（计算数学专业论文）分数阶扩散方程的几种数值解法.pdf

0 i 、 。j 七 2，*多 原创性声明 本人郑重声明t 所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论文的研究作出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明 的法律责任由本人承担 论文作者签名：堑：醢笪茸舀日论文作者签名：鸳：衄掣舅日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位 论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名。聚血迫簪师签名：磁日期。丛也经岁月门曰 一1j1：。 山东大学博士学位论文 中文摘要 英文摘要 第一章 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 目录 基础知识 分数阶微积分历史简介 分数阶微积分的定义和性质。 1 2 1r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数 1 2 2c a p u t o 分数阶导数 1 2 3g r i i n w a l d l e t n i k o v 分数阶导数。 m i t t a g - l e f l i e r 函数 分数阶微分方程的一些数值解法 分数阶微积分的一些应用 1 5 1 在反常扩散上的应用 1 5 2 在其它物理方面的应用 分数阶对流扩散方程的权平均有限差分法 简介 分数阶权平均法( f w a ) f w a 法的稳定性和精确性分析 一种改进型权平均格式 数值模拟 2 5 1 算例一 2 5 2算例二 结论 第三章瞬态分数阶对流扩散方程的特征有限差分法 2 5 3 1 简介 2 5 3 2 双边分数阶对流扩散方程。 2 6 3 3 分数阶特征有限差分法( c f d m ) 2 7 3 4 分数阶c f d m 的稳定性和误差分析 3 0 3 4 1 两个有用的引理 3 0 i i i 政 m 1 l 1 2 3 4 4 5 6 6 7 9 9加挖m埔玎组弘 山东大学博士学位论文 3 4 2 稳定性分析 3 4 3 收敛性分析和误差估计 3 5 数值试验 3 5 1 分数阶c f d m 的性质 3 5 2 与分数阶隐式迎风差分法的比较 3 5 3 与分数阶显式迎风差分法的比较 3 6结论 第四章 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 分数阶扩散方程的一种隐式有限差分法 简介 分数阶导数的离散形式 分数阶隐式差分法 稳定性和精确性分析 4 4 1稳定性分析 辨4 2 截断误差 数值算例 结论 参考文献 致谢 攻读博士学位期间完成论文情况 作者简介 1 i 诒骼孙；8必如 缸乩驼弱弘弘耵眈 船 仡 他 m 9 山东大学博士学位论文 插图目录 2 1 口= 1 7 ，a = 0 8 ，z = 志和s = 1 2 时，由f w a 格式( 2 2 6 ) 计算出 来的( 2 1 1 ) 的数值解其中点线、星线和圈线分别对应经过5 0 ，5 0 0 和 2 0 0 0 次时间步长后的数值解曲线实线则表示相应的解析解 1 8 2 2 除了雪= s = 1 6 。其它假设条件都和图2 1 中的一样。这些数值解都 是由改进型f w a 格式( 2 4 2 ) 计算出来的 1 9 2 3 除了s = 1 8 。其它假设条件都和图2 2 中的一样。实线表示的是经过 8 0 0 次时间步长后的误差 1 9 2 4 除了雪= 1 8 ，其它假设条件都和图2 1 中的一样。实线表示的是经过 1 0 0 0 次时间步长后的误差 2 0 2 5 口= 2 ，a = 1 ，缸= 矗和雪= l 时，由改进型f w a 格式( 2 4 2 ) 计算出 来的( 2 1 1 ) 的数值解其中点线、星线和圈线分别对应经过1 0 0 ，1 0 0 0 和1 0 0 0 0 次时间步长后的数值解曲线实线则表示相应的解析解 2 0 2 6 z = 志和a t = 矗时，由f c n 格式( 2 2 6 ) 计算出来的数值解其 中点线，星线和圈线分别对应t = 3 ，2 5 和2 这三个不同时刻的数值解 曲线实线则表示相应的解析解曲线 2 2 2 7 z = 击和a t = 击时，由f c n 法( 2 2 6 ) 计算出来的，从t = 0 到 t = 2 之间的绝对误差 2 3 3 1 h = 杀和a t = 时，分别在t = 0 4 和t = 1 0 这两个不同时刻的解析 解( 实线) 以及由分数阶c f d m ( 3 4 1 ) 算出来的数值解( 点线) 3 8 3 2 h = 杀和t = 1 0 时，分数阶i s d m 的数值解和精确解比较其中实线 表示精确解。圈线、星线和点线分别表示a t = 、击和百南时的数 值解 4 3 3 3 t = 1 0 时。不同时空步长下，数值解和精确解曲线图其中实线表示精 确解点线表示h = 嘉和a t = 时分数阶c f d m 的数值解，星线表示 h = 击和a t = 赢时分数阶i u f d m 的数值解 4 4 3 4 t = 1 0 时，不同时空步长下。数值解和精确解曲线图其中实线表示精 确解点线表示h = 杀和a t = i 1 时分数阶c f d m 的数值解，星线表示 h = 丽1 和a t = 薇1 而时分数阶i u f d m 的数值解 4 7 3 5 a t = 蜀杀和t = 1 0 时，分数阶e u f d m 的数值解和精确解比较其 中实线表示精确解圈线、星线和点线分别表示h = 矗、击和丽1 时的数值解 4 8 山东大学博士学位论文 4 1 ，y = 0 5 ，p = 1 ，a x = 而1 和a t = 孟时，用c t c s 法( 4 3 5 ) 计算所得 到的数值解其中t = 1 ( 圆圈) ，5 0 0 ( 星号) ，1 0 0 0 ( 十字形) 实线则对应精 确解 5 9 4 2 ，y = o 7 5 ，p = 2 ，z = 面i 和a t ；泰时，用c t c s 法( 4 3 5 ) 计算 所得到的数值解其中t = 1 ( 圆圈) ，l o o ( 星号) ，5 0 0 ( 十字形) 实线则对 应精确解 6 0 4 