，它推广了 1 6 1 中应用的不等式 引理2 1 1 1 设以下条件成立： l ，( ) ：o ( t ) ：，= o ， ) j 曼+ 连续，其中o 危+ 。，且n ( t ) i 8 ( t ) 在，上非减； 2 函数 ( t ，s ) ( i = 1 ，2 ，m ) ，9 。( t ，s ) 及( f ，s ) ( 。= l ，2 ，z ) ：d = “t ，s ) ：o s 茎t _ 见f 连续，且对固定的s ，关于f 非减； 3 ，r 。( o ，1 ( 1 茎z m ) ，飙( o ，1 ( 1s is 佗) 是常数， 即，= ： 善：黔：曼j ：习| ：i _ 只( t ) = f 1 + ( - 刮讨酬触州n 驯州) d s 南 lk ：1 j o 酉 0 a l ， 唧融，触曲酗啪州抽1 j a = 1 ( i = 1 ，2 ，佗) ， g ( t ) = 肌( ，s ) 眠0 = i ，2 ，礼) ， 4 p 协 嘲 小 一 曲 ，厶 姒 。f h 。沮 r 9 一 曲阜师范大学硕士学位论文 由引理2l 知， m n 札( t ) a ( t ) 墨( t ) 只( t ) t r + ， 2 = 1t = l 其中邑( t ) ( 1si 茎m ) ，只( t ) ( 1s js 7 1 ) 由( 27 ) ，( 2 8 ) ，( 2 9 ) 确定因此 由于妒( ) 茎，且妒( 最终为正，当充分大时，有 u ( 妒( t ) ) s o ( 妒( t ) ) 目( 妒( t ) ) h 只( 妒( t ) ) t = lz = l p t 仇n + f 酬( 蜀( 妒( 洲只( 妒( 酬“( 妒( s ) ) t ；l 。 = l0 = 1 又n ( 妒( 芒) ) 丌e t 如( t ) ) he ( 妒( t ) ) 1 ， t = lt = 1 对咿( t ) ，应用引理2 1 知， m n ( 妒( t ) ) 兰。( 妒( t ) ) 且( 妒( t ) ) e ( 妒( t ) ) ng ( 妒( ) ) ， i = 1 o = 1 l = l 其中， g ( 妒( t ) ) =