（应用数学专业论文）高阶线性时滞差分方程稳定性研究.pdf

中文摘要 中文摘要 差分方程又叫做离散动力系统，它起源于对微分方程离散化模型的研究目前， 高阶差分方程的研究主要集中在对解的稳定性等方面及其具有的实际应用性这不 但使得微分方程数值解这部分有了质的飞跃，更使得判别差分方程解的稳定性准则 成为了研究的热点之一本文研究类高阶时滞线性差分方程解的稳定性，得到了 它零解渐近的充要条件我们运用特征根法等方法来研究上述高阶时滞线性差分方 程的稳定性时，发现寻找其渐近稳定性的参数域是本课题的关键和难点 本文结构如下 第一章介绍了差分方程的课题背景和研究现状，及本文主要研究内容第二章 讨论了八阶差分方程 z n + 8 一a x n + 6 z n 一七20 的特征根的分布第三章利用特征根法研究上述方程的稳定性，并建立了其零解渐 近稳定的充要条件 关键词：差分方程；零解渐近稳定；特征方程；特征根；线性时滞方程 黑龙江大学硕士学位论文 英文摘要 d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r ea l s oc a l l e dd i s c r e t e 山m 删cs y s t e m s ，w h i c ha r i s ef r o m t h er e s e a r c h e so nd i s c r e t i z a t i o nf o r m a t so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a tp r e s e n t ，s t u d y o fh i g h e ro r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sm a i n l yc o n c e n t r a t e so nt h e i rs t a b i l i t ya n da c t u a l u t i l i t y , w h i c hb e c o m e so n eo ft h ef o c u s e so fr e s e a r c h e so fd i f f e r e n c ee q u a t i o nt h e o r y t h e p a p e rs t u d i e ss t a b i l i t yo fac l a s so fd e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n de s t a b l i s h e s n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ri t sz e r os o l u t i o nt ob ea s y m p t o t i c a l l ys t a b l e b yu s i n gt h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i cr o o t sa n do t h e rm e t h o d s ，w es e et h a th o wt o f i n dt h ep a r a m e t e rf i e l do fa s y m p t o t i cs t a b i l i t yf o rt h ea b o v ee q u a t i o n si st h ek e y a n dd i f f i c u l t y t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n ts i t u a t i o no fr e - s e a r c h e so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，a n dt h em a i nc o n t e n ta n dr e s u l t so ft h i sp a p e r i n c h a p t e r2 ，w el o c a t et h es i t u a t i o no ft h ec h a r a c t e r i s t i cr o o t so f8 - t ho r d e rd i f f e r e n c e e q u a t i o n so ft h ef o r m + 8 一a x n + 6 a 一七= 0 i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i nn