（理论物理专业论文）变系数二阶线性常微分方程求解的基本研究及maple在其中的应用.pdf

摘要 二阶线性常微分方程! 丢+ 尸( i 11 里+ q ( z 1y ，o 在科学技术中有着广 d x d 工 泛的应用。特别是在物理学中，二阶线性常微分方程及其本征值问题是求解数学物理方 程的重要基础，很多物理问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。然而变系数二 阶线性常微分方程的求解十分困难，至今还没有一个普遍有效的办法，通常采用的级数 解法只能得到某点邻域内的局域解，而且是无穷级数解或近似解，不便于作理论上分析。 因此，变系数二阶线性常微分方程的求解问题吸引了大量数学和物理工作者的兴趣。 在二阶线性常微分方程理论中，常系数方程总是可解的，特殊函数方程的性质已 经有了深入的研究，因此可以将它们看成“可解方程”，然雨在处理实际问题时，我们 往往遇到的是陌生的变系数方程，求解比较困难。 本文通过对微分方程和特殊函数理论的研究，提出新的方法将一类变系数二阶线 性常微分方程转化为己知的特殊的可解方程，建立起这类方程之间的转换关系。同时， 从本质上阐述将变系数方程常系数化的方法，进而提出变系数二阶线性常微分方程求解 的基本思想和步骤。最后，通过数学软件m a p l e 将复杂的求解步骤编写为m a p l e 程序， 利用m a p l e 强大的符号运算能力简化方程转换过程中繁杂的计算，使变系数二阶线性常 微分方程的求解简单化程序化，同时有利于我们对微分方程的进一步学习、研究和应用。 关键词：变系数二阶线性常微分方程；常系数化；特殊函数方程化；m a p l e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：玉a ! 錾霎 日期： 互血! ： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：j d l 5 沮 指导教师签名： 日 期：纽i ：i 。； 日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 引言 一、微分方程的发展和应用 微分方程是一门研究自变量、未知函数及未知函数导数之间关系的数学科学。它是 伴随着微积分的产生和发展而成长起来的门历史悠久的学科，至今已有3 0 0 多年的历 史1 1 “， 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规 律的摄为基本的数学方法。牛顿在研究天体力学和经典力学的时候，利用了微分方程这 个工具，证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，从理论上得到了行星运动规律。此 后。法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现 的海王星的位置。这些都使科学家们更加深信微分方程在认识自然、改造自然等方面的 巨大力量，可以说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应 用h 1 ”。 在常微分方程发展的初期阶段，人们主要是针对实际问题提出的各种方程。用积分 的方法求其精确的解析表达式，这就是人们常说的初等积分法。这种研究方法一直延续 到十九世纪中期前后，直到1 8 4 1 年法国数学家刘维尔在他的一篇著名论文中证明了大 多数常微分方程不能用初等积分法求解，由此促使人们放弃这一研究方法。经过刘维尔 这一工作之后，常微分方程进入了基础定理和新型分析方法的研究阶段。 随着科学技术的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的学科领域内有着重要 的应用，物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和 规律都可以描述成相应的常微分方程。 