（计算数学专业论文）抛物型方程的自适应方法和部分迎风格式的后验误差估计.pdf

第一章抛物型方程非结构网格的自适应方法 r 前言 某些偏微分方程的解ft 不同时刻、不同的局部区域带有突变性，f ,i 此，在数值求解 的过程 ， ，)们一方面要追求高分辨率的计算方法，以表现解的局部形态或追踪解的变 化特址; ; 方面也必须考虑求解时的计算成本或者计算过程的可实现性。此外，在某 此清形下 还需要对求出的数f ft 解给出误差估计但传统的数值方法不能很好地满足) 、 门 的这些i 补 去 成为近二 卜 年来人们研究的重要课题 何为自 适应方法?简单的说，自适应方法可以在不了解真解的情况卜 ，利用问题的 已知条件和计算解来估计数值解的误差从而控制整个计;, 1) 过程，王要是局部改变网格 ( 或者局部改变数值解的 i_ i 近格式 ) ， 以用较低的计劝成本得到符合计势者精度要求的数 液解，其中关键技术是后验误差估计、自适应网格的生成以及数值实现 常见 的分类方式将自 适应方法分为三大类: ! t 一 加密门t - r a rf i tu e u u t u ) , p - 加密曰)- i fi u r u u v t ) 1 1 r - 加密( r - r o l i u r u t e u t ) 它们分别是局部网格加密( lc i a l u u s h r o fi u o u i o u ! 1 、 1 阶数加密( m e a l o r d e r t r f u te w e t d) 和自 适应运1 j 网格(u l a p t i v r u u e i u g w o s ll， 勺 简 际 简单的说， i r加密是右解变化剧烈的区域助 u t 网格点， l 解比 较几 援的区域延 扫戈 少网格奴 ; i 一 加密是在求解区域中的某些单元上增加或减少巡近的阶数; 卜加i ,: 创脸 固定网格点个数及插值次数不变，而通过改变结点的位段以追踪解的变化特征 这- - 4 i, 自 适广方 法也可以结合起来，成为h - p , i t- r , r - p 甚至i t- h - r - 如 密方法。 本文简要介绍抛物型t j 程非结构网格自适应方法的儿种类型，分别给出它ii 1 的 一 些 冬号文献 , 2 椭圆型问题的自适应有限元方法 自i ! l7 i; i l 13 ,i l i u s k a f l i i d l w i t il m l d t 的开拓性工 作( 1 1 2 . i :3 1 ) 以来，二 适j立 有g 民 ) c l 1 , 其 、 最小的! 划才 换取最*f3加占 粱”引起犷 数值分析家的强烈兴j la 大员丈献付椭圆问yl-ii 沙 f f 了 研究， 至令发展已 经比 较成f 4)比如 线jl : 问题可见 !少 . 斤 1 .s . 3 5 . 5 1 ，卜 线性问题f 3 9 . 7 3 . 7 9 . n i ， i剖侧 司 题见 2 司 这 为 一 面 的文 献 汗牛 充栋 不 作 为 本文 重r5 详 细 情 况 i 以参 阅 o r ti u l h 在 (7 8 _ n o中 的 叙述、a in s w u r t h 和( h le i ， 的 综述论文 =j、 综 述 i; 4 .- 及匕 述所提文献中的参考文献。 按照 即. i s 的分类，关干椭圆问题的后验误差估计技巧大致有以下几类: ( 1) 余里估计( r e s i d u a l e s t i m a t e s ) 或显式单元余量( e x p l i c i t 。、 。 ， 。 : 、， ， ， r e s i d e 、 ) ii i b - 程余员的适当范数来作为误差界 ( 2) lcj 部问题的解 “ h c t i ， ; i i ， s p r o b lc 、川 、) 或隐式单元余量 (i m p l ic i t e le u n 、川 ! s u l n u l. :u过解一个一与凉1 i 题相似但更简单的局部i司 题，用局部解的适当范数来1 占 i j i t; y ( ) i (1- ii)i1 的光 验估计(h a r p a p r io r i e s t i m a t e s) 或插值误旅界(i ii c i p o l , 、 n , 、( ， i n n u u l ) : ( i s 要与j o h n s o n 等人的工作有关) ，用计约得的数值解的高阶导数来代替出 现在先验f i 川中准确解的高阶导数 ，i ) 卜 均法( a v e r a g in g m e t h o d s ) : 使用局部平 均技巧来沽 计误差 各种 技巧的代表作可参阅 ( 7 j . 