e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ez e r os o l u t i o no ft h ea b o v ee q u a t i o nt ob ea 8 y m p t o t i c a l l y s t a b l eb yu s i n gt h em e t h o do ft h ec h a r a c t e r i s t i cr o o t s k e y w o r d s ：d i f f e r e n c ee q u a t i o n ；z e r os o l u t i o n sa s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n ；c h a r a c t e r i s t i cr o o t ；l i n e a rd e l a ye q u a t i o n 一一 符号说明 定义下列集合： 霹十= 磁产u 磁u 掰u 磁：， 磁一= 磁fu 磁i u 磁iu 磁i ， e 三斗= e i u e 二盍u e 三喜u e i 主， e i 一= e 三i u e 三三u e 三i u e i i 令 磁 = o o ) ， 磁手= 詈 0 考l s i nk o 0 ，s i n ( k + 8 ) p o ) ， 瞄= 孑 o ) ， 磁才= 誓 0 引s i n 枷 o ，s i n ( k + s ) o o ) ， 磁f = o 0 詈i s i nk o 0 ，s i n ( k + 8 ) o o ) ， e + - = 吾 o ， 磁i = 考 0 等i s i nk , o o ，s i n ( k + s ) o o ) ， 磁了= 誓 o ) ， e - + = o 0 0 ，s i n ( k + 8 ) o o ) ， = 吾 0 詈ls m k o o ， 垅 = 三 0 0 ，s i n ( k + 8 ) o o ) ， 甄 = 警 0 引s i nk o o ) ， 垅f = 【o 0 引咖枷 o ) ， 五z i = 吾 0 0 ，s i n ( 惫+ 8 ) o o ) ， 垅；= 署 0 警is i n 枷 o ) ， 贬i = 【誓 0 0 ，s i l l ( 老+ 8 ) o o ) 一一 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名：荀拷手够签字日期i 5 1 w 7 年向尹日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定。同意学校保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权 思龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或其他复制- t - 段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名荀兽尹锄签字日期萨，月7 日 导师签名： ，v 训譬芝 一， 学位论文作者毕业后去向： 工作单位。 通讯地址： 签字日期0 ( 7 年扣 电话t 邮编： 严 第1 章绪论 1 1 课题背景 第1 章绪论 差分方程是描述微分方程离散化模型的个工具经过长期的探究，作为研究 微分方程数值解的主要方法之一的差分方程已自成体系，并且有大量的专著相继出 版( 见文献【1 】【1 3 】) ，同时也使人们意识到了在工程技术和科学领域，诸如控制理 论、生命科学、经济、金融等出现的一些现象只能用差分方程这种离散的数学模型来 描述，因此差分方程的研究受到了高度重视在已有的专著中详细的阐述了差分方 程理论，并且在数值分析中给出了特殊情况的应用例如，对微分方程数值分析的迭 代方法的研究，近年来大批学者从不同角度采用不同的方法对差分方程进行探究， 使得差分方程在实际应用中体现出它的灵活性和多样性，不但使得微分方程数值解 这部分有了质的飞跃，更使得判别差分方程稳定性理论成为了研究的热点之一 1 2 发展现状 目前，高阶差分方程的研究主要集中到了对解的稳定性及其具有的实际应用 性在这一学科领域的研究过程中出版了许多专著，并发表了大量学术论文在专 著【1 4 】一【1 7 】中对这些研究作了系统地总结对常系数差分方程解的研究，第个 完整结果由s a k u r u k l i s 在文【1 8 】中研究了差分方程的稳定性得到当口是个 不等于零的实数，b 是任意实数，七是正整数时，一阶差分方程渐近稳定的充要条 件是i 口i 牛， 且k 为奇数时， i o i 一1 b 0 2 + 1 2 l o ic 0 8 ， 七为偶数时， i b 