（概率论与数理统计专业论文）一类线性过程的极限定理.pdf

中文摘要 中文摘要 近两个世纪以来，随机变量序列 墨，r 1 的大数定律和中心极限定理一直 是概率论研究的中心问题当 五。n21 ) 为独立随机变量序列时，上述问题已经 有十分完美的结论近年来关于极限定理的工作主要有两大类一类是在各种相依 性条件下研究上述有关随机变量序列的极限定理，如关于在各种混合条件下极限理 论的研究；关于鞅( 半鞅) 序列极限理论的研究；关于各种统计量极限理论的研究等 等另类是各种随机过程的极限定理的研究 本论文针对一类线性过程的强大数定律和中心极限定理展开研究通常证明强 大数定律有两种基本方法第一种方法是先证明& 玩( b n 0 ，爵to o ) 的某个子 序列服从强大数定律，再把这个结论推广到整个序列上( 如子序列方法) 在这个方 法中需要用到部分和的极大值不等式第二种方法是通过h 矗j e k - i 瑾n y i 型的极大值 不等式来证明由于h a j e k - r d n y i 型的极大值不等式不易证得，所以第一种方法较 流行然而一旦得到h a j e k - r 6 n y i 型的极大值不等式，强大数定律的证明就显而易 见本论文在p h i l l i p s 和s o l o ( 1 9 9 2 ) 一文的基础上，运用线性滤子的良n 分解法，对 一类线性过程进行b - n 分解，得到线性过程的h e k - r d n y i 型不等式，由此得出线 性过程的大数定律和中心极限定理，从而推广和改进了p h i l l i p s 和s o l o ( 1 9 9 2 ) 文中的 相应结果 中文摘要 本文共分三章， 第一章预备知识 第二章线性过程的h 萄e k _ r n y i 型不等式 第三章线性过程的极限定理 关键词：b - n 分解，线性过程，大数定律。 中心极限定理 i i 英文摘要 a b s t r a c t f r o mn e a r l yt w oc e n t u r i e s ，t h el a w so fl a r g en u m b e r sa n dt h ec e n t r a ll i m i tt h e o - r e l d so fr a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e k ，礼1 ) h a v eb e e nt h ec e n t r a li s s u eo fp r o b a - b i l i t y 、) 1 t l e n 墨，扎1 i sa ni n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e ，t h e s ei s s u e s h a v eb e e np e r f e c tc o n c l u s i o n i nr e c e n ty e a r s ，t h ew o r ko nt h el i m i tt h e o r e m sh a s m a i n l yt w oc a t e g o r i e s ，o n ei st os t u d yt h el i m i tt h e o r e m so fb o r n er a n d o mv a r i a b l e s e q u e n c e su n d e r8 0 1 t t ed e p e n d e n tc o n d i t i o n s s u c ha 8t h es t u d yo fl i m i tt h e o r e m s u n d e rv a r i o u sm i x e dc o n d i t i o n s ，t h es t u d yo fl i m i tt h e o r ya b o u tm a r t i n g a l e ( s e m i - m a r t i n g a l e ) a n ds o m es t a t i s t i c sa n ds oo n t h eo t h e ri st h es t u d yo fl i m i tt h e o r e m s o fr a n d o mp r o c e s s e s i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sa n dt h ec e n t r a ll i m i t t h e o r e mf o ral i n e a yp r o c e s s ，u s u a l l yt h e r ea r et w ob a s i cw a y st op r o v eas t r o n g l a wo fl a r g en u m b e r s t h ef i