（管理科学与工程专业论文）风险决策中展望空间及其表示理论研究.pdf

西南交通大学博士论文 摘要 本论文所研究的内容属风险决策理论。 风险决策是现实生活中最为普遍且非常重要的一类决策，其理论有着十分 广泛的应用前景。1 9 4 4 年v o nn e u m a n n - - m o r g e n s t e m 的理性行为公理的诞生 标志着风险决策理论的系统化，此后，风险决策理论获得了较大的发展，从公 理系统本身到其上的表示理论及其应用，都获得了一系列的研究成果。目前， 风险决策理论已建立了若干系统的和独立的分支结构和理论。尽管如此，由于 决策科学的发展历史较短，其理论系统还并不完善，因此，还存在许多问题有 待于作进一步深入的研究。本论文针对风险决策中具有重要理论意义的三个方 面的问题作了研究，它们是：( 1 ) 理性行为公理的等价公理研究；( 2 ) 展望 空间的结构理论研究；( 3 ) 展望空间上非线性效用的表示理论研究。本文获 得了一些创造性的成果，其主要研究成果如下： 一给出了y o n n e u m a n n - - m o r g e n s t e m 的理性行为公理的等价公理。 该等价公理揭示了在满足理性行为公理的展望空问上线性效用函数存在的 本质，并将它直接反应在公理之中，这使得公理的意义十分明确。 二二首次提出了展望空问的结构问题，解决了由有限后果生成的展 望空间的结构刻划。本文利用展望空间基元这一新概念，来描述展望空 间的结构特征，证明了由有限后果生成的展望空间的基元的唯一性。同 时，本文还证明了在理性行为公理下由有限后果生成的展望空间的维数至多是 2 ，且其上的序关系由基元唯一确定。 上述结论在理论上有着十分重要的意义。一方面，它给出了由有限后 果，i 成的展望空间的结构；另一方面，它把对由有限后果生成的展望空间问题 的研究，在理论上确保可以转化为对其基元的研究。作为一个例子，在论文中， 我们证明了整个展望空问上的序关系变化和展望空问之间的变换，仅依赖于其 基元的序关系变化和变换。 三对展望空问i _ = 非线性效用表示理论作了进一步研究，获得了具有创造 性的三个非线性效用表示存在性的定理。其结论如下： n 西南交通大学博士论文 若展望空间3 上有一个连续的全拟序关系，3 包含一个不可数的稠密子 集，且3 是无界的，则存在s 到( o ，1 ) 的序同构映射。 若展望空间3 上有一个连续的全拟序关系， 和连通的，则存在s 到( 0 ，1 ) 的序同构映射。 若展望空间3 上有一个连续的全拟序关系， 在3 戮( o ，1 ) 的序同构映射。 3 上的序拓扑是拓扑可分离的 3 上的序拓扑有寸数基，则存 以上三个结论从不同的角度给出了非线性效用表示理论的三个新的 充分条件。 西南交通大学博士论文 i f ! a b s t r a c t t h es u b j e c t st ob es t u d i e di nt h i sp a p e ri si nt h ec a t e g o r yo fr i s k d e c i s i o n m a k i n g a sk n o w n ，r i s kd e c i s i o n m a k i n gi sv e r yp o p u l a ra n ds i g n i f i c a n ti n t h er e a lw o r l d ，s ot h ee x i s t i n gt h e o r yo fw h i c ha f f o r d sw i d e l ya p p l i c a b l e p e r s p e c t i v e s s i n c e 19 9 4 ，i nw h i c hv o l l n e u m a n n - m o r g e n s t e r n e s t a b l i s h e dt h ea x i o m so fr a t i o n a lb e h a v i o rv i e w e da sas i g no fb i r t ho f d e c i s i o ns c i e n c e ，r e s e a r c h i n gi nt h i sf i e l dh a v eb e e ng o i n go nr a p i d l y , a n ds o m ec r i t i c a lr e s u l t sh a v eo b t a i n e dp a r t i a l l yw h i c ha r et h eb a s e so fa f e wo fb r a n c h e so ft h i ss c i e n c e t h o u g hs o ，t h ei n c o m p l e t e n e s so ft h e e x i s t e dt h e o r yg i v e sr i s et on e e dt os t u d yf u r t h e r o