（计算数学专业论文）分数阶稳态方程的数值方法及线性分数阶系统的稳定性分析.pdf

摘要 分数阶微积分已有很长的历史早在1 6 9 5 年，l e i b n i t z 给l h o s p i t a l 的一封信 中就提到了分数阶微分的概念l e i b n i t z 写到。这会导致悖论，不过总有一天会 得到有用的结果。早期对分数阶微积分有贡献的数学家包括l i o u v i l l e r i e m a n n 等在最近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进 行，似乎它只对数学家有用，然而在最近几十年里，许多学者指出分数阶微积分非 常适合刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，在经典模型中这些性质常常是被忽 略的如今，分数阶微分方程越来越多地被应用来描述光学和热学系统，流变学及 材料和动力系统、信号处理和系统辨识，控制和机器人及其他应用领域中的问题 本论文共有三章，其中，第一章为引言，介绍分数阶微积分的基础知识，第二 章为本论文的主要内容之二，研究对一般的分数阶稳态方程( 它是一种典型的分数 阶椭圆型方程，含有分数阶拉普拉斯算子) 的有限元解问题第三章为线性分数阶 系统的渐近稳定性问题和分数阶微积分的个应用 具体地说，第一章，简要地回顾了分数阶微积分的几种定义并分析和比较它们 的一些性质第二章，根据分数阶导数算子的特点，引进分数阶s o b o l e v 空间，和一 系列等价的有限元解空间，利用g a l e r k i n 有限元方法，和三种不同的技巧，解决了 线性分数阶稳态方程的变分解问题给出了相应的误差估计，并举出两个数值例子 来验证了算法的有效性 第三章，利用l a p l a c e 变换和m i t t a g e - l e f f e r 函数相关的性质。并引进了矩阵的 实标准型形式，分别解决了在r i e m a n n - l i o u v i l l e 导数和c a p u t o 导数意义下的线性分 数阶微分系统的零解的渐近稳定性这里的讨论方法为将来解决非线性分数阶微分 系统零解的渐近稳定性提供了有益的借鉴同时利用c a p u t o 导数，针对在生物 学，生态学等中广泛存在的异速增长律，建立了一个分数阶微分方程的模型，比通 常的模型更符合实际情况一些 关键词分数阶微积分；分数阶微分方程；分数阶稳态方程；有限元方法；渐近 稳定性；异速增长律 i i a b s t r a c t f r a c t i o n a lc a l c u l u sh a sal o n gh i s t o r y , h a v i n gb e e nm e n t i o n e db yl e i b n i t zi nal e t t e rt o l h o s p i t a li n1 6 9 5 i nh i sl e t t e r ，l e i b n i t zw r o t e ：。i tw i l ll e a dt op a r a d o x ，f r o mw h i c ho n e d a yu s e f u lc o n q u e n c e sw i l lb ed r a w n 。m a t h e m a t i c i a n sw h oe a r l yc o n t r i b u t e dt of r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r si n c l u d el i o u v i l l e ，r i e m a n n ，e t c f o rt h r e ec e n t u r i e st h et h e o r yo f f r a c t i o n a lc a l c u l u sh a sb e e nd e v e l o p e dm a i n l yi nt h ep u r et h e o r e t i c a l & l do fm a t h e m a t i c s h o w e v e r ，i nt h el a s tf e wd e c a d e sm a n ya u t h o r sp o i n t e do u tt h a tf r a c t i o n a lc a l c u l u sa r ev e r y s u i t a b l ef o rt h ed e s c r i p t i o no fm e m o r ya n dh e r e d i t a r yp r o p e r t i e so fv a r i o u sm a t e r i a l sa n d p r o c e s s ，w h i c hw e r ei nf a c tn e g l e c t e di nc l a s s i c a lm o d e l s n o w d a y s ，f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r eu s e dt om o d