（教育学原理专业论文）数学开放题与创造性思维.pdf

x t 3 7 s t 8 内容提要 f 近二十年来，对数学开放题的结构与教学价值研究已逐步形成了一 个舞点。数学开放题由于其自身的开放性质，不再是方法唯一，答案 唯一，这就吸引学生不依赖教师和课本，独立地去探索和发现问题的 各种各样的答案，学生由知识的被动接受者转变为知识的主动发现者 和探索者，保障了学生的主体地位，从而在利于学生自我意识和独立 人格的形成，为培养学生的创新精神奠定了基础，对全面推进中学数 学素质教育有重要意义。 ， 本文在对数学开放题的研究基础上： 首先，阐述了中国数学教育的国际地位及文化背景，分析中国当前 数学教育现状及其存在的一些问题，针对中国数学教育改革的方向， 提出了数学开放题的研究的深远意义。 其次，总结了数学开放题的涵义、特征及其类型，阐述了数学开放 题的教育价值。 第三，阐述了创造性思维的含义及其特征，并分析了产生创造性思 维的条件。 最后，从培养能力的角度，数学开放题通过加强试题的开放性，留 给学生更多的发挥空间，来激发学生的强烈的仓造欲望。从培养学生 发现和提出问题能力的角度，从培养学生直觉思维的角度，从培养学 生形象思维的角度，从培养学生发散思维的角度，数学丌放题能不失 时机地激发和培养学生思维的积极性和创造性。 关键词：数学开放题、创造性思维 啊砖s t u d y t h es t n l e t u ma n dv a l u ei nt e a c h i n go f t h eo p e n - e n d e d m 砒l l c m 砒i lp r o b l e m sh a sb 蝴a h o t 印瞳d m i n g t h ep a s tt w e n t yy e a r s a n 0 1 晖m _ c n d c dm a l h c m 蚰e a lp | 6 m 咖，t ov c a i e l at h e r ei sn o to n l yo n em e t h e d t os o l v ea n dn o tt h eo t n ya n s w e r d 日l 聃st h es t u d e n t s a t t e t t t i o nt om i n l 【a d f i n do l 吐t h ev a i o i l l si u l s w i g 临t ot h ep r o b l e mb yt h e n s e l v e si n s t e a do f d q x n 幽g 锄t h e i r 抚卸= h a n d 证圜由0 0 k s s t u d e n t sa 地c h a n g e di n t ot h e a c t i v et l h i 岫a n df i n d c l s 丘啪恤cp 越咖a 七翻翻晤i nt h i sw a ys t u d e n d s a r e 璺柚日删【c c dt op l 科t h em a i n r o l ee n d h e l t 烈it of o r m t h e i rs e l f - a w a r e n e s s 硼l d 妇d q 脚妇髓o f l b e r o e r s a n n l i l i e s 嗽l a y sas o l i df o t m d a l 如nf o r t h e 划舢d 蜘埏 c r e a t i v i t y e n d t h u s 硇u d 站s 曩c o m p l e t e q u a l i t y e d u c a t i o n b a s 酣姐t h e 或耐yo l t l tt h e 叫呻n 屯n d e dp r o b l e m s , f i r s t l y , t h et h e s i s a 印叫溉u p o nt h ei l a e m a t i o m l l s t a t u sa n db a c k g r o u n do fc h i n e s e m 硼b 即倒dl e 地h i n g 。m di tl m a l y z e st h ee t u - t 锄ts i l u a l j o l da n ds o m e l x o b l e t l l si nc h i l l l j 啭n 曲n 鹭n 岫6 c ii j 盈e l a i n ga sw e l la n ds e t sf o r t ht h e s i g o i t i c a t 髓o ft h e 蛐o l t lt ko l m a - e e d e di m y o l e m s 越c 0 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蛐喇鲥d i r e c tl h i i i 她f r o mt h ep o i n to f v i e wo f c u l t i v a