（应用数学专业论文）一类反应扩散方程组及其对应的椭圆方程组解的研究.pdf

摘要 本文运用e 下解的方法研究了一类带非局部源的拟反应扩散方程组解的整体存在性 和有限爆破性，分别给出了解的整体存在和有限爆破的条件同时运用了s c h a u d e r 不动 点定理和积分的方法研究了反应扩散方程组在达到平衡状态时所对应的椭圆方程组在不 带非局部源情况下在球b ( r ) 上解的存在性，唯一性；在r ”上解的不存在性的问题 本文的主要内容分为下面两章： 第二章中，我们讨论了一类带有非局部源的拟线性反应扩散方程组解的整体存在和 有限爆破问题 兰 = d i v ( 1 v u i l m l 一2 v u i ) + ，n ”d zz n ，t ( o ，f ) 3 j = l z ，0 ) = u t o ( z ) z n f 1 z ，t ) = 0z a n t ( 0 ，t ) i = 1 ，2 ， 佗 其中nc r 为有界区域，有光滑边界，m ： 2 ，p 巧o ，p n 1 ( t ，j = 1 ，2 n ) ，初值连续 有界 令 丑l 旦l m i 1m l 1 _ j 坠照 m 2 - 1m 2 1 _ j 鳖 m l 一1 巴l m 2 1 且m n - 1 示p j = 2照r a n - 1 其中i 为n 阶单位矩阵 a = i m = 鼍享产一器 丽p 2 1 窨m 21 器 m 2 一l 一 l 器丽p n 2 - m n 。- 。1 一- p 1 , 1 n 我们得到的主要结论如下： ( 1 ) ( 局部存在性) 假如“t 。兰。啦。三d 。( n ) 存在r 8 = p ( 。) o 使得对于每一个t 1 ，p i j 0 ， 我们得到如下的结论： ( 1 ) 若a ( 同上) 是非奇异的m 矩阵，那么对于方程组( + + ) 在初值为0 时，在n = f 。 r ” ( 仃“1 ) p i j 兰0 ( zj = 1 ，2他) n n m 1 m 2 若，：熄。t 0 s u c ht h a t t h e r ee x 器器 一：暴梁 s t san o n n e g a t i v ew e a ks o l u t i o nf 1 ，l c 2 ， u n ) o f ( + ) f o re a c ht 1 ，p o 0 w eo b s t a i nt h ef o l l o w i n gr e s n l t s ( i ) i fa ( a sa b o v e ) i san o n s i n g u l m m m a t r i x t h e nf o rc h ei n i t i a l0 ，s y s t e m ( 料) i nn = z r “f * i ( 1 7 l i 一1 ) p i j 0 ( i ，j = 1 ，2n ) n n m l m 2 i f l m 1 ，p i j 0 ( z ，j = 1 ，2 n ) 我们讨论 了方程组( 1 4 ) 解的整体存在和有限爆破问题，也讨论了这类拟线性反应扩散方程组所对 应的椭圆方程组在不带非局部源时在球曰( r ) 上解的存在性，唯一性；在r 上解的不存 在性 n d i v ( i v u 。i “v u l ) = 1 i u p j ( i ，j = 1 ，2 n ) ( 1 5 ) j = 1 这里? n i 1 ，胁0 当：2 时，方程组( 14 ) 是典型的f a j i t a 型的反应扩散方程组，称为牛顿流体；当 m ，2 时，( 1 4 ) 出现在非牛顿流理论中觅文献( 2 2 ，2 3 l 和非线性渗流理论中见文献 2 4 1 在非牛顿流理论中，( m l ，m 。) 表示媒介数量当m ； 2 时，媒介被称为扩张流体；当 m 。 0 ，使得对任意的u ，如果“= t ( u ，o - ) 对某个g r 【0 ，1 】成立 则有l l “l i v 2 ，p l j 0 ( ，j = 1 ，2 n ) ， 地o ( z ) l 。