（计算数学专业论文）多边域曲面和代数曲线的构造和实现的研究.pdf

硕士学位论文 提要 提要 根据逆向工程中遇到的不规则曲面造型困难，复杂等问题，本文对 多边域曲面造型技术进行了研究，介绍了多边域曲面造型中涉及的b 样 条曲线和曲面方法的基本技术和理论，多边域曲面数学模型的建立，多 边域曲面技术实现方法，并指出其应用前景。 本文利用计算机图形显示技术，以v c + + 软件为应用平台，针对具 体的曲面方法，对多边域曲面的实现及其b 样条方法的实现进行了研究 和探讨。以下为本文的主要内容： 1 介绍了c a d 技术与理论的发展及其在车身工业中的应用现状， 并提出车身逆向工程中面临的主要问题，阐明了进行多边域曲面技术研 究的意义。 2 阐述了曲线、曲面的基本理论，主要说明了曲线、曲面的参数 表示方法以及参数表示的几何不变性。b 样条曲线和曲面的有关理论是 多边域曲面具体实现的基本技术，因此对其进行了较为详细的介绍，成 为构造多边域曲面不可缺少的一部分。 3 本文在格林格里多边域曲面理论研究成果的基础上，结合最近 b 样条理论研究的新成就，创造性的提出了一种用b 样条曲面理论来构 造一般多边域曲面的思想方法，并且给出了该方法的具体实现步骤。 4 简要介绍如何在v c 平台上实现图形编程，详细阐述了多边域 曲面技术的实现流程，最后开发了简单的应用程序，并给出了几个例子 的计算结果。 关键词：多边域曲面；计算机辅助几何设计；b 样条；代数曲线； 硕上学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t a c c o r d i n g t ot h e p r o b l e m st h a t t h e i r r e g u l a rs u r f a c em o d e l i n g d i f f i c u l t ya n dc o m p l e xi nr e v e r s ee n g i n e e r i n g ( r e ) t h i sa r t i c l er e s e a r c ht h e n s i d e ds u r f a c em o d e l l i n gt e c h n o l o g y ，i n t r o d u c et h eb a s i ct e c h n o l o g ya n d t h e o r yo ft h eb - s p l i n ec u r v ea n ds u r f a c ei nt h en s i d e ds u r f a c em o d e l i n g 、 t h ee s t a b l i s h m e n to ft h en s i d e ds u r d a c em a t h e m a t i c a lm o d e l 、t h e r e a l i z a t i o nm e t h o do ft h en - s i d e ds u r f a c et e c h n i c a la n dp o i n t so u ti t s a p p l i c a t i o np r o s p e c t a c c o r d i n gt oc o n c r e t em e t h o d so fb l e n d i n gs u r f a c ea n dt a k i n gv c + + a s t h ep l a t f o r m ，t h i sa r t i c l er e a s e r c ht h er e a l i z a t i o no fn s i d e ds u r f a c ea n dt h e b - s p l i n em e t h o dw i t ht h ec o m p u t e rg r a p h i c a ld i s p l a yt e c h n o l o g y t h em a i n c o n t e n ta sf o l l o w s ： o n e ：t h i sa r t i c l ei n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n to ft h et e c h n o l o ya n d t h e o r yo fc a da n di t su s i n g i nt h ec a rb o d yd e s i g h ，p r o m o t e st h em a i n p r o b l e m si nr e v e r s ee n g i n e e r i n go fb o d yd e s i g h ，e x p o u n d e st h er e s e a r c h s i g n i f i c a n c eo f t h en - s i d e ds u r f a c et e c h n o