t i n gt h e 翻油d 耐v i s i l a l i z l 蚰t h i n k i n g , a n da l s of r o mt h e p o i n to fv i e wo fe u l l i v a l i n g 曲哆蛐呱l 嘲d d i 矗慨t h i n k i n g , o p e n - e n d e d j , f o b l a n s 咖啪u 辩t h es t u d e n t s a e l i v i t ya n de r e a f i v i t yi nt h i n k i n ga t e v e r ys t e p k e y w o r d s ：t h cq 鬻m a l d b dm a l h e m a l i e a lp r o b l e m ，c r e a t i v et h i n k i n g 数学开放题与创造性思维 1 引言 长期以来，数学课程总是强调它的“逻辑性”、“演绎性”、“封闭性”。自从七十年代日 本数学教育家提出“开放性问题”以来，在美国、英国、欧洲大陆都已经引起广泛的注意。 1 9 8 0 年外国教育发表了泽田利夫的研究成果，其内容包括开放题的涵义、数学开放题 举例、教学中应注意的问题以及数学开放题的优缺点。 中外学者研究数学开放题，是因为它对于培养学生有一定的价值，大家从不同的角度， 对数学开放题的教育价值进行研究。国内学者李永桃、俞求是认为数学开放题有利于培养学 生良好的思维品质。刘萍认为数学开放题能保障学生的主体地位，有助予学生主体意识的形 成。范黎明认为开放题的教学有利于全体学生的主动参与，有利于实现教学的民主性和合作 性。朱乐平认为开放题的教学有助于因材施教，有利于学生体验成功，树立自信心。 从以上可以看出，学者们已对教学开放题的涵义、教育价值等进行研究，但随着数学开 放题的研究的深入，以及当前素质教育的全面推进，本人认为研究数学开放题的教育价值， 麻集中在数学开放题培养学生的创造性思维能力方向，而且更要深入地从直觉思维、形象思 维、发散思维等方向进行探讨，才能真止发挥数学开放题的作州。本人希望通过对数学开放 题在培养学生创造性思维方向的研究，能有助于消除学生思维的定势和局限，克服认识枣物 上的片面性，提高学生全面思维能力，从而使学生更自觉地更有效地进行思维，为培养创造 型人才、开拓型人才创造必要条件。 2 、 数学开放题研究的背景 2 1 、中国数学教育的国际地位及文化背景 2 1 1 国际地位 在中学的众多课程里，数学是最具国际比较性的学科。世界各国的中小学数学课稗的| = | 容火同小异。因此，从1 9 8 0 年以来，国际性的中小学生数学成绩测试一直在进行。许多国 家把这些成绩作为国家教育水平的衡量标志。中国( 不包括港澳台) 参加其中一次，这就是 iaep ( i n t e r n a t i o n a l a s s e s s m e n to fe d u c a t i o n a l p r o g r e s s ) 。以一f 是一些国际测 试的情况： 我国中学生自1 9 8 9 年起，一直在奥林匹克国际数学竞赛中名列前茅。取得总分第一 的年份是1 9 8 9 、1 9 9 0 、1 9 9 2 、1 9 9 3 、1 9 9 5 、1 9 9 7 、1 9 9 9 、2 0 0 0 。 1 9 8 9 年，国际数学教育进展评价测试( iaep ) 在21 个国家和地区举行。中国 以80 分的成绩名列第一。 中国留学生以数学基础扎实在欧美等国家著称。华裔学生在美国学校数学成绩领先。 中国的数学教育有自己的历史文化背景和鲜明的民族特点。中国学生以其在数学奥林匹 克竞赛、以及国际数学教育评价中的优异测试成绩，一方面表明了中国数学教育在国际教育 界享有很好的声誉。我们应该引以自豪：中国在教育投入很少的情况下，学生的数学成绩能 做居世界前列。同样是发展中国家，中国( 不包括港澳台) 1 3 岁学生的成绩竟能比巴州高 出一倍。另一方面中国学生花在数学作业上的时间比其他国家多，两课外1 1 1 士活动的时间较 少。特别是优秀学生受统一考试标准的束缚，发展的空间不宽，创造性不强，数学教学中的 创新性不够。 改革开放以来，中国高等教育发展迅速，数学博士大批出现，但是世界上最好的数学家 l 群体中，中国数学家并不多。数学科学的水平，是国家综合实力的反映。美国和解体前的 苏联是世界上数学水平最高的国家，虽然中国现代数学的发展已经引起世人注意，但还没有 成为“世界数学大国”。这有待于全社会的共同努力，包括中小学数学教育界的努力。 2 1 2 东硒方数学教育的平衡 东西方的数学教育，在文化背景、教育观念、制度运行、教师培养等许多方面都存在着 深刻差异。在国际数学教育测试结果的基础上，东西方的数学教育工作者都有在反思。美国 认为东方国家的学生虽然能够获得优良的数学成绩。但创造性不够，所以不能笼统提出向“东 方学习”。东方国家的数学教育同行，则认为数学考试的成绩只能说明平均成绩比较好，基 础比较扎实。