fw h i c h ，i nt h i sp a p e r t h r e et h e o r e t i c a ls u b j e c t sa r ed i s c u s s e d t h e ya l e ：( 1 ) e q u i v a l e n ta x i o m s o ft h er a t i o n a lb e h a v i o r ；( 2 ) s t r u c t u r e so f p r o s p e c ts p a c e s ；( 3 ) n o n l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n so np r o s p e c ts p a c e s s o m ec r e a t i v e r e s u l t sa r eo b t a i n e da s f o l l o w s ： 1 as e to fa x i o m se q u i v a l e n tt ov o nn e u m a n n m o r g e n s t e m si s s h o w e d t l a e s ea x i o m sr e v e a lt h ee s s e n t i a lo ft h ee x i s t e n c eo fl i n e a rf u n c t i o n s a t i s f y i n gt h er a t i o n a l b e h a v i o ra x i o m so nap r o s p e c ts p a c ea n ds h o w t h e md i r e c t l yi nt h e s ea x i o m ss ot h a tt h es i g n i f i c a n c eo fw h i c hi sv e r y u n d e m t a n d a b l e t h i sc h a r a c t e ri sn o tr e f l e c t e di nt h ea x i o m so fj e n s o n s a n dh e r s t e i n m i l n o r s 2 t h ep r o b l e mo fs t r u c t u r e so fp r o s p e c ts p a c e sf i r s ti sp r o p o s e d ， a n dt h es t r u c t u r e so f p r o s p e c ts p a c e sd e r i v e db yf i n i t es t o c h a s t i cr e s u l t s a r eg i v e n b yd e f i n i n g t h e b a s i so fa p r o s p e c ts p a c e ，w em a y d e s c r i b e s t r u c t u r e so fp r o s p e c t s p a c e s t h i sp a p e r s h o w st h a tt h eb a s i so fa 西南交通大学博士论文 p r o s p e c ts p a c ed e r i v e db yf i n i t e s t o c h a s t i cr e s u l t si s u n i q u e ，w h i c h i s i m p o r t a n ti nt h e o r y o no n eh a n d ，t h i sm a k e si tc l e a rap r o s p e c ts p a c e d e r i v e db yf i n i t es t o c h a s t i cr e s u l t so nt h eo t h e rh a n d ，t h i sa l s om a k e s s t u d i e so n p r o s p e c ts p a c e sc o n c e n t r a t eo nt h o s eo fb a s e s m e a n t i m e ，i ti s p r o v e dt h a tt r a n s f o r m a t i o n so fp r e f e r e n c e so nap r o s p e c ts p a c eo n l y d e p e n do nc o r r e s p o n d i n gt r a n s f o r m a t i o n so fp r e f e r e n c e so nb a s i s e l s e ， w e p r o v e d t h a t2i sa tm o s tt h ed i m e n s i o n a ln u