l o g y t w o ：t h i sa r t i c l ei n t r o d u c e st h eb a s i ct h e o r yo fc u r v ea n ds u r f a c ea n d m a i n l ye x p l a i n s t h ep a r a m e t r i cm e t h o do fc u r v ea n ds u r f a c ea n di t s g e o m e t r yi n v a r i a b i l i t y t h er e l a t e dt h e o r yo ft h eb - s p l i n ec u r v ea n ds u r f a c e i st h eb a s i ct e c h n o l o g yo ft h er e a l i z a t i o no fn - s i d e ds u r f a c e ，s ot h e e x p l a i n a t i o ni sv e r yn e c e s s a r yt ot h ei n s t r u c t i o no fn s i d e ds u r f a c e t h r e e ：w i t ht h eo t h e rr e a s e r c hr e s u l t so fn s i d e ds u r f a c ea n dt h et h e o r y o fb s p l i n e ，t h i sa r t i c l e p r o m o t e sac r e a t i v e m e t h o dt od e s i g hn o r m a l n - s i d e ds u r f a c ew i t ht h et h e o r yo fb - s p l i n ea n dg i v e so u tt h ec o n c r e t es t e p f o u r ：t h i sa r t i c l es i m p l yi n t r o d u c eh o wt od e s i g hp r o g r a mw i t ht h ev c p l a t f o r m ，d e t a i l e de x p l a i nt h es t e po ft h en s i d e dt e c h n o l o e y , d e s i g ha s i m p l ea p p l i c a t i o np r o c e d u r ea n dp r o v i d e ss e v e r a ls i m p l ee x a m p l e s k e yw o r d s ：n s i d e ds u r f a c e ；c a g d ；b s p l i n e ；a l g e b r a i cc u r v e 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特另t l d n 以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其它人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获 得中南大学或其它单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：羔遂卑 日期：二丛年上月卫日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的 全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校 可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 储繇摊聊躲塑嗍盟年上月垃日 硕士学位论文 第一章概述 第一章概述 1 1c a d 技术在车身工业中的应用 1 1 1 c a d 技术在汽车车身工业中的应用 c a d 技术问世以来，已走过了近3 0 年的历史。c a d 技术迅猛的发展，使人们 从幻想象魔术师那样进行“设计的梦想变成了越来越实用、高效的设计手段的 现实。计算机具有高速数据处理、海量存储、形象生动的图象表达及快速通讯等特点。计 算机辅助设计( c a d ) 技术，将计算机的这些特点与人类的创造思维能力及推理判断 能力巧妙地结合起来，形成生产力要素的优化组合，为现代设计提供了理想手段。这 种人机优化组合的必然结果，使产品质量得到改善，缩短了产品开发周期以及降低了 产品的成本。c a d 技术成为工业发达国家制造业保持竞争优势，开拓市场的重要手段。 c a d 技术所带来的设计、制造水平质的飞跃已经在发达国家显示出其巨大的经济威 力。在我国，c a d 作为关键共性的应用技术被予以高度关注，并在机械制造、建筑工 程、轻纺化工、船舶汽车、航空航天等领域普及应用，成就显着。 