但是学生学习数学的主动性不够，优秀学生缺乏世界一流数学竞争力。据瑞+ 路桑国际管理开发研究院发表的20 0 0 年“国际党争力报告”显示：中国的国l t 索质、科 学技术和国际竞争力的世界排名在逐年下降国民素质由19 98 年的第24 位滑至第 28 位；科学技术由第l3 位滑至第28 位；国际竞争力由第24 位滑至第3l 位。 2 2 中国传统文化对数学教育的影响 改革开放20 年来，中i 虱数学教育也打破孤立状态，加强和国际数学教育界的交流。许 多中国数学教育工作者访问欧美各国，把世界各国的数学教育经验带到中国。例如“人众数 学”、“数学问题解决”、“建构主义”等等重大的数学教育思潮都很快传到中国，力：发生了很 大影响。 曾受儒家文化影响过的东亚各国和地区的数学国际测试成绩普遍较好。儒家文化f 的教 育特征，可以概括为“苦读+ 考试”。从国际数学教育成就评价( iaep ) 测评结果可以 看出；中国古代的读书人为了读书，提倡“头悬梁、锥刺骨”，读书的目的则是为了通过科 举考试，博取功名，这种传统至今对数学教育有重大影响。具体说来有： 儒家文化鼓励读书人“为今生今世建功立业而奋斗”，读书目的明确，有兴趣要学， 没有兴趣也要学。读书的动力来源于现世功业，不寄托于“来世”。 家庭的严格管束。父母对子女的期望值很高，因而要求子女努力学习，“听老师话”， 遵守纪律，刻苦学习。 教育的古训是强调背诵、模仿记忆、“熟能生巧”。“熟读唐诗三卣首，不会做诗也会 吟”。大运动量的“数学练习”是考试成功的基础 中国古代数学的计算传统。中国帝王称为“天子”，算学为天文历法服务。因此，计 算为第一要事，至于“推理、证明”则较少涉及。普遍使川“数学”一词是1 9 3 0 年代以后 的事，中国的珠算技能、善背口诀存在于民俗文化之中。此外，中国的数学读音为单章饥 计算口诀琅琅上口，便于记忆，也是一人优点。 爱因斯坦认为旧学校给学生太多的“好胜心”，而不注意培养学生的“好奇心”。李政道 教授在复旦大学对大学生的演讲时说过，我们的传统教育总把学习“做学问”教成“做学答”。 这些话都是针对考试文化的弊端而说的。 实际上，考试是一把双刃剑。作为人才选择，公平的考试是不可缺少的，至少在今天还 没有办法加以取代。但统一考试的弊端是干军万马过独木桥，大家做同样的题目，没有创造、 没有个性。 2 3 、中国数学教育改革的趋势 2 3 1 当前的数学教育现状 物理学家杨振宁认为：“中国教育方法是一步步地教、一步步地学。这对于他进人 2 学、考试有帮助，但这种教法的主要缺陷是学生只宜于考试，不宜于做研究工作。传 统的学习方法是被人家指出来的路去走，新的学习方法是自己去找路。”千百年来传统的教 学就是以“传道、授业、解惑”为基本宗旨，以传授知识作为教学的根本目标，这种陈i b 的 教学思想是在一代代旧的教学观念和教学模式的相继沿袭中形成的，又由于历史的积累和相 互的联系而变得相当稳固。 传统的教学思想仍然有许多在当前数学教学中存在 1 重教轻学：教学活动以教师为中心，把教学过程设计为“传授+ 接受”的形式，只 注重教材与教法，不研究学生的学习规律。这种教学歪曲了教师的主导作_ i j ，义抹煞了学生 的主体地位，以致我们的学生存在以下问题：( 1 ) 被动与依赖，缺乏主动性，过于服从权 威；( 2 ) 经验世界的贫乏与苍白，缺乏对知识的个性化理解：( 3 ) 缺乏创新意识和创新能 力；( 4 ) 兴趣狭窄。因而使得大面积提高教学质量的目标迟迟难以实现。 重知识轻能力：在单纯追求分数、追求升学率的目标下，习题模仿性太人，以解匙 训练为中心，以“讲练考”、“就题认技巧”为主要教学程序，忽视学生能力特划是 创造能力的培养，( 如怎样分析题目与条件，怎样运用类比、! | _ _ i 纳寻找问题的症结，如何举 一反三、触类旁通，如何进行小结使知识系统化进而形成网络在大脑中贮存备川等。) 导致 “高分低能”现象的存在。 重结果轻过程：数学教学停留在现成知识，即数学结果的教学上。既不注意体现知 识的发生过程，又不注重揭示蕴含在知识中的数学思想和数学方法，形成“概念+ 例题”、 “定理( 公式) + 例题”的普遍教学模式和题型教学、题海战术。这种教学不仅使发展学生 思维的目标难以实现，而且使双基教学步入歧途，导致学生机械学习。 重智力因素、轻非智力因素。教学中无视非智力因素对学习活动的定向、鼓励、强 化教育等作用，用纪律、分数、名次等外在手段代替激发学生内在的学习动机，使晶德、兴 趣、意志、作风的培养训练化为空谈，造成学生数学学习兴趣下降，缺乏顽强的毅力和勤奋 踏实的作风等现象，影响了学生德、智、体、美、劳的全面发展。 课堂活动性不够，干扰学生思考。在课堂上，教师的问题意识很强，频频发问，问 题跨度小，难度低，没有给学生持续思维的机会和时间，要求学生立刻回答，当学生不能用 答时，便不断重复他的问题，或者另外提出一些问题弥补这种“冷场”。常常是学生的思维 刚启动，叉被老师的问题打断。 现有的教育过于学科化，总是按分门别类的学科教学生，过分强调学科课程的科学 性、严谨性和系统性等，而且认为这是天经地义的，这就容易使学生被动接受单一的学科信 息。 