m b e ro ft h e p r o s p e c ts p a c e b yd e r i v e db yf i n i t er e s u l t sw h i c hs a t i s f i e st h er a t i o n a lb e h a v i o ra x i o m s ， a n dt h ep r e f e r e n c er e l a t i o no nt h i s s p a c ei su n i q u ed e t e r m i n e db yt h e b a s i s ，i e ，t h eg e n e r a t i n ge l e m e n t s 3 n o n l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n s o n p r o s p e c ts p a c e s a r ed i s c u s s e d f u r t h e r , a n dt h r e ec r e a t i v er e s u l t sa r eo b t a i n e d t h et h r e ef o l l o w i n gt h e o r e m sa r e p r o v e d ： l e t3b eap r o s p e c ts p a c e a n dsh a sac o n t i n u o u st o t a l q u a s i o r d e r i fsi su n b o u n d ，a n dh a sad e n s eu n c o u n t a b l es u b s e t ，t h e n t h e r ee x i s t sa p r e s e r v i n g o r d e rm a p f r o mst o ( 0 ，1 ) l e t qb eap r o s p e c ts p a c e a n dsh a sac o n t i n u o u st o t a lq u a s i o r d e r i ft h eo r d e rt o p o l o g yo n3i s t o p o l o g i c a l l ys e p a r a b l ea n d c o n n e c t a b l e ，t h e nt h e r ee x i s t sap r e s e r v i n g - o r d e rm a pf r o m st o ( 0 ，1 ) l e tb eap r o s p e c ts p a c e ，a n d3h a sac o n t i n u o u st o t a lq u a s i o r d e r i ft h e r ee x i s t sac o u n t a b l eb a s i sf o r3 t h e nt h e r ee x i s t sa p r e s e r v i n g o r d e rm a p f r o ms t o ( o ，1 ) t h e s er e s u l t sa r ei n d e p e n d e n te a c ho t h e ra n dn e wt h e o r e m so ft h e e x i s t e n c eo nn o n l i n e a r r e p r e s e n t a t i o n so np r o s p e c ts p a c e s 西南交通大学博士论文 第一章绪论 1 1 研究现状及问题提出 本论文所研究的内容属风险决策理论。 风险决策理论的建立应从本世纪四十年代v o nn e u m a n n 和o s k a r m o r g e n s t e r n 提出的理性行为公理开始算起，但其渊源可以追溯到十八世纪的 b e r n o u l l i 时代。1 7 3 8 年，d a n i e lb e r n o u l l i | 州对用期望值的大小来作为决策的标 准提出了异议，并给出了一个著名的例子。该例子中蕴含了我们现在所使用的 效用的概念的含义。这异议所涉及的问题到本世纪四十年代初都未能得以很 好地解决。1 9 4 4 年，v o nn e u m a n n 和o s k a rm o r g e n s t e r n 出版了他们的专著 ( t h et h e o r yo fg a m e sa n de c o n o m i cb e h a v i o r ) i l ，才把原来存在的期望理论 中的哪种模猢的关系公理化，并由此从根本上解决了这一问题。该公理体系的 建立标志着风险决策理论的诞生，它把人们对决策行为的认识提高到了一个新 的高度，认为任何一个具有理性行为的决策者，都应遵循这套公理体系。该公 理系统是风险决策理论的基础，它使得决策科学的理论科学化和系统化。