一口i 1 且l b i 0 2 + 1 2 1 a lc o s 妒， 其中西为s i n ( 坐k + 址1 ) = 雨1 在( o ，南) 内的解 h o n g s h a nr e n 在文【1 9 】中得到了二阶差分方程渐近稳定的充要条件是 七是奇数时， 若0 a 1 ，则l b i l 一口， 黑龙江大学硕士学位论文 若一1 口 0 ，则i b i 6 ( o ，1 ) ， 其中l 是方程s i n ( k + 2 ) 0 s i nm = o 位于( ( 七+ 2 ) 7 r 2 ( k + 2 ) ，7 r 2 ) 内的解 k 是偶数时， 若0 口 ( k + 2 ) k ，则a 一1 b 6 ( n ，九) ， 若一( 七+ 2 ) k 口 0 ，则i 口i 一1 ( - 1 ) m b 6 ( 口：也) ， 其中m = k 2 2 七4 】+ 1 ，如，也是方程s i n ( k + 2 ) 0 s i nk 9 = d 位于( o ，7 r ( 七+ 2 ) ) 内的解，6 ( n ，咖) = v i a 2 - 2 a c o s 2 + 1 y a n t a o w a n ga n dh o n g s h a nr e n 在文【2 0 】中得到了三阶差分方程渐近稳定的充要 条件是 ( a ) k 三0 ( r o o d3 ) 尼是奇数时 0 i n l 墨# ，i 口i 一1 b 6 ( o ，妒) ， k 是偶数时， i b a l 1 且i b i b ( a ，) ， 其中是墅s ( i 坐n k 0 坦= i 口l 在( o ：南) 内的解 ( b ) 七兰l ( m o d3 ) 当0 a 1 时，口一1 b b ( a ，如) ， 当一1 口 0 时，一a 一1 ( - 1 ) 七+ 1 b b ( a ，加) ， 其中如是方程掣= 1 0 i 在( 誓，筠等) 内的解 ( c ) k 兰2 ( m o d3 ) 当0 口 1 时， d 一1 b b ( a ，1 ) ， 当一1 a 0 时，一口一1 ( - 1 ) 七+ 1 b b ( a ，妒1 ) ， 其中九是方程墅s 世i n k 坐o = i n l 在( 爱2 k 辫+ 5n - ，警) 内的解，6 ( n ，) = v i a = - 2 1 a lc o s 3 妒+ 1 一 后来，d a n n a n 在文【2 1 】中给出了零解渐近稳定的充要条件但其中有模糊和错误 之处本文对一类高阶线性时滞差分方程做了进一步研究 一2 一 第1 章绪论 i_ii i s 本文主要研究内容 考虑方程 z n + 8 一口z n + b x 一七20 ， 其特征方程为 入七+ 8 一口a k + b = 0 ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其中口，b 为全不为零的实数，k z + 在这篇论文中，我们将运用特征根法等方法研究方程( i i ) 零解的稳定性 我们的主要结果如下记6 ( 口，p ) = 、n 2 2 a c o s 8 p + 1 定理1 1 设a ，b 是非零实常数，k 是正奇数，则方程( 1 1 ) 渐近稳定的充要条件是 下列条件之一成立： ( a ) 当七三o ( m o d8 ) 时，i 口i 警，且以下条件之一成立t ( i ) 当k 三o ( m o d1 6 ) 时， l b 一口l 1 且i b i 口2 2 i 口lc o s 8 妒o + 1 ， ( i i ) 当七三8 ( r o o d1 6 ) 时， l 口l 一1 b 、n 2 2 1 a ic o ss 西o + 1 ， 其中如是 s i n 忑( k + 1 f 8 ) 0 ：l a i ( 1 3 ) 8 i n 尼p 。、7 在( 0 ，丽8 7 1 ) 内的唯解 ( b ) 当七兰2 或6 ( r o o d8 ) 时，i a i 1 且以下条件之一成立t ( i ) 当k 兰2 ( r o o d8 ) 时，l b i b ( a ，毋1 ) ， ( i i ) 当七兰6 ( r o o d8 ) 时，1 6 l b 6 ( 口，也) ， 其中毋1 ，也分别为方程 1 s i n ( 丽k + r s ) 口= 口 ( 1 4 ) s m 尤伊 在区间( 端，三) 和( 吾，并劳) 内的唯一解 ( c ) 当k 三4 ( m o d8 ) 时，l a i 1 ，且 ( i ) 当0 a 1 时，1 6 l b 1 一a ， 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 ( i i ) 当- 1 口 0 时，l b l 6 ( n ，九) ， 其中4 3 为方程( 1 4 ) 在( 柴等：吾) 内的唯一解 ( d ) 当k 是正奇数时，i 口i 1 ，且 ( i ) 0 d l 时，1 6 i b 1 一口， ( i i ) - 1 口 0 时，下列条件之一成立t ( 1 ) 当k 三1 ( r o o d 8 ) 时，1 6 | b m i n ( b ( a ，九) ，6 ( o ，九) ) ， 其中九，咖s 分别是方程( 1 4 ) 在( 器害，吾) 及( 篙鲁，誓) 内的唯解 ( 2 ) 当k 三3 ( r o o d 8 ) 时，1 6 i b m i n b ( a ，九) ，6 ( 口，咖) ) ， 其中4 , 6 ，咖分别是方程( 1 4 ) 在( 器籍，吾) 及( 黼，警) 内的唯解 ( 3 ) 当k 三5 ( r o o d8 ) 时，l b i 0 ，使得v y o b 6 ，有展，则方程( 2 1 1 ) 的解 y = 0 被称为稳定的 定义2 2 若| 0 ，使得v y o b 6 ，有l i l 。鲰= 0 ，则方程( 2 1 1 ) 的解y = 0 被称为吸引的 定义2 3 若方程( 2 1 1 ) 的解可= 0 既稳定又吸引，则方程( 2 1 1 ) 的解y = 0 被称 为渐近稳定的 注2 1 任意高阶差分方程总能找到个形如( 2 1 1 ) 的差分系统，它们关于稳定 性是等价的 考虑齐次常系数线性差分方程 七 e p t 弘i + 七一= 0 i = 0 ( 2 1 ) 引理2 1 1 【1 6 】方程( 2 1 ) 的零解渐近稳定的充要条件是其特征方程的所有根在复 平面的单位圆内 引理2 1 2 【1 8 】一阶差分方程x n + l 一口z n + b z 加七= o ( 其中a 为非零实数，b 为任 意实数，k 为正整数) 零解渐近稳定的充要条件是i 口i k + 七l ， k 是奇数时， i o i 一1 b x a 2 + 1 2 l o ic o s 毋， k 是偶数时， l b a i 1 且i b l v a 2 + 1 2 l n ic o s ， 其中是j s i n ( 业k + l 1 ) o b = 田1 在( o ：南) 内的唯一解 引理2 1 3 【1 9 1 二阶差分方程+ 2 一口+ b x 驴七= o ( 其中a 为非零实数，b 为任 意实数，k 为正奇数) 零解渐近稳定的充要条件是l a l 1 ，且 一5 一 黑龙江大学硕士学位论文 0 a l 时，1 6 i b 1 一a ， 一1 o 0 时，1 6 i b b ( a ：1 ) ， 其中是方程渊= 口在( 黑酱，羞) 内的唯一解 引理2 1 4 【2 0 】三阶差分方程x n + 3 一口+ 6 一七= o ( 其中口为非零实数，b 为任 意实数，七为正整数) 零解渐近稳定的充要条件是 ( a ) k 三o ( m o d3 ) k 是奇数时， 0 l 口l 墨苦，i 口i - 1 b b ( a ，) ， k 是偶数时， l b 一口l 1 且m b b ( a ，钟， 其中是坐s 世i n k o 业= l a l 在( o ：南) 内的解 ( b ) 七三1 ( r o o d3 ) 当0 a 1 时，口一1 b b ( a ，粕) ， 当一1 口 0 时，一。一1 ( - 1 ) k + l b b ( a ，3 ) ， 其中如是方程塑s 世i n k 坐o = l a i 在( 等，甓鲁) 内的解 ( c ) 七三2 ( r o o d3 ) 当0 口 1 时，o 一1 b b ( a ，加) ， 当一1 口 0 时，一。一1 ( 一1 ) k + l b b ( a ，钆) ， 其中九是方程坐s 选i n 逖k o = l a l 在( 餐鲁，孥) 内的解 b ( a ，) = 、口2 2 1 a i c o s 3 妒+ 1 引理2 1 5 【2 6 】设a ，b 是非零常数，k 三1 或3 ( r o o d 4 ) ，则四阶差分方程x n + 4 一 a t n + k n 一七= 0 ) 零解渐近稳定的充要条件是i 口i 1 ，且以下条件之一成立t ( i ) 当k 三l ( m o d4 ) 时，1 6 i b 0 ，p 1 ( c ) 严格递减，且满足m ( o + ) = 一1 ，h m 。