e lp r o b l e m si na c o u s t i c sa n dt h e r m a ls y s t e m s ，r h e o l o g ya n d m a t e r i a l sa n dm e c h a n i c a ls y s t e m s ，s i g n a lp r o c e s s i n ga n ds y s t e m si d e n t i f i c a t i o n ，c o n t r o l a n dr o b o t i c s ，a n ds oo n t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rf o c u s e so nt h eb a s i ck n o w l e d g e o ft h ef r a c t i o n a lc a l c u l u s ，t h es e c o n dc h a p t e ri so n eo ft h ec e n t r a lp a r t so ft h i st h e s i s ，w h e r e t h ev a r i a t i o n a ls o l u t i o no ft h eg e n e r a lf r a c t i o n a ls t e a d ys t a t ee q u a t i o n ，o n ek i n do ft y p i c a l f r a c t i o n a le l l i p t i c a le q u a t i o n ，i n c l u d i n gt h ef r a c t i o n a lo r d e rl a p l a c eo p e r a t o r ，w a ss t u d i e d t h et h i r dc h a p t e rs t u d i e st h ea s y m p t i c a ls t a b i l i t ya n a l y s i so fl i n e a rf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l s y s t e m s ，a n dm o d e l saf r a c t i o n a le q u a t i o na sa p p l i c a t i o no f f r a c t i o n a lc a l c u l u si na l l o m e t r i c s c a l i n gl a w s i nd e t a i l s ，t h ef i r s tc h a p t e rw eb r i e f l yr e c a l l st h ed e f i n i t i o n so ff r a c t i o n a lc a l c u l u sa n d f u r t h e ra n a l y z ea n dc o m p a r et h e i rp r o p e r t i e s i nc h a p t e r2 ，t h ef r a c t i o n a ls o b o l e vs p a c ea n ds o m ee q n i v a l e n ts p a c e so ff i n i t ee l e m e n t s o l u t i o na r ei n t r o d u c e d t h e nw es o l v et h ep r o b l e mo ft h ev a r i a t i o n a ls o l u t i o no ft h e g e n e r a lf r a c t i o n a ls t e a d ys t a t ee q u a t i o nb yu s i n gt h eg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d n u m e r i c a le x a m p l e sa r ea l s ot a k e nt os h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h ed e r i v e da l g o r i t h m i nc h a p t e r3 ，b yu s i n gt h el a p l a c et r a n s f o r ma n ds o m ep r o p e r t i e so ft h em i t t a g e - l e f f e rf u n c t i o n ，a n di n t r o d u c i n gt h er e a lc a n o n i c a lf o r mo fm a t r i x ，w ed e r i v et h ea s y m p t i e a l s t a b i l i t yt h e o r e mf o rt h el i n e a rr i e m a