可以说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域广泛的应用促使了它 的进一步发展。同时，数学学科内部的许多分支中都离不开微分方程，常微分方程是整 个数学课程体系中的重要组成部分，它每一步进展都离不开其它数学分支的支援，如复 变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响。反过来，常 微分方程进一步发展的需要也推动着其它数学分支的发展。 这一古老的学科，由于应用领域的不断扩大和新理论生长点的不断涌现，它的发展 至今仍充满生机和活力。尤其是当前计算机的发展，m a t l l 啪a i ，m a o l e ，m a t h l b 等数 学计算软件的开发更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 二、变系数二阶线性常微分方程的重要性 常微分方程作为其它自然科学和偏微分方程的基础，一直以来受到学者们的重视， 很多专家学者发表了著名的著作和论文，使常微分方程的解的理论发展到一个相对完善 很多专家学者发表了著名的著作和论文，使常微分方程的解的理论发展到一个相对完善 1 的程度。 根据线性常微分方程的基本理论，任何线性非齐次常微分方程的解都可以归结为求 相应齐次常微分方程的基本解组【5 卅。对于线性齐次常微分方程而言，高阶的常微分方 程可以通过降阶的办法使方程的阶数降低，化为一阶或二阶的常微分方程来求解，因此 在微分方程求解的问题中低阶方程的求解占有重要地位。 我们知道，所有一阶线性常微分方程和常系数的二阶线性微分方程总是可以解的， 而变系数二阶线性常微分方程求解则十分困难，除了计算非常复杂的级数解法外【1 越1 1 ， 至今还没有一个普遍的方法，而级数解法计算量大，而且不能得到解析解，不便于理论 上的分析。因此，变系数二阶线性常微分方程求解的研究是微分方程理论中一个十分重 要的部分。 此外，二阶线性常微分方程兰二 + p ( x ) 罢旦+ q ( x ) y o 在物理学及科 4xnz 学技术中有广泛的应用【4 羽，例如：常在散射理论中应用的r i c c a t i 凰s s e l 方程，在电学 的高频交流趋肤效应问题中应用的i 色o m s o n 方程等等都是变系数二阶线性常微分方程， 可以说很多物理问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。此外二阶线性常微分方 程及其本征值问题还是求解数学物理方程的重要基础。因此变系数二阶线性常微分方程 在物理学中发挥着非常巨大的作用。 三、变系数二阶线性常微分方程求解遇到的问题 然而，在物理学及科学技术中有广泛的应用的变系数二阶线性常微分方程的求解则 十分困难，对于变系数二阶线性常微分方程，除了一些已知的特殊函数方程，大多数方 程看起来只能用级数解法，级数解法虽然是一种较为普遍有效的方法，但是运算非常繁 杂，而且得到的是无穷级数解或近似平猓槐阌谠诶砺上做物理分析。 很多学者在教材和文献中介绍了用一些特殊的变换【2描l ，将方程转化为常系数方程 0 2， 来求解，著名的如e u l e r 型方程x 2 了y (力+ 甜y o ) + 砂o ) 一o ( 咖为常数) ，经自变 “ 耐 量的对数变换可常系数化，但都只是通过某种特殊的交换，解决其中一类的方程，没有 从总体上提出系统可行的方法，而且对于一个陌生的交系数方程，在将它转化为已知可 解的方程的时候，寻找合适的变换也是一件很困难的事情，无论那种方法都要进行大量 繁杂的数学计算。 此外，虽然计算机及相关数学软件已经发展到一个很高的程度，可以通过相关软件 直接求解，但由于计算机软件在理论上还不是非常完善，缺乏智能的判断，有时候反而 使问题变的更加复杂。 