ho o p l ( c ) = 一o o ；特别地，若0 c p ，方程( 2 2 ) 有两个正根，分别定义 为p 2 ( c ) ，p 3 ( c ) 且比( c ) p 3 ( c ) ，它们满足0 舰( c ) p 3 ( c ) p 方程( 2 2 ) 无正根； 若c 0 ，那么- - # l ( - - c ) 是方程( 2 2 ) 的唯一正根，且- # 1 ( - c ) ( 1 ，+ ) ； 特别地，若一卢 c 0 ，那么一# d - c ) 与- a 3 ( - c ) 是方程( 2 2 ) 的两个负根； 若c = 一p 那么一q 是个二重根； 若c 0 ，那么方程( 2 3 ) 有唯个负根，定义为肋( c ) ，晰( c ) ( 一o o ，o ) ，且在 0 c 7 ， e i + = t 芟c 锵，一( 2 p + 1 ) r r 【宁】+ 1 【皇铲l u ( 户【量舻】+ 1 ( 印一1 ) 7 r k ) u l l ( 叩( k + r ，吾) ) ( 2 p + 1 ) 7 r ( 2 p 一1 ) 7 r 七+ 8 k ) u c 等等，釉 t 芟c 警，半 【量1 + 1 u u ( p = 【5 鲁】+ 2 【学l u u ( p = 【量笋】+ 1 ( 印一1 ) 7 r k ) u ( 端，和 堡等8 、j 1七+ ( 砌+ 1 ) 7 r ( 2 p 一1 ) 7 r 七+ 8 七 峙糌川p 饕 ( 2 p 一3 ) 7 r ( 七 t 芟1 c 紫，学) u ( 丽( k + 3 ) r r 孛7 1 ， 【量】+ 1 u u( ，= 【- 8 i + 2 ( 砌一1 ) 丌( k 2 p + 1 ) 7 r k + 8 u 【亘3 k 8 1 c 紫，学 p = 【点吉兰】+ 1 峙糌，u 冀：- 。c l l 一 ( 印一3 ) 丌 七 2 p + 1 ) 7 r k + 8 ) ) ， 七三l ( m o d1 6 ) ； k 三3 ( r o o d1 6 ) ； k 三5 ( r o o d1 6 ) ； 心 u 譬 严 r j i u 学 。0 柏斡u 嗍 r 舻 小 黑龙江大学硕士学位论文 t 芟c 警，半) u ( 端，和 【宁1 + 1 u 【u ( 产【生字】+ 2 f 学】 u ( p = 【点笋】+ 1 f 半】+ 1 ( 劬一1 ) 7 r 七 单k 孕8 ) ) 上 ，j ( 2 p + 1 ) 7 r ( 2 p 一1 ) 7 r k + 8 k u u ( p = 【等】+ 2 ( 印一3 ) 7 r 七 ) u ( 鬻等，釉 t 芟1 c 警：半， 峨7 r 丽( k + 1 5 ) i r ，u 量：c 【学1 u ( 产【量护】+ 1 ( 2 p 一1 ) 7 r ( 助+ 1 ) 7 r ( 2 p 一1 ) 丌 k + 8 7 k t 芟c 警，半， 吣潴川p 黧：c u 尼 ( 助一3 ) 丌 七 ( 印一1 ) 丌 k 丝磐k8 ) ) ， 上 ，j ， 丝等k 8 、s 1 j + 一1 2 一 k 兰7 ( r o o d1 6 ) ； k 三9 ( r o o d1 6 ) ； k 三l l ( m o d1 6 ) ； 。0 柏 芍一 u 锗 恤 t 芟1 c 锵，半， 璺警，学) u ( 丽( 3 k + 1 7 ) 刀- ，釉 p 黔( 2 p k 3 ) r ，警m k - 1 3 ( m o d1 6 ) ； t 芟1 c 紫，学 崛端，u 量2 c 【墨铲l u u ( p = 【量笋】+ 1 ( 印一1 ) 7 r ( 劫+ 1 ) 7 r ( 2 p 一1 ) 丌 凫+ 8 七 峙糌，u 点：。c k 堡磐k8 ) ) 上 ，j ( 印一3 ) 7 r k 忌三1 5 ( r o o d l 6 ) ( 4 ) e i - 一= ( 吾，誓) u ( 誓，詈) ，e e 一= ( 吾，鲁) u ( 誓，鲁) ，e e 一= ( 詈，售) u ( 告，警) u ( 警，詈) ， v 七 5 ， k 一= 堕c 罴昂2 p t r 咐端) u 嚏u ：i 1 ( 、 p = 【矗】+ 2 ( 2 p 一2 ) 7 r u _ 【1 器u 1 + 1 ( 羔，t ( 2 p - 2 ) 丌) ) p = 【鲁l + 2 u ( 誓，篙去箬) u 髟2 ( 、7 p = 【器1 + 3 一1 3 一 k ( 印一4 ) 丌 忌 7 七三l ( m o d1 6 ) ； 耋卜 0 他 糌u 赫 黑龙江大学硕士学位论文 ( 印一2 ) 7 r _ 【璺雨2 p t r ，t ( 2 p - 2 ) 7 r ) u ( 篱剖3 7 1 ) p = 【耆】+ 2 、 7 【鲁】+ 2 u u ( 护【酱1 + 3 ( 砌一4 ) 7 r 七 七 ( 2 p 一2 ) 7 r u 靼1 ( 币2 p r ，t ( 2 p - 2 ) 7 r ) u ( 篱嗣3 7 1 ) p = 嘲+ 2 、 嘲+ 2 u u ( 酬器】+ 3 ( 印一4 ) 丌 七 七 变( 罴掣2 p t r 咐端) u 誊1 ( 学，罴) ) p = l 、 p = 【矗】+ 2 u u 1 ( 而2 p t r ，t ( 2 p - 2 ) 7 r ) ) 产嘲+ 2 峙糌，u 璺 ( 印一4 ) 丌 七 堕c 币2 p n - 删2 p e r 端。