到目 前为止，该公理体系仍然在风险决策中占着主导的地位。 随着y o nn e a m a n n - - m o r g e n s t e r n 公理体系的建立，风险决策理论大量的 系统研究便随之开始。自然地，其研究内容有如下两个方面的重点：一是屡绕 着公理系统的研究：一是围绕着表示理论的研究。 对于前者主要是研究公理系统本身。j e n s o r t i ”1 和h e r s t e i n m i l n o d ”分别 于1 9 6 7 年和1 9 5 3 年给出了等价的理性行为公理。这两套公理体系在其偏好满足 的条件上作了一点削弱，但没有大的和实质性的变动。不管是v o n n c u m a n n - - m o r g e n s t e m 的理性行为公理还是j e n s o n 和h e r s t e i n - m i l n o r 的公理体系，其实 质是保证其上线性效用的存在，但这点并没有直接反应在公理体系之中，因 此，自然地，我们希望能获得套等价的公理，使其线性效用的存在性能直接 地反应在公理之中。本文对此作了研究。 西南交通大学博士论文 另一方面，1 9 5 3 年由a l l a i s l 2 4 1 给出的一个著名的悖论，否定了偏好的 传递性，说明它并不总是成立的，但这也并不意味着对转递性偏好关系的全 面否定。这个悖论使我们对公理系统的研究和对决策问题的研究必须分别从两 个角度去考虑：一是满足转递性；是不满足转递性。对于这两方面的研究， 以p c f i s h b u r n l 6 3 , 6 6 1 为首的许多学者作了大量的工作，并取得了丰富的研 究成果。对于偏好理论，有许多方面的研究。1 9 4 7 年，l e o n t i e f 提出了偏 好关系的独立性问题；1 9 7 8 年，s a o v c h i n n i k o v i 12 7 1 首先提出了模糊偏好 关系。而且在1 9 9 1 年又提出了赋值的偏好关系，试图把偏好关系进一步度 量化：i 9 7 5 年，e g l u s t o 翻”l 对偏好的连续性进行了研究。以上这些研究说 明，作为公理系统的最基本的概念偏好，已有了较丰富的内容。但与此相 伴的展望空间的理论研究却相对较少。然而，由于展望空问是理性行为公理 的基石，因此，对展望空间的研究是必不可少的。f i s h b u r n t7 。1 曾于1 9 8 2 年 将展望空间的概念抽象为混合集( m i x t u r es e t ) 的概念，但对其结构没有作 任何研究。目前，这方面的研究还属空白。本文的研究在于填补这项空白。 对于表示理论的研究，无疑离不开对序关系的研究。1 9 8 3 年b r i d g e s l 3 给 出了可数集合上的实值的序同态存在的充要条件是其序关系是非循环的。对于 不可数集合，d e b r e u l 5 0 , 5 1 ，j a f r a y t - 圳和b i r k h o f t i 2 4 1 分别给出了独自的但是彼此 等价的序可分条件，同时证明了其上存在序同态的充要条件是其序关系满足序 可分条件。1 9 5 2 年c a n t o r j ”1 给出了到实数集合上的序同构映射存在的充分条 件。 对于表示理论的研究涉及两个方面的内容：一方面是线性效用的表 示理论，方面是非线性效用的表示理论。线性效用的存在有其理性行为公 理作为保证，但这只是充分条件。j e n s o n 和h e r s t e i n m i l n o r 在这方面的j ：作 比较出色。对于非线性效用来说，由于非线性效用不再有其线性性因此， 研究中还需要借助一些其它的性质，比如拓扑性质等等。1 9 7 0 年，p e l e g ”2 引 曾证明了在一个具有闭的自反的严格偏序构成的拓扑空间上，若偏好关系满 足： ( 1 ) ( 卜，x ) 是开的；( 2 ) x 卜y 可推出( 卜，y ) c 【卜，x ) ； ( 3 ) 存在 可数的c a n t o r 序稠密子集。那么，其上存在连续的实值的序同态。1 9 8 0 年，s o n d e r m a n n i ，引证明了对于具有严格偏序关系的第二可数的拓扑空间， 2 - 西南交通大学博士论文 其上存在着上半连续的效用和下半连续的效用。自然地，这些结论对于展望 空间而言，也是成立的，但现有的结论还很少，还需要作进一一步的研究。本 沦文在这方面作了一些： 作，给出了三个较好的表示定理。 1 2 主要研究成果 对上述决策科学中具有十分重要理论意义的三个研究方面：( 1 ) 理性 行为公理的等价公理；( 2 ) 展望空间的结构；( 3 ) 展望空问上非线性效用 的表示理论，本文均作了深入细致的研究，获得了一些创造性的成果。其主 要研究成果如f ： 一给出了y o n n e u m a n n - - m o r g e n s t e m 的理性行为公理的一个等价公理。 该等价公理揭示了在满足理性行为公理的展望空间上线性效用函数存在的 本质，并将它直接反应在公理之中，这使得公理的意义十分明确。