四、本文的研究内容及意义 变系数二阶线性常微分方程的求解基本理论已经发展到一定的程度，很多学者也提 q 1 = q 驴2 = c 2 ( 常数) ( 1 8 ) 联立( 1 7 ) 、( 1 8 ) 求解，可得到结论： 若方程( 1 5 ) 满足判别式 。居 p + 砉q 纠嵋愀，9 ， 则通过变换： h ，芒出一一g ) n 1 0 ) 可以将方程( 1 5 ) 化为常系数方程： 害+ c l 誓+ c ：y 钏 ，一常数时方程( 1 5 ) 可以常系数化，通常选取c 2 使式( 1 i1 0 ) 最简单，c 1 便 确定。 二、利用禾知函数的并次线性变化实现常系数化 令y 一i z ( x ) z ( x )( 1 1 2 ) 其中_ 1 0 ) 为x 得已知函数，z b ) 为x 的未知函数，方程( 1 5 ) 可化为： 窘+ e 妾+ q z z 一。 m 最一半心咖p 等+ 等川一争- 窘 在y 一 o ) 2 仁) 的变换下。方程( 1 5 ) 保持线性齐次性。若要使方程( 1 5 ) 常系 数化，则应该同时满足： 最；p + 掣。d 。( 常数)( 1 ，1 4 ) 队- q + p + 竿d ：( 常数) ( 1 1 5 ) 从( 1 1 4 ) 式解得： | 1 1 0 ) ；e l 。1 叩k( 1 1 6 ) 代入( 1 1 5 ) 式得到结论2 ： 6 若方程( 1 5 ) 的系数满足判别式： - q 一丢警一一c ( 常数) 则经变换式( 1 。1 2 ) 、( 1 1 6 ) 方程( 1 5 ) 可常系数化为： 害“笔+ 咄；o 萨刈1 忑州2 扣u ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 妒”譬 n 1 9 ) 常数对方程( 1 5 ) 可经未知函数的线性变换常系数化，通常选取吐使 g ) 的 表示式( 1 1 6 ) 最简单，d 2 由式( 1 1 7 ) 、( 1 1 9 ) 确定。 三、通过自变量和未知函数的联合变换实现常系数化 若判别式( 1 9 ) 中a 。一常数，即通过自变量的交换不能使方程常系数化，但变换式 ( 1 1 0 ) 使得式( 1 6 ) 中： q 1 一c 2 ( 常数) ，暑；l ( 1 2 0 ) 对方程( 1 6 ) 继续作变换y - o 弦( f ) ，方程( 1 ，6 ) 化为： 窘+ 豆去+ 西= o n z - ， 磊母警，夏吃+ 只瓣- 争一窘， 可见，变换后的方程仍是线性齐次的。选择| i l ( f ) ，使得葛= 互( 常数) ， b 9 ( f ) 。e 狮呐盗 ( 1 2 2 ) 将上式代入式( 1 2 1 ) ，若能使 磊一q 1 一号鲁一手+ 专玉= 五( 删 则式( 1 2 1 ) 中的方程是常系数的。由于q 1 ；c 2 ( 常数) ，互为常数，我们得到结论3 ： 只要判剐式a ，- 一丢号 一只2 一c ( 常数) ( 1 2 3 ) 方程( 1 5 ) 可经自变量和未知函数的联合变换： 7 严扣一喇，t = 停硼社。 强z t ， 常系数化为： ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 通常选取常数五使，l ( f ) 的表示式( 1 2 2 ) 最简单，五由式( 1 2 6 ) 完全确定 至此，我们已经得到了变系数二阶线性常微分方程可以转化为常系数的三个判别 式。满足其中任何一个判别式的方程都可以常系数化。 四、变系数方程常系数化求解的步骤 ( 1 ) 对于任何一个变系数二阶线性常微分方程，首先将方程化为标准形式，然后确 定p 0 ) ，q 似) ( 2 ) 对于一般的方程，可以依次检验判别式l ，2 ，3 是否为常数，从而决定方程 能否常系数化，若能常系数化需要用什么样的相应变换，化为竹么样的常系数方程。然 后解得到的方程。 ( 3 ) 对于一些特殊的方程，如：p ) 是常数，只要检验1 ，3 就可以，因为这时 2 一定不是常数若q 为常数，只需要检验2 ，此酎1 不是常数，而3 与厶2 在 判别的作用上等价。 