( f 1 ) n 喇( n ) ，! ! 骞竽 1 时，根据初值的大小，一些解是整体存在的，而 些解是有限爆破的 在【2 5 ，2 6 】中，g a l a k t i o n o ve ta l 考虑了方程组 u t = a v + 1 + u 9 ( z ，t ) n ( 0 ，t ) ( 2 3 ) 带有一致d i r i c h l e t 边界情况，得到了下面的结果： ( 1 ) 如果p q ( 1 + ) ( 1 + p ) ，方程组( 23 ) 既存在整体存在的解，也存在有限爆破的 解 4 ，lj、 第= 章带非局部源的一类反应扩散方程组解的整体存在和有限! 垦壁 隹兰。北叫咿， a ， 上硝z ，哟也( z ，蚴如一上u 如，m 饥( z ，如= r 2 z u 毗。出如 一r 2 上i v u i l m i - 2 v u i v 妒i d x d s + z t 2 上帆c z ，s ，c 上娶n 哼”如，a z a s 篁三里堂j ! 旦郝源的一类反应扩散方程组解的整体存在和有限爆破 同件，我们冉给州上f 解的定义 定义2 2 定义在国t 1 上的一组函数( u ，( z ) ，( z t ) ) 被称为方程组( 2 1 ) 的上( 下) 解，如果l ：y f 条件成立： ( 1 ) ( zt ) l 。( q t ) ( 2 ) m ( z - ) ( ) o 对于( z ，) 口n ( 0 ，t ) ，地( z ，0 ) ( s ) 。o ( z ) 对于几乎所有z n 成 立 ( 3 ) 对于每一个t l ，t 2 【0 ，巩饥皿 z ( n 功也( z ，妫如上嘣z ，砒( z ，如( ) f 2 上u 她。如d s r 2 上i v 蚓“v 啦v 毗如如+ r 2 上哦c 叩，c 上j f l = l 哼”如，出a s 我们再来给出解的有限爆破的定义 定义2 3 若存在n ( o n + 。) ，方程组( 2 1 ) 的解( 蜘( z ，) ，“。( z ，) ) 在而( o ，n ) 上存在，且。i i m 、一。墨誉耋h ( z ，圳= 。则称方程组( 21 ) 的解在有限时间内爆破 注：方程组( 2 - 1 ) 的弱解就是一组函数，它既是方程组( 2 1 ) 的上解又是下解对于 每一个t 0 使得对每个t p ，方 程组( 2 1 ) 存在一个非负熊( 虬u ”) 并且t + 5 ( ) 。或c 辫+ s u p ( ，) 1 l 。2 。( j 2 1 2 ，n ) 定理22 ( 唯一性) 方程组( 21 ) 的解( m ，“。) 是由初值唯一确定的 定理2 3 ( 整体存在性) ( i ) 若a 是非奇异的m 矩阵，也就是说a 的所有主子式都有正的行列式，则方程组 ( 2 1 ) 的解整体存在 ( i i ) 若a 是奇异的m 矩阵，也就是说除a 自身外，其所有的主子式都有正的行列 式，且区域n 足够小，则方程组( 21 ) 的解整体存在 ( i i i ) 若a 不是m 矩阵，也就是说a 的所有主子式中含有负的行列式，且初值足够 小，则方程组( 2 1 ) 的解整体存在 定理2 ，4 ( 有限爆破性) ( i ) 若a 不足m 矩阵，也就是说a 的所有主子式含有负的行列式，且初值足够大， 则方程组( 21 ) 的解有限爆破 ( i i ) 若a 是奇异的m 矩阵，也就是说除a 自身外，其所有的主子式都有正的行列 式，且区域n 足够大，则方程组( 2 1 ) 的解有限爆破 2 2 解的存在性和唯一性 首先在证明局部存在性和唯一性之前，我们先来看比较原理，这对于后面的证明是 非常有意义的 命题1 ( 比较原理) 设( 坠) 和( 日h ) 分别是方程组( 2 1 ) 的非负下解和非负 上解，那么( 旦) s ( h ) 在q r 中几乎处处成立 证明：对于退化抛物方程比较原理的证明是标准的，可参见 2 0 ，2 7 ，2 8 在【2 9 中，证 明了带有非局部源项的单个方程的比较原理在这里，我们运用与f 2 9 j 相同的方法简单 7 一 兰兰童型堕塑塑堕二鳌墅型堂堑塑堡塑塑鲎望壁监塑堕一一 的证明r 个方程组的比较原理 & 曼0 0 0 最后我们有 z w 叶( z ，c ) ( m7 + t ) z 上”计( z ，s ) 如a s z u z + ( z ，) 出= o i e 堕i 在q r 中几乎处处成立 1 兰兰季兰乏：一2 + ) 学v ( 毗) n ) 2 矗妻嘶如：? ；：i 三二q 引。