n n - l i o u v i l l ea n dc a p u t of r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s - t e m s a n dw ea l s om o d e laf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rt h ea l l o m e t r ys c a l i n gl a w s ， w h i c hg e n e r a l l ye x i s ti nb i o l o g y , e c o l o g y , e t e k e yw o r d s f r a c t i o n a lc a l c u l u s ；f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；f r a c t i o n a l s t e a d ys t a t ee q u a t i o n ；t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；a s y m p t i c a ls t a b i l i t y ；t h ea l l o m e t r i e s c a l i n gl a w s i i i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已发表和撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢意 签名：日期： 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 签名：导师签名：日期： 第一章前言 t 1 1 引言 分数阶导数理论的历史可以追溯到1 6 9 5 年9 月3 0 日莱布尼兹写给洛必塔的一 封信中所提到关于1 2 阶导数的想法莱布尼兹的这一想法导致了任意阶导数和积 分理论的出现，但直到十九世纪末期才被l i o u v i l l e ，g r i n w a l d ，l e t n i k o v 和r i e m a n n 等人初步完成这三个多世纪以来，分数阶导数主要是作为数学领域的纯理论而被 数学家所使用的他们主要是l e u l e r ，j l l a g r a n g e ，p s l a p l a c e ，a k g r 豇n w a l d ， a v l e t n i k o v ，g f b r i e m a n n ，j l i o u v i l l e ，s f l a c r o i x ，j b j f o u r i e r ，n h a b e l ， g m m i t t a g - l e m e r ，g h h a r d y , j e l i t t l e w o o d ，h w e y l ，a z y g m u n d ，等等” 直到最近几十年，许多工程人员指出，非整数阶导数和积分非常适用于描述各 种物理、化学材料的性质，诸如，聚合物同时新的分数阶模型被证明出比整数阶 模型要精确的多分数阶导数对各种各样的材料和过程( 特别是在描述记忆和遗传 方面) ，相比较整数阶模型而言，它简直可以说是个完美的工具这一优势在结构 力学，电学，流体力学等方面体现得非常明显这些模型比如黏弹性系统【2 ，3 ，4 j ， 白噪声【5 1 ，电磁二极管【6 ，7 】，管道系统的边界层效应【8 】，电磁波【9 】，量子金融【1 0 】， 复杂系统的量子演化【n 】以及分形几何和动力系统【1 2 ，1 3 】等领域中也同样发现需 要分数阶导数理论，等等 近年来，一些关于分数阶微积分的奠定性工作相继出版，其中包括分别由如下 作者写的书lg o r e n t t o 和v e s s e l l a 1 4 ，k i r y a k o v a 1 5 ，m c b r i d e 1 6 ，m i l l e r 和m 髓【1 】 n i s h i m o t o 1 7 ，r u b i n 1 8 ，p o d l u b n y 1 9 ，s a m k o ，k f l b a sm a r i c h e v 撰写的百科全书式的 专著【删尽管分数阶微积分与经典微积分有相同的历史，且已经有了相当的发展， 但它远没有经典微积分的理论完善随着分数阶微分方程在越来越多的学科领域里 出现，无论对分数阶微分方程的理论还是计算方法的研究都显得尤为迫切然而由 于分数阶导数是拟微分算子，它的保记忆性( 非局部性) 在对现实问题进行了优美刻 画的同时，也给理论分析和数值计算带来了相当的困难本文将从这两个方向做努 力 1 2 分数阶微分算子的定义与性质 本节主要回顾分数阶微积分的几种定义和比较它们的一些性质【1 ，1 9 ，2 0 目前，主要有两种分数阶导数。