盒 第二章化变系数方程为特殊函数方程 常系数化法可以解决变系数二阶线性常微分方程中的一类问题。然而，并不是所有 的变系数方程都可以转化成常系数方程。在实际问题中，很多交系数方程不能常系数化， 例如在用分离变量法求解数学物理方程时经常遇到的b e 龉d 方程、l e g e n d r c 方程等都不 能常系数化，我们往往通过引入特殊函数的办法来解决其中一些特殊的方程，现在数学 上已经掌握了很多种特殊函数的方程，因此我们可以以这些方程为基础，对于那些不能 常系数化的方程，考虑将它们向特殊函数方程转化，进而对这些不能常系数化的变系数 方程转化为我们熟悉的特殊函数方程进行求解和分析。 2 1 特殊函数的分类 然而，将变系数二阶线性常微分方程转化为特殊函数方程并不是一件很容易的事 情。在常系数化法求解方程的时候我们只需要考虑通过各种变换将变系数转化为常系 数，虽然变换的种类多样，但只要把系数变成常数就可以了。与常系数化方法不同，特 殊函数方程种类很多，而且很多方程性质也不一样，对于一个陌生的变系数二阶线性常 微分方程，我们不知道它能转化成哪一类特殊函数方程，再加上变换方式也不确定，如 果一个一个的去试验，这样反而更加麻烦，有可能还得不到理想的结果。所以，将变系 数方程转化为特殊函数方程比常系数化要复杂的多。 通过对特殊函数及其方程的研究，我们知道，根据常微分方程方程奇点的性质，可 以将特殊函数分为三大类1 2 9 观】： 一、超比函数型 在特殊函数方程中，有很大一类的方程只含有三个正则奇点( 一般是一1 ，1 。， 或者o ，l ，) 。常见的有k g e n 出e 方程、连带i j e g e n m e 方程、t s d l c b y s c h e 饪方程、 g e g e n b a u e r 方程、g a u s s 方程、广义超球方程、超球方程等。这类方程以g a u s s 方程为 原型方程，即所有这类特殊函数的微分方程都可以化为g a u s s 函数型方程求解。 二、合流超比函数型 这类特殊涵数的微分方程有两个奇点，一个是芷则奇点，另一个是非正则奇点。例 如：b e s s e l 方程，b g u e r r e 方程，h e 珊i t e 方程等。这类函数型的方程以k u m m e r 方程 或w h i t t a 】c e r 方程为原型方程，即所有这类特殊函数的微分方程都可以化为i 沁砌c f 方 程或w m t t a k e r 方程。 9 三、椭球面函数型方程 这类特殊函数的微分方程有四个奇点或者四个以上的正则奇点，或者至少有荫个正 则奇点和一个非正则奇点。例如；l a m e 方程、m a t h i e u 方程等。这类方程的求解比前面 两种方程困难很多。 在论文中主要讨论第一种函数型方程即超比函数型方程的转换，利用砌e m a l l np 符号及其交换的性质，将任一个只含有三个正则奇点的交系数二阶线性常微分方程转化 为相应的特殊函数方程。 2 - 2r i 鳓a mp 符号及其变换 根据特殊函数理论可以知道，只具有三个正则奇点的微分方程的解的性质完全由这 三个奇点所对应的指标所决定，设方程的奇点为口，6 ，c ，对应指标分别为( 9 1 ，芦，) ， ( 口2 ，卢2 ) ，( a3 ，卢3 ) ，则可以用符号： v p n6c qa 2 届应 ，x 尾 ( 2 1 ) 表示方程的全部解，称为r i c m 锄p 符号或础唧a 肌p 方剥嬲“。其中第一行为方程的 奇点，第二行和第三行为相应奇点指标，第二行逗号后面为方程的自变量。除了自变量 的位置不能变以外，列和列之间的位置可以交换，第二行和第三行的位置可以交换，每 个奇点所对应的两个指标可以单独交换，一般我们习惯把代数性质相同的指标放在同一 行内。( 2 1 ) 代表韵方程是： y f 等学+ 警+ 号些 y ，+ 熹i 石一口 x d z c i 7 x 一一口一c j 竺1 壁1 1 1 二丝竺= 啦! z 色尘= ：迦二生1 3 生二丛! ：必y = o ( 2 2 ) 【 石一口z d工一c j 。 