（计算数学专业论文）第二类fredholm积微分方程高精度多重网格解法.pdf

7 ：c “： l 独创性：声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：弓士l 卜址 日期：知亿年 莎月b 日 论文使用授权 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： 互峦刍造 导师签名： 日期：秒0 v l 一 u 摘要 摘要 电磁问题中存在大量积微分方程，由它导出的系数矩阵为满阵，目前该类方 程数值解的精度不高。 针对上述问题，本文在z a n g e w 4 6 】的基础之上，根据积分核的不同，将第二类 f r e d h o l m 型积微分方程分成两类分别求解：对具有一般形式的核的第二类f r e d h o l m 型积微分方程，首先分析了方程系数矩阵的特点，然后运用多重网格方法进行求 解，同时进行误差分析；对具有c a u c h y 核的奇异积微分方程，利用t a y l o r 级数展开， 将积微分方程转化成高阶变系数微分方程进行求解。最后用数值结果加以验证， 表明此种方法是可行的。 关键词：第二类f r e d h o l m 型积微分方程，多重网格，高精度 _ h h 1 一 i ， a b s t r a ( 了r a bs t r a c t t h e r ea rel o t so fi n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si ne l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m s ，w h i c h e x p o r taf u l lr a n k m a t r i xe q u a t i o n s ，t h ea c c u r a c yo fn u m e r i c a ls o l u t i o no ft h e s e e q u a t i o n s i sn o th i g h t h i sp a p e rb a s i so nt h ep a p e ro fz a n g e w 【4 6 1 a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n tn u c l e a r , t h e s e c o n df r e d h o l mi n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ed i v i d e di n t ot w oc a t e g o r i e s ：f o rt 1 1 e g e n e r a lf o r mk e r n e lo f t h es e c o n df r e d h o l mi n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f i r s ta n a l y s i s t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ee q u a t i o n sc o e 衔c i e n tm a t r i x ，t h e ns o l v et h e m ，a n da n a l y s i st h e e r r o r ；f o rt h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hc a u c h yk e r n e l f i r s tc o n v e r s i o nt h e i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n t oh i g h e ro r d e rv a r i a b l ec o e f f i c i e n td i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t ht a y l o rs e r i e se x p a n s i o na n dt h e ns o l v et h e m f i n a l l y , v e r i f yt h em e t h o dw i t ht h e n u m e r i c a lr e s u l t s w h i c hs h o wt h a tt h i sm e t h o di ss u c c e s s f u l k e yw o r d s ：t h e s e c o n df r e d h o l mi n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，m u l t i 。