r s tm e t h o di sf i r s t l yt op r o v et h a ts o m es u b s e q u e n c e so f 鼠鼠( 鼠 0 ，玩to 。) o b e yt h es t r o n gl a w so fl a r g en u m b e r s ，t h e nt op r o m o t e t h ec o n c l u s i o n st ot h es e q u e n c e s ( m e t h o d so fs u b s e q u e n c e s ) i nt h i sm e t h o d ，i ti s n e c e s s a r yt ou s es o m em a x i m u mi n e q u a l i t i e so ft h es e q u e n c e s t h es e c o n dm e t h o di s t ou s eh a j e k o r 6 n y ii l l a 妇n n li n e q u a l i t yt op r o v ei t 山t h eh d j e k - r d n y im a x i m u m i n e q u a l i t yi sn o te a s yt oo b t a i n ，t h ef i r s tm e t h o di sm o r ep o p u l a r b u to n c ea t t a i n e d t h eh & j e k - r 6 n y i 1 d d m mi n e q u a l i t y t h ep r o o fo ft h es t r o n gl a w so fl a r g en u m b e r s i so b v i o u s i nt h i sp a p e r o nt h eb a s i so ft h ep a p e ro fp h i l l i p sa n ds o i o ( 1 9 9 2 ) w e1 1 s e t h eb - nd e c o m p o s i t i o no ft h el i n e a rf i l t e rt oo b t a i nt h eh 甸e k - r 自和i n e q u a l i t yo fa l i n e a rp r o c e s s ，a n dt h e no b t a i nt h el a wo fl a r g en u m b e r sa n dc e n t r a ll i m i tt h e o r e m f o rt h el i n e a rp r o c e s s s oi tp r o m o t e sa n di m p r o v e st h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so ft h e p a p e ro fp h i l l i p sa n ds o l o ( 1 9 9 2 ) t h i sp a p e ri bd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s ： c h a p t e rl p r i o rk n o w l e d g e i 英文摘要 c h a p t e r2h 旬e k r 白面i n e q u a l i t yo fl i n e a rp r o c e s s c h a p t e r3 l i m i tt h e o r e m so fl i n e a rp r o c e s s k e y w o r d s ：b - nd e c o m p o s i t i o n ，l i n e a rp r o c e s s ，l a wo fk g en u m b e r s ， i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得萋朵软囊学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：马松移k 签字日期： 加。7 年乎月z 口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解兽彝疑六髻彳关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阕。本人授蝴劳以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：马杓、车太 导师签名 稍钳舍 签字日期：哆年于月加曰签字日期：力一7 年十月矽日 学位论文作者毕业去向：樊 胡学院 工作单位：巢湖垆彤己凌沁孝乐 电话：时咕f 一玛g n ；7 通讯地址：黼币半场识耕学院邮编：二多8 。 