若奇点c 一，则方程变为如下形式： y - 等学+ 宅乒”矗毋 i x 一4z d l 。 工一口一口 掣+ 掣坞岛 y ；o ( 2 3 ) l 互一口 x 一6 一l 。 可以看出，每个r i e m a n l lp 符号都对应着一个微分方程，m 锄a 皿p 符号相同则方 程也相同，对方程进行自变量和未知函数的变换会改变r i e m 锄p 符号，其中自变量的 1 0 因此，若能通过某种自变量和未知函数的改变，使待求的变系数方程的r i e m a 曲p 符号改变后与已知的特殊函数方程的r i e m 蛐n p 符号中奇点和指标相同，则说明通过这 种变换可以将未知方程转化为已知的特殊函数方程。这样我们就可以通过r i e m a i h lp 符 号的变换建立起这类方程的联系，并且可以很容易的找到变换的方式。 r i e m 跏p 符号交换与自变量和未知函数的交换的存在下歹1 j 关系【翘： p 长引一舞附p 妊毫磊：，筹 汜a ， p 鞋计卜川肭叫毫未；翕筹 ( 2 - s ，p 骶列七_ 口九肭卜忧茇：搿嚣湍 汜- 驺 另外，可以证明，对于所有的只具有三个正则奇点的微分方程指标满足p 哪： a l + 口2 + a 3 + 岛+ 岛+ 岛，1 ( 2 6 ) 2 3r ie m a n np 符号在变系数方程转化中的应用 虽然现有的特殊函数理论中可以将任何一个只具有三个正则奇点的变系数二阶线 性常微分方程转换为超比方程，包括k g c n d r e 方程、连带k g e n d r c 方程、t s c h e b y s c h e f f 方程等，但是当我们可以缀容易地把一个变系数方程通过很简单钓交换就能变戏 k g e n d r e 方程或连带k g e n d r e 方程等这些我们更加熟悉的方程的时候，我们就没有必 要千篇一律的通过很复杂的变换将方程变成超比方程。 掌握了常用的特殊函数方程的r i e m 瑚p 符号以后，我们就可以根据未知方程 r i 锄啪p 符号的性质，通过最简单的变换，将其转换为我们熟悉或需要的特殊函数方 程。 下面我们将利用砒唧锄p 符号变换的性质来推导变系数二阶线性常微分方程可以 化为k g e n d r e 方程需要满足钧条件； 设只有三个芷则奇点的变系数二阶线性常微分方程： 鲁+ p ( x ) 冬+ q ( 并) y o ( 2 7 ) 设方程奇点为口，6 ，c ，对应奇点指标为( a 1 ，卢) ，( 口2 ，卢z ) ，忙3 ，卢3 ) ，则对 甚至对于从事广义相对论方面研究的物理工作者而言，m a p l e 本身还备有一部分 常用的应用包。可以直接调用计算广义相对论中的一些物理量，既能确保答案的正确性， 同时又节省了时间和精力。此外，可以利用m 印l c 的编程功能，把m a p l e 作一定程度的 推广用以解决广义相对论和理论天体物理中的一些特殊问题。 3 q p l e 在常系数化法中的应用 在第一章里我们可以看到，虽然变系数二阶线性齐次常微分方程可以通过三种变换 方式实现常系数化，并保持方程的线性不变。但是判别式的运算过程相对比较复杂，基 于变系数方程常系数化的基本原理和步骤，将原来的判别式通过适当的变换，编写为 m a p l e 程序语言。通过输入二阶线性变系数常微分方程的系数，直接判断方程是否可以 常系数化，如果能则显示通过哪种变换转化为常微分方程，同时给出常系数化后的方程。 常系数化法在m a p l e 中的实现： 常系数化求显解的步骤 1 将化为方程标准形式d 豪，。) + 嗉) ，o ) + 钞) 一o ，确定p 和q 。为 了简化计算，直接输入系数4 ，易，c ，将p 和口的计算放到程序中。 2 依次检验判断 ，。1 是否为常数，从丽决定方程自& 否常系数化。为了增强 程序的可读性，我们可以先求出，1 ，然后依次判断。