g r i d ， l l i g h p r e c i s i o n i i 目录 目录 第一章引言1 第二章多重网格方法4 2 1 多重网格方法简介。4 2 2 多重网格方法分类5 2 3 多重网格方法算法6 2 3 1 两重网格算法6 2 3 2v 循环方式算法6 2 3 3 完全多重网格算法6 2 3 4f a s ( f u l l a p p r o x i m a t i o ns c h e m e ) 多重网格算法8 2 3 5 其它循环方式算法8 2 3 6 代数多重网格算法1 0 2 3 7 瀑布型多重网格算法1 2 2 4 网格划分1 3 第三章具有c a u c h y 核的第二类f r e d h o l m 积微分方程 3 1 问题提出1 5 3 2 求解问题15 3 2 1 将积微分方程转化成高阶变系数微分方程1 5 3 2 2 用高阶多项式逼近原方程的解。1 6 3 3 数值例子1 6 3 - 3 1 解析解为n 阶多项式的情形1 6 3 3 2 解析解不为n 阶多项式的情形1 7 第四章具有一般核的第二类f r e d h o l m 积微分方程1 9 4 1 第二类f r e d h o l m 积微分方程解的存在性1 9 4 2 离散第二类f r e d h o l m 积微分方程2 0 4 2 1 对微分部分离散2 0 4 2 2 对积分部分离散2 0 i i i 目录 4 2 3 对自由项离散2 2 4 3 第二类f r e d h o l m 积微分方程的解2 2 4 3 1 方程组的特点2 2 4 3 2 解方程组的方法2 3 4 3 3 方程组的误差估计。2 4 4 3 4 误差分析2 5 4 4 数值例子2 6 第五章结束语3 0 ! 目i 谢3 l 参考文献3 2 攻硕期间取得的研究成果3 6 i v 第一章引言 第一章引言 微积分诞生的初期，就出现了微分方程，在其发展的古典时期，由于物理学、 力学、几何学等的需要，数学家们曾把主要精力集中于求解微分方程上，并且获 得了一系列重大发展，但后来发现绝大多数的微分方程都求不出解析解。其次， 在物理学和力学上所提出的微分方程问题，又大多要求满足某种附加条件的特解 ( 即所谓定解问题的解) ，这样就使人们改变了原来的想法，不去求解析解，而开 始对定解问题进行研究。 十九世纪初期，数学分析中产生了划时代的飞跃，即极限、连续等严格概念 和方法的建立，推动了微分方程基本理论的发展。p i c a r d 用逐次逼近法证明了在 l i p c h i t z 条件下解的存在唯一性定理( 后被称之为p i c a r d 定理) ，p e an o ( 1 8 9 0 ) 在不满足l i p c h i t z 条件下证明了微分方程解的存在性定理。p o i n c a r e 先后发表了 关于微分方程所定义的积分曲线的四篇论文，奠定了微分方程平面定性理论的基 础。俄国数学家李雅普诺夫的博士学位论文运动稳定性的一般问题奠定了今 天常微分方程稳定性理论的基础，从此以后常微分方程获得了长足的发展【l 】。在我 国以老一代著名数学家秦元勋、叶彦谦为代表的大批中国数学家，在微分方程的 定性理论研究方面做了大量工作。 积分方程的一般理论在二十世纪初逐步发展和成熟起来，对积分方程的研究 来说，较为困难的是所谓f r e d h o l m 型积分方程。二十世纪初f r e d h o l m 在假定区间 a ，b 有限，以及自由项连续的条件下，使方程的求解问题完全解决，并建立了 关于f r e d h o l m 型积分方程的一般理论。后来人们发现n 阶常微分方程边值问题以 及偏微分方程的问题的研究都可以转化为对某个积分方程研究，从这开始，利用 积分方程研究微分方程成为微分方程理论中最重要的方法，积分方程的理论也不 断发展和完善起来。 由于科学技术的不断发展，在航空航天科学、自然科学、生物医学、经济学 以及生物学等领域逐渐出现了大量的积分微分方程，积微分方程是指既含有未知 函数的积分又含有未知函数的导数的方程，它是继微分方程和积分方程之后出现 的又一个新的数学分支。 电子科技大学硕士学位论文 多重网格方法( m g 方法) 是一种通过在细网格和粗网格上进行循环松弛迭代 求解偏微分方程数值解的迭代方法。上世纪六十年代前苏联f e d o r e n k o 提出此法， 七十年代中期a b r a n d t 对其进行了创造性的研究和发展，其基本思想是在细网 格上求解原始方程，通过松弛作用使得误差函数变得光滑，可自然减少误差函数 的高频分量，再通过从细网格到粗网格投影算子的作用在粗网格上求解误差方程， 可自然减少误差函数的低频分量，由粗网格到细网格可通过插值修正近似解。 