3 ，y = 0 9 ，a x = 丽1 和a t = 矗时，由c t c s 法( 4 3 5 ) 计算出来的数值 解 6 0 4 4 a t = 丽1 ，z = 丽i 和t = l 时，根据不同的，y ，由c t c s 法( 4 3 5 ) 计 算出来的数值解 6 1 4 5 a t = 矗，z = j i j l 和z = 0 5 时，根据不同的7 ，由c t c s 法( 4 3 5 ) 计算出来的数值解 6 1 t q 国 山东大学博士学位论文 表格目录 2 1 一般f w a 格式( 2 2 6 ) 和改进型f w a 格式( 2 4 2 ) ，经过不同次( 记作 n ) 时间步长后计算出来的误差比较 2 1 2 2 小空间步长z = 赤和t = 2 时，f c n 法的l 和l 2 模误差，以及 它们的误差收敛率 2 3 3 1 分数阶c f d m 格式( 3 4 1 ) ，在l l 、如和l 模上的时间收敛率 3 8 3 2 分数阶c f d m 格式( 3 4 1 ) ，在l l 、岛和l 模上的空间收敛率 3 9 3 3 分数阶i u f d m 格式，在l l ，如和l 模上的时间收敛率 4 0 3 4 分数阶i u f d m 格式，在l l 、如和l 模上的空间收敛率 4 1 3 5 分数阶i u f d m 格式，在l l ，如和l 模上的时间收敛率 4 l 3 6 分数阶i u f d m 格式，在l l ，岛和l 模上的空间收敛率 4 2 3 7 分数阶i u f d m 法在不同时间步长a t 下的二l ，如和l 模误差其 中，h = 蕊1 ，t = 1 0 4 2 3 8 分数阶i u f d m 法在不同空间步长h 下的上，l ，如和l 模误差其中， a t = 丽1 ，t = 1 0 - 4 3 3 9 分数阶e u f d m 在l l ，岛和l 模上的空间收敛率 4 7 3 1 0t = 1 0 时。分数阶e u f d m 在不同时空步长下的l l ，如和l 误差4 8 3 1 1t = 1 0 时，分数阶c f d m ，i u f d m 和e u f d m 在不同时空步长下的 特征 4 9 山东大学博士学位论文 v 1 u 符号 分数阶数 分数阶积分算子 r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶微分算子 g r i i n w a l d - l e t n i k o v 分数阶微分算子 c a p u t o 分数阶微分算子 g a m m a 函数 m i t t a g - l e f l t e r 函数 广义m i t t a g - l e f f l e r 函数 方程精确解 方程数值解 时间步长 空间步长 口胛聊卿珊咐驯晰札u出血 山东大学博士学位论文 分数阶扩散方程的几种数值方法 苏丽娟 ( 山东大学数学学院，济南， 2 5 0 1 0 0 ) 指导老师。王文洽教授 摘要 尽管分数阶微积分的历史几乎和整数阶的一样长，但是由于缺少相关的实际应用 背景，分数阶微积分在其初期发展十分缓慢众所周知，对于解释和模拟许多应用科 学领域的动力学过程，经典微积分都是一个强有力的工具但是，越来越多的实验和 现实告诉我们，在自然界的反常动力学中有许多复杂系统，不能用经典的导数模型来 描述因此，在最近的十几年里，分数阶微积分已经被应用于几乎所有科学，工程和 数学的领域中去 物理中，反常扩散或许是一种最常研究的复杂问题我们利用分数阶导数，可以 将经典的整数阶扩散与波的偏微分方程，推广到时间和空间的分数阶上去进而再扩 展到各类非线性方程并给出其初边值问题的解，是近几年来分数阶微积分应用的个 主要领域般来讲。这些问题大都具非常重要的实际应用背景。如在分形和多孔介 质中的弥散、半导体物理、湍流及凝聚态物理等 本文主要研究一些分数阶扩散方程及其数值解法，共由四个彼此相关而又相互独 立的章节构成第一章简要介绍了分数阶微积分的历史、理论及其应用，以及文中将 用到的一些基本知识。和相关数值解的现有研究成果；第二章和第三章研究的都是双 边空间分数阶对流扩散方程，在这两章中我们分别给出了此类方程的几类不同有限差 分法，主要有分数阶权平均法、改进型权平均法和特征有限差分法等；而在最后一章 中，我们则是给出了时间分数阶扩散方程的一种高精度隐式数值解法 第一章为序言首先了介绍分数阶微积分的历史及其发展情况，并给出了几种常 用的分数阶算子定义以及它们的一些基本性质，例如r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶算 子， c a p u t o 分数阶算子和g r i i n w a l d - l e t n i k o v 分数阶算子等。同时还列出了几个相 关的运算性质然后，在1 3 中，我们对m i t t a g - l e f l t e r 型特殊函数和它的基本性质 也进行了一定的叙述，这类特殊函数主要包括单参数的m i t t a g - l e f l i e r 函数和两参数 的广义m i t t a g - l e f f i e r 函数这类特殊函数常常是很多分数阶微分方程的基本解，其它 具有类似性质的特殊函数还有w r i g h t 函数和h f o x 函数，等等 山东大学博士学位论文 此外，在本章中的1 4 ，我们还归纳叙述了目前为止，几类常见的分数阶微分方 程的一些数值解法例如，有限差分法，有限元法，微分变换法，a d o m i a n 区域分解 法，变分迭代法，同伦摄动法，等等同时对每种方法分别列举出了一些相关研究成 果最后，在本章的最后一节中，我们较详细的介绍了分数阶微积分在当前非线性物 理复杂系统的各个领域中的应用 在接下来的章节中，我们将研究两种不同的反常扩散模型在第二章中，主要研究 1 维空间分数阶对流扩散方程我们根据移位g r f i n w a l d 公式离散r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数。