第一章预备知识 第一章预备知识 1 1 引言 纵览一些经典概率极限定理问题解决的整个过程，令人印象深刻的是主要靠 工具的改进和方法的精密化例如从c h e b y s h e v 不等式，到k o l m o g r o v 不等式，再 到独立的随机变量列豫) 的h i j e k - r d n y i 型不等式( 1 】) 我们知道，在h 匈e l c - 联唧i 型不等式中令m = l ，c j 1 ，则得到著名的k o l m o g r o v 不等式，在k o l m o g r o v 不等 式中令n = 1 ，则得到c h e b y s h e v 不等式：p ( 烁一e 矗i2e ) d 6 ，垤 0 ，以上表 明，h 旬e k 腧姐型不等式是c h e b y s h e v 不等式，k o l m o g r o v 不等式的推广，那么一 个自然的问题是：h 萄出r 南咖型不等式能否进一步推广呢? 本文首先给出磊为鞅 差时的h 毒；e k - r n y i 型不等式，然后科用线性过程五的b e v a r i d g e - n e l s o n 分解，得 出五的h 自如砸n y i 型不等式，由此得出五的强大数定律和中心极限定理，从而 推广和改进了文【2 1 中的相应结果， 下面给出本文中的一些常用符号t f ” 随机变量 ( n ，p )概率空间 厶 l o g x 砰 集合a 的示性函数 记t o g e x 记i 皓i 一类线性过程的极限定理 任意给定的正数 依概率收敛 依分布收敛 几乎处处收敛 0 f 1 2d ( k ) 0 观偈20 2 。 三 二 第一章预备知识 1 2 相关概念及引理 定义1 2 1 蜀 是一个线性过程 咒= e j e t - j ，t = 1 ，2 ， j = o ( 1 2 1 ) 其中协) 是常数列，豫，五) 是个适应的鞅差序列，即：矗关于口域五可测， 五非降，e ( 岛1 五一) = 0 ，a s ，且假设 o o 弓艮乙 0 0 ，t = 1 ，2 ， j - - o ( 1 2 2 ) 在条件( 1 2 2 ) 下， 五 是有意义的为说明这个问题，先介绍下面两个引理 引理1 2 1 ( 3 】)设噩，弼，为( q ，只p ) 上的r - u 列，亢c 而c c 只五 为寸域，c 为某正常数，记岛：量五，若 1 = i p ( i x d c i 五一j ) c ) 阮一) 登e ( 1 x d 9 i 五一1 ) 缈，口5 扭2 = 2 因而由本引理的条件可推得引理1 2 1 的( + ，) 式成立 又因p 2 ，所以有 登e ( 霹列五 4 i 五一i ) c 2 妻e ( i x i i ，i 五一j ) ，“。 i = 2t = 2 因而由本引理的条件可推得引理1 2 1 的( ，) 式成立 从而由引理1 2 1 得到本定理在1 p s2 情况下成立 现设0 p 1 ，这时 x j 为鞅差的假定不必要，只需 x i ，五# 1 ) 为适应序 列就可以了 取k = i x _ i p e ( i 五p i 五一j ) ，l 2 ，则 k ，五l 1 ) 为鞅差序列，且 第一章预备知识 e ( t y , i i 五一j ) 2 e ( i 五p 限一j ) ，a 8 由该引理的条件得i 登= 2 e ( 1 k h 五一j ) m ，m s ，进步地，有i 曼= 2 k ，m s ，收敛，从而 立得i x 4 p ，收敛又由o p 1 ，得萎陇i ，n | ，收敛，从而可推得曼鼍，m 。 # o i = 2 t = 2 收敛，证毕 下面利用以上引理证明，在条件( 1 2 2 ) 下， 五) 是有意义的 事实上，因e ( 黑( f ( 哼曩。防一，) ) ) = ，f 。4 e 4 - j m ，故有j 墨= 2 ( 弓毫j 晒一棚 0 t + l ( 砷“1sc 一1 t 。，0 c 0 ，若1 8 ，则u - - 1 6 8 - - 1 6 u - l _ 6 f , - 1 - b 幽蛩1u -bu-1 一( u 一1 ) 一6 ) 口 5 ( 1 2 4 ) 一类线性过程的极限定理 从而有 一 莓“- l - b s 三( 一泸1 6 一( “一1 ) - b ) t + 1t + 1 ：6 1 t b 再证( b ) 对0 c 1 ，若1 s8 s u ，则伊1 ss c 一1 从而有 其中 铲一1 厂5 1 幽；c l s c 瞪一l ：c 一1 铲c - - l ( 一1 ) c j u - 1 #t “。一1s ( c 一1 扩一c - - 1 ( 一1 ) 。) = c - - 1 矿 = lu = l 下证( c ) 若l s “，则“一1ss 一1 “一1 厂8 一l d s ：打l 一? n ( u 1 ) d u - - 1 u 。