u 璺 ( 2 p 一2 ) 7 r 七 u 舅币2 p - r ，t ( 2 p - 2 ) 7 r ) u ( 错剖3 1 ) p = 【耆】+ 2 1 皇1 + 2 u _ ( u ( p = 瞒】+ 3 ( 印一4 ) 7 r 七 一1 4 2 p n 、1 西百j ， 七三3 ( m o d1 6 ) ； 七三5 ( r o o d1 6 ) ； 七三7 ( r o o d1 6 ) ； 七三9 ( r o o d1 6 ) ； 。0 啦 卅u 嘲 u 游 u 堑七器 嘲u 阿 。0 帕 盼u 啪u ， 潴 小 塑七罴 u 础 第2 章 预备知识 堕c 罴：剐c 端， 【鲁】+ 1 u u ( 产瞌】+ 2 ( 印一2 ) 丌 k 罴) ) u 芍1 ( 器，t ( 2 p - 2 ) 丌) ) p = 嗜】+ 2 ( 印一4 ) 丌 堕c 而2 p - j r 早2 p - j ru c 端，争 【鲁】+ 1 u u ( 产【啬1 + 2 ( 印一2 ) 7 r 七 u 【u 1 ( 罴，t ( 2 p - 2 ) 7 r ) ) 产【耆】+ 2 峙锗，u 点3 c 七 ( 印一4 ) 丌 k 2 p o t 、1 瓦丙m 堕( 罴掣2 p t ru ( 端讪强1 ( p ：l 、7 p = 【矗l + 2 ( 2 p 一2 ) 7 r 七 u 奠币2 p z - ，t ( 2 p - 2 ) 丌) u ( 丽( 3 k + 1 9 ) z 嗣3 q r ) 产【軎】+ 2 、 嘲+ 2 u u ( p = 瞄】+ 3 证明： ( 1 ) ( i ) ( 2 p 一4 ) 7 r 尼 枷、1 乒两) ， 设尼是啪数，当0 0 ， 等价于孚 0 学；巫k + 8 0 i 业k + 8 ， 令惫 挈 绁k + 8 孕， 由此得 一1 5 一 k 三l l ( m o d l 6 ) ； k 三1 3 ( m o d1 6 ) ； k 兰1 5 ( m o d1 6 ) ：0 舶 盼u 啪 糌 亭 小 ( i i ) 瞄= p d - - - - - 0 ( t 2 p r ( 2 p + 1 ) 7 r 尼+ 8 当吾 口 i i f ，s mk 8 o ，s i n ( k + s ) e 0 ， 等价于学 伊 孚；紫 护 臀， 令擎 得 挈 继k + 8 ， 得去 p 时，口( i 业k + 8 ，挈) 令学 丝k + 8 i 1 2 娜p + 2 誓， 得告 p 7 ， 汹) e ：；：手= ，七= 1 ，3 ， = ( 告，詈) ：掰= ( 斋，三) ， 阻c 紫：警， k - 1 , 3 ( r o o d 8 ) ； 喵2 。c 紫晕u c 端固，k = 5 ( r o o d 8 ) ； 【产洳紫，孚) u ( 端扣三7 c 叫 当孑 i f 得考+ 1 p 丽3 k + 1 时，口( 芈竽，警竽) 令牮 互k + 8 i 1 巡k + 8 虿3 2 _ a 七r a ， 得 半 p 軎+ 1 时， 口( 詈，i 龇k + 8 、 经计算得瞄= ( 矧：路= ( 潞：) ，路= ，掰：a 一1 6 一 垃。照七 奄，垮孕 专 舭祷 羞七 2 一 7 ， ( 潴蚶u ( 竿- 1 ) l r ，紫) ， p = i 詈+ 1 j + l c 端岬1c 竿，警) ， k 三l ( m o d8 ) ； k 兰3 ( r o o d8 ) ； k 三5 ：7 ( m o d 8 ) ( i v ) 当誓 口 考，s i nk o 0 ，s i n ( k + 8 ) 0 0 ， 等价于垃产 口 生产；业k + 8 p 龇k + 8 ， 令罕 业k + 8 掣 鬻， 得丽3 k + 1 p 鲁+ 1 时，口( 字，生产) 令罕 ； 丝k + 8 i 1 鬻 掣得+ 1 p 7 产翔警：半， 杆膣+ 1 ) 丌 u ( 等警， p = 【器+ 1 】+ 1 一 杆艘+ 1 ) 丌 u ( 半， ，：嚆+ l 】+ 1 一。 r ( 垄1 2 1 引 、 七+ 8：2 ， k 三1 ，5 ( r o o d 8 ) ； 笔坐) u ( 端，i 1 1 三3 ( m o d 8 ) ； 2 0 , 一1 ) 丌) u ( 端，i 7 r 三7 ( m o d 8 ) ( 2 ) ( i ) 当0 p 吾，s i nk o 0 ，s t n ( k + 8 ) 0 0 ， 等价于业k p 业竽；业k + 8 口 龇k + 8 ， 令姓k + 8 业k 鬻 罕， 得0 p 8 ， 磁f ：亘1 ( t ( 2 p - 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