从而提出了方程的分数阶权平均法通过理论研究和算例分析，可以得 知以前出现过的一些相关数值算法，它们大都是此方法的某些特例在2 3 中，我们 利用圆盘定理和矩阵法证明了分数阶权平均法的稳定性，具体理论结果由定理2 1 详 细给出 然后，在2 4 中，我们又讨论了分数阶权平均法的一种新的改进格式，并再次给 出了相关稳定性分析最后，则是用数值例子来验证理论的正确性，同时又计算了分 数阶权平均法的特例，分数阶c r a n k - n i c h o l s o n ( f c n ) 法显然，无条件稳定又拥有2 阶时间精确度的f c n 法更好一些本章部分内容已经公开发表在p h y s i c sl e t t e r sa 在第三章中，关于双边空间分数阶对流扩散方程，据我们所知，目前为止，它的 数值解法全都是e u l e r i a n 法结果，这些方法都具有和2 阶对流扩散方程相同的数值 局限性在本章中，结合移位g r i i n w a l d l e t n i k o v 有限差分过程以及l a g r a n g i a n 法， 我们在3 3 中首次提出了一种分数阶特征有限差分法( c f d m ) 此法保留了2 阶对 流扩散方程特征法和分数阶对流扩散方程有限差分法的所有数值优点在3 4 中，我 们证明了这种方法是无条件稳定、相容和收敛的，并且给出了本方法误差估计的最大 值 在3 5 中，我们给出了个实际算例的数值模拟，并把分数阶特征有限差分法和 其它的分数阶标准差分法相比较算例结果表明，这种分数阶新c f d m 在精度和稳定 性上都大大优于其它已知方法，例如显式迎风差分法和隐式迎风差分法等并且，此法 对于对流占优问题，显得尤为高效、优越本章内容已投到j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a l p h y s i c s 在第四章中，我们主要讨论的是一类时间分数阶扩散方程反常次扩散运动是复 杂系统中个特别重要的内容，如在一些有机和无序材料中，它的运动路径被一些几 何或能量因子约束着对于反常次扩散随机游走过程的数学模型，一般扩散方程则会 被r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶时间扩散方程所替代分析表明，这些分数阶模型显然比 山东大学博士学位论文 经典的整数阶模型更加符合实际背景 在本章中，首先我们我们利用移位g r i i n w a l d 公式来逼近时间分数阶导数，并且 使用中心差分格式去逼近1 阶时间导数和2 阶空间导数，从而提出了此类扩散方程的 一种新的隐式差分法它是一种三层差分格式，其中第一时间层的数值解可以由全隐 式格式或c r a n k - n i c h o l s o n 格式给出，这两种格式都是无条件稳定的接着，我们利 用广义化f o u r i e r - v o nn e u m a n n 分析法，证明了这种新方法的无条件稳定性，并导出 此法关于时间的2 阶精确度最后，则是用数值试验和对比法，来验证和观察本算法 的性质和特征本章内容已投到a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n 关键词- 分数阶微积分；反常扩散i 数值解法ig r i i n w a l d 近似；有限差分法i 特征法i 稳定性分析i 数值模拟 s o m en u m e r i c a lm e t h o d sf o rf r a c t i o n a ld i 肌s i o n e q u a t i o n s l i j u a ns u ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ，c h i n a ) s u p e r v i s o r ：p r o f w e n q i aw a n g a b s t r a c t d e s p i t et h eh i s t o r yo ff r a c t i o n a lc a l c u l u si 8a l m o s t 嬲l o n g 嬲i n t e g e r - o r d e rc a l - c u l n s h o w e v e r ，b e c a u s eo fl a c ko f 印p l i c a t i o nb a c k g r o u n d ，f r a c t i o n a lc a l c u l u sw f t e d e v e l o p e dv e r ys l o w l y i ti sk n o w nt h a tt h ec l a s s i c a lc a l c u l u sp r o v i d e sap o w e r f u lt o o l f o re x p l a i n i n ga n dm o d e l i n gi m p o r t a n td y n a m i cp r o c e s s e si nm a n ya r e a so ft h ea p p l i e d s c i e n c e s b u te x p e r i m e n t sa n dr e a l i t yt e a c ht t st h a tt h e r ea r em a n yc o m p l e xs y s t e m si n n a t u r ew i t ha n o m a l o u sd y n a m i c s ，w h i c hc a nn o tb ec h a r a c t e r i z e db yc l a s s i c a ld e r i v a - t i v em o d e l s t h e r e f o r e ，d u r i n gt h el a s td e c a d ef r a c t i o n a lc a l c u l u sh a sb e e na p p l i e dt o a l m o s te v e r yf i e l do fs c i e n c e ，e n g i n e e r i n g ，a n dm a t h e m a t i c s a n o m a l o u sd i f f u s i o ni sp e r h a p st h em o s tf r e q u e n t l ys t u d i e dc o m p l e xp r o b l e m c l a s s i c