1 8 , (i 2 中 提及的文献。无论使用哪一种 技巧， ; 一 劝 一 后 验误差估汁的成本都应该小干计算原来的离散问题的成本 令 和， 分别为连续解和离散解， c ， 为后验误差估计过程得到的逼近误差，则后 验误差径 1 : 1一 1均目的是求得 ( : 一 一一 t 一兰 卿 c _ ii一 t, i i i l ,扣一川一 址某仲适当的范-( 在 时问离散t1洛i i - t ic ( ) d t 、 丫 cr i 军 r v 八 一 .火 ， rrurla j.ji ) , ( s ? 卜 i i( . 2 ) t 亥范数有咤质 、 ， 三、 t ， 1 ， 刀 ( 、 . ) f l ! 误差方程可以写为 ( 2 ) 一代 : ! ，; 一 r tn ( , l, , i t r .n () 一 ji 2 ，由新范数的定义及性质有 d .1 一 ( 豁， ) 了 2 ) 一u刁 ， t .，、: 、，、血rt,(v)(ltdtt1 jo j,t - 进而可以将抛物型误差的 l v r 表示为某一 椭圆f ull 题的解的某种范数 ( 或表达式 )大 ;。 : ( !: 一 ，)。 .!二 (，。 + (。 、 )， stl2d l)= 三 e 士 中 h ( ) 乙 丫 s l ) 对所有 t 成t i . 。 ， “ ，卜 12 (t - t) ( . )t.=aft， 一 “ t ( ) v 。 e ( 一 加密估计，详见 下文 ， “ p 一 加密” 节 3 . 2 1 i 一加密 自适阿方 法发f9 至今，/ ， 加密的q去最为常见， 如 门2 .) . 3 6 . g j . 最旱 的 仁 你 ， -, ， .山， ，1 日气和13 a b i ts k , 虑厂 问n d ic - ( ! 川 r+ 1 妇 州八哟 二 i ( 才门( o ( ， 任几) 洲 。 .、 、 j 二 。川卜 ) ， j 二 1 ， 2n 几为p 次多项式空间 : 。n ,p is o 一 日s p . s o 亨 一 回二 加。 7 p , 十 ， 、: ( x ,: : ) 其余点为。 f . 可作为校正量,: 满足日三c ( t j ) h z l + i 。 m 。 、 在 16 7 中讨论了 半离散情形的误差估计和非线性问题的全离散误差估计 ti o o l l 在 7 6 中对 6 7 的非线 性问题做了 半离散误差估计， 其结果可作为自 适应i 日 补 止 程的一个基础，用于 任意时间离散的全离散计韵 - 对于非线性问题: u , 沁( 叫l ,) 。/( ): ( 川 =v ,八门 t ) =v .( i . ) =( ) ( ( . i )f、u 日 i 0 t 7 使用i 。 阶分段多 项式作基， 进行g a l e r k ii ， 有限元离散， 得到离散问 题: 求 1 1 ( 0 . t : ) “ ) ， 1lt 1 4 ( 艺 咖 ( 。 u . i ) +( a ( u) 8 , u , 8 , -v ) ( 川， 1 w, u , 认的 v v 砰，尸 ， 二 ( a 0 1 0 ) 0 o0 , 0 .， 二 ) t. ( 0 , t d 7 : 群， ys (1产= 0 其 中时一 ij 是 有 限 维子 空问 丫艺)=l 5、尸 ， :， ( ， ) 入尸 i i /, ， 川、 艺艺 ， 、 。 川 t 二2a- 2 小; ( 了= n 人 二 川 是分层荃函数 币 ( 川 二 ( i 卜 i 1 ) / ( .，一i i 一 、 1 i / ( .1 一 1 一芍) ( 1 勺 1 三i 勺 勺 三7 :1 十 1 其它 n 一 1 仪 卜) 山 :一 ! 三二了 价 少= n 川日 汗亘犬 ( ) 其它 a = 2 了 ) !u 1 )l扫) 是 代 7 i 执 于 、， 、 ，比 u更高阶，记 万 二c 则 r? 积分，5 ;- 钟m时丫f i 分法(知 扮 :， , i . p a 。 关厂ii i 一 加密的背景，创尸iii i 兑 明 t l i m ，可参见 旧 i ll . 拓 1 3 . 5 r 一加密 近几卜 年来， 运动网洛 法( m o v i n g - m e s h n u et.l i u d)( 卜加密) 被应用y 1) 依赖于 时ill 的p d e . 的求解上， 在处理如带有陡峭运动波前、 突现的陡峭层、 振荡、 激波等抛物和双 曲乍 程时大有作为 如名所j 几 ，这砷方法的网格点是在空间一 时问区域里连续运动的，并且集中在解比 较陡峭的位段为此需要设计 一 个运动网格方程，它与 物理方程 一 起村 j 成方程组术知 ; 务 是物理解和网格当网格以规则方式运动f时，运动网格力 一 程能有效的表现网格的自返 启 但是、这个方程常常准以钩造;此外山护 网格运动以很高的 卜 线性形式与物即 川 紧 密联系在 一 起，导出i吴 一抉 分析也很困难然而、由于网格自适应使用厂 一个显式的庄 劝网格方程.