从所给的等 价公理中，可以看到线性效用下展望所对应的函数值，换句话说，效用函数的 对应关系被直接反映在公理之中。 二首次提出了展望空间的结构问题，解决了由有限后果生成的展望空 间的结构。本文利用展望空间基元这一新概念，来描述展望空间的结构特 征。证明了由有限后果生成的展望空间的基元的唯一性。同时，本文还证明 了在理性行为公理下由有限后果生成的展望空间的维数至多是2 ，且其上的序 关系由基元唯一确定。 类似于代数学中向量空间的结构研究，我们将“基”这一概念引入到 展望空间上，刻划了由有限后果生成的展望空间的结构 与向量空间不同的 是，展望空间的基元是唯一的。同时，将这一方法应用于在理性行为公理下 出有限后果生成的展望空间，我们证明它的维数至多是2 ，且其上的序关系由 基元唯一确定。这结论从一个侧面很好地反映了y o nn e u m a n n - - m o r g e n s t e m 理性行为公理的条件的苛刻性。 上述结论在理论上有着十分重要的意义。一方面，它给出了由有限后果 生成的展望空间的结构；另一。方面，它把对由有限后果生成的展望空间问题的 西南交通大学博士论文 研究，在理论上确保可以转化为对其基元的研究。作为一个例子，在论文中， 我们证明了整个展望空间上的序关系变化和展望空间之间的变换，仅依赖于其 基元的序关系变化和变换。 三对展望空间上非线性效用表示理论作了进一步研究，获得了具有创造 性的三个非线性效用表示存在性的定理。其结论如下： 若展望空间s 上有一个连续的全拟序关系，3 包含一个不可数的稠密 子集，且3 是无界的，则存在s 到0 ，1 ) 的序同构映射。 若展望空间3 上有一个连续的全拟序关系s 上的序拓扑是拓扑可分 离的和连通的，则存在s 到i o ，1 ) 的序同构映射。 若展望空间3 上有一个连续的全拟序关系，s 上的序拓扑有可数基， 则存在s 到o ，1 ) 的序同构映射。 以上三个结论从不同的角度给出了非线性效用表示理论的三个新的充 分条件。 西南交通大学博士论文 第二章偏好与序关系 2 1 偏好 决策过程是一个选择的过程。不论是确定型决策还是风险型决策，决 策者总是在若干可供选择的方案中寻找最佳方案或满意方案，这离不开比 较。“有比较才有鉴别”，选择的过程实际上就是一个比较的过程。比较意 味着决策者在自己的决策准则下，对方案优劣的鉴别，反应了决策者对方案 的“偏爱”程度，因此，人们把决策者的这种对方案的“偏爱”称为偏好 ( p r e f e r e n c e ) ，方案之间的这种优劣关系称为偏好关系。 自然地，所有方案的集合在这种偏好关系f 就构成了个有序集。 经典的风险决策理论就是建立在这个概念基础之上的。j ，v o n n e u m a n n 和o m o r g e n s t e r n 在1 9 4 4 年提出的四条理性行为公理( 见第三 章) ，要求这种偏好关系构成一个全序关系，以确保其上线性效用( 1 i n e a r u t i l i t y ) 的存在性。可见，偏好关系是决策科学中最基本的概念之。 决策理论的研究总是离不开对偏好关系的研究，其工作主要集中在两 个方面：一一是对偏好关系本身的研究；一是对偏好的表示( r e p r e s e n t a t i o n o fp r e f e r e n c e ) 理论的研究。偏好的非线性表示是线性效用概念的拓广， 是一般意义上的“效用”。 在这两方面，许多学者已作了大量的工作，获得了不少的研究成果。 自j v o nn e u m a n n 和o m o r g e n s t e r n 之后，以p c f i s h b u r n 为首的 许多学者对理性行为公理及偏好关系进行了研究。1 9 4 7 年l e o n t i e f 提出偏 好关系的独立性问题；1 9 5 3 年由a l l a i s 给出的一个著名悖论，说明偏好的 传递性并不总是成立，但这也并不意味着对转递性的偏好关系的全面否定： l9 7 5 年e g l u s t o f f 对偏好的连续性进行了研究；1 9 7 8 年s a o v c h i n n i k o v 首先研究模糊偏好关系，而且在1 9 9 1 年又探讨了赋值的偏好关系，试图 把偏好关系进一步度量化。另一方面，偏好的表示理论也由g d e b r e u 于 西南交通大学博士论文 1 9 5 4 年最早进行研究，之后，b p e l e g ，j j a f f r a y ，和d s o n d e r m a n n 等给 出了一些表示定理。 由此可见，偏好理论已获得了比较广泛的研究。 在本章的讨论中，我们把偏好构成的有序集抽象成数学中的有序集予 以讨论。 2 。2 1 二元关系 2 2 有序集 首先引入二元关系，并介绍二元关系的一些基本性质。 定竖2 1 2 11若a 是一个集合，r a a ，则称r 为a 上的一个二元关 系( b i n a r yr e l a t i o n ) 。如果0 ，6 ) r ，称a ，6 具有二元关系r ，记为 a r b 。 