， 鳄 。闰 ，厶 sz m 厂，恤r 一 篁三童萱韭塑叠塑塑二耋堡查芏墼立堡塑鲢整笪壹查塑煎竖堕一 这里 e 。) 是一个严格递减的数列，0 0 ，不依赖于n ，使得 i v 池) n i 腓( q t n ) 批 对方程组( 21 0 ) 中第一个方程的两边都乘以( 啦) 。，在q 马上积分，可得到 ；上( 岫i ( z ，) 如+ o 乃五( i v ( u 如1 2 + 叫2 乒l v ( “山1 2 如出 = ；上c c u t ，护c z ，2 a z + z 乃c z c u t ，n c z ，t ，a z ，c ：妻c q ，嚣3 a z ，a t 第二章带非局部源的一类反应扩散方程组解的整体存在和有限爆破 通过：) 护l l 一( i ”i ( u f ) o j p ( n ) 和第一步中得到的结论，有 z 上i v 扣也删础扣+ ，b 删i 2 舻+ 1 第三步：存在一个常数尬，不依赖于i i ，使得 ( t l t ) 州b ( q ，r 0 ) 兰k 同理，对方程组( 21 0 ) 中第一个方程的两边都乘以( u 。) m 在q 蜀上积分，可得到 上乃f n ( 驭叫) d x d t = - f o “。i n t n ( 1 v ( 训2 ) 字v ( u 山v ( 训删础 + z z c “z ，n c 。，t ，c ：垂c 勘，霁a z ，a z 出 由h s l d e r s 不等式，( u t ) 扩i p ( r 2 ) 曼i ( u d o l l o 。( n ) 以及第一步的结论 所以 z 孔z ( 1 v ( 训2 ) 字v ( u 山v ( 蚴础以 i 1 凡v ( 啦) 。1 2 + “) “2d x zj n t o ，( 。) 毛( 。，) 如出曼 j oj n i 1 ( j v ( 蛳) 。f 2 + 。) 警如 j n i 1 凡v ( 嘶) 。1 2 + 。) “2d x d n + ；z ( 1 v ( 蚴。1 2 + 叫孚如+ 吲等q o ( 上( u 。搿如) 警出曼 其中c 是常数 通过上面得到的三个结论，运用a s c o l l a r z e l a 定理，可以选择一个子列，为了方便仍 然记为 ( 地) 。) ，使得 ( 蛳) n u z n e 对于( z ，) q ( 0 ，t o ) v ( u d n 弱收敛于v “； ，在工“1 ( 0 ，t o ；三“( n ) ) ( u z ) n t 弱收敛于( u ：) t ，在l 2 ( o ，t o ；l 2 ( n ) ) 1 2 第二章带非局部源的一类反应扩散方程组解的整体存在和有限爆破 v ( 岫) 。l7 n 2 ( ( “。) 。) 。，弱收敛于。，在l “t “t 一1 ( o t o ；l m , ”t1 ( n ) ) 第四步：证明u t = | v p “( ) z ， 对方程组( 2 1 0 ) 中第一个方程的两边都乘以妒( ( 嘶) 。一眦) ，在劬b 上积分，可得到 上。i ：妒( ( “t ) n “z ) ( “t ) n t d z d t + 0 1 。f a 学( 1 v ( u 。) 。1 2 - t - e n ) ( - - 2 ) 2 v ( u 。) 。v ( ( u ；) 。一“：) d z 出 z 1 。上( ( u 。) 。一u 。) ( v ( u 。) 。+ e 。