通常可以证明容易设计 一 个运动网格法来模拟原来的物理 p u g的基本性 0 , !_ 解的力 学特hi 叮 n被f i r 的捕捉到( 2 7 . 2 8 1 1 吏重要的淤、t二 功网格注容fi t 9 , 现 程i f ,这使该方 江在科 学扣i 程领域叮以有广阔的应用. 关1 - - - 维的运i j 网格去已有了大r t 研究，如 1 , 2 . 3 0 , j b . 6 :j . 肪. n 6 . 3 3 , .; ii . - 1 ; ii m i lle r l 7 r .n . m i l lr i 在 b :; 中， 对网格调整， 使得方程的残量按l 2 范最小 以线性问题 曰 、 与 例: 将1r1 . 叫洲分、 1 i 、 二 ， 、 ( ) e时，: 川和: 一 川移近;当i e , v ) j i 0 , 用” 尸 (s 2 ) 表 示 通常 的s u h u lm 1,0 1 , f i i i ? b 勺 范数记为日 比 2 ; f l il h c r t 空间h ( s 2 ) 的对应范数记为ii ii , .2 .! 2 考虑 几 维对流扩散方程的初劝值问颗 ( 1 . 1 ) tt 甲 ， ， ( .，t ) +c i l ( e , t ) = ， ( 二t ) = ， ( 二 ， ( ) ) = 任s 2 . t 任( ( ) 任0 5 2 , t 任( 0 + 山 2s 2 !、!、 其 中t， 一 ， /， ) l 2 ( 0 . t : i f ; i ( s 2 川 2 “ : ) 。 ft , l ( u ) / ( a 、 t ) ( 1 , o p) i l 2 ( 0 . t ; 叫( s 2 ) ) ()2 ) ;， ( t a i 该问题的变分格式为 州. 川= 且 褚 ， 、 ， 求， ， e i t = u 2 l 2 ( 0 . t : h o ( 2 ) ) . 、 ， e l 2 ( 0 . 7 ; h 一 ( s z ) ) i ，使 +i ( u . o ) 二( fv v 任 h ( s 2 ) , t 任( t 1. ? )( 1 2 ) 。 (?. ) 一 /, (b c , + cat) u rla 甲 洲1卜 山) 1 , i 得剖万 使角 为 i t ( 少 仁 u i n x ; , ， ， ， 和f 小川 卜 的对偶对 可以定义 能量范 ( 、在时i ) ) x 域 ! i i . t i 上 作( m 分: i 咧 习二“ ( 11 . 11 r 二 了 v 对任 n a工 、 当，二门v 时， 对s i . i午 分r 庄 ih 1 1 , 、 海 个x的直 径 均不 大于a . 。 假 设网 格价 , t ) x a ; h e 军 ， 1 ii= ( 的意z: 正则， 即若嵘. ( 以) 为 包含( 被包含 于)( r ,1 - 1 , 0 ) / h 的最大 最小 曰肋军庄 !|月匕 v k任t ,; 叼尸 得 使畔一嵘 球的直径，则存在正常数 if 是可知存在与1和: 无关的两个常数 ( “满足 丁 人 ( r ! !一 丁 角剖分军 了 二1 . . . . . n亦正则 . 始 终假定t ; 是 容许的 ( 即两个川 h 的 一 角形或有 一 条公，仁 边或白 公共顶点 弱锐剖分，即所有三角形的内角 满足() 、 二、 三恶 ，其中 卜 、 不依赖于1 记n为 所有内结点 扫， 的指标集，、为结点 、的所有相邻结点的指标集 上 的由分片线性函数组成的有限元子空问为 1 1: ， v h 二s p a 7 1 1 ?/) , ! 4 . ( 二 ， ) =n 入 自h( s 2 ) ，其中 .) 生门 了1!j吸it 一一 川 c 0 ( s 2 ) 、1 为相应的l a g e a i i g o 插值。 我们引入t , 的外心7f !i 对偶剖分 s 2 ; 作为 2 t自一 欠 剖分， s z ;， 二 ， es 2 一 一 r 一州1 . v .r , e s ? j 6 相黝勺 s l ; 和卿， j e n 的 公 共 边 记为只 ) ， 斌 的 面 积二 。 s _ ( s 2 ; 和11 的 长 度， ， ( 1 ;, ) 分别 记为， ， : 和川 为 在 二 次 例 分的基 础上， 找们 可 以 定义 三 次汗 叼 全 . 