多重网格方法是目前迭代法中最为有效的方法，具有收敛快，大量节省计算 时间等优点，问题越复杂越体现其优越性，到目前为止，它已经广泛地用于求解 流体力学、固体力学等领域的线性和非线性的偏微分方程问题。而且，其具有适 合于并行计算的性质，更加引起人们的观注。 虽然多重网格法是求解偏微分方程数值解的有效方法，但通常意义下的多重 网格法是建立在具体的网格分层的基础上的，粗、细网格之间的嵌套关系具有明 显的几何特征，所以又称为几何多重网格法。几何多重网格法对不是由明显的网 格划分所导出的代数方程组无法适用，对由明显网格划分的问题有时也不便使用， 特别是对具有曲线边界及边界形状复杂的问题更为明显。为了克服这些缺陷，同 时又能保持多重网格迭代的快速、高效等特点，a b r a n d t 等人在1 9 8 2 年提出了 一种代数意义下的多重网格迭代法，近年来又有了一定进展【2 j 。 从二十世纪六十年代中期开始，法国和意大利学者创立了变分不等式理论以 来，这个理论迅速深入的发展，并在不少经济，物理，工程问题上得到了成功的 应用，与此同时变分不等式的数值分析也取得了飞跃发展【3 。八十年代初，多重网 格法开始用于变分不等式求解，其中包括一类互补问题，近十年来的数值试验证 明了算法简单有效，算法的收敛性理论也正在逐步建立。多重网格算法发展的二 十年，也是并行计算机发展的二十年。由于多重网格的数值高效性，自它诞生以 来人们就致力于其并行度的探讨。德国对经典多重网格算法的并行化进行了大量 的实验，提出了一些有效实现方法，仔细探讨了多重网格算法的并行效率。 多重网格算法成熟的并行化工作主要集中于串行程序的并行化，在尽量不影 响算法收敛性前提下考虑并行，这样能保持原有算法的数值高效性。并行化方法 主要可分为两种对规则区域采用网格划分，将原始网格划分成几块，分配给各台 处理机，并且相互包含相邻网格块的拟边界信息对复杂区域采用块结构方法，根 据几何外形特区域划分成几块到几十块，每块适当变换成规则区域，在这些规则 子区域上进行多重网格的计算 4 】。近年来，受实际应用领域中大规模科学计算问题 的驱动，在大规模并行机上实现代数多重网格算法成为数值计算领域的研究热点。 2 第一章引言 对于第二类f r e d h o l m 型积微分方程，现在常用配置法等方法对积分部份进行 离散，得到的方程组形式较为复杂，为了提高解的准确程度，只好减小步长，但 随着步长的减小，其计算量将迅速加大，以致于解的过程耗时过长，从而失去实 用价值。 本文在学习和研究国内外第二类f r e d h o l m 型积微分方程现状的基础之上，对 具有不同形式的核的第二类f r e d h o l m 型积微分方程进行深入分析，对具有一般形 式的核的第二类f r e d h o l m 型积微分方程，提出了以多重网格方法实现方程快速求 解，从而直接和间接地提高了解的精度，大量实验表明，这种将多重网格方法应 用到具有一般核的第二类f r e d h o l m 型积微分方程上的方法是可行的，尤其可以通 过增加配置点来提高问题的精度，同时在速度和精度上都大为提高；对具有c a u c h y 核的奇异积微分方程，由于不能用配置法，所以提出了利用t a y l o r 级数展开将第二 类f r e d h o l m 型积微分方程转化成高阶变系数微分方程进行求解。 电子科技大学硕士学位论文 2 1 多重网格方法简介 第二章多重网格方法 二十世纪六十年代初f e d o r e n k o 提出了求解微分方程的一种新的迭代法 多重网格方法，随后在1 9 6 4 年他给出了一个特殊问题的多重网格方法，并给出了 它的收敛性证明。b a c h v a l o v 和a s t r a k h a n t s e v 分别给出了更复杂的一些情况下的 结果，但这三人是前苏联科学家，他们的工作一直没有受到重视。1 9 7 2 年b r a n d t 说明了多重网格法的有效性，第一次引起了西方科学家对多重网格方法的关注。 随后欧美的计算数学家投入了极大的精力到多重网格方法的研究中，大量的关于 收敛性的证明出现。n i c o l a i d e s 等一批学者都投入到这一工作中。其中，h a c k b u s c h 曾于上世纪八十年代多次到中国讲授他的理论，使我国的学者接触到多重网格方 法。结合有限元方法，多重网格方法被用来计算求解各种各样的计算问题【引，多重 网格方法的研究成为一个热点。 多重网格方法的收敛性证明比较复杂，用代数的方法研究得到的结果比较难 懂，我国的c h a n g 6 】首先于1 9 9 4 年提出了在代数多重网格方法中引入几何假设， 即矩阵元素的相对大小反映了网格点之间的距离，并且考虑了正的非对角元素的 处理方法。