i ) ( m i - - 2 ) 2 v u i n v 砂d z d t = z 乃正妒( ( 岫n 一( z 旦n 扣，舻出) 如批 所以 墨f 上印( 蚓，1 _ v ( 曲删( “如叫) 捌- o 这里妒诺1 ( q 7 b ) ，廿0 下面的证明等同于文【3 1j 的定理2 i 定理2 2 的证明：假设( u ”“n ) 和( ”，- ，h ) 是方程组( 21 ) 的两组解，重复运用命 题l ( 比较原理) ，我们可以证明m = 饥0 = 1 ，2 n ) c a 【o ，t o 上几乎处处成立 2 3 一些关于矩阵的定义，引理 在这一部分中，我们来证明一些关于矩阵理论的结果 首先我们来看下面的定义： 定义2 4 ：【3 2 】设a = 【叼】。如果n 巧0 对所有的i j 成立，则称a 是非负的，记做 a 0 为不可约的( 不可分的) 显然根据上面的定义，矩阵m 是非负的，且a 是可约的，当且仅当m 是可约的 一1 3 一 使 称 巳 见 阵 否 崂 咖 蝴 鼢 n 的 在 约 培 舸 时 a o 称 则 卸 降 a 手 时 阶 吼 僦 洁 舸 酽 山 k 中 = 其 设 如 叫 h a & a 0 义 | | 定 5 = 第二章带非局部源的一类反j 互扩散方程组解的整体存在卵有限爆堕 定义2 6 ：嘲| ：j 4 任意的矩阵a 被称为m 矩阵，如果a 能表示成下面的形式： a = s ，一b ，s 0b 0 其中s 兰p ( b ) ，p ( b ) 即为t 3 的谱半径如果s p ( b ) 则a 被称为非 奇异的m 矩阵 m 矩阵有着非常重要的应用例如在数字迭代方法理论，经济学上的输入输出理论， 以及在马尔可夫链理论中都发挥着重要的作用在本文中，我们来说明m 矩阵与反应扩 散方程组解的存在性之间的关系 下面我们来陈述著名的p e r r o n h o b e n i u s 定理 引理21 ：f 3 5 1 假设m 是一个非负矩阵，如果a 是不可约的( 显然m 不是零矩阵) ，那 么m 有一个正的特征值a ，满足对于矩阵m 的任意特征值“，i 肛f 茎aa 对应的特征向量 n = ( 口h 一，n 。) 丁是正的，也就是说。 0 = 1 ，2 佗 引理2 2 ：1 8 8 下面的命题是等价的： ( a ) ：a 是非奇异的m 矩阵 ( b ) ：a 的所有主子式都是正的 命题2 设m 是一个非负的矩阵，a = i m 的所有主子式都有正的行列式如果 a 是不可约的，那么存在a = ( h ，d 。) 7 其中。 0 使a a 日( 零向量) 成立，即 证明：由于a 是不可约的，因此m 是不可约的，又由于m 是非负的，根据引理2 1 ，m 有最大的正的特征值a 和相应的特征向量n = ( a h ，“。) 其中。 0i = 1 ，2 n ，使 a c e = ( i m ) 。= ( 1 一a ) a 由于a 的所有主子式都有正的行列式，所以a 的特征值都大 于0 ，因此1a 0 所以a a = ( 1 一 ) 。 口( 零向量) 命题2 得证 引理2 3 ：l a 8 若a 是一个非奇异的不可约的n 阶m 矩阵，则 ( a ) a 的秩为( n 一1 ) ( b ) 除a 自身外，a 的每一个主子式都是非奇异的m 矩阵 注；根据引理2 2 和引理2 8 ，我们可以得出引理2 2 中的( b ) 等价于除a 自身外，a 1 4 第二章带非局部源的一类反应扩散方程组解的整体存在和有限爆破 命题3 设m 是一个非负矩阵，a = = ，一m = ( 。玎) 。是奇异的非负的，且除a 自 身外，a 的每一个主子式都有正的行列式，那么存在a = ( c 吣“。) 。其中嘶 0 使得 的特征值a 和相应的特征向量。一( n h n 。) 是正的，也就是说啦 0 ，i = l ，2 n 一个含有负的行列式，那么存在。= ( q - ) 其中啦 0 ，i = 1 ，2 ，n ，使a a 0 o i2 定理2 3 0 ) 的证明：我们运用数学归纳法来证明这个定理 证明：当n = 2 时，根据命题2 ，存在下面两种情况： ( 1 ) a 是可约的，也就是p 1 2 p 2 1 = 0 且1 1 一p 1 1 0m 2 1 一p 2 2 0 1 5 第二章带非局部源的类反应扩散方程组解的整体存在和有限爆破 等。