现代汽车工业日趋国际化。在汽车零部件几乎都在以“全球采购”的方式发 展的今天，作为新车型象征的的车身，其设计与制造则越来越成为汽车设计和制造中 工作量最大，耗资最多的部分，也越来越成为生产和销售的关键。由于其构成特点，车 身的设计思路和流程与汽车其它零部件或总成大不相同，对设计方法和手段的选择也 有特定的要求。 汽车工业c a d c a m 技术的开发与应用已有近3 0 的历史。目前，在技术先进的国 外汽车行业，c a d 技术的已经成为汽车车身设计领域使用的常规实用技术。国外大 型汽车公司和设计公司具有较强的汽车车身创意和造型的能力，一个公司内就开发 过几十至几百种轿车车身，积累了几十年的轿车车身开发经验，并已形成汽车制造 企业各自的品牌风格特征。在计算机造型技术( c a s ) 应用方面，国外大型汽车公 司和设计公司已建立了相当规模的成套的硬件、软件系统，运用三维c a d c a m 技 术替代了“主图板、主模型”为主的传统设计方式。与传统设计方法相比，采用c a d 技术进行车身设计，可以直接在计算机内进行车身表面建模，省去大量的模型制作 和图形手工绘制时间，提高精度、缩短设计周期，特别是使用计算机进行车身表面的 描述，可以在后续工程分析，乃至结构和工艺分时完成，并可对模型做了修改之后再 定型，因此能够避免车身设计过程中出现类似重新定义这样的反复工作，节省了大 量的资金和时间。 汽车车身设计过程是一个多种意义上的集成系统：多学科、多领域知识的集成，多 种设计、分析、决策功能的集成，多种类型数据的集成，以及人与计算机软件、硬件， 1 硕士学位论文第一章概述 设计技术和数据的有机集成。同时，在设计过程中具有的反复性、并行性和模糊性( 不 确定性或不完全性) 在一些评价、选择和决策过程中许多需要设计者利用经验和智慧解 决的问题，都提高了车身设计造型的难度。因此，从集成角度来考虑车身的c a d 系 统，车身设计过程是一个需要多个子系统在统一的协调管理之下，在统的数据库的 支持之下，利用各种理论和技术手段才能共同完成的过程。 当今的c a d c a m 技术已是衡量一个国家汽车工业发展水平的重要标志之一，也 是衡量一个汽车制造企业技术水平的重要标志之一。两作为新车型象征的车身，其设 计和制造水平更是汽车工业技术水平的重要标志。国内外车身c a d 的发展及成果有目 共睹： 美国汽车工业c a d ，c a m 的开发应用已经有近3 0 年的历史，一直处于国际领先地 位。早在2 0 世纪6 0 年代末，美国的福特( f o r d ) 和通用( g m ) 两大汽车公司，就开 始研究如何把c a d c a m 技术应用于车身设计。当年福特汽车公司开发的 c a d c a m 软件系统p d g s ( p r o d u c td e s i g ng r a p h i c ss y s t e m ) 在造型设计、概念设计、 车身底盘和内饰件设计方面起了重要的作用。p d g s 不仅具有一般绘图功能，而且具 有较强的非规则曲线曲面生成能力，以及用于n a s t r a n 分析的前后处理功能和公 司内部使用n c 功能。美国另一著名汽车企业克莱斯勒汽车公司也很重视 c a d c a m 技术的应用，该公司的所有设计工作都是用c a t i a 系统来完成的，其在 车身设计方面的功能与p d g s 不相上下。 法国雷诺汽车公司在积累研究经验的基础上，在工程师们的努力下开发出了 e u c l i d 软件系统作为自己的主导软件。随后，结合产品开发的需要，雷诺公司在 e u c l i d 主导软件的基础上，又开发出很多适合汽车工业需求的模块，例如： m e g a v i s i o n 就可以用来生成曲面模型和进行精确的光顺处理。 我国汽车工业九五规划纲要明确提出要以车身开发为突破口，形成我国轿车 自主开发能力，车身开发要达到国际9 0 年代先进水平轿车车身占整车总成本的比例 约为l 3 ，甚至接近1 2 ；而且它又是汽车商品性的重要标志；轿车车身更新频度高， 技术进步快。因此，我们要把车身开发能力作为轿车自主开发能力的突破口。在我国， 8 0 年代开始引进一些先进的计算机绘图设备和软件，从此计算机辅助设计技术有了 较快的发展只是近年来国内几家主要的汽车制造企业才把车身c a d 技术的应用作为 一个新热点，不仅轿车的车身设计广泛采用计算机辅助手段，而且卡车新产品开发也 开始应用车身c a d 技术。长春汽车研究所开发了汽车车身表面造型及结构设计程 序系统，达到具有绘制主图板、车身零件图、提供加工主模型n c 带、制造主图形的能 力。北京汽车摩托车制造公司在引进的a p p l i c o nc a d 系统上进行了二次开发， 研制了车身c a d 系统，较成功地应用于b j l 2 4 、b j l 2 5 等多种新车型的表面光顺和 造型工作。