2 3 2 、目前中小学数学中在一定程度上存在一些问题 2 ： ( i ) 数学问题的类型过于单一。目前在我国中小学教育阶段数学教学和评什中使j j j 的脚逖 主要是计算题、一些常规的应 _ i j 题和填充题等。这些问题有一个共同的特点：问题组纵良蚶， 答案只有正确与不正确，并且正确的答案是唯一的，而且这类问题给出的条件往往都是川得 着，而且只用一次。另外，记忆性的问题较多，高层次、开放性的思维较少。因此学生只要 记忆加苦练，再加细心，就能在考试中取得好成绩。这种现象的结果是教师对于学生自己的 思维方式基本上没有留下空间。 ( 2 ) 目前数学教学模式过于统一。封闭性问题在目前数学教学中的作用举足轻重。教师在 课堂教学中往往让学生先看一个例题，以使学生看到对新的概念的需要，并希望学生在已有 3 知识的基础上引出新的理论。如果例题的意境是实际情境，那么教学的起点是把这些条什 和假设转变成数学语言，然后教师从数学知识系统开始，得出结论。在这一过程中教师实际 上提供了一个准数学模型。进而为了同化新的课题，教师指派所谓应用或文字问题作为巩固 练习。这些习题是作为典型的例子同化上述概念。 ( 3 ) 习题的模仿性太大，教师采用“练一练”等形式来帮助学生同化知识，但是这些习题 太多雷同，有意无意帮助学生死记硬背。 2 3 3 教育改革的方向 马克思说过：“只有科学掌握了数学方法，数学才能尽善尽美。”伟大的经济学家、革命 的先驱、哲学家之所以对数学如此酷爱，是他在研究政治经济学问题时，尽量把这门科学用 计算来预测推定其结果，而不使这门科学成为不能说服人的书本知识。 马克思的论断，在今天得到了进一步证实，数学已渗透到各门科学理论的研究中，现代 科学技术己出现了一种整体化、综合化的趋势，边缘科学相继出现，交叉领域成果累累。 当今的社会是一个科技迅速发展、产品日新月异、生产力突飞猛进的时代。学生毕业后 无论参加哪一项工作，都必然会遇到许多新问题，要求他们去解决；许多新事物要求他们去 创建。冈此，在学生时代，不仅要培养学生具有现代科学系统的基础知识和基本技能，更要 培养他们的创新精神和独立思考的、创造性解决问题的能力，让他们积极发展各种思考策略 羊学习策略，在解决问题中学习，以适应社会发展的需要。如何改革传统的数学教育，使之 适合当前急剧变革着的社会需要? 这是目前教育改革迫切解决的问题。 2 3 4 课程教学改革的几个方面 3 ： 强调教学与课程整合，突出教学改革对课棵建设的能动作用。 教学与课程的关系是教学改革首先必须摆止和处理好的一对关系。在传统的教学论概念 系统中，“课程”被理解为规范性的教学内容，而这种规范性的教学内容是按学科编制，故 “课稃”又被界定为学科或各门学科的总和，这就意味着“课程”只是政府和学科专家关注 的事，是在教学过程之前和教学情境之外预先规定的。教师无权更动课程，也无须思考课群 问题，教师的任务是教学，教学的过程就是忠实而有效传递课程的过程，课程和教学成为两 个彼此分离的领域，这样，师生的生命力、主体性不可能得到充分发挥。 当课程由“专制”走向民主，由封闭走向开放，由专家走向教师，由学科走向学生的时 候，课程不再只是特定知识的载体，而是教师和学生共同探求新知的过程，教师和学生是课 聒! 的有机构成部分并作为相互作用的主体。教师即课程，教师不是孤立丁课程之外的，而是 课程的有机构成部分、课程的创造者、课程的主体，学生同样是课程的有机构成，同样是课 程的创造者和主体。学生和教师共同参与课程开发的过程。教学过程成为课程内容持续生成 与转化、课程意义不断建构与提升的过程。在这种背景下，教学改革才能真正进入教育的内 核，成为师生追寻主体性、获得解放和自由的过程。 强调师生交往，构建互动的师生关系、教学关系。 现代教学论指出，教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。把教学本质定位 为交往，是对师生过程的正本清源。交往的本质属性是主体性，交往论承认教师与学生都是 教学过程的主体，都是具有独立人格价值的人。交往的基本属性是互动性和互惠性。交往论 强调师生间、学生间动态的信息交流，通过信息交流实现师生互动，相互沟通，相互影响， 相互补充，从而达到共识、共进。对教学而言，交往意味着对话，意味着参与，意味着相互 建构，它不仅是一种教学活动方式，更是弥漫、充盈于师生之间的一种教育情境和精神氛围。 4 对学生而言，交往意味着心态的开放、主体性的凸现、个性的张显、创造性的解放。交往 还意味着教师角色定位的转变：教师由教学中的主角转向“平等中的首席”，从传统的知识 传授转向现代的学生发展的促进者。 注重开放与生成，构建充满生命活力的课堂教学运行体系。开放对应于封闭，生成 对应于预设。教学是预设与生成、封闭与开放的矛盾统一体。传统教学过分强调预设和封口j ， 从而使课堂教学变得机械、沉闷和程式化，缺乏生气和乐趣，缺乏对智慧的挑战和对好奇心 的刺激，使师生的生命力在课堂中得不到充分发挥。封闭导致僵化，只有开放才能搞活。 