a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o no fd i f f u s i o na n dw a v eh a sb e e ne x t e n d e dt ot h e e q u a t i o nw i t hf r a c t i o n a lt i m ea n d o rs p a c eb ym e a n so ff r a c t i o n a lo p e r a t o r f u _ r - - t h e r m o r e ，i th a sb e e ne x t e n d e dt ot h ep r o b l e m so fe v e r yk i n do fn o n h n e a rf r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n a n dt op r e s e n tt h es o l u t i o n st ot h ep r o b l e m so fi n i t i a la n db o u n d - a r yv a l u e ss u b j e c tt oa b o v ee q u a t i o n si 8a n o t h e rr a p i d l yd e v e l o p i n gf i e l do ff r a c t i o n a l o p e r a t o ra p p l i c a t i o n s i ng e n e r a l ，a l lo ft h e s ee q u a t i o n sh a v ei m p o r t a n tb a c k g r o u n do f p r a c t i c ea p p l i c a t i o n s ，s u c ha sd i s p e r s i o ni nf r a c t a l sa n dp o r o u sm e d i a ，s e m i c o n d u c t o r p h y s i c s ，t u r b u l e n c ea n dc o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s t h e p a p e rf o c u s e so ns o m ef r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o n sa n dt h e i rn u m e r i c a lm e t h - o d s i ti 8c o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s ，w h i c ha r ei n d e p e n d e n ta n dc o r r e l a t i v et oo n e a n o t h e r t h ef i r s tc h a p t e rc o n t a i n sab r i e fi n t r o d u c t i o nt of r a c t i o n a lc a l c u l u sa n ds o m e e l e m e n t a r yk n o w l e d g e t h es e c o n da n dt h i r dc h a p t e r sd e a lw i t ht h es p a c e - f r a c t i o n a l a d v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sb ys o m ed i f f e r e n tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s ，s u c ha s ，t h e f r a c t i o n a lw e i g h ta v e r a g em e t h o da n dt h ec h a r a c t e r i s t i cf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，e t c i nt h el a s tc h a p t e r ，w ep r o p o s ean e wi m p l i c i tn u m e r i c a ls o l u t i o nf o rt h et i m e - f r a c t i o n a l d i f f u s i o ne q u a t i o n x i i i - 山东大学博士学位论文 t h ec h a p t e r1i si n t r o d u c t i o n f i r s t l y , t h eh i s t o r ya n dt h ed e v e l o p m e n to ft h e f r a c t i o n a lc a l c u l u sa n di t sa p p l i c a t i o n si si n t r o d u c e d w ea l s oi n t r o d u c es o m ed i f f e r - e n tk i n d so ff r a c t i o n a lo p e r a t o r s ，s u c ha sr i e m a n n - l i o u v i l l e ，c a p u t oa n dg r i i n w a l d - l e t n i k o vf r a c t i o n a lo p e r a t o r s ，a n ds oo n a tt h es a m et i m e ，t h e r ea r es o m ep r o p e r t i e s o ft h ef r a c t i o n a lo p e r a t o r s ，t o o n e x t ，w ep r e s e n tt h em i t t a g - l e f f l e rf u n c t i o n ，w h i c h u s u r yc o n t a i n sm i t t a g - l e f l i e rf u n c t i o na n dg e n e r a l i z e dm i t t a g - l e f l i e rf u n c t i o ni nt w o p a r a m e t e r s ，e t c i ti st h ee l e m e n t a r ys o l u t i o no fm a n yf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s i m i l a r l y , t h e r ea r es t i l lt w od i f f e r e n ts p e c i a lf u n c t i o n s ，w r i g h tf u n c t i o na n dh f o x f u n c t i o n a d d i t i o n a l l y , i n 1 4 ，w ei n c l u d es o m en u m e r i c a lm e t h o d sr e l a t i v er e s e a r c h e so f f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c ha r ek n o w ns of a r s u c ha 8 ，f i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，d i f f e r e n t i a l t r a n s f o r mm e t h o d ，a d o m i a nd e c o m p o s i t i o n m e t h o d ，v a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o d ，h o m o t o p yp e r t u r b a t i o nm e t h o d ，e t c i nt h el a s t s e c t i o no ft h ec h a p t e r ，w ei n t r o d u c ei nd e t a i l st h ea p p l i c a t i o n so ft h ef r a c t i o n a lc a l c u l u s i na l m o s te v e r yf i e l do fn o n l i n e a rc o m p l e xp h y s i c a ls y s t e 瑚 i nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s ，t w od i f f e r e n tm o d e l so fa b n o r m a ld i f f u s i o na r es t u d i e d i nc h a p t e r2 ，w os t u d yt h eo n e - d i m e u s i o n a ls p a c ef r a c t i o n a la d v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a r t i o n b a s e do nt h es h i f t e dg r i i n w a l da p p r o x i m a t i o nt ot h er j e m a n n - l i o u v i l l ef r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ，w ep r o p o s et h ef r a c t i o n a lw e i g h ta v e r a g e ( f w a ) m e t h o di nt h i sc h a p t e r w e c a l ls e et h a ts o m er e s u l t so b t a i n e dp r e v i o u s l ya r es p e c i a lc a s e so ft h em e t h o d i n 2 3 ， s t a b i l i t yo ft h ef w am e t h o di sp r o v e db yg e r s c h g o r i nt h e o r e ma n dm a t r i xa n a l y s i s a n dt h ec o n c l u s i o ni sg i v e ni nt h ef o r mo ft h e o r e m2 1 t h e n ，w ea l s od i s c u s san e wi m p r o v e df w a s c h e m ea n di t ss t a b i l i t yi n 2 4 a t l a s t ，s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ec a r r i e do u tt oc o n f i r mo u rt h e o r y a tt h es a n l et i m e ， a sas p e c i a lc a s eo ft h ef w a m e t h o d ，t h ef r a c t i o n a lc r a n k - n i c h o l s o n ( f c n ) m e t h o di s m u c hb e t t e r ，w h i c hi sn o to n l yu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e ，b u ta l s os e c o n d o r d e ra c c u r a t e i nt i m e t h er e s u l to ft h i sc h a p t e rh a sb e e np u b l i s h e do