一汽集团在车身c a d 应用方面成效最大，轿车、中型卡车和轻型卡车 三大系列十几个车型都采用了车身c a d 技术；东风汽车集团和其余轿车基地也有 2 硕士学位论文第一章概述 相当的应用规模多年来重汽集团济南基地先后对b r a v o u g l i 和p r o e n g i n e e r 软件环 境下的啦面设计做了不少探索工作，也积累了一些经验。尽管国内汽车行业在车身 c a d 方面取得了很大进展，但与国外先进水平相比，我国的c a d 技术起步较晚， 应用水平和软件的开发能力还有待进一步提高，还需要多方面参考国内外的研究成果 和经验，引进国外先进的c a d 技术，同时密切结合我国汽车设计生产的实际需要， 进行深入的二次开发，从而研制出水平较高、功能较强、使用方便而实用的车身c a d 软件。 1 1 2c a d 的基础计算机辅助几何设计( c a g d ) 1 9 7 4 年召开的u t a h 会议上，b a r n h i l l 和r i e s e n f e l d t 2 1 第一次使用了计算机辅助 几何设计( c a g d ) 这个名词，从此，以几何造型方法为主体的c a g d 开始以一门 独立的学科出现。c a g d 主要研究工业产品的几何问题，它是各种几何外形信息的 计算机表示、分析与综合、以函数逼近论、微分几何、计算数学，以及数据技术为基 础的边缘学科，其核心问题是计算机表示，即要解决既适合计算机处理、且有效地满 足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学 方法【1 1 。经过不断发展，c a g d 理论不断深化，方法日益丰富，应用愈加广泛。对 c a d c a m 技术来说，c a g d 是它的理论和关键技术之一。现在新的几何造型方法一 经出现，便往往很快反映到实用的c a d c a m 系统中去。c a g d 中的曲面造型技术 是c a d 和计算机图形学中最为关键的学科分支之一，它随着c a d 技术的发展 不断完善，日趋成熟。随着技术的发展，要求产品外形有明确定义的数学表达式，这 就诞生了现在普遍使用的各种曲面方法。以下是曲面造型方法的发展主线。 1 9 6 3 年美国b o e i n g 飞机公司的f e r g u s o n 首先提出了自由曲面表示的参数矢 函数方法【3 1 ，并成功构造了f e r g u s o n 双三次曲面片，该方法由f m i l l 系统实现，它 可以生成数控纸带。f e r g u s o n 所采用的曲面的参数形式从此成为形状数学描述的标 准形式。f e r g u s o n 将四角点的混合偏导矢( 又叫“扭失”) 都取为零矢量，1 9 6 4 年 美国麻省理工学院( m i t ) 的c o o n s 发展了具有一般性的蓝面描述方法，给定围成 封闭曲线的四条边界就可以定义一块曲面片。1 9 6 7 年孔斯进一步推广了他这一思想， 孔斯双三次曲面片在c a g d 实践中广泛应用。1 9 7 1 年法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公 司的b 6 z i e r 发表了由控制多边形定义曲线的方法。它是雷诺公司u n i s u r fc a d 系 统的数学基础。1 9 7 2 年d eb o o r 给出了关于b 样条的套标准算法。1 9 7 4 年美国通 用汽车( g m ) 公司的g o r d o n 和r i e s e n f e l d 将b 样条理论用于形状描述，提出了b 样条曲线曲面。为了解决自由曲线曲面和初等曲线曲面的统表示，1 9 7 5 年美国锡拉 丘兹( s y r a c u s e ) 大学的v e r s p r i l l e 首先提出了有理b 样条方法。以后主要地由于 p i e g l 和t i l l e r 等人的功绩，至8 0 年代后期，非均匀有理b 样条( n i 瓜b s ) 方法 3 硕上学位论文第一章概述 成为用于曲线曲面描述的最广为流行的技术。1 9 9 1 年，国际标准化组织( i s o ) 把 n u r b s 作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。 1 2 多边域曲面造型技术的研究与应用 1 2 1 多边域曲面造型技术的研究现状 传统的曲面造型系统都是基于四边域曲面理论构建的。但是，应用中并不是所有的 曲面都可以简单的构建在四边域上，基于四边域构建的曲面往往要经过一系列繁琐的辅 助操作( 如b l e n d i n g 、t r i m m i n g 等) 才能得到一张需要的复杂曲面。显然，人们迫切希 望现有c a d 系统能够实现一次成功构造比较复杂的曲面，以提高工作效率。可见，根 据需要一次构造多边域光顺曲面是工程领域中c a d 曲面建模经常遇到的问题。 多边曲面片一直是一个广泛研究的题目 3 7 1 。由于多边曲面片具有构造复杂形状的 潜力，有可能获得较广泛的应用，因此成为国内外学者研究的热点。尽管如此，有关 多边域曲面( 有的文献中称为非矩形域曲面片或非四边域曲面片) 的文献并不多。