1 妄i n t ， u = 2 引理1 2 4 ( 2 】)( b - n ) 设c ( l ) 由( 1 2 3 ) 式定义，则有 如果p 1 ，那么 c ( l ) = c ( t ) 一( 1 一l ) 0 ( l ) ， 0 ( l ) = 弓弘 j = o 弓= c k 缸可+ 1 ( 1 2 5 ) fj c j l 9 净i 弓i o o ，i c 0 ) o 。， ( 1 2 6 ) 6 件 + l 一 一 “ 。 第一章预备知识 如果p 1 ，那么 证明； 当p ；1 时，若墨j f c j l j = l ( 1 2 7 ) 而i 靠s f 铅i ；i c k i ；j 吼i 0 0 ， j - - - - o 扛巧+ lj - - - - o k = - j + l忙i ，= u # = l 又由萎f 曼l o o ，得出 曼1 0 0 一o o ) ，有萎一o o m ) ，进 ，= ok = j + lk = j + lk ；3 - 1 - 1 一步地， 勺收敛，所以l 勺i o o ，即 g ( 1 ) i 1 时，选择合适的常数口， 若 萎j 曼p ，s 曼( 墨舻i i 一n ) p o o ( o o 护i c ，) ( 曼一o ”) p q ( 1 p + 1 q = 1 ) 1 j + 1 1j + l1j + t ，+ l 南荤嚷舻0 i - ”) p 口 ：7 = ；= 旨两曼9 恢j ( 莹f q 一”) 2 杀扔邑。9 ( 盖1 ) sd 拓而寿丽墨胪俐嘣啪1 南再柄霉妒h i p o 。； ( 在1 q n l 下，运用引理1 2 3 ( 8 ) ) ( 在口 l 扫+ 1 q 下，运用引理1 2 3 ( b ) ) 当p 1 时，曼i 弓i p ；萎l 曼镪i ，登曼l 嘞j ，：曼女l 吼p o o ，得证 00j + l 0j + ll 引理1 2 5 ( 【4 】)( 概率连续性) 设( n ，p ) 为一概率空间， 如，n = l ，2 ， l l m 如= a o ，兽p n ( 一f i s ) ) = 1 争垤 o ，击毙p ( u ( 一f ) ) = o ，证毕 引理1 2 8 ( n ) ( t o e p l i t z 引理) 设实数列 x n ；n21 ) 满足 n l 。i r a 。= z r 如果= 0 且实数阵列 ；n 1 ，k 1 ) 符合条件 则 8 u p l 0 使 于是由( 1 2 9 ) 式知 j 1s m ，n 1 吾船s m 骝荟1 一 l 歪k 一k 硒蒿 因而在上式中先令n 一，再令b 一，便由( 1 2 8 ) ，( 1 2 9 ) 和( 1 2 1 0 ) 推得 ( 瓢- x ) 一0 ，( n 一) 这样，当z = 0 或0 但( 1 2 1 1 ) 式成立时，总有 a 0 a n k x k z _ 0 ，( n _ o 。) k = l 1 0 第一章预备知识 即得证 引理1 2 9 ( 1 5 1 ) ( k r o n e c k e r 引理) 设( n 。；n i ) 和伽。；b 1 ) 是两列实数列 0 a nto 。，如果量收敛，那么 n = l n $ i 一o ，m 一) t = l 证明： 记。0 = 0 又对每个n 1 ，令 = 卜掣羔篡 = x k l a k ； k = l f = x k a k = 1 不难验证，这样定义的 口础；n 1 ，21 ) 满足( 1 2 9 ) 式，( 1 2 1 0 ) 式和( 1 2 1 1 ) 式，而且( 1 2 8 ) 式也成立于是，对它们用引理1 2 8 ( t o e p l l t z 引理) 得 z 女风= 池一a i 一1 ) $ 女( 钆) = h a i 1 ) 翰1 z 女峨 = l 一轨一0 ，伽一o 。) 证毕 到此为止，只是为本文做些理论准备，在后面的章节会陆续介绍相关理论 一类线性过程的极限定理 第二章线性过程的h a j e k - r 6 n y i 型不等式 2 1 研究背景 在h a j e k 和p k n y i 于1 9 5 5 年发表的文章中，推广了k o l m o g r o v 不等式，得到 了独立随机变量的h 旬出r 6 n y i 型不等式，此后关于此类不等式的研究文章层出不 穷，从而为进步研究概率极限理论提供了更加精密的理论工具作为本文引理， 下面给出独立随机变量的h 旬e k - 聪n 卵型不等式 引理2 1 1 ( 【1 】) 若矗是独立的随机变量序列，d 6 = 砰 ，0 = 1 2 ) ，面 g ) 是一列正的非增常数序列，则对任意正整数m ，n ( m o ，均有 j， 仇” p 媳g i 薹一比) ) 壶( 砩j = l 考+ ，互，留劝 第二幸 线性过程的h a j e k - l 畦n y i 型不等式 2 2鞅差的h f i j e k - r d n y i 型不等式 本节给出鞅差序列的h 旬e k 雕n y i 型不等式，并证明之 引理2 2 1 设豫，五) 是一个适应的鞅差序列，d 旬= 砰 o o ，而a 是一列正 的非增的常数列，则对任意的自然致m ，n ( m 0 ，有 p ( 麟呀f 塾列s 扣薹咖，塞，嘲2 2 ( 2 。