r i e m a n n - l i o u v i l l e 导数和c a p u t o 导数在理论 分析，数值计算和实际应用等方面有重要应用【1 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ， 1 2 分数阶稳态方程的数值方法及线性分数阶系统的稳定性分析 2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 2 】 1 2 1r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶积分与导数 左r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶算子 由微积分的知识我们知道，对个函数求n ( n ) 重积分可简化为 m t ) - 南上( t - - r ) n - i u ( 于) 打- ( l 2 j ) 将( 1 2 1 ) 推广到非整数阶情形，并使用g a m m a 函数可给出如下左r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶积分的定义 定义1 2 1 左r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶积分 令钍定义在区间( 口b ) 上，盯 0 ，则阶数为盯 0 的左r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数 阶积分定义为 m d 孑t ( t ) ：2 南上( t - - t ) ”1 t ( ，- ) 打 ( 1 2 2 ) 将经典的整数阶导数与分数阶积分算子作复合运算便可给出如下的分数阶导数 的定义 定义1 2 2 左r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数 令u 定义在区间( 口，上，p o ，n 是大于p 的最小整数，及口= n p ，则阶 数为p 的左r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数定义为 砒眺。u ( t ) ：= 。n 肚。u ( ) = 南杀( z 2 一r ) 卜l 缸( r ) d r ) ( 1 2 3 ) 复合运算及逆算子 命题1 2 1 左r i e m a n n - l i o u v i l l e 积分算子是可以互换的，即 r l d 。d 岁r l d i ；1 l ( t ) = 兄l d = ：主一”u o ) ，v p ，l ， 0 ( 1 2 4 ) 舭p 肚。蛳- - v u ( t ) = 可方高z ( t r ) p 1z r ( r s ) 卜l u ( s ) d s 打 = 而南t u ( 3 ) ( t - r ) p 1 ( r 叫卜1 打如 = 一1 3 i jil tj 1 - 一j - “， r ( p ) r ( 王，) r 7 ，。r 。7v 。7 一 对内部积分可作变量替换f = p s ) ( t 一3 ) ，因此 砒p 孑鼬d ；t i ( t ) = 南上(t-s)p+v-lt(s)上(1-1 f t 专) 旷l r q 武d s ，1 ：是煞厂2 ( t - s ) p + v - l l t , ( s ) 如 = 一- 5 i u s r ( p ) r ( p ) 厶 ”一 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 3 命题1 2 1 是左分数阶积分算子的半群性质，左分数阶积分算子的集合 肚珑7 关于盯形成强连续半群如下关于做分数阶微分算子的两个性质类似于微积分基本 定理的第一和第二部分 命题1 2 2 阶数为p 的左r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数算子是阶数为p 的左 r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶积分算子的逆算子，即 肚磁t 肚k l t ( ) = t ( t ) ， 0 ( 1 2 5 ) 证明利用左r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数算子的定义，命题1 2 1 ，及微积分的 基本定理有 舭咣t 肚l ( t ) = d n 肚p 笨n 舭d = ：t i ( t ) = d n d 哪u ( t ) = 牡( t ) 命题1 2 3 令p 0 ，如下的左r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶积分算子和左r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数算子算子的复合公式成立 肚耋肚磁州d = t 一薹k 瞄) 】t 鄙揣，( n - l l 比 n ) ( 1 2 6 ) 证明可将( 1 2 6 ) 的左边写为肛d 才d n 舭瞄n u ( t ) ，交换算子d n 和肚d 孑 的位置，并计算可得 。n 眦纵。