对 这一问题研究较早的是j a g r e g o r y ，他在1 9 8 6 年就发表了“n 边曲面片”的论 文，提出了构造n 边曲面片的具体算法，并成功构造了三边曲面片和五边曲面片。随 后g r e g o r y 等又对均匀参数化多边域曲面( 1 9 9 0 ) 和高阶连续多边域曲面( 1 9 9 3 ) 进行了研究 9 , 1 0 , 1 1 i 。1 9 8 4 年h o s a k am 等1 1 2 i 首先用控制点拟合了非四边曲面片，对n 边 域曲面进行了尝试性的研究。1 9 8 9 年s a b i nm 掣1 3 】用b 样条曲面理论构造了非矩 形曲面片；同年，s t o i t ydjt 和b a l laa 又构造了插值于赫尔米特边界曲线的n - 边曲面片1 1 4 】。1 9 9 1 年v a r a d yt 【1 5 】提出了拟合于插值曲线网格的交迭n 边域曲面方法， 这种曲面片实际上也是一种b l e n d i n g 曲面片。1 9 9 3 年s u r e s hl o d h a 1 6 和j 用“补洞 法”构造了n 边曲面片。a a b a l l 和j j z h e n g 也分别进行了相关的研究工作，提出 了自己的曲面方法。2 0 0 1 年aab a l l 和jjz h e n g 又提出了把升阶的概念推广到n 边域曲面的方法【1 8 】。 国内也进行了一些研究，并取得了许多可喜的成果。1 9 9 4 年赵阳等1 17 】利用卷积概 念构造了多边曲面片。浙江大学c a d 国家重点实验室做了大量的工作，主要研究 三角形拓扑结构的散乱数据曲面拟合问题，发表了很多文章【7 1 。北京航空航天大学的 朱心雄教授及其博士生等经过多年的潜心研究，在这方面也取得了一些成果1 8 , 1 9 1 。 作者还见到了北航的宋德军发表的一篇论文，提出了用能量优化方法构造n 边域曲 面1 1 9 】，颇有新意。 但总的来说，多边域曲面技术还不成熟，这方面的研究还不够完善，为此，本文针 对汽车车身造型中复杂曲面的构造对多边域曲面技术进行了研究与探索。 4 硕士学位论文 第一章概述 1 2 2 多边域曲面造型技术在车身造型工业中的应用 在车身覆盖件的设计中，常规的做法是：对以手工或数控方法进行制作或进行局 部修改后的车身模型或实物样件，用三坐标测量仪采集特征线上离散的坐标点或“点 云”，然后输入计算机。如果得到的特征线上离散的坐标点，则可以直接用造型软件将 点连成线，连线成面片，连接面片再反复光顺后，建立c a d 模型。这样的处理存在测 量速度慢、对测绘人员技术要求高、测量误差大等问题。如果得到的足“点云一，还 需要造型人员根据经验提取特征点，才能进行后续的建模工作。尽管测量人员的劳动强 度有所下降，但这种根据测量“点云”进行造型的精度随着造型人员的经验的不同而 有所差别。 可见建立面向车身的专用造型软件将是提高车身造型精度和效率的有效手段。 c a t i a 、u g 、a l i a s 和p r o e n g e e r 等软件曲面造型功能相当强大，可以说是汽 车车身造型的好帮手【2 0 i ，但它们的专业性都不强。为了建立面向车身的造型软件，吉 林大学的兰凤崇教授等i 2 1 i 进行了试探性研究，开发出了n u r b s 车身外表面设计系 统，为n u r b s 方法在车身外形设计中推广应用提供了一种非常实用的方法。重汽 公司技术中心的李迎新等多年来一直致力与c a d 车身造型系统软件的应用与研究， 在b r a v 0 3 和p r o e n g i n e e r 的基础上进行了二次开发，从而提高了重汽集团汽车 车身造型设计的开发能力。随着微机软硬件技术的发展，在微机工作站上开发汽车产品 c a d 系统也具有越来越大的实用价值但是应该看到，c a d 涉及的内容很广泛，且开 发是无止境的，特别是专用软件的开发，还需要做大量的l 艮苦的工作。 1 2 3 本文主要研究内容 综上所述，多边域曲面技术还不成熟，这方面的研究还不够完善。因此，本文将 对多边域啦面造型理论及其实现技术进行研究和探讨，旨在为今后更深入的研究打下 基础，并起到抛砖引玉的作用。 本文主要研究内容包括以下几个部分： 首先介绍曲面造型基本理论，确立进行理论研究需要继承的b 样条曲线、曲面 理论，并研究了b 样条曲面的实现方法。 然后利用g r e g o r y 曲面思想建立多边域曲面数学模型，并研究其向b 样条曲 面的转化方法。 多边域蓝面造型技术的程序开发及实例应用研究。 最后介绍在上述开发过程中用到的隐式二次代数曲线插值。 5 硕士学位论文第二章多边域曲面理论基础 第二章多边域曲面理论基础 2 1 曲线和曲面的基本理论 2 1 1 曲线与曲面的参数表示及其优点 在解析几何中，空间曲线上一点p 的每个坐标被表示成某个参数u 的函数 x - - h 甜) = “以) ，z = 反u ) o 三个方程合写在一起，三个坐标分量就组成曲线上该点的 位置矢量，曲线被表示为参数u 的矢函数： p ( u ) = 【x ，y ，z 】= 【z ( “) ，少( 掰) ，z ( 掰) 它的每个坐标分量都是以参数u 为变量的变量函数。