由于 挫- 焉卜+ 去q 卢协】c c 为常扒敞一 争p 一p 2 ( b = 1 ) 。考虑到数学软件的可行性，将1 ，3 做适当变换，令 a t 。：- 一f p ( t ) + q ( ， 卢口 x 】1 声：) ，将& 3 连带t s c h e b y 谢l e 圩l 囊圳2 | q ( -，与a1，3的形式虽然不同，但是在判别的作用是完全等价的，变换后 3 将方程 常系数化以后，通过程序输出变换后的方程，并体现出变换过程，便于教学过程中 便于分析。若方程不能常系数化，则显示“强ec o e 蕊西e n t so fe q u a 6 0 nc a n n o t bcc h 姐g c di d t o c o n s t a n t s ”4 用m a p x 在m a p l e 环境中用s a v e 命令将s z y 0 保存到c 盘。文件名设为s 碍t e x t - s a v es z y ，“c ：配y - t c x t ”； 保存以后我们就可以在m a p l e 环境中通过r e a d 命令调用铊y o 函数，将这类方程常 系数化。 例l ：求解方程算z 妥_ ) ， ) + 算要y o ) + 2 y o ) o 黜积 r e a d ”c ：y t e x t ”( 调出程序) 瑰y ( x 2 x 2 ) ；( 运行程序) a t o ，卜乒后三出 丢“。 + 一c “。一 可以看到1 = 常数r 原方程可以通过自变量变换成常系数方程y ( f ) + p ( f ) _ o 。 例2 ：求解方程砉y ( 石) + 幻( 2 + 工) 丢y o ) + 2 0 “) 2 y o ) 一。船 “ s z y 伍6 2 。2 4 x + 2 + x ) ( x + 1 ) 2 ) ；( 运行程序) 监叱y 。贰砷丘琦 ( ；，专3 刁扣。 ；= c 砷 ( 丢贰神) + p 一。 3 _ 4 如p l e 在特殊函数方程转化中的应用 特殊函数糟类很多，这里我是讨论在杨理串常焉的两类特殊涵簸超比函数型方程和 合流超比函数型方程。 一、含有三个正则奇点的变系数二阶线性常微分方程 在第二章里阐述了如何利用础e m a 胁p 符号的变换将只具有三个正则奇点的变系数 二阶线性常微分方程转化为某一类特殊函数方程。然而这一前提是首先我们必须判断方 程是不是只具有三个正则奇点，此后还要求出对应奇点的指标，然而这并不是一件很简 单的工作，这里我l c j 就裂用编写b 莲a p k 程枣，将涵题筒仡。 由于一股的关于计算机程序的教材很少涉及到求方程奇点及其指标的问题，所以大 家对m a p l e 中相关命令了解很少，但是这不代表m a p l e 的功能不强大。在本章第二节里 我们介绍过m a p l e 其中的一个特点：程序设计命令规范。其基本语句和予程序命名都基 9 计算o ( x ) ： 方程e q ： 求方程的奇点1 ： 求方程的奇点2 ； 求方程的奇点3 ； 奇点l 的指标方程； 奇点2 的指标方程； 奇点3 的指标方程； 计算出r i e m a n n p 左部 并以矩阵的形式表示； q ：= e x p a l l d ( “a ) ； e q ：= d i 联y ( x ) ，x $ 2 ) + p + d i 瓤y ( x ) ，x 2 ) + q + y ( x ) - o ； q 1 ：= o p ( s 抽g i l l a r i t i e s ( e q ，y ( x ) 呱1 】) 【2 】【1 】 q 2 ：= o p ( s i n g u l a r i t i e s ( e q ，y ( x ) ) 【1 】) 【2 】【2 】； q 3 ：= o p ( s i n g i l l a r i t i c s ( e q ，y ( x ) ) 【1 】) 【2 】【 x 第四章总结 论文系统的阐述了将变系数二阶线性常微分方程转化为常系数微分方程的基本思 想和方法，提出了利用m e m 锄p 符号的变换将只具有三个正则奇点的变系数方程转化 为已知的特殊函数方程，通过转换关系，可以很容易的研究方程之问的相互关系。