开放从教学角度讲，要鼓励学生对教科书的自我理解、自我解读，尊重学生的个人感受 和独特见解，使学习过程成为一个富有个性化的过程。 开放，从过程角度讲，人是开放的、创造性的存在，教育不应该_ l j 僵化的形式作州丁人， 否则就会束缚和限定人的自由发展。人是不可限定的，教育不能限定人，只能引导人全面、 自由、积极地生成。教学过程是师生交往、互动的过程，学生不是作家笔下被动的小说，不 是画家笔下被动的图画，也不是电视电影面前无可奈何的观众，更不是配合教师上课的配角， 而是具有主观能动性的人，他作为一种活生生的力量，带着自己的知识、经验、思考、灵感、 兴致参与课堂活动，并成为课堂教学不可分割的一部分，从而使课堂教学是现山丰富性、多 变性和复杂性。课堂教学应该成为对生长、成长中的人的整个生命的成全。对智慧没有挑战 性的课堂教学是不具有生成性；没有生命气息的课堂教学也是不具有生成性的。从生命的高 度米看，每一节课都是不可重复的激性与智慧综合生成过程。 突出学习方式变革，切实加强创新精神和实践活动的培养。 改革原有的单纯接受式的学习方法，建立和形成旨在充分调动、发挥学生主体性的学习 方式，成为教学改革的核心任务。 从人性的角度来说，人是主体性与客观性的二重统一，人是能动性与受动性的二重统一， 人是独立性与依赖性的二重统一。传统的学习方式把学习建立在人的客体性、被动性、依赖 性的一面上，从而导致人的主体性、能动性、独立性不断销蚀。 从教育心理学角度讲，学生的学习方式有接受和发现两种。传统学习方式过分突出和强 调接受和掌握冷落和贬低发现和探究，从而在实践中导致了对学生认识过程的极端处理， 使学生学习书本知识变成仅仅是直接接受书本知识( 死记硬背书本知识即为典型) ，学生学 习成了纯粹被动地接受、记忆的过程。这种学习窒息人的思维和智力，摧残人的学习兴趣和 热情a 转变学习方式就是把学习过程之中的发现、探究、研究等认识活动突显出来，使学习 过程更多地成为学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程。从推进素质教育的 角度来说，转变学习方式要以培养创新精神和实践能力为主要目的，要注重培养学生的批判 意识和怀疑意识，鼓励学生对书本的质疑和对老师的超越，赞赏学生独特性和富有个性化的 理解和表达。要积极引导学生从事实践活动和实验活动，培养学生乐于动手、勤丁实践的意 识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力。 3 ，对数学开放题的认识 3 1 、数学开放题的涵义及特征 数学开放题是对数学问题自身结构、解题的思维过程进行研究，以及对他们进行外在形 式分类的结果，数学开放题是相对于数学封闭题而言的。 3 1 1 涵义 数学开放题又叫数学开放性问题，学术界还没有统一的定义。泽因利夫认为：有儿种止 s 确答案似乎都带有可能条件的问题，成为未完结的问题、开放的问题目的在于使之思 索儿种得出答案的方法和过程动机在于培养造就数学的思考方法和处理方法。俞求是认 为：答案不唯一的问题称为开放题，开放题的一个显著特征：答案的多样性。也可以认为数 学开放题的一个更广的形式是“数学作文”。好象语文课的作文。教师出一个题目( 域者学 生自己出) ，学生可以自由发挥，没有唯一正确的终极答案，甚至只谈自己的想法，无所谓 “答案”。 3 1 2 从一道公认的数学开放题看“数学开放题”的特征。 在对数学开放题的讨论过程中，问题“在一块矩形地块上，欲辟出一部分作为花坛，要 使花坛的面积为矩形面积的一半，请绘出你的设计。”是一道公认的开放题。分析这个问题 的结构和特征有利于把握开放题应具备的一些特征。显然该题至少具有如下特征：( 1 ) 题 目“条件”少( 只一块矩形地块) ，但“要求”表述清楚( 使花坛的面积为矩形面积的一、i i ) 。 ( 2 ) 不同解答者都能给出自己设计的“花坛”，即从不同角度思考能得到不同的具体问题。 ( 3 ) 具体结果不确定( 结果是“面积为矩形面积的一半的花坛”。而题目对“花坛”没有 形状方面的要求) 。( 4 ) 问题是解题者结合自己的实际( 知识背景、生活背景、审美标准等) 具体化为封闭性问题，进而求解。 可以归纳出数学开放题至少应具备有如下特征：( 1 ) 题目条件或结论不完备( 即结果 开放) ：( 2 ) 题目的要求是明确的，但具体形式是不确定的( 即方法开放) ；( 3 ) 解答过程 类似于进行数学研究的过程；( 4 ) 解答结果可以反映解答者在知识水平、认识水平、文化 背景、爱好等方面的差异。 3 2 数学开放题的类型 数学开放题按命题要求的发散倾向分为 4 ： 3 2 1 条件开放型 ( i ) 条件强开放型 这类开放题，一般是问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一，让解题者自己去探索 条件。 例1 ：已知a 、b 为锐角，且s i n a s i n l 3 圭 求t g ( a b ) 的值。 