这种矢量表示等价于笛卡儿分量表 示( 见下图2 - 1 ) ： p ( “) = x ( z ，) f + y ( u ) j + z ( u ) l c x x 图2 1曲线上一点p 表示为参数u 的矢函数 y 其中i ，j ，k 分别为沿x 轴、y 轴和z 轴正向的三个单位矢量，理论讨论时，我们常把 上述曲线简记为 1 ， p = p ( 甜) 这不仅是一种简洁的记法，更重要的意义还在于它把曲线上表示一个点的位置矢量的各 个分量合写在一起当作一个整体。点动成线。如果把参数u 视为时间，p ( u ) 可以看作一 质点随时间变化的运动轨迹。 类似地，可以把曲面表示成为双参数u 和v 的矢函数。 6 硕士学位论文第二章多边域曲面理论基础 与非参数方法相比，参数方法具有如下优点： 1 总是能够选取那些具有几何不变性的参数曲线曲面表达形式，且能够通过某种 变换处理使某些不具有几何不变性的形式具有几何不变性，从而满足几何不变性的要 求。几何不变性是参数方法诸优点中最主要的优点。 2 易于规定曲线、曲面的范围。 3 易于表示空间曲线。 4 仿射变换和投影变换容易地执行。一般地，一个仿射变换是一个由比例、旋转 与剪切等构成的线形变换加上一个平移变换。 5 易于计算曲线、曲面上的点及其它信息。参数方程求导、等距离计算等也能简 单的进行。 6 易于处理多值问题。 7 易于处理无穷大斜率。 8 便于曲线的分段、曲面的分片描述。 9 提供对曲线、曲面形状控制的较多自由度。 1 0 为向高维问题推广提供了可能性。 2 1 2 曲线、曲面论 2 1 2 1 曲线、曲面的表示 矢函数形式的参数曲线方程前面已经给出： p - - p ( u ) 它的每个坐标分量都是以参数u 为变量的标量显函数。描述形状的参数曲线总是有界的。 参数曲线的范围可以方便地用参数区间即定义域u l ”2 或”【材l ，甜2 】来表示，也称 为曲线的参数域。 给定一个具体的单参数的失函数，即给定一个具体的参数曲线方程，就称之为给定了 一个曲线的参数化( p a r a m e t e r i z a t i o n ) 。它既决定了所表示曲线的形状，也决定了该曲线 上的点与其参数域内的点( 即参数值) 之间的一种对应关系，如图2 - 2 所示。 7 硕士学位论文第二章多边域曲面理论基础 p u p ( 唯) 1 , 1 i u _ 图2 - 2 曲线j 二的点与参数域内点问的对应关系 在曲线形状确定后，这种对应关系指的是曲线上的点p ( u ) 沿曲线弧长的分布情况与点的 参数值u 在参数域的分布情况之间的对应关系。一般地，同一曲线的参数化是不唯一的， 这里小再赘述。 前面已经提到，曲面方程可以用双参数方程： ， p ：p ( u ，1 ，) 描述。曲面的范围常用两个参数的变化区间所表示的uv 参数平面上的一个矩形区域 u ， u u ，、v 1 v v 2 给出。这样就相应得到具有四条边界的曲面即矩形曲面。曲面 也可以定义为在uv 参数平面的某一区域吼，用( 甜，y ) 9 t 给出。正常情况下，参数域内 的点与曲面上的点构成一对应的映射关系。如图2 - 3 所示。 v x 哆 u 图2 3曲面上的点与参数域内的点间的映射关系 类似于曲线参数化的定义，可以定义曲面参数化。给定一个具体的曲面方程，就称 之为给定了一个曲而的参数化，它既决定了所表示的曲面的形状，也决定了该曲面上的 点与其参数域内的点之间的一种对应关系。同样地，曲面的参数化不是唯一的。 2 1 2 2 曲线、曲面表示的几何不变性 8 硕士学位论文第二章多边域曲面理论基础 曲线、曲面在某些情况下不具有几何不变性。如何使之具有几何不变性呢? 下面给 出这一问题的答案。 在c a g d 中多数曲线曲面表示都可以由某一组基函数及相联系的系数矢量来给出， 并可以写成为： ” o ” p2 己a s 仍 t = o 式中p 与仍的意义：对于曲线分别为单参数的失函数及以该参数为变量的基函数；对于 曲面分别为双参数的失函数及以该双参数为变量的基函数，a i 为系数矢量。称上式为曲 线曲面的基表示。表示曲线、曲而的数学方法不同就表现在所采用的基函数不同。基函 数一旦决定，系数矢量也就完全定义了曲线、曲面。 按照所采用的基函数具有怎样的规范性，基表示可以分为三种类型： 三 1 规范基表示满足乞仍兰1 称为柯西( c a u c h y ) 条件。例如线性插值 t = o w1 - ， p - p ( u ) = ( 1 一u ) p o + u p l k v， 2 部分规范基表示仍- 1 ，o k n例如p = p ( 甜) = 口o + a l u f = 0 3 非规范基表示除上述两种以外的情况。例 w w w p = p ( 醒) = ( 1 一“) 2p o + u zp 1 曲线曲面表示的几何不变性是指它们不依赖于坐标系的选择或者说在旋转与平移变 换下不变的性质。不失一般性，假定坐标系固定，曲线、曲面相对于坐标系先旋转，后 平移，旋转矩阵和平移矢量分别为m 和c 。又设经旋转和平移后曲线、曲面上点的位 置矢量为p 。