，鼎吵。，百m 2 “1 - p 2 2 一器。( 2 1 2 ) 对于第一种情况，如果p 1 2 = 0 让i - 一n 击( z f ) n 待定，晚( z ，) 满足( 2 1 0 ) ( 本文中的 也( z ) 均满足( 21 0 ) ，后面不再重复) 由于p 1 l 0 使 i n 2 t = 威 ( jv “2i m 2 2 v “2 ) + 厶“1 垃l “2 船。d r 比u ( fv 乱2r m 。- 2 v 札2 ) + 厶矿：，u 2 阳t d z 。n ： ：三：如( z )。a ：乏：。 t 由于p 2 2 m 2 1 与上面的证明类似，取 口m 蜊舻1 ) 击川n 2 2 一) 贰，骝鬻，s u p 搿) 我们可以得到i t 2 在 o ，卅存在由于t 是任意的，所以u 。整体存在 如果船1 = o 证明类似 对于第二种情况，取n ，2 一1 ( 。) 动= n 。2 2 ( z ) 由于笔铲 口( 零向量) a = 卜麓卜= p 麓j 这里1 0 ，i = l ，2 ，n 使a 目( 零向量) 取 。p 梨) z n 妒t 【z j 。 蚴一如( iv 引“。v 硇= 。州m t _ i ) # “”ln l 矗坞殉 矗( 。奶( 训脚d 。 j = l。3 j = l 注意到在a n ( o ，+ o 。) 上砒( z ，t ) = 0 ，在n 上峨( z ，o ) u 。o ( z ) 0 ：l ，2 n ) 根据命题 l ，( 日h ，) 是上解所以方程组的解( i ( ) ，( z ，f ) ) 整体存在因此定理23 ( j ) 得 证 定理2 3 ( i i ) 的证明： 与( i ) 相似，运用数学归纳法来证明 证明：当n = 2 时，根据命题3 ，存在下面两种情况 ( 1 ) a 是可约的，也就是p 1 2 p 2 1 = 0 且( m 1 1 一p 1 1 ) ( m 2 一l p 2 2 ) ：0 1 7 一一 垆 。岸 订 “ 嚣 一 佗 = 0对姒 萨 | 此因 第二章带非局部源的一类反应扩散方程组解的整体存在和有限爆破 m li i - r p 吣器1n z - o ，砉产旷器 0 ，i = l ，2 7 z 使a a = 日( 零向量) a = 卜墨，卜= 卜篡) 1 这里1 k 0 ，i = l ，2 ，n 使j 4 a = 口( 零向量) 取 i t = 扩 = 1 ，2 ，n ) ，。i 2 蝌1 a x 锄s u p u 删i o ( z ) ，1 n 毪r a i ! n 。i 。f l 坞1 。，) 因此 i 。一出。( iv 讯i m t 一。v i 。) ：。a ，( m i - 1 2 茹9 q “lni 行坞，2 ，n 卉( 。吩南( 。) ) ，：，d 。 j = ij = i 注意到在a n ( o ，+ o 。) 上皿( z ，) = 0 ，在f 2 上哦( z ，0 ) u 。o ( z ) ( i = 1 ，2 n ) 根据命题 l ，( i 1 1，) 是上解所以方程组的解( u 1 ( z ，t ) ，“。( z ，) ) 整体存在因此定理2 3 ( i i ) 得 证 定理2 3 ( i i i ) 的证明：我们同样用数学归纳法来证明 证明：当n = 2 时，根据命题4 ，存在下面两种情况： ( 1 ) a 是可约的，也就是p 1 2 p 2 1 = 0 且( m i 一1 一p i i ) ( m 2 1 一p 2 2 ) 0 ，乜2 0 使 窨一墨1 呱o ，窨1 一器“o m 】一1m lm ，一 一 m o l 第二二章带非局部源的、娄反应扩散方程组解的整体存在和有限爆破 对于第一种情况，如果p 1 2 = 0 m 2 1 一p 2 2 0 设i 1 = 也( z ，t ) 由于p 1 1 0 存在c 0 使m c 因而 1 2 t = d 如( v u 2i , 2 - 2 v u 2 ) + 1 1 1 1 p 2 1 1 2 m 2 d xsd t ( 、7 u 2i m 2 - 2 v u 2 ) + j h 妒2 1 u 2 p 2 2 d x 。