简单地说，对于集合a 和一个关系r ，如果对任意由a 中的元素口、b 构成的有序数对0 ，b ) ，可以确定它们是否具有关系r ，这样的关系r 称为 a 上的一个二元关系。 例如，“ ”是整数集合上的一个二元关系；“”是实数集合上的 一个二元关系；“整除”也是整数集合上的一个二元关系。 宝竖2 ：2 ：2 若r 是集合a 上的二元关系。 ( 1 ) 如果v a a ，a r a ，称r 是自反的； ( 2 ) 如果v a 一，- 1 口胁，称r 是非自反的； ( 3 ) 如果v a ，b 彳，a r b jb r a ，称r 是对称的； ( 4 ) 如果v a ，b a ，a r b j - - , b r a ，称r 是非对称的 西南交通大学博士论文 ( 5 ) 如果v a ，6 a ，a r b ，b r a j 口= b ，称r 是反对称的： ( 6 ) 如果v a ，b ，c a ，a r b ，b r c j a r c ，称只是传递的： ( 7 )如果v a ，b ，c a ， 一搬6 ，- 1 掀c = 觎c ，称r 是负性传递 的： ( 8 ) 如果v a 。b a ，口b j a r b 或b r a ，称只是连通的； ( 9 ) 如果v a ，b a ，a r b 或b r a ，称尺是强连通的。 塞塞2 ：2 ：曼若集合a 上的二元关系r 既是自反的、对称的- 又是传递 的，则称r 是a i - 的一个等价关系。这时，r 将a 分成若干个互不相交的 类，称为尺一等价类( r e q u i v a l e n c ec l a s s e s ) ，简称等价类。即，如果 a a ，那么，包含元素d 的类为： 尺0 ) = j a ：a r x 。 当所讨论的关系尺很明确时，也用( 口) 表示元素口的等价类。记全体等价类 的集合为： a r i r ( x ) ：j a 。 例如，若z 表示全体整数的集合，门为大f 2 的j 下整数，被盯除同余所 构成的二元关系是一个等价关系，其同余类为 z r ； ( o ) ，( 1 ) ，i n - 1 ) ， 其中( i ) = 知+ i ：k z ，i = o ，l ，胛一1 。 从现在起，我们将用符号“己”表示自反关系，符号“ - ”表示 非自反关系。与常用的表示偏好关系的符号意义一样，口s 6 将意味着 b 三a ；a - a 。 2 2 2 有序集 室竖2 ：21 垒若集合a 上的二元关夏是自反的和传递的，则称五 西南交通大学博士论文 是一个拟序( q u a s i o r d e r ) 。由此，我们称( 彳，己) 是一个拟序集，或简 称一是一个拟序集。一个拟序可诱导出两个关系艺和 如下： x _ y 当且仅当x 七y 且_ 1 ( y 毛x ) ； x y 当且仅当工艺y 且y 毛x 。 根据上述定义可以得到如下结论。 佥星2 ：2 ：若艺是集合彳上的一个拟序。那么，一是一个等价关 系， - 是非自反的和传递的。 证明首先证明是一个等价关系。很明显，是自反的和对称的。 为了证明它是传递的，设 x y 且y x 。 那么，由专的传递性知， x 三y 磊z jx 乏z 。 同理可知， z 专x 。这说明，工一z 。所以，一是传递的。由此可见，它是 一个等价关系。 由关系卜的定义知，x - 工是不能成立的。因此， _ 是非自反的。 为了证明其传递性，假定 x - y 且y 卜z 。 于是， x 己y 毒z ， 这意味着x 乏z 。我们需要证明z _ z 。若不然，假定z x 。因x 乏y ， 由己的传递性，z 乏y 。这与假设y - z 矛盾。故一( x 暑z ) ，所以 明显地，每一个非对称关系都是非自反的。如果传递性成立，其逆也 真。这就是下面的结论。 - 8 - 西南交通大学博士论文 命1 2 2 6 一个非对称关系是非自反的。反之，一个传递的非自反关 系是非对称的。 证明十分显然，一个非对称关系是非自反的。若卜是一个传递的 关系，考虑工卜y 。如果j ， _ 工，那么，由传递性知x _ z 。于是，如 果卜是非自反的，那么它必定是非对称的。 定冀2 ：；：z 如果一个二元关系是自反的，传递的，连通的，则称它是 个全拟序，或线性拟序。一个反对称的全拟序或线性拟序称为一个全序或 线性序。一个非传递的和负性传递的二元关系称为一个严格弱序。 金星21 2 1 8如果 - 是集合爿上的一个弱序。那么，爿上对应的关系 卜是一个严格弱序。如果 _ 是彳上的一个严格弱序，那么如下定义的关 系己是一个全序： x y 当且仅当x 卜y 或_ 1 b _ j ，) 且一 - 工) 。 证明假定 - 是集合1 , t 上的一个全拟序。由命题2 2 5 ，彳上对应的 关系卜是非自反的和传递的，所以，由命题2 2 6 知，它是非对称的。为 了证明 - 的负性传递性，考虑具有性质z _ z 的五y ，z 。注意到，只 要证明x _ y 或y z 就可以了。假定一x y ) 。由于卜是一个全 序，故有y - x 或y 艺x 。由于乏是个全拟序，不论哪一种情况，都 有y 卜z 。