对于规范基表示则有 帆 - ， ，三， p = p m + c = ( q e p i _ ) m + c i = 0 = 羔( 乏m ) 仍+ 羔三仍= 窆( 乏m + 三娩 于是p = q 识 i = 0 ，；，r 其中q = qm + c 。 可见，对于规范基表示，欲获得经旋转平移后的曲线、曲面表示仅需要将原表示中 的系数矢量作相同的旋转平移变换即可。这就证明了规范基表示具有几何不变性。同理 可以证明部分规范基表示也具有几何不变性。 非规范基表示不具有几何不变性，然而，总可以经过简单的处理将非规范基表示改 9 硕上学位论文 第二章多边域曲面理论基础 写成为等价的部分规范基表示或规范基表示，因而非规范基表示也就具有了几何不变性。 曲线、曲面表示的几何不变性质有其理论和实际应用价值。首先，它是形状描述的 基本要求。应用几何不变性就可以根据需要与方便任意选取合适的坐标系而保证获得不 变的形状。这样在事物测量造型中，在不同的测量坐标系中测量得到的同一组数据点， 采用具有相同的具有几何不变性的数学方法处理，就可以得到同样的形状。其次，应用 几何不变性，可以将位于坐标系里规范位置的形状很方便的变换到空间任意位置。再次， 可用于曲线曲面的几何特征分析。最后，在生成任意方向的投影视图与轴测图时，不必 计算并变换所有需测绘或显示的点，而紧需变换基表示中那些系数矢量，再计算需测绘 或显示的点，从而节省了大量的变换计算，提高了图形的生成速度。 2 1 2 3 参数化与参数变换 给定一个具体的参数曲线或曲面方程，即给定了一个曲线或曲面的参数化。它既决定 了所表示的曲线或曲面的形状，也决定了该曲线或曲面上的点与其参数域内的点之间的 一种对应关系。这里将以曲线为例，说明曲线曲面参数化与参数变换。 若曲线在参数域内处处一阶导失为非零矢量，则称该曲线为正则魄线。设给定一正 则曲线p = p ( “) ，“ “o ，“l 】。若令铭= u ( t ) ，满足 譬o ，且 】j “。，“1 】 则p - - p ( u ( t ) ) ，t 【t o ，t l 】 曲线从表示为参数u 的失函数变成参数t 的失函数，称为重新参数化。这里“= “( f ) 为 对曲线进行的参数变换。 常采用线性函数的参数变换，它把曲线从定义在老的参数域上变换到新的参数域上， 故又称之为域参数变换，简称域变换。给定衄线段p = p ( ”) ，托 0 ，1 】，如果希望它 改变到定义在新参数域t 【t o ，t lj 上，则可以作参数变换 甜( f ) = 等，岛f t 1 一l o 。1 反过来，若希望将曲线段p = p ( 甜) ，“ g o “l 】改变到定义在新参数域f 0 , 1 】上， 则可作参数变换 u ( t ) = ( 1 一t ) u o + t u l ，0 t 1 域变换是使正则曲线变换到正则曲线的一种参数变换。域变换常用来将整体参数域变换 到局部参数域或者反之，且可以用来重新界定曲线或分割或剪裁。 1 0 硕士学位论文第二章多边域曲面理论基础 2 2b 样条曲线、曲面有关理论 2 2 1b 样条相关概念 关于b 样条的理论早在1 9 4 6 年就已经提出。1 9 7 2 年，d eb o o r 与c o x 分别独立 的给出关于b 样条计算的标准算法。b 样条方法兼具了b e z i e r 方法的一切优点，具有 表示与设计自由型曲线曲面的强大功能，是最广泛流行的形状数学描述的主流方法之一。 另外，b 样条方法是目前已成为关于工业产品几何定义国际标准的有理b 样条方法的基 础。应该指出，b 样条方法是本论文算法涉及的重要内容之一。 2 2 1 1b 样条的递推定义及其性质 b 样条有多种等价定义，经常为自由曲线曲面设计所采用的是作为标准算法的d e b o o r - c o x 递推定义，又称为d eb o o r c o x 递推定义。这个注明的递推公式的发现是b 样 条理论最重要的进展之一。它原来采用阶数( 等于次数加1 ) 给出。为了方便应用，现 直接采用次数给出如下： 啪) = 访 ”，材 3 d j ( 芒v ) ，2 = 3 公式( 3 2 ) z 万 式中嘭( y ) 由公式( 3 1 ) 定义，n 是多边形边数，j = j m o d n 。 令b 样条曲线g ，o ) 和( f ) ( = o ，l ，刀一1 ) ，t 【o ，l 】分别为给定的n 一边域 曲面的第条边界曲线及其跨界导失( 图3 3 ) 。则插值于边界曲线乃( z ，) ，乃一，( 功及 其相应的跨界导失0 ( 甜) f j - i ( v ) 的映射弓，e ：q 专r 3 可以定义为： 嵋一l 图3 3 二维到三位的映射 一叻 一叻 姗懈万仰一州 一 一啦 硕士学位论文 第三章多边参数域曲面设计方法研究 e c“，c矿，v，c矿，=蒜cg，一，cv，c矿，+甜，c矿，。一，cy， +蒜。l一4j(甜，(矿)+v，(y)。(矿)】1 ，；( f 7 ) + z l ；( p 7 ) 、7 、7 。