这是某资料中提供的一道测试题，由于印刷原因，有一条件无法认清，但书后提供了该 题的答案：t g ( a 一1 3 ) = 一孚请你根据题意及结果，推测 所空缺的条件。 ( 2 ) 条件弱开放题 这种开放题的特征是给出结论，逆向寻求条件是否存在。其答案非此即彼，有两种可能 情况。 例2 ：是否存在常数a 、b 、c ，使得等式： 1 2 z + 2 3 2 + + 玎+ 1 ) 2 ：丛等等( 册2 十砌+ c ) 对一切自然数n 都成立? 若存在， l 工 求出a 、b 、c ，若不存在说明理由。 3 2 2 结论开放型 ( 1 ) 结论强开放题 这类开放题，是在给定条件下探索结论的多样性。 6 例3 ：今有一片正方形土地。要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成 形状相同且面积相等的4 部分。若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案( 在 给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤) 。 ( z ) 结论弱开放题型 这类开放题的特征是：给定条件，判定所给结论是否存在。 例4 ：己知函数f ( x ) 的定义域是r 。对任意一，x 2 r 都有f ( 一+ x 2 ) = i ( x lj + ，( x 2 ) ， 且x 0 时，f ( x ) o ，f ( 1 ) = - 2 ，试判断在区间 一3 ，3 上，f ( x ) 是否有最大值域最小值? 如果 有，求出其最大值或最小值；如果没有，说明理由。 3 2 3 策略开放型： 这类开放题，即思维策略与解题方法不唯一，即对于给定的问题，要求解答者提供多种 不同的解法。 例5 ：设x ，y r + ，x + 2 y = 3 ，求m = + 七的最小值。请你提供两种不同的解法或提供 一种错误的解法并分析错误原因。 3 2 4 综合开放型： 这类开放题，即条件、结论、策略至少两项是开放的。 ( 1 ) 条件、结论同时开放 例6 ：矿、b 是两个不同的平面，m 、n 是平面矿及b 之外的两条不同直线，给山四个 论断：m 上n ，矿上b ，n 上b ，m 2 - 矿，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作 为结论，写出你认为正确的一个命题一。( 2 ) 条件、策略同时开放 例7 ：在一个3 m 4 m 矩形地块上，欲开辟出一部分作为花坛，使花坛的面积是矩形地 块的一半，请给出你的设计。 ( 3 ) 结论、策略同时开放 例8 ：一个长方形，剪掉一个角，剩下部分还有几个角? ( 4 ) 条件、结论、策略同时开放 例9 ：a 同学离学校lo 公里，b 同学离a 同学有3 公里，试涧b 同学离学校儿公里- ? 3 2 5 设计( 实践、建模) 型 这类问题要求学生依据题目提供的题设条件，寻找切台实际的多种途径解决问题。使学 生接受挑战，进入发现、创造的角色，具有较强的素质要求。 例l0 ( 方案优化问题) ：某工厂有甲种原料360 千克，乙种原料290 千克，计划 用这两种原料生产a 、b 两种产品共50 件，已知生产一件a 种产品需用甲种原料9 千克， 乙种原料3 千克，可获利润700 元；生产一件b 种产品需j 日 i 甲种原料4 千克，乙种原料l 0 千克，可获利润l200 元。 ( 1 ) 按要求安排a 、b 两种产品的生产件数，有哪几种方案? 请你设计出来。 ( 2 ) 设生产a 、b 两种产品获总利润为y ( 元) ，其中种产品的生产件数为x 。试写山y 与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大? 最大利润是多 少? 例1 1 ( 方案设计问题) 同学们知道，只有两边帮i 一角对应相等的两个三角形不一定全等。 7 你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等。请你仿照方案，写出方案、 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形。方案1 ：若这角的对边恰好是这两边中的 人边，则这两个三角形全等。 3 ，2 6 纠错开放性问题 这类问题要求学生能发现题目提供的题设条件或解答过程中出现的错误并加以修改。 侧1 2 在r t a a b c 中，“= 9 0 ”，a 为斜边长，z b ，么c 的内角平分线b d 、c e 的长分圳 为m 、n ，且满足m n = 2 ， 求c o s 孚的值。 解：设a b = c ，a c = b 在r t a b c 中，b = a s i n b ，c = a s i n c 在r t a b d 中，c = m c o s 譬 在r t z e a c e 中，b = b c o s 号 从而有口2s i n b s i n c = m c o s 譬c o s 等 因m h = a 2 ，则s i n b s i n c = c o s c o s 等，而c o s 譬c o s 等0 ，则s i n 譬s i n 譬= 从而 - i c o s ，一c o sb g 寺) = ，即可得c o s = + 警 请你根据上面提供的解答对这道题目本身的正确与否作出判断。