= 舭耋矿) 一耋叫) ( 口) 揣，( n - l o ，n 是大于p 的最小整数，及口= n p ，则阶数为p 的左r i e m a n n - l i o u v i l l e 分 数阶导数定义为 a l m ：, b 绯) ：= ( 卅n 肚叼绯) = 错杀，6 ( 广1 昧胯( 1 2 1 0 ) 复合运算及逆算子 命题1 2 4 右r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶积分是可以互换的，即 舭硝肚叼u ( ) = 肚叼“( t ) ，弘，| ， 0 ( 1 2 1 1 ) 证明应用( 1 2 9 ) ，并交换积分次序可得 砒踞砒啊邮) = 击z 6 ( 川广1 小r ) 川小) d s d r = f i 石；- _ i 万bi t ( s ) z 。( 下一t ) p 一1 ( s f ) y 一1 d r d s = 一 鼻ij 1 - 一【r i s 下一，l 下，z r r ( 肛) r ( )、。7 - t v 。7 、”。7 。 对内部积分可作变量替换= ( r t ) ( 8 一) ，因此 肛昭r l d t , - u ( t ) 2 页者而j ( ( 8 - - t ) p + u - 1 u ( s ) 上p 1 ( 1 一f ) p 1 埏d s 1 ，口 ，j ：关煞厂6 ( 8 - - t ) p , + v - 1 u ( 3 ) d s = 一i iis r ( p ) r ( i ，) 以 7r = 肚d 秽1 t l ( t ) 命题1 2 4 是右分数阶积分算子的半群性质右分数阶积分箅子的集合关于阶 ( 正数) 形成强连续半群如下关于右分数阶导数的两个命题类似与微积分基本定 理的第一和第二部分 命题1 2 5 阶数为p 的右r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数算子是阶数为p 的右 r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶积分算子的逆算子，即 r l d t , b 。舭d 苫u ( ) = t l ( t ) ， 0 ( 1 2 1 2 ) 证明利用右r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数算子的定义。有 r l b r z d t f u ( t ) = ( 一d ) n 舭d f n 肚d u ( t ) = ( - d ) n t n t ( t ) = u ( ) 命题1 2 6 令p 0 ，如下的右r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶积分算子和右r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数算子算子的复合公式成立 和啪- z 忸州t ) _ 绯) - 喜啪川t , b 吣) 】t _ 6 岳幂，( n - l # n ) ( 1 2 1 3 ) ，= l ” 。 2 0 0 8 上海大学硬士学位论文5 证明可将( 1 2 1 3 ) 的左边写为肚对( - d ) n 舭路n 札( t ) ，交换算子( 一d ) n 和 肚劈的位置。重复有用l e i b n i z 公式可得 ( _ d 踞蜘m 蹦- d m ) 瘩1 ) n - j u ( n - j ) ( b ) 啬罱，( n - l 0 ，( 1 2 1 6 ) u ( 8 ) 表示u ( t ) 的l a p l a c e 变换 证明在半空间中，两个函数的卷积定义为 u ( t ) v ( t ) = 让( t o v ( o 埏， 其中，u 和t ，在t 0 ，n 是大于p 的 最小整数，及矿= n p ，则阶数为p 的左c a p u t o 分数阶导数定义为 c d a “, t u ( t ) 2m f d n u ( t ) 。南z ( t - 荨) 扣1 t m ( ) 诞 ( 1 2 2 3 ) 在b = + 时，该记号也是有效的 定义1 2 6 右c a p u t o 分数阶导数令t 定义在( a ，b ) 上，p 0 ，n 是大于p 的 最小整数，及口= n 一“则阶数为p 的右c a p u t o 分数阶导数定义为 1 ，b c t ( t ) 2r l 叼( 一d ) n u ( ) 2 高j ( ( f 一) 俨1 ( 一1 ) n u ( n ) ( ) 埏， ( 1 2 2 4 ) 命题1 2 1 2 令c 是任意常数，则c 碳t c = 0 对于以上分数阶导数或积分，初始时刻a 常常取为0 命题1 2 1 3 若t o ，t i ( t ) c 1 【0 ，卅，p ，i ，矿，且p + | ，1 ，则 c 隧t c d o ”, ( t ) = c d o v , t c u ( ) = c 嘴( t ) ，t 【0 ，刀 ( 1 2 2 5 ) 关于分数阶导数的几何和物理意义解释可以参考【3 3 ，3 4 ，这两种导数的区别和 联系可以参考【3 2 】 第二章分数阶稳态方程的有限元方法 到目前为止，对于线性分数阶微分方程求解的技巧主要集中于l a p l a c e 变换和 f o u r i e r 变换方法，m e l l i n 变换方法，幂级数方法和y u i b a b e n k o 8 符号积分方法 有限差分方法早期被应用于构造数值解在【3 5 】中，关于时间变量系数的有限差分 