1 ) 证明： 记最：k 白， j = l n - 18 q = 罐( 0 2 一馥+ 1 ) + 畿= 锯南+ ( 耀一罐一，) o ；， ( 2 ，2 2 ) k = 仇 k = m + l 由于如，乃) 为鞅差序列，所以 仇n 勋= 磊亏+ 0 2 ， ( 2 2 3 ) j = i k r n + l 对j = m ，m + l ，n ，记 易= 口k i 最l b m k j ；a j l 岛l e ) 则 j4 爿。m a x a j j 函y 蚓孤卜互p ( e j ) 注意到场互不相交，因此曼如l ，所以有 ，= m 勖e ( 啦，) ，= m 1 3 一类线性过程的极限定理 对j 南s 竹，瓯= s j + 勺+ l + 勺+ 2 + + 靠，因此 e ( 霹呜) e ( 劈弛) + 2 e ( 岛毛( 勺+ 1 + + “) ) ，( 2 ，2 7 ) 由于马如只与e l ，勺有关，所以对任意的自然数z , s j e ，关于五+ h 可测，从 而 e ( 岛乜勺“) = e ( 岛地e ( 勺+ f l 乃+ j j ) ) = 0 ，( 2 2 8 ) 面在弓上，j 岛f 町，故有 e ( 譬如) 嘉p ( 马) ( 2 2 9 ) 因此，由( 2 2 7 ) 一( 2 2 9 ) 式得 o e ( 罐如) 2p ( e j ) ，歹七sn ，( 2 2 ，1 0 ) 现在当m sj n 时，由( 2 2 2 ) 和( 2 2 1 0 ) 式得 e ( q 如) e ( 壤咆) ( 一+ 1 ) + o ：e ( 霹玛) 女5 口 2 n l 吾p ( 马) ( 荟( 口；一+ t ) + ) = ，p ( 马) ，( 2 2 1 1 ) 再由( 2 , 2 3 ) ，( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 和( 2 2 i 1 ) 式得 产p ( 。m ，a ：x 。 m 。e ! 。岛 s ) ；一，妻p ( 弓) 勖= 2 盎mu j 2 + 。宝。n l ，证毕 引理2 2 1 的系 设他，五) 是一个适应的鞅差序列，且 宝害 m 1 4 第二章 线性过程的h i j e k - r k m y i 型不等式 则 熙圭岛= 0 ， ”n _ 证明；因为 1 ， 1j p 能罐啦嘲= p ( 旦牌i ；副h ) )j = ”i ；2 1n = m ；2 i = p ( 热器垮壹矗i2 。) = 撬p 热i 垤1j 目f 列( 由引理l 硐 ，溉占( 嘉j 曼= l 田+ j 塞。乒亏) ( 由引理2 2 1 ) 两边取极限，得 1 j 11m n 1 撬v ( ，1 3 ( i 1 2 3 - - - - r n啦砌壶瓤撬( 嘉歪咖，量。扫 。t = ，= l，2 ，】o 2 1 删, , 静1 鲈x m - , 2 + ，曼，扣 由曼鲁( o 。，知 去孝一0 ( m o o ) 又由引理1 2 9 ( k r o n e e k e r 引理) ，得 嘉豸枷m - + o o ) 所以有 f ， 堍p ( u ( j 旬i o ) = o 从而由引理1 2 7 得到 尘理三矗= 0 ， m s n 。n _ 一类线性过程的极限定理 2 3 线性过程的h 球k - r 6 n y i 型不等式 本节通过线性过程的b - n 分解，运用鞅差的h f i j e k - p 硌n y i 型不等式得出线性过 程的h 甸e k 雕嘶i 型不等式结果如下 定理2 3 1 设线性过程由( 1 2 1 ) 式定义，满足条件( 1 2 2 ) ，且 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 而 0 0 是一列正的非增常数列，则对任意自然数m ，n ( m 0 ，有 尸( 。m 。a ，xq i 妾墨 。字( 霎亏+ 耋，霹固 j 2 i，2 i + 酣ga 2 a o _ 绝+ 壹2 曼蚋- 2 一j ) 一 j = o k = mf = 0 进一步，若存在常数k ，使得 e 弓= 考s k o 。，j = ，一1 ，0 ，1 ，2 ，( 2 3 4 ) 则 p 呱q 耋五j e ) 曼鲁( m 磊+ i f 壹m + 。