若不止确，请修改某 条件，或改变命题的设问形式使之成为一个正确的命题。 3 3 、数学开放题的教育价值 3 3 1 有利于培养学生良好的思维品质，特别有助于培养创造性思维。 数学开放题有助于培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性、缜密性、创造性和批判性。 由于开放题的答案不唯一，给学生提供了较多提出自己新颖独特方法的机会，有效地扩展了 学生的学习空间，可以使学生在求解多种答案的过程中形成积极探索和创造的心理态势，剥 数学的本质产生一种新的领悟，进而生动活泼地参与“做数学”的过程。有利丁培养学生的 广矧性、流畅性、灵活性和独创性。如果学生的思维灵活性训练有素，就容易逊迷跳山原米 的框框，走出死胡同，改用其他方法去做，从而有利于培养学生的发散性思维；在寻找多种 答案中的最优解的过程中培养学生思维的深刻性、严肃性，克服消极的思维定势，从而培养 学生的集中性思维，从而更好地提高学生的创新思维能力。 3 3 2 能保障学生的主体地位，有利于学生主体意识的形成，实施因材施教。 学生对数学理解的差异及数学学习水平的差异是客观存在的，数学教学要在承认这釉差 异的基础上进行，并且为每个学生创造可以施展才华的空间。例如：开放题“芙丁止整数数 列3 ，9 ，2l 87 ，问2187 是该数列的第几项? ”由于本问题没有指明止整数 数列具体是什么数列，学生可以根据自己的理解和经验假定是等差、等比或构造成其他什么 数列，教师可以从学生的解答看出他们的基础与能力的差异，进而进行因材旖教。开放题的 8 挑战性有利于激发学生的好奇心和求知欲，为学生主动学习创造了条件。开放题的层次性， 使全体学生真正参与教学活动成为可能，真正地实施因材施教。开放题的开放性决定了没有 现成的固定的解题模式，需要学生独立地进行探索，这为培养学生的主体性创造了条件。 3 3 3 开放题的教学有利于全体学生的主动参与，有利丁二实现教学的比主性和合作性。 首先，开放题使几乎每一个学生都有解决问题的机会，都能通过尝试解决问题去获得一 些女l 识或者方法，从而使“数学教育面向全体学生”。 其次，在开放题的教学中，学生接触到许多实际问题，有的有许多答案，有的有多种解 法，其中许多问题不能靠一个人的力量在有限的时问内完成，必须依靠人家的力蛐利集体的 智慧分： 合作进行，这样，在这种教学过程中，学生可以充分发表自己的见解，并在聆听别 人见解和讨论的同时，学生们不仅学到知识，形成新的认识冲突，而且学会与人合作，学会 帮助他人等。 3 3 4 开放题的教学有利于学生体验成功，树立自信心，产生学习数学的兴趣。 开放性问题不束缚人们的思路，可以比较充分地把自己的知识和经验用_ 丁| 解决问题之 中，通过自己的观察和思考，提出自己的解题思路，不同的人在不同的起点上思考同一个问 题，思考的角度、使用的方法和所得的结果可能会有所不同，但他们都能在自己原有基础上 有所得、有所获，根据自己的知识和经验构造“新知识”，成功地进行创造性学习活动。由 丁数学开放题本身有层次。即使学习困难的学生也能做出一种或多种答案，使学生体验剑成 功的乐趣，通过不断的成功可以使学生对数学产生兴趣，提高学习的内在动力，培养学生的 自信心，并能在解决问题的过程中使学生感受到数学的美和解决数学问题的有趣，给数学教 学带米新的气氛。 3 3 5 数学开放题有助于提高学生解决问题的能力。 开放题答案的多样性使学生可在不同水平的答案的交流中共同讨论，互相学习，不断优 化，最后得出较好的答案，从而培养学生精益求精、不断探索、追求卓越精神，并提高解题 能力。 33 6 数学开放题还可以促进学生智力因素与非智力因素的同步发展。 要想顺利地解出开放题，必须对问题进行全方位、多角度的观察、分析、充分揭示问题 的本质特征，既要注意力集中，又要记忆力强、想象力丰富、思维敏锐，有些开放题还可以 长时间钻研，需要意志力和毅力，从而促进非智力因素的发展。 34 开放题设计的要点： 开放题设计要以开放题教学的目标为起点和终极点。 开放题涉及的知识应是学生已具备的，问题情景应是学生较熟悉的利关心的，解题 策略应是学生有希望掌握的，从而有利于激发学生学习数学的兴趣，增强其学习数学的信心。 问题要具有给学生以较强刺激的因素和形式，以形成强烈的认知冲突，并诱发强烈 的求知欲。 问题所涉及的解题的策略要具有较高的方法论价值，可使学生通过问题的解决，体 验剑数学探索与发现的乐趣，感受到数学的魅力，领悟到数学的真谛，从而使他们在形成正 确数学观的同时，产生正确、稳固和强烈的学习源动力。 问题的解题策略或结果要具有多样性，使学生能按自己的意愿选择其喜欢的思维方 式米解决问题。 问题中的知识内容虽应是学生已掌握的，但其解题策略应该是非常规的、没有j 刮定 9 模式可循的，要具有挑战性，能促使学生认知冲突的发生。