方法，应用到了以时间为变量的一维分数阶常微分方程中去，得到了非线性收敛精 度然而，在处理二维或二维以上的整数阶偏微分方程，特别是一些非构造性网格 问题方面，有限元逼近比差分逼近有优势所以，在分数阶情况，去探讨有限元方 法是否依然有着同样的优势则是个非常有趣的工作目前来说，利用有限元方法 来解分数阶偏微分方程，还只是刚刚起步，在 3 6 ，3 7 j 中，有限元方法被用来解决 r i e m a n n - l i o u v i l l e 导数意义下的稳态的对流色散方程本章将利用r i e m a n n - l i o u v i l l e 导数和c a p u t o 导数的定义的特点，在阳，3 7 ，3 8 】等工作的基础上，针对一类推广 了的分数阶稳态方程的不同问题情形，利用g a l e r k i n 有限元方法，给出了相应的变 分原理，得到了非线性收敛精度 2 1 = 维空间的分数阶导数理论 本节主要讨论二维空间的分数阶导数定义及其有限元空间理论首先，我们根 据 3 7 】所定义的r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶方向积分与导数，来研究二维空间的分数 阶导数 定义2 1 1 假设口 0 ，0 【o ，2 , 0 ，则0 方向的盯阶r i e m a n n - l i o u v i l l e 积分为 ，o og a - 1 舭巧，u ( 删) 2 o 而u ( z 一c o s 0 , 可一f s i n e ) 必， ( 2 1 1 ) 注记t 对于某些特殊方向的分数阶积分等价于如下的分数阶左，右r i e m a n n - l i o u v i u e 积分算子，即 r l d o 仃u ( x ，y ) = r l d 二品。t ( z ，y ) ， 舭d ；矿t ( z ，耖) = 肚d 二品，掣t i ( z ，) ， r l d i 口t ( z ，可) = r l 虼盘t l ( z ，! ，) ， 舭d 琴t ( z ，y ) = 舭乙t ( z ，耖) ， 其中， 砒喵鹏小= e 与茅小d r ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 9 r l d = 品，t ( z ，y ) ，础d 三u ( z ，可) ，肚d 五盘u ( z ，) 可以相应的定义出并且，将 r l d - - 品，霉让( z ，秒) 简记为r l d ；口u ( x ，夕) ，r l d ，u ( x ，s ，) 简记为肚巧口u ( z ，) 定义2 , 1 2 假设n n ，口1 0 ，2 7 r ) ，则p 方向的竹阶导数定义为 聊u ( 训) = ( c o s 嗟+ s i no 南- ) n u ( 删) ， ( 2 1 7 ) 定义2 1 3 假设a o ，0 【0 ，2 7 r ) ，n 一1sa n ，口= n q ，则0 方向的o l 阶导 数定义为 a 工d 孑u ( x ，y ) = 占雪r l 口彳口t ( z ，可) ，( 2 1 8 ) 与r i e m a n n - l i o u v i l l e 方向导数一样，我们也将q 阶的二维c a p u t o 分数阶方向 导数c d 孑u ( x ，y ) 定义分别如下。 c j 万t ( z ，可) = 冗l p 彳4 d 孑t ( z ，! ，) ，n 一1 0 ，定义半范数 i t l h n ( n ) ：= u i 口雹( u ) 0 工。( r ：) 范数 0 t i i i h a ( n ) ：= ( 1 l u l l 2 2 ( n ) + i u l 2 水( n ) j 1 1 其中，u ：= ( u 1 ，屹) ，我们定义蝣( q ) 作为c r ( n ) 关于范数1 1 0 日a ( n ) 的闭包 定义2 1 5 分数阶左空间 对于q r 2 ，口 0 ，定义半范数 训呓( n ) = 0 璐t 慨n ) 和范数 咒，。( n ) = ( 兰。( n ) + i t i 屯( n ) ) 喜1 令呓口( q ) 为c 铲( q ) 关于范数i i 0 咒，( n ) 的闭包 定义2 1 6 分数阶对称空间对于q r 2 ，a 0 ，定义半范数 l u i 嚷p ( n ) = i ( 掰t ，璐+ - ，t ) 驴( n ) 悸 和范数 哪( n ) = ( 羔。( n ) + i 札i 强。( o ) ) 令j b ( n ) 为c 矿( q ) 关于范数l i i i 蝗，( n ) 的闭包 如下这一定理，对于我们证明上述空间的等价性是有帮助的 定理2 1 1 对于任意u c 酽( r 2 ) ，q 0 ，有 ( 珊t ，隗霄牡) l 。( r 。) = c o s ( 7 r q ) | | 璐t 慨r ：) ( 2 1 1 3 ) 定理2 1 2 对于q o ，口n 一；，n n ，空间月孑( r 2 ) ，呓口( r 2 ) ，蟾口( r 2 ) 关于它 们的范数和半范数是等价的 2 d 晒上海大学硬士学位论文 1 1 定理2 1 3 对于q o ，口n 一，n n ，空间哪( q ) ，j 。