由此， 是负性传递的，因而是一个严格弱序。 反之，假定 - 是一上的一个严格弱序，且b 是如上所定义。由定 义，乏是自反的。为了证明其传递性，假定工乏y ，y 葛z 。以下分四种 情况讨论。 ( 1 ) x - y ，、 z ) ，且1 ( z - y ) 。 9 西南交通大学博士论文 先证工 - z 。若不然，我们有七卜z ) ，再由- 1 _ z ) 及负性传递 性，可推出_ 1 b _ y ) 这与假设工 _ y 矛盾。e k a i , 兑n ，x - z ，于是， x 毛z 。 ( 2 ) b 卜y ) ，o _ z ) 且y - z 。 象在( 1 ) 中一样，我们可证x 卜z 。由于 - x ) 及 一x - z ) ，故可得由 - z ) ，这与y 卜z 矛盾。所以x - z ，于是， xb z 。 ( 3 ) 一x - y ) ，( y - x ) ，c y 卜z ) ，且一z - y ) 。 这时，由负性传递性知， 七卜z ) ，七卜x ) 。 由此，工b z 。 ( 4 ) x _ y ，y - z 。 假设七 - z ) 成立。由于卜是传递的且工卜y ，可得_ l 多卜x ) 。 所以，有负性传递性，由 - z ) ，这与假设y 卜z 矛盾。由此说明， x - z ，t - - ；是，x 毒z 。 现在已经证明了在每一种情况中，如果x 毛y ，y 乏z 均有x 乏z 。由 此说明己是传递的。 还需证明b 是连通的。如果工，y 是a 中不同的两个点。则有 x _ y ，或y - x ，或4 x _ j ，) ，或( y _ x ) 。 由此可知，工b y 或y 毛x 。于是己是连通的。 1 0 西南交通大学博士论文 室塞2 ：2 ：8若r 是一个二元关系。 如果它是自反的，传递的，反对称的，则称r 为一个偏序( p a r t i a l o r d e r ) 关系。 。如果它是非对称的和传递的，或等价地说它是非自反的和传递的 。 ( 由命题2 2 6 ) ，则称r 是一个严格偏序( s t r i c tp a r t i a lo r d e r ) 关 系。 集合a 上的一个偏序是一个反对称的拟序。很容易看出，如果r 是a 上的一个偏序，那么，如下定义的a 上的关系s 是一个严格偏序： x s y 当且仅当x r y 且x y 。 反之，如果s 是a 上的一个严格偏序，那么，如下定义的关系尺是a 上的一个偏序： x r y 当且仅当x s y 或x = y 。 在序关系明确的情况下，为了方便起见，把具有某一类序( 如偏序， 严格偏序，等等) 的集合视为序集。现在开始考虑从一个序集到另一个序集 之问的保序关系问题。 2 2 3 保序关系 若r 是a 上的一个二元关系，s 是b 上的一个二元关系。自然地，连 接r 和s 的问题应该是寻找个函数f ：a b 保持序关系，即，如果 a r b 则有厂0 阿( 6 ) 。 下面来简单说明为什么要讨论这个问题。 若a 是一个方案集，假设己是个弱偏好关系，即xg y 意味着 西南交通大学博士论文 方案x 弱优于方案y ，或者说，方案y 严格地不优于方案x 且倪表 示实数集。在这些条件下，如果存在一个映射：爿一孵保持序关系， 即，如果x 毛y 意味着b ) 眵) ，其中是实数集上的一般大小 关系，无疑这是十分有用的。因为这把方案的比较转化为了数的比较，简单 明了。在决策科学中，把这种保序关系称为效用函数( u t i l i t y f u n c t i o n ) 。另一方面，如果 - 是方案集上的严格的偏好关系，即是说 工 iy 意味着x 严格优于y ，那么，对于关系 - ，效用函数 ：爿一贸则满足x - y 可得l ( x ) ) 。 枣竖2 墨：2 若r 是a 上的一个二元关系，s 是曰上的个二元关系。 如果映射厂：a _ b 满足 v x ，j ，a ，x r y = f ( x ) s f ( y ) 。 则称厂是一个序同态( o r d e rh o m o m o r p h i s m ) 。 另一方面，如果f ：a j b 满足 v x ，y 爿，x r y f ( x ) s d ) 。 则称厂是一个序同构( o r d e ri s o m o r p h i s m ) 或序嵌入( o r d e r e m b e d i n g ) 或强序同态( s t r o n go r d e rh o m o m o r p h i s m ) ) 。 + 个一一对应的序同构，有时也称为相似映射。 塞竖z ：至! l 壁若( x ，b ) 和 ( x ，匕)是拟序集合t 和 _ 是对应的定义2 2 4e e 的序关系，f ：x _ x 是一个映射。 如果v 工，y x ，x 乞y ，有厂b ) 乞7f ( y ) ，则称厂是单增的 ( i n c r e a s i n g ) ，或单调的( i s o t o n e ) ； 如果v x ，y e x ，工 - y ，有1 ( x ) 卜f d ) ，则称厂是严格单 增的( s t r i c ti n c r e a s i n g ) ，或严格单调的( s t r i c ti s o t o n e ) 。 