利用这一思想，c h a n g 改进了代数多重网格算法的插值公式，提高了插 值公式的精度，而且还对所得算法进行了严格的收敛性证明。许进超等人开始用 泛函分析的工具研究这一问题，使得这方面的研究得到飞速的发展。其中， b r a m b l e ，p a s c i a k 和许进超提出了所谓b p x 预处理子算法，它是现有的多重网格 方法的主要组成之一，并被科学计算界广泛使用，特别是它在并行计算方面的优 越性。这一开创性工作引发了大量后继研究。同时，许进超与b r a m b l e 建立了处 理无结构多重网格问题的基本框架，后来被从很多学者用来分析大量的多重网格 和区域分裂方面的问题。由此引发了多重网格方法新的发展，出现了基于无结构 网格的代数多重网格方法。许进超后来进一步发展了上述理论，建立了分析一大 类迭代方法的统一框架，包括多重网格，区域分裂以及经典的j a c o b i 迭代、 g a u s s - s e i d e l 迭代等。这些深入的研究形成了“空间分解与子空间校正 的一般 性原理 | 7 1 。以此为题发表在s i a mr e v i e w 上的论文现已成为该领域的基本文献。 4 第二章多重网格方法 现在多重网格方法的研究依然是一个热点【8 d 1 1 ，特别是在非线性非对称问题的 求解上的使用，还有很多的学者在做这方面的研究。由于在很多学科中，求解偏 微分方程的软件有着很大的市场，所以多重网格方法的软件编写实现成为一个热 点。多重网格方法在推广上的难点主要是方法的理论本身比较有难度，接受起来 比较困难。现在也需要发展一套普遍性技术，可使人们对很多不同的算法有更深 刻的理解和做更简明的理论分析。 2 2 多重网格方法分类 表2 一i 多重网格方法分类 两重网格方法 v 循环多重网格方法 几 何 多 重 完全多重网格( f u l lm u l t i g r i dm e t h o d ) 网 多 多 格 重 重 方 网 网 法 格 f a s ( f u l la p p r o x i m a t i o ns c h e m e ) 多重网 格 方 格方法 法 其它循环方式多重网格方法 代数多重网格方法 瀑布型多重网格方法 5 电子科技大学硕士学位论文 2 3 多重网格方法算法 2 3 1 两重网格算法 二重网格方法 1 2 】的完整迭代步骤如下： ( 1 ) 粗网格校正前光滑。任给q 。网格层上的初值u ：，并施行v 步松弛迭代， 得新的近似值“：，即 u ：= r e l a x ( u k h ，厶，丘，) ； ( 2 ) 粗网格校正过程。 计算并限制残差d ：= r 以k = r ( 丘一厶- - k ) 解出残差方程 磊k k = 以 内插校正量 砧= 露吨 计算校正后的近似值u ：= u ：+ 讨 ( 3 ) 粗网格校正后光滑。以“：为新近似值，在q 。网格层上施行v ，步迭代， 得到u 。k ”，即u k + 1 = r e l a x ( u h ，厶l ，五，屹) 2 3 2v 循环方式算法 我们将以递归的形式给出v 型多重网格算法1 3 1 m v k ( u 。，五) 定义一个网格层序 列q ，q ：，q 。( 尼2 ) ，其中q 。是确定的最粗网格层，q 。是确定的最细网格层。 ( 1 ) 任意给定一初值“：，光滑迭代计次： u k = r e l a x ( u k ，厶，丘，呓) 。 ( 2 ) 如果q 。是最粗网格层，转到第( 4 ) 步，否则： z 一。= t 。1 ( 丘一l k u 。) u k l = 0 u k l = r e l a x ( u k - i ，z 1 ) ( 3 ) 细网格上解的校正： 2u k + - k l u k l ( 4 ) 对咆在q 。上光滑迭代谚次 = r e l a x ( u k ，丘，丘，呓) 2 3 3 完全多重网格算法 6 第二章多重网格方法 根据改善迭代初值的考虑，人们提出了不断改善初值，不断进行多重网格循 环的完全多重网格方法。其基本实现过程如下：先在q ，网格层上解l 。u ，= 彳，将 解出的u ，内插到q ，层网格层，从而得到用于求解l ：u ：= z 的一个较好的初值；利 用多重网格方法的适当个数的迭代步( 使用循环方式参数y ) 求得；再不断使用内 插和多重网格循环过程，直到在q 。层上求出离散方程l 。u 。= 丘满足精度要求的近 似解。求解方程的完全多重网格方法的实现过程可由下图来描述u 4 j 。 i 若i = l 求解l u - - - f 得u 图2 - 2 完全多重网格算法 7 电子科技大学硕士学位论文 2 3 4f a s ( f u l la p p r o x i m a t i o ns c h e m e 、) 多重网格算法 如果采用某种线性化方法求解非线性离散方程，那么多重网格方法可用于求 解线性化方程，这是多重网格方法在求解非线性离散方程的间接应用。