n “2 ( z ，0 ) = t 2 0 ( x ) t t 2 ( x t ) = 0 m a x 枷s u p 鬻) 曼0 ( in 垆舻2 ) 击 z n z d n0 t t 当u 2 0 ( z ) 充分小时，上式可以满足我们可以得到u 2 在f 0 , t 】上存在由于t 是任意的 所以n z 在初值充分小时整体存在 对于使 p 1 2 p 2 1 = 0 ，( m l l p 1 1 ) ( 竹t 2 一l p 2 2 ) 0 ，2 1 ，2 ，使a a 目( 零向量) 对于f 1 ) ，不失一般性，我们认为a 是下面的形式 这里i 茎七 n ，a ( 。一) ( 。一) = 一m 。一k ) ( 。) 因为ia | 0 所以 a ( 。一k ) 。( 。一) i 0 那么存在两种情况 ( i ) la ( 。一k ) 。( 。k ) i 0 而a k k 的所有主子式大于0 ( z z ) fa k x i 0 而j 4 ( 。一k ) 。( 。一) 的所有主子式大于0 我们不妨假设la ( 。一k ) 。( 。一k ) 0 ，另一种情况可以类似证明 首先根据归纳假设，对于小的初值u k “) o ( z ) ，u 。o ( z ) 足够小，“m + ”，“。整体存 在而对于“h ，u 。根据t h 3 ( i ) 知札- ，u k 整体存在因此第一种情况成立 对于( 2 ) ，取面= n 。t 咖( z ) 令 1 m ! 。a ! x 。( ，。s u n pu 咖i 。o ( ( z x ) ) ，l 一 口s1 m s ；i ! n 。( 1 e 2 i 对于充分小的初值，上式可满足因此 旦 i n d ”( 1v i ；i “一2 v 啦) = n 。t ( m t l 商“ln l 而m j p 如n ( 。q 咖( 。) ) 9 t ，如 注意到在a q ( o ，+ o 。) 上e i ( x ，t ) = 0 ，在n 上吼( 。，o ) u i 0 ( z ) ，( t 一1 ，2 ，n ) 根 据命题l ( 面h ，) 是上解所以方程组的解( u 1 ( 。，t ) ，u 。( z ，) ) 整体存在因此定理 2 3 ( i i i ) 得证 我们来证明定理2 4 2 5 解的有限爆破性 定理2 4 ( i ) 证明：假设a 的f 阶顺序主子式a 。f 有负的行列式，d e t a 川 0 1s f 茎m 不失一般性，我们考虑f 是最小的，也就是说如果p u 。i ) + 正2 ) 鱼“j p u d 。d i “v “t f“t一27：j!?|?：!：i_：x，i?，。 f 三 三器! 二：二：+ 也如直q “j d z 让m p 1 1 p l j z n 2 n( 2 1 3 ) z 0 n0 t = 1 ，2 n 1 s n 显然a l f = ，一尬”因为m z 。f 是非负的，a l 2 的 所有p ( p = l ，2 ，f 1 ) 阶顺序主子式都有非负的行列式且d e t a f f 0 使a 。z 1 令 地2 ( s ( t ) 血( z ) ) “ i = 1 ，2 l 其中s ( ) = s r 待定 u “= “t s 。一1 s7 。i = 。s 。i 一1 + 西。， d i v ( i v 避i 弛一2 v 吼) = s 。t ( m 广1 ) ( ) 陋 ( j 。“t 一1 v 妒i ) 吼n 。妒n t 一1 v 纠 s 。肾1 ( 一1 ) ( m ；1 ) s 。t m m ( 口一1 扣一1 ) ( m l lv p 一2 v ) 一2 2 第一二章带非局部源的一类反应扩散方程组解的整体存在和有限爆破 s 。