加上 对已有理论的分析总结，从总体上阐述将变系数二阶线性常微分方程转化为“可解方程” 迸行求解的基本思想和方法。结合计算机符号处理系统a p l e ，建立了完整的求解步骤。 对于任何一个二阶线性交系数常微分方程： 等+ p ( 石) 譬+ q ( 工) _ ) ，一。 口茗b 工 首先，我们观察方程的形式，如果方程本身就是我们所熟悉的特殊函数方程，则直 接按照特殊函数方程的办法求解。如果不是就可以按照下面的步骤求解： 1 常系数化 将方程的系数输入编好的m a p l e 程序( 见第三章) ，利用数学软件计算常系数化的 三个判别式，如果可以常系数化，则m a p l e 直接给出变换关系和常系数化后的方程。 2 特殊函数化 利用m a p l e 程序求出方程的奇点，根据奇点的性质采用不同的方法，若方程只有三 个正则奇点，则进一步利用m a p l e 程序求出方程的r i e m 蛐p 符号，对照第二章第三节 推导的关系判断方程可以转化为哪种特殊函数方程。若方程含有一个正则奇点和一个非 正则奇点，可以利用m a p l e 向合流超比方程或w h i t b k 盯方程转化，根据不同情况转化 为其中一种形式的方程。 3 级数解 如果前两种情况都不能解决方程。只能用级数解法对方程进行求解，可以利用m a p l e 中的d s o l v c o 命令，对方程进行级数求解。 参考文献 1 j f 斯科特数学史【m 】侯德润，张兰译 北京：商务印书馆，1 9 8 l ， 2 同济大学数学教研室编高等数学讲义 m 】人民教育出版社，1 9 9 0 3 m 克莱因古今数学思想 m 上海：上海科技出版社1 9 8 0 4 b r a u nm 微分方程及其应用 m 】张鸿林译。北京：人民教育出版社1 9 8 2 5 f i n i z i om ，b d a sga nl n 仃o d u c t i t od 腼r c n d a le q 岫t i 帅m 1 w h d s w o t h 1 9 8 2 6 史捷班诺夫bb 微分方程教程h 元震译北京：高等教育出版社，1 9 5 6 7 钱伟长微分方程的理论及其解法 m 北京：国防工业出版社。1 9 9 2 。 8 丁同仁常微分方程基础 m 】上海科学技术出版社。1 9 8 1 9 王高雄常微分方程【m ( 第二版) 高等教育出版社，1 9 8 3 1 0 伍卓群常微分方程 m 】北京：高等教育出版社，2 0 0 4 1 l 】 g b i r k h o 伍g c r o t a 0 r d i i l a r yd i 疵r e n 娃a le q u a t i o nj o h nw i l e yi n c 1 9 6 9 1 2 1v i a m o l d 0 r d i n a r yd i 饪e r e n 血le q 岫c i 彻m r rp f e 鼯p r i l l c e t o n ，1 9 7 3 1 3 尤秉礼常微分方程补充教程 m 北京：人民教育出版社，1 9 8 l 1 4 叶彦谦常微分方程讲义【m ( 第二版) 人民教育出版社，1 9 8 2 1 5 卡姆克常微分方程手册 m 】北京：科技出版社，1 9 8 0 1 6 柬仁贵数学物理方法 m 】长春：东北师范大学出版社，1 9 8 9 1 7 郭敦仁数学物理方法 m ，北京：高等教育出版社，1 9 9 1 1 8 郭玉翠数学物理方法【m 北京邮电大学出版社，2 0 0 3 1 9 梁昆淼数学物理方法 m 】( 第二版) 北京：高等教育出舨杜，1 9 9 6 2 0 姚端正，梁家宝数学物理方法c m 武昌：武汉大学出版社，1 9 9 7 【2 1 胡嗣柱，倪光炯数学物理方法【m 】上海：复旦大学出版社，1 9