这就是非 线性多重网格的f a s ( f u l la p p r o x i m a t i o ns c h e m e ) 方法。该方法是针对微分方程或 其边界条件是非线性方程的情形下提出的。假设我们对这些微分方程及其边界条 件进行离散，得到下面一个非线性方程， 三 ) = f 其在网格q 。上离散得到的非线性系统为： l k u k = 丘 其算法流程 1 5 】为： ( 1 ) 给定任意的一个初值u ：，在网格q 。上光滑迭代形次得到一个近似解， 即 u k = r e l a x ( u o ，z ，形) ； ( 2 ) 如果网格q 。是最初的网格，转到第( 4 ) 步，否则： 丘。= i 。k 一丘一，+ t 一伉- l , u k ) ； = o ； u k l = 呱一。( 蚝- l ，五一1 ) ； ( 3 ) 细网格上解的校正 魄= 魄+ 砭l 魄- l ； ( 4 ) 再在网格q 。上光滑迭代托次： u k = r e l a x ( u k ，丘，托) 2 3 5 其它循环方式算法 k 层风格v 循环方法实际上是定义在q 。和q k 。层上的两层网格方法，只不过 应用了k - 1 层网格v 循环方法的一个迭代步去近似求解q k 。网格层上的残差方程 k ，u 一。= 矾_ l o 第二章多重网格方法 图2 - 3k - 1 层网格v 循环算法 同样地可以应用k - ! 层网格v 循环的一个y 个迭代步或其它方式，达到近似 求解q 网格层上残差方程的目的，这样就得到了种种不同循环方式的多重网格方 法。见下面的流程图。 9 电子科技大学硕士学位论文 2 3 6 代数多重网格算法 图2 - 4 各种循环流程图 代数多重网格是利用几何多重网格的原理，去得到矩阵计算的一个快速和自 1 0 第二章多重网格方法 动的求解过程。代数多重网格的思想最开始是由r u g e 等提出来的，随后他发展和 改进了该方法，给出了代数多重网格方法的经典理论和基本算法。 ( 1 ) 代数多重网格算法中粗网格的选取 考虑下面的线性方程组： a x = f 这里a - ( a 。) 。，x = ( 五，而，吒) t ，f = ( 石，z ，z ) t 由此可以得到一系列的方程组 a “x ”= f “ 这里a 。= ( a 孑) 。，x 4 = ( r ，# ，) t ，f “= ( 彳4 ，f 2 m ，芷) t ，m = 1 ，2 ，m ， 刀= 咒， ，a 1 = a ，x 1 = 彳， f 1 = f 。网格q “看成是一系列未知 “f ( 1 j 刀m ) 的集合。粗网格q m + 1c q “，设q ”1 = c 4 记，”= q 4 - c 4 。称点i 和 j 强联结。如果 i 一对l 皖宰m a x 一口：l ，o o o 1 令掣= u ：点i 和j 强联结) ，c m = c 。n 掣。一般情况下，c 4 和，“的选取满足一 下条件： 1 ) v f f 4 ，j ef 或者c m 或者，与c 中的一个点强联结。 2 ) c 4 应该是非强联结点构成的最大点集。 在实际应用中，对所有的方程组完全满足1 ) 和2 ) 是不可能的。然而，2 ) 一般作为取c ”的一种指引使得条件1 ) 成立。记筇= u ：f 卵) ，对任意的集合p ， 令l 纠为集合p 的元素个数。下面是二步粗网格选取过程。首先，c 点集的一个基 本选取如下所示： 1 ) 令c ”= 识，4 = 识x = q “；v i ，名= i s i t l 2 ) 找出使得五最大的i z ，令c 4 = c 4u ，x = x 一田 3 ) 对所有的，$ n x ，执行4 ) 和5 ) 4 ) 令f 4 = f “u 力，x = x 一 办 5 ) 对所有的，卵n x ，令丑= 丑+ 1 6 ) 对所有的耳厂、z ，令忍= 忍一1 7 ) 如果x = 停止；否则，回到2 ) 。 当使用一种高效率的算法时，从1 ) 到7 ) 只需要d 仍) 步。 ( 2 ) 插值算子的选定 e 2 ( o i p 酬) j = w i n e m + l ，i f 4 电子科技大学硕士学位论文 或 这里 e _ - e m + 1 , ie c 呻 w i 4 j = 一万：磊，七c i m ， 万：= 口。一扣磊。，i 口i 4 jl 一扣。：，a 彳+ o 5 扣；，口茅， 石：= 口；m t + j e x 。f ：，a ；7 9 j k + 2 j e e 。pa 彳g 盖+ o 5 j e x 。f 4 ja i ；g j k ， g 互= 硝) _ ：口，巳通过对应的步骤得到减弱 ( 3 ) 限制算子的选取 一般都取插值算子的转置，这样可以保持原问题的对称性，但有时会根据具 体情况而做些改变。 ( 4 ) 粗网格算子的选定 第一种是由r u g e 等提出的g a l e r k i n 算法： a 州= e 州a ”o 。，掣1 = ( 嚣，) 7 第二种是基于细网格算子的直接逼近而重构得到 第三种方法是通过构造一个辅助矩阵蝶”= 掣1 彳4 ，通过一系列地操作可以得 彳酬1 = 掣1 f ”兰f 4 后两种方法是由我国学者c h a n g 6 提出的。 ( 5 ) 光滑算子的选定 光滑算子我们一般选用一些经典的迭代方法，诸如j a c o b i 迭代，g a u s s s e i d e l 迭代，松弛迭代s o r ，s s o r 等。有了上述基础，我们就可以执行与几何多重网 格同样的算法流程了。 2 3 7 瀑布型多重网格算法 瀑布型多重网格法采用自然延拓的方式( 线形插值) 得到下一层迭代的初始 值，然后在该层上采用经典的迭代法，迭代足够的次数得到满足要求的近似解。其 算法如下： 1 2 第二章多重网格方法 ( 1 ) 对粗网格层，直接求解。令o = 玩d o ( 2 ) 对j = l ，2 ，l ： “卜“二 l f ：n j = c 7 j “? “：兰u t 】o 其中是n 次插值算子。 另一种新型外推瀑布型多重网格法的算法： ( 1 ) 对第1 层，第2 层。 用c g 求解得前两层解： 兰”l “2 量2 ( 2 ) 对第3 层： 1 ) 再将“：和呓进行外推： 品：= e ( “? ，呓) ； 2 ) o = , 2 ； 3 ) 以域为初值用c g 迭代求得：嵋。 其中是n 次插值算子。 2 4 网格划分 在多重网格方法中，经常涉及网格的划分，便于清楚地知道网格结点的计算 顺序，现将一、二维情况加以说明： l 电子科技大学硕士学位论文 重复这一过程可以划分一维网格，图中数字1 ，2 ，3 表示计算过程中结点 的先后顺序。 图2 - 6 二维网格划分流程 类似一维情形，重复这一过程，可以划分二维网格。 1 4 第三章带c a u c h y 核的第二类f r e d h o l m 积微分方程 第三章带c a u c h y 核的第二类f r e d h o l m 积微分方程 对于第二类局谢勋砌积微分方程x ( 2 ( f ) + 力( f ) 。k ( s ，t ) x ( s ) d s = 厂( f ) ，h 1 ，当 其中的积分核尼( j ，f ) = 1 s f 时，就称为带c a u c h y 核的第二类肌砌。砌积微分方程， 下面就来研究这一类方程。 3 1 问题提出 许多物理问题都能转化成具有c a u c h y 核的奇异积微分方程，而这些方程通常 很难找到解析解，所以有必要求其近似解。目前解这类方程有可行的方法【1 昏1 9 1 ， 它们要求工( f ) 在插值点存在足够多次的导数。考虑以下形式的方程： x 2 ) + 名( f ) l k ( s ，t ) x ( s ) d s = 厂( f ) ，t l 1 ( 3 1 ) 其中x ( f ) 是未知函数工( f ) c n 一1 ，1 且在插值点1 1 次可微，k ( s ，f ) ，厂( f ) ，旯( f ) 是已 知函数，k ( s ，t ) = ，f ( t ) el ： - 1 ，1 ，名( f ) 厶 一1 ，1 】。 3 2 问题求解 3 2 1 将积微分方程转化成高阶变系数微分方程 假定工( f ) 满足t a y l o r 级数展开定理的所有条件并对其展开，对所有h 1 ，忽 略截断误差，得到如下形式的式子： x ( s ) 。x ( f ) + - t ) 工( f ) + + 垒x ( f ) ( 3 - 2 ) x c 。o ) + 名o ) 。三一 工o ) + 0 一f ) x 。o ) + + ( s - _ t ) nx ( m o ) 】c s = 可( f ) ( 3 - 3 ) j t n ! 对其中的积分项处理： 电于科玟大字坝士字1 豆化又 l 磐叫毗叫油1 - t ) ( 3 - 4 ) 。 = 南 ( 1 叫n + ( - 1 ) ( ) ( 1 + f ) n ( 3 _ 5 ) 将( 3 4 ) 、0 5 ) 代x ( 3 3 ) 整理得到： 砌x ( f ) l i l 雨1 - t ) + 2 删x ( f ) + 例x ( f ) + 砌磬( f ) 川f ) = 饨) 其中吼( f ) 2 南 ( 1 _ f ) 。+ ( 一1 ) 仕+ 1 ( 1 + f ) 。 尼= 3 ( 3 - 6 ) 3 2 2 用高阶多项式逼近原方程的解 将高阶多项式z ( f ) = 兰气f 。代入( 3 6 ) 得到关于系数气( k = o 刀) 的方程： 2 ( 0 售) 而心坝矿1 n ( 等) + 2 删五扎2 ) ( j 1 + - f t i + 4 t ) t ( 卅2 叫删矿“ + ( f 。