o t ，p ( q ) ，蠼日( q ) 关于它们 的范数和半范数是等价的 证明只要证明i i 田( n ) ，i l 挖，( n ) ，i i 蝗。( n ) 在空间留( q ) 内等价即可对于任 给u c 矿( q ) ，假设矗为的延拓，在q 的外部为零从而，我们有 s 卿( 珊t 强。t 1 ) q ， 显然，可以得出 i i t 上l 嚷p ( o ) 2l t l 嚷p ( r 2 ) l 9 - 另外，易知 i u h 口( n ) 同呓p ( r 。) 且由 3 7 j 知。 l t i i 咒p ( r 2 ) c 同j 口( n ) l i pi l 呓。( r 2 ) 与i i 呓。( n ) 是等价的从而，我们得出咒，口( q ) 与蝎口( q ) 是等价的 另外，我们由 i 面1 日a ( n ) = l 面i 俨( 舭) “i 豇i 咒p ( r ? ) 一i 菘l 呓p ( n ) ， 得出月芎( q ) ，j 础o g ( q ) 是相互等价的所以，我们得出空间娜( q ) ，呓口( q ) ，蠼p ( q ) 关 于它们的范数和半范数是等价的 由第一章的引言，我们知道，如下两个引理是成立的 命题2 1 1 初始条件【1 9 】假设0 竹一1 n n ，u c ( n i = ( o ，x ) ，那么 如下的结论是相互等价的t r l ；肚曜2 缸= u ，托i ， ( 2 1 1 4 ) 缸魄缸】脚= o ，j = l ，2 ，n ， ( 2 1 1 5 ) u o ) ( o ) = o ，歹= 0 ，1 ，n 一1 ( 2 1 1 6 ) 关于空间变量g ，的分数阶导数的结论也是一致的 命题2 1 2 末端条件【1 9 1 假设0 n l 口 0 ，u 屹口( q ) ，我们有 巧。四u = t ( 2 1 2 1 ) 证明由j e ( q ) 的定义知，存在一个序列 咖。) 箍lcc r ( a ) ，使得 尝恐0 t i 一九i i 屹，( n ) 2 0n - ，、 应用三角形不等式，我们有 l i d ；口璐t 一u 忱，( n ) l i d ；。琊( 铲, , ) l l j z ，。( n ) 刊巧。璐一| | j z 。( n ) 删一t 恢。c a ) ( 2 1 2 2 ) 由于九c 铲( q ) ，九满足命题2 1 3 的性质从而得出l i d ；口四“一九0 圪。( o ) = 0 由引理2 1 2 ，我们有i l d 产四( u 一“) i i 呓，。( o ) c l l l u 一九0 呓( n ) 所以，有 l i d ；。璐t 一训i 屹p ( n ) c 2 i i u 一- i l j z 。( o ) 将上式取极限_ ) ，我们有 i i m ；a 田t 一u 0 呓。( n ) = 0 引理2 1 4 1 3 8 假设q o ，p o ，u 瑶p ( q ) ，我们有 瑶+ 卢t = 璐瑶“ ( 2 1 2 3 ) 证明由引理2 1 3 及分数阶积分的半群性质，我们有 u = w n 一卢瑶+ 卢t = 踮口一n 瑶+ 口u 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 两边同时作用珊p 7 ，利用分数阶的半群性质，我们有 磷d 2 d - 8 a 碥冉。u = d 苫鹋毡 即 鹳冉8 t = d 富d 2 t 引理2 1 5 1 3 7 对于任意的0 a l ，t 兕口( q ) ，t ，卵( q ) ，有 ( 四t ，v ) l 2 ( f 1 ) = ( 1 l ，d 锌。t ，) 工2 ( o ) 证明 1 3 ( 珊u ，v ) l 2 c a ) = ( 璐t ，d o + 品n a a + 霄u ) 工2 ( n ) = ( 町n 田仳，d 锌，v ) l 2 ( n ) = ( t i ，d 缸。v ) l 2 ( n ) 定理2 1 4 对于任意的o a 1 ，u 呓口( q ) ，t ，卵( q ) ，有 ( 2 1 2 4 ) ( d ；a u ，v ) l 。( n ) = ( 璐t ，观霄v ) l 2 ( n ) ( 2 1 2 5 ) 证明 ( 跨u ，t ，) l 2 ( n ) = ( 掰珊t ，v ) l 2 ( n ) = ( 掰牡，踞霄v ) l 2 ( n ) ( 2 1 2 6 ) 我们同样可以依据引理2 1 5 ，证明该定理： ( 珊u ，璐h t ，) 工2 ( n ) = ( d 广d 俨u ，踞。t ，) 工，( n ) = ( 明口u ，岛嚣跟霄t ，) p ( 固 = ( d 俨钍，秒) 驴( n ) ( 2 1 2 7 ) ( 2 1 2 8 ) ( 2 1 2 9 ) 命题2 1 4 假设0sn 一1sa n ，萨u l 锄= 0 ，七= o ，1 ，n 一1 ，那么，有 如下性质； 肚璐t l = c d g u ( 2 1 3 0 ) 特别的，当，i = 1 ，( 2 1 3 0 ) 成立的条件便是t i a n = 0 这说明此时p d e m a n n - l i o u v i u e 导数与c a p u t o 导数在一定的齐次边界条件下是 等价的从而，我们可以认为；当，l = 1 ，u i 舳= 0 时，本节所述的r i e m a n n - l