学生必须开动脑筋、主动探索， 并充分发挥其创造潜能，才能得以解决。 问题的解答要有层次性：首先，对于不同学习水平的学生，均可在自己能力范围内 获得各自的解答：其次，对于同一个学生，其所做的解答也可以是多样性的，并具有层次性： 有的在其现有思维水平上，有的在其思维的最近发展区，等等。 问题要具有进一步引申、拓广的可能，使学生在问题解决的过程中，能发现数学更 一般的、内在的规律，并使他们所进行的学习活动具有一定的数学活动的特征和意义，能促 进其科学探索精神和能力的形成。 4 创造性思维 恩格斯指出：数学是“研究思想事物”的科学，数学的研究对家是一种抽象的思维创造 物。现代教学论认为：数学教学的任务是“形成和发展学生的具有思维特点的智力活动结构”。 揭示数学的思维过程才是数学教学中最重要、最有意义的成分。 江泽民总书记指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是我们国家兴旺发达的不竭动力。” 没有创新就没有发展，因此，培养学生的创造性思维能力确是数学教学的一项重要的任务。 4 1 创造性思维的含义。 根据思维的智力品质，可以把思维分为再现性思维和创造性思维 5 。再现性思维是指 运用已有的知识经验不加更改地去解决类似情境中的问题的思维活动，是一种接理性的一般 思维活动。如学生模仿课本上的例题去做同类的数学习题。创造性思维不仅揭示客观事物的 本质与内在联系，而且要产生出新颖的或前所未有的思维成果，给人们带来具有社会或个人 价值的产物；是一种具有开创意义的思维形式，是再现性思维的发展，是一种开放动态、多 向的立体型思维和空间型思维，是人类非常复杂的高级思维过程，是数学一切创造活动的主 要精神支柱。数学中所研究的创造性思维一般是指对思维主体来说是新颖独到的思维活动， 它包括发现新事物，提出新见解，揭示新规律，创造新方法，建立新理论，解决新问题等思 维过程。 4 2 创造性思维的特征 创造性思维不是一种孤立的心理活动，它是广阔性、深刻性、灵活性、批判性、独创性、 敏捷性、跨越性、预见性、相对性、目的性、整合性等多种思维品质的相互渗透、相互影响、 高度协调、合理构成的产物。 广阔性( 多向性) 思维的广阔性即思维的广度，是探索问题的能力。表现为思 路开阔，能全面地分析问题、多方向地思考问题，多角度地研究问题。思维的广阔性止是多 角度、多层次的立体型思维的表现。善于运用各种形式的发散思维来思考问题正是开阔的一 种重要表现。 深刻性指思维活动的抽象程度和逻辑水平。表现为善于使用抽象概括，理解透 彻深刻，对客观事物进行细致分析，综合比较，能够分清主次，揭示事物隐蔽的本质，把握 事物发展的方向和趋势。 灵活性指思维活动的灵活程度。表现为对知识的运用自如，流畅变通，善r 自 我调节。思维不囿于固定的程序或模式，能够根据具体情况及时换向，灵活调整思路以克服 思维定势a 在解决数学问题时，善丁运用辩证思维对具体问题作具体分析是思维灵活性的重 要特征。 思维的敏捷性指思维活动的反应速度和熟练程度。表现为思考问题时的敏锐快 1 0 速反应。敏捷是以准确为前提的，只有扎实的基础知识和熟练的基本技能，正确地领会知 识、把握问题的实质，达到融会贯通，才能真正的敏捷性。善于运用直觉思维，善r 把问题 转换化归，善于使用数学模式等都是思维敏捷性的重要表现。 独创性指思维活动的创新程度。表现为思考问题和解决问题的方式方法或结果 的新颖、独特、别出心裁。善于发现问题、解决并引申问题是思维创造性的表现之一。独创 性思维还具有思维舒展、活跃、多谋善变的特点，较多地寓于发散思维和真觉思维之中。 j ：k n 性指思维活动中独立分析和批判的程度。表现为善于独立思考，善r 提出 疑问，能够及时发现错误，纠正错误。能够在解决数学问题的过程中不断总结经验教训，进 行回顾和反思，自觉调控思维进程，自我评价解题思路或方法，辨别正误，排除障碍，寻求 最佳答案。思维的批判性是实现数学创造的前提。 预见性是人类通过想象来预测未来的能力，在创造过程中的作用举足轻重，有 助于选择最佳的研究方向，减少曲折性、盲目性。 跨越性是在思维的进程上省略思维步骤，加大思维的前进跨度；在思维的条件 上，能由近及远，由“虚”及“实”，由“表”及“里”，能跨越事物的“可见度”的限制， 迅速完成“虚体”向“实体”的转化。思维的“转换跨度”大。它是一种洞察力，是一种极 宝贵的创造性思维品质。 目的地是指思维的方向总集中在思维任务上，不偏离目标，围绕思维目标作山 策略决断和选择最佳途径。 整合性即对与事物相关的知识和信息综合加工、概括、整理并运用的思维能力。 它包含：善于选取前人的智慧宝库中的精华，通过巧妙组合形成新成果的“智慧杂交能力”， 把大量的概念、事实和观察材料综合在一起，加以概括整理，形成科学原理和“系统的思维 统摄能力”，对占有的材料或信息进行深入分析，把握其个性特点，然后从这些特点中概括 出事物的规律的“辨证分析能力”。 创造性思维是在思维活动中产生的，是针对整个思维活动而言的，它也是发展变化着的。 若孤立地、静止地去谈论它的某一