宰兄o ) 1 i l ( 亨罟) + 2 尼木f k - 1 木元( f ) + 尼木( k - 1 ) 木f k - 2 ( 1 - t 幸免o ) ) + ( 3 7 ) 砉掣(1一f)+(一1)一1(1+f)气+(广宰名o)1ll(11+-ft)+2刀术f奉允(f)+ ，z 枣( 刀一1 ) 木f 。4 ( 1 - t * 2 ( f ) ) + j 量= 3 墨等姜等【( 1 一f ) + ( 一1 ) p 1 ( 1 + f ) 3 】) 吒= 厂( d 其中k = 3 n 。 当方程( 3 6 ) 的解析解是多项式形式时，用这种方法求得的解为其解析解，否 则为近似解。在h 1 这个区间上，均匀选取n + 1 个插值点乙+ l ，代入( 3 7 ) ， 就可以得到n + l 维方程。通常这里的阶数1 1 取值小于1 0 ，得到的方程的维数不大， 易于求解 2 0 - 2 5 】。为了方便，把上述方程记为 b x = f ( 3 8 ) 其中丑为系数矩阵，x 为未知向量，为已知右端向量。 3 3 数值例子 3 3 1 解析解为n 阶多项式形式的情形 1 6 重 第三章带c a u c h y 核的第二类f r e d h o l m 积微分方程 ， 诹州。等凼= 詈t 2 + 2 0 t 3 + 2 t 4 + t 5l n ( 。1 “- t 一( 3 - 9 ) 其解析解为x ( t ) = t 5 。 右端项t 的最高次方为5 ，故以5 阶多项式x ( f ) = 妾气f 。去逼近( 3 9 ) 的解析解， 取r = 吉，三，吾，易求得( 3 8 ) 中的b 和厂如下： b = 2 3 9 7 90 0 0 1 81 9 9 8 5 - 4 3 3 2 17 7 7 6 8 - 1 0 7 1 0 3 1 0 9 8 6 1 4 5 0 71 2 7 4 7- 1 9 7 0 72 4 8 5 3- 1 8 4 2 7 0 3 3 6 51 9 4 3 91 6 7 6 0 0 2 7 9 3 0 2 13 2 0 3 2 7 4 0 3 3 6 51 9 4 3 92 3 2 4 0 1 7 2 0 70 4 5 3 4 0 512 6 1 0 9 8 61 4 5 0 72 7 2 5 3 4 0 2 9 3 3 51 4 7 3 15 7 3 2 3 9 7 90 0 0 1 8 2 0 0 1 55 6 6 7 98 8 8 9 91 2 4 3 7 9 求解得 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 即x ( f ) = f 5 ，此时数值解就是解析解，与前面理论相符。 3 3 2 解析解不为n 阶多项式形式的情形 考虑如下形式的积微分方程： 州，等幽：丽2 t 3 - 6 t + 掣掣1 - t 小j 1 ， f = ： - 1 0 7 1 0 3 1 8 4 2 7 0 3 2 7 4 0 5 1 2 6 3 1 5 7 3 1 2 4 3 7 9 ( 3 - 1 0 ) 其解析解为工( f ) = 7 t 石。用9 阶多项式x ( f ) 2 邑9t f 。去逼近( 3 1 0 ) 的解析解， 取r = 杀，云，嘉，云，- k o ，此时近似解为： x o ) = 0 0 0 1 7 + 0 9 9 8 0 t 0 0 0 0 1 t 2 - 0 9 6 3 5 t 3 + o 0 0 0 3 t 4 + o 7 9 3 6 t 5 - 0 0 0 0 6 t 6 - 0 4 3 9 6 t 7 + 0 0 0 0 3 t 8 + o 111 5 t 9 1 7 o - o 4 ， 电子科技大学硕士学位论文 中 ，t 十”十一 图3 - 2 误差曲线 图3 _ 1 显示，近似解接近于精确解，用加( f ) = 7 毛 是其曲线，可以看出最大误差f 所( f ) i 1 9 x 1 0 弓，i t i 1 。 一工( f ) 表示误差，图3 - 2 第四章具有一般核的第二类f r e d h o l m 积微分方程 第四章具有一般核的第二类f r e d h o im 积微分方程 对于第二类f r e d h o l m 积微分方程x 伫( f ) + 名( f ) 。k ( s ，t ) x ( s ) d s = f ( t ) ，h t o 则称口( f ) ，b ( t ) 为方程( 4 1 ) 的下解和上解。熟知，c o ，1 按通常的范数 i = 毽磐f 工( f ) i 及函数大小关系构成有序b a n a c h 空间。 定义2 若石( f ) q o ，1 c 、c 2 o ，1 满足方程( 4 1 ) ，则称z ( f ) 为方程( 4 - 1 ) 的解。 