国， ( z | 3 s ) 其中甄：9 k ( c 2 ( 1 ) + 2 曼爵) j 盅u 第二章 线性过程的h i j e k - r & w i 型不等式 证明， 将( 1 2 5 ) 式代入( 1 2 4 ) 式 蔑= 勺白一j = c ( l ) e t = ( c ( 1 ) 一( 1 一工) e ( 工) ) 矗= c ( 1 ) z t + 磊一l 一磊 j = o 其中 、 邑= d ( 工) 缸= 弓e t 一，弓= c k ， ( 2 ，3 7 ) ( 2 3 6 ) 式被称为线性过程五的b e v e r i d g e - n e l s o n 分解根据前文讨论知，( 2 3 2 ) 式 使得邑有意义 设j 曼= 1 j 2 弓 。，那么由引理1 2 4 知 芎 1 2 ， 则由( 2 3 5 ) 式得 嘶= 0 l o g j ) 一1 2 ( 1 0 9 l o g j ) - a ，如， p 蕊丽爵硒i 丽l 薹3 墨l e ) s 鲁( 丽蒜+ ，妻，两瓣1 ) ，( 3 ，地) 一类线性过程的极限定理 由引理1 2 5 ( 概率连续性) 及( 3 1 t 2 ) 式得 p ( 旦( 丽静高而雹跏呦 = 舰p ( 提惫而丽而1 ；丽 s 等蕊南+ ，o o ，两瓣1 ) j m 啪，( 3 ”) 于是 撬引，竖丽静啬砑l 薹珈砌。0 ，y e o 由引理1 2 7 知。上式等价于 瓿丽丽耋五乩。a 即得到( 3 1 1 ) 式，证毕 利用( 2 2 1 ) 式，可以得到下面的系 定理3 1 1 的系 设协，只 是一个适应的鞅差序列，且存在常数k ，使得 d 矗墨k 1 2 证明：取o t 1 2 ， q = ol o g j ) 一1 2 0 0 9l o g j ) 一4 ，j 知， 2 0 苎 砭 ， 第三章线性过程的桩限定理 则 p 爨磐丽万蠢丽l 到列 。量”k 一( 1 研+ ，塞，瓣1 m 。 由引理1 2 5 ( 概率连续性) 及( 3 1 2 ) 式得 p ? 旦丽驴啬研i 副m ) ) 2 舰p 躜而丽蒜i 蚤蚓) 2 。k ( 嵋叭嵋1 研+ ，曼。珏五南) ，m 伽， 于是 撬p 唑丽弼高丽i 驴”) ) i o r e 0 由引理1 2 ，7 知e 式等价于 证毕 热丽丽丽1 争n = 岫 2 1 一类线性过程的极限定理 3 2线性过程的中心极限定理 先介绍下面的个引理； 引理3 2 1 ( 7 】) 设( 靠，四) ，k 1 是鞅差序列( 即刀= 甄q ) ，露c 臻j ，缸关 于口域贸可测，e ( 6 啦i ，：蠢i ) = o ，b ，1 ) 丹1 ；互螺 “碡j ) 三o ，w ( o ，1 】 登e ( 醺k l 艰j ) 暑护， r = 1 妻钿二n ( 0 ，2 ) k = i 下面给出本文的另个重要结果，即线性过程的中心极限定理 定理3 2 1 设线性过程五由( 1 2 1 ) 式定义，满足条件( 1 2 2 ) 式，( 2 3 1 ) 式 和( 2 3 2 ) 式，且 则 碍职o = o ( n ) j = o i 1 苎e i 一j ) 三一 k = l ；喜e ( e 地，。“氕一，) 三o ，垤 o ， 南耋五三( 0 , c 2 ( 1 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 第三章线性过程的极限定理 式知 证明，由( 2 3 6 ) 式得 壶耋五= ，南砉缸+ 参一鱼n i 2 记厶= ：髓，j 翟= 五，则( 矗k ，翟) ，21 是鞅差序列，且由( 3 2 2 ) 式和( 3 2 3 ) 言e ( 靠i 毋沪；占ne ( 靠圳三矿， ( 3 2 6 ) k 釜= le ( 舞 l 碌) = ：耋e ( 厶，彬“五一，) 生0 ，w o ( 3 2 7 ) 所以由引理( 3 2 1 ) 知 薹“= 南薹缸三c o , a 2 ， 由c h e b y s h e v 不等式，( 2 3 2 ) 式和( 3 2 1 ) 式知n 0 0 时， 即 p ( | 参i s ) s 壶薹弓呜一。 剐参j s ) 刍薹弓。一。， 鑫三o ，翕三o ， ( 3 2 9 ) 再由( 3 2 5 ) 式，( 3 2 8 ) 式和( 3 2 9 ) 式，并结合引理1 2 6 得( 3 2 4 ) 式，证毕 一类线性过程的极限定理 3 3线性过程的极限定理的一个注记 先介绍相关概念及引理； 定义3 3 1 ( 2 】) 设 磊) 为一随机变量序列，且随机变量z 满足e l 引 。，若 存在常数c ，使 p ( j 1 2 z ) sc p ( i z i2 z ) ，v z 2o ，n 1 ，( 3 3 1 ) 则称 磊) 是强一致可积的 引理3 3 1 ( 【2 】) 设线性过程五由( 1 2 1 ) 式定义，满足条件似) j 2 弓 o o j f f i l ( 3 3 2 ) 和条件( 尽) ： 旬) 是一个强一致可积的鞅差序列，被随机变量z ( z 满足条件：e ( z 2 i n + j z i ) o o ) 随机控制，并有 则有 有 i 1 量f ( e 纠五一j 卜矿， 溶1 ：耋五札一“n 刊 引理3 3 2 ( 【2 1 ) 设线性过程x t 由( 1 2 1 ) 式定义，满足条件( 一和条件( b ) ，则 击耋五工( o , c 2 ( 1 ) 呐 2 4 第三章线性过程的极限定理 由于( e ( z 2 l a + l z l ) 0 0 ) 蕴含了e ( z 2 ) t ) ，2o ，= o ，士1 ，5 = 2 ， ( 3 3 4 ) 上式中取t ；0 得e c e z 2 o 。