，( m i - 一1 【n 了11 l v l r n2 ( 。一1 ) ( m 。一1 ) ( 。1 1 ) ( m t1 ) 一1 + n ? 1 1 妒( 。t 1 ) ( m 1 1 ) d i v ( iv 妒l m l2 v 庐) ， 0 忙1 ，2 f 使a ：目( 零向 量) 不失一般性，我们假设0 n ，让鼬( o ) 是一个球，使b r ( o ) c cn 下面我们证明 ( u h ，枷) 在b r 内有限爆破，由此可以证明( n ”，) 在更大的区域n 内有限爆破， 从而方程组( 2 1 ) 的解( ，“。) 在q 内有限爆破 让咖r ( r ) 是下面椭圆问题的解 f 刊以圳“2 以r ) ) 一孚( 州一。以，) ：1 ，( 帅) 1 以。) ：。( r ) ：。 其中酬r ) o r 日r 州o ) = m a x i r ( r ) = 尬i = 1 ，2 f 0 = 如 鳄 ：爿 功，恤 令 扩 z d 谬 三= 。斛 ，厶 苦、 ” 聊 圭 8 2 七ed p ， 。脚 厂，恤 七 第二章带非局部源的一类反应扩散方程组解的整体存在和有限爆破 让s 一南有也_ r ( r ) = 也( 云) = 也- ( s ) 其中如- ( s ) 是上面椭圆方程在口1 ( o ) 里面的解 而且”帮办】2 也1 ( o ) 2 也n ( o ) = 1 嚣o ：r = 。尬不妨设 1 令 生= ( s ( ) 也r ( z ) ) 。ti = 1 ，2n 其中s7 ( ) = ，r 待定 则经过与定理2 4 0 ) 相似的计算， 盟“戒”( | v 乳l m 一2 v 堡) 厶。j n = l 嘶期如 妯s ”铡s r _ _ s 州h 叫一2 _ 1 ( 纛一妒。2 墙。1 “_ 1 ) 1 ) 】 其中c = ；厶。旦n 瑞( jz i ) d x = r “( 厶，鱼阳( i gj ) 咖) = m r “m 是不依赖于r 的常数令 l r 。! ：鱼篓：坚：! 型：! ：竺：! l g i s l g i k i 甄刮曲( 1v 骘p 2 v 骂) 一厶。望哼馏。oze 如o 0i = l ，2 - n 这里垂m ，( u ) = i “p “m 廿j 以直接验证光糟函数蛳( r ) 是( 3 2 ) 的解当且仅当它是算子 t ：x x 的一个不动点： c 晰，= 烈8 c 驴p 删南州吲峒 这里x = g ( 【o ，捌，r ) lj “i i o 。= s u pl “( r ) i r e 0 ，r 1 引理3 h 算子t 是连续的，紧的 证明：首先我们来证明紧性 令( “。) 。是x 上的有界数列，存在m 0 ，使l iu 。蔓m 对所有m n 旧嘶凇m f “, 器z r ( 胁8 n - 1 删南枷i ( t 。) ( r ) i ”。1 ( 。( ij如) ”。1 枷 另一方面 旧埘) ) ( 训= 脒) m j 矗= l u 嚣( s ) d z m 耋器脒) a s 第三章相应椭圆方程组解的存在性和不存在性 由于( t u 。) m 和( t 1 t ) 。_ 都是一致有界数列，运用a r z e l a - a s c o l i 定理，存在( t u d x 和予列( t u i m 。) r 一致收敛于t u 在【0 、r 】上 证明t 的连续性取一个数列( u t m ) ，。一致收敛于“t 在【0 , r 】上，根据控制收敛定 理，所有一致收敛子列( t “。) 。有极限y 1 由于t 的紧性，整个数列( t u i 。) 致收敛于t 1 t i 定理3 1 若a 是非奇异的m 矩阵，那么方程组( 31 ) 存在正的径向解 证明：设集合 z = ( u 1 ，t h ) c ( b r ) ”；n ：q ( r ) u ：( r ) s 晚) = 1 ，2 n( 3 3 ) 这里a l ，b i 为正的参数，在后面确定q ( r ) 显然z 是b a n a c h 空间x = e ( 南) “上的一个有界闭凸的子集 令 由引理3 1 知算子t 是连续紧的，所以我们只需证明t u 。