设口，6 c o ，1 ，以下记： 口，b = x eq o ，1 la x 6 ) 硭= o ，x ，y ) ( o ，1 ) x r x ra ( t ) 工6 0 ) ，( 死) ( f ) y ( 乃) o ) ) 定理1 3 2 】设积微分方程边值问题( 4 1 ) 存在正的解a 与上解b ，满足a 6 ， f ( t ，工，y ) ：( 0 ，1 ) x r x r r 满足下列条件： ( h 1 ) 对v y c o ，1 】，当i r a y t b 时，有 f ( t ，口( f ) ，y ( f ) ) f ( t ，口( f ) ，( 7 口) ( f ) ) ，t ( o ，1 ) f ( t ，6 ( f ) ，y ( f ) ) f ( t ，6 0 ) ，( 乃) ( f ) ) ，t ( 0 ，1 ) 1 9 电子科技大学硕士学位论文 ( i - 1 2 ) 3 h ( t ) 改( ( o ，1 ) ，r + ) 满足 e s ( 1 - s ) h ( s ) d s 扣 使得 l f ( t ，x ，y ) | j l z ( f ) ，v ( t ，x ，y ) 磺 则边值问题( 4 1 ) 至少存在一解x ，满足a x b 。 4 2 离散第二类f r e d h oi m 积微分方程 4 2 1 对微分部分离散 由t a y l o r 公式很容易得到1 2 】： 以岛) = 刺1x ( 岛+ 五) 一2 x ( f o ) + 工( t o 一办) 】一1 h a 2 川9 ( 4 2 ) 其中孝( t o - h ，t o + ) ，h 为步长。 按图2 - 5 所述方法将一维网格进行划分，并记结点数为，则办2 石云石。 式( 4 - 2 ) 可记为： 工( 2 ) ：垒二警_ i - o ( h 2 ) 该格式具有二阶精度。 则微分部分所对应的矩阵形式，记为： d = 21 1- 2 ： oo o0 o 0 1 o 1 _ 21 01 2 此矩阵为n x n 阶主对角占优的三对角矩阵。 4 2 2 对积分部分离散 ( 4 - 3 ) 为简便起见，记尸= 2 力( f ) 。k ( s ，t ) x ( s ) d s ，下面简单介绍几种常见的数值积分 公式【3 6 。9 1 。 2 0 第四章具有一般核的第二类f r e d h o l m 积微分方程 秭彤公瓦： f b f ( 5 ) 加b - 2 a f ( 口) + 厂( 6 ) 】 中矩形公式： i b f ( s ) d s ；( b - a ) f ( 掣) 辛甫生公式： c ) d s ；掣 m ) + 4 f 掣) + 厂( 6 ) oz 复化梯形公式： z = 萎尝 厂( 墨) + f ( s i + 。) = 兰 厂( 口) + 2 蓦厂( 置) + 厂( 6 ) 。复化辛莆生公式： 瓯= 萎争胞) + 4 m 畦) 州& 1 ) = 争m ) + 4 萎心0 + 2 蚤n - i 厂 ) 坝6 ) 】 复化求积公式的截断误差： r 邝) 出一t = 西h 2 叭口) 一厂。( 6 ) = o ( j j l 2 ) e 加) 出一只= 志4 i f 。) ( 堋= o ( h 4 ) 由于微分部分用的是具有二阶精度的格式 4 3 粕】，为统一起见，积分部分仍采 用具有二阶精度的复化梯形公式，则 p = 3 旯o ) 兰尼( & ，f ) x ( ) + 宝i = 1 尼( 置，f ) 石( ) + 三七( 矗，f ) x ( 毛) 】 所对府的铅阵形式分别记为： 人= 名( f 1 ) 0 0 0 旯( 乞) 0 00 元( f n ) 此矩阵为对角矩阵。 2 1 ( 4 - 4 ) 电子科技大学硕士学位论文 x = k = 五 恐 ： x n k ( s m t ) k ( s ：，) k ( s n ，f 1 ) k ( s ，t 2 ) k ( s 2 ，t 2 ) k ( s n ，乞) k ( s ，t n ) k ( s 2 ，t n ) k ( s n ，t n ) 此矩阵为满阵。 从而p = h 3 a k ，简单记系数矩阵为： p = 只la 2 岛lp 2 2 p n l p n 2 4 2 3 对自由项离散 ( 4 - 5 ) ( 4 - 6 ) ( 4 7 ) 肚图 卜8 ) 4 3 第二类f r e d h oli l l 积微分方程的解 4 3 1 方程组的特点 矩阵方程( 4 9 ) 具有如下特点： 喜耄； 第四章具有一般核的第二类f r e d h o l m 积微分方程 1 矩阵d 中元素吮 o ，1 ，- 2 ；d 为对称矩阵，若矩阵d 中元素满足 v d 目= 吒i ( i ，j = l ，2 ) 则称矩阵d 为对称矩阵；d