，即得出( 2 3 ，4 ) 式 下面说明本文所得到定理3 1 1 和定理3 2 1 中的条件比引理3 3 1 和引理3 , 3 2 中的相应条件弱，从而改进了文献【2 1 中的相应结果 先证引理3 3 1 的条件成立时，本文的定理3 1 1 的条件也成立 若条件( 山成立，即盖o o j 2 弓 o 。”因此( 2 3 1 ) 式成立； 若条件( b ) 成立，由( 3 3 ，4 ) 式，令t = 0 得e s 国z 2 o o ，注意到条件( 枷 成立可推得j 墨= l 弓 。，于是 4 f 4 _ j c e z 2 弓 o 。 j = o j - = o 即得( 1 2 2 ) 式成立 由引理( 1 2 4 ) 知，若曼j 2 喀 则曼学 o 。，于是 ，= jj = u 即得( 2 3 2 ) 式 芎碌jsc e z 2 芎 0 0 j - - - oj = o 一类线性过程的极限定理 下证引理3 3 2 的条件成立时，本文的定理3 2 1 的条件也成立 前面已经指出，( 1 2 2 ) 式，( 2 3 1 ) 式和( 2 3 2 ) 式成立，又 o 。 碍豇乙c e z 2 芎 嗣) + 0 ，一) 磊 删 m 雠 靠 名 e 以。树 凑。 f 参考文献 r e f e r e n c e s 【1 】复旦大学编概率论【，第一册人民教育出版社，1 9 7 9 f 2 】p h i l l i p s ，p c b a n d s o l o v ，a s y m p t o t i c s f o rl i n e a r p r o c e j ，a n n s t a t i s t ， 2 0 ( 1 9 9 2 ) ，9 7 1 一i 0 0 1 【3 】s t o u t ，w f ，a l m o s ts u r ec o n v b r g e n c e 刚，a c a d e m i cp r e s s ，1 9 7 4 【4 】m l o a v e ，p r o b a b i l i t yt h e o r y1 跚，4 t he d i t i o n ，s p r i n g e r - v e r l a g ，2 0 0 0 5 1 栋正炎。陆传荣、苏中根，概率极限理论基础嘲，高等教育出版社，1 9 9 9 【6 】【美j 钟开莱，概率论教程i 锄，期文，吴让泉译，上海科技出版社，1 9 8 9 吲l i p t s e r ，r s a n ds h i r y a y e v ，a n ，t h e o r e mo fm a r t i n g a l e s a 田，t h en e t h e r l a n d s ：k l u w e r a c a d e m i cp u b l i s h e r s ，1 9 8 9 8 】b e v e r i d g e ，s a n dn e l s o n ，c r ，an e wa p p r o a c ht od e c o m p o s i t i o no f e c o n o m i ct i m es e r i e s i n t op e r m a n e n ta n dt r a n s i t o r yc o m p o n e n t sw i t hp a r t i c u l a ra t t e n t i o nt om e a s u r e m e n t o ft h eb u s i n e s sc y c l e ，j o u r n a lo fm o n e t a r ye c o n o m i c s ，7 ( 1 9 s 1 ) ，1 5 1 1 7 4 9 】林正荣，陆传荣强极限定理皿田北京；科学出版社，1 9 9 2 f l o b i l l i n 目l e yp ，c o n v e r g e n c eo fp r o b a b i l i t ym e a s u r e s m n e wy o r k ：w i l e y , 1 9 6 8 【1 1 】c h o wys ，t e i c h e rh ，p r o b a b i l i t yt h e o r y m ，b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 8 ， 参考文献 【1 2 h a l lp ，r a t eo fc o n v e r g e n