7 、7 7 、7 1 公式( 3 - 3 ) 则插值于边界曲线9 ，( f ) 及其跨界导失0 ( ) ( = o ，1 ，n - 1 ) ，t o ，1 的n 一边域曲面( 图3 - 1 ) 具有如下形式： n - 1 尸( 矿) = q ( 矿) 尸( 矿)公式( 3 4 ) ，= 0 式中的混合函数( 又叫基函数) 口，( 矿) 的定义如下： 兀彳( 矿) i = o 哆( 矿) = 者等卜 兀彳( 矿) 公式( 3 5 ) 1 = 0 i - - o i # l ，l - 1 n 是n 一边域曲面的边数。 易见，由e ( v ) 表达的n - 边域曲面除聍个角点( ，= 0 ，1 ，刀一1 ) 处无定以外， 整体c 1 连续并且插值于n 条边界曲线及其跨界导失。并且当n = 4 时，上述n 一边域 曲面就是四边域曲面。 3 2 2 曲面角点奇异性的解决 上述方法构造的n 一边域曲面的表达式在每个角点k ( f - - = o ，l ，2 1 ) 处分母 为零，即其具有奇异性。为此采用下述的逼近方法，构造改进的n 边域曲面。 e ( v ) = 其中 竺! 兰：1 2 至i ! 兰! ! ! 垒! 些，! ) f 蚴 1 一a ( u ，v ) 】【l b ( u ，v ) 】【e ( 甜，v ) + ( z f ，v ) 】五 a ( u ，v ) + b ( u ，v ) + 2 1 1 一a ( u ，v ) 】【l b ( u ，v ) l a 公式( 3 6 ) 硕士学位论文第三章多边参数域曲面设计方法研究 a ( u ，v ) = ( 矿) ，b ( u ，v ) = 豺；( 矿) ， 鼻( 秘，v ) = q j 一1 ( 匕( 矿) ) + u j ( v ) r j 一1 ( 矿) ， 疋( 扰，v ) = g ( 甜j ( 矿) ) + v _ ，( 矿) 0 ( 幻j ( y ) ) ， 五是一个充分小的正数。 易见，( y ) 插值于顶点矿，( = o ，1 ，拧一1 ) ，且当旯充分小时，只彤) 充分逼近边 q j ( t ) ，q j l ( ，) 及其相应的跨界导失5 ( t ) 0 一l ( f ) 。则改进的n 一边域曲面有如 下形式： n - i 尸( y ) = q ( 矿) f ( 矿) j = o 式中的混合函数口( 矿) 的定义如下： 兀砰( 矿) i = 0 哆( 矿) = 音等l - 兀彳( 功 ，= o i - - 0 i 1 ，一1 公式( 3 7 ) 公式( 3 - 8 ) 是n 一边域曲面的边数。易见，改进的n - 边域曲面e ( v ) 整理c 1 连续，并且当2 充分 小时近似插值于( 刀一1 ) 条边界曲线及其跨界导失。 3 2 _ 3 应用b 样条曲面理论构造n 边域曲面 根据g r e g o r yja 曲面方法，前面已经建立了n 边曲面片的曲面方程。由于上 述n 边域曲面较高的计算耗费及其与四边域曲面的不兼容性，使上述方法构造的n 边域曲面不易于在现有c a d c a m 系统中实现。为此，本文将应用b 样条曲面构造 几乎处处g 1 连续的n 边域曲面方法接下来的第二步就是利用第一步计算得到的数 据构造由n 个矩形b 样条曲面片构成的一阶几何连续的n 边曲面片。应用近似方 法，可以用b 样条曲线的离散插值近似表达出n 边域曲面的未给定的第n 条边 界曲线q ( f ) 及其跨界导矢乞一l ( f ) 。下面讨论如何根据给定的n 条表示为b 样条 形式的边界曲线及其跨界导矢应用b 样条有关理论知识来构造n 边域曲面。 硕士学位论文第三章多边参数域曲面设计方法研究 q 血一 嵋 也巧+ lp r 屹j 尸以) 图3 4 单位正方形到二维和三维区域的映射 令正n 边形q 的边+ ，的中点为m ，( = o 1 ，一1 ) ，如图3 - 4 所示，d 为正n 边形 的中心，则通过依次连接o m ，( = 0 , i ，刀一1 ) ，n 边域曲面的参数域q 可以分为刀个 四边形片。 记每个四边形片v j m j o m j _ i ( = 0 ，1 ，n - 1 ；j = j m o d n ) 为q ，则每个子四边形 片v j m j o m j 一1 ( = 0 ，1 ，n - 1 ；j = j m o d n ) 可以看作是在映射y ，的作用下从单体正 方形但尺2 空问的一个变换，其中 v 2 ( 材，v ) = ( 1 一v ) 【( 1 一甜) _ + 洲】+ v 【( 1 一u ) m j l + “o 】 公式( 3 9 ) 上式中v q i ，( 掰，) 【0 ，l 】【0 ，1 】。 令 i 疗一i g ( 甜，) = 尸( v v l l j - 尸( 吩( 掰，v ) ) = q ( ( 甜，) ) 只( 吩( 鲐，v ) ) 公式( 3 1 0 ) 上式中哆和分别由( 3 5 ) 式和( 3 3 ) 式定义，由式( 3 9 ) 定义，刀是n 边域 曲面的边数，则易见q j ( 掰，v ) 定义了一个从单位正方形到r 3 空间的映射。即 q ，( “，v ) 表示一张定义于单位正方形上的四边形曲面。 3 2 3 1 边界曲线及其跨界导矢的确定