( r ) zi = l ，2 n 根据s c h a u d 。 不动点定理，我们就可以证得结论 根据( 3 3 ) ，我们有 这里c 。：铲皤( ；) w t d 叫南枷 当0sr o 时 弛垂嘉嚣f f z 。c 删南硼 这里c 2 ：。耋器臂【臂( ；) w 一，d s 】南瑚 2 7 ro棚 芒。 萧 出 d o 一尸 r ； 0 使u j r u ? 在五上下面我们来证明 这里( 。，i ) 。按如下定义 “j r “x u ；对于任意k 1 成立 n f k + n k ：l ，( 35 ) 式显然成立假设( 3 6 ) 式对于( 1 ) 成立，则 ( 35 ) o 。1 = 1 对于 z r 【z 8 c 一壤嵋酬南枷r 郭k 器厅0 8c 。垂孛s l 南枷 s 一臼 ，、。 r z 尹 0 。一 一 塑兰童塑鏖堕圉堕堡塑壁堕壹垄堡塾至壹查壁一 = t “( 2 u i ( zj 这意味着( 35 ) 式对于k - t l 成立由数学归纳法， ( 35 ) 式对一切女( 21 ) 成立- 由于 a ：，一m 是非奇异m 矩阵，p ( m ) ( m ；一1 ) 对r 0 ，有 妻若c 鑫，一1 c 品，一1 r 一，。，。 证明：方程组( 3 6 ) 可以写成下面的形式 一( 垂。，( u 7 ) 。) = 中r “1 u ：( o ) = 0 对( 3 7 ) 式在( o ，r ) 上积分， 巾炉1 1 ) 2 z 7 j 必= 1 p 寸- 1 d s n 7 8 9 ， p p 2l = z n 第三章相应椭圆方程组解的存在性和不存在性 通过( 39 ) 式，我们可知u i ( r ) 在( 0 ，i - o o ) 上是单调递减函数所以 u ( r ) 运用( 31 0 ) 式， n - ! 虹 矗【1 1u “( r ) u 。( r ) 】 解这个不等式 所以 从而 m i 一1 l _ 曼 一 兀u ，“( o ) “i ( 0 ) j = l 。 n 等r n i 一- - 1 ，直。“产c 专，南r 南嘉u 尹 ( 嘉) 寿r 南堕杀掣 n ：产几( r ) 2 n 旦 兀u - “( o ) “i ( o ) j = i ，三、币丝 、n ； ( e 一1 ) m i 1 + ( 专) 南掣 n m 声( 讹( 岖击南 m t 一1 所以原式得证 引理3 3 ：若( “h u 。) 是方程组( 36 ) 的正解，那么 ( m 。一1 ) r “：( r ) + ( 一m ；) u 。( r ) 0 证明：方程组( 3 1 ) 可以被写成下面的形式 ( m z 一1 ) iu ：f m l - - 2 地i , + 1 _ = - _ n 壬。( u ) = r m t 一1 鲨，景 m i 1 盯k ! ! l 鬲三i p 4 。1 ( 3 1 0 ) 产 “ 。爿 南 南 ，一 南 如 p 小 声 。h 南 刍 如费 n 一 守忡 矗一 掣掣 鬲 而 蕊 蒋 0r 中 。础 第三章相应椭圆方程组解的存在性和不存在性 所以 。 ri i p 。2 m 训讥啦叫2 再赢p b 1 1 ) 令尬( r ) = m 渺) + 等等讪( r ) 根据( 31 】) 式可得嘉峨( r ) 曼0 r ( o ，+ o 。) 所以慨( r ) 是 非增的 下证对于r 0 ，慨( r ) 是非负的假设慨( r 1 ) 0 u n 箸r 。1 叫r ) r ， 因为u 。是非负的，所以 u ：至t - - 1 慨( r 1 ) r q 从r - 到r 积分 蛳( r ) 一m ( n ) 且磊( n ) l n ( 三) r r 1 所以，里华u t ( r ) 2 o o 这与啦( r ) 是非负的矛盾所以慨( r ) 是非负的 因此 一r 面n - 丁m i l ( r ) 。一m i 所以原式得证 定理3 3 假设m m ：一1 ，p l j 0 ( i