记川 为 i+ 1 i ; 和 其 相 对的 顶点 ， 组 成 的 角 形 ， 这 个 三 角 形 义 叮 表 示 为 两 个 三 角 形k 夕 ，. 一 2 的 并 ，k (夕 的 共 同 边 界 是、。 连 线 的1 半 。 记 ) 一 r ;, a 川 夕 片 ) 二 ， 。 。 (i 卜 尸 二 ii i 一 引 ! 注 意 有 关 系 ， 2 ( 1c 片 ) 一 内心 成 、 4不引起此义的前提 卜 ，勺方f 起见 下 文 “ 将适当地省 略丧示时间层数的1 7 号日 写 2 离散格式 定义( . )为 质里集i f 的l = ( s 2 ) 内积: ( v . t 1 ) ， 二艺 : ， ， 然后可以定义对应的范 , f、 角 一一 宁电 补 洲 汀艾 尖女 使用肠 ， 洒 隐格式和部分迎风有限元格式在时问和空间方向分别进行离散，得到该 问题的数值格式 ， 父 =1 ; ， ， ; 对? * =1 . n， 求畔( 二 ) 。 岭 ， 使得 卫或 二 卫 汇 式 之 ; 夕 ) ， + ， ， 川 二(j7l . 哟v ? ， 环 “ 其中 ( 心 ， ) 十b( 心 ， )( 尸. 川 一 粼 刀 刀/ 州 又， 又 汀 :) ) ( ， 锐 一 艺片 刀 ， “ :、 产 仁 、 斗公 了 一 锐 尸而几 鱿 ; ， ， 分别表示 j ， ， * . ， 1 在结: ， 的值 屹一占 格 式( 川) 中 ， 对 流 项所含 的 部 分 迎风 参数弓 可 适当 选 取。 比 如 + 。二 而;j ) 一 1 ) ( ) 二 1 ( ) 引日h勺u勺 月门门刀 一武 l一 11.上勺乙 厅 :; = 此门 )( 一 吩) 一 1 二( v丫 ， . 甲沪) 其中川 ， 为 网格p 八 l(，t 定 义 数:川 七 泣 侧 今 户 泛一 /j ， 哟 ( 上 f) 二1， ) : ( ， ) 一 抓 7j一 1 产 刀 一 丈 ” 1 一 ( .了 ) 了 冬 产 t ， f任亏 2 尸之了 i 则 ( 2 1)可写成 ， 十(i叫: 司=(/刀司， 饰 ， : ， 冤 3 后验误差估计 又 寸 梅个人 一 不= n， 记嵘 为其三边的集合. 对刀， 的每条内 边界1 鲡胡 法问 引入 j 了， 叫 衹叭 汀 f脚1;1 投影算子 川 表 示f 、 : 尸巾 一 / “ 在边 1仁 的跃度，记为 犁 州) 泞r 、 汉 刀， ， (l 一t ” 一 )l/!厂厂 刀了八 “ l 4 对误旅 。 二 定义其后验误差估计的估计器为: al 艺r , t 一 (i 仔六 -1 ， 写l l , i ， !s i . 、叫了 l ) 共 漪 厂一l又1 卜(万万 一 咖 +u ;, l d :c 一 皿心毗 焦 产 弋 胡 一 f) 7i 18) (it ) i 一毕息 御一1(2 (-拟 十 (一 ,)?l x二牛 ，: “ )，。 ， ， 八 万 j 一 了 一 八 仔 至几 竺产 二 二+ 二 一二 二 心 一 叮 、一 r 一r ) l / r r 八r 一1 “) 户 ( r c一端， 川) : 2 , i f 而 、 ( / 知切 ( u h 一; 川 ，、 定理 3 . 1 fu i x f e l 角刊分嵌套，即 1 ,1 :1 当 j无分小时，对 ， n . t i / 川，网格( l t - 1 t ) / k . k c 刀 、= cn,则存在依顿于 2 的尺寸和常 . n 正则，且三 数 ! 3 的布 数 c， 、 有 ，( ) 4 , 、 厂 川ll i 击生)。:.、，+ ，榕 劝 2 ( 3 . 1 ) 证明i s 义户 ， 为 ). ) 十 厂 一 :，卜 id t 一一 厂j ) 则 i 义j丁 ， j 勺 i iiii ) a f 动一胡 l人 c (d u ),.( )t 了 ) 十 。 (、 下 万 曰 丫 i u 可知 努 al 以i 了 了.1八 i i i ( 2 ) 、 惟理 ( 2t 1 i 汗伯 : f. i . t 日几 积分 / “ 刁 7 1 1 丁 8t a , ( r s ri . v ) ( l t 州 1 5 几 两式相减，右端各项分别为 (/ 一0 u h , a t 。 ) 一( f 0 u h , at 架 二 )(e(h 11- )(d 1 (1711- )(p111 v +vu ,0 0 7 1 1 . 。 一) v i l d x 刁t 训刊 7 ) 十(/一 j , i 1 少 7 6 i 丁 at 0 1 1 h - 十 dt ( : 3 2 ) r了( 了几rl小 艺目至以 引曰内 下. 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