np h y s i c sl e t t e r sa i nc h a p t e r3 ，t ot h eb e s tk n o w l e d g eo ft h ea u t h o r s ，t h en u m e r i c a lm e t h o d sd e v e l - o p e ds of a rf o rt w o - s i d e ds p a c ef r a c t i o n a la d v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sa r ea l le u l e r i a n m e t h o d s c o n s e q u e n t l y , t h e s em e t h o d ss u f f e rf r o mt h es a m en u m e r i c a ll i m i t a t i o n sa s t h e i ra n a l o g u ef o rs e c o n d - o r d e ra d v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s i n 3 3o ft h i sc h a p - t e r ，w ef i r s t l yd e v e l o pac h a r a c t e r i s t i cf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ( c f d m ) f o rf r a c t i o n a l a d v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，b yc o m b i n i n gt h es h i f t e dg r i i n w a l d - l e t n i k o vf r a c t i o n a l f i n i t ed i f f e r e n c ep r o c e d u r e sw i t ht h el a g r a n g i a nt r e a t m e n t i 1 1 ep r o p o s e dm e t h o dr e - x 1 v 叠 山东大学博士学位论文 t a i n sa l lt h en u m e r i c a la d v a n t a g e so fc h a r a c t e r i s t i cm e t h o d sf o rs e c o n d - o r d e ra d v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sa n dt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sf o rf r a c t i o n a la d v e c t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o n s t h e nw ep r o v et h a tt h i sm e t h o di su n c o n d i t i o n a l l ys t a b i l i t y , c o n s i s t e n ta n d c o n v e r g e n c ei n 3 4 t h em a x i m u m e r r o re s t i m a t ei sd e r i v e d ，t o o n u m e r i c a ls o l u t i o n sa n de x a c ts o l u t i o n so fas p e c i a lf r a c t i o n a ld i f f u s i o np r o b l e m a r es h o w ni n 3 5a n dac o m p a r i s o nb e t w e e nt h ef r a c t i o n a lc f d ma n dt h es t a n d a r d f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s ( s f d m ) i sg i v e n f i n a l l y , w ed r a wo u rc o n c l u s i o n si n 3 6 o b v i o u s l y , t h ef r a c t i o n a lc f d m i sb e t t e ri nb o t ht h ea c c u r a c ya n dt h es t a b i l i t yt h a n t h ek n o w nf r a c t i o n a ls f d m i n c l u d e dt h ef r a c t i o n a le x p l i c i tu p w i n df i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o da n dt h ef r a c t i o n a li m p l i c i tu p w i n df i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d e s p e c i a l l yf o rt h e c o n v e c t i o n - d o m i n a t e dp r o b l e m s ，t h i sn e wm e t h o di sv e r ye f f i c i e n ta n ds u p e r i o r t h e r e s u l t o ft h i sc h a p t e rh a sb e e ns u b m i t t e dt oj o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a lp h y s i c s i nc h a p t e r4 ，w e s t u d y