定塞2 ：2 111若卜是集合a 上的一个拟序，卜是对应的定义1 2 4 中 的序关系。对每一个a 爿， k ， ) 兰b a ：工口 称为口的上节( u p p e r s e c t i o n ) ： 西南交通大学博士论文 0 ，斗) i 扛彳：x - 口) 称为d 的严格上节( s t r i c tu p p e r s e c t i o n ) ： ( 卜，口】兰 x a ：口b x ) ( 卜，a ) - - - x 爿：口卜工 下面定义序区间。 称为口的下节) ( 1 0 w e rs e c t i o n ) ： 称为口的严格下节( s t r i c tl o w e r 星塞至：2 ：1 2其有端点口，b a 的序区间( o r d e ri n t e r v a l ) 如下： 【口，6 】呈 x 爿：口x 墨6 ： f 口，6 ) 兰x 一：口5 工 6 ： 0 ，6 】ix 爿：口 _ 是有限集合x 上的一个二一元关系。则下面两个条件等 ( 1 )卜是一个严格的弱序关系； ( 2 ) 存在x 上的一个实值函数，使得 x - y 厂( x ) 厂( y ) 。 证明 首先假设 - 是一个严格的弱序关系a 定义爿上的映射如 下： 厂g ) ；严格下节( 卜，x ) 中元素的个数。 如果xb - y 那么，由卜的传递性可得， ( _ ，y ) c 卜，z ) ， 所以 f ( d - s o ) 。 同时，y ( _ ，x ) ，又因为卜是非自反的，所以工星( 卜，x ) 。 于是， ( 工) 厂) 。 及过来。似设 厂0 ) ，) ，且七卜y ) ， 那么，由 - 的负性传递性可得知，如果_ 1 - z ) ，则七卜z ) ：因 此，如果x z ，则yb - z 。故 ( + - ，x ) c 卜，y ) ， 从而 厂( x ) 厂( y ) 。 这个矛盾证明了由 厂b ) 厂) 可推出x y 。 现在假设厂是x 上的一个实值映射，且满足条件 工 y 当且仅当，g ) 厂) 。 我们证明卜是一个严格弱序关系。由于 西南交通大学博士论文 x 卜y 可推出厂g ) 厂( y ) ， 故卜是非对称的。为了证明负性传递性，假设有 、g 卜y ) 和、 - z ) ； 于是， 厂g ) s ( y ) 且厂( y ) ，( z ) 从而，g ) f ( z ) ，由此得证一x z ) 。 注 定理2 3 1 中的映射厂不只是一个序同态，还是一个序同构。 由定理2 3 1 可得知，如果x 上有一个序同念厂，那么，由定理中 定义的，是一个序同构。 用定理2 3 1 的汪明方法，稍加改动，便可得证如下的定理。 定堡2 ：3 ：2 若x 是有有限集， 是其上的一个二元关系。则使得x 二存在一个实值映射满足 工毛y 当且仅当厂g ) f ( y ) 的充分且必要条件为己是一个全拟序关系。 2 , 4 可数集合上的序同态 现在证明可数集x 上的序同态，的存在性。下面定理的证明类似于定理 2 3 1 的汪明。定义厂g ) 的值为z 的下节的大小的一个量化。但出于x 是 不可数的，因此不能象定理2 3 1 那样定义来厂g ) 的值。然而，稍加改动， 就可以得到我们想要的结果。 1 5 ， 西南交通大学博士论文 定堡2 ：! ：! 若x 是一个可数集，卜是其上的个二元关系。则使得爿 上存在一个实值映射满足 z 卜y 当且仅当厂b ) 厂) 的充分且必要条件为卜是一个严格弱序序关系。 证明首先假设 - 是x 上的一个严格弱序关系。 由于x 是可数的，故可排列为一，工2 ，z 3 ，。对每一对元素x 中的 x i ，o ，定义 勺2 i ，如果x j 算f 0 = 0 ，如果t x ，。 定义x 上的实值映射厂如下： 厂b ) ；妻2 勺。 明显地，右边的级数是收敛的，因此，f ( x ) 作为实值映射是有意义的。厂 在x 的值肖中的在序关系卜下排在x 前面的元素构成的集合的量化。 可证，f j 下是我们所需要的映射。现考虑矗y x ，工 - y 。由于 - 是传递 的，故y 己z 推出x 2 。于是， i ：y - t j c i ：x - z f o 且 ，b ) 厂) 。 选择- ，k 使得 z = x ，且y = x 。 于是，x ， 工，但因 _ 是非自反的，故七 x t ) ：由此， ，g ) 厂) 。 这便证明了厂是一个序同态。 现在考虑x ，y x ，b ) 卜厂( y ) 。 西南交通大学博士论文 需要证明x - y 。由于 - 是负性传递的，因此，如果1 b - y ) ，那 么山_ 1 - z ) 可推出一x 卜z ) ：由此， f ：z 卜工。 c i ：y _ x 。i o 故厂g ) f ( y ) ，矛盾。所以，x - y 。这便完成了定理的第一部分的证 明。 反过来，现在假设厂是x 上的满足下列条件的实值映射： x 卜y 当且仅当b ) 厂( y ) 。 象定理2 3 1